习题三
1．掷一枚非均质的硬币，出现正面的概率为p (0 p 1) ，若以X 表示直至掷到正、反面都出现时为止所需投掷次数，求X 的分布列。解(X k) 表示事件：前k 1次出现正面，第k 次出现反面，或前k 1次出现反面，第k 次出现正面，所以
P X ( k ) p k1(1p ) (1p)k 1 p,k 2,3,
2．袋中有b 个黑球a 个白球，从袋中任意取出r 个球，求r 个球中黑球个数X 的分布列。
解从a b个球中任取r 个球共有C a b r种取法，r 个球中有k 个黑球的取法有C C b k a r k，所以X 的分布列为
P X (k
) C C
C bk a b r ar k，k max(0, r a), max(0, r a )
1, ,min( , )b r ，
此乃因为，如果r a，则r 个球中可以全是白球，没有黑球，即
k 0 ；
如果r a 则r 个球中至少有r a个黑球，此时k 应从r a开始。
3．一实习生用一台机器接连生产了三个同种零件，第i 个零件是不合格品1
的概率p
i
(i 1,2,3) ，以X 表示三个零件中合格品的个数，求X 的分布
i 1
列。
.
·19·
·20 ·
解 设 A i
‘第i 个零件是合格品’i
1,2,3。则
1 1 1
1 P X (
0) P A A A ( 1 2 3
)
，
2 3 4
24
P X ( 1)
P A A A ( 1
23
A A A 1
23
A A A 1
2 3
)
P A A A ( 1 2 3
) P A A A ( 1 23
) P A A A ( 1 2
3
)
1 1 1 1
2 1 1 1 3
6
，
2 3 4 2 3
4
2 3 4
24
P X ( 2)
P A A A ( 1
23
A A A 1 23
A A A 1
2
3
)
P A A A ( 1 2 3
) P A A A ( 1
23
) P A A A ( 1 2
3
)
1 2 1 1 1 3
1 2 3
11
，
2 3
4 2 3 4 2
3 4
24
1 2 3 6
P X (
3) P A A A ( 12 3
)
.
2 3 4 24
即 X 的分
布列为
.
4．一汽车沿一街道行驶，需通过三个设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且每一信号灯红绿两种信号显示的概率均为，以 X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求 X 的概率
·21·
分布。 解 P X (
0) P (第一个路口即为红灯),
1 1 1
P X (
1)
P (第一个路口为绿灯，第二个路口为红灯)
，
2 2 4
依此
类推，得 X 的分布列为
.
5．将一枚硬币连掷n 次，以 X 表示这n 次中出现正面的次数，求 X 的分布列。 解 X 为n 重贝努里试验中成功出现的次数，故 X ~ B n ( ,) ，X 的分布 列为
n
P X (k ) C n k
1
2
k 0, 1,
6．一电话交换台每分钟接到的呼叫次数服从参数为 4 的泊松分布，求（1）每分钟恰有 8 次呼叫的概率；（2）每分钟的呼叫次数大于 10 的概率。 解 设
X 为每分钟接到的呼叫次数，则 X ~ P (4)
（1）P X (8)
8!8 e
4 k 8 4k e
4
4k k !e
4
0.2977
k !
k q
（2）P X (
10)
4k k ! e
4
0.00284.
k 11
P
, n
·22 ·
7．某商店每月销售某种商品的数量服从参数为 5 的泊松分布，问在月初至少库存多少此种商品，才能保证当月不脱销的概率为 0.99977 以上。 解 设 X 为该商品的销售量， N 为库存量，由题意
0.99977 P X N ( )1 P X N ( ) 1
K N
1
P X
K (
) 1
K N 1
5k k !e 5
即
K N
1
k K ! e
5
0.00023
查泊松分布表知 N 1 15 ，故月初要库存 14 件以上，才能保证当月不脱
销的概率在 0.99977 以上。
8．已知离散型随机变量 X 的分布列为：P X (
1) 0.2, P X (
2)
0.3， P X ( 3) 0.5，试写出 X 的分布函数。
解 X 的分布列为
所以 X 0 , x 1,
0.2,1x
2,
F x ( )
