数值计算方法第二章

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数值计算方法第二章

a12 a22 (2) 0 0
a13 a23(2) a33(3) 0
a1n a2 n (2) (3) a3n A( n ) 0 ann ( n )
(2) (3) (k) ( n) 关键a11 , a22 , a33 ,, akk , ann 0 可用归纳法说明！ :
第一部分直接解法 Gauss主元素消去法
矩阵的三角分解法
平方根法与改进6 12 x1 3x2 3x3 15 18 x 3 x x 15 1 2 3
解：
先消后两个方程的x1,得同解方程组
x1 x2 x3 6 15 x2 9 x3 57 21x2 17 x3 93
a2 n (2) ( k 1) ak 1,k ( k 1) ann a1n
det Ai( k 1) 0,(i 1, 2,, n 1) 且
由数学归纳法，存在初等方阵L1,L2,…,Ln-1, 使得
A( n)
a11 a12 a22 (2) Ln1 L2 L1 A 0 a13 ak ,k ( k ) a1n a2 n (2) ak ,n ( k ) (n) an ,n
选取的
下面举例来说明高斯消去法。
例1 用高斯消去法解方程组
1 2 3 x1 14 0 1 2 x 8 2 2 4 1 x3 13
解对增广矩阵进行初等变换
14 1 2 3 14 1 2 3 0 1 2 8 r0 1 2 ( 2 ) r 8 2 4 1 13 0 0 5 15

(完整word版)《数值计算方法》复习资料全

《数值计算方法》复习资料课程的性质与任务数值计算方法是一门应用性很强的基础课，在学习高等数学，线性代数和算法语言的基础上，通过本课程的学习及上机实习、使学生正确理解有关的基本概念和理论，掌握常用的基本数值方法，培养应用计算机从事科学与工程计算的能力，为以后的学习及应用打下良好基础。

第一章数值计算方法与误差分析一考核知识点误差的来源类型；绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限，有效数字；绝对误差的传播。

二复习要求1. 知道产生误差的主要来源。

2. 了解绝对误差和绝对误差限、相对误差和相对误差限和有效数字等概念以及它们之间的关系。

3. 知道四则运算中的误差传播公式。

三例题例1设x*= =3.1415926…近似值x=3.14＝0.314×101,即m=1，它的绝对误差是－0.001 592 6…，有即n=3，故x=3.14有3位有效数字.x=3.14准确到小数点后第2位.又近似值x=3.1416，它的绝对误差是0.0000074…，有即m=1,n＝5，x=3.1416有5位有效数字.而近似值x=3.1415，它的绝对误差是0.0000926…，有即m=1,n＝4，x=3.1415有4位有效数字.这就是说某数有s位数，若末位数字是四舍五入得到的，那么该数有s位有效数字；例2 指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限：2.000 4 －0.002 00 9 000 9 000.00=2.000 4＝0.200 04×101, 它的绝对误差限0.000 05=0.5×10 1―5，即解因为x1m=1,n=5,故x=2.000 4有5位有效数字. a=2，相对误差限1x 2=－0.002 00，绝对误差限0.000 005，因为m =－2，n=3，x 2=－0.002 00有3位有效数字. a 1=2，相对误差限εr ==0.002 5x 3=9 000，绝对误差限为0.5×100，因为m =4, n=4, x 3=9 000有4位有效数字，a =9，相对误差限εr ＝＝0.000 056x 4=9 000.00，绝对误差限0.005，因为m =4，n=6，x 4=9 000.00有6位有效数字，相对误差限为εr ＝＝0.000 000 56由x 3与x 4可以看到小数点之后的0，不是可有可无的，它是有实际意义的. 例3 ln2=0.69314718…，精确到10－3的近似值是多少？解精确到10－3＝0.001，意旨两个近似值x 1,x 2满足，由于近似值都是四舍五入得到的，要求满足，近似值的绝对误差限应是ε＝0.0005,故至少要保留小数点后三位才可以。

数值计算方法(第2章)

x [1,2]
所以 ( x)是区间 [a, b]上严格单调增函数。
例题
而 (1) 3 2 1 ， (2) 3 3 2
即[ (1), (2)][1,2]，所以 ( x)满足条件（ 1 ）。
又 1 | ' ( x) || ( x 1) 3
2 3
|
1 3 4
(1) ( 2) 输入 : 有根区间 [a, b]的a, b值及精度控制量 ; if f ( a ) f (b) 0 then 返回第 1步, 重新
输入a, b值else转第3步; (3) while | a b | 时做 1 1)令x ( a b), 计算f ( x); 2 2)if f (a) f ( x) 0 then else endwhile; ( 4)输出x 1 ( a b). 2 [ a, b][ a, x]; [ a, b][ x, b].
a x13 1.365173390 本题的精确解为： a 1.36523001 ... 故绝对误差( x) x* x 0.000056 ... 二分法的区间每次只缩小一半，因此它是一种收敛速度很慢的方法。
等步长扫描法求有根区间

用计算机求有根区间：等步长扫描法。设h>0是给定的步长，取 x0 a, x1 a h ，
f ( x0 ) f ( x1 ) 0
若
则扫描成功；否则令
x0 x1 , x1 x0 h ，继续上述方法，直到成
功。如果 x1 b 则扫描失败。再将h 缩小，
继续以上步骤。
等步长扫描算法
算法：（求方程 f ( x) 0 的有根区间） (1) 输入 a, b, h ； (2) f 0 f (a) ； (3) x a h, f1 f ( x)，若 x b 输出失败信息，停机。 (4)若 f1 0。输出 x ，已算出方程的一个根，停机。

数值计算方法第2章2-1节

（2）计算
f
(
a
2
b)
。
（3）若
f
(
a
2
b
)
0
，计算停止；若
f
(
a
2
b
)
f
(a)
0
，用
若
f
(
a
2
b)
f
(b)
0
，以
a
2
b
代替
a
。
a
2
b
代替
b
；
（4）反复执行第二步与第三步，直到区间长缩小到允许误差范围
之内，此时区间中点即可作为所求的近似解。
18
证明方程 x3 3x2 6x 1 0 在区间（0，1）内有唯一的实根，并
在[－1,－0.25]，[0.5，1.25]，[1.25，2]各区间内至少有一个实根。
10
2.1.3 区间二分法
定理函数f(x)在[a,b]上单调连续，且f(a)f(b)<0，则方程f(x)=0在区间[a,b]上有且仅有一个实根x*。
二分法的基本思想将有根的区间二分为两个小区间，然后判断根在那个小区间，舍去无根的小区间，而把有根的小区间再一分为二，再判断根属于哪个更小的区间，如此反复，直到求出满足精度要求的近似根。
5
有根区间
介值定理若函数 f (x) 在[a, b] 连续，且
f (a) f (b) 0 ，则方程 f ( x) 0 在(a,b) 内至
少有一个实根。将[a, b] 称为 f (x) 的有根区间。
6
2.1.2 逐步搜索法
假设f(x)在区间[a,b]内有一
个实根x*,若 b – a较小，则可在(a,b)上任取一点x0作为初始近似根。

数值计算方法教案

数值计算方法教案第一章：数值计算概述1.1 数值计算的定义与特点引言：介绍数值计算的定义和基本概念数值计算的特点：离散化、近似解、误差分析1.2 数值计算方法分类直接方法：高斯消元法、LU分解法等迭代方法：雅可比迭代、高斯-赛德尔迭代等1.3 数值计算的应用领域科学计算：物理、化学、生物学等领域工程计算：结构分析、流体力学、电路模拟等第二章：误差与稳定性分析2.1 误差的概念与来源绝对误差、相对误差和有效数字误差来源：舍入误差、截断误差等2.2 数值方法的稳定性分析线性稳定性分析：特征值分析、李雅普诺夫方法非线性稳定性分析：李模型、指数稳定性分析2.3 提高数值计算精度的方法改进算法：雅可比法、共轭梯度法等增加计算精度：闰塞法、理查森外推法等第三章：线性方程组的数值解法3.1 高斯消元法算法原理与步骤高斯消元法的优缺点3.2 LU分解法LU分解的步骤与实现LU分解法的应用与优势3.3 迭代法雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法迭代法的选择与收敛性分析第四章：非线性方程和方程组的数值解法4.1 非线性方程的迭代解法牛顿法、弦截法等收敛性条件与改进方法4.2 非线性方程组的数值解法高斯-赛德尔法、共轭梯度法等方程组解的存在性与唯一性4.3 非线性最小二乘问题的数值解法最小二乘法的原理与方法非线性最小二乘问题的算法实现第五章：插值与逼近方法5.1 插值方法拉格朗日插值、牛顿插值等插值公式的构造与性质5.2 逼近方法最佳逼近问题的定义与方法最小二乘逼近、正交逼近等5.3 数值微积分数值求导与数值积分的方法数值微积分的应用与误差分析第六章：常微分方程的数值解法6.1 初值问题的数值解法欧拉法、改进的欧拉法龙格-库塔法（包括单步和多步法）6.2 边界值问题的数值解法有限差分法、有限元法谱方法与辛普森法6.3 常微分方程组与延迟微分方程的数值解法解耦与耦合方程组的处理方法延迟微分方程的特殊考虑第七章：偏微分方程的数值解法7.1 偏微分方程的弱形式介绍偏微分方程的弱形式应用实例：拉普拉斯方程、波动方程等7.2 有限差分法显式和隐式差分格式稳定性分析与收敛性7.3 有限元法离散化过程与元素形状函数数值求解与误差估计第八章：优化问题的数值方法8.1 优化问题概述引言与基本概念常见优化问题类型8.2 梯度法与共轭梯度法梯度法的基本原理共轭梯度法的实现与特点8.3 序列二次规划法与内点法序列二次规划法的步骤内点法的原理与应用第九章：数值模拟与随机数值方法9.1 蒙特卡洛方法随机数与重要性采样应用实例：黑箱模型、金融衍生品定价等9.2 有限元模拟离散化与求解过程应用实例：结构分析、热传导问题等9.3 分子动力学模拟基本原理与算法应用实例：材料科学、生物物理学等第十章：数值计算软件与应用10.1 常用数值计算软件介绍MATLAB、Python、Mathematica等软件功能与使用方法10.2 数值计算在实际应用中的案例分析工程设计中的数值分析科学研究中的数值模拟10.3 数值计算的展望与挑战高性能计算的发展趋势复杂问题与多尺度模拟的挑战重点解析本教案涵盖了数值计算方法的基本概念、误差分析、线性方程组和非线性方程组的数值解法、插值与逼近方法、常微分方程和偏微分方程的数值解法、优化问题的数值方法、数值模拟与随机数值方法以及数值计算软件与应用等多个方面。

2) 数值计算方法

1 R ≈ 1－2 × 10 ＝1－ 5000
－4
即这种时间积分格式对天气尺度的波阻尼很小。欧拉后差格式能阻尼高频振荡而对天气尺度的波影响很小，又没有计算解，故经常使用。但它的计算量较大，且长时间地应用对天气波也会有衰减作用，因而实际工作中往往是把它和其他格式交替使用。
二、三层格式这类格式在作时间积分时牵涉到三个时间层；ｎ＋1， n，n－1，故称为三层格式。其中最常用的为中央差格式(即蛙跃格式)对(2．1)式作时间积分:
大气中的重力惯性波周期约为几小时，相当于10000秒；积分的时间步长为几分钟，即∆t=1000秒；代入可得R＝ 0．88，它表示用欧拉后差格式每作一次时间积分，重力惯性波的振幅损失12％，因而这种时间积分格式对大气中的高频波有很大的阻尼作用。大尺度的天气波周期约3—4天，可取为3×100000秒；仍取几分钟，即10000秒，代入欧拉后差公式可得：
O(Δx 2 )
四阶差商：
1 ⎛ ΔF ⎞ 1 ⎡4 ⎤ ⎛ dF ⎞ i i i i ⎜ ⎟= ⎢3 ( F+1 − F−1 ) − 6 ( F+2 − F−2 )⎦ ≈ ⎝ dx ⎠ ⎥ ⎜ ⎟ ⎝ Δx ⎠i 2Δx ⎣ i
O(Δx4)
在气象上的数值计算中，差商也常称为差分。以上几式后面的O (Δx k ) (在上述诸式中k= 1,2或4)代表用该差商逼近相应的微商时误差具有 (Δx) k 的量级。称k为差商精度的阶数。利用某点及其周围点的函数值来表示该点上函数差商及其运算的具体形式称为差分格式。在微分方程中.用差商代替微商，则得到相应的差分方程。用差分法求微分方程的近似解要使差分方程具有以下性质，即: 相容性: 当步长充分小时，差分方程逼近于微分方程。

数值计算方法及其应用

数值计算方法及其应用第一章引言数值计算方法是一种基于数学分析和计算机技术的计算方法，是概括了现代计算各个领域的一类方法。

随着计算机技术的不断进步，数值计算方法已经成为了计算机科学中的一个重要领域，涉及到计算机科学、数学、物理、工程等领域。

本文将从数值计算方法的基本概念、数值计算方法算法的分类、数值计算方法的优缺点以及数值计算方法的应用等方面加以探讨。

第二章数值计算方法的基本概念数值计算方法是使用数学方法和数值技术处理各种数学问题的一种方法。

它是一种解决数学问题的有效工具，不同于传统的数学方法，数值计算方法采用的是数值计算机计算技术，使得计算机可以精确计算、预测和模拟各种数学问题，如数值微积分、连续函数数值解、离散方程数值解等。

数值计算方法的核心概念就是数值算法，数值算法是指实现数值计算方法的算法，包括基于数学分析的算法和基于经验数据的算法。

第三章数值计算方法算法的分类数值计算方法算法可以分为以下几类：1.数值微积分算法2.解线性方程组的数值方法3.常微分方程的数值解法4.偏微分方程的数值解法5.数值优化方法6.数值统计算法7.数学模型的数值计算方法第四章数值计算方法的优缺点数值计算方法的优点：1.数值计算方法可以解决非常复杂和高度非线性的数学问题2.数值计算方法无所不能，可做大量的计算3.数值计算方法具有较高的可重复性和可验证性4.数值计算方法可以通过计算机进行高速计算，节省了人力成本和时间成本数值计算方法的缺点：1.数值计算方法的实现程序错误会导致计算结果失真2.数值计算方法对于计算精度的要求很高3.数值计算方法对于计算机硬件和软件的要求也很高第五章数值计算方法的应用数值计算方法已经被广泛应用于各个领域，如：1.科学研究：能够用计算机进行大规模复杂计算，计算机模拟得出科学研究结论，如气象学模拟，生命科学中的反应动力学分析等。

2.工程设计：例如结构力学分析、电路设计、流体力学分析和控制系统等。

3.数据科学：如数据挖掘、计算机视觉、自然语言处理、人脸识别等。

数值计算方法-复习-第二章

有 − 1 <c<0
5
27
局部收敛性
例2.3.8：对方程x3-x2-1=0在初值x0=1.5附近建立收敛的迭代格式，并求解，要求精确到小数点后4位
解：构造迭代公式，写出方程的等价形式
x = 3 x2 +1
迭代格式为
xk+1 = 3 xk 2 +1
ϕ'(x) = 2x
33 (x2 +1)2
例2.3.6：求方程 x3-3x+1=0 在[0, 0.5]内的根，精确到10-5
24
局部收敛性
定义2.2：如果存在x* 的某个邻域△: |x-x*| ≤δ，
使迭代过程 xk+1 = ϕ (xk)对于任意初值 x0 ∈△均收敛，则称迭代过程xk+1 = ϕ (xk)在根x* 附近具
有局部收敛性。
解：设f(x)=xex-1, 则
f(0)=-1<0, f(1)=e-1>0
因此f(x)=0在（0，1）内有根又 f '(x) = ex + xex = ex (1+ x) > 0
因此方程f(x)=0在(0, ∞)内仅有一根
令ϕ(x) = e−x
在[0,1]上，ϕ
(x)
∈[1 e
,1]
⊂
[0,1]
30
牛顿迭代公式的建立
已知方程f (x) = 0的一个近似根x0，把f (x)在x0
处作泰勒展开
f (x) =
f (x0 ) +
f '(x0 )(x − x0 ) +
f
′′( x0 2!
)
(x
−
x0

数值计算方法总复习

数值计算方法总复习第一章算法与误差第二章非线性方程求解第三章线性代数方程求解第四章函数插值与曲线拟合第五章数值积分与数值微分第六章常微分方程的数值解法Chap.1 （1）关于数值计算方法，What,特点一、关于《数值计算方法》数值计算方法是应用数学的一个分支，又称数值分析或计算方法，它是研究数字计算机求解各种数学问题的数值方法及其理论的一门科学，是程序设计和对数值结果进行分析的依据和基础。

应用计算机解决科学计算问题包括以下几个过程：提出实际问题；建立数学模型；选用数值计算方法；程序设计和上机计算。

可见数值计算方法是进行科学计算全过程的一个重要环节。

计算机计算的特点：（1）运算速度快；（2）但只能完成加、减、乘、除和一些逻辑运算。

所以，各种复杂的数学问题------→归结为四则运算------→编程指令。

把对数学问题的解法归纳为有加、减、乘、除等基本运算，并对运算顺序有完整而准确的描述的算法称为数值计算方法或简称数值算法。

研究各种算法和相关理论的一门课程。

§1.2 误差一、误差的来源数分为两类：精确数（准确数、真值）；近似数/近似值。

1）模型误差或描述误差2）测量误差（观测误差）3）截断误差（方法误差）4）舍入误差（计算误差）：数值计算关心的是截断误差（方法误差）和舍入误差（计算误差）二、误差限和有效数字1. 误差限的定义设Z 是准确值Z *的某个近似值，如果根据具体测量或计算的情况，可以事先估计出误差的绝对值不超过某个正数ε：即： |Z * - Z |≤ε则称ε为近似值的误差限。

或称在允许误差ε的情况下，结果Z 是“准确的”.2. 误差限和有效数字在表示一个近似数时，常常用到“有效数字”，有效数字和误差限都是用来定量表示误差的大小，且它们之间有对应关系。

有效数字的定义：设数x 的近似值m n x x x x 10.021*⨯= , 其中 xi 是0到9之间的任一个数，但x 1≠0,i=1,2,3…,n 正整数，m 整数，若nm *|x x |-⨯≤-1021 则称x *为x 的具有n 位有效数字的近似值，x *准确到第n 位，x1x2…xn 是x *的有效数字。

《数值计算方法》课程教学大纲.

《数值计算方法》课程教学大纲.第一篇：《数值计算方法》课程教学大纲.《数值计算方法》课程教学大纲课程名称：数值计算方法/Mathods of Numerical Calculation 课程代码：0806004066 开课学期：4 学时/学分：56学时/3.5学分（课内教学 40 学时，实验上机 16 学时，课外 0 学时）先修课程：《高等代数》、《数学分析》、《常微分方程》、《C语言程序设计》适用专业：信息与计算科学开课院（系）：数学与计算机科学学院一、课程的性质与任务数值计算方法是数学与应用数学专业的核心课程之一。

它是对一个数学问题通过计算机实现数值运算得到数值解答的方法及其理论的一门学科。

本课程的任务是架设数学理论与计算机程序设计之间的桥梁，建立解决数学问题的有效算法，讨论其收敛性和数值稳定性并寻找误差估计式，培养学生数值计算的能力。

二、课程的教学内容、基本要求及学时分配（一）误差分析2学时了解数值计算方法的主要研究内容。

2 理解误差的概念和误差的分析方法。

熟悉在数值计算中应遵循的一些基本原则。

重点：数值计算中应遵循的基本原则。

难点：数值算法的稳定性。

（二）非线性方程组的求根8学时理解方程求根的逐步搜索法的含义和思路掌握方程求根的二分法、迭代法、牛顿法及简化牛顿法、非线性方程组求根的牛顿法3 熟悉各种求根方法的算法步骤，并能编程上机调试和运行或能利用数学软件求非线性方程的近似根。

重点：迭代方法的收敛性、牛顿迭代方法。

难点：迭代方法收敛的阶。

（三）线性方程组的解法10学时熟练掌握高斯消去法熟练地实现矩阵的三角分解：Doolittle法、Crout法、Cholesky法、LDR方法。

3 掌握线性方程组的直接解法：Doolittle法、Crout法、Cholesky法（平方根法）、改进平方根法、追赶法。

4能熟练地求向量和矩阵的1-范数、2-范数、 -范数和条件数。

5 理解迭代法的基本思想，掌握迭代收敛的基本定理。

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x3 3 x2 1 3 1.330861 1.32588
计算机与通信工程学院 24
迭代法原理
k
0 1 2 3 4 5 6 7 8
xk
1.5 1.35721 1.33086 1.32588 1.32494 1.32476 1.32473 1.32472 1.32472
x k x k 1
xk 1 ( xk ) k 0, 1, 2,
如果 (x)连续，迭代序列{xk }收敛于x*，则x*就是方程的解。其中 (x)称为迭代函数，xk+1= (xk)称为迭代格式。
计算机与通信工程学院 23
迭代法原理

例2.3.1：求方程x3-x-1=0 在x=1.5附近的一个根
f ( x0 ) f ( x0 h) 0
那么所求的根x*必在x0与x0+h之间
计算机与通信工程学院 12
逐步扫描法

例2.1.2：考察方程
f ( x) x 3 x 1 0
利用逐步扫描法确定一个有根区间

解：注意到f (0) < 0, f (+) >0，知f (x)至少有一个正的实根设从x = 0出发，取h = 0.5为步长向右进行根的扫描 x
x xk
*
1 xk (ak bk ) 2
1 2
k 1
(b a )
计算机与通信工程学院 16
2. 2 二分法

例2.2.1：证明1-x-sinx=0 在[0, 1]内有一个根， 1 4 10 使用二分法求误差不大于 2 的根要二分多少次？

证：令 f(x)=1-x-sinx，f(x) 是连续函数 f′ (x) =-1-cosx, x∈[0,1] f(x)在[0, 1]单调减少又 f(0)=1>0 ， f(1)=-sin1<0，可知 f(x) 在[0, 1] 有且仅有一个根
——

因此x*= 1.32472
计算机与通信工程学院 25
迭代法的几何意义

迭代法的几何意义可解释成求方程x=φ(x) 的根，在几何上就是求直线y=x与曲线y=φ (x)交点A的横坐标x*
计算机与通信工程学院 26
迭代法的几何意义
收敛的情形
计算机与通信工程学院 27
迭代法的几何意义
发散的情形

2x 2 f ( x ) e 1 2 x 2 x 0 的几重例2.1.1：求x=0是方程
根？

解：
f ( x) e 2 x 1 2x 2x 2 , f (0) 0
f ' ( x) 2e2 x 2 4x, f ' (0) 0
f ' ' ( x) 4e2 x 4, f ' ' (0) 0

解：将所给方程改写成
x 3 x 1
的形式，假设初值x0=1.5是其根，代入后得到求得的x1不等于x0，再将x1代入，求得x2
x2 3 x1 1 3 1.35721 1 1.33086
x1 3 x0 1 3 1.5 1 1.35721
x2与x1不等，再用x2代入，求得x3
数值计算方法
第二章非线性方程的数值解法
本章内容安排

在实际中许多方程问题无法求出公式解

n次代数方程超越方程
tgx x 0
0.25 tgx 4.8889sin x 0

需要引进能够达到一定精度要求的求方程近似值的方法
计算机与通信工程学院 2
本章内容安排

计算机与通信工程学院 28
迭代过程的收敛性

例2.3.2：求方程 f ( x) x 10x 2 0的一个根

解：因为f (0) = 1>0 f (1) = -7 <0，由定理2.1知方程在[0, 1]中必有一实根，现将原方程改为同解方程 x lg( x 2) 10x x 2
计算机与通信工程学院 31
计算机与通信工程学院 32
全局收敛性

定理2.3：设函数φ(x) 在[a,b]上具有连续的一阶导数，且满足（1）当x[a, b]时，(x)[a, b] （2）当任意x[a, b]，存在0< L< 1，使
' ( x) L 1
则方程x=(x)在[a, b]上有唯一的根x*,且对任意初值x0[a, b]时，迭代序列xk+1=φ(xk)(k = 0, 1, …)收敛于x*。

二分法的步骤

14
2. 2 二分法

3．判断若f (x0) =

（1）若f (x0)与f (a)异号，则知根位于区间[a, x0]，以x0 代替b；（2）若f (x0)与f (a)同号，则知根位于区间[x0, b]，x0代替a
ab 0，则 x0 2
即是根，否则检验：

反复执行步骤2、3，便可得到一系列有根区间： [a, b], [a1, b1], …, [ak, bk], … ，其中每个区间都是前一个区间的一半，因此区间长度为
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2.3 迭代法

迭代法原理迭代法的几何意义迭代过程的收敛性全局收敛性局部收敛性迭代过程的收敛速度迭代的加权法加速
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迭代法原理

简单迭代法的基本思想

将方程f (x) = 0化为一个等价的方程
x ( x)
从而构成序列
1.3438
1.3282 1.3282
1.3282
1.3204 1.3243
0.0313
0.0157 0.0078
因此x*=1.32
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2. 2 二分法

也可以事先不估计二分次数，随着二分过程的进行，随时利用公式

来作为二分过程结束的判断条件当二分到第六次时，区间长度为0.0078，区间长度的一半小于误差，所以可以在这一步停止二分，而以x6=1.32作为方程根的近似值
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方程的根

寻找有根区间（隔根区间）的方法

画图法
f(x)
x0
a
x0 h
x* b

逐步扫描法
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逐步扫描法

实现步骤

设单值连续函数f(x)在有根区间[a, b]，从左端点x = a出发，按某个预先选定的步长h一步一步地向右跨每跨一步都检验每步起点x0和终点x0 + h的函数值如果
f ( x) x 3 x 1 0
在区间[1, 1.5]内的实根，要求准确到小数点后第2位。
解：预先估计一下二分的次数：按误差估计式
1 1 x xk bk 1 ak 1 k 1 (b a) 102 2 2 k 6
*
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2. 2 二分法
x 10x 2
得迭代格式
xk 1 10xk 2
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经过验证，该迭代公式不收敛
全局收敛性

定义2.1：对任意初值 x0∈ [a,b]，如果按照迭代格式xk+1=φ(xk)生成的序列 {xk} ∈ [a,b]，则该迭代格式映内。例2.3.3：求方程x=e-x 在0.5附近的根

解：将方程改写为x=-lnx，而lnx的定义域为（0，＋∞），当取x0=0.5时，进行迭代可得x1=0.693, x2=0.3666, x3=1.0034, x4=-0.0034。可见x4已经超过了lnx的定义域，迭代不能继续，此格式不映内。

不仅考虑映内性，为使迭代法有效，还必须保证它的收敛性
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2. 2 二分法

使用二分法时，误差限为：
x * xk 1 2
k 1
(b a )
1 0 1 4 10 2 k 1 2
lg(1 0) 4 k 13.28 lg 2
所以总共需要二分14次
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2. 2 二分法

例2.2.2：求方程
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有根区间

隔根区间

根的隔离

方程的根

定理2.1：设函数f (x)在区间[a, b]上连续，如果f (a) f (b) < 0，则方程f (x) = 0在[a, b]内至少有一实根x* 定理2.2：设函数f (x)在区间[a, b]上是单调连续函数，并且f (a) f (b) < 0，则方程f (x) = 0在[a, b]上有且仅有一实根x*
0 0.5 － 1.0 － 1.5 ＋
f (x) 的符号－
因此在区间（1, 1.5）内必有实根
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2. 2 二分法

二分法的基本思想

首先，假定方程f (x) = 0在区间[a, b]内有唯一的实根 x* 就是将方程根所在的区间平分为两个小区间，判断根属于哪个小区间；把有根的小区间再平分为二，再判断根所在的更小的区间，对分；重复这一过程，最后求出所要的近似值 1．计算f (x)在有解区间[a, b]端点处的函数值 f (a) ， f (b) 2．计算f (x)在区间中点处的值f (x0) 计算机与通信工程学院
bk ak 1 (b a ) k 2
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2. 2 二分法

数值计算方法第二章

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