2023年北京高考数学真题实战复习(三年高考+一年模拟)专题13 概率统计综合题(解析版)

一、单选题二、多选题1. 命题“”的否定是（ ）A．B．C．D．2. 下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ）A．B．C．D．3. 已知圆与圆有公共点，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．4. “且”是“”成立的（ ）条件.A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充要D ．既非充分也非必要5.对于曲线（且），以下说法正确的是（ ）A ．曲线是椭圆B ．曲线是双曲线C．曲线的焦点坐标是D．曲线的焦点坐标是6.已知为坐标原点，双曲线：的右焦点为，直线过点且与的右支交于，两点，若，，则直线的斜率为（ ）A．B．C．D．7.已知，，则下列不等式恒成立的是（ ）A．B．C．D．8. 已知函数在区间上有且仅有两个极值点，则实数m 的取值范围为（ ）A．B．C．D．9. 已知函数，若为的一个极值点，且的最小正周期为，若，则（ ）A．B．C．为偶函数D．的图象关于点对称10.已知函数，则下列说法正确的是（ ）A ．在上单调递减B．直线为图象的一条对称轴C ．在上的解集为D ．函数在上的图象与直线的交点的横坐标之和为11. 已知函数（其中，，），，恒成立，且在区间上单调，则下列说法正确的是（ ）A．存在，使得是偶函数B．C ．是奇数D ．的最大值为北京市海淀区2023届高三高考数学模拟试题(3)北京市海淀区2023届高三高考数学模拟试题(3)三、填空题四、解答题12.已知二项式的展开式中各项系数之和是，则下列说法正确的有（ ）A ．展开式共有7项B ．二项式系数最大的项是第4项C ．所有二项式系数和为128D ．展开式的有理项共有4项13.如图，是以为圆心，为半径的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用表示事件“豆子落在正方形内”，表示事件“豆子落在扇形（阴影部分）内”，则（1）__________；（2）__________．14. 写出一个符合下列要求的函数：______.①为偶函数；②；③有最大值.15. 曲线在点处的切线方程为______．16. 在中，角所对的边分别为平分，且．(1)求；(2)求的外接圆和内切圆的面积之比．17. 北京冬奥会期间，志愿者团队“Field Cast ”从所有参加冬奥会的运动健儿中分别抽取男女运动员各100人的年龄进行统计分析（抽取的运动员年龄均在区间[16，40]内），经统计得出女运动员的年龄频率分布直方图（图1）和男运动员的年龄扇形分布图（图2）．回答下列问题：(1)求图1中的a 值；(2)利用图2，估计参赛男运动员的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；(3)用分层抽样方法在年龄区间为[16，24）周岁的女运动员中抽取5人，男运动员中抽取4人；再从这9人中随机抽取3人，记这3人中年龄低于20周岁运动员的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．18. 2020年1月15日教育部制定出台了《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（ 也称“强基计划”），《意见》宣布：2020年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划.强基计划旨在选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，学生需在校考中通过笔试后才能进入面试环节.已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立. 若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率依次为，其中，该考生报考乙大学，每门科目通过的概率均为.（1）若，分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率；（2）强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作出决策，当该考生更希望通过甲大学的笔试时，求的范围.19.记为等比数列的前项和，，．(1)求的通项公式；(2)若，求的前项和．20. 已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若0是函数的极小值点，求实数的取值范围．21. 已知数列满足，且.（1）求证：为等比数列；（2）求数列的前项和为.。

北京市东城区高考数学三年（2021-2023）模拟题知识点分类
汇编-计数原理与概率统计
一、单选题
二、填空题
乙校抽取的学生每天日间户外活动时间频率分布直方图组别每天日间户外活动时间（单位：
1[0,1)
2[1,2)
3[2,3)
(1)从2011年到2021年中随机选取1年，求该年男生的视力平均值高于上一年男生的视力平均值的概率；
(2)从2010年到2021年这12年中随机选取2年，设其中恰有X年女生的视力平均值不低于当年男生的视力平均值．求X的分布列和数学期望：
(3)由图判断，这200名学生的视力平均值从哪年开始连续三年的方差最小？（结论不要求证明）
14．（2022·北京东城·统考一模）根据Z市2020年人口普查的数据，在该市15岁及以上常住人口中，各种受教育程度人口所占比例（精确到0.01）如下表所示：
参考答案：。

通州区2023年高三年级模拟考试数学试卷本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知全集{|33}U x x =-<<，集合{|02}A x x =<<，则UA =ð（ ）A. ()0,2B. ()()3,02,3-⋃C. ()2,0-D. (][)3,02,3-2. 已知复数1i z =+，则|2i |z -=（ ）A.B.C. 2D.3. 下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递增是（ ） A. 1y x=B. 3y x =C. e e x x y -=+D. tan y x =4. 在52x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，1x -的系数为（ ） A. 80B. 10C. 10-D. 80-5. 已知双曲线22213x y b -=的一条渐近线方程为y =，则其焦点坐标为（ ）A. ()0,2±B. ()2,0±C. (0,D. ()6. 如图，某几何体的上半部分是长方体，下半部分是正四棱锥，11AA =，AP =，2AB =，则该几何体的体积为（ ）的A.73B.163C.203D.2837. 声强级()f x （单位：dB ）与声强x （单位：2W /m ）满足()1210lg 10x f x -⎛⎫=⎪⎝⎭．一般噪音的声强级约为80dB ，正常交谈的声强级约为50dB ，那么一般噪音的声强约为正常交谈的声强的（ ） A. 310倍B. 410倍C. 510倍D. 610倍8. 已知函数()()2sin f x x ωϕ=+（0ω>，π2ϕ<）的部分图象如图所示，则()f x 的解析式为（ ）A. ()π2sin 6f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭B. ()π2sin 6f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭ C. ()π2sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭D. ()π2sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭9. 已知a ，b 为两条直线，α，β为两个平面，且满足a α⊂，b β⊂，l αβ= ，a //l ，则“a 与b 异面”是“直线b 与l 相交”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10. 在平面直角坐标系内，点O 是坐标原点，动点B ，C满足||||OB OC ==，0OB OC ⋅=，A 为线段BC 中点，P 为圆22(3)(4)4x y -+-=任意一点，则AP的取值范围是（ ）A []28,B. []3,8C. []2,7D. []3,7第二部分（非选择题 共110分）.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11. 已知向量()1,2a = ，(),1b x = ，若//a b ，则x =__________．12. 已知等差数列{}n a 的公差2d =，且54a =，则{}n a 的前5项和5S =__________．13. 抛物线C ：24y x =的焦点为F ，点()00,A x y 在抛物线C 上，且点A 到直线4x =-的距离是线段AF 长度的2倍，则0x =__________．14. 设函数()33,,21,x x x a f x x x a ⎧-≤=⎨+>⎩，若函数()f x 有且只有一个零点，则实数a 的一个取值为__________；若函数()f x 存在三个零点，则实数a 的取值范围是__________．15. 两个数互素是指两个正整数之间除了1之外没有其他公约数．欧拉函数()n ϕ（*n ∈N ）的函数值等于所有不超过正整数n ，且与n 互素的正整数的个数，例如()11ϕ=，()42ϕ=． 关于欧拉函数给出下面四个结论： ①()76ϕ=；②*n ∀∈N ，恒有()()1n n ϕϕ+≥；③若m ，n （m n ≠）都是素数，则()()()mn m n ϕϕϕ=；④若k n p =（*,n k ∈N ），其中p 素数，则()()11k n p p ϕ-=-．（注：素数是指除了1和它本身以外不再有其他因数，且大于1的正整数．） 则所有正确结论的序号为___________．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．16. 在ABC 中，角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，sin cos 2sin cos sin A B A A B =-． （1）求sin sin CA的值； （2）若3b =，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得ABC 存在且唯一确定，求ABC 的面积．条件①：11cos 16B =；条件②：sin C =；条件③：ABC 的周长为9． 17. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC 为等边三角形，四边形11BCC B 是边长为2的正方形，1AC =，1D 为11B C 的中点，D 为棱BC 上一点，1//BD 平面1ADC ．为的（1）求证：D 为BC 中点；（2）求直线BC 与平面1ADC 所成角的正弦值．18. 某企业有7个分行业，2020年这7个分行业的营业收人及营业成本情况统计如下表：营业情况分行业营业收入单位（亿元）营业成本单位（亿元）分行业1 41 38 分行业2 12 9 分行业3 8 2 分行业4 6 5 分行业5 3 2 分行业6 2 1 分行业70.80.4（一般地，行业收益率100%-=⨯营业收入营业成本营业成本．）（1）任选一个分行业，求行业收益率不低于50%的概率；（2）从7个分行业中任选3个，设选出的收益率高于50%的行业个数为X ，求X 的分布列及期望； （3）设7个分行业营业收入的方差为21s ，营业成本的方差为22s ，写出21s 与22s 的大小关系．（结论不要求证明）19. 已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）过点()2,1A（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设点A 关于y 轴的对称点为B ，直线l 与OA 平行，且与椭圆C 相交于M ，N 两点，直线AM ，AN 分别与y 轴交于P ，Q 两点．求证：四边形APBQ 为菱形．20. 已知函数()e xf x =，()()lng x x a =+（a ∈R ）．（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）设()()()x f x g x ϕ=，请判断()x ϕ否存在极值？若存在，求出极值；若不存在，说明理由； （3）当0a =时，若对于任意0s t >>，不等式()()()()11g s g t k f s f t ⎛⎫->-⎪ ⎪⎝⎭恒成立，求k 的取值范围．21. 设集合A 为含有n 个元素的有限集．若集合A 的m 个子集1A ，2A ，…，m A 满足： ①1A ，2A ，…，m A 均非空；②1A ，2A ，…，m A 中任意两个集合交集为空集； ③12m A A A A ⋃⋃⋃= ．则称1A ，2A ，…，m A 为集合A 的一个m 阶分拆．（1）若{}1,2,3A =，写出集合A 的所有2阶分拆（其中1A ，2A 与2A ，1A 为集合A 的同一个2阶分拆）；（2）若{}1,2,3,,A n =L ，1A ，2A 为A 的2阶分拆，集合1A 所有元素的平均值为P ，集合2A 所有元素的平均值为Q ，求P Q -的最大值；（3）设1A ，2A ，3A 为正整数集合{}12,,,n A a a a = （*N n ∈，3n ≥）的3阶分拆．若1A ，2A ，3A 满足任取集合A 中的一个元素i a 构成{}1i A a =，其中{}1,2,3,,i n ∈ ，且2A 与3A 中元素的和相等．求证：n 为奇数．参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知全集{|33}U x x =-<<，集合{|02}A x x =<<，则UA =ð（ ）A. ()0,2B. ()()3,02,3-⋃C. ()2,0-D. (][)3,02,3-【答案】D 【解析】【分析】利用补集的定义可得正确的选项．【详解】全集{|33}U x x =-<<，集合{|02}A x x =<<，由补集定义可知：{|30U A x x =-<≤ð或23}x ≤<，即(][)3,02,3U A -= ð， 是故选：D ．2. 已知复数1i z =+，则|2i |z -=（ ）A.B.C. 2D.【答案】A 【解析】【分析】写出共轭复数，根据复数减法计算即可.【详解】1i z =-，|2i |13i z -=-=. 故选：A3. 下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递增的是（ ） A. 1y x=B. 3y x =C. e e x x y -=+D. tan y x =【答案】B 【解析】【分析】根据幂函数、指数函数、正切函数的单调性及奇偶性逐一判断即可. 【详解】对于A ，函数()1y f x x==在()0,∞+上递减，故A 不符题意； 对于B ，函数()3y f x x ==的定义域为R ，关于原点对称， 因为()()3f x x f x -=-=-，所以函数为奇函数，又函数在R 单调递增，故B 符合题意； 对于C ，函数()e exxy f x -==+的定义域为R ，关于原点对称，因为()()ee xx f x f x --=+=，所以函数为偶函数，故C 不符合题意；对于D ，函数()tan y f x x ==， 因为()5π0014f f ⎛⎫=≥-= ⎪⎝⎭，所以函数不是增函数，故D 不符题意. 故选：B.4. 在52x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，1x -的系数为（ ）A. 80B. 10C. 10-D. 80-【答案】D 【解析】【分析】根据二项展开式的通项公式分析运算即可.【详解】52x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式()5521552C 2C ,0,1,2,3,4,5rr r r rr r T x x r x --+⎛⎫=-=-⋅⋅= ⎪⎝⎭，令521r -=-，解得3r =，可得()3311452C 80T x x --=-⨯⋅=-，即1x -的系数为80-. 故选：D.5. 已知双曲线22213x y b -=的一条渐近线方程为y =，则其焦点坐标为（ ）A. ()0,2±B. ()2,0±C. (0,D. ()【答案】B 【解析】【分析】根据双曲线方程求出渐近线，得出b ，继而求出焦点坐标.【详解】令22203x y b -=，解得双曲线渐近线为y =21b =⇒=，2c ==，由此可得双曲线焦点坐标为()2,0±.故选：B6. 如图，某几何体的上半部分是长方体，下半部分是正四棱锥，11AA =，AP =，2AB =，则该几何体的体积为（ ）A.73B.163C.203D.283【答案】B 【解析】【分析】先利用勾股定理求出正四棱锥P ABCD -的高，再根据棱柱与棱锥的体积公式即可得解. 【详解】在正四棱锥P ABCD -中，连接,AC BD 交于点O ，连接AP ， 则OP 即为正四棱锥P ABCD -的高，12OA AC ==，1OP ==，所以1422133P ABCD V -=⨯⨯⨯=，11112214ABCD A B C D V -=⨯⨯=，所以该几何体的体积为416433+=.故选：B .7. 声强级()f x （单位：dB ）与声强x （单位：2W /m ）满足()1210lg 10x f x -⎛⎫=⎪⎝⎭．一般噪音的声强级约为80dB ，正常交谈的声强级约为50dB ，那么一般噪音的声强约为正常交谈的声强的（ ） A. 310倍 B. 410倍C. 510倍D. 610倍【答案】A 【解析】【分析】根据题中公式，分别求出一般噪音的声强和正常交谈的声强，从而可得出答案. 【详解】当()80f x =时，即1210lg 8010x -⎛⎫=⎪⎝⎭，解得2010x =， 即一般噪音的声强约02210W /m ， 当()50f x =时，即1210lg 5010x -⎛⎫=⎪⎝⎭，解得1710x =， 即正常交谈的声强约72110W /m ，所以一般噪音的声强约为正常交谈的声强的20317101010=倍.故选：A .8. 已知函数()()2sin f x x ωϕ=+（0ω>，π2ϕ<）的部分图象如图所示，则()f x 的解析式为（ ）A. ()π2sin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B. ()π2sin 6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C. ()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D. ()π2sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】由三角函数的图象与性质求解即可. 【详解】由图知：πππ2362T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，则πT =，故2ω=， 则()()2sin 2f x x ϕ=+， 由2π2sin 033f πϕ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2π,Z 3k k ϕπ+=∈， 所以2ππ3k ϕ=-+，Z k ∈， 又π2ϕ<，故π3ϕ=，综上，()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 故选：C .9. 已知a ，b 为两条直线，α，β为两个平面，且满足a α⊂，b β⊂，l αβ= ，a //l ，则“a 与b 异面”是“直线b 与l 相交”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据空间中线、面关系结合充分、必要条件分析判断.【详解】若“a 与b 异面”，反证：直线b 与l 不相交，由于,b l β⊂，则b //l ， ∵a //l ，则a //b ，这与a 与b 异面相矛盾，故直线b 与l 相交， 故“a 与b 异面”是“直线b 与l 相交”的充分条件；若“直线b 与l 相交”，反证：若a 与b 不异面，则a 与b 平行或相交， ①若a 与b 平行，∵a //l ，则b //l ，这与直线b 与l 相交相矛盾； ②若a 与b 相交，设a b A = ，即,A a A b ∈∈， ∵a α⊂，b β⊂，则,A A αβÎÎ， 即点A 为α，β的公共点，且l αβ= ， ∴∈A l ，即A 为直线a 、l 的公共点，这与a //l 相交相矛盾；综上所述：a 与b 异面，即“a 与b 异面”是“直线b 与l 相交”的必要条件； 所以“a 与b 异面”是“直线b 与l 相交”充分必要条件. 故选：C.10. 在平面直角坐标系内，点O 是坐标原点，动点B ，C满足||||OB OC == ，0OB OC ⋅=，A 为线段BC 中点，P 为圆22(3)(4)4x y -+-=任意一点，则AP的取值范围是（ ）A. []28,B. []3,8C. []2,7D. []3,7【答案】A 【解析】【分析】根据题意得A 为圆:O 221x y +=任意一点，设圆22(3)(4)4x y -+-=的圆心为M ，从而得到AP为圆O 与圆M 这两圆上的点之间的距离，进而即可求解．【详解】由0OB OC ⋅= ，则OB OC ⊥u u u r u u u r，又||||OB OC == A 为线段BC 中点，则||1OA =，所以A 为圆:O 221x y +=任意一点，设圆22(3)(4)4x y -+-=的圆心为M ，则5OM =， 又|512OM =+，所以圆O 与圆M 相离，所以AP的几何意义为圆O 与圆M 这两圆上的点之间的距离，所以max 5128AP OM AO MP =++=++=， min5122APOM AO MP =--=--=，所以AP的取值范围为[]28,．的故选：A ．【点睛】关键点点睛：依题意得AP的几何意义为圆221x y +=与圆22(3)(4)4x y -+-=这两圆上的点之间的距离是解答此题的关键．第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11. 已知向量()1,2a = ，(),1b x = ，若//a b ，则x =__________．【答案】12##0.5 【解析】【分析】直接根据平面向量共线的坐标公式计算即可.【详解】因为向量()1,2a = ，(),1b x = ，//a b ，所以120x -=，解得12x = 故答案为：12.12. 已知等差数列{}n a 的公差2d =，且54a =，则{}n a 的前5项和5S =__________． 【答案】0 【解析】【分析】根据等差数列的定义结合下标和性质分析运算. 【详解】由题意可得：3520a a d =-=， 所以5350S a ==. 故答案为：0.13. 抛物线C ：24y x =的焦点为F ，点()00,A x y 在抛物线C 上，且点A 到直线4x =-的距离是线段AF 长度的2倍，则0x =__________．【答案】2 【解析】.【分析】根据题意结合抛物线的定义分析运算.【详解】由题意可得：抛物线C ：24y x =的焦点为()1,0F ，准线为=1x -， 注意到00x ≥，可得01AF x =+，点A 到直线4x =-的距离为04x +， 则()00421x x +=+，解得02x =. 故答案为：2.14. 设函数()33,,21,x x x a f x x x a⎧-≤=⎨+>⎩，若函数()f x 有且只有一个零点，则实数a 的一个取值为__________；若函数()f x 存在三个零点，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】 ①. (1,,02a ⎡⎫∈-∞-⎪⎢⎣⎭②. )a ∈+∞【解析】【分析】第一空，直接解方程，结合图象分类讨论即可；第二空，由图象分析即可.【详解】[]3233301,1y x x y x x '=-⇒=-≥⇒∈-，解得33y x x =-[]1,1-上单调递增，在(),1-∞-和()1,+∞上单调递减，解方程330x x -=可得：其根依次记为1340x x x ===、210x +=的根记为212x =-，可得其草图如下：第一空：若函数()f x有且只有一个零点，由函数解析式可知该零点只能为1x =或212x =-. （i ）若零点为212x =-只需a <示；在（ii ）若函数零点为1x =由函数解析式及图象可知，只需1,02a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，如图所示，第二空：若函数()f x 存在三个零点，则零点为1340x x x ===、，只需a ≥故答案为：(1,,02a ⎡⎫∈-∞-⎪⎢⎣⎭；)a ∈+∞ 15. 两个数互素是指两个正整数之间除了1之外没有其他公约数．欧拉函数()n ϕ（*n ∈N ）的函数值等于所有不超过正整数n ，且与n 互素的正整数的个数，例如()11ϕ=，()42ϕ=． 关于欧拉函数给出下面四个结论： ①()76ϕ=；②*n ∀∈N ，恒有()()1n n ϕϕ+≥；③若m ，n （m n ≠）都是素数，则()()()mn m n ϕϕϕ=；④若k n p =（*,n k ∈N ），其中p 为素数，则()()11k n p p ϕ-=-．（注：素数是指除了1和它本身以外不再有其他因数，且大于1的正整数．） 则所有正确结论的序号为___________． 【答案】①③④ 【解析】【分析】根据欧拉函数()n ϕ的函数值的定义，求出()7ϕ，()8ϕ，即可判断①②；若m 是素数，m 与前m －1个正整数均互素，可得()m ϕ，同理得()n ϕ，又不超过正整数mn 且与mn 互素的正整数共有1mn m n --+个，可得()mn ϕ，即可判断③；若k n p =，其中p 为素数，不超过k p 的正整数共有k p ，其中p 的倍数有1k p -个，则不超过k p 且与p 互素的正整数有()111k k k p p p p ----=个，可得()n ϕ，即可判断④．【详解】不超过7且与7互素的正整数有1，2，3，4，5，6，共6个，则()76ϕ=，故①正确； 不超过8且与8互素的正整数有1，3，5，7，共4个，则()84ϕ=，则()()87ϕϕ<，故②错误； 若m 是素数，m 与前m －1个正整数均互素，则()1m m ϕ=-； 同理，若n 是素数，则()1n n ϕ=-，故()()()()111n n m n m n m m ϕϕ----=+=；若m ，n （m n ≠）都是素数，则不超过mn 的正整数中，除去,2,,(1)m m n m ⋯-与,2,,(1)n n m n ⋯-及mn 外，其他的正整数均与mn 互素，共有(1)(1)11mn n m mn m n -----=--+个，则()1mn mn m n ϕ-=-+，所以()()()mn m n ϕϕϕ=，故③正确；若k n p =（*,n k ∈N ），其中p 为素数，不超过k p 的正整数共有k p ，其中p 的倍数有1k p -个，则不超过k p 且与p 互素的正整数有()111k k k p p p p ----=个，则()()11k n p p ϕ-=-，故④正确．故答案为：①③④．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．16. 在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin cos 2sin cos sin A B A A B =-． （1）求sin sin CA的值； （2）若3b =，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得ABC 存在且唯一确定，求ABC 的面积．条件①：11cos 16B =；条件②：sin C =；条件③：ABC 的周长为9．【答案】（1）2 （2 【解析】【分析】（1）根据三角恒等变换分析运算即可；（2）由（1）可得2c a =，若选条件①：利用余弦定理可求得,a c ，进而面积公式分析运算；若选条件②：分C 为锐角和C 为钝角两种情况讨论，利用余弦定理可求,a c ，结合题意分析判断；若选条件③：根据题意可求得,a c ，利用余弦定理结合面积公式运算求解. 【小问1详解】∵sin cos 2sin cos sin A B A A B =-，则()2sin sin cos cos sin sin sin A A B A B A B C =+=+=， ∴sin 2sin CA=. 【小问2详解】由（1）可得sin 2sin C A =，由正弦定理可得2c a =，若选条件①：由余弦定理222cos 2a c b B ac+-=，即2224911416a a a +-=，注意到0a >，解得2a =，则4c =，由三角形的性质可知此时ABC 存在且唯一确定， ∵11cos 016B =>，则π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得sin B ==∴ABC 的面积11sin 2422ABC S ac B ==⨯⨯=△. 若选条件②：∵c a >，可得C A >，则有：若C 为锐角，则1cos 4C ==， 由余弦定理222cos 2a b c C ab +-=，即2219446a a a+-=，整理得：2260a a +-=，且0a >，解得32a =，则3c =；若C 为钝角，则1cos 4C ==-， 由余弦定理222cos 2a b c C ab +-=，即2219446a a a+--=，整理得：2260a a --=，且0a >，解得2a =，则4c =； 综上所述：此时ABC 存在但不唯一确定，不合题意. 若条件③：由题意可得：9a b c ++=，即329a a ++=， 解得2a =，则4c =，由三角形的性质可知此时ABC 存在且唯一确定，由余弦定理可得222416911cos 0222416a cb B ac +-+-===>⨯⨯，则π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得sin B ==∴ABC 的面积11sin 2422ABC S ac B ==⨯⨯=△. 17. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC 为等边三角形，四边形11BCC B 是边长为2的正方形，1AC =，1D 为11B C 的中点，D 为棱BC 上一点，1//BD 平面1ADC ．（1）求证：D 为BC 中点；（2）求直线BC 与平面1ADC 所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2 【解析】【分析】（1）根据线面平行推出线线平行，由此证明四边形11BD C D 为平行四边形，根据边长关系即可求证；（2）根据勾股定理得到1AD DC ⊥，再根据线线垂直证明出线面垂直，再以D 为坐标原点，AD 为z 轴，DB 为x 轴，1DD 为y 轴的空间直角坐标系，利用直线方向向量和平面法向量求出正弦值.【小问1详解】⸪1//BD 平面1ADC ，1BD ⊂平面11BB C C ，平面1ADC ⋂平面111C BB C DC =， ⸫11//BD DC ，又因为11//BD D C ，⸫四边形11BD C D 为平行四边形，且因为1D 为11B C 的中点，⸫111=2BD C C D B =， ⸫ D 为BC 中点. 【小问2详解】，1DC =1AC =， 再根据勾股定理可得22211D C A D AC +=，故1AD DC ⊥， 又因为AD BC ⊥，1BC DC D = ，1,BC DC ⊂平面11BB C C ， 所以AD ⊥平面11BB C C ，如图建立以D 为坐标原点，AD 为z 轴，DB 为x 轴，1DD 为y 轴的空间直角坐标系，()1,0,0B ，()1,0,0C -，()2,0,0CB =，()0,0,0D，(00A ,，()11,2,0C -，(DA = ，()11,2,0DC =-，设平面1ADC 的法向量为(),,n x y z =，则1020n DA n DC x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令1y =，解得()2,1,0n = ，·sin cos ,n CB n CB n CB α====，故直线BC 与平面1ADC. 18. 某企业有7个分行业，2020年这7个分行业的营业收人及营业成本情况统计如下表：营业情况分行业营业收入单位（亿元）营业成本单位（亿元）分行业1 41 38 分行业2129分行业3 8 2 分行业4 6 5 分行业5 3 2 分行业6 2 1 分行业70.80.4（一般地，行业收益率100%-=⨯营业收入营业成本营业成本．）（1）任选一个分行业，求行业收益率不低于50%的概率；（2）从7个分行业中任选3个，设选出的收益率高于50%的行业个数为X ，求X 的分布列及期望； （3）设7个分行业营业收入的方差为21s ，营业成本的方差为22s ，写出21s 与22s 的大小关系．（结论不要求证明） 【答案】（1）47； （2）分布列见解析；()97E X =； （3）21s >22s . 【解析】【分析】（1）求出7个分行业的行业收益率即可求出所需概率； （2）根据X 的取值，利用超几何分布即可计算求出分布列和数学期望； （3）根据方程公式计算即可求出方差比较大小. 【小问1详解】 分行业1行业收益率：4138100%7.9%38-⨯≈， 分行业2行业收益率：129100%33.3%9-⨯≈， 分行业3行业收益率：82100%=300%2-⨯， 分行业4行业收益率：65100%20%5-⨯=， 分行业5行业收益率：32100%50%2-⨯=， 分行业6行业收益率：21100%100%1-⨯=，分行业7行业收益率：0.80.4100%100%0.4-⨯=， 行业收益率不低于50%的有4个行业，故任选一个分行业，求行业收益率不低于50%的概率为47. 【小问2详解】有（1）可知X 的取值有0、1、2、3，()3437C 40C 35P X ===，()123437C C 181C 35P X ===，()213437C C 122C 35P X ===，()3337C 13C 35P X ===，分布列如下：X 0123P435 1835 1235 135()1812191233535357E X =⨯+⨯+⨯= 【小问3详解】7个分行业营业收入的平均值为：411286320.810.47++++++=，()()()()()()()2222222214110.41210.4810.4610.4310.4210.40.810.41176.65s =-+-+-+-+-+-+-= 7个分行业营业成本的平均值为：38925210.48.27++++++=，()()()()()()()222222221388.298.228.258.228.218.20.48.21088.48s =-+-+-+-+-+-+-=故21s >22s .19. 已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）过点()2,1A（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设点A 关于y 轴的对称点为B ，直线l 与OA 平行，且与椭圆C 相交于M ，N 两点，直线AM ，AN 分别与y 轴交于P ，Q 两点．求证：四边形APBQ 为菱形．【答案】（1）22182x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意列出关于,,a b c 的方程组求解即可； （2）求出直线OA 的斜率为12OA k =，设直线l 的方程为1(0)2y x t t =+≠，代入椭圆方程，设()()1122,,,M x y N x y ，则212122,24x x t x x t +=-=-．由直线AM 的方程1111(2)2y y x x --=--得P 点的纵坐标为P y ，Q 点的纵坐标为Q y ，结合韦达定理求得2P Q y y +=，进而可得线段AB ，PQ 垂直且平分，从而得证. 【小问1详解】由题意可知22222411a b c caa b⎧=+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得a b ==．所以椭圆C 的标准方程为22182x y +=．【小问2详解】点(2,1)A 关于y 轴的对称点为点B 的坐标为(2,1)-． 直线OA 的斜率为0102A OA A y k x -==-．因为直线l 与OA 平行，设直线l 的方程为1(0)2y x t t =+≠． 由221,248y x t x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩得222240x tx t ++-=, 由()22244241640t t t ∆=--=->，得22t -<<，且0t ≠, 设()()1122,,,M x y N x y ，则212122,24x x t x x t +=-=-,直线AM 的方程为1111(2)2y y x x --=--， 令0x =，得P 点的纵坐标为11122P x y y x -=-． 同理可得Q 点的纵坐标为22222Q x y y x -=-． ()()()()()()112221112212122222222222P Q x y x x y x x y x y y y x x x x --+----+=+=---- ()()21221212244822424t x x t t x x x x t t-+-+===-+++， 所以线段PQ 中点坐标为(0,1)．又线段AB 中点坐标也为(0,1)，所以线段AB ，PQ 垂直且平分．所以四边形APBQ 菱形．20. 已知函数()e x f x =，()()ln g x x a =+（a ∈R ）． （1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）设()()()x f x g x ϕ=，请判断()x ϕ是否存在极值？若存在，求出极值；若不存在，说明理由； （3）当0a =时，若对于任意0s t >>，不等式()()()()11g s g t k f s f t ⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭恒成立，求k 的取值范围．【答案】（1）e 0y x -=（2）不存在，理由见详解（3）[),e -+∞【解析】【分析】（1）先求得()f x '，从而得到()1f ，()1f '，再根据导数的几何意义和直线的点斜式方程即可求出切线方程；（2）先求()x ϕ'，要判断()x ϕ是否存在极值，即判断()x ϕ在(),a -+∞上单调情况，即判断()x ϕ'在(),a -+∞上的符号情况；（3）将原恒成立条件转化为对于任意0x >，不等式e xk x≥-恒成立，从而构造函数，再根据函数在定义域上的最值即可求得k 的取值范围．为【小问1详解】由()e x f x =，则()e xf x '=，所以()1e f =，()1e f '=， 故曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()e e 1y x -=-，即e 0y x -=．【小问2详解】由()()()()e ln x x f x g x x a ϕ==⋅+，x a >-， 则()()()11e ln e e ln x x x x x a x a x a x a ϕ⎡⎤=⋅++⋅=⋅++⎢⎥++⎣⎦'，x a >-， 令()()1ln m x x a x a =+++，x a >-， 则()()()22111x a m x x a x a x a +--'==+++，x a >-， 当01x a <+<，即1a x a -<<-时，()0m x '<，此时()m x 单调递减；当1x a +>，即1x a >-时，()0m x '>，此时()m x 单调递增， 所以()()min 110m x m a =-=>，所以对任意x a >-，都有()0x ϕ'>，所以()x ϕ在(),a -+∞上单调递增，即()x ϕ不存在极值．【小问3详解】当0a =时，()ln g x x =，对于任意0s t >>，不等式()()()()11g s g t k f s f t ⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭恒成立，等价于对于任意0s t >>，不等式()()()()k k g s g t f s f t ->-恒成立， 等价于函数()()()ln e x k k h x g x x f x =-=-在()0,∞+上单调递增， 等价于导函数()10ex k h x x =+≥'在()0,∞+上恒成立， 等价于对于任意0x >，不等式e xk x≥-恒成立， 令()e x n x x =-，则()()22e 1e e x x x x x n x x x-⋅-=-='，0x >， 当01x <<时，()0n x '>，此时()n x 单调递增；当1x >时，()0n x '<，此时()n x 单调递减，所以()()max 1e n x n ==-，即e k ≥-，故k 的取值范围为[),e -+∞．【点睛】关键点点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定的不等式等价转化，构造函数，进而通过导函数使问题得到解决是解答此类问题的关键．21. 设集合A 为含有n 个元素的有限集．若集合A 的m 个子集1A ，2A ，…，m A 满足：①1A ，2A ，…，m A 均非空；②1A ，2A ，…，m A 中任意两个集合交集为空集；③12m A A A A ⋃⋃⋃= ．则称1A ，2A ，…，m A 为集合A 的一个m 阶分拆．（1）若{}1,2,3A =，写出集合A 的所有2阶分拆（其中1A ，2A 与2A ，1A 为集合A 的同一个2阶分拆）；（2）若{}1,2,3,,A n =L ，1A ，2A 为A 的2阶分拆，集合1A 所有元素的平均值为P ，集合2A 所有元素的平均值为Q ，求P Q -的最大值；（3）设1A ，2A ，3A 为正整数集合{}12,,,n A a a a = （*N n ∈，3n ≥）的3阶分拆．若1A ，2A ，3A 满足任取集合A 中的一个元素i a 构成{}1i A a =，其中{}1,2,3,,i n ∈ ，且2A 与3A 中元素的和相等．求证：n 为奇数．【答案】（1）{1,2},{3}；{1,3},{2}；{2,3},{1}；（2）2n ； （3）证明见解析 【解析】【分析】（1）根据给定的定义直接写出所有2阶分拆作答.（2）令P Q >，设出集合1A 及所其元素和，根据定义求出2A 的元素和，求出P Q -结合不等式性质求解作答.（3）设2A 、3A 及A 中元素的和，按i a 为奇数、偶数推理判断作答.【小问1详解】{}1,2,3A =，集合A 的所有2阶分拆是：{1,2},{3}；{1,3},{2}；{2,3},{1}.【小问2详解】.依题意，不妨设P Q >，11212{,,,},p p A a a a T a a a ==+++ ， 则(1)1()(1)12||[](22n n T T n p T n n n T n P Q P Q T p n p n p p n p p +--++-=-=-=-+=----， 而(21)(1)(2)2p n p T n p n p n -+≤-++-+++=， 所以1211||()(2222n T n n n p n n P Q n p p n p +-++-=-≤-=--，当且仅当(21)2p n p T -+=时取等号， 所以P Q -的最大值是2n . 【小问3详解】 依题意，23A A =∅ ，231211{,},,,,,i i n A A a a a a a -+= ，2A 与3A 中元素的和相等，设2A 与3A 中元素的和为i m ，集合A 中所有元素之和为S ，于是2(1,2,,)i i S m a i n =+= ，①当集合A 中存在元素(1)j a j n ≤≤为奇数时，因为2,2j j j S m a m =+是偶数，于是S 是奇数，对于任意(1,2,,)i a i n =L ，均有2i i a S m =-， 因此此时集合A 中的元素均为奇数，因为S 为奇数，且只有奇数个奇数的和为奇数，所以n 为奇数；②当集合A 中存在元素(1)j a j n ≤≤为偶数时，因为2,2j j j S m a m =+是偶数，于是S 是偶数，对于任意(1,2,,)i a i n =L ，均有2i i a S m =-， 因此此时集合A 中的元素均为偶数，对于一个偶数(1,2,,)i a i n =L ，均存在正整数i p 和奇数i k ，使得2i p i i a k =，显然集合A 中的元素除以2，仍然满足条件，将集合A 中的元素不断除以2，直至有一个奇数， 此时，由①可得n 为奇数，综上得：n 为奇数.【点睛】关键点睛：涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义进行集合的分拆并结合集合元素的性质，分类讨论，进行推理判断解决.。

2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟（北京卷）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题．．．．．已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的离心率为75，则双曲线C 的一条渐近线的斜率可能是（）．57B ．75265-D ．5612-．已知函数2232,1()22,1x ax x f x ax x x ⎧+-≤⎪=⎨⎪+>⎩则是“()f x 在R 上单调递减”的（）．充分而不必要条件．必要而不充分条件．充分必要条件．既不充分也不必要条件．设集合(){,|0,2}A x y x y ax y =-≥+≥，则（）．当1a =时，()1,1A ∉．对任意实数a ，()1,1A ∈．当a<0时，()1,1A∉．对任意实数a ，()1,1A∉二、填空题三、双空题四、解答题(1)求证：EF//平面PBC；--(2)若23AD=，二面角E FC D择一个作为已知．求PD的长．⊥；条件②：PB=条件①：DE PC18．2023年9月23日至2023年10中学高一年级举办了“亚运在我心”的知识竞赛，其中下：班号1234人数30402010该年级在报名的同学中按分层抽样的方式抽取学从预设的10个题目中随机抽取4位同学的作答情况相互独立.(1)求各班参加竞赛的人数；参考答案：7．B在BCD 中，4,BD CD ==得BD ⊥平面ABC ，设,AB AD 的中点分别为,E 由BD ⊥平面ABC ，得BD CE ⊥平面ABD ，过F 作OF 设ABC 的中心为G ，过G 所以O 点即为三棱锥A BCD -）M，连接,MF MB，分别为,PC PD的中点，PCD的中位线，且12MF CD=，的中点，）选择条件①：DE PC ⊥,平面ABCD ，DE PD ⊥,PC ⊂平面PCD DE CD ⊥,DE AB ⊥∴,底面ABCD 为菱形，三角形，为z 轴，DC 为y 轴,DE 为x 轴，建立空间直角坐标系，2t =,则()()()0,0,0,0,23,0,0,0,D C F t 设平面FCD 法向量为()1,0,0n =r ,设平面FEC 法向量为(),,m x y z = ,()3,0,t -,()3,23,0EC =- ,0230tz y +=+=,3,则62,3,m t ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ,二面角E FC D --的大小为45︒22cos45°=3614+3+22t =⨯，23678,t t+=∴以DP 为z 轴，以DA 为x 轴，以DO 为设2PD t =,则()()0,0,0,3,3,0,D C F -设平面FCD 法向量为()1111,,n x y z = ,()0,0,DF t = ,()3,3,0DC =- ,1110330tz x y =⎧⎪⎨-+=⎪⎩,令1111,3,0,y x z ===则()13,1,0n = ,设平面FEC 的法向量为()1222,,m x y z = 333,,22EF t ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ ,533,,022EC ⎛=- ⎝ 22222333022533022x y tz x y ⎧--+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩,令222123533,y x z t ===，,则3,5m ⎛= ⎝ 二面角E FC D --的大小为45︒【点睛】本题考查的知识要点：通项公式与求和公式的关系，等差数列基本量运算，整除问题，以及分类讨论思想和反证法的应用，同时考查了运算求解能力与转化思想，属于综合题．。

一、单选题二、多选题1.已知，则下列结论正确的是（ ）A．B．C．D．2.已知平面向量，，，则=（ ）A ．3B ．3C ．4D ．43.与函数的部分图象最符合的是（ ）A．B．C．D．4.将函数图象上各点横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位得到曲线．若曲线的图象关于原点对称，则函数的一条对称轴可以为（ ）A．B．C．D ．5. 已知所在平面内一点，满足，则（ ）A．B．C．D．6. 一个人以6米/秒的速度去追赶停在交通灯前的的汽车，当他离汽车25米时交通灯由红变绿，汽车开始变速直线行驶（汽车与人前进方向相同），汽车在时间t 内的路程为米，那么，此人A ．可在7秒内追上汽车B ．可在9秒内追上汽车C ．不能追上汽车，但其间最近距离为14米D ．不能追上汽车，但其间最近距离为7米7. “”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8. 已知复数为虚数单位），则共轭复数在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9.已知数列满足为数列的前项和，则（ ）A ．是等比数列B．是等比数列2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟（北京卷）数学试题2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟（北京卷）数学试题三、填空题四、解答题C．D ．中存在不相等的三项构成等差数列10.如图所示，四边形是边长为4的正方形，分别为线段上异于点的动点，且满足，点为的中点，将点沿折至点处，使平面，则下列判断正确的是（）A ．若点为的中点，则五棱锥的体积为B．当点与点重合时，三棱锥的体积为C ．当点与点重合时，三棱锥的内切球的半径为D ．五棱锥体积的最大值为11. 下列说法正确的是（ ）A．直线必过定点B．直线在轴上的截距为C ．直线的倾斜角为60°D ．过点且垂直于直线的直线方程为12.设函数，则下列结论正确的是（ ）A．B．C ．曲线存在对称轴D ．曲线存在对称轴中心13. 已知是奇函数，且.若，则.14. 我们初中分别把反比例函数图象和二次函数图象称为“双曲线”和“抛物线”，事实上，它们就是圆锥曲线中的双曲线和抛物线，只是对称轴不是坐标轴，但满足基本的定义，也有相对应的焦点、准线、离心率等.已知反比例函数解析式为，其图象所表示的双曲线的焦距为______；已知二次函数解析式为，其图象所表示的抛物线焦点坐标为______.15. 已知函数对定义域内的任意实数满足，则_________.16.如图，四边形为菱形，，平面，，．(1)求证：平面平面；(2)求二面角的余弦值．17. 已知中角、、所对边分别为、、，且.（1）求角的大小；（2）点在线段上，满足，，若，求的长.18. 已知函数.求的最小值.若.求证：存在唯一的极大值点，且19. 已知等差数列{a n}的公差d≠0，它的前n项和为S n，若S5＝70，且a2，a7，a22成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为T n，求证：20. 某中学为研究本校高三学生在县联考中的数学成绩，随机抽取了100位学生的数学成绩（满分150分）作为样本，并整理成五组，制成如图所示的频率分布直方图.(1)若参与测试的学生共12000人，试估计成绩不低于110分的学生有多少人？(2)用分层随机抽样的方法从样本中的和两组抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人得分在范围内的人数为，求的分布列与数学期望.21. 为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响，为此随机抽查了男女生各100名，得到如下数据：锻炼性别不经常经常女生4060男生2080(1)依据的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；(2)从这200人中随机选择1人，已知选到的学生经常参加体育锻炼，求他是男生的概率；(3)为了提高学生体育锻炼的积极性，集团设置了“学习女排精神，塑造健康体魄”的主题活动，在该活动的某次排球训练课上，甲乙丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人.求第次传球后球在甲手中的概率.附：0.0100.0050.0016.6357.87910.828。

1．(2023·泰州模拟)第二十二届卡塔尔世界杯足球赛决赛中，阿根廷队通过扣人心弦的点球大战战胜了法国队．某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团．足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女学生各100名进行调查，部分数据如表所示：喜欢足球不喜欢足球总计男生40女生30总计(1)根据所给数据完成上表，分析是否有99%的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关？(2)社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门．已知男生进球的概率为23，女生进球的概率为12，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求3人进球总次数的分布列和数学期望．附：χ2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d).2．某地区区域发展指数评价指标体系基于五大发展理念构建，包括创新发展、协调发展、绿色发展、开放发展和共享发展5个一级指标．该地区区域发展指数测算方法以2015年作为基期并设指数值为100，通过时序变化，观察创新发展、协调发展、绿色发展、开放发展和共享发展5个分领域指数值的变动趋势．分别计算创新发展、协调发展、绿色发展、开放发展和共享发展5个分指数，然后合成为该地区区域发展总指数，如图所示．若X(2015年记为x＝1,2016年记为x＝2，依此类推)与发展总指数Y存在线性关系．(1)求X 与发展总指数Y 的线性回归方程；(2)若规定发展总指数大于115的年份为和谐发展年，和谐发展年中发展总指数低于130的视为良好，记1分，发展总指数大于130的视为优秀，记2分，从和谐发展年中任取三年，用ξ表示记分之和，求ξ的分布列和数学期望．参考公式和数据：线性回归方程Y ＝b ^X ＋a ^，其中a ^＝y －b ^x ，b ^＝错误!，错误!(x i －x )(y i －y )＝228.9，y ＝119.05.3．(2023·南京模拟)渔船海上外出作业受天气限制，尤其浪高对渔船安全影响最大，二月份是某海域风浪最平静的月份，浪高一般不超过3m ．某研究小组从前些年二月份各天的浪高数据中，随机抽取50天数据作为样本，制成频率分布直方图(如图)．根据海浪高度将海浪划分为如下等级：浪高(cm)(0,50)[50,100)[100,200)[200,300]海浪等级微浪小浪中浪大浪海事管理部门规定：海浪等级在“大浪”及以上禁止渔船出海作业．(1)某渔船出海作业除受浪高限制外，还受其他因素影响，根据以往经验可知，“微浪”情况下出海作业的概率为0.9，“小浪”情况下出海作业的概率为0.8，“中浪”情况下出海作业的概率为0.6，请根据上面频率分布直方图，估计二月份的某天各种海浪等级出现的概率，并求该渔船在这天出海作业的概率；(2)气象预报预计未来三天内会持续“中浪”或“大浪”，根据以往经验可知，若某天是“大浪”，则第二天是“大浪”的概率为12，“中浪”的概率为12；若某天是“中浪”，则第二天是“大浪”的概率为13，“中浪”的概率为23.现已知某天为“中浪”，记该天的后三天出现“大浪”的天数为X ，求X 的分布列和数学期望．4．(2024·葫芦岛模拟)某地相继爆发了甲型H1N1流感病毒(甲流)和诺如病毒感染潮，为了了解感染病毒类型与年龄的关系，某市疾控中心随机抽取了部分感染者进行调查．据统计，甲流患者数是诺如病毒感染者人数的2倍，在诺如病毒感染者中60岁以上患者占23，在甲流患者中60岁以上的人数是其他人数的一半．(1)若有99%的把握认为“感染病毒的类型与年龄有关”，则抽取的诺如病毒感染者至少有多少人？(2)研究发现，针对以上两种病毒比较有效的药物是奥司他韦和抗病毒口服液，并且发现奥司他韦治疗以上两种病毒有效的概率是抗病毒口服液的2倍．现对两种药物进行临床试验，对抗病毒口服液共进行两轮试验，每轮试验中若连续2次有效或试验3次时，本轮试验结束；对奥司他韦先进行3次试验，若至少2次有效，则试验结束，否则再进行3次试验后方可结束，假定两种药物每次试验是否有效均相互独立，且两种药物的每次试验费用相同．请结合以上针对两种药物的临床试验方案，估计哪种药物的试验费用较低？附：χ2＝n(ad－bc)2(a＋b)(a＋c)(c＋d)(b＋d)(其中n＝a＋b＋c＋d)．§10.7概率与统计的综合问题1．解(1)2×2列联表如下：喜欢足球不喜欢足球总计男生6040100女生3070100总计90110200由表中数据得χ2＝200×(60×70－40×30)2100×100×90×110≈18.182>6.635，所以有99%的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关．(2)3人进球总次数ξ的所有可能取值为0,1,2,3，P (ξ＝0)×12＝118，P (ξ＝1)＝C 12×23×13×12＋12×＝518，P (ξ＝2)＝C 12×23×13×12＋×12＝49，P (ξ＝3)×12＝29，∴ξ的分布列为ξ0123P1185184929∴ξ的数学期望Eξ＝0×118＋1×518＋2×49＋3×29＝116.2．解(1)由已知x ＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋88＝4.5，所以错误!(x i －x )2＝(－3.5)2＋(－2.5)2＋(－1.5)2＋(－0.5)2＋0.52＋1.52＋2.52＋3.52＝42，又错误!(x i －x )(y i －y )＝228.9，所以b ^＝错误!＝5.45，因为y ＝119.05，所以a ^＝y －b ^x ＝94.525，所以Y ＝5.45X ＋94.525.(2)由题可知，和谐发展年有5个，其中计分为1分的年份有3个，计分为2分的年份有2个，ξ的所有可能取值为3,4,5，所以P (ξ＝3)＝1C 35＝110，P (ξ＝4)＝C 23C 12C 35＝35，P (ξ＝5)＝C 13C 22C 35＝310，所以ξ的分布列为ξ345P11035310Eξ＝3×110＋4×35＋5×310＝215.3．解(1)记这天浪级是“微浪”为事件A 1，浪级是“小浪”为事件A 2，浪级是“中浪”为事件A 3，浪级是“大浪”为事件A 4.该渔船当天出海作业为事件B ，则由题意可知，P (A 1)＝50×0.004＝0.2，P (A 2)＝50×0.006＝0.3，P (A 3)＝50×0.004＋50×0.002＝0.3，P (A 4)＝50×0.002＋50×0.002＝0.2，∴P (B )＝P (BA 1)＋P (BA 2)＋P (BA 3)＝P (B |A 1)P (A 1)＋P (B |A 2)P (A 2)＋P (B |A 3)P (A 3)＝0.9×0.2＋0.8×0.3＋0.6×0.3＝0.18＋0.24＋0.18＝0.6.(2)依题意可知，X 的所有可能取值为0,1,2,3，∴P (X ＝0)＝827，P (X ＝1)＝13×12×23＋23×13×12＋23×23×13＝1027，P (X ＝2)＝13×12×12＋13×12×13＋23×13×12＝14，P (X ＝3)＝13×12×12＝112，则X的分布列为X0123P 827102714112数学期望EX＝0×827＋1×1027＋2×14＋3×112＝121108.4．解(1)设感染诺如病毒的患者为x人，则感染甲流的患者为2x人，感染两种病毒的60岁以上的患者人数均为23 x，由题意必有χ2≥6.635，4 3x·53x·x·2x6.635，所以x≥22.11，又因为x为整数，故抽取的诺如病毒感染者至少有23人．(2)设抗病毒口服液治疗有效的概率为p，每次试验花费为m，则奥司他韦治疗有效的概率为2p<1，故0<p<1 2，设抗病毒口服液试验总花费为X，X的所有可能取值为4m,5m,6m，P(X＝4m)＝p4，P(X＝5m)＝2(p2－p4)，P(X＝6m)＝(1－p2)2，故EX＝4mp4＋10m(p2－p4)＋6m(p4－2p2＋1)＝－2mp2＋6m，设奥司他韦试验总花费为Y，Y的所有可能取值为3m,6m，P(Y＝3m)＝C23(2p)2(1－2p)＋(2p)3＝12p2－16p3，P(Y＝6m)＝1＋16p3－12p2，所以EY＝48mp3－36mp2＋6m，由0<p<1 2，所以EY－EX＝2mp2(24p－17)<0，所以EY<EX，所以奥司他韦试验的平均花费较低．。

2023年高考数学北京卷试卷及答案2023年高考数学北京卷试卷及答案高中数学的学习方法1、抓住重点听讲上课前我是一定要预习的，有时间就看的仔细些，老师要讲什么内容，有什么定义、定理和公式我先都记住，再看一些例题去理解定义和定理的应用，脑子里会形成那些我明白了，那些不理解，记在本子上。

上课的时候，老师嘴一张开我就知道老师要讲什么了，会的我就看自己的书，不会的我就仔细听讲。

我善于抓住重点去听讲，记的时候，我看其他同学是什么都记，我不是，凡是书上有的内容我从不记，比如定义、定理和公式和书上的例题。

我只记一些书上没有的内容，我不会的内容，还有老师说这是重点或难点的内容。

我经常在书上做一些纪录，我的书看完是满书涂鸦，不适合别人看了，以后自己一翻书，我就会从我的纪录上回忆这一节的全部内容，一翻书就回忆，经常翻就记的很牢了。

2、多看辅导书老师布置的作业我肯定都要做完，但我不会满足于老师布置的作业，我还要看一些辅导书籍，做一些辅导书籍上的作业，直到我能理解定义、定理和公式的含义，一道题尽量用多种办法去解题，做到举一反三。

我经常买和课程有关的辅导书籍看，每一门课程我都有好几本相关的辅导书籍。

3、定期整理归纳每学完一章的内容，我都要进行小结。

把这章的内容归纳一下，把定义、定理、公式和这个定义、定理、公式有代表行的练习题写出来，最后就是用几句话把这一章的内容概括一下，目的是方便记忆。

我写在一张纸上，放在口袋里，随时会拿出这张纸来看一下。

我一般不看完，只看前面几个字，然后去想后面的内容，实在想不出来才再看一下的。

考试前每一科目我都是把内容归纳后，写在纸上放在口袋里，跑到没人的大树底下，一会看一下归纳的纸条，背诵内容和例题。

高中数学的必考知识点总结函数与导数。

主要考查集合运算、函数的有关概念定义域、值域、解析式、函数的极限、连续、导数。

平面向量与三角函数、三角变换及其应用。

这一部分是高考的重点但不是难点，主要出一些基础题或中档题。

一、单选题二、多选题1. 直线与椭圆交于两点，是椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为（ ）A．B．C．D．2. 已知函数，并且，是方程的两个根，则的大小关系可能是（ ）A．B．C．D．3.圆的圆心坐标与半径是（ ）A．B．C．D．4. 在平面上，定点、之间的距离，曲线C 是到定点、距离之积等于的点的轨迹.以点、所在直线为x 轴，线段的中垂线为y 轴，建立直角坐标系.已知点是曲线C 上一点，下列说法中正确的有（ ）①曲线C 是中心对称图形；②曲线C 上的点的纵坐标的取值范围是；③曲线C 上有两个点到点、距离相等；④曲线C上的点到原点距离的最大值为A ．①②B ．①②④C ．①②③④D ．①③5. 如图是的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（）A ．当时，取得极大值B ．在上是增函数C ．当时，取得极大值D ．在上是增函数，在上是减函数6. 已知集合，，则（ ）A．B．C．D．7.已知函数是偶函数，且．当时，，则下列说法正确的是（ ）A ．是奇函数B．在区间上有且只有一个零点C ．在上单调递增D ．区间上有且只有一个极值点8. 如图，在棱长为的正方体中，，，分别为，，的中点，则下列结论正确的是（）A．点到直线的距离为北京市海淀区2023届高三高考数学模拟试题(高频考点版)北京市海淀区2023届高三高考数学模拟试题(高频考点版)三、填空题四、解答题B．直线到平面的距离为C ．直线与平面所成角的余弦值为D ．直线与直线所成角的余弦值为9. 函数f （x ）＝2cos （x ）﹣1的对称轴为_____，最小值为_____．10.若，，则的取值范围是___________．11. 在复数范围内，把多项式分解为一次因式的积：__________.12. 已知，，则 _____.13. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面底面，侧棱与底面所成的角为．若平面平面，求二面角的正弦值．14. 随着信息技术的快速发展，离散数学的应用越来越广泛．差分和差分方程是描述离散变量变化的重要工具，并且有广泛的应用．对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中，规定为数列的二阶差分数列，其中．(1)数列的通项公式为，试判断数列，是否为等差数列，请说明理由?(2)数列是以1为公差的等差数列，且，对于任意的，都存在，使得，求a 的值．15. 1.中，D 是BC 上的点，AD 平分，面积是面积的2倍．(1)求的值；(2)从①，②，③这三个条件中选择两个条件作为已知，求BD 和AC 的长．16. 已知函数，.(1)写出函数的单调区间；(2)求函数的最大值；(3)求证：方程有唯一实根，且.。

2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编专题13 概率统计解答题一、解答题1．(2022年全国甲卷理科·第19题)甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0．5，0．4，0．8，各项目的比赛结果相互独立．(1)求甲学校获得冠军的概率；(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．2．(2022年全国乙卷理科·第19题)某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：2m)和材积量(单位：3m)，得到如下数据：并计算得10101022ii i i i=1i=1i=10.038, 1.6158,0.2474xy x y ===∑∑∑．(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0．01)；(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为2186m ．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．附：相关系数 1.377r =≈．3．(2022新高考全国II 卷·第19题)在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率；(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口的16%．从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40,50)，求此人患这种疾病的概率．(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0．0001)．4．(2022新高考全国I 卷·第20题)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组)，同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组)，得到如下数据：不够良好良好病例组4060对照组1090(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？(2)从该地的人群中任选一人，A 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B 表示事件“选到的人患有该疾病”．(|)(|)P B A P B A 与(|)(|)P B A P B A 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R ．(ⅰ)证明：(|)(|)(|)(|)P A B P A B R P A B P A B =⋅；(ⅱ)利用该调查数据，给出(|),(|P A B P A B 的估计值，并利用(ⅰ)的结果给出R 的估计值．附22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，5．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第21题)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X 表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，()(0,1,2,3)i P X i p i ===．(1)已知01230.4,0.3,0.2,0.1p p p p ====，求()E X ；(2)设p 表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝概率，p 是关于x 的方程：230123p p x p x p x x +++=的一个最小正实根，求证：当()1E X ≤时，1p =，当()1E X >时，1p <；(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义．6．(2021年新高考Ⅰ卷·第18题)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A ，B 两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束：若回答正确的则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A 类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分：B 类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，己知小明能正确回答A 类问题的概率为0．8，能正确回答B 类问题的概率为0．6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．(1)若小明先回答A 类问题，记X 为小明的累计得分，求X 的分布列；(2)为使累计得分期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．7．(2020年新高考I 卷(山东卷)·第19题)为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM 2.5和2SO 浓度(单位：3μg/m )，得下表：2SO PM 2.5[0,50](50,150](150,475][0,35]32184(35,75]6812(75,115]3710(1)估计事件“该市一天空气中PM 2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150”的概率；(2)根据所给数据，完成下面的22⨯列联表：2SO PM 2.5[0,150](150,475][0,75](75,115](3)根据(2)中列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM 2.5浓度与2SO 浓度有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，2()P K k ≥0．050 0．010 0．001的的k3．841 6．635 10．8288．(2020新高考II 卷(海南卷)·第19题)为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM 2.5和2SO 浓度(单位：3μg/m )，得下表：(1)估计事件“该市一天空气中PM 2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150”的概率；(2)根据所给数据，完成下面的22⨯列联表：(3)根据(2)中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM 2.5浓度与2SO 浓度有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，9．(2021年高考全国乙卷理科·第17题)某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.810.31001029.99.810.010.110.29.7新设备10110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x 和y ，样本方差分别记为21S 和22S ．(1)求x ，y ，21S ，22S ；(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果y x -≥新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高)．10．(2021年高考全国甲卷理科·第17题)甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?(2)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++()2P K k ≥0．0500．0100．001k3．8416．63510．82811．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第19题)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概...率都为12，(1)求甲连胜四场的概率；(2)求需要进行第五场比赛的概率；(3)求丙最终获胜的概率．12．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科·第18题)某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x i ，y i )(i =1，2，…，20)，其中x i 和y i 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得20160i ix==∑，2011200i iy==∑，202180i i x x =-=∑（，2021)9000i i y y =-=∑（，201)800i i i x y x y =--=∑（（．(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数)；(2)求样本(x i ，y i )(i =1，2，…，20)的相关系数(精确到0．01)；(3)根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．附：相关系数r≈1．414．13．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第18题)某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表(单位：天)：锻炼人次空气质量等级[0，200](200，400](400，600]1(优)216252(良)510123(轻度污染)678的4(中度污染)720(1)分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；(3)若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，P (K 2≥k )0．050 0．010 0．001k38416．63510．82814．(2019年高考数学课标Ⅲ第17题)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成,A B 两组，每组100只，其中A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：记C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到()P C 的估计值为0.70．(1)求乙离子残留百分比直方图中,a b 的值；(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．.15．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科·第18题)11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X 个球该局比赛结束．()1求()2P X =；()2求事件“4X =且甲获胜”的概率．16．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科·第21题)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定，对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得－1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得－1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X ．(1)求X 的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，(0,1,,8)i p i = 表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则08110,1,i i i i p p p ap bp cp -+===++(1,2,,7i = )，其中(1)a P X ==-，(0)b P X ==，(1)c P X ==．假设0.5α=，0.8β=．(i)证明：1{}(0,1,2,,7)i i p p i +-= 为等比数列；(ii)求4p ，并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性．17．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·18题)(12分)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种生产方式，为比较两咱生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min )绘制了如下茎叶图：第一种生产方式第二种生产方式86556899762701223456689877654332814452119(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m ，并将完成生产任务所需时间超过m 和不超过m 的工人数填入下面的列联表：超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式(3)根据(2)的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++18．(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第18题)(12分)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y (单位：亿元)的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1,2,,17 )建立模型①：ˆ30.413.5y t =-+；根据2010年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1,2,,7 )建立模型②：ˆ9917.5yt =+．(1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．19．(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第20题)(12分)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为)10(<<p p ，且各件产品是否为不合格品相互独立．(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为)(p f ,求)(p f 的最大值点0p ．200406080(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的0p 作为p 的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．(i)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X ，求EX ;(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？20．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第19题)(12分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布．(1)假设生产状态正常，记表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性；(ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：为抽取的第个零件的尺寸，．用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计和(精确到0．01)．附：若随机变量服从正态分布，则，．21．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第18题)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关．如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:cm 2(,)N μσX (3,3)μσμσ-+(1)P X ≥X (3,3)μσμσ-+i x i 1,,16i =⋅⋅⋅x μˆμs σˆσˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+μσZ 2(,)N μσ(33)0.997 4P Z μσμσ-<<+=160.997 40.959 2=0.09≈最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．(Ⅰ)求六月份这种酸奶一天的需求量X (单位:瓶)的分布列;(Ⅱ)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位:元)．当六月份这种酸奶一天的进货量n (单位:瓶)为多少时,Y 的数学期望达到最大值?22．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科·第18题)(12分)淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)某频率直方图如下：(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法的箱产量不低于50kg,估计A 的概率；(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：(3)根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0．01)23．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第18题)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图.22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++(Ⅰ)由折线图看出,可用线性回归模型拟合y 与t 的关系,请用相关系数加以说明;(Ⅱ)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01),预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.参考数据:719.32ii y==∑,7140.17i i i t y ==∑0.55=2.646≈.参考公式:相关系数r =回归方程ˆˆˆya bt =+中斜率和截距最小二乘估计公式分别为:121()()ˆ()niii ni i t t y y b t t ==--=-∑∑,ˆˆay bt =-.24．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科·第18题)(本题满分12分)某险种的基本保费为a (单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：上年度出险次数12345≥保费0.85aa1.25a1.5a 1.75a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次数012345≥概率0．300．150．200．200．100． 05(I)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；(II)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；(III)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．25．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科·第19题)(本小题满分12分)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．(I)求X 的分布列；(II)若要求()0.5P X n ≤≥，确定n 的最小值；(III)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在19n =与20n =之中选其一，应选用哪个？26．(2015高考数学新课标2理科·第18题)(本题满分12分)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79(Ⅰ)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，得出结论即可)；456789A B 地区地区(Ⅱ)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意频数记事件C ：“A 地区用户的满意度等级高于B 地区用户的满意度等级”．假设两地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C 的概率．27．(2015高考数学新课标1理科·第19题)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t )和年利润z (单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量i y (i =1,2，···，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。

2023北京高三一模数学汇编概率与统计章节综合1．（2023·北京丰台·统考一模）从2−，1−，1，2，3这5个数中任取2个不同的数，记“两数之积为正数”为事件A ，“两数均为负数为事件B ．则()|P B A =________．2．（2023·北京海淀·统考一模）网购生鲜蔬菜成为很多家庭日常消费的新选择．某小区物业对本小区三月份参与网购生鲜蔬菜的家庭的网购次数进行调查，从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取10户，分别记为A 组和B 组，这20户家庭三月份网购生鲜蔬菜的次数如下图：假设用频率估计概率，且各户网购生鲜蔬菜的情况互不影响·(1)从一单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中随机抽取1户，估计该户三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的概率；(2)从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取1户，记这两户中三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数为X ，估计X 的数学期望()E X ；(3)从A 组和B 组中分别随机抽取2户家庭，记1ξ为A 组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，2ξ为B 组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，比较方差()1D ξ与()2D ξ的大小．（结论不要求证明）3．（2023·北京房山·统考一模）某社区组织了一次公益讲座.向社区居民普及垃圾分类知识.为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民.让他们在讲座前和讲座后分别回答一份垃圾分类知识向卷.这10位社区居民的讲座前和讲座后答卷的正确率如下表：讲座前 讲座后 (1)从公益讲座前的10份垃圾分类知识答卷中随机抽取一份.求这份答卷正确率低于80%的概率； (2)从正确率不低于90%的垃圾分类知识答卷中随机抽取3份，记随机变量X 为抽中讲座前答卷的个数.求随机变量X 的分布列和数学期望；(3)判断此次公益讲座的宣传效果.并说明你的理由.4．（2023·北京西城·统考一模）根据《国家学生体质健康标准》，高三男生和女生立定跳远单项等级如下（单位：cm）：从某校高三男生和女生中各随机抽取12名同学，将其立定跳远测试成绩整理如下（精确到1cm）：假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立．(1)分别估计该校高三男生和女生立定跳远单项的优秀率；(2)从该校全体高三男生中随机抽取2人，全体高三女生中随机抽取1人，设X为这3人中立定跳远单项等E X；级为优秀的人数，估计X的数学期望()(3)从该校全体高三女生中随机抽取3人，设“这3人的立定跳远单项既有优秀，又有其它等级”为事件A，“这3人的立定跳远单项至多有1个是优秀”为事件B．判断A与B是否相互独立．（结论不要求证明）5．（2023·北京朝阳·“科技的力量”主题知识竟答活动，根据答题得分情况评选出一二三等奖若干，为了解不同性别学生的获奖情况，从该地区随机抽取了500名参加活动的高一学生，获奖情况统计结果如下：假设所有学生的获奖情况相互独立．(1)分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名，求抽到的2名学生都获一等奖的概率；(2)用频率估计概率，从该地区高一男生中随机抽取1名，从该地区高一女生中随机抽取1名，以X表示这2名学生中获奖的人数，求X的分布列和数学期望EX；p；从该地区高一男(3)用频率估计概率，从该地区高一学生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为1p ；从该地区高一女生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为2p ，试比较0p 与122p p +的大小．（结论不要求证明） 6．（2023·北京石景山·统考一模）某高校“植物营养学专业”学生将鸡冠花的株高增量作为研究对象，观察长效肥和缓释肥对农作物影响情况.其中长效肥、缓释肥、未施肥三种处理下的鸡冠花分别对应1,2,3三组.观察一段时间后，分别从1,2,3三组随机抽取40株鸡冠花作为样本，得到相应的株高增量数据整理如下表.假设用频率估计概率，且所有鸡冠花生长情况相互独立.(1)从第1组所有鸡冠花中随机选取1株，估计株高增量为(]7,10厘米的概率；(2)分别从第1组，第2组，第3组的所有鸡冠花中各随机选取1株，记这3株鸡冠花中恰有X 株的株高增量为(]7,10厘米，求X 的分布列和数学期望EX ；(3)用“1k ξ=”表示第k 组鸡冠花的株高增量为(]4,10，“0k ξ=”表示第k 组鸡冠花的株高增量为(]10,16厘米，1,2,3k =，直接写出方差1D ξ，2D ξ，3D ξ的大小关系.（结论不要求证明）7．（2023·北京平谷·统考一模）“”，某地区甲乙丙三个林场开展植树工程，2011-2020年的植树成活率（%）统计如下：（表中“/”表示该年末植树）：规定：若当年植树成活率大于95%，则认定该年为优质工程．(1)从乙林场植树的年份中任抽取两年，求这两年都是优质工程的概率；(2)从甲、乙、丙三个林场植树的年份中各抽取一年，以X 表示这3年中优质工程的个数，求X 的分布列； (3)若乙丙两个林场每年植树的棵数不变，能否根据两个林场优质工程概率的大小，推断出这两个林场植树成活率平均数的大小？参考答案1．14##0.25 【分析】根据古典概型的概率公式求出()P A ，()P AB ，再由条件概率的概率公式计算可得.【详解】从2−，1−，1，2，3这5个数中任取2个不同的数有25C 10=种取法，其中满足两数之积为正数的有2223C C 4+=种取法，满足两数之积为正数且两数均为负数的有22C 1=种取法，所以()410P A =，()110P AB =，所以()()()1|4P AB P B A P A ==. 故答案为：142．(1)310(2)1(3)()()12=D D ξξ【分析】（1）根据古典概型的概率公式即可求出；（2）由题可知，X 的可能取值为0，1，2，再分别求出对应的概率，由期望公式即可求出； （3）根据方差公式计算可知，()()12=D D ξξ．【详解】（1）设“该户三月份网购生鲜蔬菜次数大于20”为事件C ，在A 组10户中超过20次的有3户，由样本频率估计总体概率，则3()10P C =. （2）由样本频率估计总体概率，一单元参与网购家庭随机抽取1户的网购生鲜蔬菜次数超过20次概率为310，二单元参与网购家庭随机抽取1户的网购生鲜蔬菜次数超过20次概率为710，X 的可能取值为0，1，2，所以，3721(0)111010100P X ⎛⎫⎛⎫==−⨯−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，373729(1)111010101050P X ⎛⎫⎛⎫==⨯−+−⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3721(2)1010100P X ==⨯=，212921()012110050100E X =⨯+⨯+⨯=． （3）依题可知，1ξ，2ξ的可能取值为0，1，2，且1ξ，2ξ服从超几何分布，()271210C 70C 15P ξ===，()11371210C C 71C 15P ξ===，()231210C 12C 15P ξ===，()232210C 10C 15P ξ===，()11372210C C 71C 15P ξ===，()272210C 72C 15P ξ===，因为()133=2105E ξ⨯=，()2772105E ξ=⨯=，所以， ()22217373132801215515515575D ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯−+⨯−+⨯−=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()22221777772801215515515575D ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯−+⨯−+⨯−=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，()()12=D D ξξ． 3．(1)35(2)分布列见解析，数学期望为67(3)答案见解析【分析】（1）共10份书卷，准确率低于80%有6份，计算概率即可.（2）X 的取值可能是0,1,2，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案. （3）讲座前的平均准确率为75%，讲座后的平均准确率为89%，提升明显，得到答案. 【详解】（1）共10份书卷，准确率低于80%有6份，故概率为63105P ==； （2）正确率不低于90%的垃圾分类知识答卷中，讲座前有2份，讲座后有5份，X 的取值可能是0,1,2，()3537C 1020C 357P X ====；()215237C C 2040C 357P X ⋅====； ()125237C C 512C 357P X ⋅====. 故X 的分布列为：故数学期望为()24160127777E X =⨯+⨯+⨯=.（3）此次公益讲座的宣传效果很好， 讲座前的平均准确率为：65%60%70%100%65%75%90%85%80%60%75%10+++++++++=；讲座后的平均准确率为：90%85%80%95%85%85%95%100%85%90%89%10+++++++++=；平均准确率明显提高，故此次公益讲座的宣传效果很好.4．(1)13(2)76(3)A 与B 相互独立【分析】（1）样本中立定跳远单项等级获得优秀的男生人数为4，获得优秀的女生人数为6，计算频率得到优秀率的估计值；（2）由题设，X 的所有可能取值为0,1,2,3．算出对应概率的估计值，得到X 的数学期望的估计值； （3）利用两个事件相互独立的定义判断即可.【详解】（1）样本中立定跳远单项等级获得优秀的男生人数为4，获得优秀的女生人数为6， 所以估计该校高三男生立定跳远单项的优秀率为41123=；估计高三女生立定跳远单项的优秀率为61122=． （2）由题设，X 的所有可能取值为0,1,2,3． (0)P X =估计为2212()329⨯=；(1)P X =估计为122121214C ()332329⨯⨯⨯+⨯=； (2)P X =估计为122121115C ()3323218⨯⨯⨯+⨯=； (3)P X =估计为2111()3218⨯=． 估计X 的数学期望()2451701239918186E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．（3）()P A 估计为22123311113C C 22224⎛⎫⎛⎫⨯⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()P B 估计为2310331111C C 2222⎛⎫⎛⎫⨯⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()P AB 估计为213113C 228⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭， ()()()P AB P A P B =，所以A 与B 相互独立．5．(1)1240(2)分布列见解析，期望12EX = (3)1202p p p +>【分析】（1）直接计算概率11102511200300C C ()C C P A =；（2）X 的所有可能取值为0,1,2，求出高一男生获奖概率和高一女生获奖概率，再计算概率得到分布列，最后计算期望即可；（3）计算出01350p =，12124p p +=，比较大小即可. 【详解】（1）设事件A 为“分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名, 抽到的2名学生都获一等奖”，则11102511200300C C 1()C C 240P A ==，（2）随机变量X 的所有可能取值为0,1,2.记事件B 为“从该地区高一男生中随机抽取1名,该学生获奖”,事件C 为“从该地区高一女生中随机抽取1名,该学生获奖”.由题设知,事件B ,C 相互独立, 且()P B 估计为1015151,()2005P C ++=估计为252540330010++=.所以1328(0)()()()1151050P X P BC P B P C ⎛⎫⎛⎫====−⨯−=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 131319(1)()()()()()1151051050P X P BC BC P B P C P B P C ⎛⎫⎛⎫==⋃=+=⨯−+−⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,133(2)()()()51050P X P BC P B P C ====⨯=.所以X 的分布列为故X 的数学期望()2819310125050502E X =⨯+⨯+⨯= （3）1202p p p +>，理由：根据频率估计概率得 04090135250050200p +===，由（2）知115p =，2310p =， 故1213150510224200p p ++===，则1202p p p +>. 6．(1)12(2)分布列见解析，65EX =(3)132D D D ξξξ<<【分析】（1）根据表格数据，第1组所有鸡冠花中随机选取1株，得(]7,10厘米的总数，由古典概型概率公式可得结果；（2）首先估计各组鸡冠花增量为(]7,10厘米的概率，然后可确定X 所有可能的取值，根据独立事件概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望计算公式可求得期望； （3）由两点分布方差计算公式可求得1D ξ，2D ξ，3D ξ的值，由此可得大小关系． 【详解】（1）设事件A 为“从第1组所有鸡冠花中随机选取1株，株高增量为(]7,10厘米”， 根据题中数据，第1组所有鸡冠花中，有20株鸡冠花增量为(]7,10厘米, 所以()P A 估计为201402=； （2）设事件B 为“从第2组所有鸡冠花中随机选取1株，株高增量为(]7,10厘米”， 设事件C 为“从第3组所有鸡冠花中随机选取1株，株高增量为(]7,10厘米”， 根据题中数据，()P B 估计为162405=， ()P C 估计为1234010=， 根据题意，随机变量X 的所有可能取值为0,1,2.3，且()()()()()1232101112510100P X P ABC P A P B P C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫====−⨯−⨯−= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；()()()()()()()()()()()11125P X P ABC ABC ABC P A P B P C P A P B P C P A P B P C ==++=++=； ()()()()()()()()()()()292100P X P ABC ABC ABC P A P B P C P A P B P C P A P B P C ==++=++=； ()()()()()3350P X P ABC P A P B P C ====， 则X 的分布列为：所以21112936012310025100505EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. （3）132D D D ξξξ<< 理由如下：()()1129111,04040P P ξξ====，所以22112911292929291131910,10404040404040401600E D ξξ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯==−⨯+−⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()()2220111,04022P P ξξ=====，所以22221111111140010,10222222241600E D ξξ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯==−⨯+−⨯== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()()3325531,04088P P ξξ=====，所以223353555531537510,108588888641600E D ξξ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯==−⨯+−⨯== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；所以132D D D ξξξ<<. 7．(1)27(2)分布列见解析 (3)不能，理由见解析【分析】（1）由古典概率的计算公式代入即可得出答案； （2）求出X 的可能取值，分别计算出其概率，即可得出分布列； （3）分别求出两个林场植树成活率平均数即可判断. 【详解】（1）乙林场植树共7年，其中优质工程有4年，从乙林场植树的年份中任抽取两年，这两年都是优质工程为事件A ，所以()242743C 12221===76C42721P A ⨯⨯=⨯⨯. （2）甲林场植树共6年，其中优质工程有3年， 乙林场植树共7年，其中优质工程有4年， 丙林场植树共10年，其中优质工程有5年， 则X 的可能取值为0,1,2,3，()1113351116710C C C 30=C C C 28P X ⋅⋅==⋅⋅，()1111111113353453351116710C C C C C C C C C 51=C C C 14P X ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅==⋅⋅， ()1111111113453453351116710C C C C C C C C C 112=C C C 28P X ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅==⋅⋅， ()1113451116710C C C 13=C C C 7P X ⋅⋅==⋅⋅.则X 的分布列为：（3）不能根据两个林场优质工程概率的大小，推断出这两个林场植树成活率平均数的大小.因为乙、丙两个林场优质工程概率分别为4172，，且4172>.则设乙、丙林场植树成活率平均数分别为12,x x ，195.191.693.297.895.692.396.694.67x ++++++==,297.095.498.293.594.895.594.593.598.092.595.2910x+++++++++==所以乙、丙这两个林场植树成活率平均数分别为：94.6，95.29，且丙林场植树成活率大于乙林场植树成活率.所以不能根据两个林场优质工程概率的大小，推断出这两个林场植树成活率平均数的大小.。