金优课高中数学北师大选修21课时作业：3 椭圆及其标准方程1 含解析

第三章 圆锥曲线与方程§1 椭 圆1.1 椭圆及其标准方程课后作业提升1.设P 是椭圆x 225+y 216=1上的点,若F 1,F 2是椭圆的两个焦点,则|PF 1|+|PF 2|等于( ) A.4 B.5 C.8 D.10 解析:由椭圆的定义,知|PF 1|+|PF 2|=2a=10. 答案:D2.已知椭圆x 210-m +y 2m -2=1,长轴在y 轴上.若焦距为4,则m 等于( )A.4B.5C.7D.8 解析:由题意,得m-2>10-m,且10-m>0,于是6<m<10.再由(m-2)-(10-m)=22,得m=8. 答案:D3.“m>n>0”是“方程mx 2+ny 2=1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件 解析:把椭圆方程化成x 21m+y 21n=1.若m>n>0,则1n >1m >0,所以焦点在y 轴上.反之,亦成立.答案:C4.已知动圆P 过定点A(-3,0),并且在定圆B:(x-3)2+y 2=64的内部与定圆相切,则动圆的圆心P 的轨迹是( )A.线段B.直线C.圆D.椭圆解析:如图,设动圆P 和定圆B 内切于点M,则动圆的圆心P 到定点A(-3,0)和定圆的圆心B(3,0)的距离之和恰好等于定圆B 的半径,即|PA|+|PB|=|PM|+|PB|=|BM|=8>6.所以点P 的轨迹是以A,B 为焦点的椭圆. 答案:D5.已知F 1(-1,0),F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点,过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A,B 两点,且|AB|=3,则C 的方程为( )A.x 22+y 2=1B.x 23+y 22=1C.x 24+y 23=1 D.x 25+y 24=1解析:如图,|AF 2|=12|AB|=32,|F 1F 2|=2,由椭圆定义,得|AF 1|=2a-32.①在Rt △AF 1F 2中,|AF 1|2=|AF 2|2+|F 1F 2|2=(32)2+22.②由①②,得a=2,∴b 2=a 2-c 2=3.∴椭圆C 的方程为x 24+y 23=1,应选C .答案:C6.已知F 1,F 2是椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a>b>0)的两个焦点,P 为椭圆C 上一点,且PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .若△PF 1F 2的面积为9,则b=.解析:由题意,得{12|PF 1||PF 2|=9,|PF 1|2+|PF 2|2=(2c )2,|PF 1|+|PF 2|=2a ,解得a 2-c 2=9,即b 2=9,所以b=3. 答案:37.椭圆x 29+y 22=1的焦点为F 1,F 2,点P 在椭圆上.若|PF 1|=4,则|PF 2|= ,∠F 1PF 2的大小为 .解析:由题设知a=3,b=√2,所以c=√7.由椭圆的定义,知|PF 1|+|PF 2|=6,则|PF 2|=2.又|F 1F 2|=2√7,由余弦定理,得cos ∠F 1PF 2=-12,所以∠F 1PF 2=120°.答案:2 120°8.求经过点(2,-3)且与椭圆9x 2+4y 2=36有共同焦点的椭圆方程.分析:椭圆9x 2+4y 2=36的焦点为(0,±√5),因而可设所求椭圆的方程为x 2λ+y 2λ+5=1(λ>0),由题设确定λ即可. 解:椭圆9x 2+4y 2=36的焦点为(0,±√5),则可设所求椭圆的方程为x 2λ+y 2λ+5=1(λ>0). 把x=2,y=-3代入,得4λ+9λ+5=1,解得λ=10或λ=-2(舍去). 故所求椭圆的方程为x 210+y 215=1.9.已知x 2sin α-y 2cos α=1(0≤α≤π)表示焦点在x 轴上的椭圆,求α的取值范围. 分析:把方程化为标准形式,依据焦点位置,得关于α的三角不等式,进而求解.解:原方程化为x 21sinα+y 2-1cosα=1.由于焦点在x 轴上,所以1sinα>-1cosα>0.又0≤α≤π,所以3π4<α<π, 即α的取值范围是(3π4,π).。

3.1.1
椭圆及其标准方程
学习目标
1.使学生理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程的推导及标准方程．
2.通过对椭圆概念的引入与标准方程的推导，培养学生分析探索能力，增强运用坐标法解决几何问题的能力。

3.通过对椭圆标准方程的推导的教学，可以提高对各种知识的综合运用能力．
学习重点
重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程．
学习难点：
椭圆的标准方程的推导，椭圆的定义中常数加以限制的原因．
1：什么叫做曲线的方程？求曲线方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？
问题2：圆的几何特征是什么？你能否可类似地提出一些轨迹命题作广泛的探索？
取一条一定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的F1和F2两点(如图2-13)，当绳长大于F1和F2的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动一周，观察画出的图形．
一．椭圆的定义：
思考：这里的常数有什么限制吗？
二．椭圆标准方程的推导
1．标准方程的推导
(1)建立坐标系，(2)设点 (3)列式（4）化简椭圆的标准方程：
2．求适合下列条件的椭圆的标准方程
（1）两个焦点的坐标分别是（—3，0）（3，0），椭圆上一点P与两交点的距离的和等于8.
（2）两个焦点的坐标分别是（0，—4）（4，0），并且椭圆经过点（3，—5）。

3.求下列方程表示的椭圆的焦点坐标
（1）
1
24
36
2
2
=
+
y
x
；（2）24
3
82
2=
+y
x
4．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
5. 平面内两定点的距离是8，写出到这两定点的距离的和是10的点的轨迹的方程．。

1.1 椭圆及其标准方程1.命题甲:动点P到两定点A,B的距离之和|PA|+|PB|=2a(a>0,常数),命题乙:P点的轨迹是椭圆,则命题甲是命题乙的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:若P点的轨迹是椭圆,则一定有|PA|+|PB|=2a(a>0,常数),∴甲是乙的必要条件.反过来,若|PA|+|PB|=2a(a>0,常数)是不能推出P点的轨迹是椭圆的.这是因为:仅当2a>|AB|时,P点的轨迹才是椭圆;而当2a=|AB|时,P点的轨迹是线段AB;当2a<|AB|时,P点无轨迹.∴甲不是乙的充分条件.综上,甲是乙的必要不充分条件.故选B.答案:B2.线段|AB|=4,|PA|+|PB|=6,M是AB的中点,当P点在同一平面内运动时,|PM|的最小值是( )A.2B.C.D.5解析:由于|PA|+|PB|=6>4=|AB|,故由椭圆定义知P点的轨迹是以M为原点,A、B为焦点的椭圆,且a=3,c=2,∴b=.于是|PM|的最小值是b=.答案:C3.椭圆的两个焦点的坐标分别为(0,-4),(0,4),并且经过点(,-),则椭圆的标准方程是( )A.=1B.=1C.=1D.=1解析:因为椭圆的焦点在y轴上,可设它的标准方程为=1(a>b>0).由已知得c=4,又c2=a2-b2,故a2=16+b2.①因为点(,-)在椭圆上,所以=1,即=1.②将①代入②,解得b2=4(b2=-12舍去),a2=20.所以所求椭圆的方程为=1.答案:A4.焦点在坐标轴上,且经过A(,-2)和B(-2,1)两点的椭圆的标准方程是( )A.=1B.=1C.=1D.=1解析:(方法1)(1)当焦点在x轴上时,设椭圆的标准方程为=1(a>b>0).依题意,有解得所以所求椭圆的方程为=1.(2)当焦点在y轴上时,设椭圆的标准方程为=1(a>b>0).依题意,有解得因为a<b,所以方程无解.故所求椭圆的方程为=1.(方法2)设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,且m≠n).依题意,有解得所以所求椭圆的方程为=1.答案:D5.已知F1,F2是椭圆C:=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上一点,且.若△PF1F2的面积为9,则b=( )A.3B.9C.D.12解析:由题意,得解得a2-c2=9,即b2=9,所以b=3.答案:A6.已知F1,F2为椭圆=1的两个焦点,过F1的直线交椭圆于A,B两点.若|F2A|+|F2B|=12,则|AB|=( )A.12B.8C.25D.9解析:如图所示,由椭圆定义得|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=20,又|AF2|+|BF2|=12,所以|AF1|+|BF1|=8,即|AB|=8.答案:B7.经过点(2,-3)且与椭圆9x2+4y2=36有共同焦点的椭圆的标准方程为.解析:椭圆9x2+4y2=36的焦点为(0,±),则可设所求椭圆的方程为=1(λ>0).把x=2,y=-3代入,得=1,解得λ=10或λ=-2(舍去).∴所求椭圆的方程为=1.答案:=18.=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上.若|PF1|=4,则|PF2|=,∠F1PF2的大小为.解析:如图所示,∵|PF1|+|PF2|=2a=6,∴|PF2|=6-|PF1|=2.在△F1PF2中,cos∠F1PF2===-,∴∠F1PF2=120°.答案:2 120°9.已知动圆M过定点A(-3,0),并且在定圆B:(x-3)2+y2=64的内部与其相内切,则动圆圆心M的轨迹方程是.解析:设动圆M和定圆B内切于点C,动圆圆心M到两定点A(-3,0),B(3,0)的距离之和恰好又等于定圆B的半径,即|MA|+|MB|=|MC|+|MB|=|BC|=8,且8>|AB|=6,所以动圆圆心M的轨迹是以A,B为焦点的椭圆,并且2a=8,2c=6,所以b=.所以椭圆的方程是=1.答案:=110.在△ABC中,已知点B(-6,0),C(0,8),且sin B,sin A,sin C成等差数列.(1)求证:顶点A在一个椭圆上运动;(2)指出这个椭圆的焦点坐标以及焦距.(1)证明:由题意,得sin B+sin C=2sin A,由正弦定理,得sin B=,sin C=,sin A=,所以有b+c=2a,即|AC|+|AB|=2|BC|(大于|BC|).所以顶点A到定点B,C的距离的和是常数(大于|BC|),即顶点A在一个椭圆上运动.(2)解:这个椭圆的焦点坐标分别是(-6,0),(0,8),焦距是10.11.求符合下列条件的椭圆的标准方程:(1)两个焦点的坐标分别为(-3,0)和(3,0),且椭圆经过点(5,0);(2)焦点在y轴上,且经过两个点(0,2)和(1,0).解:(1)由于椭圆的焦点在x轴上,∴设它的标准方程为=1(a>b>0).∴2a==10.∴a=5.又c=3,∴b2=a2-c2=25-9=16.故所求椭圆的方程为=1.(2)由于椭圆的焦点在y轴上,∴设它的标准方程为=1(a>b>0).由于椭圆经过点(0,2)和(1,0),∴解得故所求椭圆的方程为+x2=1.12.如图所示,已知椭圆的方程为=1,若点P在第二象限,且∠PF1F2=120°,求△PF1F2的面积.解:由已知,得a=2,b=,所以c==1.所以|F1F2|=2c=2.在△PF1F2中,由余弦定理,得|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2-2|PF1||F1F2|cos 120°,即|PF2|2=|PF1|2+4+2|PF1|.①由椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=4,即|PF2|=4-|PF1|.②②代入①,解得|PF1|=.所以|PF1|·|F1F2|·sin 120°=×2×,即△PF1F2的面积是.备选习题1.已知B,C是两个定点,且BC=8,则到这两个定点的距离的和是8的点的轨迹是( )A.椭圆B.圆C.线段D.射线解析:本题容易简单依据椭圆的定义而得出错误结果,主要是对椭圆的定义中常数的约束条件忽视所致.由于动点到这两个定点的距离的和是8,恰好等于这两个定点间的距离,故其轨迹是一条线段.答案:C2.已知F1,F2是椭圆=1的两焦点,过点F2的直线交椭圆于点A,B,若|AB|=5,则|AF1|-|BF2|=.解析:由椭圆的定义,知|AF1|+|AF2|=8,|BF1|+|BF2|=8.两式相加,得|AF1|+(|AF2|+|BF2|)+|BF1|=16.又|AF2|+|BF2|=|AB|=5,所以|AF1|+|BF1|=11.所以|AF1|=11-|BF1|.所以|AF1|-|BF2|=(11-|BF1|)-|BF2|=11-(|BF2|+|BF1|)=11-8=3.答案:33.在等腰直角△ABC中,斜边BC长为4,一个椭圆以C为其中一个焦点,另一个焦点在线段AB上,且椭圆经过A,B两点,求该椭圆的标准方程.解:设椭圆的另一个焦点为M,以MC所在直线为x轴,MC的中点为坐标原点,建立平面直角坐标系(如图).设椭圆的标准方程为=1(a>b>0),则有|AM|+|AC|=2a,|BM|+|BC|=2a,两式相加,得8+4=4a.∴a=2+.∴|AM|=2a-|AC|=4+2-4=2.在Rt△AMC中,∵|MC|2=|AM|2+|AC|2=8+16=24,且|MC|=2c,∴c2=6.∴b2=a2-c2=4.故所求椭圆的标准方程为=1.4.已知点P在中心是原点、坐标轴为对称轴的椭圆上,且点P到两个焦点的距离分别为,过P作焦点所在轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点,求椭圆的标准方程.解:设两焦点为F1,F2,且|PF1|=,|PF2|=,由椭圆定义知2a=|PF1|+|PF2|==2,∴a=.∵|PF1|>|PF2|,∴由题意知△PF1F2为直角三角形.在△PF1F2中,sin∠PF1F2=,∴∠PF1F2=,∴2c=|PF1|·cos,∴c=,∴b2=a2-c2=.∵焦点可能在x轴上,也可能在y轴上,∴椭圆的方程为=1或=1.。

2.2.1 椭圆及其标准方程（一）1.设椭圆22221xy m m +-=1(m >1)上一点P 到其左、右焦点的距离分别为3和1,则m =( ). A .6B .3C .2D .4[答案]:C [解析]:根据题意,椭圆焦点在x 轴上,则2m =3+1,所以m =2.2.椭圆22x y 259+=1上一点M 到椭圆焦点F 1的距离为2,N 是MF 1的中点,则|ON |=( ). A .2B .4C .8D .32[答案]:B[解析]:由椭圆方程可知2A=10,|MF 1|=2,则|MF 2|=8.又∵O 为F 1F 2中点,N 为MF 1中点, ∴|ON |=12|MF 2|=4. 3.已知椭圆的方程为222x y 8m +=1,焦点在x 轴上,其焦距为( ).A .B ..D .[答案]:A[解析]:因为焦点在x 轴上,所以c 2=8-m 2,故2c 4.过点(-3,2)且与22x y 94+=1有相同焦点的椭圆的方程是( ). A .22x y 1510+=1 B.22x y 225100+=1C .22x y 1015+=1D .22x y 100225+=1 [答案]:A[解析]:∵c 2=9-4=5, ∴设椭圆的方程为2222x y a a 5+-=1.∵点(-3,2)在椭圆上,∴2294a a 5+-=1,A 2=15. ∴所求椭圆的方程为22x y 1510+=1. 5.设P 是椭圆22x y 1612+=1上一点,P 到两焦点F 1,F 2的距离之差为2,则△PF 1F 2是( ). A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .等腰直角三角形[答案]:B [解析]:由椭圆定义知|PF 1|+|PF 2|=2A=8.不妨设|PF 1|>|PF 2|,∵|PF 1|-|PF 2|=2,∴|PF 1|=5,|PF 2|=3.又|F 1F 2|=2c ∴△PF 1F 2为直角三角形.6.已知点椭圆2x 4+y 2=1与直线交于点A,B,则△ABM 的周长为( ). A .4B .8C .12D .16[答案]:B[解析]:直线y=k (x 过定点N 而M ,N 恰为椭圆2x 4+y 2=1的两个焦点,由椭圆的定义知△ABM 的周长为4A=4×2=8.7.椭圆22x y 92+=1的焦点为F 1,F 2,点P 在椭圆上.若|PF 1|=4,则|PF 2|= ;∠F 1PF 2的大小为 .[答案]:2 120°[解析]:由于A=3,∴2A=6,从而|PF 2|=6-|PF 1|=2.又∴|F 1F 2由余弦定理可得cos ∠F 1PF 212,所以 ∠F 1PF 2=120°.8.椭圆22x y 94+=1的两焦点为F 1,F 2,过F 1作直线交椭圆于A,B 两点,则△ABF 2的周长为 . [答案]:12[解析]:△ABF 2的周长等于|AF 1|+|AF 2|+|BF 1|+|BF 2|=4A=12.9.已知圆A:x 2+(y +6)2=400,圆A 内有一定点B(0,6),动圆C 过点B 且与圆A 内切,求动圆圆心C 的轨迹方程.解:设动圆C 的半径为r ,则|CB|=r .因为圆C 与圆A 内切,所以|CA|=20-r ,所以|CA|+|CB|=20,所以点C 的轨迹是以A,B 两点为焦点的椭圆.因为2A=20,2c =|AB|=12,所以A=10,c =6,b 2=64.因为点A,B 在y 轴上,所以点C 的轨迹方程为22y x 10064+=1. 10.已知椭圆2222yx a b +=1(A>b>0)的焦点分别是F 1(0,-1),F 2(0,1),且3A 2=4b 2. (1)求椭圆的方程;(2)设点P 在这个椭圆上,且|PF 1|-|PF 2|=1,求∠F 1PF 2的余弦值.解:(1)依题意知c =1,又c 2=A 2-b 2,且3A 2=4b 2,所以A 2-34A 2=1,即14A 2=1.所以A 2=4. 因此b 2=3.从而椭圆方程为22y x 43+=1. (2)由于点P 在椭圆上,所以|PF 1|+|PF 2|=2A=2×2=4,因为|PF 1|-|PF 2|=1,所以|PF 1|=52,|PF 2|=32.又|F 1F 2|=2c =2,所以由余弦定理得 cos ∠F 1PF 2=222121212|PF ||PF |-|FF |2|PF ||PF |+⋅=222532322535222⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⨯⨯,即∠F 1PF 2的余弦值等于35.。

课时分层作业(十四)(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．椭圆x2169＋y225＝1的焦点坐标为()A．(5，0)，(－5，0)B．(12，0)，(－12，0)C．(0，12)，(0，－12) D．(13，0)，(－13，0)B[∵a2＝169，b2＝25，∴c2＝169－25＝144，∴c＝12，又∵焦点在x轴上，∴焦点为(12，0)，(－12，0)．]2．对于常数m，n，“mn＞0”是“方程mx2＋ny2＝1的曲线是椭圆”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．即不充分也不必要条件B[mn＞0，若m＝n则mx2＋ny2＝1不是椭圆．若方程mx2＋ny2＝1是椭圆则“mn＞0一定成立．”]3．过点(3，－2)且与椭圆x29＋y24＝1有相同焦点的椭圆的方程是()A.x215＋y210＝1 B.x2225＋y2100＝1C.x210＋y215＝1 D.x2100＋y2225＝1A[椭圆x29＋y24＝1的焦点在x轴上，且c2＝5.设所求的椭圆方程为x2a2＋y2a2－5＝1，将(3，－2)代入方程得9a2＋4a2－5＝1，解得a2＝15，故所求椭圆方程为x215＋y210＝1.]4．已知A(0，－1)，B(0，1)两点，△ABC的周长为6，则△ABC的顶点C的轨迹方程是()A.x24＋y23＝1(x≠±2) B.y24＋x23＝1(y≠±2)C.x 24＋y 23＝1(x ≠0)D.y 24＋x 23＝1(y ≠0)B [∵2c ＝|AB |＝2，∴c ＝1， ∴|CA |＋|CB |＝6－2＝4＝2a ，∴顶点C 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆(A ，B ，C 不共线)． 因此，顶点C 的轨迹方程y 24＋x 23＝1(y ≠±2)．]5．设F 1，F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，则△F 1PF 2的面积等于( )A ．5B ．4C ．3D.1B [由椭圆方程，得a ＝3，b ＝2，c ＝5，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，又|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，由22＋42＝(25)2可知，△F 1PF 2是直角三角形，故△F 1PF 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|＝12×4×2＝4，故选B.]二、填空题6．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距是2，则m 的值是________． 3或5 [当m ＞4时，m －4＝1，∴m ＝5. 当0＜m ＜4时，4－m ＝1，∴m ＝3.]7．若方程y 26－k ＋x 2k －2＝1表示椭圆，则k 的取值范围是________．(2，4)∪(4，6) [若方程y 26－k ＋x 2k －2＝1表示椭圆．则⎩⎪⎨⎪⎧6－k ＞0k －2＞06－k ≠k －2， ∴2＜k ＜6且k ≠4.]8．在平面直角坐标系中，A(4，0)，B(－4，0)，且sin A＋sin Bsin C＝54，则△ABC的顶点C的轨迹方程为________．x2 25＋y29＝1(y≠0)[由正弦定理，得|BC|＋|AC||AB|＝54，又|AB|＝8，∴|BC|＋|AC|＝10.由椭圆定义可知，点C的轨迹是以点A，B为焦点的椭圆．又∵a＝12×10＝5，c＝12×8＝4，∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.又∵点A，B，C不共线，∴点C的轨迹方程为x225＋y29＝1(y≠0)．]三、解答题9．已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为45 3和253，过点P作长轴的垂线，垂足恰好为椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程．[解]设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，不妨取|PF1|＝453，|PF2|＝253，由椭圆的定义，知2a＝|PF1|＋|PF2|＝2 5.即a＝ 5.由|PF1|>|PF2|知，PF2垂直于长轴．在Rt△PF2F1中，4c2＝|PF1|2－|PF2|2＝609，∴c2＝53，∴b2＝a2－c2＝103.又所求的椭圆的焦点可以在x轴上，也可以在y轴上，故所求的椭圆方程为x25＋3y210＝1或3x2 10＋y25＝1.10．已知动圆M过定点A(－3，0)，并且在定圆B：(x－3)2＋y2＝64的内部与其相内切，求动圆圆心M的轨迹方程．[解] 设动圆M 和定圆B 内切于点C ，由|MA |＝|MC |得|MA |＋|MB |＝|MC |＋|MB |＝|BC |＝8，即动圆圆心M 到两定点A (－3，0)，B (3，0)的距离之和等于定圆的半径，∴动圆圆心M 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，且2a ＝8，2c ＝6，b ＝a 2－c 2＝7，∴M 的轨迹方程是x 216＋y 27＝1.[能力提升练]1．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，方程x 2sin α＋y 2cos α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π4 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2 C [由题意知，cos α>sin α>0，∴tan α<1， ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴0<α<π4.故选C.]2．设P 是椭圆x 216＋y 212＝1上一点，P 到两焦点F 1，F 2的距离之差为2，则△PF 1F 2是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形B [根据椭圆的定义知|PF 1|＋|PF 2|＝8. 又|PF 1|－|PF 2|＝2，所以|PF 1|＝5，|PF 2|＝3. 而|F 1F 2|＝4，所以|F 1F 2|2＋|PF 2|2＝|PF 1|2， 所以△PF 1F 2是直角三角形，故选B.]3．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左，右焦点，P 为椭圆上任意一点，点M 的坐标为(6，4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为________．15 [由椭圆定义知|PM |＋|PF 1|＝|PM |＋2×5－|PF 2|， 而|PM |－|PF 2|≤|MF 2|＝5，所以|PM |＋|PF 1|≤2×5＋5＝15.]4．已知F 1，F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________．8 [由椭圆的定义得|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝10，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ＝10，∴|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝20. 又∵|F 2A |＋|F 2B |＝12，∴|AB |＝|AF 1|＋|BF 1|＝8.]5．已知椭圆的中心在原点，两焦点F 1，F 2在x 轴上，且过点A (－4，3)．若F 1A ⊥F 2A ，求椭圆的标准方程．[解] 设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)． 设焦点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)(c >0)． ∴F 1A →＝(－4＋c ，3)，F 2A →＝(－4－c ，3)，∵F 1A ⊥F 2A ，∴F 1A →·F 2A →＝0，∴(－4＋c )·(－4－c )＋32＝0， ∴c 2＝25，即c ＝5.∴F 1(－5，0)，F 2(5，0)． ∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝ （－4＋5）2＋32＋（－4－5）2＋32＝10＋90＝410. ∴a ＝210，∴b 2＝a 2－c 2＝(210)2－52＝15. ∴所求椭圆的标准方程为x 240＋y 215＝1.。

第三章§课时作业一、选择题．已知命题甲：动点到两定点，的距离之和＋＝，其中为大于的常数；命题乙：点的轨迹是椭圆．命题甲是命题乙的( )．充分不必要条件．必要不充分条件．充分且必要条件．既不充分又不必要条件解析：若点的轨迹是椭圆，则一定有＋＝(>，为常数)．所以甲是乙的必要条件．反过来，若＋＝(>，为常数)，点的轨迹不一定是椭圆，所以甲不是乙的充分条件．综上，甲是乙的必要不充分条件．答案：．设是椭圆＋＝上一点，到两焦点，的距离之差为，则△是( )．锐角三角形．直角三角形．钝角三角形．等腰直角三角形解析：由椭圆定义知＋＝＝.又－＝，∴＝，＝.又＝＝＝，∴△为直角三角形．答案：．[·西安交大附中月考]椭圆＋＝的焦点坐标是( )．(±) ．(±，)．(±，) ．(，±)解析：椭圆的标准方程为＋＝，故焦点在轴上，其中＝，＝，所以＝－＝－＝，故＝.所以所求焦点坐标为(，±)．答案：．若方程＋＝表示焦点在轴上的椭圆，则锐角α的取值范围是( )．(，) ．[，)．(，) ．[，)解析：∵方程＋＝表示焦点在轴上的椭圆，∴α>，α>.∵α为锐角，∴<α<.答案：二、填空题．一个焦点坐标是()，过点(，)的椭圆的标准方程为．解析：设椭圆的标准方程为＋＝(>>)，∴－＝，①又过点(，)，∴＋＝，②∴由①②知，＝，＝，∴椭圆的标准方程为＋＝.答案：＋＝．[·云南省昆明一中月考]已知椭圆的焦点在轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为，焦距为，则此椭圆的标准方程为．解析：本题考查椭圆的标准方程．由已知，＝＝，∴＝，＝，∴＝－＝－＝，∴椭圆的标准方程为＋＝.答案：＋＝．已知椭圆的标准方程为＋＝(>)并且焦距为，则实数的值为．解析：∵＝，∴＝.当焦点在轴上时，＝，∴＝.当焦点在轴上时，＝，∴＝.答案：或三、解答题．求经过点(，－)和点(－，)的椭圆的标准方程．解：法一：()当焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝(>>)．依题意有错误!解得(\\(＝，＝.))所以所求椭圆的方程为＋＝.()当焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝(>>)．依题意有错误!解得错误!因为<，所以方程无解．故所求椭圆的方程为＋＝.法二：设所求椭圆的方程为＋＝(>，>，≠)，依题意有(\\(＋＝，＋＝，))解得(\\(＝()，＝().))所以所求椭圆的方程为＋＝.．如图，圆：(＋)＋＝及点()，为圆上一点，的垂直平分线交于，求点的轨迹方程．。

第三章 §3 课时作业28一、选择题1．双曲线x 210－y 22＝1的焦距为( )A ．3 2B ．4 2C ．3 3D ．4 3解析：由双曲线的标准方程可知，a 2＝10，b 2＝2.于是有c 2＝a 2＋b 2＝12，则2c ＝4 3.故选D.答案：D2．已知双曲线的a ＝5，c ＝7，则该双曲线的标准方程为( ) A ．x 225－y 224＝1B ．y 225－x 224＝1C ．x 225－y 224＝1或y 225－x 224＝1D ．x 225－y 249＝1或y 225－x 249＝1解析：因为b 2＝c 2－a 2＝49－25＝24，且焦点位置不确定，所以所求双曲线的标准方程为x 225－y 224＝1或y 225－x 224＝1. 答案：C3．[2014·福建宁德一模]已知椭圆x 2a 2＋y 29＝1(a >0)与双曲线x 24－y 23＝1有相同的焦点，则a的值为( )A ． 2B ．10C ．4D ．34解析：因为椭圆x 2a 2＋y 29＝1(a >0)与双曲线x 24－y 23＝1有相同的焦点(±7，0)，则有a 2－9＝7，∴a ＝4.选C.答案：C4．已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F 1(－5，0)，点P 位于该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是( )A ．x 24－y 2＝1B ．x 2－y 24＝1C ．x 22－y 23＝1D ．x 23－y 22＝1解析：设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，因为c ＝5，c 2＝a 2＋b 2，所以b 2＝5－a 2，所以x 2a 2－y 25－a 2＝1.由于线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则P 点的坐标为(5，4)．代入双曲线方程得5a 2－165－a 2＝1，解得a 2＝1或a 2＝25(舍去)，所以双曲线方程为x 2－y 24＝1.故选B.答案：B 二、填空题5．设m 是常数，若点F (0,5)是双曲线y 2m －x 29＝1的一个焦点，则m ＝__________.解析：由点F (0,5)可知该双曲线y 2m －x 29＝1的焦点落在y 轴上，所以m >0，且m ＋9＝52，解得m ＝16.答案：166．已知P 是双曲线x 264－y 236＝1上一点，F 1，F 2是双曲线的两个焦点，若|PF 1|＝17，则|PF 2|的值为__________．解析：由双曲线方程x 264－y 236＝1知，a ＝8，b ＝6，则c ＝a 2＋b 2＝10.∵P 是双曲线上一点，∴||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝16，又|PF 1|＝17，∴|PF 2|＝1或|PF 2|＝33. 又|PF 2|≥c －a ＝2，∴|PF 2|＝33. 答案：337．在△ABC 中，B (－6,0)，C (6,0)，直线AB ，AC 的斜率乘积为94，则顶点A 的轨迹方程为__________．解析：设顶点A 的坐标为(x ，y )，根据题意，得y x ＋6·y x －6＝94，化简，得x 236－y 281＝1(x ≠±6)．故填x 236－y 281＝1(x ≠±6)． 答案：x 236－y 281＝1(x ≠±6)三、解答题8．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)以椭圆x 225＋y 29＝1的长轴端点为焦点，且经过点P (5，94)；(2)过点P 1(3，－42)，P 2(94，5)．解：(1)因为椭圆x 225＋y 29＝1的长轴端点为A 1(－5,0)，A 2(5,0)，所以所求双曲线的焦点为F 1(－5,0)，F 2(5,0)．由双曲线的定义知，||PF 1|－|PF 2|| ＝⎪⎪⎪⎪(5＋5)2＋(94－0)2－(5－5)2＋(94－0)2 ＝⎪⎪⎪⎪(414)2－(94)2＝8，即2a ＝8，则a ＝4.又c ＝5， 所以b 2＝c 2－a 2＝9.故所求双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1.(2)设双曲线的方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)，分别将点P 1(3，－42)，P 2(94，5)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧9A ＋32B ＝18116A ＋25B ＝1，解得⎩⎨⎧A ＝－19B ＝116，故所求双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1.9．已知曲线x 216－m －y 2m＝1.(1)当曲线是椭圆时，求实数m 的取值范围，并写出焦点坐标； (2)当曲线是双曲线时，求实数m 的取值范围，并写出焦点坐标． 解：(1)曲线为椭圆⇔⎩⎪⎨⎪⎧16－m >0－m >016－m ≠－m⇔⎩⎨⎧m <16m <0⇔m <0.即实数m 的取值范围是(－∞，0)．此时，椭圆的焦点在x 轴上，坐标为(±4,0)．(2)曲线为双曲线⇔(16－m )m >0⇔0<m <16.即实数m 的取值范围是(0,16)． 此时，双曲线的焦点在x 轴上，坐标为(±4,0)．。

1.a=6,c=1的椭圆的标准方程是()A.x 236+y235=1B.y236+x235=1C.x236+y21=1D.x236+y235=1或y236+x235=12.椭圆x 225+y2=1上的一个点P到一个焦点的距离为2,则点P到另一个焦点的距离为() A.5 B.6 C.7 D.83.如果方程x 2a2+y2a+6=1表示焦点在x轴上的椭圆,那么实数a的取值范围是()A.a>3B.a<-2C.a>3或a<-2D.a>3或-6<a<-24.已知椭圆x 225+y29=1上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2,N是MF的中点,O为坐标原点,那么线段ON的长是()A.2B.4C.8D.325.若椭圆的对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形,焦点到椭圆上点的最短距离为则这个椭圆的方程为()A.x 212+y29=1B.x29+y212=1C.x212+y29=1或x29+y212=1D.以上都不对6.椭圆x 29+y22=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上.若|PF1|=4,则|PF2|=,∠F1PF2的大小为.7.已知F1,F2是椭圆C:x 2a +y2b=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上一点,且PF1⊥PF2.若△PF1F2的面积为9,则b=.8.已知椭圆的两焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),并且经过点52,-32,求它的标准方程.9.已知椭圆x 24+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交,一个交点为P,求|PF2|的长.1.a=6,c=1的椭圆的标准方程是()A.x 236+y 235=1B.y 236+x 235=1C.x 236+y 21=1D.x 236+y 235=1或y 236+x 235=12.椭圆x 225+y 2=1上的一个点P 到一个焦点的距离为2,则点P 到另一个焦点的距离为( )A.5B.6C.7D.8a 2=25,∴a=5,2a=10.设P 到另一个焦点的距离为d ,由椭圆的定义知,d+2=2a=10,故d=83.如果方程x 2a +y 2a +6=1表示焦点在x 轴上的椭圆,那么实数a 的取值范围是( )A.a>3B.a<-2C.a>3或a<-2D.a>3或-6<a<-24.已知椭圆x 225+y 29=1上的点M 到该椭圆一个焦点F 的距离为2,N 是MF 的中点,O 为坐标原点,那么线段ON 的长是( )A.2B.4C.85.若椭圆的对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形,焦点到椭圆上点的最短距离为 3,则这个椭圆的方程为( )A.x 212+y 29=1B.x 29+y 212=1C.x 212+y 29=1或x 29+y 212=1D.6.椭圆x 29+y 22=1的焦点为F 1,F 2,点P 在椭圆上.若|PF 1|=4,则|PF 2|= ,∠F 1PF 2的大小为 .|PF 1|+|PF 2|=6,且|PF 1|=4,知|PF 2|=2.在△PF 1F 2中,cos ∠F 1PF 2=|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|22|PF 1PF 2|=-12.故∠F 1PF 2=120°.120°7.已知F1,F2是椭圆C:x 2a +y2b=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上一点,且PF1⊥PF2.若△PF1F2的面积为9,则b=.,有|PF1|+|PF2|=2a,|PF1|·|PF2|=18,|PF1|2+|PF2|2=4c2,解得4c2+36=4a2,即a2-c2=9,故b=3.8.已知椭圆的两焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),并且经过点52,-32,求它的标准方程.椭圆的焦点在x轴上,∴可设标准方程为x 2a +y2b=1(a>b>0).∵2a=52+22+-322+52-22+-322=210,∴a=10,a2=10.∵c=2,∴c2=4,∴b2=a2-c2=6.故椭圆方程为x 210+y26=1.9.已知椭圆x 24+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交,一个交点为P,求|PF2|的长.F1的坐标为(-3,0).设P(-3,y),把P(-3,y)代入椭圆的方程中,得|y|=12,即|PF1|=12.根据椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=4,故|PF2|=4-|PF1|=4-12=72.。

§1 椭 圆1．1 椭圆及其标准方程授课提示：对应学生用书第31页一、椭圆的定义我们把平面内到两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的集合叫作椭圆．这两个定点F 1，F 2叫作椭圆的焦点，两焦点F 1，F 2间的距离叫作椭圆的焦距．二、椭圆的标准方程焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 标准方程 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0) y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0) 焦点坐标 (±c,0)(0，±c )a 、b 、c 的关系 a 2＝b 2＋c 2[疑难提示]求椭圆标准方程时应注意的问题(1)确定椭圆的标准方程包括“定位”和“定量”两个方面．“定位”是指确定椭圆与坐标系的相对位置，即在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；“定量”则是指确定a 2、b 2的具体数值，常用待定系数法．(2)当椭圆的焦点位置不明确(无法确定)求其标准方程时，可设方程为x 2m ＋y 2n ＝1(m >0，n >0且m ≠n )，从而避免讨论和繁杂的计算；也可设为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0且A ≠B )，这种形式在解题中较为方便．[练一练]1．已知在平面直角坐标系中，点A (－3,0)，B (3,0)，点P 为一动点，且|P A |＋|PB |＝2a (a ≥0)，给出下列说法：①当a ＝2时，点P 的轨迹不存在；②当a ＝4时，点P 的轨迹是椭圆，且焦距为3； ③当a ＝4时，点P 的轨迹是椭圆，且焦距为6； ④当a ＝3时，点P 的轨迹是以AB 为直径的圆． 其中正确的说法是__________(填序号)．解析：当a ＝2时，2a ＝4<|AB |，故点P 的轨迹不存在，①正确；当a ＝4时，2a ＝8>|AB |，故点P 的轨迹是椭圆，且焦距为|AB |＝6，②错误；③正确；当a ＝3时，点P 的轨迹为线段AB ，④错误．答案：①③2．若方程x 2k －5＋y 210－k ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是________．解析：由10－k >k －5>0，得5<k <152.答案：(5，152)授课提示：对应学生用书第31页探究一 椭圆的定义[典例1] 点M (x ，y )在运动过程中，总满足关系式x 2＋(y －1)2＋x 2＋(y ＋1)2＝4，点M 的轨迹是什么曲线？写出它的方程．[解析]x 2＋(y －1)2＋x 2＋(y ＋1)2＝4.即为(x －0)2＋(y －1)2＋(x －0)2＋(y ＋1)2＝4，设F 1(0，1)，F 2(0，－1)，则上式即为|MF 1|＋|MF 2|＝4，即动点M 到两定点F 1，F 2的距离之和为定值2a ＝4，且2a >|F 1F 2|＝2.∴点M 的轨迹是椭圆，且椭圆的焦点为F 1(0,1)和F 2(0，－1)．∴2c ＝2，c ＝1,2a ＝4，a ＝2. ∴点M 的轨迹方程为y 24＋x 23＝1.到两定点的距离之和是常数且必须大于两定点的距离的轨迹是椭圆．特别注意焦点的位置及a ，b ，c 的关系．1.已知椭圆C 上任意一点P (x ，y )都满足关系式(x －1)2＋y 2＋(x ＋1)2＋y 2＝4，则椭圆C 的标准方程为( )A.x 23＋y 24＝1 B.x 24＋y 23＝1 C.x 216＋y 215＝1 D.x 24＋y 2＝1 解析：由题设可知椭圆C 的焦点在x 轴上，且2a ＝4，c ＝1，故a ＝2，b 2＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.答案：B2．求焦点在坐标轴上，且过点A (2,0)和B ⎝⎛⎭⎫1，32的椭圆的标准方程． 解析：解法一 若焦点在x 轴上，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，依题意，有⎩⎨⎧4a 2＝1，1a 2＋34b 2＝1.解得a 2＝4，b 2＝1.若焦点在y 轴上，设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，同理⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，b 2＝4，这与a >b 矛盾．故所求椭圆方程为x 24＋y 2＝1.解法二 设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )． 将A ，B 坐标代入得⎩⎪⎨⎪⎧4m ＝1，m ＋34m ＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝14，n ＝1，故所求椭圆方程为x 24＋y 2＝1.探究二 椭圆定义的应用[典例2] 如图所示，已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，若点P 在第二象限，且∠PF 1F 2＝120°，求△PF 1F 2的面积．[解析] 由已知a ＝2，b ＝3，所以c ＝a 2－b 2＝4－3＝1，|F 1F 2|＝2c ＝2， 在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1|·|F 1F 2|cos 120°， 即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4＋2|PF 1|.① 由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝4， 即|PF 2|＝4－|PF 1|.② ②代入①解得|PF 1|＝65，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|F 1F 2|·sin 120°＝12×65×2×32＝3 35， 即△PF 1F 2的面积是35 3.椭圆上一点P 与椭圆的两焦点F 1、F 2构成的△F 1PF 2称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识．在求焦点三角形的面积时，若已知∠F 1PF 2，可利用S ＝12ab sin C ，把|PF 1|·|PF 2|看成一个整体，运用公式|PF 1|2＋|PF 2|2＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|及余弦定理求出|PF 1|·|PF 2|，而无需单独求出，这样可以减少运算量．3．点P 在椭圆 x 24＋y 2＝1上，且PF 1⊥PF 2，求S △PF 1F 2.解析：∵点P 在椭圆上，∴|PF 1|＋|PF 2|＝4， 即|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1||PF 2|＝16，又PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝12，∴|PF 1||PF 2|＝2，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|＝1.4.如图所示，已知经过椭圆x 225＋y 216＝1的右焦点F 2的直线AB 垂直于x 轴，交椭圆于A ，B 两点，F 1是椭圆的左焦点．(1)求△AF 1B 的周长．(2)如果直线AB 不垂直于x 轴，△AF 1B 的周长有变化吗？为什么？ 解析：(1)由题意知，A ，B 在椭圆x 225＋y 216＝1上，故有|AF 2|＋|AF 1|＝2a ＝10，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ＝10，|AF 2|＋|BF 2|＝AB ，∴△AF 1B 的周长＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝2a ＋2a ＝4a ＝4×5＝20.∴△AF 1B 的周长为20.(2)如果直线AB 不垂直于x 轴，△AF 1B 的周长仍为20不变，因为|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝4a 与直线AB 是否与x 轴垂直无关，所以△AF 1B 的周长没有变化．探究三 椭圆的标准方程及其应用椭程圆及的其标应准用方—⎪⎪⎪⎪—已知两个焦点坐标，求椭圆标准方程—已知椭圆经过两点，求椭圆标准方程—求与已知椭圆共焦点的椭圆方程—参数a ，b ，c 的范围问题5．写出适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)a ＝5，c ＝2；(2)经过P 1(6，1)，P 2(－3，－2)两点；(3)以椭圆9x 2＋5y 2＝45的焦点为焦点，且经过点M (2，6)． 解析：(1)由b 2＝a 2－c 2，得b 2＝25－4＝21. ∴椭圆的标准方程为x 225＋y 221＝1或y 225＋x 221＝1.(2)解法一 ①当焦点在x 轴上时，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．由已知，得⎩⎨⎧ 6a 2＋1b 2＝13a 2＋2b 2＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9b 2＝3， 即所求椭圆的标准方程是x 29＋y 23＝1.②当焦点在y 轴上时，设椭圆的标准方程为x 2b 2＋y 2a2＝1(a >b >0)，由已知，得⎩⎨⎧6b 2＋1a 2＝13b 2＋2a 2＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝9a 2＝3， 与a >b >0矛盾，此种情况不存在． 综上，所求椭圆的标准方程是x 29＋y 23＝1.解法二 由已知，设椭圆的方程是Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )，故⎩⎪⎨⎪⎧6A ＋B ＝13A ＋2B ＝1⇒⎩⎨⎧A ＝19B ＝13，即所求椭圆的标准方程是x 29＋y 23＝1.(3)解法一 方程9x 2＋5y 2＝45可化为x 25＋y 29＝1，则焦点是F 1(0,2)，F 2(0，－2)．设所求椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，∵点M 在椭圆上， ∴2a ＝|MF 1|＋|MF 2| ＝(2－0)2＋(6－2)2＋ (2－0)2＋(6＋2)2＝(23－2)＋(23＋2) ＝43，∴a ＝23，即a 2＝12， ∴b 2＝a 2－c 2＝12－4＝8，∴所求椭圆的标准方程为y 212＋x 28＝1.解法二 由题意，知焦点F 1(0,2)，F 2(0，－2)， 设所求椭圆的方程为y 2λ＋4＋x 2λ＝1(λ>0)，将x ＝2，y ＝6代入，得6λ＋4＋4λ＝1，解得λ＝8或λ＝－2(舍去)， ∴所求椭圆的标准方程为y 212＋x 28＝1.6.如图，已知定点A (－2,0)，动点B 是圆F ：(x －2)2＋y 2＝64上一点，线段AB 的垂直平分线交BF 于点P ，求动点P 的轨迹方程．解析：连接P A (图略)，圆F ：(x －2)2＋y 2＝64的圆心为F (2,0)，半径R ＝8. ∵线段AB 的垂直平分线交BF 于点P ，∴|P A |＝|PB |， ∴|P A |＋|PF |＝|PB |＋|PF |＝|BF |＝R ＝8>|AF |＝4. 由椭圆的定义，知点P 的轨迹是椭圆． 依题意，有2a ＝8，c ＝2，∴b 2＝12， ∴动点P 的轨迹方程为x 216＋y 212＝1.7．求以椭圆9x 2＋5y 2＝45的焦点为焦点，且经过点M (2，6)的椭圆标准方程． 解析：由9x 2＋5y 2＝45，得y 29＋x 25＝1， 其焦点为F 1(0,2)，F 2(0，－2)． 设所求椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，∵点M (2，6)在椭圆上，∴6a 2＋4b 2＝1.①又a 2－b 2＝4，②由②得a 2＝b 2＋4，代入①得b 4－6b 2－16＝0， 可解得b 2＝8或b 2＝－2(舍去)，所以a 2＝12. 故所求椭圆方程为y 212＋x 28＝1.求解椭圆问题的四种常见错误[典例] (1)设F 1(－4,0)，F 2(4,0)为定点，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝8，则动点M 的轨迹是( )A ．椭圆B ．直线C ．圆D ．线段(2)若方程x 27－k ＋y 2k －5＝1表示椭圆，则实数k 的取值范围是________．(3)已知椭圆的标准方程为x 225＋y 2m 2＝1(m >0)，并且焦距为6，则实数m 为________．[解析] (1)因为|MF 1|＋|MF 2|＝8＝|F 1F 2|， 所以动点M 的轨迹是线段F 1F 2. (2)由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧7－k >0，k －5>0，7－k ≠k －5，所以k ∈(5,6)∪(6,7)．(3)因为2c ＝6，所以c ＝3.当椭圆的焦点在x 轴上时，由椭圆的标准方程知a 2＝25，b 2＝m 2，由a 2＝b 2＋c 2，得25＝m 2＋9，所以m 2＝16，又m >0，故m ＝4.当椭圆的焦点在y 轴上时，由椭圆的标准方程知a 2＝m 2，b 2＝25，a 2＝b 2＋c 2，得m 2＝25＋9＝34，又m >0，故m ＝34.综上，实数m 的值为4或34.[答案] (1)D (2)(5,6)∪(6,7) (3)4或34[错因与防范] 在求解椭圆问题时，要注意以下四种常见错误： (1)忽略椭圆定义中的条件2a >|F 1F 2|；(2)忽略椭圆标准方程的隐含条件(a >0，b >0，a ≠b )； (3)主观认为焦点在x 轴上而忽略讨论焦点在y 轴上的情况； (4)忽略对方程加限制条件．莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。