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数值分析参考答案(第四章)

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数值方法课后习题答案第4章

数值方法课后习题答案第4章
第四章
解线性方程组迭代法
第四章 解线性方程组迭代法
习题4-1
第四章
解线性方程组迭代法
Байду номын сангаас
第四章
解线性方程组迭代法
第四章
解线性方程组迭代法
第四章
解线性方程组迭代法
第四章
解线性方程组迭代法
第四章
解线性方程组迭代法
第四章
解线性方程组迭代法
第四章
解线性方程组迭代法
第四章
习题4
习题4
习题4
习题4
8.
设A为严格对角优势阵，证明：
习题4
9. A是n阶非奇异阵，B是n阶奇异阵，试求证：
习题4
习题4
P91
P91.
x0
p0 r0
Ap0
x1
r1
p1
Ap1
x2
r2
0
3
7
30/29=
17/29=
1360/841=
1530/841=
14/9=
0.3
P91
1.034482758 0 1 8 10/29= 0.344827586
0.570796875 0.493315839 0.500166165 0.499999398 1.001438281 0.998173633 1.000074653 1.000013383 -0.49943416 -
0.500558834 0.499923587 0.500003961
w=1.03
10 29 a0 =10/29=0.344827586
2890/841=3.436385254 260100/24389=10.66464388 a1 =8381/26010=0.322222222 -289/29= -9.965517218 b0 =289/841=0.343638524

数值分析第四章林成森

数值分析第四章林成森

-4 -4
0
Newton 差值多项式为： = −5 + 2 − 4( − 1) = −4 + 6 − 5; f(1.5) = −5 24、已知函数 f(x)的函数值，f(0)=3,f(1)=3,f(2)=5/2,求 Newton 差值多项式，再条件 f(3/2)=13/4，Newton 差值多项 式 (1)计算差商如下表： I 0 1 2 0 1 2 ( ) 3 3 5/2 一阶差商 0 -0.5 二阶差商
×1 ×1
0.25(0.25 − 1) 0.25(0.25 − 1)(0.25 − 2) 155 ×1+ ×1= 2! 3! 128 0.3(0.3 + 1) 0.3(0.3 + 1)(0.3 + 2) 91 ×2+ ×1 = 2! 3! 16
f(x) = f(2.2 + 0.3) = 8 + 0.3 × 4 +
-0.25
Newton 差值多项式为： = 3 − 0.25( − 1) = −0.25 + 0.25 + 3; (2) 计算差商如下表： I ( ) 一阶差商 二阶差商 0 0 3 1 1 3 0 2 2 5/2 -1/2 -1/4 3 3/2 13/4 -3/2 -2 Newton 差值多项式为： = 3 − ( − 0)( − 1) − (x − 2)(x − 1)x = −
1 = 1.5 2 23、已知函数 f(x)的函数值，f(0)=-5,f(1)=-3,f(-1)=-15.f(2)=-9,求 Newton 差值多项式及 f(1.5)的值。 计算差商如下表： I 0 1 2 3 0 1 -1 2 ( ) -5 -3 -15 -9 一阶差商 2 6 2 二阶差商 三阶差商

《数值分析》第四章答案

《数值分析》第四章答案

习题41. 给定x x f =)(在144,121,100=x 3点处的值，试以这3点建立)(x f 的2次(抛物)插值公式，利用插值公式115求的近似值并估计误差。

再给13169=建立3次插值公式，给出相应的结果。

解：x x f =)( 2121)(-='x x f ，2341)(--=''x x f ,2583)(-='''x x f ,27)4(1615)(--=x x f，72380529.10)115(=f1000=x ， 1211=x ， 1442=x ， 1693=x 100=y ， 111=y ， 122=y ， 133=y))(())(())(())(())(())(()(1202102210120*********x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L ----+----+----= )121144)(100144()121115)(100115(12)144121)(100121()144115)(100115(11)144100)(121100()144115)(121115(10)115(2----⨯+----⨯+----⨯=L=2344)6(1512)23(21)29(1511)44)(21()29)(6(10⨯-⨯⨯+-⨯-⨯⨯+----⨯72276.1006719.190683.988312.1=-+=))()((!3)()()(2102x x x x x x f x L x f ---'''=-ξ ，144100<<ξ )44115()121115()100115()(max 61)115()115(1441002-⨯-⨯-⋅'''≤-≤≤x f L f x 296151083615⨯⨯⨯⨯⨯≤-001631.0101631.02=⨯=- 实际误差 22101045.0)115()115(-⨯=-L f))()(())()(())()(())()(()(312101320130201032103x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x y x L ------+------= ))()(())()(())()(())()((23130321033212023102x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x y ------+------+ )169100()144100()121100()169115()144115()121115(10)115(3-⨯-⨯--⨯-⨯-⨯=L )169121()144121()100121()169115()144115()100115(11-⨯-⨯--⨯-⨯-⨯+)169144()121144()100144()169115()121115()100115(12-⨯-⨯--⨯-⨯-⨯+)144169()121169()100169()144115()121115()100115(13-⨯-⨯--⨯-⨯-⨯+)48()23(21)54()29(1511)69()44()21()54()29()6(10-⨯-⨯-⨯-⨯⨯+-⨯-⨯--⨯-⨯-⨯= 254869)29()6(1513)25(2344)54()6(1512⨯⨯-⨯-⨯⨯+-⨯⨯-⨯-⨯⨯+ 723571.10409783.0305138.2145186.11473744.1=+-+= ))()()((!4)()()(3210)4(3x x x x x x x x f x L x f ----=-ξ，169100<<ξ)169115)(144115)(121115)(10115(101615241)115()115(73----⨯⨯⨯≤--L f )54()29()6(151016152417-⨯-⨯-⨯⨯⨯⨯=- 0005505.0105505.03=⨯=-实际误差 321023429.0)115()115(-⨯=-L f 2. 设j x 为互异节点),,1,0(n j =求证： (1)k nj j k j x x l x =∑=)(0),,1,0(n k =;(2)0)()(0=-∑=x l x x j knj j ),,1(n k =。

数值分析(第四版)课后习题及答案

数值分析(第四版)课后习题及答案

0.30
0.39
0.45
0.53
yj
0.5000
0.5477
0.6245
0.6708
0.7280
试求三次样条插值 S (x) 并满足条件
i) S(0.25) 1.0000, S(0.53) 0.6868; ii) S(0.25) S(0.53) 0.
25. 若 f (x) C2 a,b, S (x) 是三次样条函数,证明
12. 在 1,1 上利用插值极小化求 1 f (x) tg 1x 的三次近似最佳逼近多项式.
13. 设 f (x) ex 在 1,1 上的插值极小化近似最佳逼近多项式为 Ln (x) ,若 f Ln 有界,
证明对任何 n 1,存在常数 n 、 n ,使
改用另一等价公式
ln(x x2 1) ln(x x2 1)
计算,求对数时误差有多大?
x1 1010 x2 1010 ; x1 x2 2.
14. 试用消元法解方程组
假定只用三位数计算,问结果是否可靠?
s 1 ab sin c,
0c
15. 已知三角形面积 2
n
x
k j

j1 f (xj )
0,0k n2; an1 ,k n1.
15. 证明 n 阶均差有下列性质:
i) 若 F (x) cf (x) ,则 F x0, x1,, xn cf x0, x1,, xn ;
ii) 若 F (x) f (x) g(x) ,则 F x0, x1,, xn f x0, x1,, xn g x0, x1,, xn .
5.
设 xk

x0

数值分析课后习题及答案

数值分析课后习题及答案

第一章 绪论（12） 第二章 插值法（40-42）2、当2,1,1-=x 时，4,3,0)(-=x f ，求)(x f 的二次插值多项式。

[解]372365)1(34)23(21)12)(12()1)(1(4)21)(11()2)(1()3()21)(11()2)(1(0))(())(())(())(())(())(()(2221202102210120120102102-+=-++--=+-+-⨯+------⨯-+-+-+⨯=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L 。

3、给出x x f ln )(=的数值表用线性插值及二次插值计算54.0ln 的近似值。

X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 x ln -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 -0.223144[解]若取5.00=x ，6.01=x ，则693147.0)5.0()(00-===f x f y ，510826.0)6.0()(11-===f x f y ，则604752.182321.1)5.0(10826.5)6.0(93147.65.06.05.0510826.06.05.06.0693147.0)(010110101-=---=--⨯---⨯-=--+--=x x x x x x x x x y x x x x y x L ，从而6202186.0604752.19845334.0604752.154.082321.1)54.0(1-=-=-⨯=L 。

若取4.00=x ，5.01=x ，6.02=x ，则916291.0)4.0()(00-===f x f y ，693147.0)5.0()(11-===f x f y ，510826.0)6.0()(22-===f x f y ，则 217097.2068475.404115.2)2.09.0(5413.25)24.0(3147.69)3.01.1(81455.45)5.06.0)(4.06.0()5.0)(4.0()510826.0()6.05.0)(4.05.0()6.0)(4.0()693147.0()6.04.0)(5.04.0()6.0)(5.0(916291.0))(())(())(())(())(())(()(22221202102210120120102102-+-=+--+-⨯++-⨯-=----⨯-+----⨯-+----⨯-=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L ，从而61531984.0217097.21969765.259519934.0217097.254.0068475.454.004115.2)54.0(22-=-+-=-⨯+⨯-=L补充题：1、令00=x ，11=x ，写出x e x y -=)(的一次插值多项式)(1x L ，并估计插值余项。

数值分析 第四章第一,二,三节

数值分析 第四章第一,二,三节

令n 2k (k 1, 2, )

n 0
t (t 1)
k k
(t n)dt t (t 1)
0
2k
(t k )(t k 1)
(t 2k 1)(t 2k )dt
(u k )(u k 1) 令H (u ) H (u ) (u k )(u k 1)
4 b 1 5 ba 4 ab 4 5 4 a 4 b a x dx 5 (b a ) 6 2 ba ab f (a) 4 f f (b ) 6 2 即抛物线求积公式的代数精度为3.
(n) b a x a th ( 1) n i (b a) n t (t 1) (x) (t n ) dx dt (x x i ) '(x i ) n i ! ( n i)! 0 t i
n t (t 1) (1) n i (t n) dt 0 n i ! (n i )! t i

b a
f ( x)dx
b a
3 ba 2 b a 2 (b a 2) x dx 3 2 3
19
定理4.2 : Newton Cotes求积公式至少具有n 次代数精确度. 当n为偶数时, 代数精确度至少为n 1次.
f ( n 1) ( ) f ( x) pn ( x) ( x) (a b), ( x) (n 1)! 若f ( x)是不超过n次的多项式, 则f ( n 1) ( x) 0
u t k
u (u 1) u (u 1)
(u k 1)(u k )du (u k 1)(u k ) (u k 1)(u k )

《数值分析》杨大地 答案(第四章)

6 2 1 1 1 1
⑴ 2 3 1 ，求按模最大特征值和对应的特征向量，精确到小数三位。
解：由幂法公式有:
1i n
//P67 页
(1) | a r | max | a i | ,其中 ai 是uk −1 = (a1 , a2 , . . . , an )T 的各分量； (2) y k 1
∴ i t 为������ − ������������ 的特征值。 令 为 A 的特征向量，则有： A i 又∵ A tI A tI i t i t ∴ 也为������ − ������������ 的特征向量； ∴ i t 是 A tI 的特征值，且 A 和������ − ������������特征向量相同。
T
1
当计算到第 9 次时，λ 1 的小数点前三位精度开始稳定，满足题目要求，所以此时 A 矩阵的按模最大特 征值 1 =7.288，对应的特征向量为（1.000,0.523,0.242）T 5．若 A 的特征值为 1, 2 ,, n , t 是一实数，证明： i t 是 A tI 的特征值，且特征向量不变． 证明： ∵ A 的特征值为 ∴｜ i I A ｜=0 假设������是 A tI 的特征值，则有：
k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ukT 1.000,1.000,1.000 9.000,6.000,3.000 7.6667,4.3333,2.000 7.3913,3.9565,1.8261 7.3177,3.8530,1.7824 7.2966,3.8231,1.7701 7.2906,3.8146,1.7666 7.2887,3.8119,1.7655 7.2882,3.9112,1.7652 7.2880,3.8109,1.7651 ykT 1.000,1.000,1.000 1.000,0.6667,0.3333 1.000,0.5653,0.2609 1.000,0.5353,0.2471 1.000,0.5265,0.2436 1.000,0.5240,0.2426 1.000,0.5232,0.2423 1.000,0.5230,0.2422 1.000,0.5229,0.2422 9.0000 7.6667 7.5913 7.3177 7.2966 7.2916 7.2887 7.2882 7.2880

数值分析答案第四章


令
f (x) = x ，则
0 = −1 + 2 x1 + 3 x2
令 f ( x ) = x 2 ，则
2 2 = 1 + 2 x12 + 3 x2
从而解得
⎧ x1 = −0.2899 ⎧ x1 = 0.6899 或⎨ ⎨ ⎩ x2 = 0.5266 ⎩ x2 = 0.1266
令 f ( x ) = x 3 ，则
∫
1
−1
f ( x)dx = ∫ x3 dx = 0
−1
1
[ f ( −1) + 2 f ( x1 ) + 3 f ( x2 )] / 3 ≠ 0
故
∫
1
−1
f ( x)dx = [ f (− 1) + 2 f ( x1 ) + 3 f ( x2 )] / 3不成立。
h
因此，原求积公式具有 2 次代数精度。 （4）若
7 h T8 = [ f ( a) + 2∑ f ( xk ) + f ( b)] = 0.11140 2 k =1
复化辛普森公式为
7 7 h S8 = [ f ( a) + 4∑ f ( x 1 ) + 2∑ f ( xk ) + f ( b)] = 0.11157 k+ 6 k=0 k =1 2 1
令 f ( x ) = x 2 ，则
b 1 3 3 2 f ( x ) dx = ∫a ∫a x dx = 3 (b − a ) b −a 1 3 3 [7 f ( x0 ) + 32 f ( x1 ) + 12 f ( x2 )+ 32 f ( x (b − a ) 3 )+ 7 f ( x 4 )]= 90 3 b

数值分析课程第五版课后习题答案

N +1 N
=
1 = 1.7863 × 10 − 2 。 55.982
8、当 N 充分大时，怎样求 ∫ [解]因为 ∫
N +1 N
1 dx ？ 1+ x2
1 dx = arctan( N + 1) − arctan N ，当 N 充分大时为两个相近数相 1+ x2
减，设 α = arctan( N + 1) ， β = arctan N ，则 N + 1 = tan α ， N = tan β ，从而 tan(α − β ) = 因此 ∫
5、计算球体积要使相对误差限为 1%，问度量半径 R 允许的相对误差是多少？ 4 ε * ( π (R* )3 ) 4 3 [解]由 1% = ε r* ( π ( R * ) 3 ) = 可知， 4 3 * 3 π (R ) 3 ′ 4 4 4 ε * ( π ( R * ) 3 ) = 1% × π ( R * ) 3 = π ( R * ) 3 ε * ( R * ) = 4π ( R * ) 2 × ε * ( R * ) ， 3 3 3
ε * ( y n ) = 10ε * ( y n −1 ) = 10 n ε * ( y 0 ) ，
1 1 从而 ε * ( y10 ) = 1010 ε * ( y 0 ) = 1010 × × 10 − 2 = × 10 8 ，因此计算过程不稳定。 2 2 12、计算 f = ( 2 − 1) 6 ，取 2 ≈ 1.4 ，利用下列公式计算，哪一个得到的结果最 好？ 1 ( 2 + 1)
* r
x= x
*
ε ( x * ) = n( x * ) n −1 2% x * = 2n% ⋅ x * ，

李庆扬-数值分析第五版第4章习题答案(20130714)

如果求积区间中被积函数变化很大有的部分函数值变化剧烈需要使用小不长另一部分函数值变化平缓可以使用大步长针对被积函数在区间上的不同情形采用不同的步长使得在满足精度前提下积分计算工作量尽可能小针对这类问题的算法技巧是在不同区间上预测被积函数变化的剧烈程度确定响应步长
第4章
复习与思考题
习题 1、给出计算积分的梯形公式及中矩形公式，说明它们的几何意义。
(1)
1 0
4
x x2
dx,
n
8
梯形公式
n6
Tn
h[ 2
f
(a)
n1
2
k 1
f
(xk )
f
(b)]
n8
,所以 xk
k 8
,k
0,1, 2,3, 4,5, 6, 7,8
f (x0 ) 0 f (x1) 0.0311 f (x2 ) 0.0615 f (x3) 0.0906 f (x4 ) 0.1176 f (x5 ) 0.1423 f (x6 ) 0.1644 f (x7 ) 0.1836 f (x8 ) 0.200
使得在满足精度前提下积分计算工作量尽可能小，针对这类问题的算法技巧是在不同区间上 预测被积函数变化的剧烈程度确定响应步长。就是自动求积的一般步骤。
12、怎样利用标准的一维求积公式计算矩形域上的二重积分
基本原则：累次积分。
多重积分的辛普森公式：
bd
a c f (x, y)dydx
k[ 6
h n1
n1
n1
S2
6
[f
k 0
(a) 4
k 0
f
(xk1/2 ) 2
k 1
f
(xk )
f
(b)]
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10.2075712
10.2075943
10.2075939
10.2075936
5
10.2112607
10.2075909
10.2075922
10.2075922
10.2075922
10.2075922
因此
9。用 的高斯-勒让德公式计算积分
解：
令 ，则
用 的高斯—勒让德公式计算积分
用 的高斯—勒让德公式计算积分
10地球卫星轨道是一个椭圆，椭圆周长的计算公式是
这是 是椭圆的半径轴，c是地球中心与轨道中心（椭圆中心）的距离，记h为近地点距离，H为远地点距离，R=6371（km）为地球半径，则
我国第一颗地球卫星近地点距离h=439(km)，远地点距离H=2384(km）。试求卫星轨道的周长。
解：
从而有。
0
1.564640
第四章数值积分与数值微分
1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度：
解：
求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。
（1）若
令 ，则
令 ，则
令 ，则
3.141105
3.141580
故
12。用下列方法计算积分 ，并比较结果。
(1)龙贝格方法；
(2)三点及五点高斯公式；
(3)将积分区间分为四等分，用复化两点高斯公式。
解
(1)采用龙贝格方法可得
k
0
1.333333
1
1.166667
1.099259
2
1.116667
1.100000
1.099259
3
1.103211
令 ，则
令 ，则
令 ，则
令 ，则
因此，该柯特斯公式具有5次代数精度。
4ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ用辛普森公式求积分 并估计误差。
解：
辛普森公式为
此时，
从而有
误差为
5。推导下列三种矩形求积公式：
证明：
两边同时在 上积分，得
即
两边同时在 上积分，得
即
两连边同时在 上积分，得
即
6。若用复化梯形公式计算积分 ，问区间 应人多少等分才能使截断误差不超过 ？若改用复化辛普森公式，要达到同样精度区间 应分多少等分？
13.用三点公式和积分公式求 在 ，和1.2处的导数值，并估计误差。 的值由下表给出：
x
1.0 1.1 1.2
F(x)
0.2500 0.2268 0.2066
解：
由带余项的三点求导公式可知
又
又
又
故误差分别为
利用数值积分求导，
设
由梯形求积公式得
从而有
故
又
且
从而有
故
即
解方程组可得
令 ，则
故此时，
因此，
具有3次代数精度。
2.分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分：
解：
复化梯形公式为
复化辛普森公式为
复化梯形公式为
复化辛普森公式为
复化梯形公式为
复化辛普森公式为
复化梯形公式为
复化辛普森公式为
3。直接验证柯特斯教材公式（2。4）具有5交代数精度。
证明：
柯特斯公式为
令 ，则
令 ，则
令 ，则
解：
采用复化梯形公式时，余项为
又
故
若 ，则
当对区间 进行等分时，
故有
因此，将区间213等分时可以满足误差要求
采用复化辛普森公式时，余项为
又
若 ，则
当对区间 进行等分时
故有
因此，将区间8等分时可以满足误差要求。
7。如果 ，证明用梯形公式计算积分 所得结果比准确值 大，并说明其几何意义。
解：采用梯形公式计算积分时，余项为
从而解得
令 ，则
故 成立。
令 ，则
故此时，
故
具有3次代数精度。
（2）若
令 ，则
令 ，则
令 ，则
从而解得
令 ，则
故 成立。
令 ，则
故此时，
因此，
具有3次代数精度。
（3）若
令 ，则
令 ，则
令 ，则
从而解得
或
令 ，则
故 不成立。
因此，原求积公式具有2次代数精度。
（4）若
令 ，则
令 ，则
令 ，则
故有
令 ，则
1
1.564646
1.564648
2
1.564646
1.564646
1.564646
即人造卫星轨道的周长为48708km
11。证明等式
试依据 的值，用外推算法求 的近似值。
解
若
又
此函数的泰勒展式为
当 时,
当 时,
当 时,
由外推法可得
n
3
2.598076
6
3.000000
3.133975
9
3.105829
0.7132717
因此
0
3.451313
1
8.628283
-4.446923
因此
0
14.2302495
1
11.1713699
10.1517434
2
10.4437969
10.2012725
10.2045744
3
10.2663672
10.2072240
10.2076207
10.2076691
4
10.2222702
1.098726
1.098641
1.098613
4
1.099768
1.098620
1.098613
1.098613
1.098613
故有
(2)采用高斯公式时
此时
令 则
利用三点高斯公式，则
利用五点高斯公式，则
(3)采用复化两点高斯公式
将区间 四等分，得
作变换 ，则
作变换 ，则
作变换 ，则
作变换 ，则
因此，有
又 且
又
即计算值比准确值大。
其几何意义为， 为下凸函数，梯形面积大于曲边梯形面积。
8。用龙贝格求积方法计算下列积分，使误差不超过 .
解：
0
0.7717433
1
0.7280699
0.7135121
2
0.7169828
0.7132870
0.7132720
3
0.7142002
0.7132726
0.7132717