2008年中山大学高等数学一考研笔记

(二)性质：1.∫aaf (x )dx =02.∫ba f (x )dx =‒∫ab f (x )dx 3.∫ba kf (x )dx =k ∫ba f (x )dx4.∫ba [f 1(x )±f 2(x )]=∫ba f 1(x )dx ±∫ba f 2(x )dx 5.∫ba f (x )dx =∫ca f (x )dx +∫bc f (x )dx6.若f(x)≥0，x [a,b]，则∈∫ba f (x )dx ≥07.若f(x)≥g(x) ，x [a,b]，则∈∫ba f (x )dx ≥∫ba g (x )dx8.m ≤f(x)≤M ，x [a,b]，则m(b-a)≤≤M(b-a)∈ ∫ba f (x )dx (三)基本定理1.积分中值定理：f(x)在[a,b]连续，则在[a,b]中存在一点，使得ξ∫ba f (x )dx =f (ξ)(b ‒a)常把f(称为积分平均值。

ξ) 2.变限积分：函数变上限φ(x )=∫xa f (t )dt φ'(x)=f(x)变下限φ(x )=∫b x f (t )dtφ'(x)=‒f(x)φ(x )=∫u(x)af (t )dtφ'(x)=f[u (x )]∙u'(x)φ(x )=∫bv(x)f (t )dt φ'(x)=‒f[v (x )]∙v'(x)φ(x )=∫u(x)v (x)f (t )dt φ'(x)=f [u (x )]∙u '(x )‒f[v (x )]∙v'(x )3.牛顿-莱布尼茨公式:F’(x)=f(x)则∫ba f (x )dx =F (x )|ba =F (b )‒F(a)第3节反常积分（广义积分）定积分：（1）有限区间。

（2）区间内有界。

(一)无穷区间上的广义积分，若极限存在，称广义积分是收敛的。

若极限不∫+∞a f (x )dx =lim b→+∞∫ba f (x )dx存在，称广义积分是发散的。

1高等数学高中公式三角函数公式和差角公式 和差化积公式sin()sin cos cos sin cos()cos cos sin sin ()11()tg tg tg tg tg ctg ctg ctg ctg ctg αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαββα±=±±=±±=⋅⋅±=±sin sin 2sin cos 22sin sin 2cos sin 22cos cos 2cos cos 22cos cos -2sin sin22αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+-+=+--=+-+=+--= 积化和差公式 倍角公式1sin cos [sin()sin()]21cos sin [sin()sin()]21cos cos [cos()cos()]21sin sin [cos()cos()]2αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ=++-=+--=++-=-+--22222222233322tan sin 22sin cos 1tan cos 22cos 112sin 1tan cos sin 1tan 212 212sin 33sin 4sin cos34cos 3cos 3313tg ctg tg ctg tg ctg tg tg tg tg αααααααααααααααααααααααααααα==+=-=--=-=+-==-=-=--=- 半角公式sincos 221cos sin 2sin 1cos 1cos sin 2sin 1cos tg ctgαααααααααααα==-==++==-　11V =SH V =SH V =)33'棱柱棱锥棱台 球的表面积：4πR 2球的体积：343R π椭圆面积：πab 椭球的体积：43abc π第1章 极限与连续1.1集合、映射、函数空集，子集，有限集，无限集，可列集，积集，区间，邻域，上界，下界，上有界集，下有界集，无界集，上确界，下确界确界存在定理：凡有上(下)界的非空数集必有有限的上(下)确界。

【育明教育】中国考研考博专业课辅导第一品牌育明教育官方网站：12008年中山大学考研真题答案精解之数学分析与高等代数【育明教育】中国考研考博专业课辅导第一品牌育明教育官方网站：22015考研英语写作七大误区词汇与语法错误考研英语写作让很多同学都很头痛，有两点原因：一为词汇，二为语法。

因为英语与汉语的区别是一词多义，非常讲究用词准确而且正式。

同时，英语的词汇非常丰富，一个词语通常都有许多同义词和近义词。

考生如果平时注意积累并加以练习，就能够在考试中熟练地加以运用。

英文写作也同样非常讲究语法，尤其是考研作文作为正式文体，需要注意以下几点小细节：(1)尽量少用缩写形式。

如don't,can't,won't 应写为do not,cannot,will not 等。

(2)用更加正式的否定形式。

如not…any 应写为no,not…much 写为little,not many 写做few 等。

(3)尽量少用"etc.","and so on"等表达方式。

例如：Activities include dancing,singing,etc 。

Activities include dancing,singing,and other fun stuff 。

◎中文式思维模式很多考生在考试过程中把一些中文的成语、谚语翻译成英文，这种做法导致的结果就是文章不仅行文不符合英文的规律，读起来也让人觉得非常不舒服。

纠正中文思维习惯的关键依然在于培养英文语感，同时考生在平时的练习中也要尽量让自己用英文来思考。

如果考生需要用到谚语，名句等，最好的办法是直接掌握英文的谚语、名句，并灵活运用到文章中。

◎注意字数与标点考研英语作文一分钟平均7～8个字，字数多少算个够?自己目测一下，以大作文为例，中等大小一行15字，最起码写到12，13位置,因为阅卷人做的第一件事情就是看你的字数，就看你的位置到没有到。

考研数学一全部知识点总结考研数学一是考研数学中难度较大的一门科目，涵盖了众多的知识点。

以下是对考研数学一全部知识点的总结：一、高等数学1、函数、极限、连续函数的概念及表示法，函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。

数列极限与函数极限的定义及其性质，函数的左极限和右极限。

无穷小量和无穷大量的概念及其关系，无穷小量的性质及无穷小量的比较。

极限的四则运算，极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则。

两个重要极限：sin x/x → 1（x → 0），（1 ＋ 1/x)＾x → e（x → ∞）。

函数连续的概念，函数间断点的类型，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）。

2、一元函数微分学导数和微分的概念，导数的几何意义和物理意义，函数的可导性与连续性之间的关系。

导数的四则运算，基本初等函数的导数，复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法。

高阶导数的概念，某些简单函数的 n 阶导数。

微分中值定理：罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理。

洛必达法则，函数单调性的判别，函数的极值，函数图形的凹凸性、拐点及渐近线。

3、一元函数积分学原函数和不定积分的概念，不定积分的基本性质，基本积分公式。

定积分的概念和基本性质，定积分中值定理。

积分上限的函数及其导数，牛顿莱布尼茨公式，不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法。

反常积分的概念和计算，定积分的应用（平面图形的面积、旋转体的体积、功、引力、压力等）。

4、向量代数和空间解析几何向量的概念，向量的线性运算，向量的数量积和向量积，向量的混合积。

两向量垂直、平行的条件，两向量的夹角。

向量的坐标表达式及其运算，单位向量，方向余弦，向量的模。

平面方程和直线方程，平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件，点到平面和点到直线的距离。

曲面方程和空间曲线方程，常见的曲面（如球面、柱面、旋转曲面）和空间曲线（如空间曲线在坐标面上的投影曲线）。

高等数学第一章整理老师 PPT 形成笔记 第一章 1、设 x, y 为两个变量， D为数集，若对 ∀ x ∈ D ，按某一对应关系 f ，总有唯一确定的一个数 y 与 x 相对应，则 称对应关系 f 是定义在 D 上的函数， 习惯上也称 y 是 x 的函数， 记作  y = f ( x ) x ∈ D ) ,其中 x 称为自变量， y 称 （ 为因变量，也称对应于自变量 x 的函数值．    2、函数的三要素:定义域，值域，对应法则  3、对于函数 y=f(x)，当该函数有实际意义时，它的定义域按实际意义确定．当函数没有实际意义时，它的定义域是 指使函数有意义的全体实数，这样的定义域称为自然定义域，一般所说的定义域大多指自然定义域．  4、函数的表示法： （1）图形法（2）表格法（3）解析法  5、函数的几种特性：函数的单调性  、函数的有界性、函数的奇偶型性、函数的周期性  6、 设函数 f ( x ) 的定义域为 D ， 区间 I ⊂ D． 如果对于 I 上任意两点  x1及x2， x1 < x2 时， 当 恒有 f ( x1 ) < f ( x 2 )  成立，则称函数 f ( x ) 在区间 I 上单调增加；如果对于区间 I 上任意两点 x1 及 x 2 ，当 x1 < x 2 时，恒有f (x1) > f (x2) 成立，则称函数 f ( x) 在区间 I 上单调减少．  单调增加和单调减少的函数统称为单调函数． 从图象上看,  增函数的图象自左向右逐渐上升;  减函数的图象自左向右逐渐下降．  7、对于给定的数列{      },如果当  n  无限递增大时，数列趋近于某一确定的常数  a  ，则称 a 为数列的极限，或称数 列收敛于 a，记为 lim xn = a 或 xn → a (n → ∞)  n →∞9、 如果数列没有极限，就说数列是发散的。

一()0ln lim1ln 1limlimln 01limlim 1x x x x x x x xxxxx x x eeee+→→+∞→+∞++--→→=====()()22222222sin 2cos 2cos 4cos 2cos 4sin 2cos 4sin sin 2cos 4sin cos 12cost tdt t d t t t t tdtt t td t t t t t tdt t t t t t c x c==-=-+=-+=-+-=-+++=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ()()1022132222ln1edx dx xx x ====++⎛+ ⎝⎰⎰⎰()()()2201221141111ln ln 21x x x xxxxxxxexedx dx xd e e e dx de dxx eeex x x -+∞+∞+∞-+∞+∞+∞+∞⎛⎫==- ⎪+⎝⎭+++⎛⎫====-= ⎪+++⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰()5由分析则有1121x x x f yf z f yf z z ϕϕ+'=++⇒='-，()2211y y y xf z xf z z ϕϕϕ'+'=++⇒='-从而1211f yf xf dz dx dy ϕϕϕ'++=+''--()6由分析则有44100256226415S dx ====⎰⎰⎰()7根据对称性则有令2222D x y I dxdy a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰⎰，则2222D y x I dxdy a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰⎰从而()22222222*********D I x y dxdy I ab a b a b ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+⇒=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰()8()()()()2!11002!1212n nn nu n n n n nn≤=<>+-从而级数1n n u ∞=∑收敛二；解：由分析则有 当0x <时，()()11x f x x e -'=-+当01x <<时， ()()11x f x x e-'=+当1x >时 ()()11xf x x e-'=-在0x =和1x =时，导数不存在 由于()()()21,00,11f e f f --===从而()f x 的极大值为2e -和1，极小值为0 三：证明：由分析则有()()()()11111221102214M f x dx f x dx f x dx Mxdx Mx dx ≤+≤+-=⎰⎰⎰⎰⎰四：解：()1令cos ,sin x y ραρα==则有 ()()()()()22,0,00lim,0,0lim cos sin cos sin 0x y f x y f ρραααα→→-=-+=从而得到在原点连续()2经过公式代替可以得到0点的偏导存在，且()()0,0,1,0,0,1x y f f ==-()3由于极限()()()()22,0,022limx y xy xy→+不存在，从而不可微五：解：设()()222,,,1F x y z x y z xy z λλ=+++--，从而可得到20202010x y y x z xy z λλλ+=⎧⎪+=⎪⎨-=⎪⎪--=⎩由分析，当0λ=时，显然不满足上述方程组 当0xy =时，1,2,0z x y λ=-=-==当0xy ≠此时则有2λ=或2λ=-，经检验，都不符合，从而经过分析 可知到原点最小的坐标是()0,0,1-六：解：设2222,x y P Q x yx y=-=++，显然可知()22222P Q x yxyxy∂∂-==∂∂+，由此，可以得到4LF d s π=⎰七：解：设()()2211nn xS x x ∞==+∑，从而得到()00S =，当0x ≠时，()211S x x=+由于()S x 不连续，从而级数()2211nn xx ∞=+∑不一致收敛八：解：由分析，可设123a a a ===从而可以得到12sin2n n a π+=，而显然可得到12n n a π+≤，而级数112n n π∞+=∑收敛，从而原级数收敛。