数值分析参考答案(第四章)

习题41. 给定x x f =)(在144,121,100=x 3点处的值，试以这3点建立)(x f 的2次(抛物)插值公式，利用插值公式115求的近似值并估计误差。

再给13169=建立3次插值公式，给出相应的结果。

解：x x f =)( 2121)(-='x x f ，2341)(--=''x x f ,2583)(-='''x x f ,27)4(1615)(--=x x f，72380529.10)115(=f1000=x ， 1211=x ， 1442=x ， 1693=x 100=y ， 111=y ， 122=y ， 133=y))(())(())(())(())(())(()(1202102210120*********x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L ----+----+----= )121144)(100144()121115)(100115(12)144121)(100121()144115)(100115(11)144100)(121100()144115)(121115(10)115(2----⨯+----⨯+----⨯=L=2344)6(1512)23(21)29(1511)44)(21()29)(6(10⨯-⨯⨯+-⨯-⨯⨯+----⨯72276.1006719.190683.988312.1=-+=))()((!3)()()(2102x x x x x x f x L x f ---'''=-ξ ，144100<<ξ )44115()121115()100115()(max 61)115()115(1441002-⨯-⨯-⋅'''≤-≤≤x f L f x 296151083615⨯⨯⨯⨯⨯≤-001631.0101631.02=⨯=- 实际误差 22101045.0)115()115(-⨯=-L f))()(())()(())()(())()(()(312101320130201032103x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x y x L ------+------= ))()(())()(())()(())()((23130321033212023102x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x y ------+------+ )169100()144100()121100()169115()144115()121115(10)115(3-⨯-⨯--⨯-⨯-⨯=L )169121()144121()100121()169115()144115()100115(11-⨯-⨯--⨯-⨯-⨯+)169144()121144()100144()169115()121115()100115(12-⨯-⨯--⨯-⨯-⨯+)144169()121169()100169()144115()121115()100115(13-⨯-⨯--⨯-⨯-⨯+)48()23(21)54()29(1511)69()44()21()54()29()6(10-⨯-⨯-⨯-⨯⨯+-⨯-⨯--⨯-⨯-⨯= 254869)29()6(1513)25(2344)54()6(1512⨯⨯-⨯-⨯⨯+-⨯⨯-⨯-⨯⨯+ 723571.10409783.0305138.2145186.11473744.1=+-+= ))()()((!4)()()(3210)4(3x x x x x x x x f x L x f ----=-ξ，169100<<ξ)169115)(144115)(121115)(10115(101615241)115()115(73----⨯⨯⨯≤--L f )54()29()6(151016152417-⨯-⨯-⨯⨯⨯⨯=- 0005505.0105505.03=⨯=-实际误差 321023429.0)115()115(-⨯=-L f 2. 设j x 为互异节点),,1,0(n j =求证： (1)k nj j k j x x l x =∑=)(0),,1,0(n k =;(2)0)()(0=-∑=x l x x j knj j ),,1(n k =。

第一章 绪论（12） 第二章 插值法（40-42）2、当2,1,1-=x 时，4,3,0)(-=x f ，求)(x f 的二次插值多项式。

[解]372365)1(34)23(21)12)(12()1)(1(4)21)(11()2)(1()3()21)(11()2)(1(0))(())(())(())(())(())(()(2221202102210120120102102-+=-++--=+-+-⨯+------⨯-+-+-+⨯=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L 。

3、给出x x f ln )(=的数值表用线性插值及二次插值计算54.0ln 的近似值。

X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 x ln -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 -0.223144[解]若取5.00=x ，6.01=x ，则693147.0)5.0()(00-===f x f y ，510826.0)6.0()(11-===f x f y ，则604752.182321.1)5.0(10826.5)6.0(93147.65.06.05.0510826.06.05.06.0693147.0)(010110101-=---=--⨯---⨯-=--+--=x x x x x x x x x y x x x x y x L ，从而6202186.0604752.19845334.0604752.154.082321.1)54.0(1-=-=-⨯=L 。

若取4.00=x ，5.01=x ，6.02=x ，则916291.0)4.0()(00-===f x f y ，693147.0)5.0()(11-===f x f y ，510826.0)6.0()(22-===f x f y ，则 217097.2068475.404115.2)2.09.0(5413.25)24.0(3147.69)3.01.1(81455.45)5.06.0)(4.06.0()5.0)(4.0()510826.0()6.05.0)(4.05.0()6.0)(4.0()693147.0()6.04.0)(5.04.0()6.0)(5.0(916291.0))(())(())(())(())(())(()(22221202102210120120102102-+-=+--+-⨯++-⨯-=----⨯-+----⨯-+----⨯-=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L ，从而61531984.0217097.21969765.259519934.0217097.254.0068475.454.004115.2)54.0(22-=-+-=-⨯+⨯-=L补充题：1、令00=x ，11=x ，写出x e x y -=)(的一次插值多项式)(1x L ，并估计插值余项。

第一章1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。

[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x x x x x ， 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x r δεε==。

2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。

[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而n x 的误差为n n x x n x n x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε， 相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x n r ==εε。

3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。

[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。

4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。

（1）*4*2*1x x x ++；[解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k k εεεε；（3）*4*2/x x 。

数值分析作业第二章1、用Gauss消元法求解下列方程组：2x1-x2+3x3=1,(1) 4x1+2x2+5x3=4,x1+2x2=7;(2) 解：A=[2 -1 3 1;4 2 5 4;1 2 0 7]n=size(A,1);x=zeros(n,1);flag=1;% 消元过程for k=1:n-1for i=k+1:nif abs(A(k,k))>epsA(i,k+1:n+1)=A(i,k+1:n+1)-A(k,k+1:n+1)*A(i,k)/A(k,k); elseflag=0;returnendendend% 回代过程if abs(A(n,n))>epsx(n)=A(n,n+1)/A(n,n);elseflag=0;returnendfor i=n-1:-1:1x(i)=(A(i,n+1)-A(i,i+1:n)*x(i+1:n))/A(i,i); endreturnxA = 2 -1 3 14 25 41 2 0 7x = 9-1-611x1-3x2-2x3=3,(2)-23x1+11x2+1x3=0,x1+2x2+2x3=-1;(2) 解：A=[11 -3 -2 3;-23 11 1 0;1 2 2 -1]n=size(A,1);x=zeros(n,1);flag=1;% 消元过程for k=1:n-1for i=k+1:nif abs(A(k,k))>epsA(i,k+1:n+1)=A(i,k+1:n+1)-A(k,k+1:n+1)*A(i,k)/A(k,k);elseflag=0;returnendendend% 回代过程if abs(A(n,n))>epsx(n)=A(n,n+1)/A(n,n);elseflag=0;returnendfor i=n-1:-1:1x(i)=(A(i,n+1)-A(i,i+1:n)*x(i+1:n))/A(i,i);endreturnxA = 11 -3 -2 3-23 11 1 01 2 2 -1x = 0.21240.5492-1.15544、用Cholesky分解法解方程组3 2 3 x1 52 2 0 x2 33 0 12 x3 7解：.A=[3 2 3;2 2 0;3 0 12];b=[5 3 7];lambda=eig(A);if lambda>eps&isequal(A,A')[n,n]=size(A);R=chol(A);%解R'y=by(1)=b(1)/R(1,1);if n>1for i=2:ny(i)=(b(i)-R(1:i-1,i)'*y(1:i-1)')/R(i,i);endend%解Rx=yx(n)=y(n)/R(n,n);if n>1for i=n-1:-1:1x(i)=(y(i)-R(i,i+1:n)*x(i+1:n)')/R(i,i);endendx=x';elsex=[];disp('该方法只适用于对称正定的系数矩阵!');endR= 1.7321 1.1547 1.73210 0.8165 -2.44950 0 1.7321y= 2.8868 -0.4082 0.5774x= 1.0000 0.5000 0.33335. 用列主元Doolittle分解法解方程组解：A=[3 4 5; -1 3 4; -2 3 -5;]; 3 4 5 X1 2 b=[2,-2 6]'; -1 3 4 X2 -2 [L,U,pv]=luex(A); -2 3 -5 X3 6y = L\b(pv);x = U\y结果如下：x = 11-114.已知，计算.解：A=[100 99;99 98];cond(A,inf)ans =3.9601e+04cond(A,2)ans =3.9206e+0427.编写LU分解法，改进平方根法，追赶法的Matlab程序，并进行相关数值试验。

数值分析课后答案（4）习题四1.已知ln(2.0)=0.6931;ln(2.2)=0.7885,ln(2.3)=0.8329, 试用线性插值和抛物插值计算.ln2.1的值并估计误差解：线形插值：取02.0x = 00.6931y = 12.2x = 10.7885y = 22.3x = 20.8329y = 110 2.1 2.3 2.1 2.0(0)(1)0.69310.832901102.0 2.32.3 2.0x x x x L f x f x x x x x ----=+=+----=0.7410抛物线插值：12200102()()()()x x x x l x x x x --=-- 02211012()()()()x x x x l x x x x --=-- 01222021()()()()x x x x l x x x x --=--2200211222L l y l y l y =++=0.7422.已知x=0,2,3,5对应的函数值分别为y=1,3,2,5.试求三次多项式的插值解：解：取00x = 12x = 23x = 35x = 12330010203()()()()()()x x x x x x l x x x x x x ---=--- 023********()()()()()()x x x x x x l x x x x x x ---=---01332202123()()()()()()x x x x x x l x x x x x x ---=--- 01233303132()()()()()()x x x x x x l x x x x x x ---=---3300311322333L l y l y l y l y =+++=1156261310323++-x x x3.设函数f(x)在[a,b]上具有直到二阶的连续导数,且f(a)=f(b)=0, 求证:2"1m ax |()|()m ax |()|8a x ba x bf x b a f x ≤≤≤≤≤-解：取01;x a x b ==，1()()0x a x b L f a f b a bb a--=+=--''''211()()()|()()||()()|||||224f f b a R f x L x x a x b εε-=-≤--≤∴''21()()|()||()|||||24f b a f x L x ε-≤+''1()|()||||()|8f L x b a ε=+-|||8)("|a b f -=ε4.证明n 次Lagrange 插值多项式基函数满足∑==ni ki n ki x x l x 0,)(, n k ≤≤0解：取()kf x x = 则n 0()nki i Ln lx x ==∑(1)()()()!n nii fx f x Ln Rn x x n +=-==-∑(1)0()()!k n nii x x x n +==-∑=0所以()()f x Ln x = 即证 5.证明 )(')()()(,xi x x x x l n i n i n ωω-=证明：、01110111()()()()()ln ()()()()()i i n i i i i i i i n x x x x x x x x x x i x x x x x x x x x x -+-+-----= -----01110111()()()()()()()()()()i i ni i ii i i i i nix x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -+-+------=------取 0111()()()()()()n i ii n x x xx xxxx x x x x ω-+=------则 '1020111011()()()())()()()()()()()()()n nn i in n x x x x x x x x x x x x x xx xx x x x x x x x x xxω-+-=--+---+-----++--- （'0111()()()()()()n i i i i i i i i n x x x x x x x x x x x ω-+=-----所以，'()ln ()()n i n i x i x x x ωω=-6.设nn x a x a a x f ++=10)(有n 个不同的实根.,,21n x x x证明:=-=∑11,0)('n ni i kia x f x证明：取()kx x ?= 1()()n n x x xx ω=-- 而，0()nn f x a a x =++ 有n 个不同的实根。

习题41. 给定x x f =)(在144,121,100=x 3点处的值，试以这3点建立)(x f 的2次(抛物)插值公式，利用插值公式115求的近似值并估计误差。

再给13169=建立3次插值公式，给出相应的结果。

解：x x f =)( 2121)(-='x x f ，2341)(--=''x x f ,2583)(-='''x x f ,27)4(1615)(--=x x f，72380529.10)115(=f1000=x ， 1211=x ， 1442=x ， 1693=x 100=y ， 111=y ， 122=y ， 133=y))(())(())(())(())(())(()(1202102210120*********x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L ----+----+----= )121144)(100144()121115)(100115(12)144121)(100121()144115)(100115(11)144100)(121100()144115)(121115(10)115(2----⨯+----⨯+----⨯=L=2344)6(1512)23(21)29(1511)44)(21()29)(6(10⨯-⨯⨯+-⨯-⨯⨯+----⨯72276.1006719.190683.988312.1=-+=))()((!3)()()(2102x x x x x x f x L x f ---'''=-ξ ，144100<<ξ )44115()121115()100115()(max 61)115()115(1441002-⨯-⨯-⋅'''≤-≤≤x f L f x 296151083615⨯⨯⨯⨯⨯≤-001631.0101631.02=⨯=- 实际误差 22101045.0)115()115(-⨯=-L f))()(())()(())()(())()(()(312101320130201032103x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x y x L ------+------= ))()(())()(())()(())()((23130321033212023102x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x y ------+------+ )169100()144100()121100()169115()144115()121115(10)115(3-⨯-⨯--⨯-⨯-⨯=L )169121()144121()100121()169115()144115()100115(11-⨯-⨯--⨯-⨯-⨯+)169144()121144()100144()169115()121115()100115(12-⨯-⨯--⨯-⨯-⨯+)144169()121169()100169()144115()121115()100115(13-⨯-⨯--⨯-⨯-⨯+)48()23(21)54()29(1511)69()44()21()54()29()6(10-⨯-⨯-⨯-⨯⨯+-⨯-⨯--⨯-⨯-⨯= 254869)29()6(1513)25(2344)54()6(1512⨯⨯-⨯-⨯⨯+-⨯⨯-⨯-⨯⨯+ 723571.10409783.0305138.2145186.11473744.1=+-+= ))()()((!4)()()(3210)4(3x x x x x x x x f x L x f ----=-ξ，169100<<ξ)169115)(144115)(121115)(10115(101615241)115()115(73----⨯⨯⨯≤--L f )54()29()6(151016152417-⨯-⨯-⨯⨯⨯⨯=- 0005505.0105505.03=⨯=-实际误差 321023429.0)115()115(-⨯=-L f 2. 设j x 为互异节点),,1,0(n j =求证： (1)k nj j k j x x l x =∑=)(0),,1,0(n k =;(2)0)()(0=-∑=x l x x j knj j ),,1(n k =。

数值分析知到章节测试答案智慧树2023年最新齐鲁工业大学第一章测试1.判断数值算法的指标是计算复杂性，分为时间复杂性和空间复杂性。

（）参考答案:对2.无论问题是否病态，只要算法稳定都能得到好的近似值。

（）参考答案:错3.下面（）不是数值计算应注意的问题参考答案:要尽量消灭误差4.作为的近似值，其有效数字的位数为（）参考答案:35.设的相对误差为，则的误差为（）参考答案:第二章测试1.是关于节点的拉格朗日插值基函数，则对任何次数不大于的多项式都有。

（）参考答案:对2.对给定的数据作插值，插值函数个数可以许多。

（）参考答案:错3.过点的插值多项式是（）次的多项式参考答案:54.分段插值方法的提出是要避免（）参考答案:Runge现象发生5.拉格朗日插值多项式，牛顿插值多项式的余项分别是（）参考答案:，第三章测试1.n+1个节点的求积公式的最高代数精度为n+2 。

（）参考答案:错2.用数值微分公式求导数值时，步长越小计算就越精确。

（）参考答案:错3.形如的高斯型求积公式的代数精度为（）参考答案:54.在牛顿—柯特斯求积公式中，当系数是负值时，公式稳定性不能保证，所以实际应用中，当（）时的牛顿—柯特斯求积公式不使用。

参考答案:5.5个节点的牛顿—柯特斯求积公式，至少具有（）次代数精度参考答案:5第四章测试1.一个单位下三角矩阵的逆仍为单位下三角矩阵。

（）参考答案:对2.范数为0的矩阵一定是零矩阵。

（）参考答案:对3.解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是（）参考答案:控制舍入误差4.用列主元消去法解线性方程组，第一次消元，选择主元为（）参考答案:-45.设矩阵A的LU分解如下：，则该分解式中a，b的值分别为（）参考答案:第五章测试1.不动点迭代法总是线性收敛的。

（）参考答案:错2.牛顿法是不动点迭代的一个特例。

（）参考答案:对3.用一般迭代法求方程的根，将方程表示为同解方程的，则的根是（）参考答案:与的交点的横坐标4.解方程组的简单迭代格式收敛的充要条件是（）。

第一章绪论习题一1.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。

解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(1.2.4)有已知x*的相对误差满足，而，故即2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。

解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得有5位有效数字，其误差限，相对误差限有2位有效数字，有5位有效数字，3.下列公式如何才比较准确？（1）（2）解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。

（1）（2）4.近似数x*=0.0310,是 3 位有数数字。

5.计算取，利用：式计算误差最小。

四个选项：第二、三章插值与函数逼近习题二、三1. 给定的数值表用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限. 解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（5.8）。

线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值误差限，因，故二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值误差限，故2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h 应取多少?解：用误差估计式（5.8），令因得3. 若，求和.解：由均差与导数关系于是4. 若互异，求的值，这里p≤n+1.解：，由均差对称性可知当有而当P＝n＋1时于是得5. 求证.解：解：只要按差分定义直接展开得6. 已知的函数表求出三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差.解：根据给定函数表构造均差表由式(5.14)当n=3时得Newton均差插值多项式N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3) 由此可得f(0.23) N3(0.23)=0.23203由余项表达式(5.15)可得由于7. 给定f(x)=cosx的函数表用Newton等距插值公式计算cos 0.048及cos 0.566的近似值并估计误差解：先构造差分表计算，用n=4得Newton前插公式误差估计由公式（5.17）得其中计算时用Newton后插公式（5.18)误差估计由公式（5.19）得这里仍为0.5658．求一个次数不高于四次的多项式p(x),使它满足解：这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。