四面体外接球的球心、半径求法教师

四面体外接球的球心、在立体几何中，几何体外接球是一个常考的知识点，对于学生来说这是一个难点，一方面图形不会画，另一方面在画出图形的情况下无从下手，不知道球心在什么位置，半径是多少而无法解题。

本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。

、出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。

【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为a,b,c，则体对角线长为________ / 2 . b2 + ~2I = J a2+b2+C2，几何体的外接球直径2R为体对角线长I即R = ---------- --【例题】：在四面体ABCD中，共顶点的三条棱两两垂直, 其长度分别为1, V6,3，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。

解:因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长所以：四面体外接球的直径为AE的长即：4R2=AB2+AC2+AD2C 4R2 =12+32+ 府=16 所以R =2球的表面积为S=4；IR2=16；I二、出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。

【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。

球心为直角三角形斜边中点。

【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球0的球面上，AB丄BC且PA =7，PB=5, PC =751，AC =10,求球0 的体积。

解：AB 丄BC 且PA =7，PB=5，P C=妬，AC =10,!_ 2因为=102所以知AC2=PA2+ PC2设球心坐标为O(x, y,z)贝U AO=BO=CO =DO ,由空间两点间距离公式知x 2 +y 2 +z 2 =(x -1)2 +(y -73)2 +z 2J 3解得 “1 y=- z =1所以PA 丄PC 所以可得图形为:在RtAABC 中斜边为AC 在RU PAC 中斜边为AC取斜边的中点0 , 在 RUABC 中 0A = 0B = 0C在 RtiPAC中 OP = OB =OC 所以在几何体中OP = OB =OC =OA ，即O 为该四面体的外接球的球心1R = — AC = 52 所以该外接球的体积为V 丄职―500工3 3 【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。

内接球和外接球半径计算公式
内接球和外接球是几何学中的概念，它们分别是指一个多面体内部最大的（最小的）球和一个多面体外部最小的（最大的）球。

下面是内接球和外接球的半径计算公式。

（以下解释中，我们以正四面体为例）
内接球半径计算公式：
正四面体的内接球是四面体内部最大的球，它的半径可以通过正四面体的棱长计算得出。

设正四面体的棱长为a，则正四面体的内接球半径R为：
R = a / (2√3)
其中√3表示根号下3，也就是3的平方根。

该公式适用于所有正多面体内接球的半径计算。

外接球半径计算公式：
正四面体的外接球是四面体外部最小的球，它的半径可以通过正四面体的边长计算得出。

设正四面体的边长为a，则正四面体的外接球半径r为：
r = a / (2√6)
其中√6表示根号下6，也就是6的平方根。

该公式同样适用于所有正多面体外接球的半径计算。

需要注意的是，以上公式仅适用于正多面体，对于其他不规则多面体，内接球和外接球的半径计算需要用到其他方法。

解析正四面体外接球内切球半径正四面体是一种非常特殊的多面体，其四个面都是等边三角形，相互之间都是等角的。

正四面体有个很有意思的性质，就是它的外接球和内切球的半径是相等的。

这个性质可以通过以下步骤进行证明：首先，我们需要知道正四面体外接球和内切球的半径分别为r和R。

我们可以画出如下的图形：正四面体的四个顶点分别为A、B、C、D。

正四面体外接球的圆心为O，内切球的圆心为I。

现在我们来证明r=R。

步骤1：连接OI，这条线段的长度为r+R。

步骤2：连接AB、AC、AD、BC、BD、CD，将正四面体分成四个小正三角形。

步骤3：我们知道正四面体每个小正三角形的面积都相等，设为S。

步骤4：我们可以通过三角形的面积公式求出AO、BO、CO、DO的长度。

AO=BO=CO=DO=√(3S)/3步骤5：再通过余弦定理求出角AOI的大小。

cos(AOI)=（OI²+AO²-AI²）/(2×OI×AO)=（r+R）/（2r）步骤6：由于AOI是一个等腰三角形，所以角OAI也等于角OIA。

因此，我们可以用余弦定理求出AI的长度。

cos(OAI)=（OI²+AI²-OA²）/(2×OI×AI)=cos(AOI)AI=√(OI²+OA²-2×OI×OA×cos(AOI))步骤7：我们可以用同样的方法求出BI、CI、DI的长度。

BI=√(OI²+OB²-2×OI×OB×cos(BOI))CI=√(OI²+OC²-2×OI×OC×cos(COI))DI=√(OI²+OD²-2×OI×OD×cos(DOI))步骤8：根据勾股定理，我们可以求出AB、AC、AD、BC、BD、CD 的长度。

正四面体外接球公式
正四面体外接球，也叫正四面体旋转体，是一种数学上的几何体，是由单一晶体构成的固体物质，也是数学上的重要几何体之一。

正四面体外接球的公式成为正四面体外接球公式，它是一种用来确定正四面体外接球的体积和表面积的公式。

正四面体外接球公式中的前提条件是正四面体是一种球体，它由六个正四面体面构成，六个面相互接触，相互垂直。

正四面体外接球的公式计算非常简单，可以用来计算正四面体的表面积和体积。

正四面体外接球公式的具体形式如下：V=√2r3/3，其中V表示正四面体外接球的体积，r表示正四面体外接球的半径。

在计算正四面体外接球体积时，我们只需要计算出外接球半径，然后代入公式中就可以计算出外接球的体积。

正四面体外接球半径可以通过一个简单的公式来计算：r=a√3/6，其中a表示正四面体每个面的边长。

正四面体外接球公式不仅可以用来计算外接球的体积，而且还可以用来计算外接球的表面积，表面积的公式如下：S=4πr2，其中S 表示外接球的表面积，r表示外接球的半径。

要计算出表面积，只需要把外接球半径代入公式中就可以得出外接球的表面积。

在数学和计算机科学中，正四面体外接球的应用非常广泛，它可以用在很多不同的领域中。

比如在计算机中，正四面体外接球可以用来表示物体的大小，控制物体的移动，同时用来判断两个物体是否在特定距离内。

此外，正四面体外接球的体积和表面积公式在几何学和
微积分中也有着广泛的应用。

正四面体外接球公式是一种非常有用的工具，可以根据不同的计算要求来高效率地计算出正四面体外接球的体积和表面积。

同时，它也有着广泛的应用，可以用在计算机科学，几何学和数学上的不同领域中。

正四面体的外接球半径的求法
正四面体是一种比较灵活的多面体，而球又是高中教材中唯一保
留下来的旋转体,此两种几何的组合无疑有着特殊的意义。

现把求四
面体外接球的半径的几种方法总结如下,本人认为很有代表意义，希
望它对高三备考的师生能有启发作用。

如右图:已知正四面体A BCD -,H 为底面的中心，O 为外接球的球
心,设棱长为a,外接球半径为Ｒ,内切球半径为ｒ,试求R ．
方法一：易知R+r=ＡＨ=63a ,由等积法得： A BCD O ABC O BCD O CDA O DAB V V V V V -----=+++
所以：
11433BCD BCD AH S r S ∆∆⋅=⋅⋅ 故14r AH =,34
R AH = 所以 64
R a =.
方法二:如图AHM BNM ∆≅∆所
HM ON AM OA =，即13r R
=,又由Ｒ6可得 64R a =.
方法三:
如图设延长ＡＨ交球面上一点K,则AK=2R,在直角三角形AB Ｋ中由
射影定理得2AB AH AK =⋅ 即2623a a R =⋅ 故得64
R a =. 方法四：如图正四面体可补成一个边长为
22a 的正方体，显然正方体的外接球即为正四面体的外接球,而23()22a R =故可得64
R a =.
小结:此四种方法立体交叉，思想性、艺术性各有千秋,对培养学生的
空间想象能力以及综合解题能很有帮助。

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正四面体外接球和内切球的半径的求法
作者：李凤华
来源：《中学数学杂志(高中版)》2008年第01期
题已知正四面体ABCD的棱长为a，求其外接球的半径R和内切球的半径r.
分析如图1，因为正四面体ABCD的外接球的球心O到点B，C，D的距离相等，所以O 在平面BCD内的射影O1到点B，C，D的距离也相等. 又因为在正四面体ABCD中△BCD是正三角形，所以O1是△BCD的中心，进而在正四面体ABCD中,有AO1⊥平面BCD，所以球心O在高线AO1上;同理:球心O也在其它面的高线上. 又正四面体ABCD中各面上的高都相等，所以，由OA=OB=OC=OD,得:点O到正四面体各面的距离相等，所以点O也是正四面体ABCD的内切球的球心. 这样，正四面体的内切球的球心与外接球的球心重合. 记正四面体ABCD的高为h，则 . 因此，只要求出r和R中的一个，便可求出另一个.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。

”。

四面体外接球得球心、半径求法在立体几何中,几何体外接球就是一个常考得知识点,对于学生来说这就是一个难点,一方面图形不会画,另一方面在画出图形得情况下无从下手,不知道球心在什么位置,半径就是多少而无法解题。

本文章在给出图形得情况下解决球心位置、半径大小得问题、一、出现“墙角”结构利用补形知识,联系长方体。

【原理】:长方体中从一个顶点出发得三条棱长分别为,则体对角线长为,几何体得外接球直径为体对角线长 即【例题】:在四面体中,共顶点得三条棱两两垂直,其长度分别为,若该四面体得四个顶点在一个球面上,求这个球得表面积。

解:因为:长方体外接球得直径为长方体得体对角线长所以:四面体外接球得直径为得长即:所以球得表面积为二、出现两个垂直关系,利用直角三角形结论。

【原理】:直角三角形斜边中线等于斜边一半。

球心为直角三角形斜边中点。

【例题】:已知三棱锥得四个顶点都在球得球面上,且,,,,求球得体积。

解:且,,,,因为 所以知所以 所以可得图形为:在中斜边为在中斜边为取斜边得中点,在中在中 所以在几何体中,即为该四面体得外接球得球心A C所以该外接球得体积为【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外得两个点连线、三、出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系,利用向量知识求解ﻩ【例题】:已知在三棱锥中,,,,求该棱锥得外接球半径、解:由已知建立空间直角坐标系解得所以半径为【结论】:空间两点间距离公式:四、四面体就是正四面体处理球得“内切”“外接"问题与球有关得组合体问题,一种就是内切,一种就是外接。

作为这种特殊得位置关系在高考中也就是考查得重点,但同学们又因缺乏较强得空间想象能力而感到模糊。

解决这类题目时要认真分析图形,明确切点与接点得位置及球心得位置,画好截面图就是关键,可使这类问题迎刃而解。

一、棱锥得内切、外接球问题例1.正四面体得外接球与内切球得半径就是多少？分析:运用正四面体得二心合一性质,作出截面图,通过点、线、面关系解之。

正四面体外接球的半径
正四面体外接球是几何中用于计算直角三角形每个边长度的技术。

它是一个三维坐标系下的球体结构，由四个相互重叠的圆柱体所构成，每个圆柱体都具有相同的半径，形状独特。

外接球的半径定义为圆柱
结构的半径，与它自身有关。

因此，计算正四面体外接球的半径可以按以下方式进行：首先，测量正四面体的四边长度，然后在三维坐标系中考虑直角三角形的余
弦定理，以计算外接球半径R：
R=边长/4*sin60°。

给定一个正四面体外接球，可以通过测量每个圆柱体的高度来计
算出外接球的半径，并通过余弦定理来求出球的表面积。

这项技术广
泛应用于几何计算中，可以帮助我们更准确地衡量物体大小和体积。

总的来说，正四面体外接球是一种非常棒的几何计算技术，它可
以帮助我们精准地计算出外接球的半径。

通过理解正四面体外接球半
径的计算，可以更好地利用这项技术进行精准测量。

高等数学求四面体公式
四面体是由四个面和四个角组成的，其中每个面都是三角形。

四面体
的公式涉及到体积、表面积、外接球半径、内切球半径以及距离等多个方面。

1.体积公式：
四面体的体积可以用以下公式表示：
V=(1/6)*，(a-d)·(b-d)×(c-d)
其中V表示四面体的体积，a、b、c、d分别是四面体四个顶点的坐标。

2.表面积公式：
四面体的表面积由所有的面积之和组成，可以用以下公式表示：
S=(1/2)*[S1+S2+S3+S4]
其中S表示四面体的表面积，S1、S2、S3、S4分别是四个三角形面
的面积。

3.外接球半径公式：
四面体的外接球半径可以用以下公式表示：
R=a/(4*V)
其中R表示外接球半径，a表示四面体的边长，V表示四面体的体积。

4.内切球半径公式：
四面体的内切球半径可以用以下公式表示：
r=(3*V)/(S
其中r表示内切球半径，V表示四面体的体积，S表示四面体的表面积。

5.距离公式：
对于四面体的任意两个顶点A(X1,Y1,Z1)和B(X2,Y2,Z2)，可以通过以下公式计算它们的距离：
d=√[(X2-X1)^2+(Y2-Y1)^2+(Z2-Z1)^2]
其中d表示AB两点之间的距离。

以上公式是四面体的基本公式，通过这些公式我们可以计算四面体的各项属性。

对于特定的四面体问题，还可以应用其他的几何知识来进行求解。