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量子物理第2讲——实物粒子的二象性 波函数及其物理意义 不确定度关系

量子物理第2讲——实物粒子的二象性 波函数及其物理意义 不确定度关系

波函数本身没有直接的物理意义，也不能从实验中
直接测量。| (x, y, z,t) |2 代表在时空点 (x, y, z,t)
发现粒子的概率密度。 的具体形式决定粒子
的概率分布。
物质波因此又称作概率波。
1954，分享Nobel物理奖 .
15
c) 波函数的归一化条件和标准条件
归一化条件： (x, y, z,t) 2 dV 1
量子物理第2讲 ——实物粒子的二象性 波
函数及其物理意义 不确定度关系
主要内容
三、实物粒子的二象性
四、波函数及其物理意义 五、不确定度关系
1
热辐射 、平衡热辐射 、黑体
单色辐出度：M (T )

dM
d
.
辐射出射度：M (T )

0 M (T )d .
所有黑体的辐射规律相同：
(1) Mb (T ) 仅是 T和 的函数；
，观察到了与 X射线的 晶体衍射类似的电子衍 射现象。 电子的波动性 （First）.
电 子 枪

镍单晶靶
探测器

强度
8
汤姆逊（1927）： 电子束通过薄金属箔，
产生清晰的电子衍射图样。 电子的波动性
二十世纪三十年代以后： 所有微观粒子都具有波动性。 作用：分析分子结构、晶格缺陷等。 电子显微镜：高倍放大、精细的分辨能力。 1937 Nobel物理奖：C.J.Davisson & G.P.Thomson
粒子观点：光的强度正比于光子数、正比于 发现光子的概率。
故：在某处发现一个光子的概率与该处光矢 量振幅的平方成正比。
14
在某处发现一个微粒的概率正比于描述该微粒
的波函数振幅的平方。

量子物理2 德-波 波函数 薛定谔方程

量子物理2 德-波 波函数 薛定谔方程

电离能：
E电离=E∞－En=－En
紫外区
1
赖曼系 巴耳末系
E1 En 2 n
－13. 6
帕邢系
1000
1300
2000
3000
5000
10000 20000 A
。
氢原子的能级与光谱
2)氢原子光谱线的波数公式 当原子从较高能态 En向较低能态 Em 跃迁时 ，发射一个光子，其频率满足: h E E
由不确定关系有
ΔP
在宏观现象中，不确定关系可以忽略。
【例】设子弹质量为0.01kg，枪口直径为0.5cm， 试分析波粒二象性对射击瞄准的影响。 解 横向速度的不确定度为
1.05 10 30 v x 1.1 10 (m s ) 2 2 2mx 2 10 0.5 10
§1 薛定谔方程
1926年，在一次学术讨论会上，当薛定谔介绍完 德布罗意关于粒子波动性假说的论文后，物理学家德 拜（P.Debey）评论说：认真地讨论波动，必须有波动 方程。 几个星期后，薛定谔又作了一次报告。开头就兴 奋地说：“你们要的波动方程，我找到了！”这个方 程，就是著名的薛定谔方程。
玻恩对 的统计解释(1926) ：波函数 是描 述粒子在空间概率分布的“概率振幅”。 其模平方
(r , t ) Ψ (r , t ) (r , t ) ——概率密度
*
2
代表 t 时刻 在 r 端点处单位体积中发现一个 粒子的概率 t 时刻在 r 端点附近dV z Ψ dV 内发现粒子的概率为：
三、对波粒二象性的理解 怎样理解微观粒子既是粒子又是波?
根据电子双缝衍射实验 再作单电子双缝衍射实验 双缝
现代实验技术可以做到一次一个电子通过缝 为防止电子间发生作用，让电子一个 一个地入射，发现时间足够长后的干涉图 样和大量电子同时入射时完全相同。

量子力学(二)习题参考答案

量子力学(二)习题参考答案

2µ (U1 − E ) h2 2µ E h2
ψ 2 '' ( x) + k 2ψ 2 ( x ) = 0, k =
西华师大物理与电子信息学院
4
四川省精品课程——量子力学补充习题参考答案
ψ 3'' ( x) − β 2ψ 3 ( x) = 0, β =
其解分别为：
2µ (U 2 − E ) h2
ψ 1 ( x) = A1eα x + B1e −α x ψ 2 ( x) = C sin(kx + δ ) ψ 3 ( x ) = A2e β x + B2 e− β x
2
2
⑤
而透射系数
⑥
2） 、当 E＜U0 时，有ψ 2 '' ( x ) − k3 2ψ 2 ( x ) = 0 ， k3 = 其解为：ψ 2 ( x ) = Ce
− k3 x
+ De k3 x = Ce − k3 x （ψ 2 有限条件）
⑦
以下可以重复前面的求解过程。 不过， 为了简单我们亦可以在前面得到的结果⑤中做代 换 k2 ＝i k3 ，得到
由（18）式， （16） 、 （17）变成 或由 （19） 式， （16） 、 （17） 变成
（20）或（21）式就是讲义上习题 2．7 的结果。 a) 将 δ = 0 代入ψ 2 ( x) 中有：ψ 2 ( x) = C sin kx 由连续性条件：ψ 2 ( a) = ψ 3 ( a ) → C sin( ka ) = B2 e − β a
ψ m (ϕ ) =
除了 m=0 的态之外， E m 圴是二重简并的。 5、梯形式——— U ( x ) =
0, x < 0 U 0 , x > 0

量子力学2

量子力学2
假设（1924 年 ）
量子力学基础
德布罗意假设：实物粒子具有波粒二象性 .
E h
p
h

2
E mc h h 德布罗意公式 h h p mv 1）若 v c 则 m m0 注意
若
v c 则 m m0
2）宏观物体的德布罗意波长小到实验难以测 量的程度，因此宏观物体仅表现出粒子性 .
理学院 黄玉
d sin k , k 1,2,3,
K=1 得 =16.5nm
德布罗意物质波理论 电子的德布罗意波长：
h p
量子力学基础
h 2meU
16.7 nm
理论值与实验结果符合的非常好！！
2 G .P .汤姆孙电子衍射实验 ( 1927年 ) 电子束透过多晶铝箔的衍射
mn 1.67 10
慢中子的德布罗意波长
理学院 黄玉
3 2 kT 3.85 10 eV 2 27
kg
24 1
p 2mn 4.5410 kg m s
h 0.146nm p
德布罗意物质波理论 11.5 德布罗意波的统计解释
量子力学基础
经典粒子 不被分割的整体，有确定位置和运动轨道 ； 经典的波 某种实际的物理量的空间分布作周期性的变 化，波具有相干叠加性 . 二象性 要求将波和粒子两种对立的属性统一到同一 物体上 . 1926 年玻恩提出 德布罗意波是概率波 . 统计解释：在某处德布罗意波的强度是与粒子在 该处邻近出现的概率成正比的 . 概率概念的哲学意义：在已知给定条件下，不 可能精确地预知结果，只能预言某些可能的结果的 概率 . 理学院 黄玉
结果表明：原子中电子速度的不确定量与速度本身的大 小可比，甚至还大。微观粒子的波粒二象性可用不确定 关系具体说明。

量子力学解答(1-2 章)

量子力学解答(1-2 章)

ψ (0) = 0, ψ ( a ) = 0,
B ≠ 0, ⇒ k =
⇒ A=0 ⇒ B sin ka = 0
归一化，
答
案
i ⎧ 2 nπ − h E n t sin xe , ⎪ 得： ψ n ( x, t ) = ⎨ a a ⎪ 0, ⎩
网
ww
∫
a
0
B 2 sin 2
nπx dx = 1, ⇒ B = a
&dx = ∫ mx & ∫ pdq = ∫ mx
后
3 h 2 k 2 n 2 1/ 3 ( ) , n = 1,2,3... 2 m v v kr ) 证明: 注意到 F = − = − kr , 径向牛顿力学方程为 r k k = ma n = mrω 2 , 即 rω 2 = m 0 0 v ˆ ⋅ dr = ∫ − kdr = kr 选取 r=0 为势能零点, 势能为 E p = ∫ − kr
ww
对全空间积分并注意可与对时间求导交换，得：
//
w.
∂ * h2 h2 * 2 2 * ih (ψ 1ψ 2 ) = − (ψ 1 ∇ ψ 2 − ψ 2 ∇ ψ 1 ) = − ∇ ⋅ (ψ 1*∇ψ 2 − ψ 2 ∇ψ 1* ) ∂t 2m 2m
粒子在一维势场 V(x) 中运动，V(x) 无奇点，设
v

∫ψψ
全 * 1
2
dτ
之值与时间无关. 证明: 由 Schrodinger 方程：
∂ψ 1 h2 2 ih = (− ∇ + V )ψ 1 ∂t 2m ih ∂ψ 2 h2 2 = (− ∇ + V )ψ 2 ∂t 2m ∂ψ 1* h2 2 = (− ∇ + V )ψ 1* ∂t 2m

量子力学1-2

量子力学1-2
§2 电流和静磁场
一、电荷守恒定律
1、电流强度和电流密度（矢量） 电流强度和电流密度（矢量） I： 单位时间通过空间任意曲面的电量（单位：安培） 单位时间通过空间任意曲面的电量（单位：安培）
v J:
大小：单位时间垂直通过单位面积的电量 大小： 方向：沿导体内该点上的电流方向 方向：
r r 两者关系： 两者关系： I = dI = J ⋅ dS ∫ ∫
二、毕奥萨伐尔定律
1、毕奥萨伐尔定律（电流决定磁场的实验定律） 毕奥萨伐尔定律（电流决定磁场的实验定律） r v v v v r 上的电流密度， 设 J (x′)为源点 x′上的电流密度，r 为由 x′点到场点 x 的距离， 的距离，则
r 线电流元为： 线电流元为： Idl
r 体电流元为： 体电流元为： JdV
µ0 I r µ0 I = − + e =0 2 2 z 2π r 2π r
(r > a)
(r < a)
r r µ0 I r ∇× B = 2 ez = µ0 J πa
意义： 意义：某点邻域上的磁感应强度的旋度只和该点上的电流密度有 虽然对任何包围着导线的回路都有磁场环量， 关，虽然对任何包围着导线的回路都有磁场环量，但是磁场的旋 度只存在于有电流分布的导线内部， 度只存在于有电流分布的导线内部，而在周围空间中的磁场是无 旋的。 旋的。
又 ∵
Q = ∫ ρdV
V
dQ d ∂ρ ∴ = ∫ ρdV = ∫ dV V ∂t dt dt V
所以有： 所以有：
∫
S
r r J ⋅ dS = −
∫
∂ρ dV V ∂t
d dQ = 0 Q=C ρdV = 0 全空间总电荷守恒 ∫V dt dt

量子物理第二章-薛定谔方程ppt课件.ppt


P2 Ψ 2
2 2Ψ
2m
x 2
i Ψ t
E
Ek
P2 2m
一维自由粒子的 含时薛定谔方程
2、一维势场 U (x,t) 中运动粒子薛定谔方程
E
Ek
U
(x,t)
P2 2m
U
(x,t)
Ψ t
i
EΨ
2Ψ x 2
P2 2
Ψ
Ψ t
i
[
P2 2m
U
(x,
t)]Ψ
2
2m
2Ψ x2
P2 Ψ 2m
2 2m
0
波函数本身无直观物理意义，只有模的平方反映粒子出 现的概率，在这一点上不同于机械波，电磁波!
2、玻恩（M..Born)的波函数统计解释:
概率密度： w Ψ (r,t) 2 ΨΨ*
单位体积内粒子出现的概率! 3、波函数满足的条件
1、单值： 在一个地方出现只有一种可能性； 2、连续：概率不会在某处发生突变； 3、有限 4、粒子在整个空间出现的总概率等于 1
(x) Asin(kx ) ( a x a)
（2）确定常数 A、
2
2
由波函数连续性， 边界条件 (-a/2) = 0 (a/2) = 0
Asin( ka 2 ) 0 ka 2 l1
Asin( ka 2 ) 0
2 (l1 l2) l
ka 2 l2 l
2
1）当 l 0 时 o Asin kx ——奇函数。 2）当 l 1 时 e Acos kx ——偶函数。
3. 薛定谔方程是对时间的一阶偏微分方程, 因此波动形式 解要求在方程中必须有虚数因子 i，波函数是复函数。
4. 只有动量确定的自由粒子才能用平面波的描写。

量子物理 第二章 薛定谔方程


v v Ψ ( r , t ) = ψ ( r ) f (t )
ih df 1 ⎡ h2 2 v ⎤ （1） ⇒ = − ⎢− ∇ + U ( r ) ⎥ψ = E f dt ψ ⎣ 2μ ⎦
（2）
⎡ h2 2 v ⎤ v v ∇ + U ( r ) ⎥ψ ( r ) = Eψ ( r ) ⎢− ⎣ 2μ ⎦
当
A≠0 B=0 nπ αn =
2a
，有
sin αa = 0
(6)
（n为偶数） ，有
当
A=0 B≠0
nπ αn = 2a
cos αa = 0
(7)
（n为奇数）
(6)和(7)两式统一写成
nπ αn = , 2a
n = 1,2,3, L
（8）
22
2.3 一维无限深势阱 The infinite potential well
（3）
10
2.2 定态薛定谔方程 Time independent Schrödinger equation
df ih = Ef (t ) dt
（4） （2） 令 则 （4）
i − Et h
⇒
f (t ) = Ce
（5）
i − Et h
v ⇒ Ψ ( r , t ) = ψ ( r )e
（6）
ω = E/ h E =hω
9
2.2 定态薛定谔方程 Time independent Schrödinger equation
1．定态，定态波函数 v ∂Ψ(r , t ) ⎡ h 2 2 v ⎤ v = ⎢− ∇ + U (r , t )⎥ Ψ(r , t ) ih ∂t ⎣ 2μ ⎦ 若
（1）

wang量子物理2


——交叉项即为干涉项
物质波的干涉，是由于概率幅的线性叠加产生的。 微观粒子的物质波是一种几率波，这种几率好像一只 无形的手控制着电子出现在空间某一位置的几率。
6. 波函数统计诠释涉及对世界本质的 认识争论至今未息 概率波的哲学意义： 在已知给定条件下，不可能精确 地预知结果，只能预言某些可能结果的概率。 即没有严格的因果关系！
3. 概率密度 1)概率幅 物质波的波函数 是描述粒子在空间概率 分布的“概率振幅” 2)概率密度
2 概率幅模的平方 r , t = r , t r , t
叫概率密度
概率密度 r , t 2 = r , t r , t 物理涵义
→物质波的本质：描述粒子在空间出现的概率
7 个电子
100 个电子
若使一个电子 反复多次通过 缝，会出现相 同的衍射图样。
3000 个
20000个
来源于“一个 电子”所具有 的波动性，而 不是电子间相 互作用的结果。
70000个
机枪的双缝实验 · 子弹对双缝乱射，观察屏上枪眼的强度分布。 两孔都打开时的强度分布是两孔分别打 开时强度的直接相加 n12 = n1 + n2 无干涉现象。
P1
S
1
D
2
P12
P12
P2
A B
微观粒子 不是经典 粒子！
电子双缝衍射现象
5.概率幅叠加
1 缝单独开： 2 缝单独开： 1、2 都开： 应为概率幅叠加
1 2
2 2
=P 1 = P2
2 2
P P P2 = 1 2 12 1
12 = 1 2
2
P = 12 12
2
= 1 2

量子物理第二章薛定谔方程(20211023)(有补充)

第27章薛定谔方程·德布洛意关于物质波的概念传到苏黎世后，薛定谔作了一个关于物质波的报告，报告后，德拜(P.Debye)评论说：有了波，就应有一个波动方程。

几个月后，薛定谔果然提出了一个波方程，这就是后来在量子力学中著名的薛定谔方程。

·薛定谔方程是量子力学的动力学方程，象牛顿方程一样，不能从更基本的方程推导出来；它是否正确，只能由实验检验。

§1 薛定谔方程的建立(一种方法)一.薛定谔方程1.一维薛定谔方程·一维自由运动粒子无势场，不受力，动量不变。

· 一维自由运动粒子的波函数(前已讲)由此有· 再利用 可得此即 一维自由运动粒子(无势场)的薛定谔方程·推广到若粒子在势场U (x , t ) 中运动由 有 ∂ψ∂ x = ( )P ψi h∂2ψ ∂ x 2 P 2h 2= -( ) ψ P 22m E = P 22m E = +U (x , t )∂ t= i h ( ) ψ (x , t )h 22m - ( ) ψ (x , t ) ∂x 2∂ ∂2一维薛定谔方程 式中 ψ =ψ (x , t )是粒子在势场U = U (x , t ) 中运动的波函数·和经典关系相比较,只要把再作用到波函数 ψ (x , t ) 上，即可得到 上述方程。

P 22m E = +U (x , t )2.三维薛定谔方程式由一维方程推广可得三维薛定谔方程式· 拉普拉斯算符(三维薛定谔方程式在球坐标下的形式请见 教材B 版p332)·当 U (r , t) = 0时，方程的解， 即三维自由运动粒子的波函数∂2 ∂x 2 ∂2 ∂y 2 ∇2≡ + + ∂2 ∂z 2·波函数的叠加原理薛定谔方程是ψ的线性微分方程；若ψ1、ψ2是方程的解，则c1ψ1 + c2ψ2也是方程的解。

(c1、c2是常数)★E.Schrodinger & P.A.M.Dirac 荣获1933年Nobel Prize (for the discovery of new productive forms of atomic theory)薛定谔(1887-1961)奥地利人创立量子力学二.定态薛定谔方程 1.一维定态薛定谔方程 若粒子在恒定势场U = U (x ) 中运动(含常数势场U = U 0 )薛定谔方程式可用分离变量法求解。

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第二章 薛定谔方程
（Schrodinger equation）
1
本章目录
§2.1 薛定谔方程的建立 §2.2 无限深方势阱中的粒子 §2.3 势垒穿透
§2.4 一维谐振子 *§2.5 力学量算符的本征值问题
2
§2.1 薜定谔方程的建立
1926年初薛定谔在介绍德布罗意波的报告后， 德拜指出： 对于波，应该有一个波动方程。” “ 几周后薛定谔找到（提出）了波函数满足的微 分方程 — 薛定谔方程，从而建立了描述微观粒
二. 关于薛定谔方程的讨论
ˆ (r , t ) 是量子力学 薛定谔方程 i (r , t ) H t
的一个“基本假定”。 所以它的 1. 薛定谔方程是线性偏微分方程， 解满足态叠加原理。 若 1 (r , t ) 和 2 (r , t ) 是薛定谔方程的解， 2. 薛定谔方程关于时间是一阶的， 这不同于 2 经典波动方程： u 2 2 （时间二阶） 2 8
海森伯（Heisenberg，德，1932 Nob)， 狄拉克（Dirac，英，1933 Nob ）， 泡利（Pauli，美，1945 Nob）， 都对量子力学做出了重要的贡献。
海森伯 狄拉克 泡利 （19011976） （19021984） （19001958）12
§2.2 无限深方势阱中的粒子
（2）全部波函数 i Ent 考虑振动因子有 n ( x , t ) n ( x ) e （驻波解） 该函数称“能量本征波函数”， 每个本征波 函数所描写的状态称粒子的“能量本征态”。 2 2 （3）概率密度：|n ( x, t ) | | n ( x) | 22
En 束缚态
一. 一维无限深方形势阱中的波函数与能量
U(x) U=U0 E U=0 0 金属 U=U0 U→∞ U(x) U→∞ E
极
限
U=0
x
a x a / 2 U ( x) ， 0 2 d2 ˆ x a / 2 U ( x) 0 ， H 2m d x 2
x a /2 0 a /2 无限深方势阱 （potential well）
t
则 c1 1 (r , t ) c2 2 (r , t ) 也是薛定谔方程的解。
三.定态薛定谔方程
若 U U (r ) 与t无关，则薛定谔方程可分离变量。 d T(t ) ˆ (r )]T (t ) 设 (r , t ) (r ) T (t ) ， i 则 (r ) [ H
14
ˆ H E
∵ E > 0， ∴ 可令
d 2mE 2 2 dx
2
2mE
2
k
2
d2 k 2 0 d x2
通解： ( x ) A sin kx ） （ 待定常数A、 由 应满足的物理条件决定。 以上的解已自然满足单值，有限的条件。
15
连续条件： 由于边界外 = 0，所以有：
本节我们将在一种具体情况下，求解
2 2 定态薛定谔方程 [ U ( r )] ( r ) E ( r ) 2m
从数学上来讲：E 不论为何值该方程都有解。 从物理上来讲：E只有取某些特定值，该方 程的解才能满足波函数单值、有限、连续和 归一的条件， 特定的E值称为能量本征值。 特定的E值所对应的方程称为能量本征方程， 相应波函数称为能量本征函数。 13
2 2 ˆ 引入算符 H U ( r , t ) — 哈密顿算符 2m (Hamiltonian operator) ˆ H ˆ 0， 若 则称 H为能量算符（反映粒子总能量） t ˆ ˆ 后，有 i H — 非定态薛定谔方程 引入 H t
以上是非相对论、不发生实物粒子产生和淹 灭（可发射、吸收）时粒子波函数满足的方程， 它是非相对论量子力学的基本方程。 7
得
π 2 En n 2 2ma
2 2
n 1， 3， 2，
18
这表明，束缚在势阱内的粒子的能量只能 每一能量值对应 取离散值En — 能量量子化， 一个能级，En称为能量本征值， n称为量子数。
π —— 零点能 最低能量 E1 0 2ma 2 π2 2 1 能级间隔 Δ En En1 En (2n 1) 2 2ma ma2 Δ E n 2n 1 2 1 n 1 2 En n n n a Δ En Δ En ， n En m
令
16
▲
▲
l = 0 时， = 0， o Asinkx 是奇函数 l =1 时， = /2， e Acoskx 是偶函数
(odd function)
l 为其他整数值时， 所得解与o(x)、e(x) 形式相同（可能差正、负号，但不影响| |2）。 1. 能量 E 但能否E = 0呢？ 从能量的意义看，应有E 0， 在限定粒子的位置范围的情况下（在势阱中），
子运动规律的学科 — 量子力学。 薛定谔方程是描述微观粒子的基本方程， 它是不能够由其它基本原理 同牛顿定律一样， 它最初只是一个假定， 后来通过 推导出来的， 实验检验了它的正确性。 3
1933年诺贝尔
物理学奖获得者
—— 薛定谔
• Erwin Schrodinger • 奥地利人 • 1887-1961 • 创立量子力学
(even function)
由不确定关系知，动量的不确定量应不为零，
所以动量P > 0， E > 0 k 2mE 017。
能量 E 能连续吗？ 由 o (a / 2) A sin( ka / 2) 0 ka n π, n 2，，， （k 0 n 0） 4 6 由 e (a / 2) A cos( ka / 2) 0 ka n π, n 1 3，， ， 5 两者合并在一起，可得 ka n π , n 1 2 3 4 5 ， ， ， ， ， 2mE nπ 2 2 由 k （ ） 2 a
a/2 2 2 a/2 2 A a / 2 sin

nπ a 2 dx A a 2
由此得
2 A a
21
所以有能量本征函数： a n 4， o n sin x （n 2， 6， ）
2 a a n 3， e n cos x （n 1， 5 ） 2 a 0
a x 2 a x 2
n
n |2 势阱内粒子概率分 |
布与经典情况不同
(bound state)
2a n , n n
E4
a n 4 , 4 2
n很大时，势 阱内粒子概率 分布趋于均匀。
|n|
2
E3
E2 E1
a 2
2a n 3 , 3 3 En
n 2 , 2 a
a 2
0
a 2
双方同除 (r ) T ( t ) ， 则有：
d T( t ) 1 1 ˆ 令 i H ( r ) E — 必须为常量 d t T (t ) (r )
ˆ (r , t ) i (r , t ) H t
2 2 ˆ H U (r , t ) 2m
2 2
宏观情况或量子数很大时，可认为能量连续。 19
2. 波长 由能量、动量关系和德布罗意关系，有
p 2mEn pn h
n
2a 德布罗 n n 意波长
上式表明，德布罗意波具有驻波的形式 （势阱边界为波节）。 每一个能量的本征态， 对应于德布罗意波的一个特定波长的驻波。 由于势阱中德布罗意波只有形成驻波才能 稳定，所以也可以反过来说，势阱中的能量 量子化是德布罗意波形成驻波的必然结果。 20
4
一. 薛定谔方程（1926）
寻找粒子满足的微分方程的思路：
由一维自由粒子的波函数 ( x , t ) 0 在非相对论情况下，有：
t 2 x2
i p2 i E 2m 2 2 2 p2 p 2 2 2m x 2m
dt
d T (t ) ˆ (r ) E (r ) 分别有：i ET ( t ) 和 H 9 dt
d T (t ) 方程 i ET ( t ) dt
解为
i Et T (t ) A0e
d T (t ) i Edt T (t )
—— 振动因子
式中E具有能量量纲，A0 可以是复数。 2 2 ˆ 方程 H (r ) E (r ) [ U ( r )] ( r ) E ( r ) 2m 其解依赖于U (r ) 的形式。 称为定态薛定谔方程， 对自由粒子， U = 0，其一维定态薛定谔方程：
(a / 2) 0 A sin( ka / 2 ) 0
(a / 2) 0 A sin( / 2 ) 0 ka
由此得： ka / 2 l1 π ，ka / 2 l2 π ，
其中l1 和 l2是整数。 将上两式相加得：
2 l1 l2 ) π l π ， （ π l ， 即 l 也是整数 2 l 取0或1时 (x) 有以下两种表示：
3. 波函数
（1）波函数的空间部分 nπ 4， Φo A sinkx A sin x Φo n （n 2， 6， ） a nπ 3， Φe A cos kx A cos x Φe n （n 1， 5， ） a 归一化条件：
1 a / 2 Φo n d x t22m又
2 2 p2 p 2 2 2 2m x 2m x
2
2 2 比较上两式得：i U 2 t 2m x
这就是一维势场中粒子 满足的微分方程。6
三维情形：
2 2 2 2 2 令 2 U ) i ( 2 2 2 ) U (r , t ) ( 2m t 2m x y z