习题二
3.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X 表示取出的次品个数，求： （1） X 的分布律；
（2） X 的分布函数并作图； (3)
133
{},{1},{1},{12}222
P X P X P X P X ≤<≤≤≤<<.
【解】
故X 的分布律为
（2） 当x <0时，F （x ）=P （X ≤x ）=0
当0≤x <1时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)=
22
35
当1≤x <2时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)+P (X =1)=3435
当x ≥2时，F （x ）=P （X ≤x ）=1 故X 的分布函数 (3)
4.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】
设X 表示击中目标的次数.则X =0，1，2，3.
故X 的分布律为
分布函数
5.（1） 设随机变量X 的分布律为
P {X =k }=!
k a
k
λ，
其中k =0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a .
（2） 设随机变量X 的分布律为
P {X =k }=a/N ， k =1，2，…，N ，
试确定常数a .
【解】（1） 由分布律的性质知
故 e a λ
-=
(2) 由分布律的性质知
即
1a =.
6.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求：
（1） 两人投中次数相等的概率;
（2） 甲比乙投中次数多的概率.
【解】分别令X 、Y 表示甲、乙投中次数，则X~b （3，0.6）,Y~b (3,0.7)
(1) ()(0,0)(1,1)(2,2)P X Y P X Y P X Y P X Y ====+==+==+
331212
33(0.4)(0.3)C 0.6(0.4)C 0.7(0.3)=++
(2) ()(1,0)(2,0)(3,0)P X Y P X Y P X Y P X Y >===+==+==+
=0.243
7.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？
【解】设X 为某一时刻需立即降落的飞机数，则X ~b (200,0.02)，设机场需配备N 条跑道，则有
即 200
2002001
C (0.02)(0.98)
0.01k k k
k N -=+<∑
利用泊松近似
查表得N ≥9.故机场至少应配备9条跑道.
8.已知在五重伯努利试验中成功的次数X 满足P {X =1}=P {X =2}，求概率P {X =4}. 【解】设在每次试验中成功的概率为p ，则
故 1
3
p =
所以
4451210(4)C ()33243
P X ===
. 9.设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号， （1） 进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率； （2） 进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率.
【解】（1） 设X 表示5次独立试验中A 发生的次数，则X ~6（5，0.3）
(2) 令Y 表示7次独立试验中A 发生的次数，则Y~b （7，0.3）
10.某公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为（1/2）t 的泊松分布，而与时间间
隔起点无关（时间以小时计）.
（1） 求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率； （2） 求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率.
【解】（1）32
(0)e
P X -== (2) 52
(1)1(0)1e P X P X -
≥=-==-
11.设P {X =k }=k
k
k
p p --22)
1(C , k =0,1,2
P {Y =m }=m
m
m
p p --44)
1(C , m =0,1,2,3,4
分别为随机变量X ，Y 的概率分布，如果已知P {X ≥1}=5
9
，试求P {Y ≥1}. 【解】因为5(1)9P X
≥=
，故4(1)9
P X <=. 而 2
(1)(0)(1)P X P X p <===-
故得 24
(1),9p -=
即 1
.3
p =
从而
465
(1)1(0)1(1)0.8024781
P Y P Y p ≥=-==--=
≈ 12.某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为0.001，试求在这2000册书中恰有5册错误的概
率.
【解】令X 为2000册书中错误的册数，则X~b (2000,0.001).利用泊松近似计算,
得 25
e 2(5)0.00185!
P X -=≈= 13.进行某种试验，成功的概率为
34，失败的概率为1
4
.以X 表示试验首次成功所需试验的次数，试写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率. 【解】1,2,
,,
X k =
14.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为0.002，每
个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求： （1） 保险公司亏本的概率;
（2） 保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率. 【解】以“年”为单位来考虑.
（1） 在1月1日，保险公司总收入为2500×12=30000元. 设1年中死亡人数为X ，则X~b (2500,0.002)，则所求概率为 由于n 很大，p 很小，λ=np =5，故用泊松近似，有 (2) P (保险公司获利不少于10000)
即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上
P （保险公司获利不少于20000）(30000200020000)(5)P X P X =-≥=≤ 即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%
15.已知随机变量X 的密度函数为
f (x )=A e ?|x |, ?∞求：（1）A 值；（2）P {0()d 1f x x ∞
-∞
=⎰
得
故
1
2
A =
. (2) 11
011(01)e d (1e )22
x p X x --<<==-⎰
(3) 当x <0时，11()e d e 22x x x F x x -∞==⎰ 当x ≥0时，0||0111()e d e d e d 222
x x x x
x F x x x x ---∞-∞==+⎰⎰⎰
