任意四面体外接球半径的计算公式_赵光明

特殊几何体的外接球半径
首先，我们来看正四面体。

正四面体的外接球半径可以通过其边长来计算。

设正四面体的边长为a，则可以通过公式R = a√6/4来计算其外接球半径R。

接下来是正六面体，也就是立方体。

正六面体的外接球半径可以通过其对角线长度来计算。

设立方体的对角线长度为d，则可以通过公式R = d/2来计算其外接球半径R。

再来看正八面体，外接球半径可以通过其顶点到中心的距离来计算。

设正八面体的顶点到中心的距离为r，则可以通过公式R = r√2来计算其外接球半径R。

除了这些特殊几何体，其他复杂的几何体的外接球半径的计算可能需要更复杂的方法，比如利用向量、线性代数等数学工具来进行推导和计算。

总之，特殊几何体的外接球半径可以通过不同的方法来计算，需要根据具体的几何体形状和特征来确定计算方法。

希望这些信息能够帮助你更好地理解特殊几何体外接球半径的计算方法。

四面体外接球的半径求法
李海玲
【期刊名称】《数理化解题研究：高中版》
【年(卷),期】2016(000)010
【摘要】四面体的外接球问题,作为高考的一个常考知识点,在历年高考题及多地模拟试题中总能见到它的身影,在此将四面体外接球的问题做一说明.一、任意四面体外接球的存在性我们知道,任一三角形都存在外接圆,且三角形外接圆的圆心是三角形各边中垂线的交点.
【总页数】1页(P22-22)
【作者】李海玲
【作者单位】新疆巴州马兰中学，841700
【正文语种】中文
【中图分类】G632
【相关文献】
1.特殊四面体外接球和内切球半径的非常规解法——构造法 [J], 包恩茂
2.揭开多面体外接球的面纱探析多面体外接球半径求法 [J], 薛胜菊;
3.四面体外接球半径的常规求法 [J], 卢伟
4.垂心四面体的勾股4态15个外接球半径、外心坐标及距离的算法——四维体积勾股定理的应用(公式九) [J], 蔡国伟
5.四面体存在外接球及其半径的应用 [J], 邓建祥
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多面体外接球、内切球半径常见的5种求法 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.公式法例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为３，则这个球的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h，则有263,1,296,8x x x h h =⎧⎧=⎪⎪∴⎨⎨=⎪⎪=⎩⎩ ∴正六棱柱的底面圆的半径12r =，球心到底面的距离d =.∴外接球的半径1R ==.43V π∴=球. 小结 本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.多面体几何性质法例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是A.16πB.20πC.24πD.32π解 设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有2416x =，解得2x =.∴2R R ==∴= .∴这个球的表面积是2424R ππ=.选C. 小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.补形法例3 若三棱锥的三个侧棱两两垂直，则其外接球的表面积是 . 解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为.设其外接球的半径为R ，则有()222229R =++=.∴294R =. 故其外接球的表面积249S R ππ==.小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R，则有2R =寻求轴截面圆半径法例4 正四棱锥S ABCD -S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 .解 设正四棱锥的底面中心为1O ，外接球的球心为O ，如图3所示.∴由球的截面的性质，可得1OO ABCD ⊥平面.又1SO ABCD ⊥平面，∴球心O 必在1SO 所在的直线上.∴ASC ∆的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.在ASC ∆中，由2SA SC AC ===，得222SA SC AC +=.∴ASC AC ∆∆是以为斜边的Rt . ∴12AC =是外接圆的半径，也是外接球的半径.故43V π=球. 小结 根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.确定球心位置法例5 在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --，则四面体ABCD 的外接球的体积为 A.12512π B.1259π C.1256π D.1253π 解 设矩形对角线的交点为O ，则由矩形对角线互相平分，可知OA OB OC OD ===.∴点O 到四面体的四个顶点A B C D 、、、的距离相等，即点O 为四面体的外接球的球心，如图2所示.∴外接球的半径52R OA ==.故3412536V R ππ==球.选C. 出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解【例题】：已知在三棱锥BCD A -中，ABC AD 面⊥，︒=∠120BAC ，2===AC AD AB 解：由已知建立空间直角坐标系3，，设球心坐BO 知222222)2(z y x z y x ++-=++CD A B S O 1图3A O D B 图4C y解得 1331===z y x 所以半径为3211331222=++=）（R 【结论】：空间两点间距离公式：221221221)()()(z z y y x x PQ -+-+-=四面体是正四面体外接球与内切球的圆心为正四面体高上的一个点，根据勾股定理知，假设正四面体的边长为a 时，它的外接球半径为a 46。

成都实验外国语高2015届（高三）11月考数学文科题成都实验外国语学校 赵光明 第I 卷（选择题，50分）一、选择题（每小题5分，10小题，共50分，每小题只有一个选项符合要求）1. 若集合}1|{2<=x x M，{|N x y ==，则N M =D A ．N B ．M C ．φ D ．{|01}x x <<2．下列结论正确的是CA ．若向量//a b ，则存在唯一的实数λ使得a λb =；B ．已知向量,a b 为非零向量，则“,a b 的夹角为钝角”的充要条件是“0a b ⋅<”；C ．“若3πθ=，则1c o s 2θ=”的否命题为“若3πθ≠，则1c o s 2θ≠”； D ．若命题2:,10p x R x x ∃∈-+<，则2:,10p x R x x ⌝∀∈-+>3.某程序框图如图1所示，若该程序运行后输出的值是95,则C A ．6a = B ．5a = C ．4a =D ．7a =4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若15S 为一确定常数，下列各式也为确定常数的是（ C ）A ．213a a +B ．213a aC ．1815a a a ++D ．1815a a a5、某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、 俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接 球的表面积为AA.3πB.π4C.π2D.π256下列曲线中焦点坐标为)0,1(-的是( A )A ． 132322=-y xB ．24x y -= C ．13422=-y x D ．13222=+y x俯视图正视图侧视图7．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段AD 1上运动，则异面直线CP 与BA 1所的 θ角的取值范围是D A.B.C.D.8．如图所示，在ABC ∆中，AD DB =，F 在线段CD （不在端点处）上，设AB a =，AC b =，AF xa yb =+，则14x y+的最小值为DA.B. 93C. 9D. 9．设函数f(x)＝⎩⎨⎧x －[x]，x≥0f （x ＋1），x<0，其中[x]表示不超过x 的最大整数，如[－1.3]＝－2，[1.3]＝1，则函数y ＝f(x)－14x －14不同零点的个数为(B)A ．2B ．3C ．4D ．510.对于三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，给出定义：设()f x '是函数()y f x =的导数，()f x ''是()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点00(,())x f x 为函数()y f x =的“拐点”。

四面体外接球表面积公式四面体是由四个面组成的立体图形，其中每个面都是一个三角形。

外接球是能够切过四面体的球，且球的表面刚好与四面体的每个面接触。

四面体外接球的表面积可以通过以下公式计算：S = 4πR²其中，S表示四面体外接球的表面积，π是圆周率（约等于3.14），R是外接球的半径。

为了理解这个公式，我们需要了解四面体和外接球的几何性质。

首先，四面体有几个重要的性质：1. 一个四面体有四个顶点、六条棱和四个面。

2. 如果一条线段既垂直于四面体的平面又垂直于四面体的一个面，那么这条线段称为四面体的高。

3. 四面体的高交于面的中心。

4. 四面体的三个面两两相交于一条线段，这些线段分别称为四面体的棱。

5. 四面体的棱的中点构成一个四面体的内接球的球心。

其次，我们需要了解外接球的性质：1. 外接球的球心位于四面体的高交点。

2. 外接球的球心到四面体的顶点的距离相等，都等于外接球的半径R。

3. 外接球的球心到四面体的面的距离也相等，也等于外接球的半径R。

4. 外接球的球面刚好与四面体的每个面接触，即球面上的每个点都和四面体的一个面相接触。

根据四面体和外接球的性质，我们可以推导得到四面体外接球的表面积公式。

首先确定外接球的半径R，这个半径就等于外接球的球心到四面体任意一个顶点的距离。

由于这个距离相等，我们可以任选一个顶点，假设它到外接球的球心的距离为R。

然后，计算外接球的表面积S。

由于外接球的球面刚好与四面体的每个面接触，所以四面体的每个面的面积等于外接球的球面的一部分。

我们可以将每个三角形的面积进行求和，即可得到外接球的表面积。

由于四面体的每个面都是一个三角形，三角形的面积可以用以下公式计算：A = 0.5 * a * h其中，A表示三角形的面积，a表示三角形的底边长，h表示三角形的高。

我们已经知道四面体的每个面都是一个三角形，所以可以计算出每个面的面积。

接下来，计算外接球的表面积。

由于球面的面积可以用以下公式计算：S = 4πR²其中，R表示外接球的半径。

四面体外接球的球心、半径求法一、出现“墙角〞结构利用补形知识，联系长方体。

【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,，那么体对角线长为222c b a l ++=，几何体的外接球直径R 2为体对角线长l 即2222c b a R ++=【例题】：在四面体ABCD 中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为3,61，，假设该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的外表积。

解：因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长 所以：四面体外接球的直径为AE 的长 即：22224AD AC AB R ++=1663142222=++=R 所以2=R 球的外表积为ππ1642==R S二、出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。

【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。

球心为直角三角形斜边中点。

【例题】：三棱锥的四个顶点都在球O 的球面上，BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC ,求球O 的体积。

解：BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC , 因为22210517=+ 所以知222PC PA AC += 所以 PC PA ⊥ 所以可得图形为： 在ABC Rt ∆中斜边为AC 在PAC Rt ∆中斜边为AC 取斜边的中点O ，在ABC Rt ∆中OC OB OA == 在PAC Rt ∆中OC OB OP ==所以在几何体中OA OC OB OP ===，即O 为该四面体的外接球的球心521==AC R所以该外接球的体积为3500343ππ==R V【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。

AC三、出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解【例题】：在三棱锥BCD A -中，ABC AD 面⊥，︒=∠120BAC ，2===AC AD AB ，求该棱锥的外接球半径。

解：由建立空间直角坐标系)000(，，A )002(，，B )200(，，D )031(，，-C设球心坐标为),,(z y x O 那么AO =距离公式知222222)2(z y x z y x ++-=++222222)2(-++=++z y x z y x222222)3()1(z y x z y x +-+-=++ 解得 1331===z y x所以半径为3211331222=++=）（R 【结论】：空间两点间距离公式：221221221)()()(z z y y x x PQ -+-+-=四、四面体是正四面体处理球的“切〞“外接〞问题与球有关的组合体问题，一种是切，一种是外接。

多面体外接球半径常见的5种求法如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.相关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要使用多面体的知识，又要使用球的知识，并且还要特别注意多面体的相关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.例1 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A.16π B.20π C.24π D.32π解 设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有2416x =，解得2x =.∴2R R ==∴= .∴这个球的表面积是2424R ππ=.选C.小结 本题是使用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这个性质来求解的.补形法 例2，则其外接球的表面积是 . 解正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.设其外接球的半径为R ，则有()222229R =++=.∴294R =. 故其外接球的表面积249S R ππ==.小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就能够将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R，则有2R =寻求轴截面圆半径法例3 正四棱锥S ABCD -S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 .解 设正四棱锥的底面中心为1O ，外接球的球心为O ，如图1所示.∴由球的截面的性质，可得1OO ABCD ⊥平面.又1SO ABCD ⊥平面，∴球心O 必在1SO 所在的直线上. ∴ASC ∆的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.在ASC ∆中，由2SA SC AC ===，得222SA SC AC +=. ∴ASC AC ∆∆是以为斜边的Rt .∴12AC =是外接圆的半径，也是外接球的半径.故43V π=球. 小结 根据题意，我们能够选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解CDAB SO 1图3通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.公式法例4 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为３，则这个球的体积为 .解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h，则有263,1,296,84x x x h h =⎧⎧=⎪⎪∴⎨⎨=⨯⎪⎪=⎩⎩ ∴正六棱柱的底面圆的半径12r =，球心到底面的距离2d =.∴外接球的半径1R ==.43V π∴=球. 小结 本题是使用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.确定球心位置法例5 在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --，则四面体ABCD 的外接球的体积为A.12512πB.1259πC.1256π D.1253π 解 设矩形对角线的交点为O ，则由矩形对角线互相平分，可知OA OB OC OD ===.∴点O 到四面体的四个顶点A B C D 、、、的距离相等，即点O 为四面体的外接球的球心，如图2所示.∴外接球的半径52R OA ==.故3412536V R ππ==球.选C. 小结：巩固练习： 1.三棱锥中，平面，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．2.在三棱柱111ABC A B C -中，已知1AA ABC ⊥平面,12,2AA BC BAC π==∠=，此三棱柱各个顶点都在一个球面上，则球的体积为（ ）A ．323πB ．16πC ．253πD ．312π3.四面体ABCD 中，已知AB=CD=29，AC=BD=34，AD=BC=37，则四面体ABCD 的外接球的表面积（ ） A ．25π B ．45π C ．50πD ．100π4.已知正四面体的棱长为2，则它的外接球的表面积的值为 ．A O DB图45.已知正三棱锥P -ABC ，点P ，A ，B ，C都在半径为的求面上，若PA ，PB ，PC 两两互相垂直，则球心到截面ABC 的距离为________。

四面体外接球的球心、半径求法一、出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。

【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,，则体对角线长为222c b a l ++=，几何体的外接球直径R 2为体对角线长l 即2222c b a R ++=【例题】：在四面体ABCD 中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为3,61，，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。

解：因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长 所以：四面体外接球的直径为AE 的长 即：22224AD AC AB R ++=1663142222=++=R 所以2=R 球的表面积为ππ1642==R S二、出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。

【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。

球心为直角三角形斜边中点。

【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球O 的球面上，BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC ,求球O 的体积。

解：BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC , 因为22210517=+ 所以知222PC PA AC += 所以 PC PA ⊥ 所以可得图形为： 在ABC Rt ∆中斜边为AC 在PAC Rt ∆中斜边为AC 取斜边的中点O ，在ABC Rt ∆中OC OB OA == 在PAC Rt ∆中OC OB OP ==所以在几何体中OA OC OB OP ===，即O 为该四面体的外接球的球心521==AC R所以该外接球的体积为3500343ππ==R V【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。

A CDBEOABCP三、出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解【例题】：已知在三棱锥BCD A -中，ABC AD 面⊥，︒=∠120BAC ，2===AC AD AB ，求该棱锥的外接球半径。

解：由已知建立空间直角坐标系)000(，，A )002(，，B )200(，，D )031(，，-C由平面知识得设球心坐标为),,(z y x O 则DO CO BO AO ===,由空间两点间距离公式知222222)2(z y x z y x ++-=++ 222222)2(-++=++z y x z y x 222222)3()1(z y x z y x +-+-=++解得 1331===z y x所以半径为3211331222=++=）（R 【结论】：空间两点间距离公式：221221221)()()(z z y y x x PQ -+-+-=四、四面体是正四面体处理球的“内切”“外接”问题与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接。

四面体外接球的球心、半径求法一、出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。

【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,，则体对角线长为222c b a l ++=，几何体的外接球直径R 2为体对角线长l 即2222c b a R ++=【例题】：在四面体ABCD 中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为3,61，，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。

解：因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长 所以：四面体外接球的直径为AE 的长 即：22224AD AC AB R ++=1663142222=++=R 所以2=R 球的表面积为ππ1642==R S二、出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。

【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。

球心为直角三角形斜边中点。

【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球O 的球面上，BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC ,求球O 的体积。

解：BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC , 因为22210517=+ 所以知222PC PA AC += 所以 PC PA ⊥ 所以可得图形为： 在ABC Rt ∆中斜边为AC 在PAC Rt ∆中斜边为AC 取斜边的中点O ，在ABC Rt ∆中OC OB OA == 在PAC Rt ∆中OC OB OP ==所以在几何体中OA OC OB OP ===，即O 为该四面体的外接球的球心521==AC R所以该外接球的体积为3500343ππ==R V【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。

A CDBEOABCP三、出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解【例题】：已知在三棱锥BCD A -中，ABC AD 面⊥，︒=∠120BAC ，2===AC AD AB ，求该棱锥的外接球半径。

解：由已知建立空间直角坐标系)000(，，A )002(，，B )200(，，D )031(，，-C由平面知识得设球心坐标为),,(z y x O 则DO CO BO AO ===,由空间两点间距离公式知222222)2(z y x z y x ++-=++ 222222)2(-++=++z y x z y x222222)3()1(z y x z y x +-+-=++ 解得 1331===z y x所以半径为3211331222=++=）（R 【结论】：空间两点间距离公式：221221221)()()(z z y y x x PQ -+-+-=四、四面体是正四面体处理球的“内切”“外接”问题与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接。

对棱相等的四面体外接球半径哎呀，这可是个有趣的问题啊！咱们来聊聊对棱相等的四面体外接球半径吧。

你得知道啥是四面体，对吧？简单来说，就是有四个顶点和四个面的几何图形。

现在，假设这四个顶点连成一个正方体，那么这个四面体就是我们要研究的对象了。

接下来，我们来看看这个四面体的外接球是怎么来的。

你肯定听过一句话：“万物皆可内接于球”，意思是说任何形状的物体都可以放到一个球里头。

那对于这个四面体来说，也是一样的道理。

我们只需要找到一个球，让它的半径等于四面体的对棱长度即可。

这样一来，这个球就叫做四面体的外接球了。

那么问题来了，怎么才能知道四面体的对棱长度呢？别着急，这个问题其实也不难解决。

我们可以先把四面体放在一个正方体里头，然后计算出它与正方体各个面的交线。

这些交线组成的就是一个长方体，而这个长方体的对角线长度就是四面体的对棱长度了。

当然啦，这个过程可能会有点复杂，但是只要你耐心一点，相信你一定能搞定的！好了，现在我们已经知道了如何计算四面体的对棱长度，接下来就要想办法找到合适的球心位置了。

这个问题也很简单，因为我们只需要把这个长方体的中心点当做球心即可。

当然啦，如果你想让球更加完美一些，也可以尝试着调整球心的位置，看看是否能够使得球的半径更加精确。

不过这个问题就有点儿超出了我们的讨论范围了。

我们再来说说如何确定四面体外接球的半径。

这个问题其实也很简单，因为我们已经知道了四面体的对棱长度和长方体的中心点位置，只需要用这两个数据进行简单的计算就可以得出答案了。

具体来说，我们可以用下面的公式来计算：$r=\frac{1}{2}\sqrt{d^2+a^2+b^2}$其中，$r$表示四面体外接球的半径；$d$表示四面体的对棱长度；$a$、$b$分别表示长方体的长宽高。

你看，这个公式是不是非常简单明了呢？只要你掌握了这个公式，就可以轻松地计算出任何四面体外接球的半径了！对于这个问题来说，我们需要掌握的知识并不多，只需要了解四面体的基本性质和计算方法即可。