人教新版九年级上册24.4 弧长和扇形面积

第二十四章圆24.4 弧长和扇形面积第1课时弧长和扇形面积学习目标：1.理解弧长和扇形面积公式的探求过程.2.会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算.重点：会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算.难点：理解弧长和扇形面积公式的探求过程并会应用解决问题.一、知识链接1.小学里学习过圆周长和圆面积的计算公式，公式分别是什么呢？2. 想一想什么叫弧长？什么叫扇形？二、要点探究探究点1：与弧长相关的计算问题1 半径为R的圆，周长是多少？问题2 下图中各圆心角所对的弧长分别是圆周长的几分之几?(1) 圆心角是180° ，占整个周角的，因此它所对的弧长是圆周长的.(2) 圆心角是90° ，占整个周角的，因此它所对的弧长是圆周长的.(3) 圆心角是45° ，占整个周角的，因此它所对的弧长是圆周长的.(4) 圆心角是n° ，占整个周角的，因此它所对的弧长是圆周长的.要点归纳：弧长公式为ππ2π180180n R n Rl R•==.注意：用弧长公式进行计算时，要注意公式中n 的意义．n 表示1° 圆心角的倍数，它是不带单位的.算一算已知弧所对的圆心角为60°，半径是4，则弧长为.例 1 制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度l (单位：mm，精确到1mm).练一练一滑轮起重机装置（如图），滑轮的半径R=10cm，当重物上升15.7cm时，滑轮的一条半径OA绕轴心O逆时针方向旋转多少度(假设绳索与滑轮之间没有滑动，π取3.14)？探究点2：与扇形面积相关的计算概念学习由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形.如图，黄色部分是一个扇形，记作扇形OAB.练一练判断：下列图形是扇形吗？(1) (2) (3) (4) (5)问题1 半径为的圆，面积是多少？问题2 下图中各扇形面积分别是圆面积的几分之几，具体是多少呢？知识要点：在半径为r的圆中，圆心角为n°的扇形面积为2π360n R S扇.注意：①公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；①公式要理解记忆（即按照上面推导过程记忆）问题3 扇形面积与哪些因素有关？（1）（2）（1）大小不变时，对应的扇形面积与有关，越长，面积越大.（2）圆的不变时，扇形面积与有关，越大，面积越大.问题4 扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？想一想扇形的面积公式与什么公式类似？例2 如图，圆心角为60°的扇形的半径为10cm.求这个扇形的面积和周长.（精确到0.01cm2和0.01cm）练一练1.已知半径为2cm的扇形，其弧长为4π3cm，则这个扇形的面积S扇= ．2.已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积S扇= .有水部分的面积（精确到 0.01 m 2 ）.知识要点：弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积.1.已知弧所对的圆周角为90°，半径是4，则弧长为 .2.某扇形的圆心角为72°，面积为5π，则此扇形的弧长为（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π 3.如图，∠ACB 是⊙O 的圆周角，若⊙O 的半径为10，∠ACB =45°，则扇形AOB 的面积为（ ）A ．5πB ．12.5πC ．20πD ．25π第3题图 第4题图4.如图，☉A 、☉B 、 ☉C 、 ☉D 两两不相交，且半径都是2cm ，则图中阴影部分的面积是 .求截面上有水部分的面积.6. 如图，一个边长为10cm的等边三角形模板在水平桌面上绕顶点按顺时针方向旋转到△A'B'C的位置，求顶点从开始到结束所经过的路程为多少.参考答案自主学习一、知识链接1.半径为r的圆，其周长为2πr,面积为πr2.2.弧长为圆周长的一部分，扇形为组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形.课堂探究二、要点探究探究点1：与弧长相关的计算问题1：C=2πR问题2 :180 3609036045360360n例1 解：由弧长公式，可得弧AB 的长100900π500π(mm).180l ⨯⨯==因此所要求的展直长度L =2×700+500π≈2971（mm ）. 答：管道的展直长度约为2971 mm ．练一练 解：设半径OA 绕轴心O 逆时针方向旋转的度数为n °.π15.7,180n r =解得 n ≈90°.因此，滑轮旋转的角度约为90°.探究点2：与扇形面积相关的计算 练一练 × × √ × √问题1 S =πr 2 问题2比例： 18013602= 9013604= 4513608= 360n扇形面积： 21π2r 21π4r 21π8r 2π360n r第二十四章圆24.4 弧长和扇形面积第2课时圆锥的侧面积和全面积学习目标：1.体会圆锥侧面积的探索过程.2.会求圆锥的侧面积和全面积，并能解决一些简单的实际问题.重点：体会圆锥侧面积的探索过程，了解圆锥侧面积的计算公式，并会应用其解决问题. 难点：会求圆锥的侧面积，并能解决一些简单的实际问题.一、知识链接1.说一说弧长和扇形面积的计算公式？2. 我们在“展开与折叠”的学习活动中，已经知道圆锥的侧面展开图是一个扇形，那么怎么样求圆锥的侧面展开图的面积呢？二、要点探究探究点1：圆锥及相关概念圆锥是如何形成的？它是由哪几部分构成？知识要点我们把连接圆锥顶点(点S ) 和底面圆上任意一点的线段(如线段SA，SB等)叫做圆锥的母线．圆锥有无数条母线，它们都相等．从圆锥的顶点到圆锥底面圆心之间的距离是圆锥的高．要点归纳：如果用r表示圆锥底面圆的半径，h表示圆锥的高线长，l表示圆锥的母线长,那么r、h、l之间的等量关系是：.填一填根据下列条件求值(其中r、h、l分别是圆锥的底面半径、高线、母线长)：(1) l= 2，r=1则h= .(2) h =3，r=4则l = .(3) l = 10，h = 8则r= .探究点2：圆锥的侧面展开图思考：圆锥的侧面展开图是什么图形？问题1 沿着圆锥的母线，把一个圆锥的侧面剪开铺平，得到一个扇形，这个扇形的弧长与底面圆的周长有什么关系？问题2 圆锥侧面展开图是扇形，这个扇形的半径与圆锥中的哪一条线段长相等？要点归纳：如图，圆锥侧面展开图扇形的半径等于圆锥母线的长l，侧面展开图扇形的弧长等于圆锥的底面周长2πr，因此，圆锥的侧面积为πrl，圆锥的全面积为πr(r+l).练一练已知一个圆锥的底面半径为12cm，母线长为20cm，则这个圆锥的侧面积为，全面积为.典例精析例1 一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°，弧长为20π的扇形，试求该圆锥的底面圆半径及母线长.例2 如图，圆锥形的烟囱帽，它的底面直径为80cm，母线为50cm.在一块大铁皮上裁剪时，如何画出这个烟囱帽的侧面展开图？求出该侧面展开图的圆心角的度数及面积.例3 蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成，如果想用毛毡搭建20个底面积为12m 2，高为3.2m ，外围高为1.8m 的蒙古包，至少需要多少平方米的毛毡(π取3.142，结果取整数)？练一练 如图所示的扇形中，半径R =10，圆心角θ=144°，用这个扇形围成一个圆锥的侧面. (1) 则这个圆锥的底面半径r = ； (2) 这个圆锥的高h = .三、课堂小结圆锥的侧面积和全面积重要图形重要结论222r h l += πS rl=侧π()S r r l =+全①圆锥侧面展开图扇形的半径=母线长l ； ①圆锥侧面展开图扇形的弧长=底面圆周长.1.圆锥的底面半径为3cm ，母线长为6cm ，则这个圆锥侧面展开图扇形的圆心角是 ．当堂检测2.一个扇形，半径为30cm ，圆心角为120°，用它做成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面半径为 ．3.已知圆锥的底面的半径为3cm ，高为4cm ，则它的侧面积是 ，全面积是 ．4.如图所示，已知扇形AOB 的半径为6cm ，圆心角的度数为120°，若将此扇形围成一个圆锥，则：(1)求出围成的圆锥的侧面积为多少？ (2)求出该圆锥的底面半径是多少？5.(1) 在半径为10的圆的铁片中，要裁剪出一个直角扇形，求能裁剪出的最大的直角扇形的面积？(2) 若用这个最大的直角扇形恰好围成一个圆锥，求这个圆锥的底面圆的半径？ (3) 能否从最大的余料③中剪出一个圆做该圆锥的底面？请说明理由．参考答案自主学习 二、知识链接1. 半径为r ,圆心角度数为n °，弧长l =π180n r ,扇形面积S =2π13602n r lr =.2. 计算出侧面展开图的弧长以及半径，即可得圆锥侧面展开图的面积. 课堂探究二、要点探究探究点1：圆锥及相关概念观察与思考：圆锥可看作由一个直角三角形绕其某一直角边旋转一周形成的图形.圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体.要点归纳：222r h l +=填一填 (1)3 （2）5 （3）6 探究点2：圆锥的侧面展开图 思考：圆锥的侧面展开图是扇形 问题1 扇形的弧长与底面圆周长相等问题2 扇形半径与圆锥的母线长相等 练一练： 240π cm 2 384π cm 2 典例精析例 1 解：设该圆锥的底面的半径为r ，母线长为a .由题意得，2π20πr =,可得r =10.又120π20π180a⨯⨯=，可得a =30.例2 解：该烟囱的侧面展开图是扇形，如图所示：设该扇形的面积为S . ①2π2π,360a r l =360288.r a l ∴==22π2000πcm .360a S l ∴== 或2π5040π2000π(cm ).S lr ==⨯=答：该侧面展开图的面积为 2000π cm 2.练一练： （1）4 （2）。