高考物理专题复习《曲线运动万有引力与航天》习题课教案

第四章 曲线运动 万有引力与航天一、圆周运动与平抛运动的综合问题——“科学思维”之“科学推理”圆周运动与平抛运动的过渡处的速度是联系前后两个过程的关键物理量，前一个过程的末速度是后一个过程的初速度。

1.如图1，半径R ＝2 m 的四分之一圆轨道和直径为2 m 的半圆轨道水平相切于d 点，两圆轨道均光滑且在竖直平面内。

可视为质点的小球从d 点以某一初速度进入半圆，刚好能通过半圆的最高点a ，从a 点飞出后落在四分之一圆轨道上的b 点，不计空气阻力，重力加速度g ＝10 m/s 2。

则b 点与d 点的竖直高度差为( )图1A.3 mB.(3－5) mC.5 mD.(3＋5) m 解析 小球刚好通过a 点，则在a 点重力提供向心力，则有mg ＝m v 2r ，r ＝12R ，解得v ＝2gR 2，从a 点抛出后做平抛运动，则水平方向的位移x ＝vt ，竖直方向的位移h ＝12gt 2，根据几何关系有x 2＋h 2＝R 2，解得h ＝12(5－1)R ，则b 点与d 点的竖直高度差为12(3－5)R ，即(3－5) m ，故B 正确。

答案 B2.如图2所示，水平放置的正方形光滑玻璃板abcd ，边长为L ，距地面的高度为H ，玻璃板正中间有一个光滑的小孔O ，一根细线穿过小孔，两端分别系着小球A 和小物块B ，当小球A 以速度v 在玻璃板上绕O 点做匀速圆周运动时，AO 间的距离为r 。

已知A 的质量为m A ，重力加速度为g 。

图2(1)求小物块B 的质量m B ；(2)当小球速度方向平行于玻璃板ad 边时，剪断细线，则小球落地前瞬间的速度多大？(3)在(2)的情况下，若小球和小物块落地后均不再运动，则两者落地点间的距离为多少？解析 (1)以B 为研究对象，根据平衡条件有T ＝m B g ，以A 为研究对象，根据牛顿第二定律有T ＝m A v 2r， 解得m B ＝m A v 2gr。

(2)A 下落过程，根据机械能守恒定律有12m A v 2＋m A gH ＝12m A v ′2，解得v ′＝v 2＋2gH 。

第3节圆周运动一、圆周运动1.描述圆周运动的物理量名称定义、意义公式、单位线速度(v)(1)描述匀速圆周的快慢的物理量(2)矢量,方向和半径垂直,和圆周相切(1)v=st(2)单位:m/s角速度(ω)描述物体转动的快慢的物理量(1)ω=φt(2)单位: rad/s周期(T)、频率(f) 和转速(n) (1)周期是周期性运动每重复一次所需要的时间,频率是单位时间内运动重复的次数(2)转速是单位时间内的转动次数(1)周期单位:s(2)转速单位:r/s,r/min(3)频率单位:Hz向心加速度(a)(1)方向指向圆心(2)只改变速度方向,不改变速度大小(1)a=2vr=ω2r(2)单位:m/s22.匀速圆周运动(1)定义:在任意相等时间内通过的弧长都相等的圆周运动.(2)特点:速度大小不变,方向时刻发生变化,加速度大小不变,方向始终指向圆心,是变加速运动.(3)条件:合外力大小不变、方向始终与速度方向垂直且指向圆心.自主探究如图是自行车传动机构的示意图,A点位于大齿轮的边缘上,B点位于小齿轮的边缘上,C 点位于后轮的边缘上,转动过程中A与B,B与C有怎样的关系?答案:A与B线速度大小相等,B与C角速度大小相等.二、匀速圆周运动的向心力1.作用效果:产生向心加速度,只改变速度的方向,不改变速度的大小.2.表达式:F=m2v=mrω2=mr=mωv=4π2mf2r.r3.方向:始终沿半径方向指向圆心,时刻在改变,即向心力是一个变力.4.来源:物体受到的力提供,可以是一个力,也可以是几个力的合力,还可以是一个力的分力.三、离心运动1.定义:做圆周运动的物体,在受到的合外力突然消失或者不足以提供圆周运动所需要的向心力的情况下,将远离圆心运动.2.本质:做圆周运动的物体,由于本身的惯性,总有沿着圆周切线方向飞出去的趋势.3.受力特点(1)当F=mrω2时,物体做匀速圆周运动.(2)当F=0时,物体沿切线方向飞出.(3)当F<mrω2时,物体逐渐远离圆心,做离心运动.(4)当F>mrω2时,物体将逐渐靠近圆心,做近心运动.1.思考判断(1)匀速圆周运动是匀变速曲线运动.( ×)(2)做匀速圆周运动的物体,其合外力是不变的.( ×)(3)做圆周运动的物体所受合外力突然消失,物体将沿圆周的半径方向飞出.( ×)(4)由公式v=rω可知,r一定时,v与ω成正比.( √)(5)火车转弯速率小于规定的数值时,内轨会受到侧向压力.( √)2.一质点做匀速圆周运动,其线速度大小为 4 m/s,转动周期为 2 s,则下列说法错误的是( A)A.角速度为0.5 rad/sB.转速为0.5 r/sC.轨迹半径为4πmD.向心加速度大小为4π m/s 2解析:角速度为ω=2πT =π rad/s,选项A 错误;转速为n=2πω=0.5 r/s,选项B 正确;半径r=v ω=4πm,选项C 正确;向心加速度大小为a n =2v r =4π m/s 2,选项D 正确.3.(多选)如图所示,长为L 的细绳一端固定,另一端系一质量为m 的小球.给小球一个合适的初速度,小球便可在水平面内做匀速圆周运动,这样就构成了一个圆锥摆,设细绳与竖直方向的夹角为θ.下列说法中正确的是( BC ) A.小球受重力、绳的拉力和向心力作用 B.小球只受重力和绳的拉力作用 C.θ越大,小球运动的速率越大 D.θ越大,小球运动的周期越大解析:小球受重力、绳的拉力作用,二者合力提供向心力,由牛顿第二定律可得Fcosθ=mg,Fsin θ=m 2sin v L θ,解得v=,小球运动的周期T=2πsin L vθ,将v 代入得可见θ越大,v 越大,T 越小.综上所述,可知选项B,C 正确,A,D 错误. 考点一 圆周运动中的运动学分析1.匀速圆周运动各物理量间的关系2.对公式v=ωr 的理解 (1)当r 一定时,v 与ω成正比. (2)当ω一定时,v 与r 成正比. (3)当v 一定时,ω与r 成反比.3.对a=2v r=ω2r 的理解当v 一定时,a 与r 成反比;当ω一定时,a 与r 成正比.[例1] (2019·河南开封联考)(多选)如图所示,轮O 1,O 3固定在同一轮轴上,轮O 1,O 2用皮带连接且不打滑,在O1,O2,O3三个轮的边缘各取一点A,B,C,已知三个轮的半径比r1∶r2∶r3=2∶1∶1,当转轴匀速转动时,下列说法中正确的是( ABC)A.A,B,C三点的线速度之比为2∶2∶1B.A,B,C三点的角速度之比为1∶2∶1C.A,B,C三点的加速度之比为2∶4∶1D.A,B,C三点的周期之比为1∶2∶1解析:轮O1和轮O2边缘上的点线速度大小相等,即v A=v B,A,C两点共轴转动,角速度相等,根据v=rω,则v A∶v C=r1∶r3=2∶1,所以A,B,C三点的线速度大小之比v A∶v B∶v C=2∶2∶1,故A正确;根据v=rω,ωA∶ωB=r2∶r1=1∶2,所以A,B,C三点的角速度之比ωA∶ωB∶ωC=1∶2∶1,故B正确;根据a=vω,A,B,C三点的加速度之比为2∶4∶1,故C正确;由T=2π,A,B,C三点的周期之比为2∶1∶2,故D错误.常见的三种传动方式及特点类型图示特点同轴传动绕同一转轴运转的物体,角速度相同,ωA=ωB,由v=rω知v与r成正比皮带传动皮带与两轮之间无相对滑动时,两轮边缘线速度大小相等,即v A=v B摩擦传动和齿轮传动两轮边缘接触,接触点无打滑现象时,两轮边缘线速度大小相等,即v A=v B[针对训练]2018年12月8日2时23分,嫦娥四号任务着陆器和巡视器(玉兔二号)组合体发射升空,2019年1月3日10时26分成功着陆在月球背面.“玉兔二号”月球车依靠太阳能电池板提供能量,如图ABCD是一块矩形电池板,能绕CD转动,E为矩形的几何中心(未标出),则电池板旋转过程中( A)A.B,E两点的转速相同B.A,B两点的角速度不同C.A,B两点的线速度不同D.A,E两点的向心加速度相同解析:根据题意,A,B,E三点属于同轴转动,三者角速度相同,则转速也相同,故A正确,B错误;由于A,B的转动半径相同,根据v=ωr,则A,B两点的线速度相同,故C错误;A,E两点因角速度相同,半径不同,由向心加速度的公式a=ω2r可知,它们的向心加速度不同,故D错误.考点二圆周运动中的动力学分析1.解决圆周运动的动力学问题需做好三个分析(1)几何关系分析:确定圆周运动的轨道平面、圆心、半径等.(2)运动分析:确定圆周运动的线速度、角速度、周期等.(3)受力分析:确定物体所受外力,利用力的合成与分解知识,表示出物体做圆周运动时,哪些力提供向心力.2.圆周运动中向心力与合力的关系(1)匀速圆周运动(2)变速圆周运动[例2](2019·湖南株洲联考)(多选)如图所示,匀速转动的水平圆盘上放有质量分别为2 kg和3 kg 的小物体A,B.A,B间用细线沿半径方向相连.它们到转轴的距离分别为r A=0.2 m,r B=0.3 m.A,B与盘面间的最大静摩擦力均为重力的0.4倍.g取10 m/s2,现极其缓慢地增大圆盘的角速度,则下列说法正确的是( AC)A.当A达到最大静摩擦力时,B受到的摩擦力大小为12 NB.当A恰好达到最大静摩擦力时,圆盘的角速度约为4 rad/sC.当细线上开始有弹力时, rad/sD.在细线上有弹力后的某时刻剪断细线,A将做向心运动,B将做离心运动审题指导:解此题的关键有两点:(1)分别以A,B 为研究对象,两者具有共同的角速度,并做好各自的受力分析. (2)绳子上出现拉力的条件是B 达到最大静摩擦力.解析:增大圆盘的角速度,B 先达到最大静摩擦力,所以A 达到最大静摩擦力时,B 受到的摩擦力大小为f B =km B g=12 N,A 正确;设小物体A 达到最大静摩擦力时,圆盘的角速度为ω1,此时细线的拉力为T,则对A 有km A g-T=m A r A 21ω,对B 有T+km B g=m B r B 21ω,得ω1=10 rad/s,B 错误;当细线上开始有弹力时,对B 有km B g=m B r B 22ω,解得ω2 rad/s,C 正确;剪断细线,A 随圆盘做圆周运动,B 将做离心运动,D 错误.1.(2019·河南开封质检)(多选)如图所示,在匀速转动的水平圆盘上,沿半径方向放着用绳子相连的质量相等的两个物体A 和B,它们分居圆心两侧,与圆心距离分别为R A =r,R B =2r,与圆盘间的动摩擦因数μ相同,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时,下列说法正确的是( ABC ) A.此时绳子张力为T=3μmgB.此时圆盘的角速度为ω=C.此时A 所受摩擦力方向沿半径指向圆外D.此时烧断绳子,A 仍相对盘静止,B 将做离心运动解析:A 和B 随着圆盘转动时,合外力提供向心力,则F=mrω2,B 的运动半径比A 的半径大,所以B 所需向心力大,绳子拉力相等,所以当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时,B 的静摩擦力方向沿半径指向圆心,A 的最大静摩擦力方向沿半径指向圆外,根据牛顿第二定律得T-μmg=mrω2,T+μmg=m·2rω2,解得故A,B,C 正确;此时烧断绳子,A 的最大静摩擦力不足以提供向心力,则A 做离心运动,故D 错误.2.(多选)如图所示,在固定的圆锥形漏斗的光滑内壁上,有两个小球A 和B,质量分别为m A 和m B ,它们分别紧贴漏斗的内壁在不同的水平面上做匀速圆周运动.则以下叙述正确的是( BD ) A.只有当m A <m B 时,小球A 的角速度才会大于小球B 的角速度B.不论A,B 的质量关系如何,小球A 的线速度始终大于小球B 的线速度C.不论A,B 的质量关系如何,小球A 对漏斗内壁的压力始终大于小球B 对漏斗内壁的压力D.不论A,B 质量关系如何,小球A 的周期始终大于小球B 的周期 解析:对A,B 两球中任意一球研究,进行受力分析,如图,小球只受重力和漏斗给的支持力N.设内壁与水平面的夹角为θ,根据牛顿第二定律有mgtan θ=mrω2=m 2v r=mr,则得ω=tan g rθ,v=tan gr θ,T=2πtan rg θ.可知,小球的轨道半径越大,角速度越小,线速度越大,周期越大,与两球质量大小无关.所以A 的角速度小于B 的角速度,A 的线速度大于B 的线速度,A 的周期始终大于B 的周期,故A 错误,B,D 正确;支持力N=cos mgθ,θ相同,知两球所受的支持力与质量成正比,故C 错误.考点三 竖直面内的圆周运动1.运动特点(1)竖直面内的圆周运动一般是变速圆周运动.(2)只有重力做功的竖直面内的变速圆周运动机械能守恒.(3)竖直面内的圆周运动问题,涉及知识面比较广,既有临界问题,又有能量守恒的问题,要注意物体运动到圆周的最高点的速度.(4)一般情况下,竖直面内的圆周运动问题只考查最高点和最低点两种情形. 2.常见模型轻绳模型轻杆模型常见 类型过最高 点的临 界条件当mg=m2v r得 v 临=gr小球能运动至最高点,N=mg,v 临=0轻绳模型 轻杆模型 讨论 分析(1)过最高点时,v≥gr ,T+mg=m 2v r,绳、轨道对球产生弹力F; (2)不能过最高点时,v<gr在最高点:(1)当v=0时,N=mg,N 为支持力,沿半径背离圆心;(2)当0<v<gr 时,mg-N=m 2v r,N 背离圆心且随v 的增大而减小; (3)当v=gr 时,N=0;(4)当v>gr 时,N+mg=m 2v r,N 指向圆心并随v 的增大而增大[例3] (2019·河北石家庄期末)(多选)如图所示,轻杆长为3L,在杆两端分别固定质量均为m 的球A 和B,光滑水平转轴穿过杆上距球A 为L 处的O 点.外界给系统一定能量后,杆和球在竖直平面内转动,球B 运动到最高点时,杆对球B 恰好无作用力,忽略空气阻力.则球B 在最高点时( BC ) A.球B 的速度为零 B.球A 122gL C.水平转轴对杆的作用力为1.5mg D.水平转轴对杆的作用力为2.5mg 审题指导:解此题把握两点 (1)球A,B 同轴转动,角速度相等.(2)理解“球B 运动到最高点时,杆对球B 恰好无作用力”的意义.解析:球B 运动到最高点时,杆对球B 恰好无作用力,即重力恰好提供向心力,有mg=m 22B v L,解得v B=2gL,故A错误;由于球A,B的角速度相等,则球A的速度大小v A=122gL,故B正确;球B在最高点时,对杆无作用力,此时球A所受重力和杆的作用力的合力提供向心力,有F-mg=m2A vL,解得F=1.5mg,则水平转轴对杆的作用力为1.5mg,故C正确,D错误.分析竖直平面内圆周运动临界问题的思路1.(2019·北京东城区模拟)(多选)长为L的轻杆,一端固定一个小球,另一端固定在光滑的水平轴上,使小球在竖直平面内做圆周运动,关于小球在最高点的速度v,下列说法中正确的是( ABD)A.当v的值为gL时,杆对小球的弹力为零B.当v由gL逐渐增大时,杆对小球的拉力逐渐增大C.当v由gL逐渐减小时,杆对小球的支持力逐渐减小D.当v由零逐渐增大时,向心力也逐渐增大解析:在最高点,球对杆的作用力为0时,根据牛顿第二定律有mg=m,得gL正确;由上可知,当gL,轻杆对球有拉力,则有F+mg=m2vL,v增大,F增大,B正确;当gL,轻杆对球有支持力,则有mg-F′=m2vL ,v减小,F′增大,C错误;由F向=m2vL知,v增大,向心力增大,D正确.2.(2019·广东深圳月考)(多选)如图(甲)所示,一长为l的轻绳,一端穿在过O点的水平转轴上,另一端固定一质量未知的小球,整个装置绕O点在竖直面内转动.小球通过最高点时,绳对小球的拉力F与其速度平方v2的关系如图(乙)所示,重力加速度为g,下列判断正确的是( BD)A.图象函数表达式为F=m2vl+mgB.重力加速度g=blC.绳长不变,用质量较小的球做实验,得到的图线斜率更大D.绳长不变,用质量较小的球做实验,b值不变解析:由受力分析得F=m2vl -mg,A错误;由图象可知,当F=0时,mg=m2vl,即v2=gl,得g=bl,B正确;结合图象和F=m2vl -mg可知,图象的斜率k=ml,所以m减小,斜率减小,C错误;由前述讨论可知b=gl,当m减小时,b值不变,D正确.1.(2018·江苏卷,6)(多选)火车以60 m/s的速率转过一段弯道,某乘客发现放在桌面上的指南针在10 s内匀速转过了约10°.在此10 s时间内,火车( AD)A.运动路程为600 mB.加速度为零C.角速度约为1 rad/sD.转弯半径约为3.4 km解析:由s=vt知,s=600 m,选项A正确;在弯道做圆周运动,火车加速度不为零,选项B错误;由10 s内转过10°知,角速度ω= rad/s=π180rad/s≈0.017 rad/s,选项C错误;由v=rω知,r=vω=60π180m≈3.4 km,选项D正确.2.(2019·江苏卷,6)(多选)如图所示,摩天轮悬挂的座舱在竖直平面内做匀速圆周运动.座舱的质量为m,运动半径为R,角速度大小为ω,重力加速度为g,则座舱( BD)A.运动周期为2πRωB.线速度的大小为ωRC.受摩天轮作用力的大小始终为mgD.所受合力的大小始终为mω2R解析:座舱的周期T=2πRv =2πω,故A错误;根据线速度与角速度的关系,v=Rω,故B正确;座舱做匀速圆周运动,摩天轮对座舱的作用力与重力大小不相等,其合力提供向心力,合力大小为F合=mRω2,故C错误,D正确.3.(2015·福建卷,17)如图,在竖直平面内,滑道ABC关于B点对称,且A,B,C三点在同一水平线上.若小滑块第一次由A滑到C,所用的时间为t1,第二次由C滑到A,所用的时间为t2,小滑块两次的初速度大小相同且运动过程始终沿着滑道滑行,小滑块与滑道的动摩擦因数恒定,则( A)A.t1<t2B.t1=t2C.t1>t2D.无法比较t1,t2的大小解析:在AB段同一位置(或关于过最高点的竖直线对称的位置)处速度越大,对滑道的压力越小,所受摩擦力越小;在BC段同一位置(或关于过最低点的竖直线对称的位置)处速度越小,对滑道的压力越小,所受摩擦力越小.分析可知第一次滑块在及所受平均摩擦力较小,切向加速度较小,平均速率较大,由t=s可知t1<t2,A项正确.v4.(2018·浙江11月选考,9)一质量为2.0×103kg的汽车在水平公路上行驶,路面对轮胎的径向最大静摩擦力为1.4×104N,当汽车经过半径为80 m的弯道时,下列判断正确的是( D)A.汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力和向心力B.汽车转弯的速度为20 m/s时所需的向心力为1.4×104 NC.汽车转弯的速度为20 m/s时汽车会发生侧滑D.汽车能安全转弯的向心加速度不超过7.0 m/s2解析:汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力,向心力是指向圆心方向的合力,即由摩擦=1×104N,没有力充当向心力,A错误;当汽车转弯时速度为20 m/s,所需的向心力为F向=m2vR超过最大静摩擦力,汽车不会发生侧滑,B,C错误;汽车能安全转弯的向心加速度为=7.0 m/s2,D正确.a=m fm5.(2019·湖南衡阳二模)轻杆一端固定有质量为m=1 kg的小球,另一端安装在水平轴上,转轴到小球的距离为50 cm,转轴固定在电动机(电动机没画出来)的支架上,在电动机作用下,轻杆在竖直面内做匀速圆周运动,如图所示.若达到某一恒定转速n时,在最高点,杆受到小球的压力为2 N,重力加速度g取10 m/s2,则( C)A.小球运动到最高点时,小球需要的向心力为12 NB.小球运动到最高点时,线速度v=1 m/sC.小球运动到图示水平位置时,地面对支架的摩擦力为8 ND.把杆换成轻绳,同样转速的情况下,小球仍能通过图示的最高点解析:小球运动到最高点时,杆受到小球的压力为 2 N,由牛顿第三定律可知杆对小球的支持力N=2 N,在最高点,小球需要的向心力由重力和杆的支持力的合力提供,即F=mg-N=8 N,故A错误;在最高点,由F=m 2v r 得 m/s=2 m/s,故B 错误;小球运动到图示水平位置时,设杆对小球的拉力为T,则有T=m 2v r=8 N,则小球对杆的拉力T′=T=8 N,据题意知支架处于静止状态,由平衡条件可知地面对支架的摩擦力f=T′=8 N,故C 正确;把杆换成轻绳,设小球通过最高点的最小速度为v0,由mg=m 20v r得,v 0 m/s>v,所以在同样转速的情况下,小球不能通过图示的最高点,故D 错误.6.(2013·福建卷,20)如图,一不可伸长的轻绳上端悬挂于O 点,下端系一质量m=1.0 kg 的小球.现将小球拉到A 点(保持绳绷直)由静止释放,当它经过B 点时绳恰好被拉断,小球平抛后落在水平地面上的C 点.地面上的D 点与OB 在同一竖直线上,已知绳长L=1.0 m,B 点离地高度H=1.0 m,A,B 两点的高度差h=0.5 m,重力加速度g 取10 m/s 2,不计空气影响,求:(1)地面上DC 两点间的距离s;(2)轻绳所受的最大拉力大小.解析:(1)小球从A 到B 过程机械能守恒,满足 mgh=12m 2B v ①小球从B 到C 做平抛运动,则H=12gt 2②s=v B t③由①②③式解得s≈1.41 m.④(2)小球下摆到达B 点时,绳的拉力和重力的合力提供向心力,满足F-mg=m 2B v L ⑤ 由①⑤式解得F=20 N,由牛顿第三定律可知,轻绳所受的最大拉力为20 N.答案:(1)1.41 m (2)20 N。

第4讲 万有引力与航天微知识1 开普勒行星运动定律1．开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。

2．开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。

3．开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，表达式：a 3T2＝k 。

微知识2 万有引力定律 1．公式：F ＝Gm 1m 2r2，其中G ＝6.67×10－11_N·m 2/kg 2，叫引力常量。

2．公式适用条件：此公式适用于质点间的相互作用。

当两物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。

均匀的球体可视为质点，r 是两球心间的距离。

一个均匀球体与球外一个质点间的万有引力也适用，其中r 为球心到质点间的距离。

微知识3 卫星运行规律和宇宙速度 1．地球同步卫星的特点(1)轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合。

(2)周期一定：与地球自转周期相同，即T ＝24 h ＝86 400 s 。

(3)角速度一定：与地球自转的角速度相同。

(4)高度一定：据G Mm r 2＝m 4π2T 2r 得r ＝3GMT 24π2＝4.24×104km ，卫星离地面高度h ＝r －R ≈5.6R (为恒量)。

(5)速率一定：运动速度v ＝2πr /T ＝3.08 km/s(为恒量)。

(6)绕行方向一定：与地球自转的方向一致。

2．极地卫星和近地卫星(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。

(2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s 。

(3)两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心。

3．三种宇宙速度比较微知识4 经典时空观和相对论时空观 1．经典时空观(1)在经典力学中，物体的质量是不随速度的改变而改变的。

第4讲 万有引力与天体运动➢ 教材知识梳理一、开普勒三定律1．开普勒第一定律：所有的行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个________上．2．开普勒第二定律：对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的________相等．3．开普勒第三定律：所有行星的轨道的________的三次方跟________的二次方的比值都相等．二、万有引力定律1．内容：自然界中任何两个物体都互相吸引，引力的大小与物体的质量的乘积成________，与它们之间距离的二次方成________．2．公式：________(其中引力常量G ＝6.67×10－11 N ·m 2/kg 2)． 3．适用条件：公式适用于质点之间以及均匀球体之间的相互作用，对均匀球体来说，r 是两球心间的距离．三、天体运动问题的分析1．运动学分析：将天体或卫星的运动看成________运动．2．动力学分析：(1)万有引力提供________，即F 向＝G Mm r 2＝ma ＝m v 2r ＝mω2r ＝m 2πT2r .(2)在星球表面附近的物体所受的万有引力近似等于________，即G Mm r 2＝mg (g 为星球表面的重力加速度)．四、三个宇宙速度1．第一宇宙速度(环绕速度)：v 1＝7.9 km/s ，是人造地球卫星的________，也是人造卫星绕地球做匀速圆周运动的________．2．第二宇宙速度(逃逸速度)：v 2＝11.2 km/s ，是卫星挣脱地球引力束缚的________．3．第三宇宙速度：v 3＝16.7 km/s ，是卫星挣脱太阳引力束缚的________．答案：一、1.焦点 2.面积 3.半长轴 公转周期二、1.正比 反比 2.F ＝G m 1m 2r 2 三、1.匀速圆周 2.(1)向心力 (2)物体的重力四、1.最小发射速度 最大运行速度2．最小发射速度 3.最小发射速度【思维辨析】(1)牛顿利用扭秤实验装置比较准确地测出了引力常量．( )(2)两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大．( )(3)行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越小．( )(4)近地卫星距离地球最近，环绕速度最小．( )(5)地球同步卫星根据需要可以定点在北京正上空．( )(6)极地卫星通过地球两极，且始终和地球某一经线平面重合．( )(7)发射火星探测器的速度必须大于11.2 km/s.( )答案：(1)(×) (2)(×) (3)(√) (4)(×) (5)(×)(6)(×) (7)(√)【思维拓展】为了验证地面上的重力与地球吸引月球、太阳吸引行星的力是同一性质的力，遵守同样的规律，牛顿做了著名的“月－地”实验．请阐述“月－地”实验思路．答案：由于月球绕地球运行的周期T ＝27.3 d ≈2.36×106 s ，月球的轨道半径r ＝60R 地＝3.84×108 m ，故从运动学角度可计算出月球的向心加速度为a n1＝4π2T 2r ＝2.72×10－3 m/s 2① 牛顿设想，把一个物体放到月球轨道上，让它绕地球运行，地球对它的引力减小到F ，它的向心加速度减小到a n2，既然物体在地面上受到的重力G 和在月球轨道上运行时受到的引力F 都是来自地球引力，那么在引力与轨道半径的二次方成反比的关系成立的情况下，物体在月球轨道上的向心加速度a n2和在地面上的重力加速度g 的关系应为a n2g 地＝F G ＝R 2地r 2＝1602＝13600， 进而从动力学角度可计算出月球轨道上的向心加速度为a n2＝13600g 地＝2.72×10－3 m/s 2②①式与②式的计算结果完全一致，从而证明了物体在地面上所受重力与地球吸引月球的力是同一性质的力、遵循同样规律的上述设想．需要说明的是，月球绕地球的向心加速度a n2＝13600g 地与通常所说月球表面的重力加速度g 月＝16g 地并不矛盾． 已知M 地＝81M 月，R 地＝113R 月，r ＝60R 地，由天文学黄金代换公式GM ＝gR 2可知g 月g 地＝M 月R 2地M 地R 2月＝121729≈16， 即g 月＝16g 地③ 又有a n2＝GM 地r 2＝81GM 月3600R 2地＝81g 月R 2月3600×113R 月2≈1600g 月④ 由③、④式可得a n2＝13600g 地． ➢ 考点互动探究考点一 开普勒行星运动1 [2016·全国卷Ⅲ] 关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是( )A ．开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律B ．开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律C ．开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因D ．开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律 答案：B[解析] 开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律，牛顿在开普勒研究基础上结合自己发现的牛顿运动定律，发现了万有引力定律，指出了行星按照这些规律运动的原因，选项B 正确．(多选)[2016·武汉调研] 水星或金星运行到地球和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星凌日”．已知地球的公转周期为365天，若将水星、金星和地球的公转轨道视为同一平面内的圆轨道，理论计算得到水星相邻两次凌日的时间间隔为116天，金星相邻两次凌日的时间间隔为584天，则下列判断合理的是( )A ．地球的公转周期大约是水星的2倍B ．地球的公转周期大约是金星的1.6倍C ．金星的轨道半径大约是水星的3倍D ．实际上水星、金星和地球的公转轨道平面存在一定的夹角，所以水星或金星相邻两次凌日的实际时间间隔均大于题干所给数据答案：BD [解析] 设水星、地球、金星的公转周期分别为T 水、T 地和T 金，水星两次凌日时间差为t 水，金星两次凌日时间差为t 金，由题意可知，2πT 水－2πT 地t 水＝2π，2πT 金－2πT 地t 金＝2π，解得T 水＝88天，T 金＝225天，所以地球公转周期大约是水星公转周期的4倍，大约是金星公转周期的1.6倍，A 错误，B 正确；由开普勒第三定律可知，R 3金T 2金＝R 3水T 2水，解得R 金R 水＝32252882≈36.5<3，C 错误；理论上发生凌日时，金星(或水星)、地球、太阳三者共线，如果金星(或水星)公转转道与地球公转轨道存在一定夹角，此时并不能产生凌日现象，所以金星(或水星)相邻两次凌日的实际时间间隔应大于理论上的时间间隔，D 正确．■ 要点总结对开普勒行星运动定律的理解：(1)行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理，若按椭圆轨道处理，则利用其半长轴进行计算．(2)开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动．(3)开普勒第三定律a 3T2＝k 中，k 值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体对应的k 值不同．考点二 万有引力及其与重力的关系1.万有引力的特点：两个物体相互作用的引力是一对作用力和反作用力，它们大小相等，方向相反且沿两物体的连线，分别作用在两个物体上，其作用效果一般不同．2．万有引力的一般应用：主要涉及万有引力的基本计算、天体质量和密度的计算等．在这类问题的分析中应注意：(1)万有引力公式F ＝G m 1m 2r2中的r 应为两物体球心间距，如果某一物体内部存在球形空腔，则宜采取“割补法”分析；(2)对于万有引力提供向心力情景下的天体运动，根据万有引力定律和牛顿第二定律有G m 1m 2r 2＝m 1a ，且a ＝ω2r ＝v 2r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2r . 3．在地球或其他天体表面及某一高度处的重力加速度的计算：设天体表面重力加速度为g ，天体半径为R ，忽略天体自转，则有mg ＝G Mm R 2，得g ＝GM R 2或GM ＝gR 2；若物体距天体表面的高度为h ，则重力mg ′＝G Mm （R ＋h ）2，得g ′＝GM （R ＋h ）2＝R 2（R ＋h ）2g . ] 据报道，目前我国正在研制“萤火二号”火星探测器．探测器升空后，先在地球表面附近以线速度v 环绕地球飞行，再调整速度进入地火转移轨道，最后以线速度v ′在火星表面附近环绕火星飞行．若认为地球和火星都是质量分布均匀的球体，已知火星与地球的半径之比为1∶2，密度之比为5∶7.设火星与地球表面的重力加速度分别为g ′和g .下列结论正确的是( )A ．g ′∶g ＝1∶4B ．g ′∶g ＝7∶10C ．v ′∶v ＝528 D ．v ′∶v ＝514答案：C[解析] 在地球表面附近，万有引力等于重力，即G MmR 2＝mg ，解得g ＝GM R 2，在火星表面附近，万有引力等于重力，即G M ′m R ′2＝mg ′，解得g ′＝GM ′R ′2，又知M ＝ρV ＝ρ·43πR 3＝43ρπR 3，火星与地球密度之比ρ′∶ρ＝5∶7，半径之比R ′∶R ＝1∶2，联立解得g ′∶g ＝5∶14，选项A 、B 错误；探测器在火星表面附近环绕火星飞行的线速度与探测器在地球表面附近环绕地球飞行的线速度之比v ′∶v ＝g ′R ′gR ＝514·12＝528，选项C 正确，选项D 错误． 1 “神舟十一号”飞船于2016年10月17日发射，对接“天宫二号”．若飞船质量为m ，距地面高度为h ，地球质量为M ，半径为R ，引力常量为G ，则飞船所在处的重力加速度大小为( )A ．0 B.GM （R ＋h ）2 C.GMm （R ＋h ）2 D.GM h2 答案：B [解析] 由题意知，飞船处于完全失重状态，飞船所受的重力等于万有引力，即G Mm （R ＋h ）2＝mg ，约去m ，得B 正确． 2 (多选)[2016·新疆适应性检测] 月球是离地球最近的天体．已知月球质量为M ，半径为R ，引力常量为G ，若忽略月球的自转，则关于在月球表面所做的实验，以下叙述正确的是( ) A ．把质量为m 的物体竖直悬挂在弹簧测力计下，静止时弹簧测力计的示数为GMm R2B ．以初速度v 0竖直上抛一个物体，则物体经时间2πR GM落回原处C ．把羽毛和铁锤从同一高度同时释放，则铁锤先落地D ．用长为l 的细绳拴一质量为m 的小球在竖直平面内做圆周运动，则小球的最小动能为GMml 2R2 答案：AD [解析] 在月球表面，月球对物体的引力等于物体的重力，即mg ＝G Mm R 2，选项A 正确；在月球表面，g ＝G M R2，以初速度v 0竖直上抛的物体落回原处的时间为t ＝2v 0g ＝2v 0R 2GM，选项B 错误；月球周围没有空气阻力，羽毛和铁锤从同一高度被释放后，同时落地，选项C 错误；小球在竖直面内做圆周运动，在最高点时，若mg ＝m v 2l ，则其动能最小，为E k ＝12mv 2＝G Mml 2R2，选项D 正确． ■ 要点总结1．对万有引力和重力的关系要注意以下几点：(1)在地面上，忽略地球自转时，认为物体的向心力为零，各位置均有mg ≈GMm R2；(2)若考虑地球自转，对在赤道上的物体，有GMm R2－F N ＝F 向，其中F N 大小等于mg ，对处于南北两极的物体，则有GMm R2＝mg . 2．在地球上所有只在重力作用下的运动形式，如自由落体运动、竖直上抛运动、平抛运动、斜抛运动等，其运动规律和研究方法同样适用于在其他星球表面的同类运动的分析，只是当地重力加速度取值不同而已．考点三 天体质量及密度的计算1.利用(卫)行星绕中心天体做匀速圆周运动求中心天体的质量计算天体的质量和密度问题的关键是明确中心天体对它的卫星(或行星)的引力就是卫星(或行星)绕中心天体做匀速圆周运动的向心力．由G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，解得M ＝4π2r 3GT 2；ρ＝M V ＝M 43πR 3＝3πr 3GT 2R 3，R 为中心天体的半径，若为近地卫星，则R ＝r ，有ρ＝3πGT 2.由上式可知，只要用实验方法测出卫星(或行星)做圆周运动的半径r 及运行周期T ，就可以算出中心天体的质量M .若再知道中心天体的半径，则可算出中心天体的密度．2．利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R ，可得天体质量M ＝gR 2G ，天体密度ρ＝M V ＝M 43πR 3＝3g 4πGR . 3 [2016·济南模拟] “嫦娥五号”探测器预计2017年在中国文昌卫星发射中心发射升空，自动完成月面样品采集，并从月球起飞，返回地球，带回约2 kg 月球样品．某同学从网上得到一些信息，如下表中所示．根据表格中数据，可以计算出地球和月球的密度之比为( ) 月球半径 R 0A.3∶2 B ．2∶3 C ．4∶1 D ．6∶1 答案：A[解析] 在星球表面附近，万有引力等于重力，即G MmR 2＝mg ，解得星球质量M ＝gR 2G .地球和月球的质量之比M 地M 月＝g g 0·R 2R 20＝961，由密度公式ρ＝M V ，体积公式V ＝43πR 3，联立解得地球和月球的密度之比ρ地ρ月＝M 地M 月·R 30R 3＝32，选项A 正确． [2015·江苏卷] 过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b ”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕. “51 peg b ”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4 天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的120.该中心恒星与太阳的质量比约为( )A. 110B ．1C ．5D ．10答案：B [解析] 题中这颗行星绕其中心天体做圆周运动，其向心力是由中心天体与行星间的万有引力提供，即G M 中心m 行r 2行＝m 行ω2行r 行＝m 行4π2r 行T 2行，可得M 中心＝4π2r 3行GT 2行；同理，地球绕太阳运动，有M 太阳＝4π2r 3地GT 2地；那么，中心天体与太阳的质量之比为M 中心M 太阳＝4π2r 3行GT 2行4π2r 3地GT 2地＝⎝ ⎛⎭⎪⎫r 行r 地3·⎝ ⎛⎭⎪⎫T 地T 行2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1203·⎝ ⎛⎭⎪⎫36542≈1，选项B 正确．■ 规律总结天体质量和密度的估算问题是高考命题热点，解答此类问题时，首先要掌握基本方法(两个等式：①万有引力提供向心力；②天体表面物体受到的重力近似等于万有引力)，其次是记住常见问题的结论，主要分两种情况：(1)利用卫星的轨道半径r 和周期T ，可得中心天体的质量为M ＝4π2r 3GT2，并据此进一步得到该天体的密度ρ＝M V ＝M 43πR3＝3πr3GT 2R 3(R 为中心天体的半径)，尤其注意当r ＝R时，ρ＝3πGT2.(2)利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R ，可得天体质量M ＝gR 2G ，天体密度ρ＝M V ＝M 43πR3＝3g4πGR.热点四 宇宙速度 黑洞与多星系统 1.双星系统系统可视天体绕黑洞做圆周运动黑洞与可视天体构成的双星系统两颗可视星体构成的双星系统图示向心力的来源黑洞对可视天体的万有引力彼此给对方的万有引力彼此给对方的万有引力2.多星系统系统三星系统(正三角形排列)三星系统(直线等间距排列)四星系统图示向心力的来源另外两星球对其万有引力的合力另外两星球对其万有引力的合力另外三星球对其万有引力的合力4 [2015·安徽卷改编] 由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的作用，存在着一种运动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O 在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动(图4­12­1为A 、B 、C 三颗星体质量不相同时的一般情况)．若A 星体质量为2m ，B 、C 两星体的质量均为m ，三角形的边长为a ，则下列说法正确的是( )图4­12­1A ．A 星体所受合力大小F A ＝2G m 2a 2B ．B 星体所受合力大小F B ＝7G m 2a2C ．C 星体的轨道半径R C ＝72aD ．三星体做圆周运动的周期T ＝2πa 3GM答案：B[解析] 由万有引力定律可知，A 星体所受B 、C 星体的引力大小为F BA ＝G m A m B r 2＝G 2m 2a 2＝F CA ，方向如图所示，则合力大小为F A ＝23G m 2a 2；同理，B 星体所受A 、C 星体的引力大小分别为F AB ＝G m A m B r 2＝G 2m 2a 2，F CB ＝G m C m B r 2＝G m 2a 2，方向如图所示，由F Bx ＝F AB cos 60°＋F CB ＝2G m 2a2，F By ＝F AB sin 60°＝3G m 2a 2，可得F B ＝F 2Bx ＋F 2By ＝7G m 2a2；通过分析可知，圆心O 在中垂线AD 的中点，R C ＝34a 2＋12a 2，可得R C ＝74a ；三星体运动周期相同，对C 星体，由F C ＝F B ＝7G m 2a 2＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2R C ，可得T ＝πa 3Gm，只有选项B 正确． 多选)[2016·武汉武昌区调研] 太空中存在一些离其他恒星很远的、由三颗星体组成的三星系统，可忽略其他星体对它们的引力作用．已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是直线三星系统——三颗星体始终在一条直线上；另一种是三角形三星系统——三颗星体位于等边三角形的三个顶点上．已知某直线三星系统A 每颗星体的质量均为m ，相邻两颗星体中心间的距离都为R ；某三角形三星系统B 的每颗星体的质量恰好也均为m ，且三星系统A 外侧的两颗星体与三星系统B 每颗星体做匀速圆周运动的周期相等．引力常量为G ，则( )A ．三星系统A 外侧两颗星体运动的线速度大小为v ＝Gm RB ．三星系统A 外侧两颗星体运动的角速度大小为ω＝12R 5GmRC ．三星系统B 的运动周期为T ＝4πRR 5GmD ．三星系统B 任意两颗星体中心间的距离为L ＝3125R答案：BCD[解析] 三星系统A 中，三颗星体位于同一直线上，外侧两颗星体围绕中央星体在半径为R 的同一圆轨道上运行，外侧的其中一颗星体由中央星体和另一颗外侧星体的万有引力的合力提供向心力，有G m 2R 2＋G m 2（2R ）2＝m v 2R，解得v ＝5Gm4R，A 错误；三星系统A 中，周期T ＝2πRv＝4πRR 5Gm ，则其角速度为ω＝2πT ＝12R5GmR，B 正确；由于两种系统周期相等，即T ＝4πRR5Gm，C 正确；三星系统B 中，三颗星体位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，对其中一颗星体，由万有引力定律和牛顿第二定律，有2Gm 2L 2cos 30°＝m L 2cos 30°4π2T2，解得L＝3125R，D正确．[2016·兰州诊断考试] 北京时间2016年2月1日23∶40左右，激光干涉引力波天文台(LIGO)负责人宣布，人类首次发现了引力波．它来源于距地球之外13亿光年的两个黑洞(质量分别为26个和39个太阳质量)互相绕转最后合并的过程．合并前两个黑洞互相绕转形成一个双星系统，关于此双星系统，下列说法正确的是( )A．两个黑洞绕行的角速度相等B．两个黑洞绕行的线速度相等C．两个黑洞绕行的向心加速度相等D．质量大的黑洞旋转半径大答案：A [解析] 对于两个黑洞互相绕转形成的双星系统，其角速度ω相等，周期相等，选项A正确；由于两个黑洞的质量不等，两个黑洞旋转的半径不等，质量较小的黑洞旋转半径较大，质量较大的黑洞旋转半径较小，选项D错误；由v＝ωr可知，两个黑洞绕行的线速度不等，质量小的黑洞线速度较大，选项B错误；两个黑洞绕行时其向心力由两个黑洞之间的万有引力提供，向心力相等，而由于两个黑洞的质量不等，由牛顿第二定律可知，两个黑洞绕行的向心加速度不等，质量较小的黑洞向心加速度较大，选项C错误．■ 方法技巧多星问题的解题技巧(1)挖掘一个隐含条件：在圆周上运动天体的角速度(或周期)相等．(2)重视向心力来源分析：双星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，三星或多星做圆周运动，向心力往往是由多个星的万有引力的合力提供．(3)区别两个长度关系：圆周运动的轨道半径和万有引力公式中两天体的距离是不同的，不能误认为一样．【教师备用习题】1．[2013·福建卷] 设太阳质量为M ，某行星绕太阳公转周期为T ，轨道可视作半径为r 的圆．已知引力常量为G ，则描述该行星运动的上述物理量满足( )A ．GM ＝4π2r3T 2B ．GM ＝4π2r2T 2 C ．GM ＝4π2r2T3 D ．GM ＝4πr3T2[解析] A 行星绕太阳公转，由万有引力提供向心力，即G Mmr2＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2r ，解得GM ＝4π2r3T2，A 正确．2．“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为200 km 的圆形轨道上运行，运行周期为127 min.已知引力常量G ＝6.67×10－11N ·m 2/kg 2，月球半径约为1.74×103km ，利用以上数据估算出月球的质量约为( )A ．8.1×1010kg B ．7.4×1013kg C ．5.4×1019kg D ．7.4×1022kg[解析] D 由万有引力充当向心力，有G Mm （r ＋h ）2＝m 4π2T 2(r ＋h )，可得月球质量M ＝4π2（r ＋h ）3GT2＝7.4×1022kg ，选项D 正确．3．我国志愿者王跃曾与俄罗斯志愿者一起进行“火星­500”的实验活动．假设王跃登陆火星后，测得火星的半径是地球半径的12，火星的质量是地球质量的19.已知地球表面的重力加速度为g ，地球的半径为R ，王跃在地面上能向上竖直跳起的最大高度为h ，忽略自转的影响，引力常量为G ，下列说法正确的是( )A ．火星的密度为2g3πGRB ．火星表面的重力加速度是29gC ．火星的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比为23D ．王跃以与在地球上相同的初速度在火星上起跳后，能达到的最大高度是92h[解析] A 对地球表面上质量为m 的物体，由牛顿第二定律，有G Mm R 2＝mg ，则M ＝gR 2G ，火星的密度为ρ＝19M 4π3⎝ ⎛⎭⎪⎫R 23＝2g3πGR ，选项A 正确；对火星表面上质量为m ′的物体，由牛顿第二定律，有GM9m ′R 22＝m ′g ′，则g ′＝49g ，选项B 错误；火星的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比v ′1v 1＝g ′R2gR＝23，选项C 错误；王跃跳高时，分别有h ＝v 202g 和h ′＝v 202g ′，所以在火星上能达到的最大高度为94h ，选项D 错误． 4．[2014·北京卷] 万有引力定律揭示了天体运行规律与地上物体运动规律具有内在的一致性．(1)用弹簧秤称量一个相对于地球静止的小物体的重量，随称量位置的变化可能会有不同的结果．已知地球质量为M ，自转周期为T ，万有引力常量为G .将地球视为半径为R 、质量均匀分布的球体，不考虑空气的影响．设在地球北极地面称量时，弹簧秤的读数是F 0.① 若在北极上空高出地面h 处称量，弹簧秤读数为F 1，求比值F 1F 0的表达式，并就h ＝1.0%R 的情形算出具体数值(计算结果保留两位有效数字)；② 若在赤道地面称量，弹簧秤读数为F 2，求比值F 2F 0的表达式．(2)设想地球绕太阳公转的圆周轨道半径r 、太阳的半径R s 和地球的半径R 三者均减小为现在的1.0%，而太阳和地球的密度均匀且不变．仅考虑太阳和地球之间的相互作用，以现实地球的1年为标准，计算“设想地球”的1年将变为多长．[答案] (1)①F 1F 0＝R 2（R ＋h ）20.98②F 2F 0＝1－4π2R 3GMT 2(2)1年[解析] (1)设小物体质量为m . ①在北极地面G MmR2＝F 0 在北极上空高出地面h 处G Mm （R ＋h ）2＝F 1 F 1F 0＝R 2（R ＋h ）2当h ＝1.0%R 时F 1F 0＝11.012≈0.98. ②在赤道地面，小物体随地球自转做匀速圆周运动，受到万有引力和弹簧秤的作用力，有G Mm R 2－F 2＝m 4π2T 2R 得F 2F 0＝1－4π2R 3GMT 2. (2)地球绕太阳做匀速圆周运动，受到太阳的万有引力，设太阳质量为M S ，地球质量为M ，地球公转周期为T E ，有G M S M r 2＝Mr 4π2T 2E得T E ＝4π2r 3GM S ＝3πr 3G ρR 3S .其中ρ为太阳的密度．由上式可知，地球公转周期T E 仅与太阳的密度、地球公转轨道半径与太阳半径之比有关．因此“设想地球”的1年与现实地球的1年时间相同．5．石墨烯是近些年发现的一种新材料，其超高强度及超强导电、导热等非凡的物理化学性质有望使21世纪的世界发生革命性的变化，其发现者由此获得2010年诺贝尔物理学奖．用石墨烯制作超级缆绳，人类搭建“太空电梯”的梦想有望在本世纪实现．科学家们设想，通过地球同步轨道站向地面垂下一条缆绳至赤道基站，电梯舱沿着这条缆绳运行，如图所示，实现外太空和地球之间便捷的物资交换．(1)若“太空电梯”将货物从赤道基站运到距地面高度为h 1的同步轨道站，求轨道站内质量为m 1的货物相对地心运动的动能．设地球自转角速度为ω，地球半径为R .(2)当电梯舱停在距地面高度h 2＝4R 的站点时，求舱内质量m 2＝50 kg 的人对水平地板的压力大小．地面附近重力加速度g 取10 m/s 2，地球自转角速度ω＝7.3×10－5 rad/s ，地球半径R ＝6.4×103km.[答案] (1)12m 1ω2(R ＋h 1)2 (2)11.5 N [解析] (1)设货物相对地心的距离为r 1，线速度为v 1，则 r 1＝R ＋h 1v 1＝r 1ω货物相对地心的动能为E k ＝12m 1v 21 联立解得E k ＝12m 1ω2(R ＋h 1)2. (2)设地球质量为M ，人相对地心的距离为r 2，向心加速度为a n ，受地球的万有引力为F ，则r 2＝R ＋h 2a n ＝ω2r 2F ＝GMm 2r 22g ＝GM R 2 设水平地板对人的支持力大小为F N ，人对水平地板的压力大小为F ′N ，则F －F N ＝m 2a nF′N＝F N联立解得N′＝11.5 N.。

第4节 万有引力与航天一、开普勒行星运动定律 1．开普勒第一定律所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。

2．开普勒第二定律对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。

3．开普勒第三定律所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，表达式：a 3T＝k 。

二、万有引力定律 1．内容(1)自然界中任何两个物体都相互吸引。

(2)引力的方向在它们的连线上。

(3)引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比、与它们之间距离r 的二次方成反比。

2．表达式F ＝G m 1m 2r，其中G 为引力常量，G ＝6.67×10－11 N·m 2/kg 2，由卡文迪许扭秤实验测定。

3．适用条件(1)两个质点之间的相互作用。

(2)对质量分布均匀的球体，r 为两球心间的距离。

三、宇宙速度 1．三种宇宙速度比较 宇宙速度 数值(km/s)意义第一宇宙速度 7.9 地球卫星最小发射速度(环绕速度)第二宇宙速度11.2物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度(脱离速度)第三宇宙速度 16.7物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度(逃逸速度)(1)由G Mm R 2＝m v 2R 得v ＝GMR。

(2)由mg ＝m v 2R得v ＝gR 。

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)地面上的物体所受地球的引力方向一定指向地心。

(√)(2)两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大。

(×) (3)开普勒第三定律a 3T2＝k 中k 值与中心天体质量无关。

(×) (4)第一宇宙速度与地球的质量有关。

(√) (5)地球同步卫星的运行速度大于第一宇宙速度。

(×)2．(教科版必修2P 44T 2改编)火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知( )A ．太阳位于木星运行轨道的中心B ．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等C ．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方D ．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积 C [太阳位于木星运行轨道的一个焦点上，A 错误；不同的行星对应不同的运行轨道，运行速度大小也不相同，B 错误；同一行星与太阳连线在相等时间内扫过的面积才能相同，D 错误；由开普勒第三定律得r 3火T 2火＝r 3木T 2木，故T 2火T 2木＝r 3火r 3木，C 正确。

权掇市安稳阳光实验学校第五节 航天问题一、三种宇宙速度比较宇宙速度 数值(km /s )意义第一宇宙速度 (最大环绕速度)7.9这是卫星绕地球做圆周运动的最大环绕速度，也是发射卫星的最小发射速度，若7.9 km /s ≤v 发＜11.2 km /s ，物体绕______运行第二宇宙速度(脱离速度)11.2这是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，若11.2 km /s ≤v 发＜16.7 km /s ，物体绕______运行第三宇宙速度(逃逸 速度)16.7这是物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，若v 发≥16.7 km /s ，物体将脱离______________在宇宙空间运行二、人造卫星1．人造卫星的动力学特征万有引力提供向心力，即G Mm r 2＝m v 2r ＝mrω2＝m(2T π)2r 。

2.人造卫星的运动学特征(1)线速度v ：v ＝________，随着轨道半径的增大，卫星的线速度减小。

(2)角速度ω：ω＝________，随着轨道半径的增大，卫星的角速度减小。

(3)周期T ：T ＝________，随着轨道半径的增大，卫星的周期增大。

3.地球同步卫星的特点(1)轨道平面一定：____________________。

(2)周期一定：与地球______________，即T ＝24 h ＝86 400 s 。

(3)角速度一定：与地球自转的__________。

(4)高度一定：据G 2Mmr＝m 224T πr 得r 2324GMT π4km ，卫星离地面高度h ＝r －R≈6R(为恒量)。

(5)速率一定：运动速度v ＝2πr/T ＝3.07 km /s (为恒量)。

(6)绕行方向一定：与地球自转的__________。

4.极地卫星和近地卫星(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。

(2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于__________，其运行线速度约为7.9 km /s 。

一、教学目标1. 理解曲线运动的概念及其分类，掌握曲线运动的速度、加速度等物理量的关系。

2. 掌握万有引力定律及其应用，理解引力势能的概念。

3. 熟悉航天技术的基本原理，了解航天器在曲线运动中的受力分析。

4. 培养学生运用物理知识解决实际问题的能力，提高学生的科学思维和实验技能。

二、教学内容1. 曲线运动的概念及其分类2. 曲线运动的速度、加速度关系3. 万有引力定律及其应用4. 引力势能的概念及其计算5. 航天技术的基本原理及曲线运动在航天中的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：曲线运动的概念及其分类曲线运动的速度、加速度关系万有引力定律及其应用引力势能的概念及其计算航天技术的基本原理及曲线运动在航天中的应用2. 教学难点：曲线运动的速度、加速度关系的推导和应用引力势能的计算及实际应用航天器在曲线运动中的受力分析和轨道计算四、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过自主学习、合作探讨，解决曲线运动、万有引力与航天中的实际问题。

2. 利用多媒体课件、动画等教学资源，生动展示曲线运动、万有引力与航天相关的物理现象，提高学生的学习兴趣。

3. 结合实验教学，让学生亲身体验和观察曲线运动的特点，加深对曲线运动物理概念的理解。

五、教学过程1. 导入新课：通过展示航天器曲线运动的视频，引发学生对曲线运动、万有引力与航天的兴趣，引出本节课的主题。

2. 知识讲解：讲解曲线运动的概念及其分类，引导学生掌握曲线运动的基本特征。

推导曲线运动的速度、加速度关系，并通过实例进行分析。

讲解万有引力定律的发现过程，引导学生理解万有引力的概念及其应用。

引入引力势能的概念，讲解其计算方法及实际应用。

3. 案例分析：分析航天器在曲线运动中的受力情况，引导学生运用万有引力定律解决实际问题。

4. 课堂互动：组织学生进行小组讨论，探讨航天器曲线运动中的受力分析和轨道计算方法。

5. 总结与作业：对本节课的内容进行总结，布置相关习题，巩固所学知识。

第1讲 曲线运动 运动的合成与分解[高考备考导航]知识内容学科素养考向指导1.运动的合成与分解 (1)运动与相互作用观念 1.考题难度：难度中等，选择题居多，计算题较少。

2.常考热点：运动的合成与分解，平抛运动规律，圆周运动规律，万有引力定律及应用等为基础考点；与牛顿运动定律、功能关系、能量守恒定律、电磁学结合为综合考点。

3.常用物理思想方法：合成与分解法、独立性原理、图象法、数理结合法等。

2.抛体运动(2)科学推理3.匀速圆周运动、角速度、线速度、向心加速度，离心现象运动与相互作用观念4.匀速圆周运动的向心力(1)运动与相互作用观念(2)科学推理5.万有引力定律及其应用(1)运动与相互作用观念(2)科学推理6.环绕速度，第二宇宙速度和第三宇宙速度 运动与相互作用观念7.经典时空观和相对论时空观运动观念8.实验一：探究平抛运动的特点科学探究9.实验二：探究影响向心力大小的因素科学探究第1讲 曲线运动 运动的合成与分解知识排查知识点一 曲线运动1.速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向。

如图1所示的曲线运动，v A 、v C 的方向与v 的方向相同，v B 、v D 的方向与v 的方向相反。

图12.运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动。

3.曲线运动的条件知识点二运动的合成与分解1.基本概念(1)运动的合成：已知分运动求合运动。

(2)运动的分解：已知合运动求分运动。

2.分解原则：根据运动的实际效果分解，也可采用正交分解。

3.遵循的规律：位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则。

小题速练1.思考判断(1)两个直线运动的合运动一定是直线运动。

( )(2)曲线运动可能是匀变速运动。

( )(3)做曲线运动的物体，所受合外力的方向一定指向曲线的凹侧。

( )(4)做曲线运动的物体受到的合外力一定是变力。

( )(5)两个分运动的时间一定与它们合运动的时间相等。

第4节 万有引力与航天一、开普勒行星运动定律定律 内容图示或公式开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳位于椭圆的一个焦点上开普勒第二定律(面积定律) 太阳与任何一个行星的连线(矢径)在相等的时间内扫过的面积相等开普勒第三定律(周期定律)行星绕太阳运行轨道半长轴r 的立方与其公转周期T 的平方成正比32r T =k,k 是一个与行星无关的常量二、万有引力定律 1.内容自然界中任何两个物体都是相互吸引的,引力的方向沿两物体的连线,引力的大小F 与这两个物体质量的乘积m 1m 2成正比,与这两个物体间距离r 的平方成反比. 2.表达式F=122m m G r ,G 为引力常量,其值为G=6.67×10-11N·m 2/kg 2.3.适用条件(1)公式适用于质点间的相互作用.当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时,物体可视为质点.(2)质量分布均匀的球体可视为质点,r 是两球心间的距离.自 主探 (1)应用公式F=122m m G r 可讨论或计算万有引力的大小,若两物体间距r→0时,万有引力F 为无穷大吗?(2)如图所示,太阳对行星的引力为F,行星对太阳的引力为F′,太阳的质量远大于行星三、宇宙速度 1.三种宇宙速度2.第一宇宙速度的计算方法(1)由G 2Mm R=m 2vR得.(2)由mg=m 2v R得四、经典时空观、相对论时空观和高速世界的两个基本原理 1.经典时空观(1)在经典力学中,物体的质量是不随速度的改变而改变的. (2)在经典力学中,同一物理过程的位移和时间的测量在不同的参考系中是相同的. 2.相对论时空观同一过程的位移、时间和质量的测量与参考系有关,在不同的参考系中结果不同.3.高速世界的两个基本原理(1)相对性原理:所有物理规律在一切惯性参考系中都具有相同的形式.(2)光速不变原理:在一切惯性参考系中,测量到的真空中的光速c 都一样.4.经典力学的适用范围只适用于低速运动,不适用于高速运动;只适用于宏观世界,不适用于微观世界. 1.思考判断(1)地面上的物体所受地球引力的大小均由F=G 122m m r 决定,其方向总是指向地心.( √ )(2)开普勒第三定律32rT =k 中k 值与中心天体质量无关.( × )(3)同步卫星的运行速度一定小于地球第一宇宙速度.( √ ) (4)行星在椭圆轨道上运行速率是变化的,离太阳越远,运行速率越小.( √ )(5)发射速度大于7.9 km/s,小于11.2 km/s 时,人造卫星围绕地球沿椭圆轨道运动.( √ ) 2.土星最大的卫星叫“泰坦”(如图),每16天绕土星一周,其公转轨道半径约为 1.2×106km,已知引力常量G=6.67×10-11N·m 2/kg 2,则土星的质量约为( B ) A.5×1017kg B.5×1026 kg C.7×1033kg D.4×1036kg解析:土星的引力提供卫星做圆周运动的向心力,设土星质量为M,则有2GMmR =mR,解得M=2324πR GT ,将相关数据代入得M≈5×1026kg,故B正确. 3.中国北斗卫星导航系统(BDS)是中国自行研制的全球卫星导航系统,是继美国全球定位系统(GPS)、俄罗斯格洛纳斯卫星导航系统(GLONASS)之后第三个成熟的卫星导航系统.预计2020年左右,北斗卫星导航系统将形成全球覆盖能力.如图所示是北斗导航系统中部分卫星的轨道示意图,已知a,b,c 三颗卫星均做圆周运动,a 是地球同步卫星,则( A )A.卫星a 的角速度小于c 的角速度B.卫星a 的加速度大于b 的加速度C.卫星a 的运行速度大于第一宇宙速度D.卫星b 的周期大于24 h解析:由题图可知,r a =r b >r c ,根据万有引力提供向心力有2GMm r =2mv r=mrω2=224πmr T =ma,则v=,ω=,T=,a=2GM r,故ωa <ωc ,a a =a b ,T b =T a =24 h,故A 正确,B,D 错误;a 的轨道半径大于地球半径,因此卫星a 的运行速度小于第一宇宙速度,选项C 错误.考点一 开普勒行星运动定律的理解与应用1.行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理.2.开普勒行星运动定律也适用于其他天体,例如月球、卫星绕地球的运动等.3.在开普勒第三定律32rT =k 中,k 值只与中心天体的质量有关,不同的中心天体k 值不同.[例1] 火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行,根据开普勒行星运动定律可知( C )A.太阳位于木星运行轨道的中心B.火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等C.火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方D.相同时间内,火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积解析:木星绕太阳运行的轨道为椭圆轨道,故太阳应位于其椭圆轨道的一个焦点上,A 项错误;由于火星和木星在不同的轨道上,且是椭圆轨道,速度大小变化,火星和木星的运行速度大小不一定相等,B 项错误;由开普勒第三定律可知,同一中心天体32R T 火火=32R T 木木=k,即22T T 火木=33R R 火木,C 项正确;开普勒第二定律是指,对同一行星而言,它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积,D项错误.[针对训练](2019·宁夏石嘴山模拟)2018年2月12日,我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭,以“一箭双星”方式成功发射第二十八、二十九颗北斗导航卫星.发射过程中“北斗”28星的某一运行轨道为椭圆轨道,周期为T0,如图所示.则( C)A.“北斗”28星的发射速度小于第一宇宙速度B.“北斗”28星在A→B→C的过程中,速率逐渐变大TC.“北斗”28星在A→B过程所用的时间小于04D.“北斗”28星在B→C→D的过程中,万有引力对它先做正功后做负功解析:绕地球运行的卫星,其发射速度都大于第一宇宙速度,故A错误;根据开普勒第二定律,卫星在A→B→C的过程中,卫星与地球的距离增大,速率逐渐变小,故B错误;卫星在A→C的过程中所用的时T,由于卫星在A→B→C的过程中,速率逐渐变小,A→B与B→C 间是02T,故C正确;卫的路程相等,所以卫星在A→B过程所用的时间小于04星在B→C→D的过程中,万有引力方向先与速度方向成钝角,过了C 点后与速度方向成锐角,所以万有引力对它先做负功后做正功,故D 错误.考点二万有引力定律的理解与应用1.万有引力与重力的关系地球对物体的万有引力F 表现为两个效果:一是重力mg,二是提供物体随地球自转的向心力F 向,如图所示. (1)在赤道上:G 2Mm R=mg 1+m ω2R.(2)在两极上:G 2Mm R=mg 2.(3)在一般位置:万有引力G 2Mm R等于重力mg 与向心力F 向的矢量和.越靠近南北两极g 值越大,由于物体随地球自转所需的向心力较小,常认为万有引力近似等于重力,即2GMm R=mg.2.天体表面重力加速度的计算(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转):mg=G 2Mm R,得g=2GM R.(2)在地球上空距离地心r=R+h 处的重力加速度为g′,mg′=2()GMmR h +,得g′=2()GM R h +,所以g g '=22()R h R +.3.有关万有引力的两个推论推论Ⅰ:在匀质球壳的空腔内任意位置处,质点受到球壳的万有引力的合力为零.推论Ⅱ:如图所示,在匀质球体内部距离球心r 处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r 的同心球体(M′)对它的引力,即F=G 2M mr'.[例2](多选)如图所示,三颗质量均为m 的地球同步卫星等间隔分布在半径为r 的圆轨道上,设地球质量为M,半径为R.下列说法正确的是( BC )A.地球对一颗卫星的引力大小为2()GMmr R -B.一颗卫星对地球的引力大小为2GMm rC.两颗卫星之间的引力大小为223Gm r D.三颗卫星对地球引力的合力大小为23GMm r解析:地球与卫星之间的距离应为地心与卫星之间的距离,选项A 错误,B 正确;两颗相邻卫星与地球球心的连线互成120°角,间距为3r,代入数据得,两颗卫星之间引力大小为223Gm r,选项C 正确;三颗卫星对地球引力的合力为零,选项D 错误.[针对训练] 某星球的质量约为地球的9倍,半径约为地球的三分之一,若从地球上高h 处平抛一物体,射程为 63 m,则在该星球上,从同样高度,以同样的初速度平抛同一物体,射程应为( C ) A.189 m B.21 m C.7 m D.567 m解析:设地球质量为M,半径为R,表面重力加速度为g.则在地球表面G 2Mm R =mg,在星球表面G 2M mR ''=mg′,即G 291(R)3Mm=mg′,解得g′=81g.根据平抛规律,在地球上x=v 0t=v 02h g.在星球上x′=v 0t′=v 02h g '=v 0281h g .所以x′=19x=7 m,故C 项正确.考点三 中心天体的质量和密度的估算1.中心天体质量和密度的计算方法方法 已知量利用公式 表达式备注利用运行天体r,TG2Mmr = mrM=2324πr GT 只能得到中心天体的质量r,vG2Mmr = m 2v rM=2rv Gv,TG2Mmr = m 2v r, G2Mmr = mrM=32πv T G利用天体 表面重力 加速度g,Rmg=2GMm RM=2gR G—利用运 行天体r,T, RG 2Mm r= mr, M=ρ·43πR 3ρ=3233πr GT R当r=R 时ρ=23πGT 利用近地卫星只需测出其运行周期利用天体 表面重力 加速度g,Rmg=2GMmR M=ρ·43πR 3ρ=3g4πGR—2.估算天体问题应注意三点(1)天体质量估算中常有隐含条件,如地球的自转周期为24 h,公转周期为365天等.(2)若已知地球表面重力加速度时,注意黄金代换式GM=gR 2的应用.(3)注意密度关系式ρ=23πGT 中的T 是近地卫星的周期.[例3] (多选)利用引力常量G 和下列有关数据,能计算出地球质量的是( ABC )A.地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转)B.人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期C.月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离D.地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离解析:A 项,因为不考虑地球的自转,所以相对地面静止的某一物体的万有引力等于重力,即2mGMR 地=mg,得M 地=2gR G,能求出地球的质量;B 项,根据2GM m R 卫地=m卫2v R和T=2πR v,得M 地=3T2πv G,可求出地球的质量;C 项,根据2GM m r 月地=m 月r,得M地=2324πr GT ,可求出地球的质量;D 项,根据20GM M r 太地=M 地r 02204πT ,得M 太=23024πr GT ,可求出太阳的质量,但不能求出地球质量.故A,B,C 正确,D 错误.[针对训练] (多选)公元2100年,航天员准备登陆木星,为了更准确了解木星的一些信息,到木星之前做一些科学实验,当航天器与木星表面相对静止时,航天员对木星表面发射一束激光,经过时间t,收到激光传回的信号,测得相邻两次看到日出的时间间隔是T,测得航天员所在航天器的速度为v,已知引力常量G,激光的速度为c,则( AD ) A.木星的质量M=3T2πv GB.木星的质量M=2332π2c tGTC.木星的密度ρ=23πGTD.木星的密度ρ=333πT(π)v G vT ct -解析:由题意知,航天器到木星表面的距离h=2ct ,航天器绕木星运动的周期为T,根据v=2πr T 可得,航天器的轨道半径r=2πvT ,根据万有引力提供向心力,有2GMm r =m 2v r ,得M=3T 2πv G,故A 正确,B 错误;木星的半径R=r-h=2πvT-2ct ,所以木星的密度ρ=M V=34π3MR =333πT (π)v G vT ct -,故C 错误,D 正确.考点四 卫星的运行规律1.卫星的各物理量随轨道半径变化的规律2.卫星运动中的机械能(1)只在万有引力作用下,卫星绕中心天体做匀速圆周运动和沿椭圆轨道运动,机械能均守恒,这里的机械能包括卫星的动能和卫星(与中心天体)的重力势能.(2)质量相同的卫星,圆轨道半径越大,动能越小,势能越大,机械能越大. [例4]如图所示,A 为近地气象卫星,B 为远地通讯卫星,假设它们都绕地球做匀速圆周运动.已知地球半径为R,卫星A 距地面高度可忽略不计,卫星B 距地面高度为h,不计卫星间的相互作用力.则下列说法正确的是( D )A.若两卫星质量相等,发射卫星B 需要的能量少B.卫星A 与卫星B运行周期之比为33()R R h +C.卫星A 与卫星B 运行的加速度大小之比为R hR +D.卫星A 与卫星B 解析:若两卫星质量相等,圆轨道半径越大,卫星所具有的机械能越大,所以发射卫星B 需要的能量大,选项A 错误;根据开普勒第三定律可知,所有行星的轨道的半长轴的立方跟它的公转周期的平方的比值都相等,即卫星A 与卫星B 故B 错误;由2GMm R =ma,则a=2GMR,所以卫星A 与卫星B 运行的加速度大小之比为22()R h R +,故C 错误;由2GMm R=2mvR ,得卫星A 与卫星B 运行速度所以D 正确.[针对训练]我国首颗量子科学实验卫星于2016年8月16日1点40分成功发射.量子卫星成功运行后,我国在世界上首次实现卫星和地面之间的量子通信,构建天地一体化的量子保密通信与科学实验体系.假设量子卫星轨道在赤道平面,如图所示.已知量子卫星的轨道半径是地球半径的m 倍,同步卫星的轨道半径是地球半径的n 倍,图中P 点是地球赤道上一点,由此可知( D )A.同步卫星与量子卫星的运行周期之比为33nmB.同步卫星与P 点的速度之比为1nC.量子卫星与同步卫星的速度之比为nmD.量子卫星与P解析:由开普勒第三定律33R R 同量=22T T 同量可知,T T 同量选项A 错误;由于同步卫星的周期与地球自转周期相同,由v=rω=2πr T可得,v同∶v P =n∶1,选项B 错误;由G2Mm r =m 2v r 得则v v 量同,选项C 错误;量子卫星与P 点的速度之比P v v 量=v v 量同·Pv v 同选项D 正确.1.(2015·福建卷,14)如图,若两颗人造卫星a 和b 均绕地球做匀速圆周运动,a,b 到地心O 的距离分别为r 1,r 2,线速度大小分别为v 1,v 2,则( A )A.12v vB.12vv C.12v v =(21r r ) 2 D.12v v =(12r r )2解析:万有引力提供卫星绕地球做匀速圆周运动的向心力,有G2Mm r =m 2v r ,所以12v v 项正确.2.(2019·全国Ⅱ卷,14)2019年1月,我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆,在探测器“奔向”月球的过程中,用h 表示探测器与地球表面的距离,F 表示它所受的地球引力,能够描述F 随h 变化关系的图象是( D )解析:根据万有引力定律可得F=2()GMmR h ,探测器与地球表面的距离h 越大,它所受的地球引力F 越小,故D 正确.3.(2019·全国Ⅲ卷,15)金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动,它们的向心加速度大小分别为a 金,a 地,a 火,它们沿轨道运行的速率分别为v 金,v 地,v 火.已知它们的轨道半径R 金<R 地<R 火,由此可以判定( A )A.a 金>a 地>a 火B.a 火>a 地>a 金C.v 地>v 火>v 金D.v 火>v 地>v 金解析:金星、地球和火星绕太阳做匀速圆周运动的向心力由万有引力提供,由G 2Mm R=ma 可知,轨道半径越小,向心加速度越大,故A 正确,B 错误;由G 2MmR =m 2v R 得,可知轨道半径越小,运行速率越大,故C,D 错误.4.(2018·全国Ⅱ卷,16)2018年2月,我国500 m 口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318+0253”,其自转周期T=5.19 ms.假设星体为质量均匀分布的球体,已知万有引力常量为6.67×10-11N·m 2/kg 2.以周期T 稳定自转的星体的密度最小值约为( C ) A.5×109 kg/m 3 B.5×1012 kg/m 3C.5×1015 kg/m 3D.5×1018 kg/m 3解析:设脉冲星的质量为M,半径为r,密度为ρ,假设有一质量为m 的物体在脉冲星表面随脉冲星的自转而转动,物体所需的最大向心力为mr,则必须满足万有引力G 2Mm r≥mr,否则脉冲星将由于自转而瓦解.又知M=ρ·43πr 3,解得ρ≥5.2×1015 kg/m 3.故选项C 正确.5.(2019·河南南阳模拟)(多选)轨道平面与赤道平面夹角为90°的人造地球卫星被称为极地轨道卫星,它运行时能到达南北极的上空,需要在全球范围内进行观测和应用的气象卫星、导航卫星等都采用这种轨道.如图所示,若某颗极地轨道卫星从北纬45°的正上方按图示方向首次运行到南纬45°的正上方用时45分钟,则( AC ) A.该卫星的运行速度一定小于7.9 km/sB.该卫星绕地球运行的周期与地球同步卫星的周期之比为1∶4C.该卫星的轨道半径与地球同步卫星的轨道半径之比为1∶4D.该卫星的加速度与地球同步卫星的加速度之比为2∶1解析:由于卫星的轨道半径大于地球半径,所以卫星的线速度一定小于第一宇宙速度,即卫星的线速度小于 7.9 km/s,故A 正确;由题意可知,卫星的周期T=36090︒︒×45 min =180 min=3 h,而地球同步卫星的周期是 24 h,故它与地球同步卫星的周期之比为1∶8,故B 错误;根据万有引力提供向心力,有G2Mmr =mr(2πT)2,解得r=,则r r 同步===14,故C 正确;根据G 2Mm r =ma,解得a=2GMr,则a a 同步=22r r同步=161,故D 错误.。