正四面体外接球和内切球的半径的九种求法

四面体外接球的球心、半径求法一、出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。

【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,，则体对角线长为222c b a l ++=，几何体的外接球直径R 2为体对角线长l 即2222c b a R ++=【例题】：在四面体ABCD 中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为3,61，，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。

解：因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长 所以：四面体外接球的直径为AE 的长 即：22224AD AC AB R ++=1663142222=++=R 所以2=R 球的表面积为ππ1642==R S二、出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。

【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。

球心为直角三角形斜边中点。

【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球O 的球面上，BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC ,求球O 的体积。

解：BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC , 因为22210517=+ 所以知222PC PA AC += 所以 PC PA ⊥ 所以可得图形为： 在ABC Rt ∆中斜边为AC 在PAC Rt ∆中斜边为AC 取斜边的中点O ，在ABC Rt ∆中OC OB OA == 在PAC Rt ∆中OC OB OP ==所以在几何体中OA OC OB OP ===，即O 为该四面体的外接球的球心521==AC R所以该外接球的体积为3500343ππ==R V【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。

A CDBEOABCP三、出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解【例题】：已知在三棱锥BCD A -中，ABC AD 面⊥，︒=∠120BAC ，2===AC AD AB ，求该棱锥的外接球半径。

解：由已知建立空间直角坐标系)000(，，A )002(，，B )200(，，D )031(，，-C由平面知识得设球心坐标为),,(z y x O 则DO CO BO AO ===,由空间两点间距离公式知222222)2(z y x z y x ++-=++ 222222)2(-++=++z y x z y x 222222)3()1(z y x z y x +-+-=++解得 1331===z y x所以半径为3211331222=++=）（R 【结论】：空间两点间距离公式：221221221)()()(z z y y x x PQ -+-+-=四、四面体是正四面体处理球的“内切”“外接”问题与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接。

探求正四面体外接球、内切球半径求法探求正四面体外接球、内切球半径正四面体是特殊的正三棱锥，所有的棱长都相等，四个面是全等的等边三角形，有外接球、内切球，且球心重合.已知正四面体ABCD 棱长为a ，设外接球半径为R ，内切球半径为r ，球心为O ，则正四面体的高h a a 即34R h =；内切球a 即14r h =. 外接球半径是内切球半径的3倍. 下面从不同角度、用不同方法进行探求：方法一：（勾股定理）作 平面于点,则点H 是的中心，AH BCD H BCD ⊥V高3h AH a ==，设O 为球心，则.O AH ∈ 连结,.BH BO 在Rt BOH V 中，222BO BH OH =+，即222()()33R a a R =+-，,.R a r h R a a a ∴==-=-= 方法二：（三角正切倍角公式）作 平面于点,则点H 是的中心，AH BCD H BCD ⊥V高3h AH a ==，设O 为球心，则.O AH ∈ 连结,.BH BO = ,2.AO BO ABO BAO BOH θθ=∴∠=∠∠=Q在Rt ABHV中，tan,23aBHAHθ===在Rt OBHV中，3tan2,3aBHOH r rθ===23r⨯∴==,.r a R h r a a a∴==-=-=方法三：（分割等体积）作平面于点,则点H是的中心，AH BCD H BCD⊥V高3h AH a==，设O为球心，则.O AH∈连结,,,BO CO DO得到四个以O为顶点的小棱锥，它们的底面是正四面体的一个面，高是内切球的半径r，设正四面体每个面的面积为S，则4,O BCD A BCDV V--=即114,33S r S AH⨯=g g11,4412.3124r AH h aR h r a a a∴====-=-=方法四：（侧棱、高相似或三角）作平面于点,则点H是的中心，AH BCD H BCD⊥V22tantan2,1tanθθθ=-Q高3h AH a ==，设O 为球心，则.O AH ∈ 设M 是AB 的中点，连结,,,OM OB BHAO BO OM AB =∴⊥QAMO AHB Rt ∴∠=∠=∠，又MAO HAB ∠=∠，AMO AHB ∴V :V ， AM AO AH AB∴=， 即,aR a =,.R a r h R a a a ∴==-=-= 或：设BAH MAO θ∠=∠=，则在Rt ABH V中，3cos a AH AB aθ==， 在Rt AMO V 中，2cos .aAM AO Rθ==32a aa R∴= ， 以下同上. 方法五：（斜高、高相似或三角）作 平面于点,则点H 是的中心，AH BCD H BCD ⊥V高h AH a ==，设O 为球心，则.O AH ∈ 设E 为BC 中点，连结,AE EH ，作ON AE ⊥于N 点，则N 是ABC V 中心，N 是AE 的三等分点，平面，ON 是内切圆半径r,ON ABC ⊥且 ,Rt ANO Rt AEH V :VAN AO AH AE ∴=，32a R = ，,.43412R a r h R a a a ∴==-=-= 或：设EAH NAO θ∠=∠=，则在Rt AEH V中，cos 2a AH AEθ==， 在Rt ANO V中，3cos .a AN AO Rθ==3aa R∴=， 以下同上. 方法六：（斜高、侧棱相似或三角）作 平面于点,则点H 是的中心，AH BCD H BCD ⊥V高h AH a ==，设O 为球心，则.O AH ∈ 设E 为BC 中点，连结,,AE DE DO ，延长DO 交AE 于N ，则N 是AE 的三等分点，.H DE ∈ 且DN ⊥平面.ABC则,Rt ODH Rt DNE V :V OH OD NE DE∴= 即 OH OD = NE DE 13=， 13r R ∴=， 3.R r ∴=又,R r AH h a +===13,.41244r h a R h a ∴==== 或：在Rt DNE V 中，1sin ,3NE NDE DE ∠== 在Rt DOH V 中，sin sin ,OH NDE ODH OD∠=∠= 13OH OD ∴=， 即13r R =， 3.R r ∴=又,3R r AH h a +===13,.41244r h a R h a ∴==== 方法七：（构造正方体）正四面体的四个顶点是正方体的顶点，此时正四面体的外接球也是正方体的外接球，正四面体的棱长为a的棱长为.2a 正方体的体对角线等于外接球直径，有22a R ⨯=，,.43412R a r h R a a a ∴==-=-= 方法八：（相交弦定理）设外接球球心为O ，半径为R ，过A 点作球的直径，交底面BCD V 于H ，则H 为BCD V 的外心，求得,,33AH a BH a == 由相交弦定理得2(2)).333a R a a -=g解得.4R a =.r h R a a a ∴=-=-= 以上从不同角度针对正四面体的外接球半径、内切球半径作了讨论，从而从不同方面对思维作了训练，不仅对正四面体的外接球半径、内切球半径有了透彻的认识，同时对解题能力的提高是有帮助的.。

一.正四面体外接球半径公式是什么？
答：R=（√6）a/4。

a为正四面体的棱长。

设正四面体的棱长为a,求其外接球的半径.设正四面体V-ABC,D为BC的中点,E 为面ABC的中心,外接球半径为R,则AD=（√3）a/2,AE=2/3*AD=（√3）a/3.在Rt△VAE中,有VE^2=VA^2-AE^2=a^2-a^2/3=(2a^2)/3,VE=(√6)a/3。

在Rt△AEO中,有AO^2=AE^2+OE^2=R^2+(VE-R) ^2,即R^2=a^2/3+[(√6)a/3-R] ^2,可解得：R=（√6）a/4.另外,我们也可以先求出OE,因为OE恰好是四面体的内切球的半径r。

利用等积法可求得r.设四面体的底面积为S,则1/3*S*（R+r）=4*1/3*S*r,可得r=R/3.于是在Rt△AEO中,有R^2 = AE^2+r^2=a^2/3+R^2/9,从而得R=（√6）a/4。

扩展资料：
正四面体的性质：
1、正四面体的四个旁切球半径均相等，等于内切球半径的2倍，或等于四面体高线的一半。

2、正四面体的内切球与各侧而的切点是侧I面三角形的外心，或内心，或垂心，或重心，除外心外，其逆命题均成立。

3、正四面体的外接球球心到四面体四顶点的距离之和，小于空间中其他任一点到四顶点的距离之和。

4、正四面体内任意一点到各侧面的垂线长的和等于这四面体的高。

5、对于四个相异的平行平面，总存住一个正四面体，其顶点分别在这四个平面上。

简单几何体的外接球和内切球半径的求法1、正方体若正方体的棱长为a ，则其外接球半径为 ，内切球半径为 ，棱切球半径为 球心全是正方体的体对角线的交点32a 12a 22a例：一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是a cm ，求球的体积．解：该球是正方体的外接球，球心到正方体各顶点的距离相等，因此球心是正方体的体对角线的交点，球的直径是正方体的体对角线长设球的半径为R ，a R a R 2332==得则)(23)23(34343333cm a a R πππ==∴球的体积为若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。

外接球的球心到多面体各顶点的距离均相等。

例：将一个棱长为6cm 的正方体铁块磨制成一个球体零件，求可能制作的最大零件的体积。

解：这个最大的球体是正方体的内切球，球心到正方体各个面的距离相等，因此球心是正方体的体对角线的交点，球的直径是正方体的棱长设球的半径为R ，则2R =6，得R =3)(3633434333cm R πππ=⨯=∴最大零件的体积为若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。

内切球的球心到多面体各面的距离均相等。

⑴正方体的内切球直径＝⑵正方体的外接球直径＝⑶与正方体所有棱相切的球直径＝探究 若正方体的棱长为a ，则a3a2a右图，红色球是正方体的棱切球棱切球的球心到正方体各条棱的距离相等，因此球心是正方体的体对角线的交点，球的直径是正方体的面对角线的长2、长方体若长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则其外接球半径为球心是长方体的体对角线的交点222 1+2a b c例：有一个球与长方体的面相切，这个球的最大直径是多少？长方体的长、宽、高中的最小者例：一个长方体的各顶点均在同一个球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为____________若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。

For personal use only in study and research; not forcommercial use四面体外接球的球心、半径求法在立体几何中，几何体外接球是一个常考的知识点，对于学生来说这是一个难点，一方面图形不会画，另一方面在画出图形的情况下无从下手，不知道球心在什么位置，半径是多少而无法解题。

本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。

一、出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。

【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,，则体对角线长为222c b a l ++=，几何体的外接球直径R 2为体对角线长l 即2222c b a R ++= 【例题】：在四面体ABCD 中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为3,61，，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。

解：因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长所以：四面体外接球的直径为AE 的长即：22224AD AC AB R ++= 1663142222=++=R 所以2=R球的表面积为ππ1642==R S二、出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。

【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。

球心为直角三角形斜边中点。

【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球O 的球面上，BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC ,求球O 的体积。

解：BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC , 因为22210517=+ 所以知222PC PA AC += A CD B E所以 PC PA ⊥ 所以可得图形为：在ABC Rt ∆中斜边为AC在PAC Rt ∆中斜边为AC取斜边的中点O ，在ABC Rt ∆中OC OB OA == 在PAC Rt ∆中OC OB OP == 所以在几何体中OA OC OB OP ===，即O 为该四面体的外接球的球心 所以该外接球的体积为3500343ππ==R V 【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。

外接球内切球公式总结外接球和内切球分别是三维空间中一个多面体的外、内接球。

外接球和内切球在计算几何中有着广泛的应用，例如判断多面体的大小、相似性等。

下面对外接球和内切球的公式做出详细总结。

一、外接球外接球是以多面体的所有顶点为球面上的点，且球面必须与多面体紧密相切。

下面给出外接球的计算方法与公式。

1. 普通多面体以正四面体为例，设四面体ABC为正四面体，O为外接球圆心，r为外接球半径，则有以下公式：（1） OA²=3r²;（2） AB²=4r²。

证明：OA²= (0.5AB)²+(AO-BO)²=(0.5AB)²+(3r-0.5AB)²=3r²AB²= (2/3)AH²+(2/3)HB²=(2/3)(AO²-0.25AB²)+(2/3)(BO²-0.25AB²)=4r²2. 不规则多面体以一个三角形棱锥为例，设棱锥ABCDEF的外接球圆心为O，外接球半径为r，则有以下公式：（1）OA²= R² + H²R为三角形ABC的外接圆半径H为三角形ABC到O的距离（2）其他面的公式均可类比。

证明：OA² = OB² + AB²/4= R² + [H + (R²-H²)^(1/2)]²= R² + H² + R² - 2H(R²-H²)^(1/2)= R² + H²二、内切球内切球是以多面体某一面上的所有点为球面上的点，且球面与多面体的这个面及其相邻面紧密相切。

下面给出内切球的计算方法与公式。

1. 普通多面体以立方体为例，设立方体的内切球半径为r，则有以下公式：r = V/4S其中V为立方体的体积，S为立方体的表面积。

内切球，外接球球内接长方体的对角线是球的直径。

正四面体（棱长为a ）的外接球半径R 与内切球半径r 之比为R ：r ＝3：1。

外接球半径：a R 46=。

内切球半径：a r 126= 结论：正四面体与球的接切问题，可通过线面关系证出，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即定有内切球的半径h r 41=(h 为正四面体的高)，且外接球的半径r R 3=． 正四面体的外接球问题：已知正四面体A BCD -，H 为底面的中心，O 为外接球的球心，设棱长为a ，外接球半径为R ，内切球半径为r ，试求R.方法一：易知，由等积法得：（ 可求外接球半径和内切球半径）A BCD O ABC O BCD O CDA O DAB V V V V V -----=+++所以：11433BCD BCD AH S r S ∆∆⋅=⋅⋅ 故14r AH =,34R AH =所以 4R =.方法二：如图AHM BNM ∆≅∆所HM ON AM OA =，即13r R =,又由可得R =. 方法三： 如图设延长AH 交球面上一点K,则AK=2R,在直角三角形ABK 中由射影定理得2AB AH AK =⋅ 即22a R =⋅ 故得R =.方法四：如图正四面体可补成一个边长为2a 的正方体，显然正方体的外接球即为正)22R =故可得4R a =. 四面体的内切球问题：关键是抓住球心到四面体的每个面的距离等于球的半径来找等量关系．【例6】求棱长为a 的正四面体内切球的体积．练习1.（球内接正四面体问题）（2003年江苏卷第12题）一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）ππππ6)33)4)3)D C B A方法一：将这个正四面体放入一个正方体中，再将这个正方体放入球中与球相外接。

因为正方体的对角线就是球的直径，而正四面体的棱就是正方体的侧面对角线。

所以，设正方体的棱长为a ，则有2a=2，a=1，.3,23,332π==∴==∴球S R a R 故选A 。

多面体外接球、内切球半径常见的5种求法 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.公式法例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为３，则这个球的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h，则有263,1,296,8x x x h h =⎧⎧=⎪⎪∴⎨⎨=⎪⎪=⎩⎩ ∴正六棱柱的底面圆的半径12r =，球心到底面的距离d =.∴外接球的半径1R ==.43V π∴=球. 小结 本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.多面体几何性质法例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是A.16πB.20πC.24πD.32π解 设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有2416x =，解得2x =.∴2R R ==∴= .∴这个球的表面积是2424R ππ=.选C. 小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.补形法例3 若三棱锥的三个侧棱两两垂直，则其外接球的表面积是 . 解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为.设其外接球的半径为R ，则有()222229R =++=.∴294R =. 故其外接球的表面积249S R ππ==.小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R，则有2R =寻求轴截面圆半径法例4 正四棱锥S ABCD -S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 .解 设正四棱锥的底面中心为1O ，外接球的球心为O ，如图3所示.∴由球的截面的性质，可得1OO ABCD ⊥平面.又1SO ABCD ⊥平面，∴球心O 必在1SO 所在的直线上.∴ASC ∆的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.在ASC ∆中，由2SA SC AC ===，得222SA SC AC +=.∴ASC AC ∆∆是以为斜边的Rt . ∴12AC =是外接圆的半径，也是外接球的半径.故43V π=球. 小结 根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.确定球心位置法例5 在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --，则四面体ABCD 的外接球的体积为 A.12512π B.1259π C.1256π D.1253π 解 设矩形对角线的交点为O ，则由矩形对角线互相平分，可知OA OB OC OD ===.∴点O 到四面体的四个顶点A B C D 、、、的距离相等，即点O 为四面体的外接球的球心，如图2所示.∴外接球的半径52R OA ==.故3412536V R ππ==球.选C. 出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解【例题】：已知在三棱锥BCD A -中，ABC AD 面⊥，︒=∠120BAC ，2===AC AD AB 解：由已知建立空间直角坐标系)000(，，A )002(，，B )200(，，D 3，，设球心坐BO 式知CD A B S O 1图3A O D B 图4Cy222222)2(z y x z y x ++-=++ 222222)2(-++=++z y x z y x222222)3()1(z y x z y x +-+-=++解得 1331===z y x所以半径为3211331222=++=）（R 【结论】：空间两点间距离公式：221221221)()()(z z y y x x PQ -+-+-=四面体是正四面体外接球与内切球的圆心为正四面体高上的一个点，根据勾股定理知，假设正四面体的边长为a 时，它的外接球半径为a 46。