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性质３： 若n+m=p+q， 则am+an=ap+aq.
猜想3：若n+m=p+q， 则bn · m=bp · q. b b
bn bm q
证明:
nm
.
, bn b1 q ，
m1
n1
bm b1 q
m1
bm q
n m
b1 q
q
n m
b1 q
n 1
q与{an}
an+1 an = q(常数)
首项a1, 公比q(q≠0)
q＞0 {an }中各项同号
{an }递减
{an }为常数列
q＜0
q＝1
{an }中的项正负相间
{an }为非零常数列
d＝0
通项 公式 中项
an= a1+（n-1）d
a,A,b成等差,则2A=a＋b
an= a1· n-1 q
a,G,b成等比, 则G2=ab
1 Tn a1 a2 an 1 an n 序 n
倒
1 Tn n an an 1 a2 a1 n
相 乘
例2: 三个数成等比数列，它们的和等于21， 7 倒数的和等于 ，求这三个数.
12
• 分析：若三个数成等差数列，则设这三个数为a-d,a,a+d. • 由类比思想的应用可得: 若三个数成等比数列，则设这三个数
由等差数列的性质，猜想等比数列的性质
{an}是公差为d的等差数列 {bn}是公比为q的等比数列
性质１：an=am+(n-m)d. 猜想1： b q n m . bn m
猜想2： 性质２：若an-k,an,an+k 若bn-k,bn,bn+k 是{an}中的三项， 是{bn}中的三项， 则2an=an+k+ an-k. bn2 bnk bnk . 则
nm
若bn-k,bn,bn+k 是{bn}中的三项 则 bn2 bnk bn k . 若n+m=p+q 则bn bm=bp bq
变式：（1）在等比数列an 中，a1 1, a5 9, 则a3 3 ,q 3.
(2)在等比数列an 中，a15 10, a45 90, 则a60 270.
(3)在等比数列an 中，若a1 a2 2, a3 a4 4， 则a4 a5 1 (4)在 和n间插入n个正数，使得这n 2个数成等比数列， n 求插入的这n个数的积.
bn .
若n+m=p+q,
则bn bm=bp bq.
n1
证明: bn bm b1 q1
2 1
b q ， q 1 b p bq b1 q b q1 2 b1 q ， n m p q， bn bm bp bq .
1 1 7 (q 1 ) . a q 12
得a 36.2Fra biblioteka 6,
1 q 2或 . 2
例3:a,b,c,d成等比数列,a+b,b+c,c+d均不为0.
求证:a+b,b+c,c+d成等比数列.
变式： 已知数列an 满足a1 1, an 1 2an 1， (1)求证：数列an 1 是等比数列；
a 为 , a, a q，再联立方程组. q
三个正数成等比数列，他们的和等于21， 7 倒数的和等于 ，求这三个数.
12
解：设三个正数为
a a a q 21 ， q
q 1 1 7 ， a a aq 12
a , a, a q. q
1 a ( 1 q) 21 ， q
等差数列
等比数列 如果一个数列从第2项起，每 一项与它的前一项的比等于同 一个常数，那么这个数列就叫 做等比数列.
如果一个数列从第2项起， 定义 每一项与它前一项的差等于 同一个常数，那么这个数列 就叫做等差数列. 数学 an+1-an= d(常数) 表达 符号 首项a1, 公差d 表示 d＞0 {an }递增 d与{an} d＜0
(2)求数列an 的通项公式.
小结
等差数列与等比数列的性质
{bn}是公比为q的等比数列
{an}是公差为d的等差数列
性质１：an=am+(n-m)d 性质２：若an-k,an,an+k 是{an}中的三项， 则2an=an+k+ an-k. 性质３： 若n+m=p+q 则am+an=ap+aq
bn bm q
反之成立吗? 不一定，当q=1时不成立.
n m2 1 p 1 1 1 p q 2 1
b1 q1
m1
如数列an : 1,1,1,1
例1: ⒈在等比数列{an}中，a2=-2,a5=16， -128 a8= . ⒉在等比数列{an}中，且an＞0， a2 a4+2a3a5+a4a6=36,那么a3+a5= _ 6 . ， ⒊在等比数列{an}中，若 a4 a7 a13 a16 625 则a10= 5 .
