空间中直线与平面所成角的范围

第２２卷第６期　２　０　０　７年１　２月　宿州学院学报　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｓｕｚｈｏｕ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ＶＯＩ．２２，ＮＯ．６　Ｄｅｃ．２　０　０　７　

空间中平面与平面、直线与直线及直线　

与平面间位置关系研究　

费绍金　

（宿迁学院教师教育系，江苏宿迁２２３８００）　

摘要：利用线性方程组解的理论讨论空间中平面与平面、直线与直线及直线与平面间位置关系，给出用矩阵的秩判　定以上关系的方法及结论。　关键词：平面；直线；直线与平面；位置关系；矩阵的秩　中图分类号：Ｏ１８７　文献标识码：Ａ　文章编号：１６７３—２００６（２００７）０６－－００９５—０３　

１引言　Ｂｉｙ＋ＣＩ　＋Ｄ＿一Ｏ（ｉ　２＇３），记Ａ　ＢＳ：ｌ　则　判断空间中平面与平面、直线与直线及直线与　、Ａ　Ｂ　Ｃ　平面位置关系，是代数知识在空间解析几何上的应　用，体现了几何与代数的完美结合，因此也是历年考　研常考题型。在文献［１　中作者给出了两条判定定理，　在实际应用中这两条定理是不够用的，本文用矩阵　的秩对这三个关系作了系统研究，给出一些有用结　论。　

２主要命题及证明　

引理非齐次线性方程组：　』ａｌｌｘ１＋ａｌｚ　２＋Ａ＋　ｌａｘ　＝ｂｌ　Ｊ　ａｚｌｘ１＋ａ２２ｘ２＋Ａ＋ａ２　ｘ　＝ｂ２　ｌ　Ａ　Ａ　Ａ　Ａ　Ａ　Ａ　Ａ　Ａ　’ａｍｌｘ１＋ａ扣２ｘ２＋＋ａ…ｘ　ｊｂｍ　有解的充要条件是：系数矩阵Ａ与增广矩阵Ｂ的秩　Ｒ（Ａ）一Ｒ（Ｂ），且Ｒ（Ａ）一Ｒ（Ｂ）一ｎ时有唯一解。　２．１平面与平面的位置关系　２．１．１两平面间位置关系　命题１　设平面７ｃ　、７ｃ　的方程分别为Ａ　ｘ＋Ｂ　Ｙ　＋Ｃｌｚ＋Ｄｌ一０，Ａｚｘ＋Ｂ２Ｙ＋Ｃ２ｚ＋Ｄ２＝＝：０，记Ａ一　

［　：　］，则（１）当Ｒ（Ａ）＝＝＝２时，平面丌－与丌ｚ相交　

于一条直线；（２）当Ｒ（Ｂ）＝１时，平面７ｃ　与７ｃ　重合；　（３）当Ｒ（Ａ）＝＝＝１，Ｒ（Ｂ）＝＝：２时，平面７ｃ　与７ｃ　平行。　证明由引理易证。　２．１．２三个平面间位置关系　命题２设平面丌　、丌　、丌。的方程分别为Ａ　ｘ＋　

1 专题二：直线与平面所成角的求法

直线与平面所成角是空间三大角之一，它既是教与学的难点，又是高考的热点，为帮助同学们学好这一内容，本文系统介绍求直线与平面所成角的常用方法。

【复习回顾】1、直线和平面所成角的定义及范围：

求直线和平面所成角的步骤：

一、直接法

直接法就是根据斜线与平面所成角的定义，直接作出斜线在平面内的射影，则斜线与射影所成角就是斜线与平面所成角，这是解题时首先要考虑的方法，直接法的关键是确定斜线在平面内的射影，下列结论常作为找斜线在平面内射影的依据。

（1）定理：一条直线与一个平面内的 直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

（2）定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于 的直线与另一个平面垂直。

（3）三垂线定理：在 的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的 垂直，那么它也和这条斜线垂直。

（4）三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条 垂直，那么它也和这个斜线的射影垂直。

(5) （教材P23〃例4）如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这个点在平面内的射影在这个角的平分线上。

（6）（教材P25〃T6）经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，设它和已知角的两边的夹角为锐角且相等，则这条斜线在平面的射影是这个角的平分线。

（7）若三棱锥的三条侧棱相等，则其顶点在底面上的射影是底面三角形的 。

例1、已知正四面体ABCD中，E为AD的中点，求EC与平面BCD所成角的大小。

2

例2、如图2，在正方体中，E、F分别是AB与的中点，求与平面所成角的大小。

图2

总结：直接法的关键在于确定斜线在平面上的射影，一般用以下几种方法来确定：

（1）利用几何体本身的特殊性，如正棱锥的顶点在底面上的射影在底面中心上；三条侧棱相等的三棱锥的顶点在底面上的射影在底面外心等。

1 即墨市第五中学高一数学导学案

空间中直线与平面、平面与平面的位置关系

编写：刘鸿星 审核：宁伟丽 时间：2013-03 编号：8

【课前预习导读】

一、学习目标：

借助长方体模型，在直观认识和理解空间中直线与平面、平面与平面的位置关系。

二、学习重点：直线与平面、平面与平面的位置关系

三、学习难点：直线与平面、平面与平面的位置关系

四、自主预习

1．一条直线与一个平面的位置关系可能有 。

2．如图，线段BA1所在直线与长方体

1111DCBAABCD的六个面所在平面的位置

关系有 。

3．通过生活实例以及对长方体模型的观察、思考，我们可以得出，直线与平面的位置关系有三种：

（1） ——有 个公共点；

（2） —— 个公共点；

（3） —— 个公共点。

直线与平面 的情况统称为直线在平面外。

4．请画图表示直线与平面的三种位置关系，并用符号表示。

5．观察长方体1111DCBAABCD的六个面，两个平面的位置关系可能有 。

6．通过生活实例以及对长方体模型的观察、思考，我们可以得出，两个平面的位置关系有两种：

（1） —— 公共点；

（2） —— 。 班级： 姓名：

A B C D A1B1 C1 D1

2 7．请画图表示两个平面的两种位置关系，并用符号表示。

空间角专题复习

●知识梳理

一、异面直线所成的角及求法

(1)定义：在空间任意取一点，过该点分别作两异面直线的平行线所成的锐角或直角称为两异面直线所成的角．

(2)取值范围：若θ是异面直线a和b所成的角，则其取值范围是θ∈(0，π2]，当θ＝π2时，称异面直线a和b垂直，记为a⊥b.

(3)求法：平移法：将两异面直线中的一条或两条平移至某特殊点后，构造三角形，通过解该三角形而求其大小；

二、直线与平面所成的角及求法

(1)定义：设l和α分别表示直线与平面．①若l∥α或l⊂α，则称直线l和平面α所成的角为0；②若l⊥α，则称l与α所成的角为2；③若l与α相交，则l与l在α内的射影所成的锐角为直线l与平面α所成的角．

(2)取值范围：设θ是直线l与平面α所成的角，则θ的取值范围是[0,]2．

(3)求法：定义法：探寻直线l在平面α内的射影，(通常由垂直法找射影)构造直线l与平面α所成角对应的直角三角形，通过解该直角三角形而求得直线与平面所成的角．

三、二面角及求法

(1)定义：在二面角的棱上任取一点，分别在二面角的两个面内作棱的垂线，则这两垂线所成的角称为该二面角的平面角，且定义平面角的大小为该二面角的大小．

(2)取值范围：规定二面角的取值范围为[0，π]．

(3)求法：定义法：分别在二面角的两个面内作棱的垂线，则这两垂线所成的角称为该二面角的平面角

. ●练习提升

1．如图，E、F分别是三棱锥P－ABC的棱AP、BC的中点，PC＝10，AB＝6，EF＝7，则异面直线AB与PC所成的角为 ( )

A．30° B．45°

C．60° D．90°

答案：C

2. 已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，CC1＝2，则直线BC1和平面DBB1D1所成的角的正弦值为( )

A.32 B.52

C.105 D.1010