【课时作业 必修1】椭圆方程及性质的应用+参考答案

2020年高中数学 课时作业本椭圆的几何性质1.若直线y=kx ＋2与椭圆＋=1相切，则斜率k 的值是( )x23y22A. B.－ C.± D.±636363332.直线y=kx ＋1与椭圆＋=1总有公共点，则m 的取值范围是( )x25y2mA.(1，＋∞)B.(0，＋∞)C.(0,1)∪(1,5)D.[1,5)∪(5，＋∞)3.经过椭圆＋y 2=1的右焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A ，B 两点，O 为坐标原点，x22则·=( )OA ―→ OB ―→ A.－3 B.－ C.－或－3 D.±1313134.已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是(－，0)，(，0)，离心率是，则椭圆C 的方程为2263( )A.＋y 2=1B.x 2＋=1C.＋=1D.＋=1x23y23x23y22x22y235.设椭圆C ：＋=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠x2a2y2b2PF 1F 2=30°，则C 的离心率为________.6.已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C 的方程是____________.127.椭圆x 2＋4y 2=16被直线y=x ＋1截得的弦长为________.128.已知椭圆＋=1(a>b>0)的离心率是，过椭圆上一点M 作直线MA ，MB 分别交椭圆于A ，x2a2y2b263B 两点，且斜率分别为k 1，k 2，若点A ，B 关于原点对称，则k 1·k 2的值为________.9.已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2=m(m>0)的离心率e=，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐32标、顶点坐标.10.如图，以P(0，-1)为直角顶点的等腰直角△PMN 内接于椭圆＋y 2=1(a>1)，设直线PM 的斜x2a2率为k.(1)试用a ，k 表示弦长|MN|；(2)若这样的△PMN 存在3个，求实数a 的取值范围．答案解析1.答案为：C ；解析：把y=kx ＋2代入＋=1得，(3k 2＋2)x 2＋12kx ＋6=0，x23y22因为直线与椭圆相切，∴Δ=(12k)2－4(3k 2＋2)×6=0，解得k=±.632.答案为：D ；解析：∵直线y=kx ＋1恒过(0,1)点，若5＞m ，则≥1，m 若5＜m ，则必有公共点，∴m ≥1且m ≠5.3.答案为：B ；解析：椭圆右焦点为(1,0)，设l ：y=x －1，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，∴·=x 1x 2＋y 1y 2.OA ―→ OB ―→ 把y=x －1代入＋y 2=1得，3x 2－4x=0.∴A(0，－1)，B .∴·=－.x22(43，13)OA ―→ OB ―→ 134.答案为：A ；解析：∵=，且c=，∴a=，b==1.∴椭圆方程为＋y 2=1.c a 6323a2－c2x235.答案为：33解析：法一：由题意可设|PF 2|=m ，结合条件可知|PF 1|=2m ，|F 1F 2|=m ，故离心率e==3c a 2c 2a===.|F1F2||PF1|＋|PF2|3m 2m ＋m 33法二：由PF 2⊥F 1F 2可知P 点的横坐标为c ，将x=c 代入椭圆方程可解得y=±，所以b2a|PF 2|=.b2a又由∠PF 1F 2=30°可得|F 1F 2|=|PF 2|，故2c=·，变形可得(a 2－c 2)=2ac ，33b2a 3等式两边同除以a 2，得(1－e 2)=2e ，解得e=或e=－(舍去).33336.答案为：＋=1x24y23解析：依题意，设椭圆方程为＋=1(a ＞b ＞0)，所以Error!解得a 2=4，b 2=3.x2a2y2b27.答案为：；35解析：由Error!消去y 并化简得x 2＋2x －6=0.设直线与椭圆的交点为M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则x 1＋x 2=－2，x 1x 2=－6.∴弦长|MN|=|x 1－x 2|= = =.1＋k254[ x1＋x2 2－4x1x2]544＋24 358.答案为：－13解析：设点M(x ，y)，A(x 1，y 1)，B(－x 1，－y 1)，则y 2=b 2－，y =b 2－.b2x2a221b2x 21a2所以k 1·k 2=·==－=－1=e 2－1=－，即k 1·k 2的值为－.y －y1x －x1y ＋y1x ＋x1y2－y 21x2－x 21b2a2c2a213139.解：椭圆方程可化为＋=1，x2m y2mm ＋3由m>0，易知m>，∴a 2=m ，b 2=.m m ＋3m m ＋3∴c==.由e=，得 =，解得m=1，a2－b2m m ＋2 m ＋332m ＋2m ＋332∴椭圆的标准方程为x 2＋=1.∴a=1，b=，c=.y2141232∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1，两焦点坐标分别为F 1，F 2，(－32，0)(32，0)顶点坐标分别为A 1(－1,0)，A 2(1,0)，B 1，B 2.(0，－12)(0，12)10.解：(1)不妨设直线PM 所在的直线方程为y=kx-1(k<0)，代入椭圆方程＋y 2=1，x2a2整理得(1＋a 2k 2)x 2-2ka 2x=0，解得x 1=0，x 2=，2ka21＋a2k2则|PM|=|x 1-x 2|=-，所以|MN|=|PM|=-.1＋k22ka21＋k21＋a2k2222ka21＋k21＋a2k2(2)因为△PMN 是等腰直角三角形，所以直线PN 所在的直线方程为y=-x-1(k<0)，1k同理可得|PN|=-=.21k a21＋1k21＋a21k22a21＋k2k2＋a2令|PM|=|PN|，整理得k 3＋a 2k 2＋a 2k ＋1=0，k 3＋1＋a 2k(k ＋1)=0，(k ＋1)(k 2-k ＋1)＋a 2k(k ＋1)=0，即(k ＋1)[k 2＋(a 2-1)k ＋1]=0.若这样的等腰直角三角形PMN 存在3个，则方程k 2＋(a 2-1)k ＋1=0有两个不等于-1的负根k 1，k 2，则Error!因为a>1，所以a>.3。

第二课时 椭圆方程及性质的应用一、选择题1.过椭圆x 24＋y 23＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为( ) A.8，6 B.4，3 C.2， 3 D.4，23答案 B解析 由题意知a ＝2，b ＝3，c ＝1，最长弦过两个焦点，长为2a ＝4，最短弦垂直于x 轴，长度为2b 2a ＝3.2.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1与椭圆x 225＋y 216＝1有相同的长轴，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的短轴长与椭圆y 221＋x 29＝1的短轴长相等，则( ) A.a 2＝25，b 2＝16 B.a 2＝9，b 2＝25C.a 2＝25，b 2＝9或a 2＝9，b 2＝25D.a 2＝25，b 2＝9 答案 D解析 椭圆x 225＋y 216＝1的长轴长为10，椭圆y 221＋x 29＝1的短轴长为6，由题意可知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上， 即有a ＝5，b ＝3.3.方程x 2m ＋y 22m －1＝1为椭圆方程的一个充分不必要条件是( )A.m >12B.m >12且m ≠1C.m >1D.m >0答案 C解析方程x 2m ＋y 22m －1＝1表示椭圆的充要条件是⎩⎨⎧m >0，2m －1>0，m ≠2m －1，即m >12且m ≠1，所以方程x 2m ＋y 22m －1＝1为椭圆方程的一个充分不必要条件是m >1，故选C.4.(多选题)已知椭圆C 的中心为坐标原点，焦点F 1，F 2在y 轴上，短轴长等于2，离心率为63，过焦点F 1作y 轴的垂线交椭圆C 于P ，Q 两点，则下列说法正确的是( )A.椭圆C 的方程为y 23＋x 2＝1B.椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1C.|PQ |＝233D.△PF 2Q 的周长为43 答案 ACD解析 由已知得2b ＝2，b ＝1，c a ＝63， 又a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝3.∴椭圆方程为x 2＋y 23＝1，又|PQ |＝2b 2a ＝23＝233.△PF 2Q 的周长为4a ＝4 3.5.如图，已知F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，现以F 2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M ，N ，若过F 1的直线MF 1是圆F 2的切线，则椭圆的离心率为( )A.3－1B.2－ 3C.22D.32答案 A解析 ∵过F 1的直线MF 1是圆F 2的切线， ∴∠F 1MF 2＝90°，|MF 2|＝c ， ∵|F 1F 2|＝2c ，∴|MF 1|＝3c ，由椭圆定义可得 |MF 1|＋|MF 2|＝c ＋3c ＝2a ， ∴椭圆离心率e ＝21＋3＝3－1. 二、填空题6.已知A (－1，0)，C (1，0)是椭圆C 的两个焦点，过C 且垂直于x 轴的直线交椭圆于M ，N 两点，且|MN |＝3，则椭圆的方程为________；若B 是椭圆上一点，则△ABC 的最大面积为________. 答案 x 24＋y 23＝13解析 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，令x ＝c ，则y ＝±b 2a ，由|MN |＝3，得2b 2a ＝3，又a 2－b 2＝c 2＝1， ∴a 2＝4，b 2＝3，所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，结合椭圆知当B 点为椭圆与y 轴交点时，S △ABC 的面积最大，此时S △ABC ＝12×2×3＝ 3.7.设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，经过F 1的直线交椭圆C 于A ，B 两点.若△F 2AB 是面积为43的等边三角形，则椭圆C 的方程为________. 答案 x 29＋y 26＝1解析 设椭圆C 的焦距为2c (c >0)，如图所示，因为△F 2AB 是面积为43的等边三角形，所以12|AB |2×sin π3＝34|AB |2＝43，解得|AB |＝4，即△F 2AB 是边长为4的等边三角形， 该三角形的周长为12＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ， 可得a ＝3，由椭圆的对称性可知，点A ，B 关于x 轴对称， 则∠AF 2F 1＝π6且AB ⊥x 轴， 所以|AF 2|＝2|AF 1|＝4，∴|AF 1|＝2，∴2c ＝|F 1F 2|＝|AF 2|2－|AF 1|2＝23， ∴c ＝3，则b ＝a 2－c 2＝6，因此椭圆C 的标准方程为x 29＋y 26＝1.8.已知椭圆的短半轴长为1，离心率0<e ≤32，则长轴长的取值范围为________答案 (2，4] 解析 ∵e ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2，b ＝1，0<e ≤32，∴1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2≤32， 则1<a ≤2，∴2<2a ≤4， 即长轴长的取值范围是(2，4]. 三、解答题9.分别求满足下列条件的椭圆标准方程.(1)中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点(－2，0)，(2，－1)； (2)离心率e ＝22，且与椭圆y 216＋x 212＝1有相同焦点. 解 (1)设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )，由⎩⎨⎧4m ＝1，2m ＋n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝14，n ＝12.所以椭圆的标准方程为x 24＋y 22＝1.(2)由于所求椭圆与椭圆y 216＋x 212＝1的焦点相同，设其标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0). 则c 2＝16－12＝4，所以c ＝2， 由e ＝c a ＝2a ＝22，得a ＝22，所以b 2＝a 2－c 2＝4，所以所求椭圆的标准方程为y 28＋x 24＝1.10.已知点A (4，0)，B (2，2)，椭圆x 225＋y 29＝1，M 是椭圆上的动点，求|MA |＋|MB |的最小值和最大值.解 由已知得A (4，0)是椭圆的右焦点，设左焦点为F (－4，0). 根据椭圆的定义，得|MA |＋|MB |＝2a －|MF |＋|MB |＝10＋|MB |－|MF |. 因为||MB |－|MF ||≤|FB |＝210， 所以|MB |－|MF |∈[－210，210]，故|MA |＋|MB |的最小值和最大值分别为10－210和10＋210.11.(多选题)如图所示，椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点，且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心.设椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长分别为a 1和a 2，半焦距分别为c 1和c 2，离心率分别为e 1，e 2，则下列结论正确的是( )A.a 1＋c 1>2(a 2＋c 2)B.a 1－c 1＝a 2－c 2C.a 1c 2>a 2c 1D.e 1＝e 2＋12答案 ABD解析 由椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心， 可得2a 2＝a 1，由椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点， 可得a 2＋c 2＝c 1.所以a 1＋c 1＝2a 2＋a 2＋c 2， 又a 2>c 2，所以a 1＋c 1>2(a 2＋c 2)，所以A 正确；因为a 1－c 1＝2a 2－(a 2＋c 2)＝a 2－c 2，所以B 正确；因为a 1c 2＝2a 2c 2，a 2c 1＝a 2(a 2＋c 2)＝a 22＋a 2c 2，则有a 1c 2－a 2c 1＝2a 2c 2－a 22－a 2c 2＝a 2(c 2－a 2)<0，所以C 错误；因为e 1＝c 1a 1＝a 2＋c 22a 2＝e 2＋12，所以D 正确.12.已知椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线与椭圆交于A ，B 两点，若△F 1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为( ) A.22 B.2－ 3 C.5－2 D.6－3答案 D解析 设AF 1＝x ，则AB ＝x ，BF 1＝2x ，于是x ＋x ＋2x ＝4a ，解得x ＝(4－2 2 )a ，于是AF 2＝2a －(4－2 2 )a ＝(22－2)a ，由勾股定理得[(4－2 2 )a ]2＋[(22－2)a ]2＝(2c )2，整理得e 2＝c 2a 2＝9－62，所以e ＝9－62＝9－218＝6－3，故选D.13.椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c ，若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆C 的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，求椭圆的离心率. 解 由直线方程y ＝3(x ＋c )，得直线与x 轴的夹角∠MF 1F 2＝π3，且过点F 1(－c ，0)，∵∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，∴∠MF 2F 1＝π6，∴∠F 1MF 2＝π－π3－π6＝π2，即F 1M ⊥F 2M ，∴在Rt △F 1MF 2中，|F 1F 2|＝2c ，|F 1M |＝c ，|F 2M |＝3c ，∴由椭圆定义可得2a ＝c ＋3c ，∴ca ＝21＋3＝3－1.14.设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的两焦点，B 为椭圆上的点且坐标为(0，－1). (1)若P 是该椭圆上的一个动点，求|PF 1→|·|PF 2→|的最大值；(2)若C 为椭圆上异于B 的一点，且BF 1→＝λCF 1→，求λ的值； (3)设P 是该椭圆上的一个动点，求△PBF 1的周长的最大值. 解 (1)因为椭圆的方程为x 24＋y 2＝1， 所以a ＝2，b ＝1，c ＝3， 即|F 1F 2|＝23，又因为|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，所以|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝4， 当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝2时取“＝”， 所以|PF 1|·|PF 2|的最大值为4， 即|PF 1→|·|PF 2→|的最大值为4.(2)设C (x 0，y 0)，B (0，－1)，F 1(－3，0)， 由BF 1→＝λCF 1→得x 0＝3（1－λ）λ，y 0＝－1λ. 又x 204＋y 20＝1，所以有λ2＋6λ－7＝0，解得λ＝－7或λ＝1，又BF 1→与CF 1→方向相反，故λ＝1舍去， ∴λ＝－7.(3)因为|PF 1|＋|PB |＝4－|PF 2|＋|PB |≤4＋|BF 2|， |PF 1|＋|PB |＋|BF 1|≤4＋|BF 2|＋|BF 1|＝8，所以当P点位于直线BF2与椭圆的交点处时，△PBF1周长最大，最大值为8.。

2.1.2 椭圆的几何性质(一)一、基础过关1．已知点(3,2)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上，则( ) A ．点(－3，－2)不在椭圆上B ．点(3，－2)不在椭圆上C ．点(－3,2)在椭圆上D ．无法判断点(－3，－2)、(3，－2)、(－3,2)是否在椭圆上答案 C解析 由椭圆的对称性知(－3,2)必在椭圆上．2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1与椭圆x 225＋y 216＝1有相同的长轴，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的短轴长与椭圆y 221＋x 29＝1的短轴长相等，则( ) A ．a 2＝25，b 2＝16B ．a 2＝9，b 2＝25C ．a 2＝25，b 2＝16或a 2＝9，b 2＝25D ．a 2＝25，b 2＝9答案 D3．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C 的方程是( ) A.x 23＋y 24＝1 B.x 24＋y 23＝1 C.x 24＋y 22＝1 D.x 24＋y 23＝1 答案 D解析 由题意知c ＝1，e ＝c a ＝12，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3.故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1. 4．过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为( )A.52B.33C.12D.13答案 B解析 记|F 1F 2|＝2c ，则由题意，知|PF 1|＝2c 3，|PF 2|＝4c 3，则椭圆的离心率e ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝2c 2c 3＋4c 3＝33. 5．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值是________．答案 14解析 由题意可得21m ＝2×2，解得m ＝14. 6．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1和x 2a 2＋y 2b2＝k (k >0，a >0，b >0)具有________． ①相同的顶点 ②相同的离心率③相同的焦点 ④相同的长轴和短轴答案 ②解析 不妨设a >b ，则椭圆x 2a 2＋y 2b2＝k 的离心率 e 2＝ ka 2－kb 2ka 2＝ a 2－b 2a 2. 而椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的离心率e 1＝ a 2－b 2a 2，故②正确． 7．分别求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)离心率是23，长轴长是6. (2)在x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.解 (1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)或y 2a 2＋x 2b2＝1 (a >b >0)． 由已知得2a ＝6，e ＝c a ＝23，∴a ＝3，c ＝2. ∴b 2＝a 2－c 2＝9－4＝5.∴椭圆方程为x 29＋y 25＝1或x 25＋y 29＝1. (2)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)． 如图所示，△A 1F A 2为一等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2的中线(高)，且|OF |＝c ，|A 1A 2|＝2b ，∴c ＝b ＝3，∴a 2＝b 2＋c 2＝18，故所求椭圆的方程为x 218＋y 29＝1. 二、能力提升 8．如果椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一端点与两焦点的连线组成一个正三角形，焦点在x 轴上，且a －c ＝3，则椭圆的方程是________． 答案 x 212＋y 29＝1 解析 如图所示，cos ∠OF 2A ＝cos 60°＝|OF 2||AF 2|， 即c a ＝12.又a －c ＝3， ∴a ＝23，c ＝3，∴b 2＝(23)2－(3)2＝9.∴椭圆的方程是x 212＋y 29＝1. 9．若椭圆x 2＋my 2＝1的离心率为32，则m ＝________. 答案 14或4 解析 方程化为x 2＋y 21m＝1，则有m >0且m ≠1. 当1m <1时，依题意有 1－1m 1＝32，解得m ＝4； 当1m>1时，依题意有 1m －11m ＝32，解得m ＝14. 综上，m ＝14或4. 10．设椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________．答案 2－1解析 因为△F 1PF 2为等腰直角三角形，所以|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，|PF 1|＝22c ，又由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以22c ＋2c ＝2a ，即(2＋1)c ＝a ，于是e ＝c a ＝12＋1＝2－1. 11．求椭圆m 2x 2＋4m 2y 2＝1 (m >0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．解 椭圆的方程m 2x 2＋4m 2y 2＝1 (m >0)可转化为 x 21m 2＋y 214m 2＝1. ∵m 2<4m 2，∴1m 2>14m 2，∴椭圆的焦点在x 轴上，并且长半轴长a ＝1m ，短半轴长b ＝12m，半焦距长c ＝32m. ∴椭圆的长轴长2a ＝2m ，短轴长2b ＝1m， 焦点坐标为⎝⎛⎭⎫－32m ，0，⎝⎛⎭⎫32m ，0， 顶点坐标为⎝⎛⎭⎫1m ，0，⎝⎛⎭⎫－1m ，0，⎝⎛⎭⎫0，－12m ，⎝⎛⎭⎫0，12m . 离心率e ＝c a ＝32m 1m＝32. 12.如图所示，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，M 为椭圆上一点，且MF 2⊥F 1F 2，∠MF 1F 2＝30°.试求椭圆的离心率．解 设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a ，b ，c .因为MF 2⊥F 1F 2，所以△MF 1F 2为直角三角形．又∠MF 1F 2＝30°，所以|MF 1|＝2|MF 2|，|F 1F 2|＝32|MF 1|. 而由椭圆定义知|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，因此|MF 1|＝4a 3， ∴2c ＝32×4a 3，即c a ＝33， 即椭圆的离心率是33. 三、探究与拓展13．已知椭圆E 的中心在坐标原点O ，两个焦点分别为A (－1，0)，B (1,0)，一个顶点为H (2,0)．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)对于x 轴上的点P (t,0)，椭圆E 上存在点M ，使得MP ⊥MH ，求实数t 的取值范围． 解 (1)由题意可得，c ＝1，a ＝2，∴b ＝ 3.∴所求椭圆E 的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)设M (x 0，y 0)(x 0≠±2)，则x 204＋y 203＝1.① MP →＝(t －x 0，－y 0)，MH →＝(2－x 0，－y 0)，由MP ⊥MH 可得MP →·MH →＝0，即(t －x 0)(2－x 0)＋y 20＝0.②由①②消去y 0，整理得t (2－x 0)＝－14x 20＋2x 0－3. ∵x 0≠2，∴t ＝14x 0－32. ∵－2<x 0<2，∴－2<t <－1.∴实数t 的取值范围为(－2，－1)．。

[课时作业][A 组 基础巩固]1．解析：∵直线y ＝kx ＋1恒过(0,1)点，若5>m ，则m ≥1，若5<m ，则必有公共点，∴m ≥1且m ≠5.答案：D2．解析：因为椭圆的离心率为33，所以有c a ＝33，即c ＝33a ，c 2＝13a 2＝a 2－b 2，所以b 2＝23a 2.当x ＝b 时，交点的纵坐标为y ＝kb ，即交点为(b ，kb )，代入椭圆方程b 2a 2＋k 2b 2b 2＝1，即23＋k 2＝1，k 2＝13，所以k ＝±33，选C.答案：C3．解析：由题意知：F (－c,0)，A (a,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，±b 2a . ∵BF ⊥x 轴，∴AP PB ＝a c .又∵AP →＝2PB →，∴a c ＝2即e ＝c a ＝12. 答案：D4．解析：由题意知y x －2的几何意义是椭圆上的点(x ，y )与点(2,0)两点连线的斜率，∴当直线y ＝k (x －2)与椭圆相切(切点在x 轴上方)时，y x －2＝k 最小． 由⎩⎨⎧ y ＝k (x －2) 4x 2＋y 2＝4 整理得(4＋k 2)x 2－4k 2x 2＋4k 2－4＝0.Δ＝(－4k 2)2－4(4＋k 2)(4k 2－4)＝16(4－3k 2)＝0，即k ＝－233(k ＝233舍去)时，符合题意．答案：C5．解析：设点A (2，n )，B (x 0，y 0)． 由椭圆C ：x 22＋y 2＝1知a 2＝2，b 2＝1，∴c 2＝1，即c ＝1.∴右焦点F (1,0)．由F A →＝3FB→， 得(1，n )＝3(x 0－1，y 0)．∴1＝3(x 0－1)且n ＝3y 0.∴x 0＝43，y 0＝13n .将x 0，y 0代入x 22＋y 2＝1，得12×⎝ ⎛⎭⎪⎫432＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 2＝1. 解得n 2＝1，∴|AF→|＝(2－1)2＋n 2＝1＋1＝ 2. 故选A.答案：A6．解析：若短轴的端点与两焦点组成一个正三角形，则a ＝2c ，又a －c ＝3，故c ＝3，a ＝23，∴b 2＝(23)2－3＝9，椭圆的方程为x 212＋y 29＝1.答案：x 212＋y 29＝17．解析：如图所示，设以(0,6)为圆心，以r 为半径的圆的方程为x 2＋(y －6)2＝r 2(r ＞0)，与椭圆方程x 210＋y 2＝1联立得方程组，消掉x 2得9y 2＋12y ＋r 2－46＝0.令Δ＝122－4×9(r 2－46)＝0，解得r 2＝50，即r ＝5 2.由题意易知P ，Q 两点间的最大距离为r ＋2＝6 2.答案：6 28．解析：易知点A (3,0)是椭圆的右焦点．∵PM →·AM →＝0，∴AM→⊥PM →. ∴|PM→|2＝|AP →|2－|AM →|2＝|AP →|2－1， ∵椭圆右顶点到右焦点A 的距离最小，故|AP →|min＝2， ∴|PM →|min ＝ 3. 答案： 39．解析：(1)∵2b ＝23，c ＝1，∴b ＝3，a 2＝b 2＋c 2＝4.∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋m ，x 24＋y 23＝1，消去y 并整理得7x 2＋8mx ＋4m 2－12＝0.若直线y ＝x ＋m 与椭圆x 24＋y 23＝1有两个不同的交点，则有Δ＝(8m )2－28(4m 2－12)＞0，即m 2＜7， 解得－7＜m ＜7.10．解析：椭圆的右焦点为F (1,0)，∴l AB ：y ＝2x －2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x －2，x 25＋y 24＝1，得3x 2－5x ＝0，∴x ＝0或x ＝53，∴A (0，－2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，43， ∴S △AOB ＝12|OF |(|y B |＋|y A |)＝12×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋43＝53.[B 组 能力提升]1．解析：在Rt △ABF 2中，设|AF 2|＝m ，则|AB |＝m ，|BF 2|＝2m ，所以4a ＝(2＋2)m .又在Rt △AF 1F 2中，|AF 1|＝2a －m ＝22m ，|F 1F 2|＝2c ，所以(2c )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22m 2＋m 2＝32m 2，则2c ＝62m .所以椭圆的离心率e ＝2c 2a ＝621＋22＝6－ 3. 答案：A2．解析： ∵e ＝12，∴a ＝2c ，∴a 2＝4c 2，b 2＝a 2－c 2＝3c 2，∴b ＝3c ，方程ax 2＋bx －c ＝0，可化为2cx 2＋3cx －c ＝0，即2x 2＋3x －1＝0， ∴x 1＋x 2＝－32，x 1x 2＝－12，x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝34－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 ＝74<2，∴P (x 1，x 2)必在圆x 2＋y 2＝2内．故选A.答案：A3．解析：由x 24＋y 23＝1可得F (－1,0)．设P (x ，y )，－2≤x ≤2，则OP →·FP →＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 24＝14x 2＋x ＋3＝ 14(x ＋2)2＋2，当且仅当x ＝2时，OP →·FP →取得最大值6.答案：64．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别代入椭圆方程相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2＝0，根据题意有x 1＋x 2＝2×1＝2，y 1＋y 2＝2×1＝2，且y 1－y 2x 1－x 2＝－12，所以2a 2＋2b 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0，得a 2＝2b 2，所以a 2＝2(a 2－c 2)，整理得a 2＝2c 2，得c a ＝22，所以e ＝22. 答案：225．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆方程得，ax 21＋by 21＝1，① ax 22＋by 22＝1. ②②－①，得a (x 1＋x 2)(x 2－x 1)＋b (y 2＋y 1)(y 2－y 1)＝0.而y 2－y 1x 2－x 1＝k AB ＝－1，y 2＋y 1x 2＋x 1＝k OC ＝22， 则b ＝2a .又∵|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝2|x 2－x 1|＝22，∴|x 2－x 1|＝2.又由⎩⎨⎧ax 2＋by 2＝1，x ＋y ＝1，得 (a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0，∴x 1＋x 2＝2b a ＋b ，x 1x 2＝b －1a ＋b. ∴|x 2－x 1|2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋b 2－4·b －1a ＋b ＝4.将b ＝2a 代入， 得a ＝13，b ＝23.∴所求椭圆方程为x 23＋23y 2＝1.6．解析：由e ＝22得a ∶b ∶c ＝2∶1∶1，所以椭圆方程设为x 2＋2y 2＝2c 2.设直线AB ：x ＝my －c ，由⎩⎨⎧ x ＝my －c x 2＋2y 2＝2c2，得(m 2＋2)y 2－2mcy －c 2＝0， Δ＝4m 2c 2＋4c 2(m 2＋2)＝4c 2(2m 2＋2) ＝8c 2(m 2＋1)>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1，y 2是方程的两个根．得⎩⎪⎨⎪⎧ y 1＋y 2＝2mc m 2＋2，y 1y 2＝－c 2m 2＋2，所以|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝22c m 2＋1m 2＋2S △ABF 2＝12|F 1F 2||y 1－y 2|＝c ·22c ·m 2＋1m 2＋2＝22c 2m 2＋1＋1m 2＋1≤22c 2·12＝2c 2， 当且仅当m ＝0时，即AB ⊥x 轴时取等号， ∴2c 2＝2，c ＝1，所以，所求椭圆方程为x 22＋y 2＝1.。

3．1.2 椭圆的简单几何性质第1课时 椭圆的几何性质1．椭圆6x 2＋y 2＝6的长轴端点坐标为( )A ．(－1,0)，(1,0)B ．(－6,0)，(6,0)C ．(－6，0)，(6，0)D ．(0，－6)，(0，6)答案 D解析 ∵椭圆方程化为标准式为y 26＋x 2＝1，∴a 2＝6，且焦点在y 轴上，∴长轴端点坐标为(0，－6)，(0，6)．2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1的一个焦点为(2,0)，则C 的离心率为( )A.13B.12C.22D.223答案 C解析 ∵a 2＝4＋22＝8，∴a ＝22，∴e ＝c a ＝222＝22.3．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且过点(45，0)的椭圆的方程是( ) A.x 225＋y 220＝1 B.x 220＋y 225＝1C.x 220＋y 245＝1 D.x 280＋y 285＝1答案 D 解析 由x 24＋y 29＝1可知，所求椭圆的焦点在y 轴上，且c 2＝5，故A ，C 不正确；再将点(45，0)分别代入B ，D 检验可知，只有D 选项符合题意．4．焦点在x 轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的方程为() A.x 236＋y 216＝1 B.x 216＋y 236＝1C.x 26＋y 24＝1 D.y 26＋x 24＝1答案 A解析 依题意得c ＝25，a ＋b ＝10，又a 2＝b 2＋c 2，所以解得a ＝6，b ＝4.5．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( ) A.63 B.33 C.23 D.13答案 A解析 以线段A 1A 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝a 2，由原点到直线bx －ay ＋2ab ＝0的距离d ＝2ab a 2＋b 2＝a ，得a 2＝3b 2， 所以C 的离心率e ＝1－b 2a 2＝63. 6．若椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的最近距离是1，则椭圆的离心率为________．答案 45解析 依题意，得b ＝3，a －c ＝1.又a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝5，c ＝4， ∴椭圆的离心率为e ＝c a ＝45. 7．已知椭圆的短半轴长为1，离心率0<e ≤32，则长轴长的取值范围为________． 答案 (2,4]解析 ∵e ＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2，b ＝1,0<e ≤32， ∴1－⎝⎛⎭⎫b a 2≤32，则1<a ≤2，∴2<2a ≤4，即长轴长的取值范围是(2,4]．8．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么椭圆C 的方程为_______________． 答案 x 216＋y 28＝1 解析 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由e ＝22，知c a ＝22，故b 2a 2＝12. 由于△ABF 2的周长为|AB |＋|BF 2|＋|AF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝4a ＝16， ∴a ＝4，∴b 2＝8，∴椭圆C 的方程为x 216＋y 28＝1. 9．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且椭圆C 经过点M ⎝⎛⎭⎫43，13，求椭圆C 的离心率．解 2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝⎝⎛⎭⎫43＋12＋⎝⎛⎭⎫132＋⎝⎛⎭⎫43－12＋⎝⎛⎭⎫132＝2 2. 所以a ＝ 2.又由已知c ＝1，所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝12＝22. 10．(1)求与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦点，且离心率为55的椭圆的标准方程； (2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8，两个顶点坐标分别是(－6,0)，(6,0)，求焦点在x 轴上的椭圆的标准方程．解 (1)∵c ＝9－4＝5，∴所求椭圆的焦点为(－5，0)，(5，0)．设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)． ∵e ＝c a ＝55，c ＝5，∴a ＝5，b 2＝a 2－c 2＝20， ∴所求椭圆的方程为x 225＋y 220＝1. (2)∵椭圆的焦点在x 轴上，∴设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)， ∵2c ＝8，∴c ＝4，又a ＝6，∴b 2＝a 2－c 2＝20.∴椭圆的方程为x 236＋y 220＝1.11．若O 和F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8答案 C解析 由题意得点F (－1,0)．设点P (x 0，y 0)，则有x 204＋y 203＝1，可得y 20＝3⎝⎛⎭⎫1－x 204.∵FP →＝(x 0＋1，y 0)，OP →＝(x 0，y 0)，∴OP →·FP →＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝x 0(x 0＋1)＋3⎝⎛⎭⎫1－x 204＝x 204＋x 0＋3. 此二次函数的图象的对称轴为直线x 0＝－2.又－2≤x 0≤2，所以当x 0＝2时，OP →·FP →取得最大值，最大值为224＋2＋3＝6. 12．以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为( ) A.22 B.32 C.3－ 2D.3－1答案 D 解析 设椭圆的焦点是F 1，F 2，圆与椭圆的四个交点是A ，B ，C ，D ，设|F 1F 2|＝2c ，|AF 1|＝c ，|AF 2|＝3c (c >0),|AF 1|＋|AF 2|＝2a ⇒c ＋3c ＝2a ，e ＝c a ＝23＋1＝3－1. 13．经过点M (1,2)，且与椭圆x 212＋y 26＝1有相同离心率的椭圆的标准方程为________． 答案 x 29＋y 292＝1或y 26＋x 23＝1 解析 由题意知e 2＝1－b 2a 2＝12，所以b 2a 2＝12，即a 2＝2b 2， 设所求椭圆的方程为x 22b 2＋y 2b 2＝1或y 22b 2＋x 2b2＝1. 将点M (1,2)代入椭圆方程得12b 2＋4b 2＝1或42b 2＋1b 2＝1，解得b 2＝92或b 2＝3. 故所求椭圆方程为x 29＋y 292＝1或y 26＋x 23＝1. 14．在平面直角坐标系中，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦距为2c ，以O 为圆心，a 为半径的圆，过点⎝⎛⎭⎫a 2c ，0作圆的两切线互相垂直，则离心率e ＝________.答案 22 解析 如图，切线P A ，PB 互相垂直，又半径OA 垂直于P A ，所以△OAP 是等腰直角三角形，a 2c ＝2a . 解得c a ＝22， 则离心率e ＝22.15．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，32B.⎝⎛⎦⎤0，34 C.⎣⎡⎭⎫32，1 D.⎣⎡⎭⎫34，1 答案 A解析 设左焦点为F 0，连接F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形．∵|AF |＋|BF |＝4，∴|AF |＋|AF 0|＝4，∴a ＝2.设M (0，b )，则4b 5≥45，∴1≤b ＜2. 离心率e ＝c a＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝4－b 24∈⎝⎛⎦⎤0，32， 故选A.16．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，|AF 1|＝3|F 1B |.(1)若|AB |＝4，△ABF 2的周长为16，求|AF 2|；(2)若cos ∠AF 2B ＝35，求椭圆E 的离心率． 解 (1)由|AF 1|＝3|F 1B |，|AB |＝4，得|AF 1|＝3，|F 1B |＝1. 因为△ABF 2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a ＝16， |AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8，故|AF 2|＝8－3＝5.(2)设|F 1B |＝k ，则k >0且|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k . 由椭圆定义可得|AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k . 在△ABF 2中，由余弦定理可得|AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2|·|BF 2|cos ∠AF 2B ，即(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－65(2a －3k )(2a －k )． 化简可得(a ＋k )(a －3k )＝0，而a ＋k >0，故a ＝3k . 于是有|AF 2|＝3k ＝|AF 1|，|BF 2|＝5k .因此|BF 2|2＝|F 2A |2＋|AB |2，可得F 1A ⊥F 2A ， 故△AF 1F 2为等腰直角三角形．从而c ＝22a ，所以椭圆E 的离心率e ＝c a ＝22.。

第2课时 椭圆的标准方程及性质的应用1．直线y ＝x ＋1与椭圆x 25＋y 24＝1的位置关系是( ) A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法判断 答案 A解析 方法一 直线过点(0,1)，而0＋14<1，即点(0,1)在椭圆内部， 所以可推断直线与椭圆相交．方法二 联立直线与椭圆的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 25＋y 24＝1，消去y 得9x 2＋10x －15＝0， Δ＝100－4×9×(－15)＝640>0，所以直线与椭圆相交．2．(多选)若直线y ＝kx ＋2与椭圆x 23＋y 22＝1相切，则斜率k 的值是( ) A.63 B ．－63 C ．－33 D.33 答案 AB解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋2，x 23＋y 22＝1，得(3k 2＋2)x 2＋12kx ＋6＝0，由题意知Δ＝144k 2－24(3k 2＋2)＝0，解得k ＝±63. 3．直线x －y ＋1＝0被椭圆x 23＋y 2＝1所截得的弦长|AB |等于( ) A.322B. 2 C ．2 2D ．3 2 答案 A解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1＝0，x 23＋y 2＝1，得交点为(0,1)，⎝⎛⎭⎫－32，－12，则|AB |＝⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫1＋122＝322.4．若直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m＝1总有公共点，则m 的取值范围是( ) A ．m >1B ．m >0C ．0<m <5且m ≠1D ．m ≥1且m ≠5 答案 D解析 方法一 由于直线y ＝kx ＋1恒过点(0,1)，所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上，则0<1m≤1且m ≠5， 故m ≥1且m ≠5.方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，mx 2＋5y 2－5m ＝0， 消去y 整理得(5k 2＋m )x 2＋10kx ＋5(1－m )＝0.由题意知Δ＝100k 2－20(1－m )(5k 2＋m )≥0对一切k ∈R 恒成立，即5mk 2＋m 2－m ≥0对一切k ∈R 恒成立，由于m >0且m ≠5，∴m ≥1且m ≠5.5．已知椭圆C ：y 29＋x 2＝1，过点P ⎝⎛⎭⎫12，12的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，且弦AB 被点P 平分，则直线AB 的方程为( )A ．9x －y －4＝0B ．9x ＋y －5＝0C ．4x ＋2y －3＝0D ．4x －2y －1＝0答案 B解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．因为点A ，B 在椭圆上，所以y 219＋x 21＝1，① y 229＋x 22＝1.② ①－②，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)9＋(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝0.③ 因为P ⎝⎛⎭⎫12，12是线段AB 的中点，所以x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝1，代入③得y 1－y 2x 1－x 2＝－9，即直线AB 的斜率为－9. 故直线AB 的方程为y －12＝－9⎝⎛⎭⎫x －12， 整理得9x ＋y －5＝0.6．已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为______________．答案 27解析 由题意可设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2a 2－4＝1(a >2)， 与直线方程x ＋3y ＋4＝0联立，得4(a 2－3)y 2＋83(a 2－4)y ＋(16－a 2)(a 2－4)＝0，由Δ＝0，得a ＝7，所以椭圆的长轴长为27.7．过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为________．答案 53解析 由已知可得直线方程为y ＝2x －2，|OF |＝1，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 24＝1，y ＝2x －2，解得A (0，－2)，B ⎝⎛⎭⎫53，43， 所以S △AOB ＝12·|OF |·|y A －y B |＝53. 8．已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，经过点F 1的一条直线与椭圆交于A ，B 两点．若直线AB 的倾斜角为π4，则弦长|AB |为________． 答案 247 解析 易知F 1(－1,0)，∵直线AB 的倾斜角为π4， ∴直线AB 的斜率为1，可得直线AB 的方程为y ＝x ＋1.联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋1，x 24＋y 23＝1， 整理得7x 2＋8x －8＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系可知x 1＋x 2＝－87，x 1·x 2＝－87， 则由弦长公式得|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2×⎝⎛⎭⎫－872－4×⎝⎛⎭⎫－87＝247. 9．对不同的实数值m ，讨论直线y ＝x ＋m 与椭圆x 24＋y 2＝1的位置关系．解 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋m ，x 24＋y 2＝1消去y ， 得x 24＋(x ＋m )2＝1， 整理得5x 2＋8mx ＋4m 2－4＝0.Δ＝(8m )2－4×5(4m 2－4)＝16(5－m 2)．当Δ＞0，即－5＜m ＜5时，此时直线与椭圆相交；当Δ＝0，即m ＝±5时，此时直线与椭圆相切；当Δ＜0，即m ＜－5或m ＞5时，直线与椭圆相离．10.某海域有A ，B 两个岛屿，B 岛在A 岛正东4海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线C ，曾有渔船在距A 岛、B 岛距离和为8海里处发现过鱼群．以A ，B 所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系．(1)求曲线C 的标准方程；(2)某日，研究人员在A ，B 两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号(传播速度相同)，A ，B 两岛收到鱼群在P 处反射信号的时间比为5∶3，问你能否确定P 处的位置(即点P 的坐标)?解 (1)由题意知曲线C 是以A ，B 为焦点且长轴长为8的椭圆，又2c ＝4，则c ＝2，a ＝4，故b ＝23，所以曲线C 的方程是x 216＋y 212＝1. (2)由于A ，B 两岛收到鱼群发射信号的时间比为5∶3，∴设此时距A ，B 两岛的距离比为5∶3，即鱼群分别距A ，B 两岛的距离为5海里和3海里．设P (x ，y )，B (2,0)，由|PB |＝3，∴(x －2)2＋y 2＝3，⎩⎪⎨⎪⎧ (x －2)2＋y 2＝9，x 216＋y 212＝1，－4≤x ≤4，∴x ＝2，y ＝±3，∴点P 的坐标为(2,3)或(2，－3)．11．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，若直线y ＝kx 与椭圆的一个交点的横坐标x 0＝b ，则k 的值为( ) A.22 B ．±22 C.12 D ．±12答案 B解析 根据椭圆的离心率为22，得c a ＝22. 由x 0＝b ，得y 20＝b 2⎝⎛⎭⎫1－b 2a 2＝b 2c 2a 2， 所以y 0＝±bc a ，∴k ＝y 0x 0＝±c a ＝±22. 12．以F 1(－1,0)，F 2(1,0)为焦点且与直线x －y ＋3＝0有公共点的椭圆中，离心率最大的椭圆方程是( )A.x 220＋y 219＝1 B.x 29＋y 28＝1 C.x 25＋y 24＝1 D.x 23＋y 22＝1 答案 C解析 由题意设椭圆方程为x 2b 2＋1＋y 2b2＝1， ⎩⎪⎨⎪⎧x 2b 2＋1＋y 2b 2＝1，x －y ＋3＝0，得(2b 2＋1)x 2＋6(b 2＋1)x ＋8b 2＋9－b 4＝0，由Δ≥0得b 2≥4，所以b 2的最小值为4，由e ＝1－b 2b 2＋1＝1b 2＋1， 则b 2＝4时，e 取最大值，故选C.13．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为________． 答案 6解析 由x 24＋y 23＝1可得，F (－1,0)．设P (x ，y )，－2≤x ≤2，则OP →·FP →＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3⎝⎛⎭⎫1－x 24＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2， 当x ＝2时，OP →·FP →取得最大值6.14．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为________． 答案 4105解析 方法一 设直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋t ，x 24＋y 2＝1，消去y 得 x 24＋(x ＋t )2＝1， 整理得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0.∵Δ＝64t 2－80(t 2－1)>0，∴－5<t < 5.设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则x 1＋x 2＝－8t 5，x 1·x 2＝4(t 2－1)5. ∴|AB |＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝2⎣⎡⎦⎤6425t 2－4×4(t 2－1)5 ＝－32t 2＋16025. 当t ＝0时，|AB |为最大，即|AB |max ＝4105. 方法二 根据椭圆的对称性，当直线斜率固定时，直线过原点时截椭圆所得弦长最长，将y＝x 代入x 24＋y 2＝1得交点坐标为A ⎝⎛⎭⎫255，255和B ⎝⎛⎭⎫－255，－255， 故|AB |＝4105.15．已知椭圆的左焦点为F 1，有一质点A 从F 1处以速度v 开始沿直线运动，经椭圆内壁反射(无论经过几次反射速率始终保持不变)，若质点第一次回到F 1时，它所用的最长时间是最短时间的7倍，则椭圆的离心率e 为( )A.23B.34C.35D.57答案 D解析 假设长轴在x 轴，短轴在y 轴，以下分为三种情况：(1)球从F 1沿x 轴向左直线运动，碰到左顶点必然原路反弹， 这时第一次回到F 1路程是2(a －c )；(2)球从F 1沿x 轴向右直线运动，碰到右顶点必然原路反弹， 这时第一次回到F 1路程是2(a ＋c )；(3)球从F 1沿x 轴斜向上(或向下)运动，碰到椭圆上的点A ， 反弹后经过椭圆的另一个焦点F 2，再弹到椭圆上一点B ， 反弹后经过点F 1，此时小球经过的路程是4a .综上所述，从点F 1沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点F 1时， 小球经过的最大路程是4a ，最小路程是2(a －c )．∴由题意可得4a ＝7×2(a －c )，即5a ＝7c ，得c a ＝57. ∴椭圆的离心率为57. 16．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点⎝⎛⎭⎫1，32，离心率为12，左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)当△F 2AB 的面积为1227时，求直线的方程． 解 (1)∵椭圆过点⎝⎛⎭⎫1，32， ∴1a 2＋94b2＝1， 又e ＝c a ＝12且a 2＝b 2＋c 2， 解得a 2＝4，b 2＝3，c 2＝1，∴椭圆方程为x 24＋y 23＝1. (2)显然直线AB 的斜率不为0，设AB 的方程为x ＝ty －1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty －1，x 24＋y 23＝1， 整理得(3t 2＋4)y 2－6ty －9＝0，Δ＝36t 2＋36(3t 2＋4)＝144t 2＋144>0，∴y 1＋y 2＝6t 3t 2＋4，y 1y 2＝－93t 2＋4， 2ABF S ＝12|F 1F 2||y 1－y 2| ＝|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝⎝⎛⎭⎫6t 3t 2＋42＋363t 2＋4＝12t 2＋13t 2＋4＝1227， 解得t 2＝1，∴直线方程为x ＝±y －1，即y ＝x ＋1或y ＝－x －1.。

2020年高中数学 课时作业本椭圆的标准方程1.已知椭圆C ：＋=1(a>b>0)，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标x2a2y2b2准方程为( )A ．＋=1B ．＋=1C ．＋=1D ．＋=1x236y232x29y28x29y25x216y2122.已知椭圆C ：＋=1的一个焦点为(2，0)，则C 的离心率为( )x2a2y24A ．B ．C ．D ．1312222233.已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则C 的方程是( )12A ．＋=1B ．＋=1C ．＋=1D ．＋y 2=1x23y24x24y23x24y23x244.已知圆(x ＋2)2＋y 2=36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，且点N(2，0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线5.椭圆25x 2＋16y 2=1的焦点坐标是________.6.已知方程(k 2－1)x 2＋3y 2=1是焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是________.7.已知F 1，F 2为椭圆＋=1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点.若|F 2A|＋|F 2B|=12，x225y29则|AB|=________.8.已知P 为椭圆＋=1上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，∠F 1PF 2=60°，则△F 1PF 2的面积为x2254y275________.9.求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)以(0,5)和(0，－5)为焦点，且椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为26；(2)以椭圆9x 2＋5y 2=45的焦点为焦点，且经过M(2，).610.如图，设点P 是圆x 2＋y 2=25上的动点，点D 是点P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且MD=45PD ，当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程.答案解析1.答案为：B ；解析：椭圆长轴长为6，即2a =6，得a =3，∵两焦点恰好将长轴三等分，∴2c =·2a =2，得c =1，因此，b 2=a 2－c 2=9－1=8，13∴此椭圆的标准方程为＋=1．故选B ．x29y282.答案为：C ；解析：根据题意，可知c =2，因为b 2=4，所以a 2=b 2＋c 2=8，即a =2，2所以椭圆C 的离心率为e ==．故选C ．222223.答案为：C ；解析：依题意，所求椭圆的焦点位于x 轴上，且c =1，e =⇒a =2，b 2=a 2－c 2=3，因此其方c a程是＋=1，故选C ．x24y234.答案为：B ；解析：点P 在线段AN 的垂直平分线上，故|PA|=|PN|，又AM 是圆的半径，所以|PM|＋|PN|=|PM|＋|PA|=|AM|=6>|MN|，由椭圆定义知，动点P 的轨迹是椭圆．故选B ．5.答案为：(0，±320)解析：椭圆的标准方程为＋=1，故焦点在y 轴上，其中a 2=，b 2=，x2125y2116116125所以c 2=a 2－b 2=－=，故c=.所以该椭圆的焦点坐标为.1161259400320(0，±320)6.答案为：(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析：方程(k 2－1)x 2＋3y 2=1可化为＋=1.x21k2－1y213由椭圆焦点在y 轴上，得Error!解之得k>2或k<－2.7.答案为：8解析：由题意，知(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)=|AB|＋|AF 2|＋|BF 2|=2a ＋2a ，又由a=5，可得|AB|＋(|BF 2|＋|AF 2|)=20，即|AB|=8.8.答案为：25 34解析：在△F 1PF 2中，F 1F =PF ＋PF －2PF 1·PF 2cos 60°，即25=PF ＋PF －PF 1·PF 2.①2212212由椭圆的定义，得10=PF 1＋PF 2.②由①②，得PF 1·PF 2=25，∴S △F 1PF 2=PF 1·PF 2sin 60°=.1225 349.解：(1)∵椭圆的焦点在y 轴上，∴设它的标准方程为＋=1(a>b>0).y2a2x2b2∵2a=26,2c=10，∴a=13，c=5.∴b 2=a 2－c 2=144.∴所求椭圆的标准方程为＋=1.y2169x2144(2)法一：由9x 2＋5y 2=45，得＋=1，c 2=9－5=4，y29x25所以其焦点坐标为F 1(0,2)，F 2(0，－2).设所求椭圆的标准方程为＋=1(a ＞b ＞0).y2a2x2b2由点M(2，)在椭圆上，所以MF 1＋MF 2=2a ，6即2a=＋=4，所以a=2， 2－0 2＋ 6－2 2 2－0 2＋ 6＋2 233又c=2，所以b 2=a 2－c 2=8，所以所求椭圆的标准方程为＋=1.y212x28法二：由法一知，椭圆9x 2＋5y 2=45的焦点坐标为F 1(0,2)，F 2(0，－2)，则设所求椭圆方程为＋=1(λ＞0)，y2λ＋4x2λ将M(2，)代入，得＋=1(λ＞0)，解得λ=8或λ=－2(舍去).66λ＋44λ所以所求椭圆的标准方程为＋=1.y212x2810.解：设M 点的坐标为(x ，y)，P 点的坐标为(x P ，y P )，由已知易得Error!∵P 在圆上，∴x 2＋(y)2=25.54即轨迹C 的方程为＋=1.x225y216。

一、选择题(每小题5分，共25分)1.已知直线l过点(3，-1)，且椭圆C：+=1，则直线l与椭圆C的公共点的个数为( )A.1B.1或2C.2D.0【解析】选C.因为直线过定点(3，-1)且+<1，所以点(3，-1)在椭圆的内部，故直线l与椭圆有2个公共点.2.点A(a，1)在椭圆+=1的内部，则a的取值范围是( )A.-<a<B.a<-或a>C.-2<a<2D.-1<a<1【解析】选A.由题意知+<1，解得-<a<.【拓展延伸】点与椭圆的位置关系已知平面内点P(x0，y0)与椭圆+=1(a>b>0)，则①点P在椭圆外⇔+>1；②点P在椭圆上⇔+=1；③点P在椭圆内⇔+<1.3.(2018·马鞍山高二检测)已知椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，若椭圆C的中心到直线AB的距离为|F1F2|，则椭圆C的离心率e= ( )A. B. C. D.【解析】选A.设椭圆C的焦距为2c(c<a)，由于直线AB的方程为ay+bx-ab=0，所以=c，因为b2=a2-c2，所以3a4-7a2c2+2c4=0，解得a2=2c2或3a2=c2(舍)，所以e=.【补偿训练】椭圆的焦点为F1，F2，过F1的最短弦PQ的长为10，△PF2Q的周长为36，则此椭圆的离心率为( )A. B. C. D.【解析】选C.PQ为过F1且垂直于x轴的弦，则Q(-c，)，△PF2Q的周长为36.所以4a=36，a=9.由已知=5，即=5.又a=9，解得c=6，解得=，即e=.4.(2018·石家庄高二检测)若AB是过椭圆+=1(a>b>0)中心的一条弦，M是椭圆上任意一点，且AM，BM与两坐标轴均不平行，k AM，k BM分别表示直线AM，BM的斜率，则k AM·k BM= ( )A.-B.-C.-D.-【解析】选B.设A(x1，y1)，M(x0，y0)，则B(-x1，-y1)，k AM·k BM=·===-.【一题多解】(特殊值法)：因为四个选项为定值，取A(a，0)，B(-a，0)，M(0，b)，可得k AM·k BM=-.【补偿训练】(2018·衡水高二检测)如果AB是椭圆+=1(a>b>0)的任意一条与x轴不垂直的弦，O为椭圆的中心，e为椭圆的离心率，M为AB的中点，则k AB·k OM的值为( )A.e-1B.1-eC.e2-1D.1-e2【解析】选C.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点M(x0，y0)，则+=1，+=1，两式作差得=所以k AB·k OM=·===e2-1.5.AB为过椭圆+=1(a>b>0)中心的弦，F1(c，0)为椭圆的右焦点，则△AF1B面积的最大值是( )A.b2B.abC.acD.bc【解析】选D.如图，=+=2.又因为|OF1|=c为定值，所以点A与(0，b)重合时，OF1边上的高最大，此时的面积最大为bc.所以的最大值为bc.二、填空题(每小题5分，共15分)6.过椭圆+=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________.【解析】将椭圆与直线方程联立：解得交点A(0，-2)，B.设右焦点为F，则S△OAB=·|OF|·|y1-y2|=×1×|+2|=.答案：7.椭圆mx2+ny2=1与直线y=1-x交于M，N两点，原点O与线段MN的中点P连线的斜率为，则的值是________.【解析】由消去y，得(m+n)x2-2nx+n-1=0.则MN的中点P的坐标为.所以k OP==.答案：8.(2018·宁波高二检测)已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足·=0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________.【解析】由·=0，得以F1F2为直径的圆在椭圆内，于是b>c，于是a2-c2>c2，所以0<e<，故离心率的范围为.答案：三、解答题(每小题10分，共20分)9.已知动点M(x，y)到直线l：x=4的距离是它到点N(1，0)的距离的2倍.(1)求动点M的轨迹C的方程.(2)过点P(0，3)的直线m与轨迹C交于A，B两点.若A是PB的中点，求直线m的斜率. 【解题指南】由动点M的坐标，根据已知条件列方程即可；设出直线方程与椭圆方程联立，得出k与x1，x2的关系式，利用中点坐标即可得斜率.【解析】(1)点M(x，y)到直线x=4的距离是它到点N(1，0)的距离的2倍，则|x-4|=2⇒+=1.所以，动点M的轨迹为椭圆，方程为+=1.(2)P(0，3)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知：2x1=0+x2，2y1=3+y2，椭圆的上下顶点坐标分别是(0，)和(0，-)，经检验直线m不经过这两点，即直线m斜率k存在.设直线m的方程为：y=kx+3.联立椭圆和直线方程，整理得：(3+4k2)x2+24kx+24=0⇒x1+x2=，x1·x2=，+=+2⇒=⇒=⇒k=±，所以直线m的斜率k=±.10.已知椭圆C：+=1(a>b>0)的一个顶点为A(2，0)，离心率为.直线y=k(x-1)与椭圆C交于不同的两点M，N.(1)求椭圆C的方程.(2)当△AMN的面积为时，求k的值.【解析】(1)由题意得解得b=.所以椭圆C的方程为+=1.(2)由得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0.Δ=24k2+16>0.设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1=k(x1-1)，y2=k(x2-1)，x1+x2=，x1x2=，所以|MN|===.又因为点A(2，0)到直线y=k(x-1)的距离d=，所以△AMN的面积为|MN|·d=.由=，解得k=±1.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.已知椭圆C的方程为+=1(m>0)，如果直线y=x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F，则m的值为( )A.2B.2C.8D.2【解析】选B.根据已知条件c=，则点在椭圆+=1(m>0)上，所以+=1，可得m=2.2.(2018·福建高考)已知椭圆E：+=1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x-4y=0交椭圆E于A，B两点.若|AF|+|BF|=4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是( )A. B.C. D.【解析】选A.不妨设左焦点为F2，连接AF2，BF2，由椭圆的对称性可知四边形AFBF2的对角线互相平分，所以四边形AFBF2为平行四边形，所以+=+=2a=4，所以a=2，设M(0，b)，所以d=b≥⇒b≥1，所以e==≤=，又e∈(0，1)，所以e∈.【补偿训练】过椭圆+y2=1右焦点且斜率为1的直线被椭圆截得的弦MN的长为( )A. B. C. D.【解题指南】求出过椭圆+y2=1右焦点且斜率为1的直线方程，代入椭圆+y2=1，可得一元二次方程，利用弦长公式，即可求弦MN的长.【解析】选A.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，因为椭圆+y2=1右焦点坐标为(，0)，所以过椭圆+y2=1右焦点且斜率为1的直线方程为y=x-，代入椭圆+y2=1，可得+(x-)2=1，即5x2-8x+8=0，所以x1+x2=，x1x2=，所以|MN|=·=·=.二、填空题(每小题5分，共10分)3.(2018·济南高二检测)已知对k∈R，直线y-kx-1=0与椭圆+=1恒有公共点，则实数m的取值范围是________.【解析】因为直线y-kx-1=0过定点(0，1)，要使直线和椭圆恒有公共点，则点(0，1)在椭圆上或椭圆内，即+≤1，整理，得≤1，解得m≥1.又方程+=1表示椭圆，所以m>0且m≠5，综上m的取值范围为m≥1且m≠5.答案：m≥1且m≠54.(2018·无锡高二检测)若倾斜角为的直线交椭圆+y2=1于A，B两点，则线段AB的中点的轨迹方程是________________.【解析】设中点坐标为(x，y)，直线方程为y=x+b，代入椭圆方程得5x2+8bx+4(b2-1)=0，由根与系数的关系及中点的定义，可得x+4y=0，由Δ>0，得-<b<，故-<x<.答案：x+4y=0(-<x<)【补偿训练】(2018·沈阳高二检测)已知椭圆：+x2=1，过点P的直线与椭圆相交于A，B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为( )A.9x-y-4=0B.9x+y-5=0C.2x+y-2=0D.2x-y+2=0【解析】选B.椭圆：+x2=1，过点P的直线与椭圆相交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则+=1 (1)+=1 (2)由(1)(2)相减得：+(x1+x2)(x1-x2)=0，点P是AB的中点，所以x1+x2=1，y1+y2=1，由题知x1≠x2，所以=-9，则直线AB的方程y-=-9，整理得9x+y-5=0.三、解答题(每小题10分，共20分)5.设P是圆x2+y2=25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|=|PD|.(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程.(2)求过点(3，0)且斜率为的直线被C所截线段的长度.【解析】(1)设M的坐标为(x，y)，P的坐标为(x P，y P)，由已知得因为P在圆上，所以x2+=25，即C的方程为+=1.(2)过点(3，0)且斜率为的直线方程为y=(x-3)，设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y=(x-3)代入C的方程，得+=1，即x2-3x-8=0.Δ=(-3)2+32=41>0所以x1+x2=3，x1x2=-8.所以线段AB的长度为|AB|=====.6.(2018·陕西高考)已知椭圆+=1(a>b>0)经过点(0，)，离心率为，左、右焦点分别为F1(-c，0)，F2(c，0).(1)求椭圆的方程.(2)若直线l：y=-x+m与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足=，求直线l的方程.【解题指南】(1)先由已知得椭圆短半轴长，再由离心率及a，b，c间的关系，列方程组得解.(2)先利用直线与圆相交求得弦CD的长，再利用椭圆与直线相交得AB的长，通过解方程得m值从而得解.【解析】(1)由题设知解得a=2，b=，c=1，所以椭圆的方程为+=1.(2)由题设，以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1，所以圆心到直线的距离d=.由d<1得|m|<. (*)所以|CD|=2=2=. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x2-mx+m2-3=0，由根与系数的关系可得x1+x2=m，x1x2=m2-3.所以|AB|==.由=得=1，解得m=±，满足(*)，所以直线l的方程为y=-x+或y=-x-.。

§2.5 椭圆及其方程2.5.1 椭圆的标准方程1．椭圆x 225＋y 2169＝1的焦点坐标是( ) A ．(±5,0)B ．(0，±5)C ．(0，±12)D ．(±12,0)答案 C解析 椭圆的焦点在y 轴上，且a 2＝169，b 2＝25，所以c 2＝a 2－b 2＝144，所以c ＝12，故焦点坐标为(0，±12)．2．已知椭圆5x 2＋ky 2＝5的一个焦点坐标是(0,2)，那么k 的值为( )A ．－1B ．1 C. 5 D ．－ 5答案 B解析 原方程可化简为x 2＋y 25k ＝1，由c 2＝5k－1＝4，得k ＝1. 3．已知△ABC 的周长为20，且顶点B (0，－4)，C (0,4)，则顶点A 的轨迹方程是( ) A.x 236＋y 220＝1(x ≠0) B.x 220＋y 236＝1(x ≠0) C.x 26＋y 220＝1(x ≠0) D.x 220＋y 26＝1(x ≠0) 答案 B解析 由△ABC 的周长为20，且顶点B (0，－4)，C (0,4)，可得|AB |＋|AC |＝12>|BC |，所以顶点A 的轨迹为椭圆，其中2a ＝12,2c ＝8，所以a ＝6，c ＝4.所以b 2＝36－16＝20，方程为x 220＋y 236＝1.因为A ，B ，C 三点构成三角形，三点不能共线，所以x ≠0，故点A 的轨迹方程为x 220＋y 236＝1(x ≠0)． 4．若椭圆x 2100＋y 264＝1的焦点分别为F 1，F 2，椭圆上一点P 满足∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积为( )A ．64 3B ．16 3 C.6433 D.1633答案 C解析 由已知得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝20，|F 1F 2|＝2c ＝12.由余弦定理，知(2c )2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos 60°，即144＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－3|PF 1|·|PF 2|，∴|PF 1|·|PF 2|＝2563， ∴12F PF S ＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 60°＝6433. 5．(多选)使方程x 2m ＋1＋y 25－m＝1表示椭圆的m 的值可以是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．0答案 BCD解析 ∵方程x 2m ＋1＋y 25－m＝1表示椭圆， 则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1>0，5－m >0，m ＋1≠5－m ，解得－1<m <5且m ≠2，故选BCD.6．(多选)已知点P 在椭圆上，且P 到椭圆的两个焦点的距离分别为5,3.过P 且与两焦点的连线垂直的直线恰好经过椭圆的一个焦点，则椭圆的标准方程为( )A.x 216＋y 212＝1 B.x 216＋y 29＝1 C.x 29＋y 216＝1 D.x 212＋y 216＝1 答案 AD解析 依题意，不妨令|PF 1|＝5，|PF 2|＝3，且△PF 2F 1为直角三角形，∴|F 1F 2|2＝|PF 1|2－|PF 2|2＝52－32＝16，∴|F 1F 2|＝4，∴c ＝2，故2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝8，∴a ＝4，∴b 2＝a 2－c 2＝12， 又椭圆的焦点位置不明确，故所求的椭圆的标准方程为x 216＋y 212＝1或x 212＋y 216＝1. 7．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，c a ＝33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为________________．答案 x 23＋y 22＝1解析 由题意知4a ＝43，即a ＝3，又因为c a ＝33，所以c ＝1， 所以b ＝a 2－c 2＝2，故方程为x 23＋y 22＝1. 8．设P 是椭圆x 216＋y 29＝1上的一点，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，则|PF 1|·|PF 2|的最大值是________，此时点P 的坐标为________．答案 16 (0，±3)解析 由题意知，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8，∴|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝⎝⎛⎭⎫822＝16，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝4时取“＝”，故|PF 1|·|PF 2|的最大值是16.∵|PF 1|＝|PF 2|＝4，∴点P 的坐标为(0，±3)．9．求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在y 轴上，焦距是4，且经过点M (3,2)；(2)c ∶a ＝5∶13，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.解 (1)由焦距是4可得c ＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0,2)．由椭圆的定义知，2a ＝32＋(2＋2)2＋32＋(2－2)2＝8，所以a ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝16－4＝12.又焦点在y 轴上，所以椭圆的标准方程为y 216＋x 212＝1. (2)由题意知，2a ＝26，即a ＝13，又c ∶a ＝5∶13，所以c ＝5，所以b 2＝a 2－c 2＝132－52＝144，因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为x 2169＋y 2144＝1或y 2169＋x 2144＝1. 10．已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .求C 的方程．解 由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3. 设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4>|MN |.由椭圆定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点的椭圆(点(－2,0)除外)，其方程为x 24＋y 23＝11．椭圆mx 2＋ny 2＋mn ＝0(m <n <0)的焦点坐标是( )A ．(0，±m －n )B ．(±n －m ，0)C ．(0，±n －m )D ．(±m －n ，0) 答案 C解析 化为标准方程为x 2－n ＋y 2－m＝1， 因为m <n <0，所以0<－n <－m .所以焦点在y 轴上，且c ＝－m －(－n )＝n －m .所以焦点坐标是(0，±n －m )．12．已知椭圆x 24＋y 2＝1的焦点为F 1，F 2，点M 在该椭圆上，且MF 1→·MF 2→＝0，则点M 到x 轴的距离为( ) A.233 B.263 C.33D. 3 答案 C解析 由MF 1→·MF 2→＝0，得MF 1⊥MF 2，可设|MF 1→|＝m ，|MF 2→|＝n ，在△F 1MF 2中，由m 2＋n 2＝4c 2，得(m ＋n )2－2mn ＝4c 2，根据椭圆的定义有m ＋n ＝2a ，所以2mn ＝4a 2－4c 2，故mn ＝2b 2，即mn ＝2， 所以12F MF S ＝12·mn ＝1， 设点M 到x 轴的距离为h ，则12×|F 1F 2|×h ＝1， 又|F 1F 2|＝23，故h ＝33.13．已知椭圆x 225＋y 29＝1上的点M 到该椭圆一个焦点F 的距离为2，N 是MF 的中点，O 为坐标原点，那么线段ON 的长是________．答案 4解析 设椭圆的另一个焦点为E ，则|MF |＋|ME |＝10，∴|ME |＝8，又ON 为△MEF 的中位线，∴|ON |＝12|ME |＝4. 14．已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y 2＝4上的点，则|PM |＋|PN |的最小值为________．答案 7解析 由题意知椭圆的两个焦点F 1，F 2分别是两圆的圆心，且|PF 1|＋|PF 2|＝10，从而|PM |＋|PN |的最小值为|PF 1|＋|PF 2|－1－2＝7.15．椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，椭圆C 与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴正半轴交于B (0,2)，且BF →·BA →＝42＋4，则椭圆C 的方程为( )A.x 24＋y 22＝1 B.x 26＋y 24＝1 C.x 28＋y 24＝1 D.x 216＋y 28＝1 答案 C解析 由已知得F (c ,0)，A (a ,0)，B (0,2)，所以BF →·BA →＝(c ，－2)·(a ，－2)＝ac ＋4＝42＋4， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝2，ac ＝42，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝8，b 2＝4.所以椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1. 16．已知F 1(－c ,0)，F 2(c ,0)为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 在椭圆上，且△PF 1F 2的面积为22b 2，求tan ∠F 1PF 2. 解 ∵F 1(－c ,0)，F 2(c ,0)为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 在椭圆上， ∴根据椭圆定义及余弦定理得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos ∠F 1PF 2＝4c 2，整理得|PF 1||PF 2|＝2b 21＋cos ∠F 1PF 2. ∵△PF 1F 2的面积为22b 2， ∴12·2b 21＋cos ∠F 1PF 2·sin ∠F 1PF 2＝22b 2， ∴1＋cos ∠F 1PF 2＝2sin ∠F 1PF 2. ∵sin 2 ∠F 1PF 2＋cos 2 ∠F 1PF 2＝1，∴cos ∠F 1PF 2＝13(舍负) ∴sin ∠F 1PF 2＝1－19＝223， ∴tan ∠F 1PF 2＝2 2.。