高考数学一轮复习 椭圆课时作业43 文 北师大版

课时规范练42　椭圆基础巩固组1.(2021山东济南十一校联考)“2<m<6”是“方程x 2m -2+y 26-m=1表示椭圆”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.(2021福建厦门集美中学月考)已知点M (3,√15)是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)上的一点,椭圆的长轴长是焦距的32倍,则该椭圆的方程为( )A.x 225+y 220=1 B.x 227+2y 245=1C.x 218+y 210=1 D.x 236+y 220=13.已知F 1,F 2分别为椭圆E :y 2a 2+x 2b 2=1(a>b>0)的两个焦点,点P 是椭圆E 上的点,PF 1⊥PF 2,且sin∠PF 2F 1=3sin∠PF 1F 2,则椭圆E 的离心率为( )A.√102B.√104C.√52D.√544.(2021新高考Ⅰ,5)已知F 1,F 2是椭圆C :x 29+y 24=1的两个焦点,点M 在椭圆C 上,则|MF 1||MF 2|的最大值为( )A.13B.12C.9D.65.关于椭圆3x 2+4y 2=12有以下结论,其中正确的是( )A.离心率为15B.长轴长是2√3C.焦点在y 轴上D.焦点坐标为(-1,0),(1,0)6.椭圆E 的焦点在x 轴上,其短轴的两个端点和两个焦点恰为边长为2的正方形的顶点,则( )A.椭圆E 的长轴长为4√2B.椭圆E 的焦点坐标为(-2,0),(2,0)C.椭圆E 的离心率为12D.椭圆E 的标准方程为x 24+y 22=17.若圆C 以椭圆x 216+y 212=1的右焦点为圆心,长半轴长为半径,则圆C 的方程为 . 8.(2021湖南浏阳一中模拟)椭圆x 29+y 23=1的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P 在椭圆上,如果线段PF 1的中点在y 轴上,那么|PF 1|是|PF 2|的 倍.综合提升组9.(2021江西南昌三中月考)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,|F 1F 2|=√10,点P 是y 轴正半轴上一点,线段PF 1交椭圆于点A ,若AF 2⊥PF 1,且△APF 2的内切圆半径为√22,则椭圆的离心率是( )A.√54 B.√510 C.√53 D.√15410.如图所示,某月球探测器飞行到月球附近时,首先在以月球球心F 为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月飞行,然后在点P 处变轨进入以点F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ上绕月飞行,最后在点Q 处变轨进入以点F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行,设圆形轨道Ⅰ的半径为R,圆形轨道Ⅲ的半径为r,则以下说法正确的是(　)A.椭圆轨道Ⅱ上任意两点距离最大为2RB.椭圆轨道Ⅱ的焦距为R-rC.若r不变,则R越大,椭圆轨道Ⅱ的短轴越短D.若R不变,则r越小椭圆轨道Ⅱ的离心率越小11.已知点P是椭圆x249+y245=1上一动点,点M,点N分别是圆(x+2)2+y2=116与圆(x-2)2+y2=116上的动点,则( )A.|PM|+|PN|的最小值为272B.|PM|+|PN|的最小值为252C.|PM|+|PN|的最大值为252D.|PM|+|PN|的最大值为272创新应用组12.“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理,该定理的内容为:椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点,必在一个与椭圆同心的圆上,该圆称为椭圆的“蒙日圆”.若椭圆C:x 24+y2m=1(m>0,m≠4)的离心率为√32,则椭圆C的“蒙日圆”方程为( )A.x2+y2=5或x2+y2=7B.x2+y2=7或x2+y2=20C.x2+y2=5或x2+y2=20D.x2+y2=7或x2+y2=2813.(2021河北保定三中月考)椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的右焦点为F (c ,0),已知定点M (14a 29c,0),若椭圆C 上存在点N ,使得△FMN 为等腰钝角三角形,则椭圆C 的离心率的取值范围是　.课时规范练42　椭圆1.B 解析:若方程x 2m -2+y 26-m =1为椭圆方程,则{m -2>0,6-m >0,m -2≠6-m ,解得2<m<6且m ≠4,故“2<m<6”是“方程x 2m -2+y 26-m =1表示椭圆方程”的必要不充分条件.故选B .2.D 解析:由题意{a 2=b 2+c 2,a =32c ,9a 2+15b 2=1,解得{a =6,b =2√5,所以椭圆方程为x 236+y 220=1.故选D .3.B 解析:因为F 1,F 2分别为椭圆E :y 2a 2+x 2b 2=1(a>b>0)的两个焦点,点P 是椭圆E 上的点,PF 1⊥PF 2,且sin∠PF 2F 1=3sin∠PF 1F 2,所以由正弦定理可得|PF 1|=3|PF 2|,且|PF 1|+|PF 2|=2a ,|PF 1|2+|PF 2|2=4c 2,所以52a 2=4c 2,所以椭圆的离心率e=c a =√524=√104.故选B .4.C 解析:由题意知|MF 1|+|MF 2|=2a=6,则√|M F 1||M F 2|❑≤|M F 1|+|M F 2|2=3,则|MF 1||MF 2|≤9,当且仅当|MF 1|=|MF 2|=3时,等号成立,故|MF 1||MF 2|的最大值为9.故选C .5.D 解析:将椭圆方程化为标准方程为x 24+y 23=1.该椭圆的焦点在x 轴上,故C 错误;焦点坐标为(-1,0),(1,0),故D 正确;a=2,长轴长是4,故B 错误;离心率e=c a =12,故A 错误.故选D .6.D 解析:设椭圆E 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0).由题可知b=c=√2,所以a 2=b 2+c 2=4,所以a=2,所以椭圆E 的长轴长2a=4,焦点坐标为(-√2,0),(√2,0),离心率为√22,标准方程为x 24+y 22=1.故选D .7.(x-2)2+y 2=16　解析:由椭圆方程可知a 2=16,b 2=12,则c 2=4,所以椭圆右焦点为(2,0),长半轴长为4.由题可知,圆C 以(2,0)为圆心,4为半径,所以圆的方程为(x-2)2+y 2=16.8.5　解析:由题可知a=3,c=√6,PF 2⊥x 轴.当x=√6时,69+y 23=1,解得y=±1,所以|PF 2|=1,所以|PF1|=2×3-|PF2|=6-1=5,所以|PF1|是|PF2|的5倍.9.C　解析:由题可知2c=√10,所以c=√102.因为直角三角形APF2的内切圆半径为√2 2,所以|AP|+|AF2|-|PF2|=2×√22=√2.又由椭圆的对称性可知|PF2|=|PF1|,所以|AP|+|AF2|-|PF2|=√2=|AP|+|AF2|-|PF1|=|AF2|-|AF1|.在直角三角形AF1F2中,由{|A F2|-|A F1|=√2,|A F1|2+|A F2|2=|F1F2|2=10,解得{|A F1|=2-√2,|A F2|=√2,所以|PF1|+|PF2|=3√2,即2a=3√2,a=3√22,所以椭圆的离心率e=ca √103√22√53.故选C.10.B　解析:设椭圆轨道Ⅱ的长轴长为2a,短轴长为2b,焦距为2c,依题意得{a+c=R,a-c=r,解得a=R+r2,c=R-r2.椭圆轨道Ⅱ上任意两点距离的最大值为2a=R+r,故A错误;椭圆轨道Ⅱ的焦距为2c=R-r,故B正确;椭圆轨道Ⅱ的短轴长2b=2√a2-c2=2√Rr,若r不变,R越大,则2b越大,椭圆轨道Ⅱ的短轴越长,故C 错误;椭圆轨道Ⅱ的离心率e=ca =R-rR+r=1-2rR+r=1-2Rr+1,若R不变,r越小,则e越大,故D错误.故选B.11.A　解析:由题可知,圆(x+2)2+y2=116与圆(x-2)2+y2=116的圆心分别为A(-2,0),B(2,0),且A,B是椭圆x 249+y245=1的两个焦点,两圆的半径均为14,所以|PM|+|PN|的最大值为|PA|+|PB|+2×14=2a+12=2×√49+12=292,|PM|+|PN|的最小值为|PA|+|PB|-2×14=2a-12=2×√49−12=272.故选A.12.C　解析:若m>4,√m-4√=√32,即m=16,所以C:x24+y216=1.因为椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点,必在一个与椭圆同心的圆上,不妨取两点(2,0),(0,4),则两条切线为x=2和y=4,所以两条切线的交点为(2,4),所以点(2,4)在蒙日圆上,所以半径为√22+42=√20,所以蒙日圆为x2+y2=20.若0<m<4,则√4-m2=√32,即m=1,所以C:x24+y2=1.因为椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点,必在一个与椭圆同心的圆上,不妨取两点(2,0),(0,1),则两条切线为x=2和y=1,所以两条切线的交点为(2,1),所以点(2,1)在蒙日圆上,所以半径为√22+12=√5,所以蒙日圆为x2+y2=5.综上,椭圆C的“蒙日圆”方程为x2+y2=5或x2+y2=20.故选C.13.(23,1)　解析:因为|OM|-|OF|=14a29c-c=14a2-9c29c =5a2+9b29c,且a,b,c均为正数,所以|OM|-|OF|>0,所以M在F点右侧.又14a29c -a=14a2-9ac9c=a(14a-9c)9c>0,所以M在椭圆外部,所以∠NMF不可能为钝角.若∠FNM为钝角,设MF的中点为E,N的横坐标为x0,则c≤x0≤a,应有NE垂直平分FM,即x0=|OE|.因为|OE|=|OF|+12|FM|=c+12(14a29c-c)=12(14a29c+c),而1 2(14a29c+c)-a=14a2+9c2-18ac18c=5a2+9(c-a)218c>0,所以∠FNM不可能为钝角.故∠NFM为钝角,且|FM|=|FN|,此时|FM|=14a 29c-c,|FN|∈(c,a+c).当NF垂直x轴时,N(c,y0),所以c2a2+y02b2=1,解得|y0|=b2a,所以b2a<14a29c-c<a+c,所以{18e2+9e-14>0, 9e3-9e2-9e+14>0,0<e<1,解得23<e<1.。

A 级 基础达标演练(时间：40分钟 满分：60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2012·厦门模拟)已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于( )．A.12B.22C. 2D.32解析 由题意得2a ＝22b ⇒a ＝2b ，又a 2＝b 2＋c 2⇒b ＝c ⇒a ＝2c ⇒e ＝22. 答案 B2．(2012·长沙调研)中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )． A.x 281＋y 272＝1 B.x 281＋y 29＝1 C.x 281＋y 245＝1 D.x 281＋y 236＝1 解析 依题意知：2a ＝18，∴a ＝9,2c ＝13×2a ，∴c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝81－9＝72，∴椭圆方程为x 281＋y 272＝1.答案 A3．(2012·长春模拟)椭圆x 2＋4y 2＝1的离心率为( )． A.32 B.34 C.22 D.23解析 先将x 2＋4y 2＝1化为标准方程x 21＋y 214＝1，则a ＝1，b ＝12，c ＝a 2－b 2＝32.离心率e＝c a ＝32. 答案 A4．(2012·佛山月考)设F 1、F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，P 是第一象限内该椭圆上的一点，且PF 1⊥PF 2，则点P 的横坐标为( )． A ．1 B.83 C ．2 2 D.263解析 由题意知，点P 即为圆x 2＋y 2＝3与椭圆x 24＋y 2＝1在第一象限的交点，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝3，x 24＋y 2＝1，得点P 的横坐标为263.答案 D5．(2011·惠州模拟)已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且椭圆G 上一点到其两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为( )．A.x 24＋y 29＝1B.x 29＋y 24＝1C.x 236＋y 29＝1 D.x 29＋y 236＝1 解析 依题意设椭圆G 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，∵椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为12， ∴2a ＝12，∴a ＝6， ∵椭圆的离心率为32. ∴a 2－b 2a ＝32，∴36－b 26＝32.解得b 2＝9，∴椭圆G 的方程为：x 236＋y 29＝1.答案 C二、填空题(每小题4分，共12分)6．若椭圆x 225＋y 216＝1上一点P 到焦点F 1的距离为6，则点P 到另一个焦点F 2的距离是________．解析 由椭圆的定义可知，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以点P 到其另一个焦点F 2的距离为|PF 2|＝2a －|PF 1|＝10－6＝4. 答案 47．(2011·皖南八校联考)已知F 1、F 2是椭圆C 的左、右焦点，点P 在椭圆上，且满足|PF 1|＝2|PF 2|，∠PF 1F 2＝30°，则椭圆的离心率为________． 解析 在三角形PF 1F 2中，由正弦定理得sin ∠PF 2F 1＝1，即∠PF 2F 1＝π2， 设|PF 2|＝1，则|PF 1|＝2，|F 2F 1|＝3， ∴离心率e ＝2c 2a ＝33.答案338．(2011·江西)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________． 解析 由题可设斜率存在的切线的方程为y －12＝k (x －1)(k 为切线的斜率)，即2kx －2y －2k ＋1＝0， 由|－2k ＋1|4k 2＋4＝1， 解得k ＝－34，所以圆x 2＋y 2＝1的一条切线方程为3x ＋4y －5＝0，求得切点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45， 易知另一切点B (1,0)， 则直线AB 的方程为y ＝－2x ＋2. 令y ＝0得右焦点为(1,0)， 令x ＝0得上顶点为(0,2)． ∴a 2＝b 2＋c 2＝5，故得所求椭圆方程为x 25＋y 24＝1.答案x 25＋y 24＝1 三、解答题(共23分)9．(11分)已知点P (3,4)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上的一点，F 1，F 2是椭圆的两焦点，若PF 1⊥PF 2.试求：(1)椭圆的方程； (2)△PF 1F 2的面积． 解 (1)∵P 点在椭圆上，∴9a 2＋16b2＝1.①又PF 1⊥PF 2，∴43＋c ·43－c＝－1， 得：c 2＝25，② 又a 2＝b 2＋c 2，③由①②③得a 2＝45，b 2＝20. 椭圆方程为x 245＋y 220＝1.(2)S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|×4＝5×4＝20.10．(12分)(2011·陕西)如图，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且|MD |＝45|PD |.(1)当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程； (2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的长度．解 (1)设M 的坐标为(x ，y )，P 的坐标为(x P ，y P )，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x P ＝x ，y P ＝54y ，∵P 在圆上，∴x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫54y 2＝25，即C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)，设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x 225＋x －3225＝1，即x 2－3x －8＝0.∴x 1＝3－412，x 2＝3＋412.∴线段AB 的长度为|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1625x 1－x 22＝4125×41＝415. B 级 综合创新备选(时间：30分钟 满分：40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2012·丽水模拟)若P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上的一点，且PF 1→·PF 2→＝0，tan ∠PF 1F 2＝12，则此椭圆的离心率为( )．A.53 B.23 C.13 D.12 解析 在Rt △PF 1F 2中，设|PF 2|＝1，则|PF 2|＝2.|F 1F 2|＝5，∴e ＝2c 2a ＝53.答案 A2．(2011·汕头一模)已知椭圆x 24＋y 22＝1上有一点P ，F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，若△F 1PF 2为直角三角形，则这样的点P 有( )．A ．3个B ．4个C ．6个D ．8个解析 当∠PF 1F 2为直角时，根据椭圆的对称性知，这样的点P 有2个；同理当∠PF 2F 1为直角时，这样的点P 有2个；当P 点为椭圆的短轴端点时，∠F 1PF 2最大，且为直角，此时这样的点P 有2个．故符合要求的点P 有6个． 答案 C二、填空题(每小题4分，共8分)3．(2011·镇江调研)已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆上一点且PF 1→·PF 2→＝c 2，则此椭圆离心率的取值范围是________． 解析 设P (x ，y )，则PF 1→·PF 2→＝(－c －x ，－y )· (c －x ，－y )＝x 2－c 2＋y 2＝c 2①将y 2＝b 2－b 2a 2x 2代入①式解得x 2＝3c 2－a 2a 2c 2，又x 2∈[0，a 2]，∴2c 2≤a 2≤3c 2，∴e ＝c a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22 4．(2011·浙江)设F 1，F 2分别为椭圆x 23＋y 2＝1的左，右焦点，点A ，B 在椭圆上，若F 1A →＝5F 2B →，则点A 的坐标是________．解析 根据题意设A 点坐标为(m ，n )，B 点坐标为(c ，d )．F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，其坐标分别为(－2，0)、(2，0)，可得F 1A →＝(m ＋2，n )，F 2B →＝(c －2，d )，∵F 1A →＝5F 2B →，∴c ＝m ＋625，d ＝n 5.∵点A 、B 都在椭圆上，∴m 23＋n 2＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋62523＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 52＝1.解得m ＝0，n ＝±1，故点A 坐标为(0，±1)． 答案 (0，±1) 三、解答题(共22分)5．(10分)(2011·大连模拟)设A ，B 分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右顶点，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32为椭圆上一点，椭圆长半轴的长等于焦距． (1)求椭圆的方程；(2)设P (4，x )(x ≠0)，若直线AP ，BP 分别与椭圆相交异于A ，B 的点M ，N ，求证：∠MBN 为钝角．(1)解 (1)依题意，得a ＝2c ，b 2＝a 2－c 2＝3c 2，设椭圆方程为x 24c 2＋y 23c 2＝1，将⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32代入，得c 2＝1，故椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明 由(1)，知A (－2,0)，B (2,0)， 设M (x 0，y 0)，则－2＜x 0＜2，y 20＝34(4－x 20)，由P ，A ，M 三点共线，得x ＝6y 0x 0＋2， BM →＝(x 0－2，y 0)，BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，6y 0x 0＋2，BM →·BP →＝2x 0－4＋6y 20x 0＋2＝52(2－x 0)＞0，即∠MBP 为锐角，则∠MBN 为钝角．6．(★)(12分)(2011·西安五校一模)已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，且经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在过点P (2,1)的直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，满足PA →·PB →＝PM →2？若存在，求出直线l 1的方程；若不存在，请说明理由．解 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＋94b 2＝1，c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝4，b 2＝3.故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)假设存在直线l 1且由题意得斜率存在，设满足条件的方程为y ＝k 1(x －2)＋1，代入椭圆C 的方程得，(3＋4k 21)x 2－8k 1(2k 1－1)x ＋16k 21－16k 1－8＝0.因为直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，所以Δ＝[－8k 1(2k 1－1)]2－4(3＋4k 21)(16k 21－16k 1－8)＝32(6k 1＋3)＞0，所以k 1＞－12.又x 1＋x 2＝8k 12k 1－13＋4k 21，x 1x 2＝16k 21－16k 1－83＋4k 21， 因为PA →·PB →＝PM →2，即(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝54，所以(x 1－2)·(x 2－2)(1＋k 21)＝|PM |2＝54.即[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4](1＋k 21)＝54.所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤16k 21－16k 1－83＋4k 21－2·8k 12k 1－13＋4k 21＋4(1＋k 21)＝4＋4k 213＋4k 21＝54，解得k 1＝±12. 因为k 1＞－12，所以k 1＝12.于是存在直线l 1满足条件，其方程为y ＝12x .【点评】 解决解析几何中的探索性问题的一般步骤为：,第一步：假设结论成立.,第二步：以存在为条件，进行推理求解.,第三步：明确规范结论，若能推出合理结果，经验证成立即可肯定正确.若推出矛盾，即否定假设.,第四步：回顾检验本题若忽略Δ＞0这一隐含条件，结果会造成两解.。

椭圆课时作业1．若椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为( )A ．12B ．33 C ．22D ．24答案 C解析 因为椭圆的短轴长等于焦距，所以b ＝c ，所以a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，所以e ＝c a ＝22，故选C ．2．已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1，长轴在y 轴上，若焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．5C ．7D ．8答案 D解析 椭圆焦点在y 轴上，∴a 2＝m －2，b 2＝10－m .又c ＝2，∴m －2－(10－m )＝c 2＝4.∴m ＝8.3．(2019·杭州模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A ．x 23＋y 22＝1B ．x 23＋y 2＝1C ．x 212＋y 28＝1 D ．x 212＋y 24＝1 答案 A解析 由题意及椭圆的定义知4a ＝43，则a ＝3，又c a＝c3＝33，∴c ＝1，∴b 2＝2，∴C 的方程为x 23＋y 22＝1.选A ．4．椭圆x 225＋y 29＝1上一点M 到焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |等于( )A ．2B ．4C ．8D ．32答案 B解析 |ON |＝12|MF 2|＝12×(2a －|MF 1|)＝12×(10－2)＝4，故选B ．5．(2019·河南豫北联考)已知点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，22是椭圆x 2a 2＋y 2＝1(a >1)上的点，A ，B 是椭圆的左、右顶点，则△PAB 的面积为( )A ．2B ．24C ．12 D ．1答案 D解析 由题可得1a 2＋12＝1，∴a 2＝2，解得a ＝2(负值舍去)，则S △PAB ＝12×2a ×22＝1，故选D ．6．(2019·吉林长春模拟)椭圆x 22＋y 2＝1的两个焦点分别是F 1，F 2，点P 是椭圆上任意一点，则·的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．[－1,0]C ．[0,1]D ．[－1,2]答案 C解析 由椭圆方程得F 1(－1,0)，F 2(1,0)，设P (x ，y )，∴＝(－1－x ，－y )，＝(1－x ，－y )，则·＝x 2＋y 2－1＝x 22∈[0,1]，故选C ．7．(2019·湖南郴州模拟)设e 是椭圆x 24＋y 2k ＝1的离心率，且e ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则实数k 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．⎝⎛⎭⎪⎫3，163C ．(0,3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫163，＋∞D ．(0,2)答案 C解析 当k >4时，c ＝k －4，由条件知14<k －4k <1，解得k >163；当0<k <4时，c ＝4－k ，由条件知14<4－k4<1，解得0<k <3.故选C ．8．若椭圆x 236＋y 29＝1的弦被点(4,2)平分，则此弦所在直线的斜率是( )A ．2B ．－2C ．13D ．－12答案 D解析 设弦的端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋4y 21＝36，x 22＋4y 22＝36，整理，得x 21－x 22＝－4(y 21－y 22)，∴此弦的斜率为y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 2－4(y 1＋y 2)＝－12，则此直线的斜率为－12. 9．(2020·甘肃联考)设A ，B 是椭圆C ：x 212＋y 22＝1的两个焦点，点P 是椭圆C 与圆M ：x 2＋y 2＝10的一个交点，则||PA |－|PB ||＝( )A ．2 2B ．4 3C ．4 2D ．6 2答案 C解析 由题意知，A ，B 恰好在圆M 上且AB 为圆M 的直径，∴|PA |＋|PB |＝2a ＝43，|PA |2＋|PB |2＝(2c )2＝40，∴(|PA |＋|PB |)2＝|PA |2＋|PB |2＋2|PA ||PB |，解得2|PA ||PB |＝8，∴(|PA |－|PB |)2＝|PA |2＋|PB |2－2|PA ||PB |＝32，则||PA |－|PB ||＝42，故选C ．10．(2020·西安摸底检测)设AB 是椭圆的长轴，点C 在椭圆上，且∠CBA ＝π4，若AB ＝4，BC ＝2，则椭圆的两个焦点之间的距离为( )A ．463B ．263C ．433D ．233答案 A解析 不妨设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，如图，由题意知，2a ＝4，a ＝2，∵∠CBA ＝π4，BC ＝2，∴点C 的坐标为(－1,1)，∵点C 在椭圆上，∴14＋1b 2＝1，∴b 2＝43，∴c 2＝a 2－b 2＝4－43＝83，c ＝263，则椭圆的两个焦点之间的距离为463.11．(2019·山西八校联考)椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，弦AB 过F 1，若△ABF 2的内切圆周长为π，A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则|y 1－y 2|的值为( )A ．53 B ．103C ．203D ．53答案 A解析 在椭圆x 225＋y 216＝1中，a ＝5，b ＝4，所以c ＝3.故椭圆左、右焦点分别为F 1(－3,0)，F 2(3,0)．由△ABF 2的内切圆周长为π，可得内切圆的半径为r ＝12.△ABF 2的面积＝△AF 1F 2的面积＋△BF 1F 2的面积＝12|y 1|·|F 1F 2|＋12|y 2|·|F 1F 2|＝12(|y 1|＋|y 2|)·|F 1F 2|＝3|y 1－y 2|(A ，B 在x轴的上下两侧)，又△ABF 2的面积＝12r (|AB |＋|BF 2|＋|F 2A |)＝12×12(2a ＋2a )＝a ＝5，所以3|y 1－y 2|＝5，即|y 1－y 2|＝53.12．(2019·湖北八校联考)如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，F (－5，0)为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足|OP |＝|OF |且|PF |＝6，则椭圆C 的方程为( )A ．x 236＋y 216＝1B ．x 240＋y 215＝1C ．x 249＋y 224＝1 D ．x 245＋y 220＝1 答案 C解析 由题意可得c ＝5，设右焦点为F ′，连接PF ′，由|OP |＝|OF |＝|OF ′|＝12|FF ′|知，∠FPF ′＝90°，即PF ⊥PF ′.在Rt △PFF ′中，由勾股定理，得|PF ′|＝|FF ′|2－|PF |2＝102－62＝8，由椭圆定义，得|PF |＋|PF ′|＝2a ＝6＋8＝14，从而a ＝7，得a 2＝49，于是b 2＝a 2－c 2＝72－52＝24，所以椭圆C 的方程为x 249＋y 224＝1，故选C ．13．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．答案33解析 设|PF 2|＝m ，∵PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，∴|PF 1|＝2m ，|F 1F 2|＝3m .又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|F 1F 2|＝2c .∴2a ＝3m,2c ＝3m ，∴C 的离心率为e ＝c a ＝33. 14．(2019·全国卷Ⅲ)设F 1，F 2为椭圆C ：x 236＋y 220＝1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若△MF 1F 2为等腰三角形，则M 的坐标为________.答案 (3，15)解析 设F 1为椭圆的左焦点，分析可知M 在以F 1为圆心、焦距为半径的圆上，即在圆(x ＋4)2＋y 2＝64上．因为点M 在椭圆x 236＋y 220＝1上，所以联立方程可得⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋4)2＋y 2＝64，x 236＋y 220＝1，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝±15.又因为点M 在第一象限，所以点M 的坐标为(3，15)．15．(2019·浙江高考)已知椭圆x 29＋y 25＝1的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方．若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，|OF |为半径的圆上，则直线PF 的斜率是________．答案15解析 如图，左焦点F (－2,0)，右焦点F ′(2,0)．线段PF 的中点M 在以O (0,0)为圆心，2为半径的圆上，因此OM ＝2. 在△FF ′P 中，OM 12PF ′， 所以PF ′＝4.根据椭圆的定义，得PF ＋PF ′＝6，所以PF ＝2. 又因为FF ′＝4， 所以在Rt △MFF ′中，tan ∠PFF ′＝MF ′MF ＝FF ′2－MF 2MF＝15，即直线PF 的斜率是15.16．(2020·南充模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点为(3，0)，A 为椭圆C的右顶点，以A 为圆心的圆与直线y ＝b ax 相交于P ，Q 两点，且·＝0，＝3，则椭圆C 的标准方程为________，圆A 的标准方程为________．答案x 24＋y 2＝1 (x －2)2＋y 2＝85解析 如图，设T 为线段PQ 的中点，连接AT ，则AT ⊥PQ .∵·＝0，即AP ⊥AQ ， ∴|AT |＝12|PQ |.又＝3， ∴|OT |＝|PQ |. ∴|AT ||OT |＝12，即b a ＝12. 由已知得半焦距c ＝3，∴a 2＝4，b 2＝1， 故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.又|AT |2＋|OT |2＝4， ∴|AT |2＋4|AT |2＝4，∴|AT |＝255，r ＝|AP |＝2105.∴圆A 的方程为(x －2)2＋y 2＝85.17．(2019·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为C 上的点，O 为坐标原点．(1)若△POF 2为等边三角形，求C 的离心率；(2)如果存在点P ，使得PF 1⊥PF 2，且△F 1PF 2的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围． 解 (1)连接PF 1.由△POF 2为等边三角形可知在△F 1PF 2中，∠F 1PF 2＝90°，|PF 2|＝c ，|PF 1|＝3c ，于是2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(3＋1)c ，故C 的离心率为e ＝ca＝3－1.(2)由题意可知，满足条件的点P (x ，y )存在当且仅当 12|y |·2c ＝16，y x ＋c ·y x －c ＝－1，x 2a 2＋y 2b 2＝1， 即c |y |＝16，①x 2＋y 2＝c 2，② x 2a 2＋y 2b 2＝1.③ 由②③及a 2＝b 2＋c 2得y 2＝b 4c2.又由①知y 2＝162c2，故b ＝4.由②③及a 2＝b 2＋c 2得x 2＝a 2c2(c 2－b 2)，所以c 2≥b 2，从而a 2＝b 2＋c 2≥2b 2＝32，故a ≥4 2. 当b ＝4，a ≥42时，存在满足条件的点P . 所以b ＝4，a 的取值范围为[42，＋∞)．18．(2019·成都一诊)已知椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点为F ，设直线l ：x ＝5与x 轴的交点为E ，过点F 且斜率为k 的直线l 1与椭圆交于A ，B 两点，M 为线段EF 的中点．(1)若直线l 1的倾斜角为π4，求|AB |的值；(2)设直线AM 交直线l 于点N ，证明：直线BN ⊥l . 解 由题意知，F (1,0)，E (5,0)，M (3,0)． (1)∵直线l 1的倾斜角为π4，∴斜率k ＝1.∴直线l 1的方程为y ＝x －1.代入椭圆方程，可得9x 2－10x －15＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝109，x 1x 2＝－53.∴|AB |＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 1 ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1092＋4×53＝1659.(2)证明：设直线l 1的方程为y ＝k (x －1)． 代入椭圆方程，得(4＋5k 2)x 2－10k 2x ＋5k 2－20＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝10k 24＋5k 2，x 1x 2＝5k 2－204＋5k 2.设N (5，y 0)，∵A ，M ，N 三点共线， ∴－y 13－x 1＝y 02，∴y 0＝2y 1x 1－3. 而y 0－y 2＝2y 1x 1－3－y 2＝2k (x 1－1)x 1－3－k (x 2－1) ＝3k (x 1＋x 2)－kx 1x 2－5kx 1－3＝3k ·10k 24＋5k 2－k ·5k 2－204＋5k 2－5k x 1－3＝0.∴直线BN ∥x 轴，即直线BN ⊥l .19．(2019·广东广州联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦距为26，且过点A (2,1)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若不经过点A 的直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于P ，Q 两点，且直线AP 与直线AQ 的斜率之和为0，证明：直线PQ 的斜率为定值．解 (1)因为椭圆C 的焦距为26，且过点A (2,1)， 所以4a 2＋1b2＝1,2c ＝2 6.又因为a 2＝b 2＋c 2，由以上三式解得a 2＝8，b 2＝2， 所以椭圆C 的方程为x 28＋y 22＝1.(2)证明：设点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1≠x 2≠2， 则y 1＝kx 1＋m ，y 2＝kx 2＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 28＋y22＝1，消去y 并整理，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－8＝0， 则x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－84k 2＋1.因为k AP ＋k AQ ＝0，所以y 1－1x 1－2＝－y 2－1x 2－2， 化简得x 1y 2＋x 2y 1－(x 1＋x 2)－2(y 1＋y 2)＋4＝0. 即2kx 1x 2＋(m －1－2k )(x 1＋x 2)－4m ＋4＝0. 所以2k (4m 2－8)4k 2＋1－8km (m －1－2k )4k 2＋1－4m ＋4＝0， 整理得(2k －1)(m ＋2k －1)＝0. 因为直线l 不经过点A ， 所以2k ＋m －1≠0，所以k ＝12.所以直线PQ 的斜率为定值，该值为12.20．(2019·天津高考)设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B ．已知椭圆的短轴长为4，离心率为55. (1)求椭圆的方程；(2)设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上，若|ON |＝|OF |(O 为原点)，且OP ⊥MN ，求直线PB 的斜率．解 (1)设椭圆的半焦距为c ，依题意，2b ＝4，c a ＝55，又a 2＝b 2＋c 2，可得a ＝5，b ＝2，c ＝1.所以，椭圆的方程为x 25＋y 24＝1.(2)由题意，设P (x P ，y P )(x P ≠0)，M (x M,0)，直线PB 的斜率为k (k ≠0)，因为B (0,2)，则直线PB 的方程为y ＝kx ＋2，与椭圆方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 25＋y24＝1，整理得(4＋5k 2)x 2＋20kx ＝0， 可得x P ＝－20k4＋5k2，代入y ＝kx ＋2得y P ＝8－10k24＋5k2，进而直线OP 的斜率为y P x P ＝4－5k 2－10k.在y ＝kx ＋2中，令y ＝0，得x M ＝－2k.由题意得N (0，－1)，所以直线MN 的斜率为－k2.由OP ⊥MN ，得4－5k 2－10k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2＝－1，化简得k 2＝245，从而k ＝±2305.所以直线PB 的斜率为2305或－2305.附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。

10.5 椭圆核心考点·精准研析考点一椭圆的定义及标准方程1.若方程+=1表示椭圆,则m的取值范围是( )A.(-3,5)B.(-5,3)C.(-3,1)∪(1,5)D.(-5,1)∪(1,3)2.已知△ABC的顶点B,C在椭圆+y2=1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另一个焦点在BC边上,则△ABC的周长是( )A.2B.6C.4D.123.椭圆+=1的左焦点为F,直线x=t与椭圆相交于点M,N,当△FMN的周长最大时,△FMN的面积是( )A. B.C. D.4.过点(,-),且与椭圆+=1有相同焦点的椭圆的标准方程为( )A.+=1B.+=1C.+=1D.+=15.已知椭圆C的中心在原点,一个焦点F(-2,0),且长轴长与短轴长的比是2∶,则椭圆C的方程是________.【解析】1.选C.由方程表示椭圆知解得-3<m<5且m≠1.2.选C.如图,设椭圆+y2=1的另一个焦点为F2,则F2在BC上,即|BC|=|BF2|+|F2C|,又因为B,C都在椭圆+y2=1上,所以|BA|+|BF2|=|CA|+|CF2|=2a=2,于是,△ABC的周长为|BA|+|BC|+|CA|=|BA|+|BF2|+|F2C|+|CA|=4.3.选C.如图,设右焦点为F′,连接MF′,NF′,△FMN的周长为|FM|+|FN|+|MN|=4-(|MF′|+|NF′|-|MN|),所以当|MF′|+|NF′|-|MN|最小时,周长最大,因为|MF′|+|NF′|≥|MN|,所以当直线x=t过右焦点时,△FMN的周长最大.又c==1,所以把x=1代入椭圆标准方程,得+=1,解得y=±,所以此时△FMN的面积S=2××2×=.4.选C.(方法一:定义法)椭圆+=1的焦点为(0,-4),(0,4),即c=4.由椭圆的定义知,2a=+,解得a=2,由c2=a2-b2,可得b2=4,所以所求椭圆的标准方程为+=1.(方法二:待定系数法)设所求椭圆方程为+=1(k<9),将点(,-)代入,可得+=1,解得k=5或k=21(舍),所以所求椭圆的标准方程为+=1.(方法三:待定系数法)设所求椭圆方程为+=1(a>b>0).由题意得解得所以所求椭圆的标准方程为+=1.5.设椭圆C的方程为+=1(a>b>0).由题意知解得a2=16,b2=12,所以椭圆C的方程为+=1.答案:+=11.椭圆定义的应用(1)椭圆定义的应用主要有两个方面:一是判断平面内动点的轨迹是否为椭圆;二是利用定义求焦点三角形的周长、面积,弦长、最值和离心率等.(2)椭圆的定义式必须满足2a>|F1F2|.2.焦点三角形的结论椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点F1,F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形.如图所示,设∠F1PF2=θ.(1)4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos θ.(2)焦点三角形的周长为2(a+c).(3)=|PF1||PF2|sin θ=b2 tan=c|y0|,当|y0|=b,即P为短轴端点时,取得最大值,为bc.3.求椭圆的标准方程的方法(1)求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法.(2)利用定义法求椭圆方程,要注意条件2a>|F1F2|;利用待定系数法要先定形(焦点位置),再定量,也可把椭圆方程设为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)的形式.4.利用待定系数法求椭圆标准方程的四个步骤考点二弦及弦中点问题【典例】1.已知椭圆+y2=1,过点P且被P点平分的弦所在直线的方程为________.2.焦点是F(0,5),并截直线y=2x-1所得弦的中点的横坐标是的椭圆的标准方程为______________. 【解题导思】序号联想解题1 一看到弦的中点(即中点弦)问题,即联想到点差法当题目中出现弦的中点并出现中点的横坐标(或纵坐标)时,立即想2到点差法(也可考虑联立方程)【解析】1.设弦的两端点为A(x1,y1),B(x2,y2),中点为(x0,y0),则有两式作差得+(y2-y1)(y2+y1)=0,因为x2+x1=2x0,y2+y1=2y0,=k AB,代入后求得k AB=-=-,所以弦所在直线的方程为y-=-,即x+3y-2=0.答案:x+3y-2=02.设所求的椭圆方程为+=1(a>b>0),直线被椭圆所截弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2).由题意,可得弦AB的中点坐标为,且=,=-.将A,B两点坐标代入椭圆方程中,得两式相减并化简,得=-×=-2×=3, 所以a2=3b2,又c2=a2-b2=50,所以a2=75,b2=25,故所求椭圆的标准方程为+=1.答案:+=11.椭圆中弦及弦中点问题的类型及解决策略常见类型解决策略①过定点,定点为弦中点;②平行弦中点的轨迹;③过定点的弦的中点轨迹根与系数的关系:直线与椭圆方程联立,消元,利用根与系数的关系表示中点坐标点差法:利用弦两端点适合椭圆方程,作差构造中点与斜率的关系2.椭圆中弦及弦中点问题的注意事项(1)合理消元,消元时可以选择消去y,也可以消去x.(2)利用弦长公式、点到直线的距离公式等将所求量表示出来.(3)涉及弦中点的问题常用“点差法”解决.1.已知直线l:y=k(x-1)与椭圆C:+y2=1交于不同的两点A,B,AB 中点横坐标为,则k=________.【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),由得(4k2+1)x2-8k2x+4k2-4=0,因为直线l过椭圆内的定点(1,0),所以Δ>0,x1+x2=,所以==,整理得k 2=,所以k=±.答案:±2.已知直线y=x+m 被椭圆2x 2+y2=2截得的线段的中点的横坐标为,则中点的纵坐标为________.【解析】设线段的两端点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),中点为M(x0,y0),则x0=,y0=+m,x1+x2=2x0=,y1+y2=2y0=+2m,则有两式作差得2(x1+x2)(x1-x2)+(y1-y2)(y1+y2)=0,即k==-=-=1,解得m=-,所以y0=+=-.答案:-考点三椭圆的简单几何性质命题精解1.考什么:(1)考查椭圆的顶点、离心率及直线与椭圆中的最值范围问题.(2)考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养及数形结合等思想方法.读 2.怎么考:结合椭圆定义及三角形性质(例如中位线)等考查离心率;结合函数单调性或基本不等式考查最值问题.3.新趋势:椭圆离心率的求解仍是考查的重点.学霸好方法1.离心率的求解:借助条件建立a,b,c关系或利用特殊值法求解.2.与函数、不等式结合考查范围最值,要注意定义域问题.求椭圆的离心率【典例】(2020·泉州模拟)设F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,点P在椭圆C上,若线段PF1的中点在y轴上,∠PF1F2=30°,则椭圆的离心率为)A. B. C. D.【解析】选A.如图,设PF1的中点为M,连接PF 2.因为O为F 1F2的中点,所以OM为△PF1F2的中位线,所以OM∥PF2,所以∠PF2F1=∠MOF1=90°,因为∠PF 1F2=30°,所以|PF 1|=2|PF2|,由勾股定理得|F1F2|=,由椭圆定义得2a=|PF1|+ |PF2|=3|PF2|,即a=,2c=|F1F2|=|PF2|,即c=,则e== ·=.最值、取值范围问题【典例】(2019·重庆模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左顶点为M(-2,0),离心率为.(1)求椭圆C的方程.(2)过点N(1,0)的直线l交椭圆C于A,B两点,当·取得最大值时,求△MAB的面积.【解析】(1)由题意可得:a=2,=,得c=,则b2=a2-c2=2.所以椭圆C:+=1.(2)当直线l与x轴重合时,不妨取A(-2,0),B(2,0),此时·=0;当直线l与x轴不重合时,设直线l的方程为:x=ty+1,A(x1,y1),B(x2,y2),联立得(t2+2)y2+2ty-3=0,显然Δ>0,y1+y2=,y1·y2=.所以·=(x1+2)(x2+2)+y1y2=(ty1+3)(ty2+3)+y1y2=(t2+1)y1y2+3t(y1+y2)+9=(t2+1)+3t+9=+9=+9=.当t=0时,·取最大值.此时直线l方程为x=1,不妨取A,B,所以|AB|=.又|MN|=3,所以△MAB的面积S=××3=.1.(2020·西安模拟)我国自主研制的月球探测器——“嫦娥四号”卫星在西昌卫星发射中心成功发射后,奔向月球,进入月球轨道,“嫦娥四号”轨道是以地心为一个焦点的椭圆,设地球的半径为R,卫星近地点、远地点离地面的距离分别是,(如图所示),则“嫦娥四号”卫星轨道的离心率为( )A. B. C. D.【解析】选A.根据题意知,卫星近地点、远地点离地面的距离分别是,.设椭圆的长半轴长、半焦距分别为a,c,则a==,c==R,则e===.2.(2020·烟台模拟)已知F(2,0)为椭圆+=1(a>b>0)的右焦点,过F且垂直于x轴的弦长为6,若A(-2,),点M为椭圆上任一点,则|MF|+|MA|的最大值为________.【解析】设椭圆的左焦点为F′,由椭圆的右焦点为F(2,0),得c=2,又过F且垂直于x轴的弦长为6,即=6,则==3,解得a=4,所以|MF|+|MA|=8-|MF′|+|MA|=8+|MA|-|MF′|,当M,A,F′三点共线时,|MA|-|MF′|取得最大值,(|MA|-|MF′|)max=|AF′|=,所以|MF|+|MA|的最大值为8+.答案:8+已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,P是椭圆上一点,△PF1F2是以F2P为底边的等腰三角形,且60°<∠PF1F2<120°,则该椭圆的离心率的取值范围是( )A. B.C. D.【解析】选B.由题意可得|PF2|2=|F1F2|2+|PF1|2-2|F1F2|·|PF1|cos∠PF1F2=4c2+4c2-2·2c·2c·cos∠PF1F2,即|PF2|=2c·,所以a==c+c·,又60°<∠PF1F2<120°,所以-<cos∠PF1F2<,所以2c<a<(+1)c,则<<,即<e<.。

【高考领航】2017届高考数学大一轮复习 第八章 平面解析几何8.5 椭圆课时规X 训练 理 北师大版[A 级 基础演练]1．(2014·高考大纲全国卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( ) A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 解析：利用椭圆的定义及性质列式求解． 由e ＝33得c a ＝33①.又△AF 1B 的周长为43，由椭圆定义，得4a ＝43，得a ＝3，代入①得c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝2，故C 的方程为x 23＋y 22＝1.答案：A2．(2016·某某七校联考)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( )A ．1 B. 2 C ．2D ．2 2解析：设a ，b ，c 分别为椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，依题意知，当三角形的高为b 时面积最大，所以12×2cb ＝1，bc ＝1，而2a ＝2b 2＋c 2≥22bc ＝22(当且仅当b＝c ＝1时取等号)，故选D.答案：D3．(2016·某某某某一诊)已知F 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点，A 为右顶点，P 是椭圆上一点，PF ⊥x 轴．若|PF |＝14|AF |，则该椭圆的离心率是( )A.14B.34C.12D.32解析：Rt △PFA 中，|FA |＝a ＋c ，|PF |＝b 2a ，由|PF |＝14|AF |，即b 2a ＝14(a ＋c )，得4c2＋ac －3a 2＝0，∴e ＝c a ＝34，故选B.答案：B4．(2014·高考某某卷)过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y22b 2＝1，∴x 1－x 2x 1＋x 2a2＋y 1－y 2y 1＋y 2b2＝0，∴y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2. ∵y 1－y 2x 1－x 2＝－12，x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2， ∴－b 2a 2＝－12，∴a 2＝2b 2.又∵b 2＝a 2－c 2， ∴a 2＝2(a 2－c 2)，∴a 2＝2c 2，∴c a ＝22. 答案：225．(2016·某某模拟)在等差数列{a n }中，a 2＋a 3＝11，a 2＋a 3＋a 4＝21，则椭圆C ：x 2a 6＋y 2a 5＝1的离心率为________． 解析：由题意得a 4＝10，设公差为d ，则a 3＋a 2＝(10－d )＋(10－2d )＝20－3d ＝11，∴d ＝3，∴a 5＝a 4＋d ＝13，a 6＝a 4＋2d ＝16＞a 5，∴e ＝16－134＝34. 答案：346．(2014·高考某某卷)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．解析：设点B 的坐标为(x 0，y 0)．∵x 2＋y 2b2＝1，∴F 1(－1－b 2，0)，F 2(1－b 2，0)． ∵AF 2⊥x 轴，∴A (1－b 2，b 2)．∵|AF 1|＝3|F 1B |，∴AF 1→＝3F 1B →，∴(－21－b 2，－b 2)＝3(x 0＋1－b 2，y 0)． ∴x 0＝－531－b 2，y 0＝－b 23.∴点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－531－b 2，－b 23.将B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－531－b 2，－b 23代入x 2＋y 2b 2＝1，得b 2＝23.∴椭圆E 的方程为x 2＋32y 2＝1.答案：x 2＋32y 2＝17．(2015·高考某某卷) 如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)经过点A (0，－1)，且离心率为22.(1)求椭圆E 的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.解：(1)由题设知ca ＝22，b ＝1， 结合a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝ 2.所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明：由题设知，直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1(k ≠2)，代入x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2k (k －2)＝0.由已知Δ>0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1x 2≠0， 则x 1＋x 2＝4kk －11＋2k 2，x 1x 2＝2k k －21＋2k2. 从而直线AP ，AQ 的斜率之和k AP ＋k AQ ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－kx 2＝2k ＋(2－k )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2＝2k ＋(2－k )x 1＋x 2x 1x 2＝2k ＋(2－k )4k k －12k k －2＝2k －2(k －1)＝2.8．如图，已知椭圆C 1的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C 2的短轴为MN ，且C 1，C 2的离心率都是e ，直线l ⊥MN ，l 与C 1交于两点，与C 2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D .(1)设e ＝12，求|BC |与|AD |的比值；(2)当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由．解：(1)因为C 1，C 2的离心率相同，故依题意可设C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1，C 2：b 2y 2a 4＋x 2a2＝1(a ＞b＞0)．设直线l ：x ＝t (|t |＜a )，分别与C 1，C 2的方程联立，求得A ⎝⎛⎭⎪⎫t ，a b a 2－t 2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，b a a 2－t 2.当e ＝12时，b ＝32a ，分别用y A ，y B 表示A ，B 的纵坐标，可知|BC |∶|AD |＝2|y B |2|y A |＝b 2a 2＝34.(2)t ＝0时，l 不符合题意．t ≠0时，BO ∥AN ，当且仅当BO 的斜率k BO 与AN 的斜率k AN相等，即b a a 2－t 2t ＝a b a 2－t 2t －a ，解得t ＝－ab 2a 2－b 2＝－1－e2e2·a .因为|t |＜a ，又0＜e ＜1，所以1－e 2e 2＜1，解得22＜e ＜1，所以当0＜e ≤22时，不存在直线l ，使得BO ∥AN ；当22＜e ＜1时，存在直线l ，使得BO ∥AN .[B 级 能力突破]1．(2016·某某某某一模)已知椭圆x 236＋y 29＝1以及椭圆内一点P (4,2)，则以P 为中点的弦所在的直线斜率为( )A.12 B ．－12C ．2D ．－2解析：设弦的端点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2136＋y 219＝1x 2236＋y 229＝1两式相减，得x 1＋x 2x 1－x 236＋y 1＋y 2y 1－y 29＝0∴2x 1－x 29＝－4y 1－y 29∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12答案：B2．(2016·某某某某联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，右顶点为A ，上顶点为B ，若椭圆C 的中心到直线AB 的距离为66|F 1F 2|，则椭圆C 的离心率e ＝( )A.22 B.32 C.23D.33解析：设椭圆C 的焦距为2c (c <a )，由于直线AB 的方程为bx ＋ay －ab ＝0，所以由题意知ab a 2＋b2＝63c ，又b 2＝a 2－c 2，所以3a 4－7a 2c 2＋2c 4＝0，解得a 2＝2c 2或3a 2＝c 2(舍)，所以e ＝22，故选A. 答案：A3．(2016·某某模拟)若点F 1，F 2为椭圆x 24＋y 2＝1的焦点，P 为椭圆上的点，当△F 1PF 2的面积为1时，PF 1→·PF 2→的值是( )A ．0B ．1C ．3D ．6解析：△F 1PF 2的面积为1，设P (x 1，y 1)， 则有12·|2c |·|y 1|＝1，即3|y 1|＝1，∴y 1＝±33，代入椭圆方程得：x 1＝±263， ∴不妨令点P 为⎝ ⎛⎭⎪⎫263，33，又∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)， ∴PF 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3－263，－33，PF 2→＝⎝⎛⎭⎪⎫3－263，－33∴PF 1→·PF 2→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2632－()32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝83－3＋13＝0. 答案：A4．(2016·苏锡常镇调研)已知A 为椭圆x 29＋y 25＝1上的动点，MN 为圆(x －1)2＋y 2＝1的一条直径，则AM →·AN →的最大值为________．解析：记圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为C (1,0)，设A (x ，y )，x ∈[－3,3]，则|AC |2＝(x－1)2＋y 2＝(x －1)2＋5－59x 2＝49x 2－2x ＋6，当x ＝－3时，(|AC |2)max ＝4＋6＋6＝16.AM →·AN →＝(AC →＋CM →)·(AC →－CM →)＝|AC →|2－|CM →|2＝|AC →|2－1≤15，故AM →·AN →的最大值为15.答案：155．(2016·某某质检)如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1的离心率e ＝12，F ，A 分别是椭圆的一个焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点．则PF →·PA →的最大值为________．解析：设P 点坐标为(x 0，y 0)．由题意知a ＝2，∵e ＝c a ＝12，c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3.故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.∴－2≤x 0≤2，－3≤y 0≤ 3.∵F (－1,0)，A (2,0)，PF →＝(－1－x 0，－y 0)， PA →＝(2－x 0，－y 0)，∴PF →·PA →＝x 20－x 0－2＋y 20＝14x 20－x 0＋1＝14(x 0－2)2. 即当x 0＝－2时，PF →·PA →取得最大值4. 答案：46．(2014·高考某某卷)已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝________.解析：椭圆x 29＋y 24＝1中，a ＝3.如图，设MN 的中点为D ，则|DF 1|＋|DF 2|＝2a ＝6. ∵D ，F 1，F 2分别为MN ，AM ，BM 的中点， ∴|BN |＝2|DF 2|，|AN |＝2|DF 1|， ∴|AN |＋|BN |＝2(|DF 1|＋|DF 2|)＝12. 答案：127．(2016·潍坊市模拟)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 1：x ＋my＝3恒过椭圆C 的右焦点F 2且与椭圆交于P ，Q 两点，已知△F 1PQ 的周长为8，点O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋t 与椭圆C 相交于M ，N 两点，以线段OM ，ON 为邻边作平行四边形OMGN ，其中点G 在椭圆C 上，当12≤|t |≤1时，求|OG |的取值X 围．解：(1)∵直线x ＋my ＝3恒过定点(3，0)，所以F 2(3，0)， ∴c ＝ 3.∵△F 1PQ 的周长为8，∴4a ＝8，解得a ＝2， ∴b 2＝a 2－c 2＝1，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 24＋y 2＝1，消去y 并整理得(1＋4k 2)x 2＋8ktx ＋4t 2－4＝0，由Δ＝64k 2t 2－4(1＋4k 2)(4t 2－4)>0，可得4k 2＋1>t 2. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，G (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝－8kt1＋4k 2，∵四边形OMGN 是平行四边形，∴x 0＝x 1＋x 2＝－8kt1＋4k2，y 0＝y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2t ＝kx 0＋2t ＝2t1＋4k2， 可得G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8kt 1＋4k 2，2t 1＋4k 2.∵点G 在椭圆C 上，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－8kt 1＋4k 224＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 1＋4k 22＝1，整理得4t 2(4k 2＋1)＝(4k 2＋1)2，∴4t 2＝4k 2＋1，∴|OG |2＝x 2＋y 20＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－8kt 1＋4k 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 1＋4k 22＝4t 216k 2＋11＋4k 22＝16t 2－34t 2＝4－34t 2，∵12≤|t |≤1，∴14≤t 2≤1， ∴4－34t 2∈[1，134]，∴|OG |的取值X 围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，132.。

第五节 椭圆授课提示：对应学生用书第361页〖A 组 基础保分练〗1．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．5〖解 析〗连接PF 2（图略），由题意知，a ＝5，在△PF 1F 2中，|OM |＝12|PF 2|＝3，∴|PF 2|＝6，∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝10－6＝4． 〖答 案〗A2．过点A （3，－2）且与椭圆x 29＋y 24＝1有相同焦点的椭圆方程为（ ）A ．x 215＋y 210＝1B ．x 225＋y 220＝1C ．x 210＋y 215＝1D ．x 220＋y 215＝1〖解 析〗法一：设所求椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0），则a 2－b 2＝c 2＝5，且9a 2＋4b2＝1，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝5，9a 2＋4b 2＝1，得a 2＝15，b 2＝10，故所求椭圆方程为x 215＋y 210＝1．法二：椭圆x 29＋y 24＝1的焦点坐标为（±5，0），设所求椭圆方程为x 2λ＋5＋y 2λ＝1（λ＞0），将点A （3，－2）代入，得9λ＋5＋4λ＝1（λ＞0），解得λ＝10或λ＝－2（舍去），故所求椭圆方程为x 215＋y 210＝1． 〖答 案〗A3．（2021·衡水模拟）已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的离心率为13，则ab＝（ ）A ．98B ．322C ．43D ．324〖解 析〗因为e ＝c a ＝a 2－b 2a 2＝13，所以8a 2＝9b 2，所以a b ＝324． 〖答 案〗D4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为（ ）A ．x 23＋y 22＝1B ．x 23＋y 2＝1C ．x 212＋y 28＝1D ．x 212＋y 24＝1〖解 析〗由题意及椭圆的定义知4a ＝43，则a ＝3，又c a ＝c 3＝33，所以c ＝1，所以b 2＝2，所以C 的方程为x 23＋y 22＝1．〖答 案〗A5．（2020·石家庄质检）倾斜角为π4的直线经过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1（a >b >0）的右焦点F ，与椭圆交于A ，B 两点，且AF →＝2FB →，则该椭圆的离心率为（ ）A ．32B ．23C ．22D ．33〖解 析〗由题可知，直线的方程为y ＝x －c ，与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝x －c ，得（b 2＋a 2）y 2＋2b 2cy －b 4＝0，由于直线过椭圆的右焦点，故必与椭圆有交点，则Δ>0．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2b 2c a 2＋b 2，y 1y 2＝－b 4a 2＋b 2，又AF →＝2FB →，所以（c －x 1，－y 1）＝2（x 2－c ，y 2），所以－y 1＝2y 2，可得⎩⎪⎨⎪⎧－y 2＝－2b 2c a 2＋b2，－2y 22＝－b4a 2＋b2.所以12＝4c2a 2＋b 2，所以e ＝23． 〖答 案〗B 6．（2021·惠州调研）设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 25＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为（ ）A ．514B ．59C ．49D ．513〖解 析〗如图，设线段PF 1的中点为M ，因为O 是F 1F 2的中点，所以OM ∥PF 2，可得PF 2⊥x轴，可求得|PF 2|＝53，|PF 1|＝2a －|PF 2|＝133，|PF 2||PF 1|＝513．〖答 案〗D7．（2021·郑州模拟）已知椭圆y 2a 2＋x 2b2＝1（a ＞b ＞0）的右顶点为A （1，0），过其焦点且垂直于长轴的弦长为1，则椭圆的方程为 _________．〖解 析〗因为椭圆y 2a 2＋x 2b2＝1的右顶点为A （1，0），所以b ＝1，焦点坐标为（0，c ），因为过焦点且垂直于长轴的弦长为1，所以2b 2a ＝1，a ＝2，所以椭圆的方程为y 24＋x 2＝1．〖答 案〗y 24＋x 2＝18．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1（a ＞b ＞0）的中心是坐标原点O ，左、右焦点分别为F 1，F 2，设P是椭圆C 上一点，满足PF 2⊥x 轴，|PF 2|＝12，椭圆C 的离心率为32．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 左焦点且倾斜角为45°的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求△AOB 的面积．〖解 析〗（1）由题意知，离心率e ＝c a ＝32，|PF 2|＝b 2a ＝12，得a ＝2，b ＝1，所以椭圆C 的标准方程为x24＋y 2＝1．（2）由条件可知F 1（－3，0），直线l ：y ＝x ＋3，联立直线l 和椭圆C 的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3，x 24＋y 2＝1，消去y 得5x 2＋83x ＋8＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1＋x 2＝－835，x 1·x 2＝85，所以|y 1－y 2|＝|x 1－x 2|＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝425，所以S △AOB ＝12·|y 1－y 2|·|OF 1|＝265．9．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1（a ＞b ＞0），F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B ． （1）若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；（2）若AF 2→＝2F 2B →，AF 1→·AB →＝32，求椭圆的方程．〖解 析〗（1）若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形，所以有OA ＝OF 2，即b ＝c ． 所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22．（2）由题知A （0，b ），F 1（－c ，0），F 2（c ，0），其中c ＝a 2－b 2，设B （x ，y ）． 由AF 2→＝2F 2B →，得（c ，－b ）＝2（x －c ，y ），解得x ＝3c 2，y ＝－b2，即B ⎝⎛⎭⎫3c 2，－b 2． 将B 点坐标代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94c 2a 2＋b 24b 2＝1，即9c 24a 2＋14＝1，解得a 2＝3c 2．①又由AF 1→·AB →＝（－c ，－b ）·⎝⎛⎭⎫3c 2，－3b 2＝32， 得b 2－c 2＝1，即有a 2－2c 2＝1．②由①②解得c 2＝1，a 2＝3，从而有b 2＝2．所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1．〖B 组 能力提升练〗1．（2021·吉安模拟）如图，用与底面成45°角的平面截圆柱得一截口曲线，即椭圆，则该椭圆的离心率为（ ）A ．22 B ．33 C ．32D ．13〖解 析〗设圆柱的底面圆的直径为d ，则椭圆的短轴长为d ． 因为截面与底面成45°角，所以椭圆的长轴长为2d ， 所以椭圆的半焦距为⎝⎛⎭⎫22d 2－⎝⎛⎭⎫d 22＝d 2， 则e ＝c a ＝d 222d ＝22．〖答 案〗A2．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为53，以F 1F 2为直径的圆与椭圆C 在第一象限的交点为P ，则直线PF 1的斜率为（ ）A ．13B ．12C ．33D ．32〖解 析〗因为e ＝c a ＝53，故可设a ＝3，c ＝5，则b ＝2，S △PF 1F 2＝b 2tan ∠F 1PF 22＝b 2tan 45°＝12|PF 1|·|PF 2|＝4，因为P 在第一象限，所以|PF 1|＞|PF 2|，又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，故|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，所以直线PF 1的斜率kPF 1＝|PF 2||PF 1|＝12．〖答 案〗B3．已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，椭圆C 上点A 满足AF 2⊥F 1F 2．若点P 是椭圆C 上的动点，则F 1P →·F 2A →的最大值为（ ）A ．32B ．332C ．94D ．154〖解 析〗由椭圆C ：x 24＋y23＝1可得a 2＝4，b 2＝3，c ＝a 2－b 2＝1，可得F 1（－1，0），F 2（1，0），由AF 2⊥F 1F 2，令x ＝1，得y ＝±3× 1－14＝±32， 不妨设A 点坐标为⎝⎛⎭⎫1，32．设P （m ，n ），则点P 坐标满足m 24＋n 23＝1，又－3≤n ≤3，则F 1P →·F 2A →＝（m ＋1，n ）·⎝⎛⎭⎫0，32＝32n ≤332， 可得F 1P →·F 2A →的最大值为332．〖答 案〗B4．（2021·温州模拟）正方形ABCD 的四个顶点都在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1（a ＞b ＞0）上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12，1B ．⎝⎛⎭⎪⎫0，5－12 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3－12，1 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3－12 〖解 析〗设正方形的边长为2m ，∵椭圆的焦点在正方形的内部，∴m ＞c ．又正方形ABCD的四个顶点都在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）上，∴m 2a 2＋m 2b 2＝1＞c 2a 2＋c 2b 2＝e 2＋e 21－e 2，整理得e4－3e 2＋1＞0，e 2＜3－52＝（5－1）24，∴0＜e ＜5－12． 〖答 案〗B5．若F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1（0＜b ＜1）的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为_________．〖解 析〗设点A 在点B 上方，F 1（－c ，0），F 2（c ，0），其中c ＝1－b 2，则可设A （c ，b 2），B （x 0，y 0），由|AF 1|＝3|F 1B |，可得AF 1→＝3F 1B →，故⎩⎪⎨⎪⎧－2c ＝3（x 0＋c ），－b 2＝3y 0，即⎩⎨⎧x 0＝－53c ，y 0＝－13b 2，代入椭圆方程可得25（1－b 2）9＋19b 2＝1，解得b 2＝23，故椭圆方程为x 2＋3y 22＝1．〖答 案〗x 2＋3y22＝16．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任意一点，点M 的坐标为（6，4），则|PM |－|PF 1|的最小值为_________． 〖解 析〗由椭圆的方程可知F 2（3，0），由椭圆的定义可得|PF 1|＝2a －|PF 2|．所以|PM |－|PF 1|＝|PM |－（2a －|PF 2|）＝|PM |＋|PF 2|－2a ≥|MF 2|－2a ，当且仅当M ，P ，F 2三点共线时取得等号，又|MF 2|＝（6－3）2＋（4－0）2＝5，2a ＝10，所以|PM |－|PF 1|≥5－10＝－5，即|PM |－|PF 1|的最小值为－5． 〖答 案〗－57．（2020·高考全国卷Ⅱ）已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1（a ＞b ＞0）的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合．C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |＝43|AB |．（1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |＝5，求C 1与C 2的标准方程．〖解 析〗（1）由已知可设C 2的方程为y 2＝4cx ，其中c ＝a 2－b 2．不妨设A ，C 在第一象限，由题设得A ，B 的纵坐标分别为b 2a ，－b 2a；C ，D 的纵坐标分别为2c ，－2c ，故|AB |＝2b 2a，|CD |＝4c ．由|CD |＝43|AB |得4c ＝8b 23a ，即3×c a ＝2－2⎝⎛⎭⎫c a 2．解得c a ＝－2（舍去）或c a ＝12．所以C 1的离心率为12．（2）由（1）知a ＝2c ，b ＝3c ，故C 1：x 24c 2＋y 23c2＝1．设M （x 0，y 0），则x 204c 2＋y 203c2＝1，y 20＝4cx 0， 故x 204c 2＋4x 03c＝1． ① 因为C 2的准线为x ＝－c ，所以|MF |＝x 0＋c ，而|MF |＝5，故x 0＝5－c ，代入①得（5－c ）24c 2＋4（5－c ）3c ＝1，即c 2－2c －3＝0，解得c ＝－1（舍去）或c ＝3．所以C 1的标准方程为x 236＋y 227＝1，C 2的标准方程为y 2＝12x ．〖C 组 创新应用练〗1．有一个高为12 cm ，底面圆半径为3 cm 的圆柱形玻璃杯，杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半（玻璃杯厚度忽略不计），当玻璃杯倾斜时，杯中水面的形状为椭圆，则在杯中的水不溢出的前提下，椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．⎝⎛⎦⎤0，55B ．⎣⎡⎭⎫55，1C ．⎝⎛⎦⎤0，255D ．⎣⎡⎭⎫255，1〖解 析〗由题意知，当玻璃杯倾斜至杯中的水刚好不溢出时，杯中水面所形成的椭圆的离心率最大，易知此时椭圆的长轴长为122＋62＝65，短轴长为6，所以椭圆的离心率e ＝1－⎝⎛⎭⎫3352＝255，所以e ∈⎝⎛⎦⎤0，255．〖答 案〗C2．已知直线l ：y ＝kx ＋2过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的上顶点B 和左焦点F ，并被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为L ，若L ≥455，则椭圆离心率e 的取值范围是_________．〖解 析〗依题意，知b ＝2，kc ＝2． 设圆心到直线l 的距离为d ， 则L ＝24－d 2≥455，解得d 2≤165．又因为d ＝21＋k2，所以11＋k 2≤45， 解得k 2≥14．于是e 2＝c 2a 2＝c 2b 2＋c 2＝11＋k 2，所以0＜e 2≤45，解得0＜e ≤255．〖答 案〗⎝⎛⎦⎤0，2553．（2021·衡水模拟）“九天揽月”是中华民族的伟大梦想，我国探月工程的进展与实力举世瞩目．2019年，“嫦娥四号”探测器实现历史上的首次月背着陆，月球上“嫦娥四号”的着陆点，被命名为天河基地，如图是“嫦娥四号”运行轨道示意图，圆形轨道距月球表面100千米，椭圆形轨道的一个焦点是月球球心，一个长轴顶点位于两轨道相切的变轨处，另一个长轴顶点距月球表面15千米，则椭圆形轨道的焦距为 千米．〖解 析〗设椭圆的长半轴长为a 千米，半焦距为c 千米，月球半径为r 千米．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝100＋r ，a －c ＝15＋r ，解得2c ＝85．即椭圆形轨道的焦距为85千米．〖答 案〗85。

课时规范练43　双曲线基础巩固组1.(2021全国甲,文5)点(3,0)到双曲线x 216−y 29=1的一条渐近线的距离为( )A.95B.85C.65D.452.双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)过点(√2,√3),且离心率为2,则该双曲线的标准方程为( )A.x 2-y 23=1B.x 23-y 2=1C.x 2-√3y 23=1D.√3x 23-y 2=13.已知双曲线x 2a +4−y 2a -4=1(a>4)的实轴长是虚轴长的3倍,则实数a=( )A.5B.6C.8D.94.(2021山东济南一模)已知双曲线x 2m +1−y 2m=1(m>0)的渐近线方程为x±√3y=0,则m=(　)A.12B.√3-1 C.√3+12D.25.(2021山东淄博一模)定义实轴长与焦距之比为黄金数√5-12的双曲线叫黄金双曲线,若双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)是黄金双曲线,则a 2b2等于( )A.√5-12B.3-√52C.√5-22D.9-4√546.已知方程x 2m 2-2+y 2m 2+2=1表示的曲线是双曲线,其离心率为e ,则( )A.-√2<m<√2B.点(2,0)是该双曲线的一个焦点C.1<e<√2D.该双曲线的渐近线方程可能为x±2y=07.已知曲线C :mx 2+ny 2=1.下列说法错误的是( )A.若m>n>0,则曲线C 是椭圆,其焦点在y 轴上B.若m=n>0,则曲线C 是圆,其半径为√nC.若mn<0,则曲线C 是双曲线,其渐近线方程为y=±√-m nxD.若m=0,n>0,则曲线C 是两条直线8.(2021全国乙,理13)已知双曲线C :x 2m -y 2=1(m>0)的一条渐近线为√3x+my=0,则双曲线C 的焦距为 .9.已知双曲线有一个焦点F (0,-2),它的离心率是方程2x 2-5x+2=0的一个根,则双曲线的标准方程是　.综合提升组10.(2021山东滨州二模)已知F 1,F 2分别是双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,点P 是双曲线C 上在第一象限内的一点,若sin∠PF 2F 1=3sin∠PF 1F 2,则双曲线C 的离心率的取值范围为()A.(1,2)B.(1,3)C.(3,+∞)D.(2,3)11.已知直线y=x 与双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)无公共点,则双曲线离心率可能为( )A.1B.√2C.√6D.√312.在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的离心率为√52,A ,B 分别是双曲线C 的左、右顶点,点P 是双曲线C 的右支上位于第一象限内的动点,记PA ,PB 的斜率分别为k 1,k 2,则( )A.双曲线C 的焦点到其一条渐近线的距离为1时,双曲线C 的方程为x 2-y 24=1B.双曲线C 的渐近线方程为y=±2xC.k 1k 2为定值D.存在点P ,使得k 1+k 2=113.(2021山东泰安三模)已知双曲线C :x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,点O 是坐标原点,过点F 2作C 的一条渐近线的垂线,垂足为P ,PF 1交双曲线的另一条渐近线于点Q ,且满足3⃗F 1Q =2⃗F 1P ,则双曲线的渐近线的斜率为 .14.(2021浙江绍兴模拟)已知双曲线C 1:x 24−y 2b 2=1(b>0)的右焦点为F ,其一条渐近线的方程为√5x-2y=0,点P 为双曲线C 1与圆C 2:(x+3)2+y 2=r 2(r>0)的一个交点,若|PF|=4,则双曲线C 1的离心率为 ,r= .创新应用组15.(2021山东临沂二模)点F 1,F 2是双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点F 2作直线AB ⊥F 1F 2交双曲线C 于A ,B 两点,现将双曲线所在平面沿直线F 1F 2折成平面角为锐角α的二面角,如图,翻折后A ,B 两点的对应点分别为A',B',∠A'F 1B'=β,若1-cos α1-cos β=2516,则双曲线C 的离心率为()A.√173B.√3 C.2 D.3课时规范练43　双曲线1.A 解析:由题意,双曲线的一条渐近线方程为y=34x ,即3x-4y=0,点(3,0)到该渐近线的距离为√2295.故选A .2.A 解析:因为e=c a =2,所以c=2a ,b=√c 2-a 2=√3a ,所以双曲线的方程为x 2a 2−y 23a2=1.将点(√2,√3)的坐标代入双曲线的方程可得2a 2−33a 2=1a 2=1,解得a=1,所以b=√3,所以双曲线的方程为x 2-y 23=1.故选A .3.A 解析:因为双曲线x2a +4−y 2a -4=1(a>4)的实轴长是虚轴长的3倍,所以√a +4=3√a -4,解得a=5.故选A .4.A 解析:∵渐近线y=±b a x=±√33x ,∴b a =√33,∴b 2a 2=m m +1=13,∴m=12.故选A .5.A 解析:由题可知2a 2c =√5-12,所以2a 2=(3-√5)c 2=(3-√5)(a 2+b 2),解得a 2b 2=√5-12.故选A .6.A 解析:对于A,因为方程x 2m 2-2+y 2m 2+2=1表示的曲线是双曲线,所以(m 2-2)(m 2+2)<0,解得-√2<m<√2,故选项A 正确;对于B,x 2m 2-2+y 2m 2+2=1可化为y 2m 2+2−x 22-m 2=1,所以双曲线的焦点在y 轴上,故选项B 错误;对于C,因为2≤m2+2<4,所以e2=4m2+2∈(1,2],故选项C错误;对于D,因为双曲线的渐近线斜率的平方k2=m2+22-m2≥1,所以选项D错误.故选A.7.B　解析:∵m>n>0,∴1n >1m>0.∵mx2+ny2=1,∴x21m+y21n=1,∴曲线C是焦点在y轴上的椭圆,故A正确;∵m=n>0,∴x2+y2=1n,即曲线C是圆,∴r=√nn,故B错误;由mx2+ny2=1,得x21m+y21n=1.∵mn<0,1m 与1n异号,∴曲线C是双曲线.令mx2+ny2=0,可得y2=-mnx2,即y=±√-m n x,故C正确;当m=0,n>0时,有ny2=1,得y2=1n,即y=±√nn,表示两条直线,故D正确.故选B.8.4　解析:由双曲线方程可知其渐近线方程为√m ±y=0,即√m,得-√3m√m解得m=3,可得C的焦距为2√m+1=4.9.y2-x23=1　解析:由2x2-5x+2=0得x1=2,x2=12.因为双曲线的离心率e>1,所以e=2.由题可得c=2,所以e=ca=2,解得a=1,所以b=√c 2-a 2=√3.因为双曲线的焦点在y 轴上,所以双曲线的标准方程为y 2-x 23=1.10.A 解析:在△PF 1F 2中,因为sin∠PF 2F 1=3sin∠PF 1F 2,所以|PF 1|=3|PF 2|.又点P 是双曲线C 上在第一象限内的一点,所以|PF 1|-|PF 2|=2a ,所以|PF 1|=3a ,|PF 2|=a.在△PF 1F 2中,由|PF 1|+|PF 2|>|F 1F 2|得3a+a>2c ,即2a>c ,所以e=c a<2.又e>1,所以1<e<2.故选A .11.B 解析:双曲线的一条渐近线为y=b ax.因为直线y=x 与双曲线无公共点,故有0<b a≤1.即b 2a 2=c 2-a 2a2=e 2-1∈(0,1],所以1<e 2≤2,所以1<e ≤√2.故选B .12.C 解析:因为双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的离心率为√52,所以e=c a =√52,ba=√(c a )2-1=12,所以双曲线C 的渐近线方程为y=±12x ,B 不符合题意;因为双曲线的焦点(c ,0)到渐近线的距离为1,所以b=1.又b a =12,所以a=2,所以双曲线方程为x 24-y 2=1,A 不符合题意;因为A (-a ,0),B (a ,0),设P (x ,y ),则k 1k 2=y x +a ·y x -a =y 2x 2-a 2=b 2a 2=14,C 符合题意;k 1+k 2=y x +a +y x -a =2xy x 2-a 2=2y 2x 2-a 2·x y =12·x y.因为点P 在第一象限,渐近线方程为y=±12x ,所以0<k OP <12,所以x y>2,所以k 1+k 2>1,所以不存在点P ,使得k 1+k 2=1,D 不符合题意.故选C .13.±√3　解析:不妨设直线PF 2垂直于渐近线y=b a x ,由{y =ba x ,y =-a b(x -c ),解得点P (a 2c ,ab c ).又⃗F 1Q =23⃗F 1P ,且F 1(-c ,0),所以Q 2a 2-c 23c ,2ab 3c.又点Q 在直线y=-b a x 上,所以2ab 3c =-b a (2a 2-c 23c),所以b 2=3a 2.故双曲线的渐近线的斜率为±√3.14.32　8　解析:因为a=2,一条渐近线的方程为√5x-2y=0,所以b=√5,所以c=√a 2+b 2=3,所以双曲线C 1的离心率为e=c a =32.由上可知圆C 2的圆心为双曲线C 1的左焦点,设双曲线C 1的左焦点为F 2.因为|PF|=4<a+c ,所以点P 在双曲线的右支上.又|PF 2|-|PF|=2a=4,所以r=|PF 2|=8.15.D 解析:设A'F 2=y ,A'B'=x ,A'F 1=z (x ,y ,z 均为正数).∵cos α=y 2+y 2-x 22y 2,cos β=z 2+z 2-x 22z2,∴1-cos α1-cos β=1-2y 2-x 22y 21-2z 2-x 22z2=z 2y 2=2516,∴z y =54,∴在Rt△A'F1F2中,y|F1F2|=y2c=b2a2c=43,∴3b2=8ac,即3(c2-a2)=8ac,即3e2-8e-3=0,解得e=3或e=-13(舍去).故选D.。

学习资料第八章平面解析几何第五节椭圆课时规范练A组—-基础对点练1．已知方程错误!＋错误!＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围为()A。

错误!B．（1，2)C．(－∞，0）∪（1，2)D．（－∞，－1）∪错误!解析:依题意得不等式组错误!解得m＜－1或1＜m＜错误!,故选D。

答案：D2．以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为()A．1B．错误!C．2 D.2 2解析:设a，b，c分别为椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，依题意知，错误!×2cb＝1⇒bc ＝1,2a＝2错误!≥2错误!＝2错误!，当且仅当b＝c＝1时，等号成立．故选D。

答案：D3．(2020·东北三校联考）若椭圆mx2＋ny2＝1的离心率为错误!，则错误!＝（）A。

错误!B．错误!C.错误!或错误!D。

错误!或错误!解析：若焦点在x轴上,则方程化为错误!＋错误!＝1,依题意得错误!＝错误!,所以错误!＝错误!；若焦点在y轴上,则方程化为错误!＋错误!＝1，同理可得错误!＝错误!.所以所求值为错误!或错误!。

答案:D4．过椭圆错误!＋错误!＝1的右焦点作一条斜率为2的直线，与椭圆交于A,B两点，O为坐标原点,则△OAB的面积为（）A。

错误!B．错误!C.错误!D.错误!解析：由题意知椭圆的右焦点F的坐标为(1，0)，则直线AB的方程为y＝2x－2.联立错误!解得交点为(0，－2），错误!,所以S△OAB＝错误!·|OF|·|y A－y B|＝错误!×1×错误!＝错误!，故选B。

答案：B5．设F 1，F 2分别是椭圆错误!＋y 2＝1的左,右焦点，若椭圆上存在一点P ，使(错误!＋错误!）·错误!＝0（O 为坐标原点)，则△F 1PF 2的面积是( )A ．4B ．3C ．2D 。

1解析:因为（错误!＋错误!)·错误!＝(错误!＋错误!)·错误!＝错误!·错误!＝0，所以PF 1⊥PF 2，∠F 1PF 2＝90°。

课时作业(十三)1．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)表示的曲线是( )A ．以(±7，0)为焦点的椭圆B ．以(±4，0)为焦点的椭圆C ．离心率为75的椭圆 D ．离心率为35的椭圆答案 A解析 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ，y ＝3sin φ⇒⎩⎨⎧x4＝cos φ，y 3＝sin φ.平方相加，得x 216＋y 29＝1，∴c 2＝16－9＝7.∴c ＝7，∴焦点为(±7，0)．2．椭圆x 2＋4y 2＝1的参数方程为(φ为参数)( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ，y ＝2sin φ B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ，y ＝12sin φ C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin φ，y ＝2cos φD.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2sin φ，y ＝cos φ答案 B3．曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝5sin φ(φ为参数)的离心率为( )A.23 B.35 C.32 D.53答案 A解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝5sin φ，得⎩⎨⎧x3＝cos φ，y 5＝sin φ.∴x 29＋y 25＝cos 2φ＋sin 2φ＝1. ∴方程的曲线为椭圆，由a 2＝9，b 2＝5，得c 2＝4.∴离心率e ＝c a ＝23.4．设O 是椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ的中心，P 是椭圆上对应于φ＝π6的点，那么直线OP 的斜率为( ) A.33B. 3C.332D.239答案 D解析 当φ＝π6时，x ＝3cos π6＝332，y ＝2sin π6＝1，∴k OP ＝y x ＝1332＝239.5．曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝3t ，y ＝4＋4t 与C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝4sin θ(0≤θ≤π)的交点对应的θ值为( )A.π6或π3 B.π6或π2 C ．0或π2D.5π6或π2答案 D解析 根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧3t ＝cos θ，4＋4t ＝4sin θ，∴3(sin θ－1)＝cos θ，∴3sin θ－cos θ＝ 3. ∴2sin(θ－π6)＝3，∴sin(θ－π6)＝32.∵0≤θ≤π，∴θ＝5π6或π2.6．椭圆x 29＋y 24＝1上的点到直线x ＋2y －4＝0的距离最小值为( )A.55B. 5C.655 D ．0答案 A解析 设椭圆上任意一点P(3cos θ，2sin θ)， 由点到直线距离公式，得d ＝|3cos θ＋4sin θ－4|1＋4＝|5sin （θ＋φ）－4|5.∴d min ＝15＝55. 7．已知点P 是椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝23sin θ(θ为参数)上一点，点O 是坐标原点，OP 倾斜角为π3，则|OP|等于( ) A.13 B ．213 C.855 D ．2 5答案 C解析 设P 点坐标为(4cos θ，23sin θ)，∵OP 的倾斜角为π3，∴4cos θ＝|OP|·cos π3，23sin θ＝|OP|·sin π3，∴|OP|＝855.8．定点(2a ，0)和椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acos θ，y ＝bsin θ(θ为参数)上各点连线段的中点轨迹方程是( )A.（x －a ）2a 24＋y 2b 24＝1B.（x ＋a ）2a 24＋y 2b 24＝1C.（x －a ）2a 24－y 2b 24＝1D.（x ＋a ）2a 24－y 2b 24＝1答案 A解析 设中点坐标为(x ，y)，椭圆上任意一点坐标为(acos θ，bsin θ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acos θ＋2a2，y ＝bsin θ2，消去θ，得（x －a ）2a 24＋y 2b 24＝1，故选A.9．椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)内接正方形的面积是________．答案57625解析 设内接正方形在第一象限的顶点为(4cos φ，3sin φ)， ∴4cos φ＝3sin φ，∴tan φ＝43.∴sin φ＝45，cos φ＝35.S ＝4·4cos φ·3sin φ＝48·45·35＝57625.10．已知点P 是曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝4sin φ(φ为参数，0≤φ≤π)上一点，O 为坐标原点，直线PO 的倾斜角为π4，则P 点坐标是________．答案 (125，125)解析 将曲线化为普通方程，得x 29＋y 216＝1.因为直线OP 的倾斜角为π4，所以其斜率为1.则直线OP 的方程为y ＝x ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 29＋y 216＝1，y ＝x ，解得x ＝y ＝125，即P 点坐标为(125，125)．11．P(x ，y)是曲线x 225＋y 216＝1上的动点，则45x ＋34y 的最大值是________．答案 5解析 令⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，则45x ＋34y ＝4cos θ＋3sin θ＝5sin(θ＋φ)， ∴最大值为5.12．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α(α为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，曲线C 2的方程为ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0，则C 1与C 2的交点个数为________． 答案 2解析 本题考查了参数方程与极坐标知识．由题意知C 1方程为x 24＋y 23＝1，表示椭圆；而C 2方程即ρcos θ－ρsin θ＋1＝0表示直线x －y＋1＝0，由C 1和C 2方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，x －y ＋1＝0，消去y ，得7x 2＋8x －8＝0，由Δ＝64＋4×7×8>0知曲线C 1与曲线C 2有两个交点．13．对任意实数，直线y ＝x ＋b 与椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(0≤θ≤2π)恒有公共点，则b 的取值范围是________． 答案 [－25，25]解析 将(2cos θ，4sin θ)代入y ＝x ＋b ，得 4sin θ＝2cos θ＋b.∵恒有公共点，∴以上方程有解． 令f(θ)＝4sin θ－2cos θ＝25sin(θ＋φ)． ∴－25≤f(θ)≤2 5.∴－25≤b ≤2 5.14．在椭圆x 216＋y 212＝1上找一点，使这一点到直线x －2y －12＝0的距离最小．解析 设椭圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝23sin θ，椭圆上的任意一点(x ，y)到直线x －2y －12＝0的距离为 d ＝|4cos θ－43sin θ－12|5＝455|cos θ－3sin θ－3|＝455|2cos(θ＋π3)－3|，当cos(θ＋π3)＝1时，d min ＝455，此时所求点为(2，－3)．15．已知在平面直角坐标系xOy 中，圆锥曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，定点A(0，－3)，F 1，F 2是圆锥曲线C 的左、右焦点．(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过点F 1且平行于直线AF 2的直线l 的极坐标方程；(2)设(1)中直线l 与圆锥曲线C 交于M ，N 两点，求|F 1M|·|F 1N|.解析 (1)圆锥曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，∴普通方程为x 24＋y 23＝1.∵A(0，－3)，F 2(1，0)，F 1(－1，0)， ∴kAF 2＝3，l ：y ＝3(x ＋1)， ∴直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝3ρcos θ＋3⇒2ρsin(θ－π3)＝ 3.(2)直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝－1＋t2，y ＝3t 2(t 为参数)，代入椭圆方程，得5t 2－4t －12＝0， ∴t 1t 2＝－125，∴|F 1M|·|F 1N|＝|t 1t 2|＝125.1．当参数θ变化时，由点P(2cos θ，3sin θ)所确定的曲线过点( ) A ．(2，3) B ．(1，5) C ．(0，π2)D ．(2，0)答案 D解析 当2cos θ＝2，即cos θ＝1时，3sin θ＝0.2．把椭圆的普通方程9x 2＋4y 2＝36化为参数方程是________．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)解析 把椭圆的普通方程9x 2＋4y 2＝36化为x 24＋y 29＝1，则b ＝2，a ＝3，其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)．3．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)和极坐标方程ρ＝4sin θ所表示的图形分别是________．答案 椭圆和圆解析 把参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ化为普通方程是x 24＋y 29＝1，表示焦点在y 轴上的椭圆；把极坐标方程ρ＝4sin θ两边都乘ρ，得ρ2＝4ρsin θ，化为直角坐标方程是x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4，表示圆心在(0，2)的圆．4．(2012·新课标全国)已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2.正方形ABCD 的顶点都在C 1上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2，π3)．(1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(2)设P 为C 1上任意一点，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2的取值范围． 解析 (1)由已知可得 A(2cos π3，2sin π3)，B(2cos(π3＋π2)，2sin(π3＋π2))，C(2cos(π3＋π)，2sin(π3＋π))，D(2cos(π3＋3π2)，2sin(π3＋3π2))，即A(1，3)，B(－3，1)，C(－1，－3)，D(3，－1)． (2)设P(2cos φ，3sin φ)，令S ＝|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2，则 S ＝16cos 2φ＋36sin 2φ＋16＝32＋20sin 2φ.因为0≤sin 2φ≤1，所以S 的取值范围是[32，52]．。

2012届高考（文科）数学一轮复习课时作业43椭圆一、选择题1．已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1，长轴在y 轴上，若焦距为4，则m 等于( ) A ．4B ．5C ．7D ．8解析：椭圆焦点在y 轴上，∴a 2＝m －2，b 2＝10－m .又c ＝2，∴m －2－(10－m )＝22＝4.∴m ＝8.答案：D2．[2011·课标全国卷] 椭圆x 216＋y 28＝1的离心率为( ) A.13 B.12 C.33 D.22解析：由题意a ＝4，c 2＝8，∴c ＝22，所以离心率为e ＝c a ＝224＝22. 答案：D3．已知点M (3，0)椭圆x 24＋y 2＝1与直线y ＝k (x ＋3)交于点A 、B ，则△ABM 的周长为( ) A ．4B ．8C ．12D ．16解析：直线y ＝k (x ＋3)过定点N (－3，0)，而M 、N 恰为椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点，由椭圆定义知△ABM 的周长为4a ＝4×2＝8.答案：B4．若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴的最小值为( )A ．1B. 2 C ．2 D ．2 2 解析：设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则使三角形面积最大时，三角形在椭圆上的顶点为椭圆短轴端点，∴S ＝12×2c ×b ＝bc ＝1≤b 2＋c 22＝a 22.∴a 2≥2.∴a ≥ 2.∴长轴长2a ≥22，故选D.答案：D5．[2011·福建卷] 设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F 1，F 2.若曲线Γ上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线Γ的离心率等于( )A.12或32B.23或2C.12或2D.23或32解析：设|F 1F 2|＝2c (c >0)，由已知|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，得|PF 1|＝83c ，|PF 2|＝43c ，且|PF 1|>|PF 2|，若圆锥曲线Γ为椭圆，则2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝4c ，离心率e ＝c a ＝12； 若圆锥曲线Γ为双曲线，则2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝43c ，离心率e ＝c a ＝32，故选A. 答案：A6．(2010年全国Ⅱ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，过右焦点F 且斜率为k (k >0)的直线与C 相交于A 、B 两点，若AF →＝3FB →，则k 等于( )A ．1B. 2C. 3 D ．2解析：由椭圆C 的离心率为32，得c ＝32a ，b 2＝a 24， ∴椭圆C ：x 2a 2＋4y 2a 2＝1.设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，F (32a,0)． ∵AF →＝3FB →，∴(32a －x A ，－y A ) ＝ 3(x B －32a ，y B )． 32a －x A ＝3(x B －32a )，－y A ＝3y B即x A ＋3x B a ，y A ＋3y B ＝0将A 、B 代入椭圆C 方程相减得9x B 2－x A 2a 2＝8，(3x B ＋x A )(3x B －x A )a 2＝8， ∴3x B －x A ＝433a . ∴y A ＝－69a ，y B ＝618a ，∴k ＝y B －y A x B －x A ＝618a ＋66a 539a －33a ＝ 2. 答案：B二、填空题7．(2011年金华十校)已知F 1，F 2是椭圆x 216＋y 29＝1的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点．在△AF 1B 中，若有两边之和是10，则第三边的长度为________．解析：根据椭圆定义，知△AF 1B 的周长为4a ＝16，故所求的第三边的长度为16－10＝6. 答案：68．(2011年北京育才第二次月考)设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1(m >0，n >0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的标准方程为________． 解析：抛物线y 2＝8x 的焦点是(2,0)，∴椭圆的半焦距c ＝2即m 2－n 2＝4，又e ＝m 2－n 2m ＝2m ＝12，∴m ＝4，n 2＝12.从而椭圆的方程为x 216＋y 212＝1. 答案：x 216＋y 212＝1 9．(2011年佳木斯第一中学第二次月考)已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为________． 解析：设椭圆的长半轴为a ，由2a ＝12知a ＝6，又e ＝c a ＝32，故c ＝33，∴b 2＝a 2－c 2＝36－27＝9. ∴椭圆标准方程为x 236＋y 29＝1. 答案：x 236＋y 29＝1 三、解答题10． [2011·陕西卷] 设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(0,4)，离心率为35. (1)求C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标． 解：(1)将(0,4)代入椭圆C 的方程得16b2＝1，∴b ＝4. 又e ＝c a ＝35得a 2－b 2a 2＝925，即1－16a 2＝925，∴a ＝5， ∴C 的方程为x 225＋y 216＝1. (2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)， 设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x 225＋(x －3)225＝1， 即x 2－3x －8＝0.解得x 1＝3－412，x 2＝3＋412， ∴AB 的中点坐标x ＝x 1＋x 22＝32， y ＝y 1＋y 22＝25(x 1＋x 2－6)＝－65. 即中点为（32，－65）.11．如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；(2)若AF 2→＝2F 2B →，AF 1→·AB →＝32，求椭圆的方程． 解：若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形，所以有OA ＝OF 2，即b ＝c .所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22. (2)由题知A (0，b )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中，c ＝a 2－b 2，设B (x ，y )．由AF 2→＝2F 2B →⇔(c ，－b )＝2(x －c ，y )，解得x ＝3c 2， y ＝－b 2，即B (3c 2，－b 2)． 将B 点坐标代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94c 2a 2＋b 24b2＝1， 即9c 24a 2＋14＝1， 解得a 2＝3c 2.①又由AF 1→·AB →＝(－c ，－b )·(3c 2，－3b 2)＝32⇒b 2－c 2＝1， 即有a 2－2c 2＝1.②由①，②解得c 2＝1，a 2＝3，从而有b 2＝2.所以椭圆方程为x 23＋y 22＝1.12．(2010年广州模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，且经过P (1，32)． (1)求椭圆C 的方程；(2)设F 是椭圆C 的左焦点，判断以PF 为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．解：(1)∵椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，且经过点P (1，32)，则 1a 2＋94b 2＝1，且a 2－b 2 a 2＝14∴a 2＝4，,b 2＝3∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)∵a 2＝4，b 2＝3，∴c ＝a 2－b 2＝1，∴椭圆C 的左焦点F 的坐标为(－1,0)．以椭圆C 的长轴为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝4，圆心坐标是(0,0)，半径为2.以PF 为直径的圆的方程为x 2＋(y －34)2＝2516，圆心坐标是(0，34)，半径为54. ∵两圆心之间的距离为(0－0)2＋(34－0)2＝34＝2－54，故以PF 为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆内切．。