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数值分析三次样条插值函数【问题】对函数f x =ex, x∈[0,1]构造等距节点的三次样条插值函数，对以下两种类型的样条函数1. 三次自然样条2. 满足S′ 0 =1,S′ 1 =e的样条并计算如下误差：max{ f x1 −S x1 ,i=1,…,N} i−i−i这里xi−1为每个小区间的中点。
对N=10,20,40比较以上两组节点的结果。
讨论你的结果。
【三次样条插值】在每一个区间[t1,t2],…,[tn−1,tn]上，S都是不同的三次多项式，我们把在[ti−1,ti]上表示S的多项式记为Si，从而，S0 x x∈[t0,t1]∈[t1,t2] S x = S1 x x…Sn−1 x x∈[tn−1,tn]通过在节点处函数值、一阶导数和二阶导数的连续性可以得到：Si−1 ti = yi= Si ti 1≤i≤ n−1Si−1′ ti = Si′ tix→ti+limS′′ x =zi=limS′′(x) x→ti−再给定z0和zn 的值就构成了4n个条件，而三次样条插值函数共4n个系数，故可以通过这4n个条件求解三次样条函数的系数，从而求得该三次样条插值函数。
特别的，当z0=zn=0 时称为自然三次样条。
文本预览：一、自然三次样条插值【自然三次样条插值算法】1.由上面的分析可知，求解三次样条函数实际上就是求解一个矩阵：u 1h 1h1u2h2h2u3…v1 z1 v2 z2 z3=v3 … z…hn−2 n−2 vn−2 z vn−1 un−1 n−1ih3…hn−3un−2hn−26…其中hi=ti+1−ti，ui=2(hi+hi−1)，ui=h(yi+1−yi)，vi=bi−bi−1 所以自然三层次样条插值的算法就是在得到端点的函数值，一次导数值和二次导数值，然后根据上述求解矩阵得到v，代入自然三次样条的表达式即可。
2.根据题目中所给出的误差估计，计算在区间中点处的最大误差。
【实验】通过Mathematica编写程序得到如下结果：N=101. 计算得到zi的值为：由此可以得到各个区间的自然三次样条插值函数。
三次样条插值求导法在数学和计算机科学领域中，样条插值是一种常用的数值计算方法，用于通过一系列已知的数据点来构造一条平滑的曲线。
在实际应用中，我们经常需要对这些曲线进行求导，以便进一步分析和处理数据。
三次样条插值是一种特殊的样条插值方法，它使用三次多项式来逼近数据点之间的曲线。
与线性插值方法相比，三次样条插值的优势在于它能够产生更平滑的曲线，并且在曲线的一阶导数和二阶导数上连续。
三次样条插值的求导方法可以通过两种方式进行：一种是通过求导的公式，另一种是通过样条插值的控制点求导。
首先，我们来看一下通过求导的公式来进行三次样条插值的导数计算。
对于每个插值段，我们可以表示为一个三次多项式的形式：S(x) = a + bx + cx^2 + dx^3，其中 a、b、c、d 是需要确定的系数。
在插值段的两个端点，我们可以通过已知的数据点来确定一些限制条件，例如函数值、一阶导数和二阶导数的值。
通过这些限制条件，我们可以得到一个线性方程组，通过解这个方程组可以确定每个插值段的系数。
当我们确定了系数之后，就可以利用求导的公式来计算任意一点的导数值。
对于三次多项式 S(x)，它的导数可以表示为 S'(x) = b + 2cx + 3dx^2。
除了通过求导的公式，我们还可以通过样条插值的控制点来计算导数。
在三次样条插值中，除了已知的数据点之外，还有一些控制点，用于调整曲线的形状。
通过调整这些控制点，我们可以影响插值曲线的形态。
为了计算导数，我们可以对控制点进行微小的调整，然后重新构造插值曲线。
通过计算插值曲线在数据点处的斜率，我们可以得到导数的近似值。
通过反复调整控制点，不断逼近导数的准确值。
需要注意的是，通过控制点求导的方法只能得到导数的近似值，而不是准确值。
这是因为样条插值是一种近似方法，对于某些曲线，通过控制点调整可能无法完全准确地反映曲线的变化。
因此，当精确的导数值是必需的时候，最好使用求导的公式来计算。
