第九章 第5讲 椭圆 配套课时作业

第5讲 椭圆基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距为2，则m 的值等于( ) A.5B.3C.5或3D.8解析 当m >4时，m －4＝1，∴m ＝5；当0<m <4时，4－m ＝1，∴m ＝3.答案 C2.“2<m <6”是“方程x 2m －2＋y 26－m ＝1表示椭圆”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解析 若x 2m －2＋y 26－m ＝1表示椭圆.则有⎩⎪⎨⎪⎧m －2>0，6－m >0，m －2≠6－m ，∴2<m <6且m ≠4.故“2<m <6”是“x 2m －2＋y 26－m ＝1表示椭圆”的必要不充分条件.答案 B 3.设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( ) A.36 B.13 C.12 D.33解析 在Rt △PF 2F 1中，令|PF 2|＝1，因为∠PF 1F 2＝30°，所以|PF 1|＝2，|F 1F 2|＝ 3.故e ＝2c 2a＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝33.故选D. 答案 D4.(2015·全国Ⅰ卷)已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝( )A.3B.6C.9D.12 解析 抛物线C ：y 2＝8x 的焦点坐标为(2，0)，准线方程为x ＝－2.从而椭圆E 的半焦距c ＝2.可设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，因为离心率e ＝c a ＝12，所以a ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝12.由题意知|AB |＝2b 2a ＝2×124＝6.故选B. 答案 B5.(2017·东阳调研)椭圆ax 2＋by 2＝1(a ＞0，b ＞0)与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则b a 的值为( ) A.32 B.233C.932D.2327 解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则ax 21＋by 21＝1，ax 22＋by 22＝1，即ax 21－ax 22＝－(by 21－by 22)，by 21－by 22ax 21－ax 22＝－1， b （y 1－y 2）（y 1＋y 2）a （x 1－x 2）（x 1＋x 2）＝－1，∴b a ×(－1)×32＝－1， ∴b a ＝233，故选B. 答案 B二、填空题6.(2017·宁波月考)焦距是8，离心率等于0.8.(1)若焦点在x 轴，则椭圆的标准方程为________；(2)若焦点在y 轴，则椭圆的标准方程为________.解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2c ＝8，c a＝0.8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，c ＝4， 又b 2＝a 2－c 2，∴b 2＝9，∴b ＝3. 当焦点在x 轴上时，椭圆方程为x 225＋y 29＝1， 当焦点在y 轴上时，椭圆方程为y 225＋x 29＝1. 答案 (1)x 225＋y 29＝1 (2)y 225＋x 29＝1 7.(2017·昆明质检)椭圆x 29＋y 225＝1上的一点P 到两焦点的距离的乘积为m ，当m 取最大值时，。

【与名师对话】2014年高考数学总复习 9-5 椭圆配套课时作业文 新人教A 版一、选择题1．(2012年东北四校高三模拟)已知方程x 22－k ＋y 22k －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 B ．(1，＋∞)C ．(1,2)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 解析：由题意可得，2k －1>2－k >0，即⎩⎪⎨⎪⎧2k －1>2－k ，2－k >0，解得1<k <2，故选C.答案：C2．(2012年甘肃兰州高三诊断)已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 212＋y 216＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是A ．2 3B ．4 3C ．8D ．16解析：由椭圆定义可知，△ABC 的周长等于4a ＝4×4＝16. 答案：D3．若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( )A ．1 B. 2 C ．2D ．2 2解析：设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则使三角形面积最大时，三角形在椭圆上的顶点为椭圆短轴端点，∴S ＝12×2c ×b ＝bc ＝1≤b 2＋c 22＝a 22.∴a 2≥2.∴a ≥ 2.∴长轴长2a ≥22，故选D. 答案：D4．设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，3b (其中c 为椭圆的半焦距)，若线段PF 1的中垂线恰好过点F 2，则椭圆离心率的值为A.33B.13C.12D.22解析：由题意，|PF 2|＝|F 1F 2|，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫c －a 2c 2＋(3b )2＝(2c )2.又b 2＝a 2－c 2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫c －a 2c 2＋3(a 2－c 2)＝(2c )2.整理得6e 4－e 2－1＝0，∴(2e 2－1)(3e 2＋1)＝0.∴2e 2－1＝0，e ＝22. 答案：D5．已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，N (2,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线解析：点P 在线段AN 的垂直平分线上，故|PA |＝|PN |.又AM 是圆的半径，∴|PM |＋|PN |＝|PM |＋|PA |＝|AM |＝6>|MN |，由椭圆定义知，P 的轨迹是椭圆．答案：B6．(2013年西安质检)若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8解析：由题意得F (－1,0)，设点P (x 0，y 0)，则y 2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204(－2≤x 0≤2)，OP →·FP →＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝x 20＋x 0＋y 20＝x 20＋x 0＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204＝14(x 0＋2)2＋2， 当x 0＝2时，OP →·FP →取得最大值为6. 答案：C 二、填空题7．已知F 1(－4,0)，F 2(4,0)，至F 1，F 2两点的距离之和等于8的点的轨迹是________． 解析：由椭圆定义知，当定常数等于两定点距离时点的轨迹为线段．答案：线段F 1F 28．设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为________．解析：由椭圆定义|PM |＋|PF 1|＝|PM |＋2×5－|PF 2|，而|PM |－|PF 2|≤|MF 2|＝5，所以|PM |＋|PF 1|≤2×5＋5＝15.答案：159．(2012年兰州诊断)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M ，若MF 1垂直于x 轴，则椭圆的离心率为________．解析：不妨设|F 1F 2|＝1， ∵直线MF 2的倾斜角为120°， ∴∠MF 2F 1＝60°.∴|MF 2|＝2，|MF 1|＝3，2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝2＋3，2c ＝|F 1F 2|＝1. ∴e ＝ca＝2－ 3. 答案：2－ 3 三、解答题10．根据下列条件求椭圆的标准方程：(1)已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为435和235，过P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点；(2)经过两点A (0,2)和B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3. 解：(1)设椭圆的标准方程是x 2a 2＋y 2b 2＝1或y 2a 2＋x 2b2＝1，则由题意知2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝25，∴a ＝ 5.在方程x 2a 2＋y 2b 2＝1中令x ＝±c 得|y |＝b 2a在方程y 2a 2＋x 2b 2＝1中令y ＝±c 得|x |＝b 2a依题意并结合图形知b 2a ＝23 5.∴b 2＝103.即椭圆的标准方程为x 25＋3y 210＝1或y 25＋3x 210＝1.(2)设经过两点A (0,2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3的椭圆标准方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )，代入A 、B 得⎩⎪⎨⎪⎧ 4n ＝114m ＋3n ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1n ＝14，∴所求椭圆方程为x 2＋y 24＝1. 11．(2012年安徽)如图，F 1、F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.(1)求椭圆C 的离心率；(2)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值． 解：(1)由题意可知，△AF 1F 2为等边三角形，a ＝2c ， 所以e ＝12.(2)法一：a 2＝4c 2，b 2＝3c 2， 直线AB 的方程为：y ＝－3(x －c )． 将其代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12c 2， 得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫85c ，－335c .所以|AB |＝1＋3·85c －0＝165c .由S △AF 1B ＝12|AF 1|·|AB |sin ∠F 1AB ＝12a ·165c ·32＝＝43ac 5＝235a 2＝403，解得a＝10，b ＝5 3.法二：设|AB |＝t .因为|AF 2|＝a ，所以|BF 2|＝t －a . 由椭圆定义|BF 1|＋|BF 2|＝2a 可知， |BF 1|＝3a －t .再由余弦定理得(3a －t )2＝a 2＋t 2－2at cos 60°，解得t ＝85a .由S △AF 1B ＝12a ·85a ·32＝235a 2＝403知，a ＝10，b ＝5 3.12．(2012年湖南)在直角坐标系xOy 中，已知中心在原点，离心率为12的椭圆E 的一个焦点为圆C ：x 2＋y 2－4x ＋2＝0的圆心．(1)求椭圆E 的方程；(2)设P 是椭圆E 上一点，过P 作两条斜率之积为12的直线l 1，l 2.当直线l 1，l 2都与圆C相切时，求P 的坐标．解：(1)由x 2＋y 2－4x ＋2＝0得(x －2)2＋y 2＝2，故圆C 的圆心为点(2,0)．从而可设椭圆E 的方程为x 2a ＋y 2b ＝1(a >b >0)，其焦距为2c .由题设知c ＝2，e ＝c a ＝12.所以a ＝2c ＝4，b 2＝a 2－c 2＝12. 故椭圆E 的方程为x 216＋y 212＝1. (2)设点P 的坐标为(x 0，y 0)，l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2. 则l 1，l 2的方程分别为l 1：y －y 0＝k 1(x －x 0)，l 2：y －y 0＝k 2(x －x 0)，且k 1k 2＝12.由l 1与圆C ：(x －2)2＋y 2＝2相切得 |2k 1＋y 0－k 1x 0|k 21＋1＝2，即[(2－x 0)2－2]k 21＋2(2－x 0)y 0k 1＋y 20－2＝0. 同理可得[(2－x 0)2－2]k 22＋2(2－x 0)y 0k 2＋y 20－2＝0. 从而k 1，k 2是方程[(2－x 0)2－2]k 2＋2(2－x 0)y 0k ＋y 20－2＝0的两个实根，于是⎩⎪⎨⎪⎧－x 02－2≠0，Δ＝－x 02＋y 20－2]>0，①且k 1k 2＝y 20－2－x 02－2＝12. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2016＋y 2012＝1，y 2－2－x 02－2＝12得5x 20－8x 0－36＝0，解得x 0＝－2，或x 0＝185.由x 0＝－2得y 0＝±3；由x 0＝185得y 0＝±575，它们均满足①式．故点P 的坐标为(－2,3)，或(－2，－3)，或⎝ ⎛⎭⎪⎫185，575，或⎝ ⎛⎭⎪⎫185，－575.[热点预测]13．(2012年安徽名校模拟)(1)方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的椭圆的左顶点为A ，左、右焦点分别为F 1、F 2，D 是它短轴上的一个端点，若3DF 1→＝DA →＋2DF 2→，则该椭圆的离心率为A.12B.13C.14D.15(2)(2013届安徽省示范高中高三摸底考试)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为A ，在x 轴负半轴上有一点B ，满足BF 1→＝F 1F 2→，AB ⊥AF 2.①求椭圆C 的离心率；②D 是过A ，B ，F 2三点的圆上的点，D 到直线l ：x －3y －3＝0的最大距离等于椭圆长轴的长，求椭圆C 的方程．解析：(1)设点D (0，b )，则DF 1→＝(－c ，－b )，DA →＝(－a ，－b )，DF 2→＝(c ，－b )，由3DF 1→＝DA →＋2DF 2→得－3c ＝－a ＋2c ，即a ＝5c ，故e ＝15.(2)①设B (x 0,0)，由F 2(c,0)，A (0，b )， 知AF 2→＝(c ，－b )，AB →＝(x 0，－b )∵AF 2→⊥AB →，∴cx 0＋b 2＝0，x 0＝－b 2c，由BF 1→＝F 1F 2→知F 1为BF 2中点，故－b 2c＋c ＝－2c∴b 2＝3c 2＝a 2－c 2，即a 2＝4c 2，故椭圆C 的离心率e ＝12②由(1)知c a ＝12，得c ＝12a ，于是F 2(12a,0)，B (－32a,0)，△ABF 的外接圆圆心为F 1(－12a,0)，半径r ＝a ，D 到直线l ：x －3y －3＝0的最大距离等于2a ，所以圆心到直线的距离为a ，所以|－12a －3|2＝a ，解得a ＝2，∴c ＝1，b ＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.答案：(1)D (2)见解析。

第五节椭圆
组基础题组
.已知方程表示焦点在轴上的椭圆,则实数的取值范围是( )
.(∞).().
.(黑龙江齐齐哈尔一中期末)已知椭圆的焦点在轴上,离心率为,直线与轴的交点为椭圆的一个顶点,则椭圆的方程为( )
.矩形中,则以为焦点,且过两点的椭圆的短轴的长为( )
.设椭圆的焦点为,点在椭圆上,若△是直角三角形,则△的面积为( )
或或
.已知椭圆(<<)的左,右焦点分别为,过的直线交椭圆于两点,若的最大值为,则的值是( )
.
.已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,离心率为,且过点(),则椭圆的标准方程为.
.已知椭圆的中心在原点,一个焦点为(),且长轴长与短轴长的比是∶,则椭圆的方程是.
.椭圆的左,右焦点分别为,点在椭圆上,若,则∠的大小为.
.已知椭圆的两焦点为()(),离心率.
()求此椭圆的方程;
()设直线,若与此椭圆相交于两点,且等于椭圆的短轴长,求的值.
.已知椭圆(>>)分别为椭圆的左,右焦点为椭圆的上顶点,直线交椭圆于另一点.
()若∠°,求椭圆的离心率;
()若,·,求椭圆的方程.
组提升题组
.已知椭圆的左,右焦点分别为,椭圆上的点满足⊥.若点是椭圆上的动点,则·的最大值为( )
.
.如图,已知椭圆的中心为原点()为的左焦点为上一点,满足,且,则椭圆的方程为( )。

高二数学课时作业§ 1.2《椭圆的简单几何性质》一．单选题1.椭圆22449196x y +=的长轴长、短轴长、离心率依次是（）A．7,2,7B．14,4,7C．7,2,7D．14,4,72.椭圆221259x y +=与椭圆221(09)925x y k k k+=<<--的关系为（）A ．有相同的长轴长与短轴长B ．有相同的焦距C ．有相同的焦点D ．有相同的离心率3.已知椭圆+=经过点s ，则+的取值范围是（）A ．sB ．sC ．s +∞D ．s4.若椭圆的中心在原点，对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三）A ．221129x y +=B ．221129x y +=或221912x y +=C ．D ．5.已知椭圆E 的左焦点为F ，E上关于原点对称的两点A、B ，若BFAF的最小值为12，则E 的离心率为（）A．3B ．2C D ．136.设椭圆()2210,0x y m n m n+=>>的离心率为e ，则“2e =”是“4=m n ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二．多选题7.已知椭圆22143x y +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 1与过F 2的直线l 2交于点M ，设M 的坐标为，若，则下列结论正确的有（）A ．2200143x y +<B ．2200143x y +>C ．2200431x y +<D ．2200431x y +>8.已知椭圆22:1(08)8x y C m m +=<<，焦点为12,F F ，则（）A ．C 的短轴长为4B ．C 上存在点P ，使得12PF PF ⊥22139x y +=221912x y +=()00,y x 21l l ⊥C ．C 上存在点P ，使得21PF PF ⋅=D ．C 4重合三．填空题9.设椭圆()222210,0x y m n m n+=>>的一个焦点为()0,2，离心率为12，则此椭圆的方程为．10.已知椭圆C ：22221(0,0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则椭圆C 的离心率为．四.解答题11.已知椭圆22154x y +=.(1)求椭圆的长轴长，短轴长及离心率；(2)求与椭圆22154x y +=有相同的焦点，且过点⎭的椭圆的标准方程．12.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点2M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1F 、2F 是椭圆C 的左、右两个焦点，12F F =P 是椭圆C 上的一个动点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若点P 在第一象限，且1214PF PF ⋅≤，求点P 的横坐标的取值范围．。

椭圆课时作业1．若椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为( )A ．12B ．33 C ．22D ．24答案 C解析 因为椭圆的短轴长等于焦距，所以b ＝c ，所以a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，所以e ＝c a ＝22，故选C ．2．已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1，长轴在y 轴上，若焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．5C ．7D ．8答案 D解析 椭圆焦点在y 轴上，∴a 2＝m －2，b 2＝10－m .又c ＝2，∴m －2－(10－m )＝c 2＝4.∴m ＝8.3．(2019·杭州模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A ．x 23＋y 22＝1B ．x 23＋y 2＝1C ．x 212＋y 28＝1 D ．x 212＋y 24＝1 答案 A解析 由题意及椭圆的定义知4a ＝43，则a ＝3，又c a＝c3＝33，∴c ＝1，∴b 2＝2，∴C 的方程为x 23＋y 22＝1.选A ．4．椭圆x 225＋y 29＝1上一点M 到焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |等于( )A ．2B ．4C ．8D ．32答案 B解析 |ON |＝12|MF 2|＝12×(2a －|MF 1|)＝12×(10－2)＝4，故选B ．5．(2019·河南豫北联考)已知点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，22是椭圆x 2a 2＋y 2＝1(a >1)上的点，A ，B 是椭圆的左、右顶点，则△PAB 的面积为( )A ．2B ．24C ．12 D ．1答案 D解析 由题可得1a 2＋12＝1，∴a 2＝2，解得a ＝2(负值舍去)，则S △PAB ＝12×2a ×22＝1，故选D ．6．(2019·吉林长春模拟)椭圆x 22＋y 2＝1的两个焦点分别是F 1，F 2，点P 是椭圆上任意一点，则·的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．[－1,0]C ．[0,1]D ．[－1,2]答案 C解析 由椭圆方程得F 1(－1,0)，F 2(1,0)，设P (x ，y )，∴＝(－1－x ，－y )，＝(1－x ，－y )，则·＝x 2＋y 2－1＝x 22∈[0,1]，故选C ．7．(2019·湖南郴州模拟)设e 是椭圆x 24＋y 2k ＝1的离心率，且e ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则实数k 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．⎝⎛⎭⎪⎫3，163C ．(0,3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫163，＋∞D ．(0,2)答案 C解析 当k >4时，c ＝k －4，由条件知14<k －4k <1，解得k >163；当0<k <4时，c ＝4－k ，由条件知14<4－k4<1，解得0<k <3.故选C ．8．若椭圆x 236＋y 29＝1的弦被点(4,2)平分，则此弦所在直线的斜率是( )A ．2B ．－2C ．13D ．－12答案 D解析 设弦的端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋4y 21＝36，x 22＋4y 22＝36，整理，得x 21－x 22＝－4(y 21－y 22)，∴此弦的斜率为y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 2－4(y 1＋y 2)＝－12，则此直线的斜率为－12. 9．(2020·甘肃联考)设A ，B 是椭圆C ：x 212＋y 22＝1的两个焦点，点P 是椭圆C 与圆M ：x 2＋y 2＝10的一个交点，则||PA |－|PB ||＝( )A ．2 2B ．4 3C ．4 2D ．6 2答案 C解析 由题意知，A ，B 恰好在圆M 上且AB 为圆M 的直径，∴|PA |＋|PB |＝2a ＝43，|PA |2＋|PB |2＝(2c )2＝40，∴(|PA |＋|PB |)2＝|PA |2＋|PB |2＋2|PA ||PB |，解得2|PA ||PB |＝8，∴(|PA |－|PB |)2＝|PA |2＋|PB |2－2|PA ||PB |＝32，则||PA |－|PB ||＝42，故选C ．10．(2020·西安摸底检测)设AB 是椭圆的长轴，点C 在椭圆上，且∠CBA ＝π4，若AB ＝4，BC ＝2，则椭圆的两个焦点之间的距离为( )A ．463B ．263C ．433D ．233答案 A解析 不妨设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，如图，由题意知，2a ＝4，a ＝2，∵∠CBA ＝π4，BC ＝2，∴点C 的坐标为(－1,1)，∵点C 在椭圆上，∴14＋1b 2＝1，∴b 2＝43，∴c 2＝a 2－b 2＝4－43＝83，c ＝263，则椭圆的两个焦点之间的距离为463.11．(2019·山西八校联考)椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，弦AB 过F 1，若△ABF 2的内切圆周长为π，A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则|y 1－y 2|的值为( )A ．53 B ．103C ．203D ．53答案 A解析 在椭圆x 225＋y 216＝1中，a ＝5，b ＝4，所以c ＝3.故椭圆左、右焦点分别为F 1(－3,0)，F 2(3,0)．由△ABF 2的内切圆周长为π，可得内切圆的半径为r ＝12.△ABF 2的面积＝△AF 1F 2的面积＋△BF 1F 2的面积＝12|y 1|·|F 1F 2|＋12|y 2|·|F 1F 2|＝12(|y 1|＋|y 2|)·|F 1F 2|＝3|y 1－y 2|(A ，B 在x轴的上下两侧)，又△ABF 2的面积＝12r (|AB |＋|BF 2|＋|F 2A |)＝12×12(2a ＋2a )＝a ＝5，所以3|y 1－y 2|＝5，即|y 1－y 2|＝53.12．(2019·湖北八校联考)如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，F (－5，0)为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足|OP |＝|OF |且|PF |＝6，则椭圆C 的方程为( )A ．x 236＋y 216＝1B ．x 240＋y 215＝1C ．x 249＋y 224＝1 D ．x 245＋y 220＝1 答案 C解析 由题意可得c ＝5，设右焦点为F ′，连接PF ′，由|OP |＝|OF |＝|OF ′|＝12|FF ′|知，∠FPF ′＝90°，即PF ⊥PF ′.在Rt △PFF ′中，由勾股定理，得|PF ′|＝|FF ′|2－|PF |2＝102－62＝8，由椭圆定义，得|PF |＋|PF ′|＝2a ＝6＋8＝14，从而a ＝7，得a 2＝49，于是b 2＝a 2－c 2＝72－52＝24，所以椭圆C 的方程为x 249＋y 224＝1，故选C ．13．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．答案33解析 设|PF 2|＝m ，∵PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，∴|PF 1|＝2m ，|F 1F 2|＝3m .又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|F 1F 2|＝2c .∴2a ＝3m,2c ＝3m ，∴C 的离心率为e ＝c a ＝33. 14．(2019·全国卷Ⅲ)设F 1，F 2为椭圆C ：x 236＋y 220＝1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若△MF 1F 2为等腰三角形，则M 的坐标为________.答案 (3，15)解析 设F 1为椭圆的左焦点，分析可知M 在以F 1为圆心、焦距为半径的圆上，即在圆(x ＋4)2＋y 2＝64上．因为点M 在椭圆x 236＋y 220＝1上，所以联立方程可得⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋4)2＋y 2＝64，x 236＋y 220＝1，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝±15.又因为点M 在第一象限，所以点M 的坐标为(3，15)．15．(2019·浙江高考)已知椭圆x 29＋y 25＝1的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方．若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，|OF |为半径的圆上，则直线PF 的斜率是________．答案15解析 如图，左焦点F (－2,0)，右焦点F ′(2,0)．线段PF 的中点M 在以O (0,0)为圆心，2为半径的圆上，因此OM ＝2. 在△FF ′P 中，OM 12PF ′， 所以PF ′＝4.根据椭圆的定义，得PF ＋PF ′＝6，所以PF ＝2. 又因为FF ′＝4， 所以在Rt △MFF ′中，tan ∠PFF ′＝MF ′MF ＝FF ′2－MF 2MF＝15，即直线PF 的斜率是15.16．(2020·南充模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点为(3，0)，A 为椭圆C的右顶点，以A 为圆心的圆与直线y ＝b ax 相交于P ，Q 两点，且·＝0，＝3，则椭圆C 的标准方程为________，圆A 的标准方程为________．答案x 24＋y 2＝1 (x －2)2＋y 2＝85解析 如图，设T 为线段PQ 的中点，连接AT ，则AT ⊥PQ .∵·＝0，即AP ⊥AQ ， ∴|AT |＝12|PQ |.又＝3， ∴|OT |＝|PQ |. ∴|AT ||OT |＝12，即b a ＝12. 由已知得半焦距c ＝3，∴a 2＝4，b 2＝1， 故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.又|AT |2＋|OT |2＝4， ∴|AT |2＋4|AT |2＝4，∴|AT |＝255，r ＝|AP |＝2105.∴圆A 的方程为(x －2)2＋y 2＝85.17．(2019·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为C 上的点，O 为坐标原点．(1)若△POF 2为等边三角形，求C 的离心率；(2)如果存在点P ，使得PF 1⊥PF 2，且△F 1PF 2的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围． 解 (1)连接PF 1.由△POF 2为等边三角形可知在△F 1PF 2中，∠F 1PF 2＝90°，|PF 2|＝c ，|PF 1|＝3c ，于是2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(3＋1)c ，故C 的离心率为e ＝ca＝3－1.(2)由题意可知，满足条件的点P (x ，y )存在当且仅当 12|y |·2c ＝16，y x ＋c ·y x －c ＝－1，x 2a 2＋y 2b 2＝1， 即c |y |＝16，①x 2＋y 2＝c 2，② x 2a 2＋y 2b 2＝1.③ 由②③及a 2＝b 2＋c 2得y 2＝b 4c2.又由①知y 2＝162c2，故b ＝4.由②③及a 2＝b 2＋c 2得x 2＝a 2c2(c 2－b 2)，所以c 2≥b 2，从而a 2＝b 2＋c 2≥2b 2＝32，故a ≥4 2. 当b ＝4，a ≥42时，存在满足条件的点P . 所以b ＝4，a 的取值范围为[42，＋∞)．18．(2019·成都一诊)已知椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点为F ，设直线l ：x ＝5与x 轴的交点为E ，过点F 且斜率为k 的直线l 1与椭圆交于A ，B 两点，M 为线段EF 的中点．(1)若直线l 1的倾斜角为π4，求|AB |的值；(2)设直线AM 交直线l 于点N ，证明：直线BN ⊥l . 解 由题意知，F (1,0)，E (5,0)，M (3,0)． (1)∵直线l 1的倾斜角为π4，∴斜率k ＝1.∴直线l 1的方程为y ＝x －1.代入椭圆方程，可得9x 2－10x －15＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝109，x 1x 2＝－53.∴|AB |＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 1 ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1092＋4×53＝1659.(2)证明：设直线l 1的方程为y ＝k (x －1)． 代入椭圆方程，得(4＋5k 2)x 2－10k 2x ＋5k 2－20＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝10k 24＋5k 2，x 1x 2＝5k 2－204＋5k 2.设N (5，y 0)，∵A ，M ，N 三点共线， ∴－y 13－x 1＝y 02，∴y 0＝2y 1x 1－3. 而y 0－y 2＝2y 1x 1－3－y 2＝2k (x 1－1)x 1－3－k (x 2－1) ＝3k (x 1＋x 2)－kx 1x 2－5kx 1－3＝3k ·10k 24＋5k 2－k ·5k 2－204＋5k 2－5k x 1－3＝0.∴直线BN ∥x 轴，即直线BN ⊥l .19．(2019·广东广州联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦距为26，且过点A (2,1)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若不经过点A 的直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于P ，Q 两点，且直线AP 与直线AQ 的斜率之和为0，证明：直线PQ 的斜率为定值．解 (1)因为椭圆C 的焦距为26，且过点A (2,1)， 所以4a 2＋1b2＝1,2c ＝2 6.又因为a 2＝b 2＋c 2，由以上三式解得a 2＝8，b 2＝2， 所以椭圆C 的方程为x 28＋y 22＝1.(2)证明：设点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1≠x 2≠2， 则y 1＝kx 1＋m ，y 2＝kx 2＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 28＋y22＝1，消去y 并整理，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－8＝0， 则x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－84k 2＋1.因为k AP ＋k AQ ＝0，所以y 1－1x 1－2＝－y 2－1x 2－2， 化简得x 1y 2＋x 2y 1－(x 1＋x 2)－2(y 1＋y 2)＋4＝0. 即2kx 1x 2＋(m －1－2k )(x 1＋x 2)－4m ＋4＝0. 所以2k (4m 2－8)4k 2＋1－8km (m －1－2k )4k 2＋1－4m ＋4＝0， 整理得(2k －1)(m ＋2k －1)＝0. 因为直线l 不经过点A ， 所以2k ＋m －1≠0，所以k ＝12.所以直线PQ 的斜率为定值，该值为12.20．(2019·天津高考)设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B ．已知椭圆的短轴长为4，离心率为55. (1)求椭圆的方程；(2)设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上，若|ON |＝|OF |(O 为原点)，且OP ⊥MN ，求直线PB 的斜率．解 (1)设椭圆的半焦距为c ，依题意，2b ＝4，c a ＝55，又a 2＝b 2＋c 2，可得a ＝5，b ＝2，c ＝1.所以，椭圆的方程为x 25＋y 24＝1.(2)由题意，设P (x P ，y P )(x P ≠0)，M (x M,0)，直线PB 的斜率为k (k ≠0)，因为B (0,2)，则直线PB 的方程为y ＝kx ＋2，与椭圆方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 25＋y24＝1，整理得(4＋5k 2)x 2＋20kx ＝0， 可得x P ＝－20k4＋5k2，代入y ＝kx ＋2得y P ＝8－10k24＋5k2，进而直线OP 的斜率为y P x P ＝4－5k 2－10k.在y ＝kx ＋2中，令y ＝0，得x M ＝－2k.由题意得N (0，－1)，所以直线MN 的斜率为－k2.由OP ⊥MN ，得4－5k 2－10k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2＝－1，化简得k 2＝245，从而k ＝±2305.所以直线PB 的斜率为2305或－2305.附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。

2.2.2椭圆的简单几何性质（二）1．椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点到直线y ＝3x 的距离是( )A.12B.32C ．1 D.3 解析：选B.由x 24＋y 23＝1得右焦点为(1,0)．则右焦点到直线y ＝3x 的距离：d ＝|3×1－0|3＋1＝32. 2．过椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于A 、B 两点，则|AB |＝( )A ．4B ．2 3C ．1D ．43解析：选C.∵x 24＋y 2＝1中a 2＝4，b 2＝1，∴c 2＝3，∴右焦点坐标F (3，0)，将x ＝3代入x 24＋y 2＝1得，y ＝±12， 故|AB |＝1.3．椭圆y 225＋x 29＝1上的点P 到上焦点的距离的最值为( )A ．最大值为5，最小值为4B ．最大值为10，最小值为8C ．最大值为10，最小值为6D ．最大值为9，最小值为1 解析：选D. a ＝5，b ＝3，c ＝4.∴P 到上焦点的距离的最大值为a ＋c ＝9，最小值为a －c ＝1. 4．直线y ＝x ＋1被椭圆x 24＋y 22＝1所截得的弦的中点坐标是( )A ．(23，53)B ．(43，73)C ．(－23，13)D ．(－132，－172)解析：选C.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1x 2＋2y 2＝4，消去y ，得3x 2＋4x －2＝0， 设弦的两端点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，中点坐标为(x 中，y 中)，则x 1＋x 2＝－43，∴x 中 ＝－23.从而y 中＝x 中＋1＝－23＋1＝13，∴中点坐标为(－23，13)．5．在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为2c ，以点O 为圆心，a 为半径作圆．若过点P (a 2c ，0)作圆的两条切线互直垂直，则该椭圆的离心率为( )A.32 B.22 C.13 D.12解析：选B.如下图，切线P A 、PB 互相垂直，又OA ⊥P A ，OB ⊥PB ，易知四边形OAPB 是正方形，∴△OAP 是等腰直角三角形，故a 2c ＝2a ，解得e ＝c a ＝22.6．已知椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ≥2b >0)，则椭圆C 的离心率的取值范围是________．解析：离心率e ＝c 2a 2＝ a 2－b 2a 2＝ 1－b 2a 2.∵a ≥2b ，∴0<b a ≤12， ∴e ＝ 1－b 2a 2≥ 1－14＝32，又0<e <1，∴e ∈[32，1)． 答案：[32，1) 7．椭圆x 23＋y 2＝1被直线x －y ＋1＝0 所截得的弦长|AB |＝__________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0x 23＋y 2＝1得交点为(0,1)，⎝⎛⎭⎫－32，－12，则|AB |＝ ⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫1＋122＝322. 答案：3228．F 1，F 2是椭圆x 22＋y 2＝1的两个焦点，过F 2作倾斜角为π4的弦AB ，则△F 1AB 的面积为________．解析：不妨设椭圆的右焦点为F 2(1,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则直线AB 的方程为y ＝x －1. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1x 22＋y 2＝1，得3x 2－4x ＝0，∴x 1＝0，x 2＝43.根据弦长公式得|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝423. 椭圆的左焦点为F 1(－1,0)到直线AB 的距离d ＝|－1－0－1|1＋1＝2，∴S △F 1AB ＝12d |AB |＝12×2×423＝43.答案：439．已知椭圆x 28＋y 22＝1过点M (2,1)，O 为坐标原点，平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为m (m ≠0)．(1)当m ＝3时，判断直线l 与椭圆的位置关系；(2)当m ＝3时，P 为椭圆上的动点，求点P 到直线l 距离的最小值．解：(1)由题可知k l ＝k OM ＝12，当m ＝3时，直线l 的方程为y ＝12x ＋3.由⎩⎨⎧y ＝12x ＋3x 28＋y22＝1，得x 2＋6x ＋14＝0.∵Δ＝36－4×14＝－20<0，∴原方程组无解，即直线l 和椭圆无交点， 此时直线l 和椭圆相离．(2)设直线a 与直线l 平行，且直线a 与椭圆相切，设直线a 的方程为y ＝12x ＋b ，联立⎩⎨⎧y ＝12x ＋b x 28＋y22＝1，得x 2＋2bx ＋2b 2－4＝0，∴Δ＝(2b )2－4(2b 2－4)＝0，解得b ＝±2，∴直线a 的方程为y ＝12x ±2.所求P 到直线l 的最小距离等于直线l 到直线y ＝12x ＋2的距离d ＝3－212＋122＝255.10．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，椭圆与直线x ＋2y ＋8＝0相交于P 、Q 两点，且|PQ |＝10，求椭圆方程．解：∵e ＝32，∴c a ＝32，∴c 2a 2＝34，∴b 2＝14a 2，∴椭圆方程为x 2＋4y 2＝a 2，将x ＋2y ＋8＝0代入x 2＋4y 2＝a 2消去y 得2x 2＋16x ＋64－a 2＝0， 由Δ＝162－4×2×(64－a 2)>0得a 2>32，由弦长公式得10＝54[64－2(64－a 2)]．解之得a 2＝36，b 2＝9，∴椭圆方程为x 236＋y 29＝1.能力提升1．若点(x ，y )在椭圆4x 2＋y 2＝4上，则yx －2的最小值为( )A ．1B ．－1C ．－233 D ．以上都不对解析：选C.y x －2表示椭圆上的点(x ，y )与定点(2,0)连线的斜率．不妨设yx －2＝k ，则过定点(2,0)的直线方程为y ＝k (x －2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －24x 2＋y 2＝4，得(k 2＋4)x 2－4k 2x ＋4k 2－4＝0.令Δ＝(－4k 2)2－4(k 2＋4)·(4k 2－4)＝0，得k ＝±233，∴k min ＝－233，即y x －2的最小值为－23 3.2．已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为________．解析：由题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－4＝1，联立直线与椭圆方程，由Δ＝0得a ＝7.故长轴长为27. 答案：273．求椭圆x 23＋y 2＝1上的点到直线x －y ＋6＝0的距离的最小值．解：设与直线x －y ＋6＝0平行且与椭圆x 23＋y 2＝1相切的直线方程为 x －y ＋m ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 2＝1x －y ＋m ＝0，得4x 2＋6mx ＋3m 2－3＝0，∴Δ＝36m 2－16(3m 2－3)＝0， 解得m ＝2或m ＝－2，显然与直线x －y ＋6＝0距离最近的直线为x －y ＋2＝0， 所以所求最小距离为d ＝|6－2|2＝2 2.4．在平面直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0，3)、(0，－3)的距离之和等于4.设点P 的轨迹为C .(1)写出C 的方程；(2)设直线y ＝kx ＋1与C 交于A 、B 两点，k 为何值时OA →⊥OB →？此时|AB →|的值是多少？ 解：(1)设P (x ，y )，由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(0，－3)，(0，3)为焦点，长半轴为a ＝2的椭圆，它的短半轴b ＝22－32＝1，故曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1y ＝kx ＋1，消去y 并整理得(k 2＋4)x 2＋2kx －3＝0，Δ＝(2k )2－4×(k 2＋4)×(－3)＝16(k 2＋3)>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2k k 2＋4，x 1x 2＝－3k 2＋4.由OA →⊥OB →，得x 1x 2＋y 1y 2＝0.而y 1y 2＝(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1，于是x 1x 2＋y 1y 2＝－3k 2＋4－3k 2k 2＋4－2k 2k 2＋4＋1＝－4k 2＋1k 2＋4.由－4k 2＋1k 2＋4＝0，得k ＝±12，此时OA →⊥OB →.当k ＝±12时，x 1＋x 2＝∓417，x 1x 2＝－1217.|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝1＋k 2x 2－x 12，而(x 2－x 1)2＝(x 2＋x 1)2－4x 1x 2＝42172＋4×1217＝42×52172， 所以|AB →|＝46517.。

2020年高中数学 课时作业本椭圆的标准方程1.已知椭圆C ：＋=1(a>b>0)，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标x2a2y2b2准方程为( )A ．＋=1B ．＋=1C ．＋=1D ．＋=1x236y232x29y28x29y25x216y2122.已知椭圆C ：＋=1的一个焦点为(2，0)，则C 的离心率为( )x2a2y24A ．B ．C ．D ．1312222233.已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则C 的方程是( )12A ．＋=1B ．＋=1C ．＋=1D ．＋y 2=1x23y24x24y23x24y23x244.已知圆(x ＋2)2＋y 2=36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，且点N(2，0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线5.椭圆25x 2＋16y 2=1的焦点坐标是________.6.已知方程(k 2－1)x 2＋3y 2=1是焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是________.7.已知F 1，F 2为椭圆＋=1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点.若|F 2A|＋|F 2B|=12，x225y29则|AB|=________.8.已知P 为椭圆＋=1上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，∠F 1PF 2=60°，则△F 1PF 2的面积为x2254y275________.9.求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)以(0,5)和(0，－5)为焦点，且椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为26；(2)以椭圆9x 2＋5y 2=45的焦点为焦点，且经过M(2，).610.如图，设点P 是圆x 2＋y 2=25上的动点，点D 是点P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且MD=45PD ，当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程.答案解析1.答案为：B ；解析：椭圆长轴长为6，即2a =6，得a =3，∵两焦点恰好将长轴三等分，∴2c =·2a =2，得c =1，因此，b 2=a 2－c 2=9－1=8，13∴此椭圆的标准方程为＋=1．故选B ．x29y282.答案为：C ；解析：根据题意，可知c =2，因为b 2=4，所以a 2=b 2＋c 2=8，即a =2，2所以椭圆C 的离心率为e ==．故选C ．222223.答案为：C ；解析：依题意，所求椭圆的焦点位于x 轴上，且c =1，e =⇒a =2，b 2=a 2－c 2=3，因此其方c a程是＋=1，故选C ．x24y234.答案为：B ；解析：点P 在线段AN 的垂直平分线上，故|PA|=|PN|，又AM 是圆的半径，所以|PM|＋|PN|=|PM|＋|PA|=|AM|=6>|MN|，由椭圆定义知，动点P 的轨迹是椭圆．故选B ．5.答案为：(0，±320)解析：椭圆的标准方程为＋=1，故焦点在y 轴上，其中a 2=，b 2=，x2125y2116116125所以c 2=a 2－b 2=－=，故c=.所以该椭圆的焦点坐标为.1161259400320(0，±320)6.答案为：(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析：方程(k 2－1)x 2＋3y 2=1可化为＋=1.x21k2－1y213由椭圆焦点在y 轴上，得Error!解之得k>2或k<－2.7.答案为：8解析：由题意，知(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)=|AB|＋|AF 2|＋|BF 2|=2a ＋2a ，又由a=5，可得|AB|＋(|BF 2|＋|AF 2|)=20，即|AB|=8.8.答案为：25 34解析：在△F 1PF 2中，F 1F =PF ＋PF －2PF 1·PF 2cos 60°，即25=PF ＋PF －PF 1·PF 2.①2212212由椭圆的定义，得10=PF 1＋PF 2.②由①②，得PF 1·PF 2=25，∴S △F 1PF 2=PF 1·PF 2sin 60°=.1225 349.解：(1)∵椭圆的焦点在y 轴上，∴设它的标准方程为＋=1(a>b>0).y2a2x2b2∵2a=26,2c=10，∴a=13，c=5.∴b 2=a 2－c 2=144.∴所求椭圆的标准方程为＋=1.y2169x2144(2)法一：由9x 2＋5y 2=45，得＋=1，c 2=9－5=4，y29x25所以其焦点坐标为F 1(0,2)，F 2(0，－2).设所求椭圆的标准方程为＋=1(a ＞b ＞0).y2a2x2b2由点M(2，)在椭圆上，所以MF 1＋MF 2=2a ，6即2a=＋=4，所以a=2， 2－0 2＋ 6－2 2 2－0 2＋ 6＋2 233又c=2，所以b 2=a 2－c 2=8，所以所求椭圆的标准方程为＋=1.y212x28法二：由法一知，椭圆9x 2＋5y 2=45的焦点坐标为F 1(0,2)，F 2(0，－2)，则设所求椭圆方程为＋=1(λ＞0)，y2λ＋4x2λ将M(2，)代入，得＋=1(λ＞0)，解得λ=8或λ=－2(舍去).66λ＋44λ所以所求椭圆的标准方程为＋=1.y212x2810.解：设M 点的坐标为(x ，y)，P 点的坐标为(x P ，y P )，由已知易得Error!∵P 在圆上，∴x 2＋(y)2=25.54即轨迹C 的方程为＋=1.x225y216。

高中数学课时作业9直线与椭圆的位置关系新人教A 版选修21课时作业9 直线与椭圆的位置关系|基础巩固|(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( ) A ．相切 B ．相交C ．相离D ．不确定解析：直线y ＝kx －k ＋1可变形为y －1＝k (x －1)，故直线恒过定点(1,1)，而该点在椭圆x 29＋y 24＝1内部，所以直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1相交，故选B. 答案：B2．椭圆mx 2＋ny 2＝1与直线y ＝1－x 交于M ，N 两点，过原点与线段MN 中点所在直线的斜率为22，则m n的值是( ) A.22 B.233C.922D.2327解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ mx 2＋ny 2＝1，y ＝1－x 消去y 得，(m ＋n )x 2－2nx ＋n －1＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 中点为(x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝2n m ＋n ，∴x 0＝n m ＋n， 代入y ＝1－x 得y 0＝m m ＋n . 由题意y 0x 0＝22，∴m n ＝22，选A. 答案：A 3．若直线mx ＋ny ＝4和⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数( )A ．至多一个B ．2个C ．1个D ．0个解析：因为直线mx ＋ny ＝4和⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点， 所以4m 2＋n 2>2， 所以m 2＋n 2<4，所以n 2<4－m 2， 所以m 29＋n 24<m 29＋4－m 24＝1－536m 2<1， 所以点(m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1内部， 所以过点(m ，n )的直线与椭圆有2个交点．故选B.答案：B 4．(高考新课标全国卷Ⅰ)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( ) A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 解析：直线AB 的斜率k ＝0＋13－1＝12， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b 2＝1，①x 22a 2＋y 22b 2＝1，② ①－②得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2， 即k ＝－b 2a 2×2－2， 所以b 2a 2＝12.③ 又a 2－b 2＝c 2＝9，④ 由③④得a 2＝18，b 2＝9.所以椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.故选D.答案：D5．设F 1，F 2为椭圆x 24＋y 2＝1的左，右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P ，Q 两点，当四边形PF 1QF 2面积最大时，PF 1→·PF 2→的值等于( )A ．0B ．2C ．4D ．－2解析：由题意得c ＝a 2－b 2＝3，又S 四边形PF 1QF 2＝2S △PF 1F 2＝2×12×|F 1F 2|·h (h 为F 1F 2边上的高)，所以当h ＝b ＝1时，S 四边形PF 1QF 2取最大值，此时∠F 1PF 2＝120°.所以PF 1→·PF 2→＝|PF 1→|·|PF 2→|·cos120°＝2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－2.故选D. 答案：D二、填空题(每小题5分，共15分)6．椭圆x 2＋4y 2＝16被直线y ＝12x ＋1截得的弦长为________． 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋4y 2＝16，y ＝12x ＋1， 消去y 并化简得x 2＋2x －6＝0.设直线与椭圆的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－6.∴弦长|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝54[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝54(4＋24)＝35. 答案：357．过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为________．解析：右焦点为(1,0)，故直线为y ＝2(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧ x 25＋y 24＝1y ＝2(x －1)消去y ， 得3x 2－5x ＝0.所以x ＝0或x ＝53， 从而A (0，－2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，43. 所以|AB |＝259＋1009＝1259＝553. 又O 到AB 的距离d ＝25＝255， 所以S △AOB ＝12·|AB |·d ＝12×553×255＝53. 答案：538．已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若A 点坐标为(3,0)，|AM →|＝1，且PM →·AM →＝0，则PM →的最小值是________．解析：易知点A (3,0)是椭圆的右焦点．∵PM →·AM →＝0，∴AM →⊥PM →.∴|PM →|2＝|AP →|2－|AM →|2＝|AP →|2－1，∵椭圆右顶点到右焦点A 的距离最小，故|AP →|min ＝2，∴|PM →|min ＝ 3.答案： 3三、解答题(每小题10分，共20分)9．若直线y ＝kx ＋1与焦点在x 轴上的椭圆x 25＋y 2m＝1总有公共点，求m 的取值范围． 解析：∵直线y ＝kx ＋1过定点A (0,1)．由题意知，点A 在椭圆x 25＋y 2m＝1内或椭圆上， ∴025＋12m≤1，∴m ≥1.又椭圆焦点在x 轴上，∴m <5，故m 的取值范围为[1,5)．10．已知点P (4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点． (1)求直线l 的方程；(2)求直线l 被椭圆截得的弦长．解析：(1)法一：(根与系数关系法)由题意可设直线l 的方程为y －2＝k (x －4)， 而椭圆的方程可以化为x 2＋4y 2－36＝0.将直线方程代入椭圆方程有(4k 2＋1)x 2－8k (4k －2)x ＋4(4k －2)2－36＝0.所以x 1＋x 2＝8k (4k －2)4k 2＋1＝8，解得k ＝－12. 所以直线l 的方程为y －2＝－12(x －4)， 即x ＋2y －8＝0.法二：(点差法)设直线l 与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 21＋4y 21－36＝0，x 22＋4y 22－36＝0.两式相减，有(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)·(y 1－y 2)＝0.又x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－12，即k ＝－12. 所以直线l 的方程为x ＋2y －8＝0.(2)由题意可知直线l 的方程为x ＋2y －8＝0，联立椭圆方程得x 2－8x ＋14＝0. 法一：解方程得 ⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝4＋2，y 1＝2－22，⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝4－2，y 2＝2＋22，所以直线l 被椭圆截得的弦长为 [(4＋2)－(4－2)]2＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2－22－⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋222 ＝10.法二：因为x 1＋x 2＝8，x 1x 2＝14.所以直线l 被椭圆截得的弦长为1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12282－4×14＝10. |能力提升|(20分钟，40分)11．椭圆ax 2＋by 2＝1与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则b a的值为( ) A.32 B.233 C.932 D.2327 解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则ax 21＋by 21＝1，ax 22＋by 22＝1，即ax 21－ax 22＝－(by 21－by 22)， by 21－by 22ax 21－ax 22＝－1， b (y 1－y 2)(y 1＋y 2)a (x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝－1， 所以b a ×(－1)×32＝－1， 所以b a ＝233.故选B. 答案：B 12．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为________．解析：由x 24＋y 23＝1可得F (－1,0)． 设P (x ，y )，－2≤x ≤2，则OP →·FP →＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 24＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2，当且仅当x ＝2时，OP →·FP →取得最大值6. 答案：6 13．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的离心率e ＝63.(1)若2a 2c＝32，求椭圆方程； (2)直线l 过点C (－1,0)交椭圆于A ，B 两点，且满足：CA →＝3BC →，试求△OAB 面积的最大值．解析：(1)因为椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， 由e ＝c a ＝63，及a 2＝b 2＋c 2， 得a 2＝3b 2，又2a 2c ＝32，所以a 2＝3，b 2＝1，所以椭圆方程为x 23＋y 2＝1. (2)由e ＝c a ＝63，及a 2＝b 2＋c 2，得a 2＝3b 2，可设椭圆的方程为x 23b 2＋y 2b2＝1， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知直线l 的斜率存在，则设l 的方程为y ＝k (x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x ＋1)，x 23b 2＋y 2b2＝1， 得(3k 2＋1)x 2＋6k 2x ＋3k 2－3b 2＝0， 且Δ＝12(3b 2－1)k 2＋12b 2，因为直线l 交椭圆于两点，且CA →＝3BC →，所以点C 在椭圆内部，所以a >1，所以3b 2>1，所以Δ>0.所以x 1＋x 2＝－6k 23k 2＋1. 因为CA →＝3BC →，所以(x 1＋1，y 1)＝3(－1－x 2，－y 2)，所以x 1＝－4－3x 2，所以x 2＋1＝－13k 2＋1，。