整数分拆 英语

第２４卷第１期　２０１０年１月　甘肃联合大学学报（自然科学版）　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｇａｎｓｕ　Ｌｉａｎｈｅ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅｓ）　Ｖｏ１．２４　ＮＯ．１　Ｊａｎ．２０１０　

文章编号：１６７２－６９１Ｘ（２０１０）０１—００２５－０４　

正整数有序分拆的几个计数公式及　

－ｃｏｌｏ　ｕｒ有序分拆的一些新的组合性质　

郭育红　

（河西学院数学系，甘肃张掖７３４０００）　

摘要：本文首先给出了正整数分别恰含一个奇分部量和一个偶分部量的有序分拆数的计数公式．其次还利用　正整数的“偶一奇”无序分拆给出了正整数的ｎ－ｃｏｌｏｕｒ有序分拆的几个新的组合性质．　关键词：有序分拆；ｎ－ｃｏｌｏｕｒ有序分拆；“偶一奇”无序分拆；组合性质　中图分类号：Ｏ１５７　文献标识码：Ａ　

Ｏ　引言　

在经典的分拆理论中　卜引，ＭａｃＭａｈｏｎ　Ｐ　Ａ　

第一次定义了正整数的有序分拆．即在正整数的　

分拆中考虑了分部量的次序．例如，４的无序分拆　

有：４，３＋１，２＋２，２＋１＋１，１＋１＋１＋１共５个；　

而４的有序分拆有：４，３＋１，１＋３，２＋２，２＋１十１，　

１＋２＋１，１＋１＋２，１＋１＋１十１共８个．设正整数　

／２的有序分拆数为Ｃ（ｎ），恰含　个分部量的有序　

分拆数为Ｃ（ｎ，　），熟知的结论有：　

ｃ（　）＝２＇￣－１　ｃ（　，　）＝　．　

Ａｇａｒｗａｌ　Ａ　Ｋ和Ａｎｄｒｅｗｓ　Ｇ　Ｅ在文献［３～　

４］中拓广了正整数无序分拆的概念，给出了正整　

数的　一ｃｏｌｏｕｒ无序分拆．　

定义Ｉｔ妇　正整数的，ｌ—ｃｏｌｏｕｒ无序分拆是指　

若正整数无序分拆的一个分部量是，ｚ，则可对该　

分部量着　种色，并分别记／２种色为：／２ｌ，　２，…　，　

且分部量的次序为：１　＜２　＜２。＜３　＜３。＜３。　

＜４ｌ＜４２＜…　例如，４的ｎ－ｃｏｌｏｕｒ无序分拆有：４ｌ，４２，４３，４ｔ，　

３１＋１ｌ，３２＋１ｌ，３３＋１ｌ，２ｌ＋２ｌ，２ｌ＋２２，２２＋２２，　

第十五讲 整数分拆综合

前续知识点：二年级第一讲；XX模块第X讲

后续知识点：X年级第X讲；XX模块第X讲

把里面的人物换成相应红字标明的人物． 好想吃啊！

5和10打不开！6和9也打不开！3和12还打不开！呃呃呃……不行了！这个密码到底有多少种可能啊？

密码：找出两个数，使得这两个数相加的和是15. 密码：找出两个数，使得这两个数相加的和是15.

和 和 3 12 萱萱

萱萱 萱萱 萱萱

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整数分拆：把一个自然数表示成若干个自然数的和的形式．（0除外）

在进行整数分拆时，要按一定的顺序，做到不重复、不遗漏．

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例题1

（1）猴子小孙从山上采来10个桃子．如果小孙把这些桃子全部分给猴妈和猴爸，并且猴妈和猴爸都要分到桃子，那么小孙共有多少种不同的分法？

（2）猪八戒拔了15根萝卜．如果猪八戒把这些萝卜分成2堆，那么共有多少种不同的分法？

提示：分给2人与分成2堆有什么不一样？

练习1

小虎有9块积木，他要把这些积木分成2堆，一共有多少种不同的分法？

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小学五年级奥数题经典题：整数分拆

整数分拆

整数分拆问题是一个古老而又十分有趣的问题。所谓整数的分拆，就是把一个自然数表示成为若干个自然数的和的形式，每一种表示方法，便是这个自然数的一个分拆。整数分拆的要求通常是将一个自然数拆成两个(或两个以上)自然数的和，并使这些自然数的积(或最小);或拆成若干个连续自然数的和等等。下面举例作出剖析。

例1 将14分拆成两个自然数的和，并使这两个自然数的积，应该如何分拆?

分析与解 不考虑加数顺序，将14分拆成两个自然数的和，有1+13，2+12，3+11，4+10，5+9，6+8，7+7共七种方法。经计算，容易得知，将14分拆成7+ 7时，有积7×7=49。

例2 将15分拆成两个自然数的和，并使这两个自然数的积，如何分拆?

分析与解 不考虑加数顺序，可将15分拆成下列形式的两个自然数的和：1+14，2+13，3+12，4+11，5+10，6+9，7+8。显见，将15分拆成7+8时，有积7×8=56。

注：从上述两例可见，将一个自然数分拆成两个自然数的和时，如果这个自然数是偶数2m，当分拆成m+m时，有积m×m=m2;如果这个自然数是奇数2m+1，当分拆成m+(m+1)时，有积m×(m+1)。

例3 将14分拆成3个自然数的和，并使这三个自然数的积，如何分拆?

分析与解 显然，只有使分拆成的数之间的差尽可能地小(比如是0或1)，这样得到的积才。这样不难想到将14分拆成4+5+5时，有积4×5×5=100。 例4 将14分拆成若干个自然数的和，并使这些自然数的积，如何分拆?

分析与解 首先应该考虑分成哪些数时乘积才能尽可能地大。

首先分拆成的数中不能有1，这是显而易见的。

其次分成的数中不能有大于4的数，不然的话，将这个数再拆成2与另一个自然数的和，这两个数的积一定比原数大。比如5=2+3，但5比2×3=6小。

第七讲 整数的分拆

整数分拆是数论中一个既古老又活跃的问题、把自然数n分成为不计顺序的若干个自然数之与

n=ｎ１+n2+…＋nｍ(n1≥n2≥…≥nm≥1)的一种表示法,叫做n的一种分拆、对被加项及项数ｍ加以一些限制条件,就得到某种特别类型的分拆、早在中世纪,就有关于特别的整数分拆问题的研究。１742年德国的哥德巴赫提出“每个不小于６的偶数都能够写成两个奇质数的与”,这就是著名的哥德巴赫猜想,中国数学家陈景润在研究中取得了突出的成果、下面我们通过一些例题,简单介绍有关整数分拆的基本知识、

一、整数分拆中的计数问题

例1 有多少种方法能够把6表示为若干个自然数之与？

解:依照分拆的项数分别讨论如下:

①把６分拆成一个自然数之与只有1种方式;

②把6分拆成两个自然数之与有3种方式

6=５+1=4＋2=3＋３;

③把6分拆成3个自然数之与有3种方式

6=4+1＋1=３+2＋1=2+2＋2;

④把6分拆成4个自然数之与有2种方式

６=3＋1+１+１=2＋2+1+1;

⑤把6分拆成5个自然数之与只有1种方式

6=２+1＋1＋１+１;

⑥把６分拆成６个自然数之与只有1种方式

6＝1+１+１＋1＋1＋1、因此,把6分拆成若干个自然数之与共有

１+3+3＋２＋１+1＝11种不同的方法。

说明:本例是不加限制条件的分拆,称为无限制分拆,它是一类重要的分拆、

例２ 有多少种方法能够把1994表示为两个自然数之与?

解法1:采纳有限穷举法并考虑到加法交换律:

１994＝1９９3+1＝１+1993 =1992+２＝2＋1９9２

=998＋９９６＝９96+998

=9９７+997

因此,一共有997种方法能够把1９94写成两个自然数之与。

解法2:构造加法算式:

因此,只须考虑从上式右边的1993个加号“＋”中每次确定一个,并把其前、后的1分别相加,就能够得到一种分拆方法;再考虑到加法交换律,因此共有997种不同的分拆方式。