直线与平面所成的角范围

第九章 立体几何

28 9.3.2 直线与平面所成的角

【教学目标】

1. 了解平面的斜线的定义，理解直线与平面所成角的概念，并会求直线与平面所成的角．

2. 注重培养学生的读图、作图的能力，培养学生的空间想象力．

【教学重点】

直线与平面所成的角．

【教学难点】

斜线与平面所成的角．

【教学方法】

本节主要采用讲练结合法．在学生熟悉线面垂直的基础上，讲解平面的斜线及其射影，通过推导三垂线定理进一步熟悉线面垂直的知识．

【教学过程】

环节 教学内容 师生互动 设计意图

导

入 1．直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理．

2．直线与平面的位置关系．

直线与平面的位置关系利用表格进行提问（见课件）．

师：空间直线与平面垂直属于哪一种情况？

生：一条直线和一个平面相交，且和这个平面垂直

师：一条直线与一个平面相交但不垂直，会怎样？ 本节内容是建立在线面垂直的基础之上的，所以学生必须对线面垂直的定义、判定定理和性质定理非常熟练．课前复习，为新课的学习扫清障碍．

新

课

1．平面的斜线

如果一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，那么这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足．斜线上一点与斜足之间的线段叫做斜线段．

如图，AB是平面的斜线，B是斜足，AB是斜线段．

2．直线与平面所成的角

从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影．斜线和它在平面上的射影的夹角，叫做斜线和平面所成的角(或夹角)，如上图所示．

如果直线垂直于平面，则规定直线与平面所成的角是直角(90)；

教师给出定义．

学生理解并记忆定义．

重点强调斜线的射影是过垂足和斜足的直线．

教师可在此处多设计几个图形，让学生练习辨别垂线，斜线及其

引导学生在理解的基础上记忆．

此处加强练习为下面顺利引入三垂线定理奠定基础．

B A

 数学基础模块 下册

29

新

直线与平面所成的角的定义：

①直线和平面所成的角有三种：

a．斜线和平面所成的角：一条直线与平面α相交，但不和α垂直，这条直线叫做平面α的斜线．斜线与α的交点叫做斜足，过斜线上斜足以外的点向平面引垂线，过垂足与斜足的直线叫做斜线在平面α内的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．

b．垂线与平面所成的角：一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角。

c．一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角为00.

②取值范围：00≤θ≤900．

求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”

最小角定理：

斜线和它在平面内的射影所成的角（即线面角），是斜线和这个平面内的所有直线所成角中最小的角。

求直线与平面所成的角的方法: (1)找角：求直线与平面所成角的一般过程：①通过射影转化法，作出直线与平面所成的角；②在三角形中求角的大小．

(2)向量法：设PA是平面α的斜线，，向量n为平面α的法向量，设PA与平面α所成的角为θ，则

直线与平面所成的角的教案

一、教学目标

（一）知识目标：

（1）掌握斜线与平面所成角的概念，会求直线与平面所成的角；

（二）能力目标：

（1）培养学生的观察思考能力和空间想象能力；

（2）培养学生的立体感，数学美感；

（3）能熟练求解直线与平面所成角.

（三）情感目标：

让学生体验主动探究、合作学习的成功和喜悦，激发他们学习的兴趣。

二、教学重点、难点

重点：斜线与平面所成角的概念及利用概念分步求角；

难点：在一个具体的立体图形中去找某条直线与平面所成的角。

三、教学方法：探究、合作、讲练结合

四、学法指导：对于立体几何的学习，学生已初步入门，本课时让学生自己探究问题、发现问题、获取新知，并解决相关问题

五．教学过程

复习引入

直线与平面有几种关系？

1.直线在平面内 ；

2.直线相交于平面 ; 3.直线平行于平面 ;

自主预习

1. 什么是平面的斜线？斜足？斜线段？斜线在这个平面内的射影？斜线和平面所成的角？ (请同学回答)

平面的斜线 ：如果一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，那么这条直线叫做这个平面的斜线．

从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影．

斜线和它在平面上的射影的夹角，叫做斜线和平面所成的角(或夹角)．

（利用自做模型让学生参与，并自己来总结如何找直线与平面所成的角）

斜线

垂线 斜线与射影所成的角 斜线与平面所成的角

射影

如果直线垂直于平面，则规定直线与平面所成的角是直角(90)

如果直线和平面平行，或在平面内，则规定直线与平面所成的角是 0

角．

例题讲解

如图长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB＝1，BC＝1，AA1＝ √2 ．求对角线

A1C 与平面ABCD 所成的角．

解：因为A1C是斜线；

A1A垂直于平面AC

AC是斜线A1C的射影

1 D

B A C

 空间中线线角，线面角，面面角成法原理与求法思路

空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。

1、异面直线所成的角

（1）异面直线所成的角的范围是]2,0(。求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决。

具体步骤如下：

①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上；

②证明作出的角即为所求的角；

③利用解三角形来求角。简称为“作，证，求”

2、线面夹角

直线与平面所成的角的范围是]2,0[。求直线和平面所成的角用的是射影转化法。

具体步骤如下：（若线面平行，线在面内，线面垂直，则不用此法，因为角度不用问你也知道）

①找过斜线上一点与平面垂直的直线；

②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角；

③把该角置于三角形中计算。

也是简称为“作，证，求”

注：斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角，即若θ为线面角，为斜线与平面内任何一条直线所成的角，则有；（这个证明，需要用到正弦函数的单调性，请跳过。在右图的解释为 BADCAD）

）

2.1确定点的射影位置有以下几种方法：

①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；

②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；

已知：如图，BAC在一个平面内，,,PNACPMABPNPM且＝（就是点P到角两边的距离相等）过P作PO（说明点O为P点在面内的射影）

求证：OANOAM＝

（OANOAM＝，所以AO为BAC的角平分线，所以点O会在BAC的角平分线上）

证明：PA＝PA，PN＝PM，90PNAPMA＝＝

PNAPMA（斜边直角边定理）

ANAM＝①

2 (PONOMOPNPM斜线长相等推射影长相等）＝