高中数学选修2-1课时作业18：第2课时 椭圆的几何性质及应用

2.2.2 椭圆的几何性质A 级 基础巩固一、选择题1．AB 为过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1中心的弦，F (c,0)为椭圆的左焦点，则△AFB 的面积最大值是( )A ．b 2B ．bcC ．abD ．ac2．已知以F 1(－2,0)、F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( ) A ．3 2 B ．2 6 C ．27D ．4 23．点P 为椭圆x 25＋y 24＝1上一点，以点P 及焦点F 1、F 2为顶点的三角形的面积为1，则P点的坐标为( ) A ．(±152，1) B ．(152，±1) C ．(152，1) D ．(±152，±1) 4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( ) A ．x 23＋y 22＝1B ．x 23＋y 2＝1C ．x 212＋y 28＝1D ．x 212＋y 24＝15．如果AB 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的任意一条与x 轴不垂直的弦，O 为椭圆的中心，e 为椭圆的离心率，M 为AB 的中点，则k AB ·k OM 的值为( ) A ．e －1 B ．1－e C ．e 2－1D ．1－e 26．设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m ＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( ) A ．(0,1]∪[9，＋∞) B ．(0，3]∪[9，＋∞) C ．(0,1]∪[4，＋∞)D ．(0，3]∪[4，＋∞)二、填空题7．若过椭圆x 216＋y 24＝1内一点(2,1)的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是________.8．直线y ＝kx ＋1(k ∈R )与椭圆x 25＋y 2m ＝1恒有公共点，则m 的取值范围为__________.三、解答题9．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(0,4)，离心率为35.(1)求椭圆C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标．10．已知动点P 与平面上两定点A (－2，0)、B (2，0)连线的斜率的积为定值－12.(1)试求动点P 的轨迹方程C ；(2)设直线l ：y ＝kx ＋1与曲线C 交于M 、N 两点，当|MN |＝423时，求直线l 的方程．B 级 素养提升一、选择题1．在△ABC 中，AB ＝BC ，cos B ＝－718.若以A 、B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e ＝( ) A ．34B ．37C ．38D ．3182．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(0，12]C ．(0，22) D ．[22，1) 3．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP→的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．6D ．84．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( ) A ．63 B ．33C ．23D ．13二、填空题5．椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A 、B ．当△F AB 的周长最大时，△F AB 的面积是________.6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是_________.三、解答题7．已知过点A (－1,1)的直线l 与椭圆x 28＋y 24＝1交于点B 、C ，当直线l 绕点A (－1，1)旋转时，求弦BC 中点M 的轨迹方程.8．椭圆E 经过点A (2,3)，对称轴为坐标轴，离心率e ＝12，焦点F 1、F 2在x 轴上，过左焦点F 1与A 作直线交椭圆E 于B ． (1)求椭圆E 的方程； (2)求△ABF 2的面积.C 级 能力拔高已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 是椭圆E 上的一个动点，△PF 1F 2的周长为6，且存在点P 使得△PF 1F 2为正三角形. (1)求椭圆E 的方程；(2)若A 、B 、C 、D 是椭圆E 上不重合的四个点，AC 与BD 相交于点F 1，且AC →·BD →＝0，若AC 的斜率为3，求四边形ABCD 的面积．——★ 参 考 答 案 ★——A 级 基础巩固一、选择题 1．[答案]B[解析]S △ABF ＝S △AOF ＋S △BOF ＝12|OF |·|y A －y B |，当A 、B 为短轴两个端点时，|y A －y B |最大，最大值为2b ． ∴△ABF 面积的最大值为bc ． 2．[答案]C[解析]设椭圆方程mx 2＋ny 2＝1(m ≠n >0)⎩⎨⎧mx 2＋ny 2＝1x ＋3y ＋4＝0消x 得(3m ＋n )y 2＋83my ＋16m －1＝0 Δ＝192m 2－4(16m －1)(3m ＋n )＝0 整理得3m ＋n ＝16mn 即3n ＋1m ＝16 ① 又c ＝2，焦点在x 轴上 ∴1m －1n＝4 ② 由①②解得m ＝17，n ＝13，∴长轴长为27． 3．[答案]D[解析]设P (x 0，y 0)，∵a 2＝5，b 2＝4，∴c ＝1， ∴S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·|y 0|＝|y 0|＝1，∴y 0＝±1，∵x 205＋y 204＝1， ∴x 0＝±152.故选D ． 4．[答案]A[解析]根据条件可知c a ＝33，且4a ＝43，∴a ＝3，c ＝1，b ＝2，椭圆的方程为x 23＋y 22＝1．5．[答案]C 6．[答案]A[解析]方法1：设焦点在x 轴上，点M (x ，y )． 过点M 作x 轴的垂线，交x 轴于点N ， 则N (x,0)．故tan ∠AMB ＝tan(∠AMN ＋∠BMN )＝3＋x |y |＋3－x|y |1－3＋x |y |·3－x |y |＝23|y |x 2＋y 2－3．又tan ∠AMB ＝tan 120°＝－3， 且由x 23＋y 2m ＝1可得x 2＝3－3y 2m ，则23|y |3－3y 2m ＋y 2－3＝23|y |(1－3m )y 2＝－3． 解得|y |＝2m 3－m．又0<|y |≤m ，即0<2m3－m ≤m ，结合0<m <3解得0<m ≤1．对于焦点在y 轴上的情况，同理亦可得m ≥9． 则m 的取值范围是(0,1]∪[9，＋∞)． 故选A ．方法2：当0<m <3时，焦点在x 轴上， 要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， 则a b ≥tan 60°＝3，即3m ≥3， 解得0<m ≤1．当m >3时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， 则a b ≥tan 60°＝3，即m3≥3，解得m ≥9． 故m 的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)． 故选A ． 二、填空题7．[答案]x ＋2y －4＝0[解析]设弦两端点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则x 2116＋y 214＝1，x 2216＋y 224＝1，两式相减并把x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2代入得，y 1－y 2x 1－x 2＝－12，∴所求直线方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0． 8．[答案]m ≥1且m ≠5[解析]将y ＝kx ＋1代入椭圆方程，消去y 并整理，得(m ＋5k 2)x 2＋10kx ＋5－5m ＝0． 由m >0,5k 2≥0，知m ＋5k 2>0，故△＝100k 2－4(m ＋5k 2)(5－5m )≥0对k ∈R 恒成立． 即5k 2≥1－m 对k ∈R 恒成立，故 1－m ≤0，∴m ≥1．又∵m ≠5，∴m 的取值范围是m ≥1且m ≠5． 简解：由椭圆方程易知m ≠5，又直线过定点(0,1) ∴1m ≤1，即m ≥1，∴m ≥1且m ≠5． 三、解答题9．解：(1)将点(0,4)代入椭圆C 的方程，得16b 2＝1，∴b ＝4，又e ＝c a ＝35，则a 2－b 2a 2＝925，∴1－16a 2＝925，∴a ＝5，∴椭圆C 的方程为x 225＋y 216＝1．(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)，设直线与椭圆C 的交点为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入椭圆方程得x 225＋(x －3)225＝1，即x 2－3x －8＝0，由韦达定理得x 1＋x 2＝3，所以线段AB 中点的横坐标为x 1＋x 22＝32，纵坐标为45(32－3)＝－65，即所截线段的中点坐标为(32，－65)． 10．解：(1)设点P (x ，y )，则依题意有y x ＋2·y x －2＝－12，整理得x 22＋y 2＝1.由于x ≠±2，所以求得的曲线C 的方程为x 22＋y 2＝1(x ≠±2)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1y ＝kx ＋1，消去y 得，(1＋2k 2)x 2＋4kx ＝0．解得x 1＝0，x 2＝－4k1＋2k 2(x 1、x 2分别为M 、N 的横坐标)，由|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2×|4k 1＋2k 2|＝432，解得，k ＝±1．所以直线l 的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －1＝0．B 级 素养提升一、选择题 1．[答案]C[解析] 设|AB |＝x >0，则|BC |＝x ，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝x 2＋x 2－2x 2·(－718)＝259x 2，∴|AC |＝53x ，由条件知，|CA |＋|CB |＝2a ，AB ＝2c ， ∴53x ＋x ＝2a ，x ＝2c ，∴e ＝c a ＝2c 2a ＝x 83x ＝38． 2．[答案]C[解析]依题意得，c <b ，即c 2<b 2， ∴c 2<a 2－c 2,2c 2<a 2，故离心率e ＝c a <22，又0<e <1，∴0<e <22，故选C ． 3．[答案]C[解析]由题意可知O (0,0)，F (－1,0)，设点P 为(x ，y )，则OP →＝(x ，y )，FP →＝(x ＋1，y )， ∴OP →·FP →＝x (x ＋1)＋y 2＝x 2＋x ＋y 2 ＝x 2＋x ＋3－34x 2＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2． ∵x ∈[－2,2]，∴当x ＝2时，OP →·FP →取最大值． (OP →·FP →)max ＝14(2＋2)2＋2＝6，故选C ．4．[答案]A[解析]由题意知以A 1A 2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a ． 又直线bx －ay ＋2ab ＝0与圆相切， ∴圆心到直线的距离d ＝2aba 2＋b 2＝a ，解得a ＝3b ， ∴b a ＝13， ∴e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝1－ba2＝1－132＝63． 二、填空题 5．[答案]3[解析]如图，当直线x ＝m ，过右焦点(1,0)时，△F AB 的周长最大，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1x 24＋y 23＝1，解得y ＝±32，∴|AB |＝3．∴S ＝12×3×2＝3．6．[答案]63[解析]由题意可得B (－32a ，b 2)，C (32a ，b 2)，F (c,0)，则由∠BFC ＝90°得BF →·CF →＝(c ＋32a ，－b 2)·(c －32a ，－b 2)＝c 2－34a 2＋14b 2＝0，化简得3c ＝2a ，则离心率e ＝c a ＝23＝63． 三、解答题7．解：设直线l 与椭圆的交点B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，弦BC 的中点M (x ，y )，则⎩⎨⎧x 218＋y 214＝1， ①x 228＋y224＝1，②①－②，得(x 218－x 228)＋(y 214－y 224)＝0，∴(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.③当x 1≠x 2时，③式可化为(x 1＋x 2)＋2(y 1＋y 2)·y 2－y 1x 2－x 1＝0．∵x 1＋x 22＝x ，y 1＋y 22＝y ，y 2－y 1x 2－x 1＝y －1x ＋1，∴2x ＋2·2y ·y －1x ＋1＝0，化简得x 2＋2y 2＋x －2y ＝0．当x 1＝x 2时，∵点M (x ，y )是线段BC 中点，∴x ＝－1，y ＝0，显然适合上式． 综上所述，所求弦中点M 的轨迹方程是x 2＋2y 2＋x －2y ＝0． 8．解：(1)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，根据题意得⎩⎨⎧4a 2＋9b 2＝1，1－b 2a 2＝12，解之得a 2＝16，b 2＝12． 所以椭圆E 的方程为x 216＋y 212＝1．(2)由(1)知，F 1(－2,0)，F 2(2,0)，AF 2⊥x 轴． 所以直线AB 的斜率为34，其方程为y ＝34(x ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝43y －2，3x 2＋4y 2＝48， 得7y 2－12y －27＝0．高中数学选修2-1课时作业11 已知y 1＝3，由y 1＋y 2＝127得y 2＝－97， ∴S △ABF 2＝c ·|y 1－y 2|＝2×307＝607． C 级 能力拔高解：(1)设c 为椭圆的半焦距，依题意，有：⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋2c ＝6a ＝2c 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2c ＝1， ∴b 2＝a 2－c 2＝3故椭圆E 的方程为：x 24＋y 23＝1． (2)AC →·BD →＝0⇒AC ⊥BD ，又k AC ＝3，则k BD ＝－33． ⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 23＝1y ＝3(x ＋1)⇒x 24＋(x ＋1)2＝1⇒5x 2＋8x ＝0⇒x ＝0或x ＝－85， ∴|AC |＝1＋(3)2|0－(－85)|＝165， ⎩⎨⎧ x 24＋y 23＝1y ＝－33(x ＋1)⇒x 24＋(x ＋1)29＝1⇒9x 2＋4(x ＋1)2＝36， ⇒13x 2＋8x －32＝0⇒x ＝－8±82－4×13×(－32)2×13⇒x ＝－4±12313， ∴|BD |＝1＋(－33)2|－4＋12313－－4－12313|＝4813， ∴S ABCD ＝12|AC |×|BD |＝12×165×4813＝38465， 故四边形ABCD 的面积为38465．。

第二章课时作业一、选择题．直线：－－＝与椭圆＋＝的位置关系是( )．相交．相离．相切．不确定解析：∵－－＝，∴＝(－)，即直线过定点()，而()点在＋＝的内部，故与椭圆＋＝相交．答案：．[·清华附中月考]若直线＝＋与椭圆＋＝有两个公共点，则的取值范围是( ). (－∞，)∪(，＋∞) . ()∪(，＋∞). (－∞，－)∪(－) . ()解析：本题考查直线与椭圆的位置关系．由(\\(＝＋，,()＋()＝))消去，整理得(＋)＋＋＝.若直线与椭圆有两个公共点，则(\\(＋≠，,Δ＝((－(＋(>，))解得(\\(≠－，<或>.))由＋＝表示椭圆知，>且≠.综上可知，的取值范围是>且≠，故选.答案：．已知椭圆＋＝(>>)，()为长轴的一个端点，弦过椭圆的中心，且·＝，－＝－，则其焦距为( )解析：如右图，＝，由·＝⇔∠＝°，＝，∴＝，∴(，－)代入椭圆方程得＋＝，∴＝，又＝，∴＝－＝，∴＝.∴＝.答案：．经过椭圆＋＝的一个焦点作倾斜角为°的直线，交椭圆于、两点．设为坐标原点，则·等于( ) ．－．－．－或－．±解析：不妨设直线过椭圆的右焦点()，则直线的方程为＝－，由(\\(＝－，,()＋＝，))消去，得－＝.设(，)，(，)，则＋＝，＝，∴·＝＋＝＋(－)(－)＝－(＋)＋＝－＋＝－.答案：二、填空题．已知、是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于、两点，若△是正三角形，则这个椭圆的离心率是．解析：设＝，由△是正三角形知，＝，＝，所以椭圆的离心率＝＝＝＝.答案：．若直线＝＋与椭圆＋＝无公共点，则的取值范围为．解析：由(\\(＝＋，,()＋＝，))得＋(＋)＝.整理得＋＋－＝.Δ＝()－×(－)<，解得>或<－.答案：(－∞，－)∪(，＋∞)．在平面直角坐标系中，椭圆＋＝(>>)的焦距为，以为圆心，为半径作圆，过点(，)作圆的两切线互相垂直，则离心率＝.解析：如右图，切线、互相垂直，半径垂直于，所以△是等腰直角三角形，故＝，解得＝＝.答案：三、解答题．已知椭圆＋＝，求过点(，)且被平分的弦所在直线的方程．解：解法一：由题意可知，该直线的斜率存在，不妨设所求直线方程为－＝(－)，即＝＋－.由(\\(()＋＝，＝＋()－()，))得(＋)＋(－)＋(－)－＝，设直线与椭圆交于(，)，(，)两点，。

第2课时椭圆的标准方程及性质的应用1.进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，会判断直线与椭圆的位置关系.(重点)2.能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题.(难点)[基础·初探]教材整理1点与椭圆的位置关系阅读教材P43～46，完成下列问题.点P(x0，y0)与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的位置关系：点P在椭圆上⇔________________；点P在椭圆内部⇔________________；点P在椭圆外部⇔________________.【答案】x20a2＋y20b2＝1x20a2＋y20b2<1x20a2＋y20b2>1若点A(a,1)在椭圆x24＋y22＝1的内部，则a的取值范围是________.【解析】∵点A在椭圆内部，∴a24＋12＜1，∴a2＜2，∴－2＜a＜ 2.【答案】(－2，2)教材整理2直线与椭圆的位置关系阅读教材P47例7，完成下列问题.直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系： 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去y 得一个关于x 的一元二次方程.位置关系 解的个数 Δ的取值 相交 ________解 Δ____0 相切 ________解 Δ____0 相离________解Δ____0【答案】 两 > 一 ＝ 无 <直线y ＝x ＋1与椭圆x 2＋y 22＝1的位置关系是( )A.相离B.相切C.相交D.无法确定【解析】联立⎩⎨⎧y ＝x ＋1，x 2＋y 22＝1，消去y ，得3x 2＋2x －1＝0，Δ＝22＋12＝16＞0， ∴直线与椭圆相交. 【答案】 C[小组合作型]直线与椭圆位置关系的判断对不同的实数值m ，讨论直线y ＝x ＋m 与椭圆x 24＋y 2＝1的位置关系.【精彩点拨】联立两个方程―→消去y 得到关于x 的一元二次方程―→求Δ―→讨论Δ得结论【自主解答】联立方程组⎩⎨⎧y ＝x ＋m ， ①x 24＋y 2＝1. ②将①代入②得：x 24＋(x ＋m )2＝1， 整理得：5x 2＋8mx ＋4m 2－4＝0.③Δ＝(8m )2－4×5(4m 2－4)＝16(5－m 2).当Δ＞0，即－5＜m ＜5时，方程③有两个不同的实数根，代入①可得两个不同的公共点坐标，此时直线与椭圆相交；当Δ＝0，即m ＝±5时，方程③有两个相等的实数根，代入①得一个公共点坐标，此时直线与椭圆相切；当Δ＜0，即m ＜－5或m ＞5时，方程③无实根，此时直线与椭圆相离.1.直线与椭圆有相交、相切和相离三种情况，其位置关系的几何特征分别是直线与椭圆有两个交点、有且只有一个交点、无公共点，并且二者互为充要条件.2.判断直线与椭圆的位置关系可使用代数法，即通过方程研究，先将直线方程与椭圆的方程联立，消去一个未知数y (或x )，得到关于x (或y )的一个一元二次方程.由于该一元二次方程有无实数解、有几个实数解与方程组的解的个数相对应，故利用一元二次方程根的判别式Δ，根据Δ＞0，Δ＜0还是Δ＝0即可判断方程组解的个数，从而得出直线与椭圆的交点情况.[再练一题]1.若把本例中直线方程改为“y ＝2x ＋m ”，椭圆方程改为“x 24＋y 22＝1”，试讨论直线与椭圆的位置关系.【解】由直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组⎩⎨⎧y ＝2x ＋m ， ①x 24＋y 22＝1， ②将①代入②，并整理得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0，③方程③的判别式为Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144.(1)由Δ＞0，得－32＜m ＜32，也就是当－32＜m ＜32时，方程③有两个不相等的实数根，可知原方程组有两个不同的实数解，这时直线l 与椭圆C 有两个不同的公共点，即直线l 与椭圆C 相交.(2)由Δ＝0，得m ＝±32，也就是当m ＝±32时，方程③有两个相等的实数根，可知原方程组有两个相同的实数解，这时直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，即直线l 与椭圆C 相切.(3)由Δ＜0，得m ＜－32或m ＞32，也就是当m ＜－32或m ＞32时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数根，这时直线l 与椭圆C 没有公共点，即直线l 和椭圆C 相离.弦长问题已知动点P 与平面上两定点A (－2，0)，B (20)连线的斜率的积为定值－12.(1)试求动点P 的轨迹方程C;【导学号：37792059】(2)设直线l ：y ＝kx ＋1与曲线C 交于M ，N 两点，当|MN |＝423时，求直线l 的方程.【精彩点拨】 (1)采用什么方法求动点P 的轨迹；(2)求弦长|MN |时需要具体求出M 、N 的坐标吗，如何表示出弦长|MN |. 【自主解答】 (1)设动点P 的坐标是(x ，y )，由题意得，k PA ·k PB ＝－12.∴yx ＋2·y x －2＝－12， 化简整理得x 22＋y 2＝1.故P 点的轨迹方程C 是x 22＋y 2＝1(x ≠±2). (2)设直线l 与曲线C 的交点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝kx ＋1，x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4kx ＝0.∴x 1＋x 2＝－4k1＋2k 2，x 1·x 2＝0. |MN |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1·x 2＝423，整理得k 4＋k 2－2＝0， 解得k 2＝1或k 2＝－2(舍). ∴k ＝±1，经检验符合题意.∴直线l 的方程是y ＝±x ＋1，即x －y ＋1＝0或x ＋y －1＝0.求弦长的两种方法(1)求出直线与椭圆的两交点坐标，用两点距离公式求弦长.(2)联立直线与椭圆的方程，消元得到关于一个未知数的一元二次方程，利用弦长公式：|P 1P 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋1k 2(y 1＋y 2)2－4y 1y 2，其中x 1，x 2(y 1，y 2)是上述一元二次方程的两根，由根与系数的关系求出两根之和与两根之积后代入公式可求得弦长.[再练一题]2.求过点(3,0)且斜率为45的直线被椭圆x 225＋y 216＝1所截线段的长度.【解】 过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3).设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程代入椭圆方程得x 225＋(x －3)225＝1，即x 2－3x －8＝0.∴x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝－8. ∴|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1625(9＋32)＝415.[探究共研型]中点弦问题探究1 直线l 11B (x 2，y 2)及弦AB 的中点P (x 0，y 0)，试写出x 0，y 0与x 1，y 1，x 2，y 2的关系.【提示】 x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22. 探究2 怎样处理与弦的中点有关的问题？【提示】 在处理与弦的中点有关的问题时，主要有两种方法：(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；(2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系.具体如下：已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上的两个不同的点，M (x 0，y 0)是线段AB 的中点，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b 2＝1， ①x 22a 2＋y 22b 2＝1， ②由①－②，得b2(x 21－x 22)＋a 2(y 21－y 22)＝0，变形得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－b 2a 2·x 0y 0，即k AB ＝－b 2x 0a 2y 0.过椭圆x 216＋y 24＝1内一点M (2,1)引一条弦，使弦被M 点平分，求此弦所在的直线方程.【导学号：37792060】【精彩点拨】 可以联立方程，消元后利用根与系数的关系和中点坐标公式求解，也可以考虑利用点差法求解.【自主解答】 法一：设所求直线方程为y －1＝k (x －2).代入椭圆方程并整理，得(4k 2＋1)x 2－8(2k 2－k )x ＋4(2k －1)2－16＝0. 又设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1，x 2是方程的两个根， 于是x 1＋x 2＝8(2k 2－k )4k 2＋1.又M 为AB 的中点，∴x 1＋x 22＝4(2k 2－k )4k 2＋1＝2，解之得k ＝－12.故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.法二：设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2). 又M (2,1)为AB 的中点，∴x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2. 又A ，B 两点在椭圆上，则x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 22＝16. 两式相减得(x 21－x 22)＋4(y 21－y 22)＝0.于是(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.∴y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24(y 1＋y 2)＝－12， 即k AB ＝－12.又直线AB 过点M (2,1)， 故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.本题的这两种解法，是解中点弦问题的常用方法，解中点弦问题关键在于充分利用“中点”这一条件，灵活运用中点坐标公式及根与系数的关系，法一是设出方程，根据中点坐标求出k ；法二是设出交点坐标，代入方程，整体作差求直线方程(也叫点差法)，是“设而不求”.[再练一题]3.焦点分别为(0,52)和(0，－52)的椭圆截直线y ＝3x －2所得椭圆的弦的中点的横坐标为12，求此椭圆方程.【解】 设y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0). 依题意，有a 2－b 2＝(52)2＝50. ①由⎩⎨⎧y 2a 2＋x 2b 2＝1，y ＝3x －2，消去y 并整理，得(a 2＋9b 2)x 2－12b 2x ＋4b 2－a 2b 2＝0. 因为x 1＋x 22＝12， 所以6b 2a 2＋9b 2＝12. 所以a 2＝3b 2.②由①②，得a 2＝75，b 2＝25. 经检验，此时Δ>0. 所以椭圆方程为y 275＋x 225＝1.1.已知点(2,3)在椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1上，则下列说法正确的是( ) A.点(－2,3)在椭圆外 B.点(3,2)在椭圆上 C.点(－2，－3)在椭圆内 D.点(2，－3)在椭圆上【解析】 由椭圆的对称性知，点(2，－3)在椭圆上，故选D. 【答案】 D2.若直线y ＝kx ＋2与椭圆x 23＋y 22＝1相切，则斜率k 的值是( ) A.63 B.－63 C.±63 D.±33【解析】 把y ＝kx ＋2代入x 23＋y 22＝1，得(3k 2＋2)x 2＋12kx ＋6＝0，因为直线与椭圆相切，∴Δ＝(12k )2－4(3k 2＋2)×6＝0，解得k ＝±63.【答案】 C3.若直线y ＝2x ＋b 与椭圆x 24＋y 2＝1无公共点，则b 的取值范围为________.【导学号：37792061】【解析】由⎩⎨⎧y ＝2x ＋b ，x 24＋y 2＝1，得x 24＋(2x ＋b )2＝1.整理得17x 2＋16bx ＋4b 2－4＝0. Δ＝(16b )2－4×17(4b 2－4)＜0， 解得b ＞17或b ＜－17.【答案】 (－∞，－17)∪(17，＋∞)4.已知斜率为1的直线l 过椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点F ，交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长.【解】 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 由椭圆方程知a 2＝4，b 2＝1， ∴c ＝a 2－b 2＝3，∴F (3，0)，∴直线l 的方程为y ＝x －3，将其代入椭圆方程，并化简整理得5x 2－83x ＋8＝0， ∴x 1＋x 2＝835，x 1x 2＝85， ∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2·(83)2－4×5×85＝85.。

1.过椭圆x 2a +y 2b =1(a>b>0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ,F 2为右焦点,若∠F 1PF 2=60°,则椭圆的离心率为( )A. 22B. 33C.12D.132.设AB 是椭圆x 2a +y 2b =1(a>b>0)的长轴,若把线段AB 分为100等份,过每个分点作AB 的垂线,分别交椭圆的上半部分于点P 1,P 2,…,P 99,F 1为椭圆的左焦点,则|F 1A|+|F 1P 1|+|F 1P 2|+…+|F 1P 99|+|F 1B|的值是( )A.98aB.99aC.100aD.101a 3.椭圆x 2a +y 2b =1(a>b>0)的左顶点为A ,左、右焦点分别为F 1,F 2,D 是它短轴的一个端点,若3DF 1 =DA +2DF 2 ,则该椭圆的离心率为( )A.12B.13C.14D.154.中心在原点,焦点坐标为(0,±5 2)的椭圆被直线3x-y-2=0截得的弦的中点的横坐标为12,则椭圆的方程为( )A.2x 225+2y 275=1 B.2x 275+2y 225=1C.x 225+y 275=1D.x 275+y 225=15.已知F 是椭圆C 的一个焦点,B 是短轴的一个端点,线段BF 的延长线交椭圆C 于点D ,且BF =2FD ,则椭圆C 的离心率为 .6.已知椭圆x 29+y 25=1的左、右焦点分别为F 1,F 2,P 是椭圆上的一点,且∠F 1PF 2=60°,则△PF 1F 2的面积是 .7.已知直线y=-12x+2和椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)相交于A ,B 两点,M 为线段AB 的中点,若|AB|=2 ,直线OM 的斜率为12,求椭圆的方程.1.过椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ,F 2为右焦点,若∠F 1PF 2=60°,则椭圆的离心率为( )A. 22 B. 33C.12D.13P -c ,±b 2a,∠F 1PF 2=60°,得3b 2a=2a ,从而可得e=ca =2.设AB 是椭圆x 2a +y 2b =1(a>b>0)的长轴,若把线段AB 分为100等份,过每个分点作AB 的垂线,分别交椭圆的上半部分于点P 1,P 2,…,P 99,F 1为椭圆的左焦点,则|F 1A|+|F 1P 1|+|F 1P 2|+…+|F 1P 99|+|F 1B|的值是( )A.98aB.99aC.100aD.101a 解：由椭圆的定义及其对称性可知F 1P 1|+|F 1P 99|=|F 1P 2|+|F 1P 98|=…=|F 1P 49|+|F 1P 51|=|F 1A|+|F 1B|=2a ,|F 1P 50|=a故结果应为50×2a+|F 1P 50|=1013.椭圆x 2a +y 2b =1(a>b>0)的左顶点为A ,左、右焦点分别为F 1,F 2,D 是它短轴的一个端点,若3DF 1 =DA +2DF 2 ,则该椭圆的离心率为( )A.12B.13C.14D.15,A (-a ,0),F 1(-c ,0),F 2(c ,0),不妨设D (0,b ).∵3DF 1 =DA +2DF 2 ,∴3(-c ,-b )=(-a ,-b )+2(c ,-b ),∴a=5c.∴e=c a =15.故选4.中心在原点,焦点坐标为(0,±5 )的椭圆被直线3x-y-2=0截得的弦的中点的横坐标为12,则椭圆的方程为( )A.2x 225+2y 275=1B.2x 275+2y 225=1C.x 225+y 275=1D.x 275+y 225=1,可设椭圆方程为y 2a 2+x 2b 2=1,且a 2=50+b 2,即方程为y 250+b 2+x 2b 2=1. 将直线3x-y-2=0代入,整理成关于x 的二次方程,由x 1+x 2=1可求得b 2=25,a 2=755.已知F 是椭圆C 的一个焦点,B 是短轴的一个端点,线段BF 的延长线交椭圆C 于点D ,且BF =2FD ,则椭圆C 的离心率为 .,不妨设椭圆方程为x 2a +y 2b =1(a>b>0),B (0,b )为上顶点,F (c ,0)为右焦点,设D (x ,y ).由BF =2FD ,得(c ,-b )=2(x-c ,y ),即 c =2(x -c ),-b =2y ,解得 x =3c2,y =-b 2,则D 3c 2,-b 2 .由点D 在椭圆上,知 3c 22a +-b 22b =1.解得a 2=3c 2,即e 2=13,故6.已知椭圆x 29+y 25=1的左、右焦点分别为F 1,F 2,P 是椭圆上的一点,且∠F 1PF 2=60°,则△PF 1F 2的面积是 .,设|PF 1|=m ,|PF 2|=n ,由椭圆的定义,得m+n=2a=6,两边平方,得m 2+n 2+2mn=36.① 在△PF 1F 2中,由余弦定理,得|F 1F 2|2=m 2+n 2-2mn cos60°=(2c )2, 即m 2+n 2-mn=16. ②由①-②,得3mn=20. 故S △PF 1F 2=12·mn ·sin60°=12×203×32=5 33.7.已知直线y=-12x+2和椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)相交于A ,B 两点,M 为线段AB 的中点,若|AB|=2 5,直线OM 的斜率为12,求椭圆的方程.y =-12x +2,x 2a 2+y 2b 2=1,消去y ,整理得(a 2+4b 2)x 2-8a 2x+16a 2-4a 2b 2=0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由根与系数的关系,得x 1+x 2=8a 2a +4b ,x 1x 2=16a 2-4a 2b 2a +4b .又设M (x M ,y M ),则x M =x 1+x 22=4a 2a 2+4b 2,y M =-12x M +2=8b 2a 2+4b 2.因为k OM =y Mx M=12,所以2b 2a =12,即a 2=4b 2.从而x 1+x 2=8a 2a +4b =4,x 1x 2=16a 2-4a 2b 2a +4b =8-2b 2.又因为|AB|=2 5,所以 1+14× (x 1+x 2)2-4x 1x 2=2 5,即 52×16-4(8-2b 2)=2 5,解得b 2=4.所以a 2=4b 2=16,故所求的椭圆方程为x 216+y 24=1.。

2.2.2 椭圆的简单几何性质（二）一、选择题1．点A (a,1)在椭圆x 24＋y 22＝1的内部，则a 的取值范围是( ) A ．－2<a <2 B ．a <－2或a >2C ．－2<a <2 D ．－1<a <1[答案]A2．椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点到直线y ＝3x 的距离是( ) A.12 B.32C ．1 D. 3 [解析]选B.椭圆的右焦点为F (1,0)，∴d ＝33＋1＝32. 3．过椭圆x 225＋y 29＝1的右焦点且倾斜角为45°的弦AB 的长为( ) A ．5 B ．6C.9017D ．7 [解析]选C.椭圆的右焦点为(4,0)，直线的斜率为k ＝1，∴直线AB 的方程为y ＝x －4，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －4x 225＋y 29＝1得9x 2＋25(x －4)2＝225， 由弦长公式易求|AB |＝9017. 4．直线y ＝x ＋m 与椭圆x 2144＋y 225＝1有两个公共点，则m 的取值范围是( ) A ．(－5,5) B ．(－12,12)C ．(－13,13) D ．(－15,15)[解析]选C.联立直线与椭圆方程，由判别式Δ>0，可得－13<m <13.5．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P .若AP →＝2PB →，则椭圆的离心率是( )A.32B.22C.13D.12[解析]选D.如图，由于BF ⊥x 轴，故x B ＝－c ，y B ＝b 2a.设P (0，t )，∵AP →＝2PB →，∴(－a ，t )＝2⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a －t .∴a ＝2c ，∴c a ＝12.6．经过椭圆x 22＋y 2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A 、B 两点．设O 为坐标原点，则OA →·OB →等于( )A ．－3B ．－13C ．－13或－3D ．±13[解析]选B.不妨设l 过椭圆的右焦点(1,0)，则直线l 的方程为y ＝x －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，x 22＋y 2＝1，消去y ，得3x 2－4x ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝43，x 1x 2＝0， ∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(x 1－1)(x 2－1)＝2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝－43＋1＝－13. 二、填空题7．已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为________．[解析]由题意可设椭圆方程x 2a 2＋y 2a 2－4＝1，联立直线与椭圆方程，由Δ＝0得a ＝7. [答案]278．已知椭圆x 249＋y 224＝1上一点P 与椭圆两焦点F 1、F 2连线的夹角为直角，则|PF 1|·|PF 2|＝___. [解析]两焦点的坐标分别为F 1(－5,0)、F 2(5,0)，由PF 1⊥PF 2，得|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝100.而|PF 1|＋|PF 2|＝14，∴(|PF 1|＋|PF 2|)2＝196.∴100＋2|PF 1|·|PF 2|＝196.∴|PF 1|·|PF 2|＝48.[答案]489．过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为________．[解析]椭圆的右焦点为F (1,0)，∴l AB ：y ＝2x －2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，x 25＋y 24＝1，得3x 2－5x ＝0，∴x ＝0或x ＝53，∴A (0，－2)，B (53，43)，∴S △AOB ＝12|OF |(|y B |＋|y A |)＝12×1×(2＋43)＝53. [答案]53三、解答题10．焦点分别为(0,52)和(0，－52)的椭圆截直线y ＝3x －2所得椭圆的弦的中点的横坐标为12，求此椭圆方程． 解：设此椭圆的标准方程为x 2b 2＋y 2a 2＝1(a >b >0)，且a 2－b 2＝(52)2＝50 ① 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2b 2＋y 2a 2＝1y ＝3x －2，得(a 2＋9b 2)x 2－12b 2x ＋4b 2－a 2b 2＝0. ∵x 1＋x 22＝12，∴6b 2a 2＋9b 2＝12，∴a 2＝3b 2 ②，此时Δ>0， 由①②得a 2＝75，b 2＝25，∴x 225＋y 275＝1. 11．如图，点A 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴位于y 轴下方的端点，过点A 且斜率为1的直线交椭圆于点B ，若P 在y 轴上，且BP ∥x 轴，AB →·AP →＝9.点P 的坐标为(0,1)，求椭圆C 的方程．解：∵直线AB 的斜率为1，∴∠BAP ＝45°，即△BAP 是等腰直角三角形，|AB |＝2|AP |. ∵AB →·AP →＝9，∴|AB ||AP |cos 45°＝2|AP |2cos 45°＝9，∴|AP |＝3.∵P (0,1)，∴|OP |＝1，|OA |＝2，即b ＝2，且B (3,1)．∵B 在椭圆上，∴9a 2＋14＝1，得a 2＝12， ∴椭圆C 的方程为x 212＋y 24＝1. 12．已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2,0)为其右焦点．(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解：(1)依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，且可知其左焦点为F ′(－2,0)．从而有⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2，2a ＝|AF |＋|AF ′|＝3＋5＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a ＝4. 又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝12，故椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1. (2)假设存在符合题意的直线l ，设其方程为y ＝32x ＋t . 由⎩⎨⎧ y ＝32x ＋t ，x 216＋y 212＝1，得3x 2＋3tx ＋t 2－12＝0.因为直线l 与椭圆C 有公共点，所以Δ＝(3t )2－4×3×(t 2－12)≥0，解得－43≤t ≤4 3.另一方面，由直线OA 与l 的距离d ＝4， 得|t |94＋1＝4，解得t ＝±213. 由于±213∉[－43，43]，所以符合题意的直线l 不存在．。

2.2.2 椭圆的简单几何性质（第二课时）一、教学目标（一）学习目标1.理解直线与椭圆的位置关系；2.会进行位置关系的判断，计算弦长.（二）学习重点理解直线与椭圆的位置关系，会判定及应用（三）学习难点应用代数方法进行判定，相关计算的准确性，理解用方程思想解决直线与圆锥曲线的位置关系.二.教学设计（一）预习任务设计1.预习任务写一写：直线与椭圆的位置关系设直线:l y kx m =+，椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>，联立 2222222222222()201y kx m a k b x a kmx a m a b x y ab =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩2222224()a b a k b m ⇒∆=+- 若0∆=，则直线和椭圆有唯一公共点，直线和椭圆 相切 ；若0∆>，则直线和椭圆有两个公共点，直线和椭圆 相交 ；若0∆<，则，直线和椭圆没有公共点，直线和椭圆 相离 .2.预习自测（1）直线1y kx k =-+与椭圆22123x y +=的位置关系是（ ） A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定【知识点】直线与椭圆位置关系.【解题过程】直线(1)1y k x =-+恒过定点(1,1).由11123+<可知：点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交.【思路点拨】注意利用点在椭圆内判断直线与椭圆相交.【答案】A（2）判断（正确的打“√”，错误的打“×”） ①已知椭圆22221x y a b+=(0)a b >>与点(,0)P b ，过点P 可作出该椭圆的一条切线.（ ）②直线()y k x a =-与椭圆22221x y a b+=的位置关系是相交.（ ） 【知识点】直线与椭圆位置关系.【解题过程】点(,0)P b 在椭圆22221x y a b+=内部，故过P 不能作出椭圆的切线；直线()y k x a =-恒过点(,0)a ，而(,0)a 为椭圆22221x y a b+=的有顶点，过直线()y k x a =-一定与椭圆相交.【思路点拨】注意利用点在椭圆内判断直线与椭圆相交.【答案】①×；②√.（3）直线1y mx =+与椭圆2241x y +=有且只有一个交点，则2m =（ ） A.21 B.32 C.43 D.54 【知识点】直线与椭圆的位置关系.【解题过程】联立方程22141y mx x y =+⎧⎨+=⎩得：22(14)830m x mx +++=. 由条件知：226412(14)0m m ∆=-+=，解得：234m =. 【思路点拨】利用∆判断直线与椭圆的位置关系.【答案】C（4）椭圆13422=+y x 长轴端点为M 、N ，不同于M 、N 的点P 在此椭圆上，那么PM 、PN 的斜率之积为（ ）A.34-B.43-C.43D.34 【知识点】直线与椭圆.【解题过程】设00(,)P x y ，则，则2200334x y =-，故00003224PM PN y y k k x x ⋅=⋅=-+- 【思路点拨】按照题意直接代入求解即可.【答案】A（二）课堂设计1. 知识回顾（1）椭圆的简单几何性质；（2）直线与圆的位置关系.2. 新知讲解探究一：探究直线与椭圆的位置关系●活动① 复习回顾，类比学习我们学习过直线与圆的位置关系及判定，请你回忆相关知识.（1）直线与圆有三种位置关系分别是相离（没有公共点）、相切（一个公共点）、相交（两个公共点）.（2）判定方法有两种：代数法、几何法.那么直线与椭圆又有什么样的位置关系呢？又该如何来判定直线与椭圆的位置关系呢？【设计意图】由已有的知识类比迁移到新知识.●活动② 思考交流，结论形成通过画图我们看到，直线与椭圆的位置关系也可以归纳为相离，相切和相交，请你类比直线和圆的相离、相切、相交的定义来对直线和椭圆相离，相切和相交进行定义.学生交流，自由发言，教师适时引导，得出结论.直线与椭圆没有公共点⇔直线与椭圆相离；直线与椭圆有一个公共点⇔直线和椭圆相切；直线与椭圆有两个公共点⇔直线与椭圆相交.通过公共点的个数可以判断直线和椭圆的位置关系，如何确定公共点的个数呢？你有什么办法呢？例 1.判断直线123:1;:3;:3l y x l y x l y =+=-+=+与椭圆2214x y +=的位置关系.【知识点】直线与椭圆的位置关系.课堂活动：学生完成练习，根据学生的解题情况引入代数方法.在巡视过程中，大部分学生采用的是代数的方法，及个别的学生画出了图像，但第三条直线与椭圆的位置关系学生画图的很少，但利用代数方法研究的同学也没有得到结论.【解题过程】将直线与椭圆方程联立，根据判别式∆判断，123,,l l l 分别与椭圆的关系为：相交、相离和相切.【思路点拨】利用∆判断直线与椭圆的位置关系.【答案】123,,l l l 分别与椭圆的关系为：相交、相离和相切请你说说如何利用代数方法来进行直线和椭圆的位置关系的判断？直线与椭圆的位置关系的研究方法可通过代数方法即解方程组的办法来研究.因为方程组解的个数与交点的个数是一样的.直线与椭圆的位置关系的判定方法：直线与椭圆的位置关系设直线:l y kx m =+，椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>，联立 2222222222222()201y kx m a k b x a kmx a m a b x y ab =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩2222224()a b a k b m ⇒∆=+- （1）0∆>，方程有两个不等的实数根⇔有两个公共点⇔相交；（2）0∆=，方程有两个相等的实数根⇔有一个公共点⇔相切；（3）0∆<，方程没有实数根⇔没有公共点⇔相离.【设计意图】以旧带新，学生易于理解.同类训练 已知椭圆2241x y +=及直线y x m =+，当m 为何值时，直线与椭圆相切？【知识点】直线与椭圆的位置关系【解题过程】解方程组2241x y y x m⎧+=⎨=+⎩，消去y ，整理得225210x mx m ++-=， 222420(1)2016m m m ∆=--=-，由0∆=得220160m -=，解得m =【思路点拨】用方程实根个数刻画直线和圆锥曲线的位置关系，是研究直线和圆锥曲线位置关系的通法.探究二：计算椭圆的弦长●活动① 互动交流，形成结论例2. 已知斜率为2的直线经过椭圆22154x y +=的右焦点2F ，与椭圆交于,A B 两点，求AB 的长.【提出问题】本题的解决需要什么条件？如何由题目所给的条件去求得？前面的学习中遇到过类似的问题吗？当时是怎么解决的，方法能不能拿来一用？【知识点】直线与椭圆相交【解题过程】由条件知2(1,0)F ，故直线AB 方程为：22y x =-.设1122(,),(,)A x y B x y . 联立方程组2222154y x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 可得：2350x x -=. 法一：由2350x x -=得：1250,3x x ==，从而54(0,2),(,)33A B -. ||AB ∴== 法二：由2350x x -=得：12125,03x x x x +==. 2||=AB x ∴==-. 【思路点拨】初学者常想到求直线和椭圆的交点，然后利用两点间距离公式求弦长，此种方法仅当直线方程和椭圆方程简单时，易得交点坐标，一般情况不采用此法.弦长公式：2||AB x =-，其中k 为直线AB 的斜率，1122(,),(,)A x y B x y .【设计意图】由特殊到一般，让学生体会韦达定理的应用及解析几何中“设而不求，整体代入”的解题思路.同类训练 已知椭圆2241x y +=及直线y x m =+，求直线被椭圆截得最长弦所在直线方程.【知识点】直线与椭圆相交弦长公式.【解题过程】由题意2241x y y x m⎧+=⎨=+⎩得225210x mx m ++-=， 由韦达定理得122122515m x x m x x ⎧+=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩， ∴弦长l === 当0m =时，l， 此时直线方程为y x =. 【思维点拨】当直线与椭圆相交时，求弦长时，联立直线方程和椭圆方程，利用韦达定理，就可以直接利用弦长公式求得弦长.●活动② 强化提升，灵活应用例3. 已知椭圆2212x y += （1）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（2）过(2,1)A 的直线l 与椭圆相交，求l 被截得的弦的中点轨迹方程；【知识点】直线与椭圆相交，曲线的方程.【解题过程】解：（1）设斜率为2的直线方程为2y x b =+.由22212y x b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2298220x bx b ++-=， 由22(8)36(22)0b b ∆=-->，得33b -<<.设该弦的端点坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，则12429x x b +=-，444393b -<-<. 设弦的中点坐标为(,)M x y ，则1249,294x x b x b x +==-=-， 代入2y x b =+，得4440()33x y x +=-<<为所求轨迹方程. （2）设l 与椭圆的交点为1122(,),(,)x y x y ，弦的中点为(,)x y ，则221122221212x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减并整理得12121212()()2()()0x x x x y y y y -++-+=.又12122,2x x x y y y +=+=121212122()4()=0,()20()x x x y y y y y x y x x ∴-+--+⋅=-① 由题意知1212()1()2y y y x x x --=--，代入①得1202y x y x -+⋅=-. 化简得222220x y x y +--=.∴所求轨迹方程为222220x y x y +--=（夹在椭圆内的部分）.【思路点拨】例3（2）解题方法叫做“点差法”，点差法充分体现了“设而不求”的数学思想.【答案】222220x y x y +--=.同类训练 已知定点)01(，-C 及椭圆5322=+y x ，过点C 的动直线与椭圆相交于A B ，两点，若线段AB 中点的横坐标是12-，求直线AB 的方程. 【知识点】直线与椭圆的位置关系.【解题过程】依题意，直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为(1)y k x =+， 将(1)y k x =+代入5322=+y x ，消去y 整理得2222(31)6350.k x k x k +++-=设1122() () A x y B x y ，，，， 则4222122364(31)(35)0 (1) 6. (2)31k k k k x x k ⎧∆=-+->⎪⎨+=-⎪+⎩， 由线段AB 中点的横坐标是12-， 得2122312312x x k k +=-=-+，解得k =，适合(1). 所以直线AB 的方程为10x +=，或10x ++=.【思维点拨】解决直线和圆锥曲线的相关问题时，韦达定理得应用十分广泛，此题干中涉及中点问题，自然联想到12x x +韦达定理结构.【答案】10x -+=，或10x +=.3.课堂总结知识梳理（1）直线与椭圆的位置关系0∆>，方程有两个不等的实数根⇔有两个公共点⇔相交；0∆=，方程有两个相等的实数根⇔有一个公共点⇔相切；0∆<，方程没有实数根⇔没有公共点⇔相离.（2）弦长公式：2||AB x =-，其中k 为直线AB 的斜率，1122(,),(,)A x y B x y .重难点归纳（1）用方程实根个数刻画直线和圆锥曲线的位置关系，是研究直线和圆锥曲线位置关系的通法；（2）涉及弦中点的问题，常用点差法处理.（三）课后作业基础型 自主突破1.若点P (a,1)在椭圆x 22＋y 23＝1的外部，则a 的取值范围为（ ）A.(－233，233)B.(233，＋∞)∪(－∞，－233)C.(43，＋∞)D.(－∞，－43)【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】因为点P 在椭圆x 22＋y 23＝1的外部，所以a 22＋123>1，解得a >233或a <－233，故选B.【思路点拨】根据点与椭圆的位置关系建立不等式求解.【答案】B 2.点P 为椭圆x 25＋y 24＝1上一点，以点P 及焦点F 1、F 2为顶点的三角形的面积为1，则P 点的坐标为（ ）A.(±152，1)B.(152，±1)C.(152，1)D.(±152，±1)【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】设P (x 0，y 0)，∵a 2＝5，b 2＝4，∴c ＝1，∴12PF F S ∆=12|F 1F 2|·|y 0|＝|y 0|＝1，∴y 0＝±1，∵x 205＋y 204＝1，∴x 0＝±152.故选D.【思路点拨】焦点三角形面积计算以12||F F 为底边.【答案】D3.过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为（ ）A.22B.33C.12D.13【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】把x ＝－c 代入椭圆方程可得y c ＝±b 2a ， ∴|PF 1|＝b 2a ，∴|PF 2|＝2b 2a ，故|PF 1|＋|PF 2|＝3b 2a ＝2a ，即3b 2＝2a 2. 又∵a 2＝b 2＋c 2，∴3(a 2－c 2)＝2a 2，∴(c a )2＝13，即e ＝33.【思路点拨】利用椭圆定义和几何关系解题.【答案】B4.如图F 1、F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以|OF 1|为半径的圆与该左半椭圆的两个交点，且△F 2AB 是等边三角形，则椭圆的离心率为（ ）A.32B.12C.22D.3－1【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】连接AF 1，由圆的性质知，∠F 1AF 2＝90°，又∵△F 2AB 是等边三角形，∴∠AF 2F 1＝30°，∴AF 1＝c ，AF 2＝3c ，∴e ＝c a ＝2c 2a ＝2c c ＋3c＝3－1.故选D.【思路点拨】利用圆的几何性质和椭圆离心率的定义. 【答案】D5.若过椭圆x 216＋y 24＝1内一点(2,1)的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是_____________.【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】设弦两端点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 2116＋y 214＝1，x 2216＋y 224＝1，两式相减并把x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2代入得，y 1－y 2x 1－x 2＝－12， ∴所求直线方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0. 【思路点拨】中点弦问题灵活利用点差法. 【答案】x ＋2y －4＝0.6.设F 1、F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右两个焦点，若椭圆C 上的点A (1，32)到F 1、F 2两点的距离之和为4，则椭圆C 的方程是________，焦点坐标是________.【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】由|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝4得a ＝2. ∴原方程化为：x 24＋y 2b 2＝1， 将A (1，32)代入方程得b 2＝3.∴椭圆方程为：x 24＋y 23＝1，焦点坐标为(±1,0). 【思路点拨】把握椭圆的定义解题. 【答案】x 24＋y 23＝1；(±1,0). 能力型 师生共研7.设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax 2＋bx －c＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)（ ） A.必在圆x 2＋y 2＝2上 B.必在圆x 2＋y 2＝2外 C.必在圆x 2＋y 2＝2内 D.以上三种情形都有可能 【知识点】椭圆的几何性质. 【解题过程】e ＝12⇒c a ＝12⇒c ＝a2， a 2－b 2a 2＝14⇒b 2a 2＝34 ⇒b a ＝32⇒b ＝32a .∴ax 2＋bx －c ＝0⇒ax 2＋32ax －a2＝0⇒x 2＋32x －12＝0，x 1＋x 2＝－32，x 1x 2＝－12， ∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝34＋1＝74<2. ∴在圆x 2＋y 2＝2内，故选C.【思路点拨】简化,,a b c 关系将方程具体化. 【答案】C8.如图，在椭圆中，若AB ⊥BF ，其中F 为焦点，A 、B 分别为长轴与短轴的一个端点，则椭圆的离心率e ＝________.【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，则有A (－a,0)，B (0，b )，F (c,0)，由AB ⊥BF ，得k AB ·k BF ＝－1，而k AB ＝b a ，k BF ＝－b c 代入上式得()1b b a c -=-，利用b 2＝a 2－c 2消去b 2，得a c －c a ＝1，即1e －e ＝1，解得e ＝－1±52，∵e>0，∴e ＝5－12.【思路点拨】利用椭圆几何性质解题. 【答案】e ＝5－12.探究型 多维突破9.已知过点A (－1,1)的直线l 与椭圆x 28＋y 24＝1交于点B ，C ，当直线l 绕点A (－1,1)旋转时，求弦BC 中点M 的轨迹方程. 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】设直线l 与椭圆的交点B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，弦BC 的中点M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 218＋y 214＝1，①x 228＋y 224＝1，②①－②，得(x 218－x 228)＋(y 214－y 224)＝0，∴(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.③当x 1≠x 2时，③式可化为(x 1＋x 2)＋2(y 1＋y 2)·y 2－y 1x 2－x 1＝0.∵x 1＋x 22＝x ，y 1＋y 22＝y ，y 2－y 1x 2－x 1＝y －1x ＋1，∴2x ＋2·2y ·y －1x ＋1＝0，化简得x 2＋2y 2＋x －2y ＝0.当x 1＝x 2时，∵点M (x ，y )是线段BC 中点， ∴x ＝－1，y ＝0，显然适合上式.综上所述，所求弦中点M 的轨迹方程是x 2＋2y 2＋x －2y ＝0. 【思路点拨】弦中点问题灵活利用点差法解题. 【答案】x 2＋2y 2＋x －2y ＝0.10.已知椭圆方程22123x y +=，试确定m 的范围，使椭圆上存在两个不同点关于直线4y x m =+对称.【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】设点1122(,),(,)A x y B x y 为椭圆上点，且关于直线4y x m =+对称,另设AB 中点坐标为00(,)M x y则22112222123123x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩作差得1212121211023y y y y x x x x -++⋅=-+ 01212121203322AB y y y y y k x x x x x -+⇒⋅=-⇒⋅=--+ ① 1122(,),(,)A x y B x y 关于直线4y x m =+对称，14AB k ∴=-，代入①式得006y x = ②易知点00(,)M x y 必在直线4y x m =+上，004y x m ∴=+ ③ 联立②③解得(,3)2mM m AB 为椭圆的弦，∴中点M 必在椭圆内， 22()(3)2123m m ∴+<，m <<【思路点拨】注意利用弦的中点在椭圆内部建立不等关系解题.【答案】m <<自助餐1.已知m 、n 、m ＋n 成等差数列，m 、n 、mn 成等比数列，则椭圆x 2m ＋y 2n ＝1的离心率为（ ）A.12B.33C.22D.32【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】由已知得⎩⎨⎧2n ＝m ＋m ＋n ，n 2＝m 2n .解得⎩⎨⎧m ＝2，n ＝4.∴e ＝n －m n ＝22，故选C.【思路点拨】利用离心率的定义. 【答案】C2.AB 为过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1中心的弦，F (c,0)为椭圆的左焦点，则△AFB 的面积最大值是（ ）A.b 2B.bcC.abD.ac 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】S △ABF ＝S △AOF ＋S △BOF ＝12|OF |·|y A －y B |， 当A 、B 为短轴两个端点时，|y A －y B |最大，最大值为2b . ∴△ABF 面积的最大值为bc .【思路点拨】椭圆几何性质把握图形中的几何关系. 【答案】B3.在△ABC 中，AB ＝BC ，cos B ＝－718.若以A ，B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e ＝（ ）A.34B.37C.38D.318 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】设|AB |＝x >0，则|BC |＝x ， AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B＝x 2＋x 2－2x 2·(－718)＝259x 2，∴|AC |＝53x ， 由条件知，|CA |＋|CB |＝2a ，AB ＝2c ， ∴53x ＋x ＝2a ，x ＝2c ，∴e ＝c a ＝2c 2a ＝x 83x ＝38.【思路点拨】注意转化为椭圆的定义. 【答案】C4.若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为（ ）A.2B.3C.6D.8 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】由题意可知O (0,0)，F (－1,0)，设点P 为(x ，y )，则OP →＝(x ，y )， FP →＝(x ＋1，y )，∴OP →·FP→＝x (x ＋1)＋y 2＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3－34x 2 ＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2. ∵x ∈[－2,2]，∴当x ＝2时，OP →·FP →取最大值.(OP →·FP →)max＝14(2＋2)2＋2＝6，故选C. 【思路点拨】数量积问题坐标化处理. 【答案】C5.设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(0,4)，离心率为35. （1）求椭圆C 的方程；（2）求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标. 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】（1）将点(0,4)代入椭圆C 的方程，得16b 2＝1，∴b ＝4， 又e ＝c a ＝35，则a 2－b 2a 2＝925，∴1－16a 2＝925，∴a ＝5， ∴椭圆C 的方程为x 225＋y 216＝1.（2）过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)，设直线与椭圆C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入椭圆方程得22(3)12525x x -+=，即x 2－3x －8＝0，由韦达定理得x 1＋x 2＝3，所以线段AB 中点的横坐标为x 1＋x 22＝32，纵坐标为45(32－3)＝－65，即所截线段的中点坐标为(32，－65).【思路点拨】直线与椭圆相交注意利用韦达定理解题. 【答案】见上6.设12F F 、是椭圆:E 2221(01)y x b b+=<<的左、右焦点，过1F 的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且22||,||,||AF AB BF 成等差数列. （1）求||AB ；（2）若直线l 的斜率为1，求b 得值. 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】（1）由椭圆定义知：22||||||4AF AB BF ++=， 又222||||||AB AF BF =+，得4||3AB =. （2）l 的方程为y x c =+，其中c =设1122(,),(,)A x y B x y ，则2221y x c y x b =+⎧⎪⎨+=⎪⎩化简得222(1)2120b x cx b +++-=，则2121222212,11c b x x x x b b--+==++ 因为直线AB 的斜率为1，所以21|||AB x x =-，即214||3x x -.则224212122222284(1)4(12)8()49(1)(1)(1)b b b x x x x b b b --=+-=-=+++，解得b =【思路点拨】将弦长||AB 从两个不同角度考虑，建立等式解题. 【答案】见上。

2．2.2 椭圆的几何性质(二)[学习目标] 1.巩固椭圆的简单几何性质.2.掌握直线与椭圆的三种位置关系，特别是直线与椭圆相交的有关问题．知识点一 点与椭圆的位置关系点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的位置关系：点P 在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b2＝1；点P 在椭圆内部⇔x 20a 2＋y 20b 2<1；点P 在椭圆外部⇔x 20a 2＋y 20b 2>1.知识点二 直线与椭圆的位置关系直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)的位置关系判断方法：联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b 2＝1.消去y 得到一个关于x 的一元二次方程知识点三 弦长公式设直线方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，直线与椭圆的两个交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2， ∴AB ＝(x 1－x 2)2＋(kx 1－kx 2)2 ＝1＋k 2(x 1－x 2)2＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2， 或AB ＝(1k y 1－1ky 2)2＋(y 1－y 2)2＝ 1＋1k2(y 1－y 2)2 ＝1＋1k2(y 1＋y 2)2－4y 1y 2. 其中，x 1＋x 2，x 1x 2或y 1＋y 2，y 1y 2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y (或x )后得到关于x (或y )的一元二次方程求得．题型一 直线与椭圆的位置关系例1 在椭圆x 24＋y 27＝1上求一点P ，使它到直线l ：3x －2y －16＝0的距离最短，并求出最短距离．解 设与椭圆相切并与l 平行的直线方程为y ＝32x ＋m ，代入x 24＋y 27＝1，并整理得4x 2＋3mx ＋m 2－7＝0， Δ＝9m 2－16(m 2－7)＝0 ⇒m 2＝16⇒m ＝±4，故两切线方程为y ＝32x ＋4和y ＝32x －4，显然y ＝32x －4距l 最近，d ＝|16－8|32＋(－2)2＝813＝81313，切点为P ⎝⎛⎭⎫32，－74. 反思与感悟 本题将求最小距离问题转化为直线与椭圆的位置关系问题．解此类问题的常规解法是直线方程与椭圆方程联立，消去y 或x 得到关于x 或y 的一元二次方程，则(1)直线与椭圆相交⇔Δ>0；(2)直线与椭圆相切⇔Δ＝0；(3)直线与椭圆相离⇔Δ<0.所以判定直线与椭圆的位置关系，方程及其判别式是最基本的工具．跟踪训练1 已知椭圆x 2＋8y 2＝8，在椭圆上求一点P ，使P 到直线l ：x －y ＋4＝0的距离最短，并求出最短距离．解 设与直线x －y ＋4＝0平行且与椭圆相切的直线为x －y ＋a ＝0，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋8y 2＝8，x －y ＋a ＝0，得9y 2－2ay ＋a 2－8＝0，Δ＝4a 2－36(a 2－8)＝0，解得a ＝3或a ＝－3， ∴与直线l 距离较近的切线方程为x －y ＋3＝0，最小距离为d ＝|4－3|2＝22.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋8y 2＝8，x －y ＋3＝0，得⎩⎨⎧x ＝－83，y ＝13，即P (－83，13)．题型二 直线与椭圆的相交弦问题例2 已知点P (4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，求直线l 的方程．解 由题意知直线l 的斜率存在，所以可设直线l 的方程为y －2＝k (x －4)， 而椭圆的方程可以化为x 2＋4y 2－36＝0. 将直线方程代入椭圆方程有(4k 2＋1)x 2－8k (4k －2)x ＋4(4k －2)2－36＝0. 所以x 1＋x 2＝8k (4k －2)4k 2＋1＝8，所以k ＝－12. 所以直线l 的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.反思与感悟 研究直线与椭圆相交的关系问题的通法是通过解直线与椭圆构成的方程，利用根与系数的关系或中点坐标公式解决．涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点与斜率的关系．跟踪训练2 在椭圆x 2＋4y 2＝16中，求通过点M (2,1)且被这一点平分的弦所在的直线方程． 解 方法一 如果弦所在的直线的斜率不存在，即直线垂直于x 轴， 则点M (2,1)显然不可能为这条弦的中点． 故可设弦所在的直线方程为y ＝k (x －2)＋1， 代入椭圆方程得x 2＋4[k (x －2)＋1]2＝16， 即得(1＋4k 2)x 2－(16k 2－8k )x ＋16k 2－16k －12＝0， ∵直线与椭圆有两个交点，故Δ＝16(12k 2＋4k ＋3)>0， 又x 1＋x 2＝16k 2－8k 1＋4k 2＝4，解得k ＝－12，满足Δ>0. ∴直线方程为x ＋2y －4＝0.方法二 设弦的两个端点分别为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2， ∵P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)在椭圆上，故有x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 22＝16，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0， ∵点M (2,1)是PQ 的中点，故x 1≠x 2，两边同除(x 1－x 2)得，(x 1＋x 2)＋4(y 1＋y 2)y 1－y 2x 1－x 2＝0，即4＋8k ＝0，∴k ＝－12.∴弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.题型三 椭圆中的最值(或范围)问题 例3 已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m 得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，因为直线与椭圆有公共点， 所以Δ＝4m 2－20(m 2－1)≥0，解得－52≤m ≤52. (2)设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 由(1)知：5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0， 所以x 1＋x 2＝－2m 5，x 1x 2＝15(m 2－1)，所以AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝2(x 1－x 2)2＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝2⎣⎡⎦⎤4m 225－45(m 2－1)＝2510－8m 2. 所以当m ＝0时，AB 最大，即被椭圆截得的弦最长，此时直线方程为y ＝x .反思与感悟 解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等．解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想．其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件．跟踪训练3 如图，点A 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴位于y 轴下方的端点，过点A 且斜率为1的直线交椭圆于点B ，若P 在y 轴上，且BP ∥x 轴，AB →·AP →＝9.(1)若点P 的坐标为(0,1)，求椭圆C 的标准方程； (2)若点P 的坐标为(0，t )，求t 的取值范围． 解 ∵直线AB 的斜率为1，∴∠BAP ＝45°， 即△BAP 是等腰直角三角形，|AB →|＝2|AP →|.∵AB →·AP →＝9，∴|AB →||AP →|cos 45°＝2|AP →|2cos 45°＝9， ∴|AP →|＝3.(1)∵P (0,1)，∴|OP →|＝1，|OA →|＝2， 即b ＝2，且B (3,1)．∵B 在椭圆上，∴9a 2＋14＝1，得a 2＝12，∴椭圆C 的标准方程为x 212＋y 24＝1.(2)由点P 的坐标为(0，t )及点A 位于x 轴下方，得点A 的坐标为(0，t －3)， ∴t －3＝－b ，即b ＝3－t .显然点B 的坐标是(3，t )，将它代入椭圆方程得： 9a 2＋t 2(3－t )2＝1，解得a 2＝3(3－t )23－2t . ∵a 2>b 2>0，∴3(3－t )23－2t>(3－t )2>0.∴33－2t >1，即33－2t －1＝2t 3－2t>0， ∴所求t 的取值范围是0<t <32.1．直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是________．答案{}m |m >1且m ≠3解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x 2m ＋y 23＝1⇒(3＋m )x 2＋4mx ＋m ＝0，∴Δ>0，∴m >1或m <0.又∵m >0且m ≠3，∴m >1且m ≠3.2．已知椭圆的方程为2x 2＋3y 2＝m (m >0)，则此椭圆的离心率为________． 答案33解析 将方程化为标准形式x 2m 2＋y 2m 3＝1，因为m >0，所以a 2＝m 2，b 2＝m3，所以c 2＝a 2－b 2＝m 2－m 3＝m6，所以e ＝ca＝m 6m 2＝13＝33. 3．椭圆x 225＋y 216＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，弦AB 过F 1，若△ABF 2的内切圆周长为π，A 、B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则|y 1－y 2|的值为________． 答案 53解析 易知△ABF 2的内切圆的半径r ＝12，根据椭圆的性质结合△ABF 2的特点，可得△ABF 2的面积S ＝12lr ＝12×2c ×|y 1－y 2|，其中l 为△ABF 2的周长，且l ＝4a ，代入数据解得|y 1－y 2|＝53.4．已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆上一点，且PF 1→·PF 2→＝c 2，则此椭圆离心率的取值范围是____________． 答案 ⎣⎡⎦⎤33，22解析 设P (x ，y )，则PF 1→·PF 2→＝(－c －x ，－y )·(c －x ，－y )＝x 2－c 2＋y 2＝c 2，① 将y 2＝b 2－b 2a2x 2代入①式解得x 2＝(2c 2－b 2)a 2c 2＝(3c 2－a 2)a 2c 2，又x 2∈[0，a 2]，∴2c 2≤a 2≤3c 2， ∴e ＝c a ∈⎣⎡⎦⎤33，22.5．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________． 答案 0<e <22解析 设M (x ，y )，∵MF 1→·MF 2→＝0，∴点M 的轨迹方程是x 2＋y 2＝c 2，点M 的轨迹是以原点为圆心的圆，其中F 1F 2为圆的直径． 由题意知，椭圆上的点P 总在圆外，所以OP >c 恒成立， 由椭圆性质知OP ≥b ，∴b >c ，∴a 2>2c 2， ∴(c a )2<12，∴0<e <22.解决直线与椭圆的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，解题步骤为：(1)设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)；(2)联立直线与椭圆的方程；(3)消元得到关于x或y的一元二次方程；(4)利用根与系数的关系设而不求；(5)把题干中的条件转化为x1＋x2，x1·x2或y1＋y2，y1·y2，进而求解．。

椭圆的几何性质一、教材分析1.教材的内容和地位：本节课是江苏教育出版社出版的普通高中课程标准实验教科书《数学》选修2—1第二章第二节的内容，它是在学完椭圆的标准方程的基础上，通过研究椭圆的标准方程来探究椭圆的简单几何性质，是本单元的重点内容之一。

利用曲线方程研究曲线的性质，是解析几何的主要任务目的。

通过本节课的学习，既让学生了解了椭圆的几何性质，又让学生初步体会了利用曲线方程来研究其性质的过程，同时也为下一步学习双曲线和抛物线的性质做好了铺垫。

2.教学重点：椭圆的几何性质及其应用3.教学难点：如何通过椭圆方程研究其性质二、教学目标1.知识目标：掌握椭圆的简单的几何性质。

2.能力目标：能够运用椭圆的几何性质处理一些简单的实际问题，初步感受运用曲线方程研究曲线性质的方法，进一步领会数形结合的思想，培养学生自主学习、合作探究、类比猜想的能力。

3.情感目标：通过实例培养学生爱国主义情感，激发学生学习数学的兴趣。

三、教法学法“问题是数学的心脏”，教学活动采用“问题探究式”的教学方式进行，通过把知识转化成问题，引导学生分组讨论，合作探究，教学中穿学练结合，同时渗透数形结合，渗透数形结合。

学生则采用自主探究，合作交流的“研讨式”学习方式，去体验知识的形成过程，参与问题的分组讨论等方式，体验知识的形成过程，参与问题的发现、解决过程，从而达到掌握知识、提高能力的目的。

四、教学过程1.设境激趣，导入新课：2005年10月12日上午九时整，随着一声巨响，我国研制的神州六号载人飞船，从酒泉卫星发射中心顺利升空，不久，飞船进入了以近地点200公里，远地点347公里的椭圆轨道围绕地球运行，举世瞩目，万众欢腾。

请问你能利用所学的知识求出椭圆轨道的方程吗？你想知道椭圆有哪些重要的几何性质吗？今天这一节课我们就来探讨这些问题（板书：椭圆的几何性质）设计意图：通过同学们熟悉的例子，引入新课，激发学生的爱国热情和好奇心，激起他们强烈的求知欲。