课时作业(四十七) 椭圆(含答案)

【新课改专版】2020年高考数学一轮复习课时精练49.椭圆[A 级 基础题——基稳才能楼高]1．椭圆mx 2＋ny 2＋mn ＝0(m ＜n ＜0)的焦点坐标是( )A ．(0，±m －n )B ．(±m －n ，0)C ．(0，±n －m )D ．(±n －m ，0)2．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为( ) A.x 22＋y 24＝1 B ．x 2＋y 26＝1C.x 26＋y 2＝1 D.x 28＋y 25＝13．已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y 2＝4上的点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．5B ．7C ．13D ．154．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P .若AP ―→＝2PB ―→，则椭圆的离心率是( )A.32 B.22 C.13 D.125．(2019·长沙一模)椭圆的焦点在x 轴上，中心在原点，其上、下顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆的标准方程为( )A.x 22＋y 22＝1 B.x 22＋y 2＝1C.x 24＋y 22＝1D.y 24＋x 22＝16．已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则椭圆C 离心率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，1 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，22 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13[B 级 保分题——准做快做达标]1．(2019·武汉模拟)曲线x225＋y 29＝1与曲线x 225－k ＋y 29－k＝1(k ＜9)的( ) A ．长轴长相等 B ．短轴长相等 C ．离心率相等 D ．焦距相等2．(2019·德阳模拟)设P 为椭圆C ：x 249＋y 224＝1上一点，F 1，F 2分别是椭圆C 的左、右焦点，且△PF 1F 2的重心为点G ，若|PF 1|∶|PF 2|＝3∶4，那么△GPF 1的面积为( )A ．24B ．12C ．8D ．63．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( )A ．2 B.455 C.4105D.81054．(2019·贵阳摸底)P 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上的一点，A 为左顶点，F 为右焦点，PF ⊥x轴，若tan ∠PAF ＝12，则椭圆的离心率e 为( )A.23B.22C.33D.125．(2019·长郡中学选拔考试)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与圆D ：x 2＋y 2－2ax ＋316a 2＝0交于A ，B 两点，若四边形OADB (O 为原点)是菱形，则椭圆C 的离心率为( )A.13B.12C.32D.626．(2019·沙市中学测试)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有4个交点，以这4个交点为顶点的四边形的面积为8，则椭圆C 的方程为( )A.x 28＋y 22＝1B.x 212＋y 26＝1 C.x 26＋y 23＝1 D.x 220＋y 25＝17．(2019·安阳模拟)已知F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为椭圆上一点，且PF 1―→·(OF 1―→＋OP ―→)＝0(O 为坐标原点)，若|PF 1―→|＝2|PF 2―→|，则椭圆的离心率为( )A.6－ 3B.6－32C.6－ 5D.6－528．(2019·西宁复习检测)在平面直角坐标系xOy 中，P 是椭圆y 24＋x 23＝1上的一个动点，点A (1,1)，B (0，－1)，则|PA |＋|PB |的最大值为( )A ．5B ．4C ．3D ．2 9．已知点P 是椭圆x 216＋y 28＝1(x ≠0，y ≠0)上的动点，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，O 是坐标原点，若M 是∠F 1PF 2的平分线上一点，且F 1M ―→·MP ―→＝0，则|OM ―→|的取值范围是( )A ．[0,3)B ．(0,22)C ．[22，3)D ．(0,4]10．已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的两个焦点，P 在椭圆上且满足PF 1―→·PF 2―→＝c 2，则此椭圆离心率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12 D.⎝⎛⎦⎥⎤0，2211．设e 是椭圆x 24＋y 2k ＝1的离心率，且e ＝23，则实数k 的值是________．12．(2019·湖北稳派教育联考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的半焦距为c ，且满足c 2－b 2＋ac＜0，则该椭圆的离心率e 的取值范围是________．13.如图，椭圆的中心在坐标原点O ，顶点分别是A 1，A 2，B 1，B 2，焦点分别为F 1，F 2，延长B 1F 2与A 2B 2交于P 点，若∠B 1PA 2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为______．14．(2019·辽宁联考)设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为________．15．(2019·武汉调研)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 2a2＋y 2＝1(a ＞1，a ∈R)上，过O 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，F 为椭圆C 的左焦点．(1)若△FAB 的面积的最大值为1，求a 的值；(2)若直线MA ，MB 的斜率乘积等于－13，求椭圆C 的离心率．16．(2019·广东七校联考)已知动点M 到定点F 1(－2,0)和F 2(2,0)的距离之和为4 2. (1)求动点M 的轨迹C 的方程；(2)设N (0,2)，过点P (－1，－2)作直线l ，交C 于不同于N 的两点A ，B ，直线NA ，NB 的斜率分别为k 1，k 2，求k 1＋k 2的值．解析49.椭圆[A 级 基础题——基稳才能楼高]1．椭圆mx 2＋ny 2＋mn ＝0(m ＜n ＜0)的焦点坐标是( ) A ．(0，±m －n ) B ．(±m －n ，0) C ．(0，±n －m )D ．(±n －m ，0)解析：选C 化为标准方程是x 2－n ＋y 2－m＝1，∵m ＜n ＜0，∴0＜－n ＜－m .∴焦点在y 轴上，且c ＝－m －－n ＝n －m .2．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为( ) A.x 22＋y 24＝1 B ．x 2＋y 26＝1C.x26＋y 2＝1 D.x28＋y25＝1 解析：选B 椭圆9x 2＋4y 2＝36可化为x 24＋y 29＝1，可知焦点在y 轴上，焦点坐标为(0，±5)，故可设所求椭圆方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)，则c ＝ 5.又2b ＝2，即b ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝6，则所求椭圆的标准方程为x 2＋y 26＝1.3．已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y 2＝4上的点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．5B ．7C ．13D ．15解析：选B 由题意知椭圆的两个焦点F 1，F 2分别是两圆的圆心，且|PF 1|＋|PF 2|＝10，从而|PM |＋|PN |的最小值为|PF 1|＋|PF 2|－1－2＝7.4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P .若AP ―→＝2PB ―→，则椭圆的离心率是( )A.32 B.22 C.13D.12解析：选D ∵AP ―→＝2PB ―→，∴|AP ―→|＝2|PB ―→|.又∵PO ∥BF ，∴|PA ||AB |＝|AO ||AF |＝23，即a a ＋c ＝23，∴e ＝c a ＝12.5．(2019·长沙一模)椭圆的焦点在x 轴上，中心在原点，其上、下顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆的标准方程为( )A.x 22＋y 22＝1 B.x 22＋y 2＝1C.x 24＋y 22＝1 D.y 24＋x 22＝1 解析：选C 由条件可知b ＝c ＝2，a ＝2，所以椭圆的标准方程为x 24＋y 22＝1.故选C.6．已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则椭圆C 离心率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，1 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，22 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13 解析：选C 如图所示，∵线段PF 1的中垂线经过F 2，∴|PF 2|＝|F 1F 2|＝＝ca∈2c ，即椭圆上存在一点P ，使得|PF 2|＝2c .∴a －c ≤2c ≤a ＋c .∴e ⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1.[B 级 保分题——准做快做达标]1．(2019·武汉模拟)曲线x 225＋y 29＝1与曲线x 225－k ＋y 29－k＝1(k ＜9)的( ) A ．长轴长相等 B ．短轴长相等 C ．离心率相等 D ．焦距相等 解析：选D 曲线x 225＋y 29＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，其长轴长为10，短轴长为6，焦距为8，离心率为45.曲线x 225－k ＋y 29－k＝1(k ＜9)表示焦点在x 轴上的椭圆，其长轴长为225－k ，短轴长为29－k ，焦距为8，离心率为425－k .对照选项，知D 正确．故选D.2．(2019·德阳模拟)设P 为椭圆C ：x 249＋y 224＝1上一点，F 1，F 2分别是椭圆C 的左、右焦点，且△PF 1F 2的重心为点G ，若|PF 1|∶|PF 2|＝3∶4，那么△GPF 1的面积为( )A ．24B ．12C ．8D ．6 解析：选C ∵P 为椭圆C ：x 249＋y 224＝1上一点，|PF 1|∶|PF 2|＝3∶4，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝14，∴|PF 1|＝6，|PF 2|＝8，又∵|F 1F 2|＝2c ＝249－24＝10，∴易知△PF 1F 2是直角三角形，S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝24，∵△PF 1F 2的重心为点G ，∴S △PF 1F 2＝3S △GPF 1，∴△GPF 1的面积为8，故选C.3．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( )A ．2 B.455C.4105 D.8105解析：选C 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝x ＋t ，消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0，则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝t 2－5.∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝2· ⎝ ⎛⎭⎪⎫－85t 2－4×t 2－5＝425·5－t 2， 当t ＝0时，|AB |max ＝4105.4．(2019·贵阳摸底)P 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上的一点，A 为左顶点，F 为右焦点，PF ⊥x轴，若tan ∠PAF ＝12，则椭圆的离心率e 为( )A.23B.22C.33D.12解析：选D 不妨设点P 在第一象限，因为PF ⊥x 轴，所以x P ＝c ，将x P ＝c 代入椭圆方程得y P＝b 2a ，即|PF |＝b 2a ，则tan ∠PAF ＝|PF ||AF |＝b 2aa ＋c ＝12，结合b 2＝a 2－c 2，整理得2c 2＋ac －a 2＝0，两边同时除以a 2得2e 2＋e －1＝0，解得e ＝12或e ＝－1(舍去)．故选D.5．(2019·长郡中学选拔考试)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与圆D ：x 2＋y 2－2ax ＋316a 2＝0交于A ，B 两点，若四边形OADB (O 为原点)是菱形，则椭圆C 的离心率为( )A.13B.12C.32D.62解析：选B 由已知可得圆D ：(x －a )2＋y 2＝1316a 2，圆心D (a ，0)，则菱形OADB 对角线的交点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，将x ＝a 2代入圆D 的方程得y ＝±3a 4，不妨设点A 在x 轴上方，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，3a 4，代入椭圆C 的方程可得14＋9a 216b 2＝1，所以34a 2＝b 2＝a 2－c 2，解得a ＝2c ，所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝12.6．(2019·沙市中学测试)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有4个交点，以这4个交点为顶点的四边形的面积为8，则椭圆C 的方程为( )A.x 28＋y 22＝1 B.x 212＋y 26＝1C.x 26＋y 23＝1D.x 220＋y 25＝1 解析：选C 由题意知双曲线x 2－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±x ，由椭圆的对称性可知以这4个交点为顶点的四边形是正方形，由四边形的面积为8，知正方形的边长为22，所以点(2，2)在椭圆上，所以2a 2＋2b2＝1. ①又椭圆的离心率为22， 所以a 2－b 2a 2＝12，所以a 2＝2b 2.②由①②得a 2＝6，b 2＝3，所以椭圆C 的方程为x 26＋y 23＝1.故选C.7．(2019·安阳模拟)已知F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为椭圆上一点，且PF 1―→·(OF 1―→＋OP ―→)＝0(O 为坐标原点)，若|PF 1―→|＝2|PF 2―→|，则椭圆的离心率为( )A.6－ 3B.6－32C.6－ 5D.6－52解析：选A 以OF 1，OP 为邻边作平行四边形，根据向量加法的平行四边形法则， 由PF 1―→·(OF 1―→＋OP ―→)＝0知，此平行四边形的对角线垂直，即此平行四边形为菱形，∴|OP ―→|＝|OF 1―→|，∴△F 1PF 2是直角三角形，即PF 1⊥PF 2.设|PF 2|＝x ，则|PF 1|＝2x ，结合椭圆的性质和三角形勾股定理可得⎩⎨⎧2x ＋x ＝2a ，2x2＋x 2＝c2，∴e ＝c a＝32＋1＝6－ 3.故选A.8．(2019·西宁复习检测)在平面直角坐标系xOy 中，P 是椭圆y 24＋x 23＝1上的一个动点，点A (1,1)，B (0，－1)，则|PA |＋|PB |的最大值为( )A ．5B ．4C ．3D ．2 解析：选A ∵椭圆的方程为y 24＋x 23＝1，∴a 2＝4，b 2＝3，c 2＝1，∴B (0，－1)是椭圆的一个焦点，设另一个焦点为C (0,1)，如图所示，根据椭圆的定义知，|PB |＋|PC |＝4，∴|PB |＝4－|PC |，∴|PA |＋|PB |＝4＋|PA |－|PC |≤4＋|AC |＝5.9．已知点P 是椭圆x 216＋y 28＝1(x ≠0，y ≠0)上的动点，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，O 是坐标原点，若M 是∠F 1PF 2的平分线上一点，且F 1M ―→·MP ―→＝0，则|OM ―→|的取值范围是( )A ．[0,3)B ．(0,22)C ．[22，3)D ．(0,4]解析：选B 如图，延长F 1M 交PF 2的延长线于点G .∵F 1M ―→·MP ―→＝0，∴F 1M ―→⊥MP ―→. 又MP 为∠F 1PF 2的平分线，∴|PF 1|＝|PG |，且M 为F 1G 的中点．∵O 为F 1F 2的中点，∴OM 綊12F 2G .∵|F 2G |＝||PF 2|－|PG ||＝||PF 1|－|PF 2||，∴|OM ―→|＝12|2a －2|PF 2||＝|4－|PF 2||.∵4－22＜|PF 2|＜4或4＜|PF 2|＜4＋22，∴|OM ―→|∈(0,22)．10．已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的两个焦点，P 在椭圆上且满足PF 1―→·PF 2―→＝c 2，则此椭圆离心率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12 D.⎝⎛⎦⎥⎤0，22解析：选B 设P (x ，y )，则x 2a 2＋y 2b 2＝1，y 2＝b 2－b 2a2x 2，－a ≤x ≤a ，PF 1―→＝(－c －x ，－y )，PF 2―→＝(c －x ，－y )．所以PF 1―→·PF 2―→＝x 2－c 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－b 2a 2x 2＋b 2－c 2＝c 2a 2x 2＋b 2－c 2.因为－a ≤x ≤a ，所以b 2－c 2≤PF 1―→·PF 2―→≤b 2. 所以b 2－c 2≤c 2≤b 2. 所以2c 2≤a 2≤3c 2.所以33≤c a ≤22.故选B.11．设e 是椭圆x 24＋y 2k ＝1的离心率，且e ＝23，则实数k 的值是________．解析：当k ＞4 时，有e ＝ 1－4k ＝23，解得k ＝365；当0＜k ＜4时，有e ＝1－k 4＝23，解得k ＝209.故实数k 的值为209或365.答案：209或36512．(2019·湖北稳派教育联考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的半焦距为c ，且满足c 2－b 2＋ac＜0，则该椭圆的离心率e 的取值范围是________．解析：∵c 2－b 2＋ac ＜0，∴c 2－(a 2－c 2)＋ac ＜0，即2c 2－a 2＋ac ＜0，∴2c 2a 2－1＋c a＜0，即2e2＋e －1＜0，解得－1＜e ＜12.又∵0＜e ＜1，∴0＜e ＜12.∴椭圆的离心率e 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1213.如图，椭圆的中心在坐标原点O ，顶点分别是A 1，A 2，B 1，B 2，焦点分别为F 1，F 2，延长B 1F 2与A 2B 2交于P 点，若∠B 1PA 2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为______．解析：设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，∠B 1PA 2为钝角可转化为B 2A 2―→，F 2B 1―→所夹的角为钝角，则(a ，－b )·(－c ，－b )＜0，即b 2＜ac ，则a 2－c 2＜ac ，故⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋c a－1＞0，即e 2＋e －1＞0，解得e＞5－12或e ＜－5－12，又0＜e ＜1，所以5－12＜e ＜1. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫5－12，1 14．(2019·辽宁联考)设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为________．解析：在椭圆x 225＋y 216＝1中，a ＝5，b ＝4，c ＝3，所以焦点坐标分别为F 1(－3，0)，F 2(3,0)．根据椭圆的定义得|PM |＋|PF 1|＝|PM |＋(2a －|PF 2|)＝10＋(|PM |－|PF 2|)．∵|PM |－|PF 2|≤|MF 2|，当且仅当P 在直线MF 2上时取等号，∴当点P 与图中的点P 0重合时，有(|PM |－|PF 2|)max ＝－2＋－2＝5，此时得|PM |＋|PF 1|的最大值，为10＋5＝15.答案：1515．(2019·武汉调研)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 2a2＋y 2＝1(a ＞1，a ∈R)上，过O 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，F 为椭圆C 的左焦点．(1)若△FAB 的面积的最大值为1，求a 的值；(2)若直线MA ，MB 的斜率乘积等于－13，求椭圆C 的离心率．解：(1)S △FAB ＝12|OF |·|y A －y B |≤|OF |＝a 2－1＝1，所以a ＝ 2.(2)由题意可设A (x 0，y 0)，B (－x 0，－y 0)，M (x ，y )，则x 2a 2＋y 2＝1，x 20a2＋y 20＝1，k MA ·k MB ＝y －y 0x －x 0·y ＋y 0x ＋x 0＝y 2－y 20x 2－x 20＝1－x 2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 20a 2x 2－x 20＝－1a 2x 2－x 20x 2－x 20＝－1a 2＝－13，所以a 2＝3，所以a ＝3，所以c ＝a 2－b 2＝2，所以椭圆的离心率e ＝c a ＝23＝63.16．(2019·广东七校联考)已知动点M 到定点F 1(－2,0)和F 2(2,0)的距离之和为4 2.(1)求动点M 的轨迹C 的方程；(2)设N (0,2)，过点P (－1，－2)作直线l ，交C 于不同于N 的两点A ，B ，直线NA ，NB 的斜率分别为k 1，k 2，求k 1＋k 2的值．解：(1)由椭圆的定义，可知点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点，42为长轴长的椭圆．由c ＝2，a ＝22，得b ＝2.故动点M 的轨迹C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＋2＝k (x ＋1)，11 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 28＋y 24＝1，y ＋2＝k x ＋，得(1＋2k 2)x 2＋4k (k －2)x ＋2k 2－8k ＝0.Δ＝[4k (k －2)]2－4(1＋2k 2)(2k 2－8k )＞0，则k ＞0或k ＜－47. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4k k －1＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－8k 1＋2k 2. 从而k 1＋k 2＝y 1－2x 1＋y 2－2x 2＝2kx 1x 2＋k －x 1＋x 2x 1x 2 ＝2k －(k －4)4k k －2k 2－8k＝4. 当直线l 的斜率不存在时，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，142，B ⎝⎛⎭⎪⎫－1，－142.所以k 1＋k 2＝4. 综上，恒有k 1＋k 2＝4.。

2020年高中数学 课时作业本椭圆的几何性质1.若直线y=kx ＋2与椭圆＋=1相切，则斜率k 的值是( )x23y22A. B.－ C.± D.±636363332.直线y=kx ＋1与椭圆＋=1总有公共点，则m 的取值范围是( )x25y2mA.(1，＋∞)B.(0，＋∞)C.(0,1)∪(1,5)D.[1,5)∪(5，＋∞)3.经过椭圆＋y 2=1的右焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A ，B 两点，O 为坐标原点，x22则·=( )OA ―→ OB ―→ A.－3 B.－ C.－或－3 D.±1313134.已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是(－，0)，(，0)，离心率是，则椭圆C 的方程为2263( )A.＋y 2=1B.x 2＋=1C.＋=1D.＋=1x23y23x23y22x22y235.设椭圆C ：＋=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠x2a2y2b2PF 1F 2=30°，则C 的离心率为________.6.已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C 的方程是____________.127.椭圆x 2＋4y 2=16被直线y=x ＋1截得的弦长为________.128.已知椭圆＋=1(a>b>0)的离心率是，过椭圆上一点M 作直线MA ，MB 分别交椭圆于A ，x2a2y2b263B 两点，且斜率分别为k 1，k 2，若点A ，B 关于原点对称，则k 1·k 2的值为________.9.已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2=m(m>0)的离心率e=，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐32标、顶点坐标.10.如图，以P(0，-1)为直角顶点的等腰直角△PMN 内接于椭圆＋y 2=1(a>1)，设直线PM 的斜x2a2率为k.(1)试用a ，k 表示弦长|MN|；(2)若这样的△PMN 存在3个，求实数a 的取值范围．答案解析1.答案为：C ；解析：把y=kx ＋2代入＋=1得，(3k 2＋2)x 2＋12kx ＋6=0，x23y22因为直线与椭圆相切，∴Δ=(12k)2－4(3k 2＋2)×6=0，解得k=±.632.答案为：D ；解析：∵直线y=kx ＋1恒过(0,1)点，若5＞m ，则≥1，m 若5＜m ，则必有公共点，∴m ≥1且m ≠5.3.答案为：B ；解析：椭圆右焦点为(1,0)，设l ：y=x －1，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，∴·=x 1x 2＋y 1y 2.OA ―→ OB ―→ 把y=x －1代入＋y 2=1得，3x 2－4x=0.∴A(0，－1)，B .∴·=－.x22(43，13)OA ―→ OB ―→ 134.答案为：A ；解析：∵=，且c=，∴a=，b==1.∴椭圆方程为＋y 2=1.c a 6323a2－c2x235.答案为：33解析：法一：由题意可设|PF 2|=m ，结合条件可知|PF 1|=2m ，|F 1F 2|=m ，故离心率e==3c a 2c 2a===.|F1F2||PF1|＋|PF2|3m 2m ＋m 33法二：由PF 2⊥F 1F 2可知P 点的横坐标为c ，将x=c 代入椭圆方程可解得y=±，所以b2a|PF 2|=.b2a又由∠PF 1F 2=30°可得|F 1F 2|=|PF 2|，故2c=·，变形可得(a 2－c 2)=2ac ，33b2a 3等式两边同除以a 2，得(1－e 2)=2e ，解得e=或e=－(舍去).33336.答案为：＋=1x24y23解析：依题意，设椭圆方程为＋=1(a ＞b ＞0)，所以Error!解得a 2=4，b 2=3.x2a2y2b27.答案为：；35解析：由Error!消去y 并化简得x 2＋2x －6=0.设直线与椭圆的交点为M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则x 1＋x 2=－2，x 1x 2=－6.∴弦长|MN|=|x 1－x 2|= = =.1＋k254[ x1＋x2 2－4x1x2]544＋24 358.答案为：－13解析：设点M(x ，y)，A(x 1，y 1)，B(－x 1，－y 1)，则y 2=b 2－，y =b 2－.b2x2a221b2x 21a2所以k 1·k 2=·==－=－1=e 2－1=－，即k 1·k 2的值为－.y －y1x －x1y ＋y1x ＋x1y2－y 21x2－x 21b2a2c2a213139.解：椭圆方程可化为＋=1，x2m y2mm ＋3由m>0，易知m>，∴a 2=m ，b 2=.m m ＋3m m ＋3∴c==.由e=，得 =，解得m=1，a2－b2m m ＋2 m ＋332m ＋2m ＋332∴椭圆的标准方程为x 2＋=1.∴a=1，b=，c=.y2141232∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1，两焦点坐标分别为F 1，F 2，(－32，0)(32，0)顶点坐标分别为A 1(－1,0)，A 2(1,0)，B 1，B 2.(0，－12)(0，12)10.解：(1)不妨设直线PM 所在的直线方程为y=kx-1(k<0)，代入椭圆方程＋y 2=1，x2a2整理得(1＋a 2k 2)x 2-2ka 2x=0，解得x 1=0，x 2=，2ka21＋a2k2则|PM|=|x 1-x 2|=-，所以|MN|=|PM|=-.1＋k22ka21＋k21＋a2k2222ka21＋k21＋a2k2(2)因为△PMN 是等腰直角三角形，所以直线PN 所在的直线方程为y=-x-1(k<0)，1k同理可得|PN|=-=.21k a21＋1k21＋a21k22a21＋k2k2＋a2令|PM|=|PN|，整理得k 3＋a 2k 2＋a 2k ＋1=0，k 3＋1＋a 2k(k ＋1)=0，(k ＋1)(k 2-k ＋1)＋a 2k(k ＋1)=0，即(k ＋1)[k 2＋(a 2-1)k ＋1]=0.若这样的等腰直角三角形PMN 存在3个，则方程k 2＋(a 2-1)k ＋1=0有两个不等于-1的负根k 1，k 2，则Error!因为a>1，所以a>.3。

椭圆及其标准方程课时作业1．若椭圆x 216＋y 2b 2＝1过点(－2，3)，则其焦距为 ( )A ．25B ．2 3C ．4 5D ．4 3答案 D解析 ∵椭圆过(－2，3)，则有416＋3b 2＝1，b 2＝4，c 2＝16－4＝12，c ＝23，2c ＝4 3.故选D.2．已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1，长轴在y 轴上，若焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．5C ．7D ．8 答案 D解析 椭圆焦点在y 轴上，∴a 2＝m －2，b 2＝10－m . 又c ＝2，∴m －2－(10－m )＝c 2＝4. ∴m ＝8.3．已知椭圆x 25＋y 2m ＝1的离心率e ＝105，则m 的值为 ( )A ．3B ．3或253 C.15 D.15或5153答案 B解析若焦点在x 轴上，则有⎩⎨⎧5>m ，5－m5＝105.∴m ＝3.若焦点在y 轴上，则有⎩⎨⎧m >5，m －5m ＝105.∴m ＝253.4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点分别为F 1、F 2，b ＝4，离心率为35.过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为( )A ．10B ．12C ．16D ．20答案 D解析 如图，由椭圆的定义知△ABF 2的周长为4a ，又 e ＝c a ＝35，即c ＝35a ， ∴a 2－c 2＝1625a 2＝b 2＝16. ∴a ＝5，△ABF 2的周长为20.5．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上任一点到两焦点的距离分别为d 1，d 2，焦距为2c .若d 1,2c ，d 2成等差数列，则椭圆的离心率为( )A.12B.22C.32D.34答案 A解析 由d 1＋d 2＝2a ＝4c ，∴e ＝c a ＝12.6．已知椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点M 在该椭圆上，且MF 1→·MF 2→＝0，则点M 到y 轴的距离为( )A.233 B.263 C.33D. 3答案 B解析 由题意，得F 1(－3，0)，F 2(3，0)．设M (x ，y )，则MF 1→·MF 2→＝(－3－x ，－y )·(3－x ，－y )＝0，整理得x 2＋y 2＝3.①又因为点M 在椭圆上，故x 24＋y 2＝1， 即y 2＝1－x 24.②将②代入①，得34x 2＝2，解得x ＝±263. 故点M 到y 轴的距离为263.7．设e 是椭圆x 24＋y 2k ＝1的离心率，且e ∈(12，1)，则实数k 的取值范围是( ) A ．(0,3)B ．(3，163) C ．(0,3)∪(163，＋∞) D ．(0,2)答案 C解析 当k >4时，c ＝k －4，由条件知14<k －4k <1，解得k >163； 当0<k <4时，c ＝4－k ，由条件知14<4－k4<1，解得0<k <3，综上知选C.8．(2013·温州五校)已知P 是以F 1、F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的一点，若PF 1→·PF 2→＝0，tan ∠PF 1F 2＝12，则此椭圆的离心率为( )A.12B.23C.13D.53答案 D解析 由PF 1→·PF 2→＝0，得△PF 2F 2为直角三角形，由tan ∠PF 1F 2＝12，设|PF 2|＝s ，则|PF 1|＝2s ，又|PF 2|2＋|PF 1|2＝4c 2(c ＝a 2－b 2)，即4c 2＝5s 2，c ＝52s ，而|PF 2|＋|PF 1|＝2a ＝3s ，∴a ＝3s 2.∴离心率e ＝c a ＝53，故选D.9．已知椭圆x 24＋y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，点P 为该椭圆上一动点，则当PF 2→·P A 1→取最小值时|P A 1→＋PF 2→|的取值为( )A ．0B ．3C ．4D ．5答案 B解析 由已知得a ＝2，b ＝3，c ＝1，所以 F 2(1,0)，A 1(－2,0)，设P (x ，y )， 则PF 2→·P A 1→＝(1－x ，－y )·(－2－x ，－y ) ＝(1－x )(－2－x )＋y 2.又点P (x ，y )在椭圆上，所以y 2＝3－34x 2，代入上式， 得PF 2→·P A 1→＝14x 2＋x ＋1＝14(x ＋2)2. 又x ∈[－2,2]，所以x ＝－2时，PF 2→·P A 1→取得最小值． 所以P (－2,0)，求得|PF 2→＋P A 1→|＝3.10．设F 1，F 2为椭圆的两个焦点，以F 2为圆心作圆，已知圆F 2经过椭圆的中心，且与椭圆相交于点M ，若直线MF 1恰与圆F 2相切，则该椭圆的离心率为( )A.3－1 B ．2－ 3 C.22 D.32答案 A解析 由题意知∠F 1MF 2＝π2，|MF 2|＝c ，|F 1M |＝2a －c ，则c 2＋(2a －c )2＝4c 2，e 2＋2e －2＝0，解得e ＝3－1.11．已知点M (3，0)，椭圆x 24＋y 2＝1与直线y ＝k (x ＋3)交于点A 、B ，则△ABM 的周长为______________．答案 8解析 直线y ＝k (x ＋3)过定点N (－3，0)，而M 、N 恰为椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点，由椭圆定义知△ABM 的周长为4a ＝4×2＝8.12．已知点A (4,0)和B (2,2)，M 是椭圆x 225＋y 29＝1上一动点，则|MA |＋|MB |的最大值为________．答案 10＋210 解析显然A 是椭圆的右焦点，如图所示，设椭圆的左焦点为A 1(－4,0)，连BA 1并延长交椭圆于M 1，则M 1是使|MA |＋|MB |取得最大值的点．事实上，对于椭圆上的任意点M 有：|MA |＋|MB |＝2a －|MA 1|＋|MB |≤2a ＋|A 1B |(当M 1与M 重合时取等号)，∴|MA |＋|MB |的最大值为2a ＋|A 1B |＝2×5＋62＋22＝10＋210.13．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，直线l 为圆O ：x 2＋y 2＝b 2的一条切线，记椭圆C 的离心率为e .若直线l 的倾斜角为π3，且恰好经过椭圆的右顶点，则e 的大小为______．答案 12解析如图所示，设直线l 与圆O 相切于C 点，椭圆的右顶点为D ，则由题意，知△OCD 为直角三角形，且OC ＝b ，OD ＝a ，∠ODC ＝π3，∴CD ＝OD 2－OC 2＝a 2－b 2＝c (c 为椭圆的半焦距)，∴椭圆的离心率e ＝c a ＝cos π3＝12.14．F 1，F 2是椭圆E ：x 2＋y2b 2＝1(0<b <1)的左，右焦点，过F 1的直线l 与E相交于A 、B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列，则|AB |的长为________．答案 23解析 由椭圆的定义可知|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝1，|BF 1|＋|BF 2|＝1，相加得 |AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝2.∴|AF 2|＋|BF 2|＝2－(|AF 1|＋|BF 1|)＝2－|AB |. ∵|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列， ∴2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|.于是2|AB |＝2－|AB |，∴|AB |＝23. 15.如右图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦距为2，且AF 2→＝2F 2B →，求椭圆的方程．解析 (1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形．所以有|OA |＝|OF 2|，即b ＝c .所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22.(2)由题知A (0，b )，F 2(1,0)，设B (x ，y )， 由AF 2→＝2F 2B →，解得x ＝32，y ＝－b 2. 代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94a 2＋b 24b 2＝1. 即94a 2＋14＝1，解得a 2＝3. 所以椭圆方程为x 23＋y 22＝1.16．(2013·沧州七校联考)已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点为F (－2,0)，且长轴长与短轴长的比是2∶ 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设点M (m,0)在椭圆C 的长轴上，点P 是椭圆上任意一点．当|MP →|最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，求实数m 的取值范围．答案 (1)x 216＋y 212＝1 (2)1≤m ≤4解析(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a b ＝23，a 2＝b 2＋4，解之得⎩⎨⎧a 2＝16，b 2＝12.∴椭圆方程为x 216＋y 212＝1. (2)设P (x 0，y 0)，且x 2016＋y 2012＝1， ∴|MP →|2＝(x 0－m )2＋y 20 ＝x 20－2mx 0＋m 2＋12(1－x 2016)＝14x 20－2mx 0＋m 2＋12＝14(x 0－4m )2－3m 2＋12.∴|MP →|2为关于x 0的二次函数，开口向上，对称轴为4m . 由题意知，当x 0＝4时，|MP →|2最小，∴4m ≥4，∴m ≥1. 又点M (m,0)在椭圆长轴上，∴1≤m ≤4.17．(2013·潍坊质检)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为4，且与椭圆x 2＋y22＝1有相同的离心率，斜率为k 的直线l 经过点M (0,1)，与椭圆C 交于不同的两点A 、B .(1)求椭圆C 的标准方程；(2)当椭圆C 的右焦点F 在以AB 为直径的圆内时，求k 的取值范围． 解析 (1)∵椭圆C 的焦距为4，∴c ＝2. 又∵椭圆x 2＋y 22＝1的离心率为22，∴椭圆C 的离心率e ＝c a ＝2a ＝22，∴a ＝22，b ＝2. ∴椭圆C 的标准方程为x 28＋y 24＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 28＋y 24＝1消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋4kx －6＝0.∴x 1＋x 2＝－4k 1＋2k 2，x 1x 2＝－61＋2k 2.由(1)知椭圆C 的右焦点F 的坐标为(2,0)， ∵右焦点F 在圆的内部，∴AF →·BF →<0. ∴(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2<0，即x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＋k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1<0. ∴(1＋k 2)x 1x 2＋(k －2)(x 1＋x 2)＋5＝(1＋k 2)·－61＋2k 2＋(k －2)·－4k 1＋2k 2＋5＝8k －11＋2k 2<0，∴k <18.经检验，当k <18时，直线l 与椭圆C 相交． ∴直线l 的斜率k 的取值范围为(－∞，18)．1．已知F 1、F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P (－2，1)在椭圆上，线段PF 2与y 轴的交点M 满足PM →＋F 2M →＝0.(1)求椭圆C 的方程；(2)椭圆C 上任一动点N (x 0，y 0)关于直线y ＝2x 的对称点为N 1(x 1，y 1)，求3x 1－4y 1的取值范围．解析 (1)由已知，点P (－2，1)在椭圆上， ∴有2a 2＋1b 2＝1.①又∵PM →＋F 2M →＝0，M 在y 轴上， ∴M 为PF 2的中点． ∴－2＋c ＝0，c ＝ 2. ∴a 2－b 2＝2，②解得①②，得b 2＝2(b 2＝－1舍去)， ∴a 2＝4.故所求椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)∵点N (x 0，y 0)关于直线y ＝2x 的对称点为N 1(x 1，y 1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0－y 1x 0－x 1×2＝－1，y 0＋y 12＝2×x 0＋x 12.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝4y 0－3x 05，y 1＝3y 0＋4x 05.∴3x 1－4y 1＝－5x 0.∵点N (x 0，y 0)在椭圆C ：x 24＋y 22＝1上， ∴－2≤x 0≤2. ∴－10≤－5x 0≤10，即3x 1－4y 1的取值范围为[－10,10]．2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 及点A (0，b )，原点O 到直线F A 的距离为22b .(1)求椭圆C 的离心率e ；(2)若点F 关于直线l ：2x ＋y ＝0的对称点P 在圆O ：x 2＋y 2＝4上，求椭圆C 的方程及点P 的坐标．解析 (1)由点F (－ae,0)，点A (0，b )及b ＝1－e 2a 得直线F A 的方程为x －ae＋y 1－e 2a＝1，即1－e 2x －ey ＋ ae 1－e 2＝0，∵原点O 到直线F A 的距离为22b ＝a 1－e 22，∴ae 1－e 21－e 2＋e 2＝a1－e 22，解得e ＝22.(2)∵F (－22a,0)关于直线l 的对称点P 在圆O 上，且直线l ：2x ＋y ＝0经过圆O ：x 2＋y 2＝4的圆心O (0,0)，∴F (－22a,0)也在圆O 上．从而(－22a )2＋02＝4，得a 2＝8，∴b 2＝(1－e 2)a 2＝4. ∴椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.∵F (－2,0)与P (x 0，y 0)关于直线l 对称，∴⎩⎪⎨⎪⎧ y 0x 0＋2＝12，2·x 0－22＋y 02＝0.解得x 0＝65，y 0＝85.∴点P 的坐标为(65，85)． 3.如图，从椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F 1，且它的长轴端点A 与短轴端点B 的连线AB ∥OM .(1)求椭圆的离心率e ；(2)设Q 是椭圆上任一点，F 2是右焦点，F 1是左焦点，求∠F 1QF 2的取值范围；(3)设Q 是椭圆上任一点，当QF 2⊥AB 时，延长QF 2与椭圆交于另一点P ，若△F 1PQ 的面积为203，求此时椭圆的方程．解析 (1)∵MF 1⊥x 轴，∴x M ＝－c .代入椭圆方程，得y M ＝b 2a ，∴k OM ＝－b 2ac .又∵k AB ＝－b a 且OM ∥AB ，∴－b 2ac ＝－b a .故b ＝c ，从而e ＝22.(2)设|QF 1|＝r 1，|QF 2|＝r 2，∠F 1QF 2＝θ. ∵r 1＋r 2＝2a ，|F 1F 2|＝2c ，∴cos θ＝r 21＋r 22－4c 22r 1r 2＝(r 1＋r 2)2－2r 1r 2－4c 22r 1r 2＝4b 22r 1r 2－1＝a 2r 1r 2－1≥a 2(r 1＋r 22)2－1＝0.(当且仅当r 1＝r 2时，等号成立)∵0≤cos θ≤1，故θ∈[0，π2]．(3)∵b ＝c ，a ＝2c ，∴设椭圆方程为x 22c 2＋y 2c 2＝1.∵PQ ⊥AB ，k AB ＝－22，k PQ ＝2，∴直线PQ 的方程为y ＝2(x －c )． 联立可得5x 2－8cx ＋2c 2＝0. ∴|PQ |＝[(8c 5)2－4×2c 25](1＋2)＝62c 5.又点F 1到PQ 的距离d ＝263c ，∴S △F 1PQ ＝12d |PQ |＝12×263c ×625c ＝435c 2. 由435c 2＝203，得c 2＝25，故2c 2＝50.∴所求椭圆方程为x 250＋y 225＝1.。

椭圆课时作业1．若椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为( )A ．12B ．33 C ．22D ．24答案 C解析 因为椭圆的短轴长等于焦距，所以b ＝c ，所以a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，所以e ＝c a ＝22，故选C ．2．已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1，长轴在y 轴上，若焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．5C ．7D ．8答案 D解析 椭圆焦点在y 轴上，∴a 2＝m －2，b 2＝10－m .又c ＝2，∴m －2－(10－m )＝c 2＝4.∴m ＝8.3．(2019·杭州模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A ．x 23＋y 22＝1B ．x 23＋y 2＝1C ．x 212＋y 28＝1 D ．x 212＋y 24＝1 答案 A解析 由题意及椭圆的定义知4a ＝43，则a ＝3，又c a＝c3＝33，∴c ＝1，∴b 2＝2，∴C 的方程为x 23＋y 22＝1.选A ．4．椭圆x 225＋y 29＝1上一点M 到焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |等于( )A ．2B ．4C ．8D ．32答案 B解析 |ON |＝12|MF 2|＝12×(2a －|MF 1|)＝12×(10－2)＝4，故选B ．5．(2019·河南豫北联考)已知点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，22是椭圆x 2a 2＋y 2＝1(a >1)上的点，A ，B 是椭圆的左、右顶点，则△PAB 的面积为( )A ．2B ．24C ．12 D ．1答案 D解析 由题可得1a 2＋12＝1，∴a 2＝2，解得a ＝2(负值舍去)，则S △PAB ＝12×2a ×22＝1，故选D ．6．(2019·吉林长春模拟)椭圆x 22＋y 2＝1的两个焦点分别是F 1，F 2，点P 是椭圆上任意一点，则·的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．[－1,0]C ．[0,1]D ．[－1,2]答案 C解析 由椭圆方程得F 1(－1,0)，F 2(1,0)，设P (x ，y )，∴＝(－1－x ，－y )，＝(1－x ，－y )，则·＝x 2＋y 2－1＝x 22∈[0,1]，故选C ．7．(2019·湖南郴州模拟)设e 是椭圆x 24＋y 2k ＝1的离心率，且e ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则实数k 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．⎝⎛⎭⎪⎫3，163C ．(0,3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫163，＋∞D ．(0,2)答案 C解析 当k >4时，c ＝k －4，由条件知14<k －4k <1，解得k >163；当0<k <4时，c ＝4－k ，由条件知14<4－k4<1，解得0<k <3.故选C ．8．若椭圆x 236＋y 29＝1的弦被点(4,2)平分，则此弦所在直线的斜率是( )A ．2B ．－2C ．13D ．－12答案 D解析 设弦的端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋4y 21＝36，x 22＋4y 22＝36，整理，得x 21－x 22＝－4(y 21－y 22)，∴此弦的斜率为y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 2－4(y 1＋y 2)＝－12，则此直线的斜率为－12. 9．(2020·甘肃联考)设A ，B 是椭圆C ：x 212＋y 22＝1的两个焦点，点P 是椭圆C 与圆M ：x 2＋y 2＝10的一个交点，则||PA |－|PB ||＝( )A ．2 2B ．4 3C ．4 2D ．6 2答案 C解析 由题意知，A ，B 恰好在圆M 上且AB 为圆M 的直径，∴|PA |＋|PB |＝2a ＝43，|PA |2＋|PB |2＝(2c )2＝40，∴(|PA |＋|PB |)2＝|PA |2＋|PB |2＋2|PA ||PB |，解得2|PA ||PB |＝8，∴(|PA |－|PB |)2＝|PA |2＋|PB |2－2|PA ||PB |＝32，则||PA |－|PB ||＝42，故选C ．10．(2020·西安摸底检测)设AB 是椭圆的长轴，点C 在椭圆上，且∠CBA ＝π4，若AB ＝4，BC ＝2，则椭圆的两个焦点之间的距离为( )A ．463B ．263C ．433D ．233答案 A解析 不妨设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，如图，由题意知，2a ＝4，a ＝2，∵∠CBA ＝π4，BC ＝2，∴点C 的坐标为(－1,1)，∵点C 在椭圆上，∴14＋1b 2＝1，∴b 2＝43，∴c 2＝a 2－b 2＝4－43＝83，c ＝263，则椭圆的两个焦点之间的距离为463.11．(2019·山西八校联考)椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，弦AB 过F 1，若△ABF 2的内切圆周长为π，A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则|y 1－y 2|的值为( )A ．53 B ．103C ．203D ．53答案 A解析 在椭圆x 225＋y 216＝1中，a ＝5，b ＝4，所以c ＝3.故椭圆左、右焦点分别为F 1(－3,0)，F 2(3,0)．由△ABF 2的内切圆周长为π，可得内切圆的半径为r ＝12.△ABF 2的面积＝△AF 1F 2的面积＋△BF 1F 2的面积＝12|y 1|·|F 1F 2|＋12|y 2|·|F 1F 2|＝12(|y 1|＋|y 2|)·|F 1F 2|＝3|y 1－y 2|(A ，B 在x轴的上下两侧)，又△ABF 2的面积＝12r (|AB |＋|BF 2|＋|F 2A |)＝12×12(2a ＋2a )＝a ＝5，所以3|y 1－y 2|＝5，即|y 1－y 2|＝53.12．(2019·湖北八校联考)如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，F (－5，0)为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足|OP |＝|OF |且|PF |＝6，则椭圆C 的方程为( )A ．x 236＋y 216＝1B ．x 240＋y 215＝1C ．x 249＋y 224＝1 D ．x 245＋y 220＝1 答案 C解析 由题意可得c ＝5，设右焦点为F ′，连接PF ′，由|OP |＝|OF |＝|OF ′|＝12|FF ′|知，∠FPF ′＝90°，即PF ⊥PF ′.在Rt △PFF ′中，由勾股定理，得|PF ′|＝|FF ′|2－|PF |2＝102－62＝8，由椭圆定义，得|PF |＋|PF ′|＝2a ＝6＋8＝14，从而a ＝7，得a 2＝49，于是b 2＝a 2－c 2＝72－52＝24，所以椭圆C 的方程为x 249＋y 224＝1，故选C ．13．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．答案33解析 设|PF 2|＝m ，∵PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，∴|PF 1|＝2m ，|F 1F 2|＝3m .又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|F 1F 2|＝2c .∴2a ＝3m,2c ＝3m ，∴C 的离心率为e ＝c a ＝33. 14．(2019·全国卷Ⅲ)设F 1，F 2为椭圆C ：x 236＋y 220＝1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若△MF 1F 2为等腰三角形，则M 的坐标为________.答案 (3，15)解析 设F 1为椭圆的左焦点，分析可知M 在以F 1为圆心、焦距为半径的圆上，即在圆(x ＋4)2＋y 2＝64上．因为点M 在椭圆x 236＋y 220＝1上，所以联立方程可得⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋4)2＋y 2＝64，x 236＋y 220＝1，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝±15.又因为点M 在第一象限，所以点M 的坐标为(3，15)．15．(2019·浙江高考)已知椭圆x 29＋y 25＝1的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方．若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，|OF |为半径的圆上，则直线PF 的斜率是________．答案15解析 如图，左焦点F (－2,0)，右焦点F ′(2,0)．线段PF 的中点M 在以O (0,0)为圆心，2为半径的圆上，因此OM ＝2. 在△FF ′P 中，OM 12PF ′， 所以PF ′＝4.根据椭圆的定义，得PF ＋PF ′＝6，所以PF ＝2. 又因为FF ′＝4， 所以在Rt △MFF ′中，tan ∠PFF ′＝MF ′MF ＝FF ′2－MF 2MF＝15，即直线PF 的斜率是15.16．(2020·南充模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点为(3，0)，A 为椭圆C的右顶点，以A 为圆心的圆与直线y ＝b ax 相交于P ，Q 两点，且·＝0，＝3，则椭圆C 的标准方程为________，圆A 的标准方程为________．答案x 24＋y 2＝1 (x －2)2＋y 2＝85解析 如图，设T 为线段PQ 的中点，连接AT ，则AT ⊥PQ .∵·＝0，即AP ⊥AQ ， ∴|AT |＝12|PQ |.又＝3， ∴|OT |＝|PQ |. ∴|AT ||OT |＝12，即b a ＝12. 由已知得半焦距c ＝3，∴a 2＝4，b 2＝1， 故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.又|AT |2＋|OT |2＝4， ∴|AT |2＋4|AT |2＝4，∴|AT |＝255，r ＝|AP |＝2105.∴圆A 的方程为(x －2)2＋y 2＝85.17．(2019·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为C 上的点，O 为坐标原点．(1)若△POF 2为等边三角形，求C 的离心率；(2)如果存在点P ，使得PF 1⊥PF 2，且△F 1PF 2的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围． 解 (1)连接PF 1.由△POF 2为等边三角形可知在△F 1PF 2中，∠F 1PF 2＝90°，|PF 2|＝c ，|PF 1|＝3c ，于是2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(3＋1)c ，故C 的离心率为e ＝ca＝3－1.(2)由题意可知，满足条件的点P (x ，y )存在当且仅当 12|y |·2c ＝16，y x ＋c ·y x －c ＝－1，x 2a 2＋y 2b 2＝1， 即c |y |＝16，①x 2＋y 2＝c 2，② x 2a 2＋y 2b 2＝1.③ 由②③及a 2＝b 2＋c 2得y 2＝b 4c2.又由①知y 2＝162c2，故b ＝4.由②③及a 2＝b 2＋c 2得x 2＝a 2c2(c 2－b 2)，所以c 2≥b 2，从而a 2＝b 2＋c 2≥2b 2＝32，故a ≥4 2. 当b ＝4，a ≥42时，存在满足条件的点P . 所以b ＝4，a 的取值范围为[42，＋∞)．18．(2019·成都一诊)已知椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点为F ，设直线l ：x ＝5与x 轴的交点为E ，过点F 且斜率为k 的直线l 1与椭圆交于A ，B 两点，M 为线段EF 的中点．(1)若直线l 1的倾斜角为π4，求|AB |的值；(2)设直线AM 交直线l 于点N ，证明：直线BN ⊥l . 解 由题意知，F (1,0)，E (5,0)，M (3,0)． (1)∵直线l 1的倾斜角为π4，∴斜率k ＝1.∴直线l 1的方程为y ＝x －1.代入椭圆方程，可得9x 2－10x －15＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝109，x 1x 2＝－53.∴|AB |＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 1 ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1092＋4×53＝1659.(2)证明：设直线l 1的方程为y ＝k (x －1)． 代入椭圆方程，得(4＋5k 2)x 2－10k 2x ＋5k 2－20＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝10k 24＋5k 2，x 1x 2＝5k 2－204＋5k 2.设N (5，y 0)，∵A ，M ，N 三点共线， ∴－y 13－x 1＝y 02，∴y 0＝2y 1x 1－3. 而y 0－y 2＝2y 1x 1－3－y 2＝2k (x 1－1)x 1－3－k (x 2－1) ＝3k (x 1＋x 2)－kx 1x 2－5kx 1－3＝3k ·10k 24＋5k 2－k ·5k 2－204＋5k 2－5k x 1－3＝0.∴直线BN ∥x 轴，即直线BN ⊥l .19．(2019·广东广州联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦距为26，且过点A (2,1)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若不经过点A 的直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于P ，Q 两点，且直线AP 与直线AQ 的斜率之和为0，证明：直线PQ 的斜率为定值．解 (1)因为椭圆C 的焦距为26，且过点A (2,1)， 所以4a 2＋1b2＝1,2c ＝2 6.又因为a 2＝b 2＋c 2，由以上三式解得a 2＝8，b 2＝2， 所以椭圆C 的方程为x 28＋y 22＝1.(2)证明：设点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1≠x 2≠2， 则y 1＝kx 1＋m ，y 2＝kx 2＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 28＋y22＝1，消去y 并整理，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－8＝0， 则x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－84k 2＋1.因为k AP ＋k AQ ＝0，所以y 1－1x 1－2＝－y 2－1x 2－2， 化简得x 1y 2＋x 2y 1－(x 1＋x 2)－2(y 1＋y 2)＋4＝0. 即2kx 1x 2＋(m －1－2k )(x 1＋x 2)－4m ＋4＝0. 所以2k (4m 2－8)4k 2＋1－8km (m －1－2k )4k 2＋1－4m ＋4＝0， 整理得(2k －1)(m ＋2k －1)＝0. 因为直线l 不经过点A ， 所以2k ＋m －1≠0，所以k ＝12.所以直线PQ 的斜率为定值，该值为12.20．(2019·天津高考)设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B ．已知椭圆的短轴长为4，离心率为55. (1)求椭圆的方程；(2)设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上，若|ON |＝|OF |(O 为原点)，且OP ⊥MN ，求直线PB 的斜率．解 (1)设椭圆的半焦距为c ，依题意，2b ＝4，c a ＝55，又a 2＝b 2＋c 2，可得a ＝5，b ＝2，c ＝1.所以，椭圆的方程为x 25＋y 24＝1.(2)由题意，设P (x P ，y P )(x P ≠0)，M (x M,0)，直线PB 的斜率为k (k ≠0)，因为B (0,2)，则直线PB 的方程为y ＝kx ＋2，与椭圆方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 25＋y24＝1，整理得(4＋5k 2)x 2＋20kx ＝0， 可得x P ＝－20k4＋5k2，代入y ＝kx ＋2得y P ＝8－10k24＋5k2，进而直线OP 的斜率为y P x P ＝4－5k 2－10k.在y ＝kx ＋2中，令y ＝0，得x M ＝－2k.由题意得N (0，－1)，所以直线MN 的斜率为－k2.由OP ⊥MN ，得4－5k 2－10k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2＝－1，化简得k 2＝245，从而k ＝±2305.所以直线PB 的斜率为2305或－2305.附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。