中山大学601高等数学(A)历年考研试题

2010年中山大学研究生入学考试高等代数试题及其解答1．(15分)证明3()51f x x x =-+在有理数域上不可约.证明：只需要证明()f x 无有理根即可.()f x 首项系数和常数项都为1，故可能的有理根为1±.但 (1)20,(1)50f f =-≠-=≠，所以()f x 无有理根.2．(15分)计算12n na x a a a a x a D aaa x ++=+.解：(加边法)11221110001110011100(1)110nnn i i i i nna a a a x a a x D a a x a x a x x aaa x x ==---+=+==-+∑∏231211()ni n n i x a x x x x x x -==-+∏3．(15分)设,A B 都是n 阶可逆矩阵，证明0A D C B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦必为可逆矩阵，并求D 的逆矩阵.证明：由10000m n I A A CA I C B B -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 知000A D A B B==≠，所以矩阵D 可逆，且有11111110000m n I A A D CAI B B CA B -------⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦4．(15分)将矩阵100201010A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦表示成有限个初等方阵的乘积.解：因为100100100100100011010210201010001011001010001⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦所以111100100100100100201210010011010010001011001001---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦100100100100210010011010001011001001⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦5．(15分)设A 是3m ⨯矩阵，且()1R A =.如果非齐次线性方程组Ax b =的三个解向量123,,ηηη满足1223311012,1,0311ηηηηηη⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=+=-+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，求Ax b =的通解. 解：由题意Ax b = 的通解可表示为*123x αηβηγη=++，,,R αβγ∈.令123112223131()()()x x x αηβηγηηηηηηη++=+++++则有131223x x x x x x αβγ+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ ，解得1233222x x x αγββγααγβ+-⎧=⎪⎪+-⎪=⎨⎪+-⎪=⎪⎩故*112223131()()()201723212(,,)721212x x x x R ηηηηηηαβγαβγ=+++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+-+∈⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦6．(15分)研究下列向量组的线性相关性1111012,2,0352ααα-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 解：设1122330x x x ααα++=即131212302203520x x x x x x x -=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩(1)其系数行列式为11220200352--=≠-，故齐次线性方程组(1)有非零解.所以123,,x x x 不全为零，向量组123,,ααα线性相关.7．(20分)设A 是3阶矩阵，它的3个特征值为1231,1,2λλλ==-=，设325B A A =-，求,5B A E -.解；由题意∃可逆矩阵T ，∂ 1100010002T AT -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦于是1131213124005()5()0600012T BT T A T T A T T AT T AT ------⎡⎤⎢⎥=-=-=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦11400(5)5060003T A E T T AT E ---⎡⎤⎢⎥-=-=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦故288,572B A E =--=-.8．(20分)设是对称矩阵220212020A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，求正交矩阵T ，使1T AT -为对角阵.解；(1)(2)(4)E A λλλλ-=-+-,所以A 得特征跟为1,2,4λ=-.对1λ=，解齐次线性方程组()0E A X -=得特征向量为1(2,1,2)α=-； 对2λ=-，解齐次线性方程组(2)0E A X --=得特征向量为2(1,2,2)α=； 对4λ=，解齐次线性方程组(4)0E A X -=得特征向量为3(2,2,1)α=--； 因为123,,ααα彼此正交，所以将其分别单位化得123212122221,,,,,,,,333333333γγγ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.令()'''123,,T γγγ=，则T 为正交可逆矩阵，且有1100020004T AT -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦为对角阵. 9．(20分)设A 是n 阶下三角阵.如果1122nn a a a === ，且至少有一00000()i j a i j ≠>，证明:A 不可对角化.证明：E A λ-的最小多项式为11()n a λ-，又有命题A 可对角化的⇔A 的最小多项式无重根[1].显然A 不可对角化.参考文献：[1] 贾正华.矩阵可对角化的几个判定方法.巢湖学院学报[J].2010,12(6).。