专题11.3 多边形及其内角和

第十一章 三角形

11.3 多边形及其内角和

1．多边形及其相关概念

（1）多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的___________叫做多边形．多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形……，如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形．

（2）相关概念：①多边形相邻两边组成的角叫做它的___________．②多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的___________．③连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的___________．

2．多边形的对角线

（1）定义：多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的__________，叫做多边形的对角线．

（2）规律总结：

①从n边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，将n边形分成（n-2）个三角形．

②n边形共有(3)2nn条对角线．

3．凸多边形与正多边形

（1）凸多边形：画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在这条直线的___________，那么这个多边形叫做凸多边形．

（2）正多边形：各个角都相等，各条边都___________的多边形叫做正多边形．

4．多边形内角和定理

n边形内角和等于___________．正多边形的每个内角的度数为(2)180nn．

5．多边形的外角和定理

（1）多边形的外角和为___________．

（2）外角和定理的应用：①已知外角的度数求正多边形的边数；

②已知正多边形的边数求外角的度数．

K知识参考答案：

1．（1）封闭图形（2）内角，外角，对角线 2．（1）线段3．（1）同一侧（2）相等

4．(2)180n 5．360

K—重点 （1）多边形内角和定理；（2）多边形外角和定理．

K—难点 （1）多边形内角和定理的推理过程；（2）多边形外角和定理的推理过程．

K—易错 多边形外角和定理的应用．

一、多边形及其相关概念

1．多边形：在平面内，由一些线段首位顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．

2．正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．

【例1】下列说法中，正确说法有

①由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形；

②多边形的两边所在直线组成的角是这个多边形的内角或外角；

③各条边都相等的多边形是正多边形．

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【答案】A

【解析】①中缺少“在平面内”这一前提，故错误．②中多边形的两边所在直线组成的角中有一个角是多边形的内角的对顶角，它既不是多边形的内角，也不是多边形的外角，故错误．③中缺少“各个角都相等”这一条件，故错误．故选A．

【名师点睛】（1）多边形有几条边就是几边形，三角形是最简单的多边形．

（2）三角形的三个顶点确定一个平面，但边数大于3的“多边形”的顶点有不共面的情况，所以在多边形的定义中要加上“在平面内”这个条件．

（3）多边形用表示它的各个顶点的字母表示，表示多边形的字母要按顶点的顺序书写，可以按顺时针顺序，也可以按逆时针顺序．

二、多边形的内角和

1．多边形内角和定理：

n边形内角和等于(2)180n．

2．多边形内角和定理的推理过程：

（1）从n边形的一个顶点出发，可以引出(3)n条对角线，这(3)n条对角线把n边形分成(2)n个三角形，又每个三角形的内角和是180，所以n边形的内角和是(2)180n．

（2）在n边形内任取一点P，连接1PA，2PA，…，nPA，把n边形分成n个三角形，这n个三角形的内角和为180n，再减去中间的一个周角，即得n边形的内角和为(2)180n．

3．多边形的内角和的应用：

（1）己知多边形的边数，求内角和．

（2）已知多边形的内角和，求边数．

（3）求正n边形的每个内角的度数．

【例2】内角为108°的正多边形是

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】C

【名师点睛】一个多边形的内角和取决于它的边数，随着边数的增加而增加，并且每增加一条边，内角和就增加180．

三、多边形的外角和

1．多边形的外角和定理：多边形的外角和为360．

2．多边形的外角和定理的推理过程：

多边形的每个内角同与它相邻的外角都是邻补角，所以n边形的内角和加上外角和为180n，外角和等于180(2)180360nn．

3．多边形的外角和定理的应用：

（1）已知正多边形的外角度数，求边数．

（2）已知正多边形的边数，求外角度数．

【例3】十五边形的外角和等于__________°．

【答案】360°

【解析】根据任意多边形的外角和等于360°，∴十五边形的外角和等于360°．故答案为：360°．

【名师点睛】（1）n边形的外角和与边数无关，总是等于360．

（2）正n边形的每个内角都相等，则每个外角都相等，又其外角和为360，所以正n边形的每个外角度数为360n．

1．若一个正多边形的一个外角为45°，则这个正多边形的边数是

A．6 B．7 C．8 D．9

2．一个多边形的每一个外角都是72°，那么这个多边形的内角和为

A．540° B．720°

C．900° D．1080°

3．下列图形中，内角和与外角和相等的是

A． B． C． D．

4．一个正八边形的每个内角的度数为___________．

5．一个多边形的内角和比外角和的3倍多180°，则它的边数是___________．

6．某正n边形的一个内角为108°，则n=___________．

7．若一个多边形的每个内角都等于150°，则这个多边形是__________边形；

8．一个四边形三个内角度数分别是80°、90°、100°，则余下的一个内角度数是__________．

9．根据图中所表示的已知角的度数，可以求出∠α=__________°．

10．如图，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于__________．

11．某多边形的内角和与外角和的总和为1620°，求此多边形的边数．

12．多边形中小于120°的内角最多有

A．4个 B．5个 C．6个 D．不能确定

13．下列说法正确的有

①由一些线段首位顺次相接组成的封闭图形叫做多边形；②多边形的两边所在直线组成的角是这个多边形的内角或外角；③各条边都相等的多边形是正多边形．

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

14．一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的

A．内角和增加180° B．外角和增加360° C．对角线增加一条 D．内角和增加360°

15．如图，小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了___________米．

16．如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=___________．

17．定义：有三个内角相等的四边形叫三等角四边形．三等角四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C，则∠A的取值范围__________．

18．已知：四边形ABCD如图所示，

（1）填空：∠A+∠B+∠C+∠D=__________°．

（2）请用两种方法证明你的结论．

19．若一个多边形的边数增加一条，其内角和变为1440，求原多边形的边数．

20．如图所示，求ABCDEFG的度数．

21．（2018•乌鲁木齐）一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是

A．4 B．5 C．6 D．7

22．（2018•台州）正十边形的每一个内角的度数为

A．120° B．135° C．140° D．144°

23．（2018•济宁）如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°，DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠P=

A．50° B．55° C．60° D．65°

24．（2018•宁波）已知正多边形的一个外角等于40°，那么这个正多边形的边数为

A．6 B．7 C．8 D．9

25．（2018•宿迁）若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是__________．

26．（2018•聊城）如果一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，那么这个多边形的内角和是__________．

1．【答案】C

【解析】因为多边形外角和为360°，所以这个正多边形的边数是360°÷45°=8．故选C．

3．【答案】B

【解析】根据多边形内角和公式（n–2）×180°与多边形的外角和定理列式进行计算即可得解．

设多边形的边数为n，根据题意得（n–2）×180°=360°，解得n=4．故选B．

4．【答案】135°

【解析】180°–360°÷8=180°–45°=135°．故答案为：135°．

5．【答案】9

【解析】(n−2)⋅180°=3×360°+180°，所以(n−2)⋅180°=6×180°+180°，n−2=7，解得：n=9．则这个多边形的边数是9．故答案为：9．

6．【答案】5

【解析】．∵正n边形的一个内角为108°，∴正n边形的一个外角为180°–108°=72°，∴n=360°÷72°=5．故答案为：5．

7．【答案】十二

【解析】360°÷（180°–150°）=12．故答案为：十二．

8．【答案】90°

【解析】360°–80°–90°–100°=90°．故答案为：90°．

12．【答案】B

【解析】∵多边形的内角小于120°，∴外角大于60°，∵360°÷60°=6，∴这个多边形小于120°的内角的个数最多有5个，故选B．

13．【答案】 A

【解析】①中缺少“在平面内”这一前提，故错误；②中多边形的两边所在直线组成的角中有一个角是多边形内角的对顶角，它既不是多边形的内角，也不是多边形的外角，故错误；③中缺少“各个角都相等”这一条件，故错误．故选A．

14．【答案】A

【解析】因为n边形的内角和是（n–2）•180°，外角和为360°，对角线的条数为(3)2nn，当边数增加一条就变成n+1，则内角和是（n–1）•180°，内角和增加：（n–1）•180°–（n–2）•180°=180°；根据多