2020学年吉林省延边朝鲜族自治州高考数学调研试题

吉林省延边朝鲜族自治州（新版）2024高考数学人教版真题(培优卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知A、B、C、D、E、F六个人站成一排，要求A和B不相邻，C不站两端，则不同的排法共有（）种A．186B．264C．284D．336第(2)题已知向量，，若，则（）A．B．C．4D．1第(3)题函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且满足，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．第(4)题已知与直线交于两点，且被截得两段圆弧的长度之比为，若为上一点，则的最大值为（）A．B．C．D．第(5)题设函数，集合，若 ，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．第(6)题设，，为非零不共线向量，若，则（）A．B．C．D．第(7)题设，若正实数满足：则下列选项一定正确的是（）A．B．C．D．第(8)题定义在上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，，则的值为A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题水稻产量是由单位面积上的穗数、每穗粒数（每穗颖花数）、成粒率和粒重四个基本因素构成．某实验基地有两块面积相等的试验田，在种植环境相同的条件下，这两块试验田分别种植了甲、乙两种水稻，连续试验5次，水稻的产量如下：甲（单位：kg）250240240200270乙（单位：kg）250210280240220则下列说法正确的是（）A．甲种水稻产量的极差为70B．乙种水稻产量的中位数为240C．甲种水稻产量的平均数大于乙种水稻产量的平均数D．甲种水稻产量的方差小于乙种水稻产量的方差第(2)题已知复数均不为0，则（）A．B．C．D ．若，则第(3)题射击作为一项综合运动项目，不仅需要选手们技术上的过硬，更需要他们在临场发挥时保持冷静和专注.第19届亚运会在我国杭州举行，女子10米气步枪团体决赛中，中国队以1896.6环的成绩获得金牌，并创造新的亚洲纪录.决赛中，中国选手黄雨婷、韩佳予和王芝琳在最后三轮比赛中依次射击，成绩（环）如下：黄雨婷韩佳予王芝琳第4轮105.5106.2105.6第5轮106.5105.7105.3第6轮105106.1105.1则下列说法正确的是A ．三轮射击9项成绩极差为1.5B ．三轮射击成绩最好的一轮是第五轮C ．从三轮射击成绩来看，黄雨婷射击成绩最稳定D ．从三轮各人平均成绩来看，韩佳予表现更突出三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题在极坐标系中，直线与直线的夹角大小为____________ ．第(2)题不等式的解为________________________ ．第(3)题已知三棱柱，面，为内的一点（含边界），且为边长为2的等边三角形，，、分别为、的中点，下列命题正确的有______．①若为的中点时，则过、、三点的平面截三棱柱表面的图形为等腰梯形；②若为的中点时，三棱锥的体积；③若为的中点时，；④若与平面所成的角与的二面角相等，则满足条件的的轨迹是椭圆的一部分．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数有两个不同的极值点．(1) 求函数f (x )的单调区间；(2) 若，使成立，求实数t 的取值范围．第(2)题某品牌推出2款盲盒套餐，A 款盲盒套餐包含4款不同单品，且必包含隐藏款X ；B 款盲盒套餐包含2款不同单品，有50%的可能性出现隐藏款X ．为避免盲目购买与黄牛囤积，每人每天只能购买1件盲盒套餐．开售第二日，销售门店对80名购买了套餐的消费者进行了问卷调查，得到如下列联表：A 款盲盒套餐B 款盲盒套餐合计年龄低于30岁183048年龄不低于30岁221032合计404080(1)根据2×2列联表，判断是否有99%的把握认为A ，B 款盲盒套餐的选择与年龄有关；(2)甲、乙、丙三人每人购买1件B 款盲盒套餐，记随机变量为其中隐藏款X 的个数，求的分布列和数学期望；附：，其中，0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.841 5.024 6.63510.828第(3)题已知点，动点满足，动点的轨迹记为.(1)求的方程；(2)过点的直线与交于两点，为坐标原点，求面积的最大值.第(4)题已知函数.(1)若曲线在点处的切线与直线平行，求实数的值；(2)若，求实数的取值范围.第(5)题已知椭圆：的左右焦点分别为，，离心率为，过抛物线：焦点的直线交抛物线于M，N两点，的最小值为4.连接，并延长分别交于A，B两点，且点A与点M，点B与点N均不在同一象限，与的面积分别记为，.(1)求和的方程；(2)记，求的最小值.。

吉林省延边州2020届高考数学模拟试卷2（4月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合U ={1,2，3，4，5，6}，A ={1,2，4，6}，B ={2,3，5}，则图中阴影部分表示的集合为( )A. {2}B. {3,5}C. {1,4，6}D. {3,5，7，8}2. 已知复数z =5i3−4i ，则z 的实部为( )A. −45 B. 45 C. −35 D. 35 3. 已知向量a ⃗ =(2,3)，b ⃗ =(k,−1)，a ⃗ ⊥b⃗ ，则k =( ) A. 32 B. −32 C. 23 D. −23 4. 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 1+a 10−a 5=6，则S 11=( )A. 55B. 66C. 110D. 1325. 要得到函数y =sin (4x −π3)的图象，只需将函数y =sin 4x 的图象( )A. 向左平移π12个单位 B. 向右平移π12个单位 C. 向左平移π3个单位 D. 向右平移π3个单位 6. 命题“∀x ∈[1,2]，x 2−a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )A. a ≥4B. a ≤4C. a ≥5D. a ≤57. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是线段AB 1，BC 1的中点，以下结论：①AA 1丄MN ；②MN 与AC 异面；③MN 丄面BDD 1B 1；其中正确的是( )A. ①B. ①②C. ①③D. ②③ 8. 已知圆C ：x 2+y 2+mx −4=0上存在两点关于直线x −y +3=0对称，则实数m 的值为( )A. 8B. −4C. 6D. 无法确定9. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数(注：素数又叫质数)的和”，如30=7+23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是( )A. 112B. 114C. 115D. 11810. 若双曲线x 2a 2−y 216=1(a >0)的焦点为F 1(−5,0)，F 2(5,0)，则双曲线的离心率为( )A. 43B. 53C. 2D. √211. 已知PC 为球O 的直径，A ，B 是球面上两点，且AB =6，∠APC =∠BPC =π4，若球O 的表面积为64π，则棱锥A −PBC 的体积为 ( )A. 8√7B. 24√7C. 4√33 D. 2√21512. 已知函数f(x)={|log 2x|,0<x ≤4x 2−12x +34,x >4，若方程f(x)=t(t ∈R)有四个不同的实数根a ，b ，c ，d ，则abcd 的取值范围是( )A. (30,32)B. (32,34)C. (32,36)D. (30,36)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知(1+x)(1−ax)2018的展开式中含x 项的系数为2019，则实数a =_________． 14. 已知等比数列{a n }中，a 3=2，a 4a 6=16，则a 10−a 12a 6−a 8的值为___________．15. 若函数f(x)=ln x −12ax 2−2x 存在单调减区间，则实数a 的取值范围为_______． 16. 下列命题成立的是______ . (写出所有正确命题的序号)．①a ，bc ∈R ，a 2+b 2+c 2≥ab +bc +ac ； ②当x >0时，函数f(x)=1x 2+2x ≥2√1x 2⋅2x =2√2x，∴当且仅当x 2=2x 即x =2时f(x)取最小值； ③当x >1时，x 2−x+4x−1≥5；④当x >0时，x +1x +1x+1x的最小值为52．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知△ABC 的内切圆面积为π，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(2b −c)cosA =acosC ．(1)求角A ；(2)当AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值最小时，求△ABC 的面积．18.如图，四棱锥P−ABCD的底面是平行四边形，BA=BD=√2，AD=2，PA=PD=√5，E，F分别是棱AD，PC的中点．(Ⅰ)证明AD⊥平面PBE；(Ⅱ)若二面角P−AD−B为60°，求直线EF与平面PBC所成角的正弦值．19.为了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，某部门从年龄在15岁到65岁的人群中随机调查了100人，将这100人的年龄数据分成5组：[15,25)，[25,35)，[35,45)，[45,55)，[55,65]，整理得到如图所示的频率分布直方图．在这100人中不支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下：(2)由频率分布直方图，若在年龄为[25,35)，[35,45)，[45,55)的三组内用分层抽样的方法抽取12人做问卷调查，求年龄在[35,45)组内抽取的人数；(3)根据以上统计数据填写下面的2×2列联表，据此表，能否在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的不支持态度存在差异？，其中n=a+b+c+d．附：K2=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)参考数据：20.已知函数f(x)=ax2−(a+2)x+lnx．(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)求f(x)的单调区间；(3)若对任意x1，x2∈(0,+∞)，x1<x2，且f(x1)+2x1<f(x2)+2x2恒成立，求a的取值范围．21. 已知椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0),c =1，直线x −y +1=0与椭圆交于C,D 两点，弦CD 的中点E(−47,37)(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)F 1、F 2是椭圆的左、右焦点，过F 2作直线l 交椭圆于A 、B 两点.是否在x 轴上存在点M(m,0)，使得x 轴平分∠AMB ？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线C 1:x +y −4=0，曲线为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求C 1,C 2的极坐标方程；(2)若曲线C 3的极坐标方程为θ=α(ρ>0,0<α<π2)，且曲线C 3分别交C 1,C 2于点A ，B 两点，求|OB||OA|的最大值．23. 已知函数f(x)=|x +m|+|2x −1|．(1)当m =1时，解不等式f(x)≥3；(2)若m <14，且当x ∈[m,2m]时，不等式12f(x)≤|x +1|恒成立，求实数m 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题考查的知识点是Venn图表达集合的关系及运算，其中正确理解阴影部分元素满足的性质是解答本题的关键.由韦恩图可知阴影部分表示的集合为(C U A)∩B，根据集合的运算求解即可．解：由韦恩图可知阴影部分表示的集合为(C U A)∩B，∵全集U={1,2，3，4，5，6}，B={2,3，5}，∴C U A={3,5}，又∵集合A={1,2，4，6}，∴(C U A)∩B={3,5}．故选B．2.答案：A解析：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：∵z=5i3−4i =5i(3+4i)(3−4i)(3+4i)=−45+35i，∴z的实部为−45．故选：A．3.答案：A解析：本题考查了向量垂直与数量积的关系，属于基础题．利用a⃗⊥b⃗ ⇔a⃗⋅b⃗ =0，即可得出．解：∵a⃗⊥b⃗ ，∴a⃗⋅b⃗ =0，∴2k−3=0，解得k=32．故选：A．4.答案：B解析：本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和公式，是基础题．设等差数列{a n}的公差为d，由题意可得a6=6，由等差数列{a n}的前n项和公式计算即可得答案．解：设等差数列{a n}的公差为d，由a1+a10−a5=6，得：a1+5d=6，∴a6=6，则S11=11(a1+a11)2=11a6=66．故选B．5.答案：B解析：本题考查三角函数图像平移变换．sin 4(x−π12+π12)=sin4x，故选B．6.答案：C解析：本题考查找命题一个充分不必要条件，还涉及恒成立问题，属基础题．本题先要找出命题为真命题的充要条件{a|a≥4}，从集合的角度充分不必要条件应为{a|a≥4}的真子集，由选择项不难得出答案．解：命题“∀x∈[1,2]，x2−a≤0”为真命题，可化为∀x∈[1,2]，a≥x2，恒成立，即只需a≥(x2)max=4，即“∀x∈[1,2]，x2−a≤0”为真命题的充要条件为a≥4，而要找的一个充分不必要条件即为集合{a|a≥4}的真子集，由选择项可知C符合题意．故选：C．7.答案：C解析：解：连接B1C，BD，B1D1，由MN为△ACB1的中位线可得MN//AC，故②错误；由AA1⊥平面AC，可得AA1⊥AC，即有AA1⊥MN，故①正确；由BD⊥AC，AC⊥B1B，可得AC⊥平面BDD1B1，。

2019-2020学年吉林省延边二中高三（上）第一次调研数学试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A＝{x|x2≤x}，B＝{x|≥1}，则A∩B＝（）A．（﹣∞，1]B．[0，1]C．（0，1]D．（﹣∞，0）∪（0，1]2．i为虚数单位，设复数z满足＝i，则复数z的模是（）A．10B．25C．3D．53．在△ABC中，“A＞B”是“cos A＜cos B”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知3a＝e，b＝log35﹣log32，，则a、b、c的大小关系为（）A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a5．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S2＝a1+2a3，a4＝1，则S4＝（）A．B．C．14D．156．函数y＝log a（x+4）+2（a＞0且a≠1）的图象恒过点A，且点A在角θ的终边上，则sin2θ＝（）A．B．C．﹣D．7．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．（8+π）B．（9+2π）C．（8+2π）D．（6+π）8．若向量，的夹角为，且，，则向量与向量的夹角为（）A．B．C．D．9．关于函数y＝2sin（3x+）+1，下列叙述有误的是（）A．其图象关于直线x＝﹣对称B．其图象关于点（）对称C．其值域是[﹣1，3]D．其图象可由y＝2sin（x+）+1图象上所有点的横坐标变为原来的得到10．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x﹣1）＝f（x+1），且当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝x2，函数g（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，g（x）＝lgx，则函数h（x）＝f（x）﹣g（x）的零点的个数是（）A．9B．10C．11D．1211．历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…．即F（1）＝F（2）＝1，F（n）＝F（n ﹣1）+F（n﹣2）（n≥3，n∈N*），此数列在现代物理、准晶体结构及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列{b n}，又记数列{c n}满足c1＝b1，c2＝b2，c n＝b n﹣b n﹣1（n≥3，n∈N*），则c1+c2+c3+…+c2019的值为（）A．4B．﹣728C．﹣729D．312．已知f（x）为定义在（0，+∞）上的可导函数，且f（x）＞xf′（x）恒成立，则不等式x2f（）﹣f（x）＞0的解集为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（1，+∞）D．（2，+∞）二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案写在答题纸上）13．体积为4π的球的内接正方体的棱长为．14．已知α∈（0，π）且．则cosα＝．15．在等差数列中，已知a3+a5+a7＝15，则3a4+a8＝．16．如图，向量⊥，||＝2，||＝1，P是以O为圆心、||为半径的圆弧上的动点，若＝m+n，则mn的最大值是．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题.每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题.考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b sin B+c sin C＝a（+sin A）（1）求A的大小；（2）若a＝，B＝，求△ABC的面积18．己知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝4a n+3n﹣1，b n＝a n+n．（1）证明：数列{b n}为等比数列；（2）求数列{a n}的前n项和．19．（重点中学做）2019年，河北等8省公布了高考改革综合方案将采取“3+1+2”模式，即语文、数学、英语必考，然后考生先在物理、历史中选择1门，再在思想政治、地理、化学、生物中选择2门．为了更好进行生涯规划，甲同学对高一一年来的七次考试成绩进行统计分析，其中物理、历史成绩的茎叶图如图所示．（Ⅰ）若甲同学随机选择3门功课，求他选到物理、地理两门功课的概率；（Ⅱ）试根据茎叶图分析甲同学应在物理和历史中选择哪一门学科？并说明理由；（Ⅲ）甲同学发现，其物理考试成绩y（分）与班级平均分x（分）具有线性相关关系，统计数据如表所示，试求当班级平均分为50分时，其物理考试成绩．参考数据：，，，．参考公式：，，（计算时精确到0.01）．20．如图，在多面体ABC﹣A1B1C1中，四边形ABB1A1是正方形，△A1CB是等边三角形，AC＝AB＝1，B1C1∥BC，BC＝2B1C1（Ⅰ）求证：AB1∥平面A1C1C（Ⅱ）求多面体ABC﹣A1B1C1的体积．21．已知函数f（x）＝+ax﹣2b﹣1（a，b为常数）．（1）若函数f（x）在x＝1处的切线方程为2x﹣y﹣4＝0，求a，b；（2）当a＝b，x∈（0，e]时，f（x）≤，求实数a的取值范围．选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（Ⅰ）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|+|x﹣a|．（1）当a＝2时，求不等式f（x）＜5的解集；（2）若f（x）≥2的解集为R，求a的取值范围．2019-2020学年吉林省延边二中高三（上）第一次调研数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A＝{x|x2≤x}，B＝{x|≥1}，则A∩B＝（）A．（﹣∞，1]B．[0，1]C．（0，1]D．（﹣∞，0）∪（0，1]【解答】解：A＝[0，1]，B＝（0，1]；∴A∩B＝（0，1]．故选：C．2．i为虚数单位，设复数z满足＝i，则复数z的模是（）A．10B．25C．3D．5【解答】解：由＝i，得z＝，∴|z|＝．故选：D．3．在△ABC中，“A＞B”是“cos A＜cos B”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：因为在△ABC中，角A与角B都大于0小于180度，而余弦函数在区间0度到180度上是减函数，则A＞B可直接推出cos A＜cos B．所以，“A＞B”是“cos A＜cos B”的充分条件．同理由余弦函数在0度到180度上是减函数，则cos A＜cos B可直接推出A＞B．所以，“A＞B”也是“cos A＜cos B”的必要条件．故选：C．4．已知3a＝e，b＝log35﹣log32，，则a、b、c的大小关系为（）A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a【解答】解：，∵，∴c＞a＞b．故选：C．5．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S2＝a1+2a3，a4＝1，则S4＝（）A．B．C．14D．15【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，S2＝a1+2a3，a4＝1，∴，解得，∴S4＝＝＝15．故选：D．6．函数y＝log a（x+4）+2（a＞0且a≠1）的图象恒过点A，且点A在角θ的终边上，则sin2θ＝（）A．B．C．﹣D．【解答】解：对于函数y＝log a（x+4）+2（a＞0且a≠1），令x+4＝1，求得x＝﹣3，y ＝2，可得函数的图象恒过点A（﹣3，2），且点A在角θ的终边上，∴tanθ＝＝﹣，则sin2θ＝＝＝﹣，故选：C．7．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．（8+π）B．（9+2π）C．（8+2π）D．（6+π）【解答】解：由已知三视图得到几何体是半个圆锥与一个四棱锥的组合体，其中圆锥底面半径为1，高为；四棱锥的底面为边长是2的正方形，高为，所以几何体的体积为＝；故选：A．8．若向量，的夹角为，且，，则向量与向量的夹角为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，设，则，∴＝（1，）﹣（2，0）＝（﹣1，），设与的夹角为θ（0≤θ≤π），∴cosθ＝＝．∴．故选：B．9．关于函数y＝2sin（3x+）+1，下列叙述有误的是（）A．其图象关于直线x＝﹣对称B．其图象关于点（）对称C．其值域是[﹣1，3]D．其图象可由y＝2sin（x+）+1图象上所有点的横坐标变为原来的得到【解答】解：函数y＝f（x）＝2sin（3x+）+1，由f（﹣）＝2sin（﹣+）+1＝﹣1，为最小值，可得其图象关于直线x＝﹣对称；由f（）＝2sin（+）+1＝3，可得其图象不关于（）对称；由sin（3x+）＝﹣1，可得函数的最小值为﹣1；sin（3x+）＝1，可得函数的最大值为3，可得函数的值域为[﹣1，3]；由y＝2sin（x+）+1图象上所有点的横坐标变为原来的得到y＝2sin（3x+）+1的图象，故A，C，D正确；B错误．故选：B．10．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x﹣1）＝f（x+1），且当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝x2，函数g（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，g（x）＝lgx，则函数h（x）＝f（x）﹣g（x）的零点的个数是（）A．9B．10C．11D．12【解答】解：f（x﹣1）＝f（x+1），即为f（x+2）＝f（x），可得f（x）为周期为2的偶函数，且当x∈[﹣1，1]时，f（x）＝x2，画出函数y＝f（x）的图象；函数g（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，g（x）＝lgx，可得x＝0时，g（0）＝0，x＜0时，g（x）＝﹣lg（﹣x），作出y＝g（x）的图象，由lg10＝1，f（x）的最大值1，可得x＞0时，y＝f（x）和y＝g（x）的图象有9个交点；x＝0时，f（0）＝g（0）＝0；x＜0时，y＝f（x）和y＝g（x）的图象有1个交点；综上可得y＝f（x）和y＝g（x）的图象共有11个交点，即有h（x）＝f（x）﹣g（x）的零点的个数是11．故选：C．11．历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…．即F（1）＝F（2）＝1，F（n）＝F（n ﹣1）+F（n﹣2）（n≥3，n∈N*），此数列在现代物理、准晶体结构及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列{b n}，又记数列{c n}满足c1＝b1，c2＝b2，c n＝b n﹣b n﹣1（n≥3，n∈N*），则c1+c2+c3+…+c2019的值为（）A．4B．﹣728C．﹣729D．3【解答】解：由题意可得：b1＝1，b2＝1，b3＝2，b4＝3，b5＝1，b6＝0；b7＝1，b8＝1，b9＝2，b10＝3，b11＝1，b12＝0，……．∴数列{b n}是周期为6的数列，由c1＝b1，c2＝b2，c n＝b n﹣b n﹣1（n≥3，n∈N*），则c1＝b1＝1，c2＝b2＝1，c3＝1，c4＝1，c5＝﹣2，c6＝﹣1，c7＝1，c8＝0，c9＝1，c10＝1，c11＝﹣2，c12＝﹣1，c13＝1，c14＝0，……．∴数列{c n}从第三项开始为周期是6的周期数列．∴c1+c2+c3+…+c2019＝1＝1+1+（1+1﹣2﹣1+1+0）×336+1＝3．故选：D．12．已知f（x）为定义在（0，+∞）上的可导函数，且f（x）＞xf′（x）恒成立，则不等式x2f（）﹣f（x）＞0的解集为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（1，+∞）D．（2，+∞）【解答】解：令F（x）＝，（x＞0），则F′（x）＝，∵f（x）＞xf′（x），∴F′（x）＜0，∴F（x）为定义域上的减函数，由不等式x2f（）﹣f（x）＞0，得：＞，∴＜x，∴x＞1，故选：C．二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案写在答题纸上）13．体积为4π的球的内接正方体的棱长为2．【解答】解：设球的半径为R，正方体的棱长a，则＝4，∴R3＝，∴R＝，则由正方体的性质可知，正方体的体对角线＝2R＝2，∴a＝2，故答案为：2．14．已知α∈（0，π）且．则cosα＝．【解答】解：已知α∈（0，π）且，∴α﹣为锐角，故sin（α﹣）＝＝，则cosα＝cos[（α﹣）+]＝cos（α﹣）cos﹣sin（α﹣）sin＝﹣＝，故答案为：．15．在等差数列中，已知a3+a5+a7＝15，则3a4+a8＝20．【解答】解：在等差数列中，由a3+a5+a7＝15，得3a5＝15，则a5＝5．∴3a4+a8＝2a4+a4+a8＝2a4+2a6＝2（a4+a6）＝4a5＝4×5＝20．故答案为：2016．如图，向量⊥，||＝2，||＝1，P是以O为圆心、||为半径的圆弧上的动点，若＝m+n，则mn的最大值是1．【解答】解：∵＝m+n，∴2＝（m+n）2，∴4＝4m2+n2，∵4m2+n2≥4mn，∴4mn≤4，∴mn≤1，故答案为：1．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题.每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题.考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b sin B+c sin C＝a（+sin A）（1）求A的大小；（2）若a＝，B＝，求△ABC的面积【解答】解：（1）∵b sin B+c sin C＝a（+sin A），∴由正弦定理可得：b2+c2＝a（+a），∴b2+c2﹣a2＝，∴2bc cos A＝bc，解得：cos A＝，可得：A＝．（2）∵sin C＝sin（A+B）＝，由正弦定理，可得：b＝，∴S△ABC＝ab sin C＝．18．己知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝4a n+3n﹣1，b n＝a n+n．（1）证明：数列{b n}为等比数列；（2）求数列{a n}的前n项和．【解答】证明：（1）数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝4a n+3n﹣1，b n＝a n+n．所以b n+1＝a n+1+n+1＝4a n+3n﹣1+n﹣1＝4（a n+n），故数列（常数），所以数列{b n}是以b1＝a1+1＝2为首项，4为公比的等比数列．解：（2）由于数列{b n}是以b1＝a1+1＝2为首项，4为公比的等比数列，所以．所以，故T n＝a1+a2+…+a n＝（21+23+…+22n﹣1）﹣（1+2+…+n）＝＝．19．（重点中学做）2019年，河北等8省公布了高考改革综合方案将采取“3+1+2”模式，即语文、数学、英语必考，然后考生先在物理、历史中选择1门，再在思想政治、地理、化学、生物中选择2门．为了更好进行生涯规划，甲同学对高一一年来的七次考试成绩进行统计分析，其中物理、历史成绩的茎叶图如图所示．（Ⅰ）若甲同学随机选择3门功课，求他选到物理、地理两门功课的概率；（Ⅱ）试根据茎叶图分析甲同学应在物理和历史中选择哪一门学科？并说明理由；（Ⅲ）甲同学发现，其物理考试成绩y（分）与班级平均分x（分）具有线性相关关系，统计数据如表所示，试求当班级平均分为50分时，其物理考试成绩．参考数据：，，，．参考公式：，，（计算时精确到0.01）．【解答】解：（Ⅰ）记物理、历史分别为A1，A2，思想政治、地理、化学、生物分别为B1，B2，B3，B4，由题意可知考生选择的情形有{A1，B1，B2}，{A1，B1，B3}，{A1，B1，B4}，{A1，B2，B3}，{A1，B2，B4}，{A1，B3，B4}，{A2，B1，B2}，{A2，B1，B3}，{A2，B1，B4}，{A2，B2，B3}，{A2，B2，B4}，{A2，B3，B4}，共12种．他选到物理、地理两门功课的情形有{A1，B1，B2}，{A1，B2，B3}，{A1，B2，B4}共3种．∴甲同学选到物理、地理两门功课的概率为；（Ⅱ）物理成绩的平均分为，历史成绩的平均分为，由茎叶图可知物理成绩的方差s2物理＜历史成绩的方差s2物理．故从平均分来看，选择物理历史学科均可以；从方差的稳定性来看，应选择物理学科；从最高分的情况来看，应选择历史学可（答对一点即可）．（Ⅲ）∵，，∴，，∴y关于x的回归方程为y＝0.58x+44.40．当x＝50时，y＝0.58×50+44.40≈73，故当班级平均分为50分时，其物理考试成绩为73分．20．如图，在多面体ABC﹣A1B1C1中，四边形ABB1A1是正方形，△A1CB是等边三角形，AC＝AB＝1，B1C1∥BC，BC＝2B1C1（Ⅰ）求证：AB1∥平面A1C1C（Ⅱ）求多面体ABC﹣A1B1C1的体积．【解答】（Ⅰ）证明：取BC的中点E，连接AE，C1E，B1E∵B1C1∥BC，B1C1＝BC，∴B1C1∥EC，B1C1＝EC∴四边形CEB1C1为平行四边形，∴B1E∥C1C∵C1C⊂面A1C1C，B1E⊄面A1C1C，∴B1E∥面A1C1C…∵B1C1∥BC，B1C1＝BC，∴B1C1∥BE，B1C1＝BE∴四边形BB1C1E为平行四边形，∴B1B∥C1E，且B1B＝C1E又∵ABB1A1是正方形，∴A1A∥C1E，且A1A＝C1E∴AEC1A1为平行四边形，∴AE∥A1C1，∵A1C1⊂面A1C1C，AE⊄面A1C1C，∴AE∥面A1C1C…∵AE∩B1E＝E，∴面B1AE∥面A1C1C∵AB1⊂面B1AE，∴AB1∥面A1C1C；（Ⅱ）在正方形ABB1A1中，AB1＝，又△A1BC是等边三角形，∴A1C＝BC＝，∴AC2+AA12＝A1C2，AB2+AC2＝BC2，于是AA1⊥AC，AC⊥AB，又AA1⊥AB，∴AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥CD，又CD⊥AD，AD∩AA1＝A，∴CD⊥平面ADC1A1，于是多面体ABC﹣A1B1C1是由直三棱柱ABD﹣A1B1C1和四棱锥C﹣ADC1A1组成的．又直三棱柱ABD﹣A1B1C1的体积为，四棱锥C﹣ADC1A1的体积为＝，故多面体ABC﹣A1B1C1的体积为．…21．已知函数f（x）＝+ax﹣2b﹣1（a，b为常数）．（1）若函数f（x）在x＝1处的切线方程为2x﹣y﹣4＝0，求a，b；（2）当a＝b，x∈（0，e]时，f（x）≤，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）f'（x）＝，f'（1）＝1+a＝2，得a＝1，由已知得切点为（1，﹣2），所以f（1）＝a﹣2b﹣1＝﹣2，得b＝1，所以a＝1，b＝1．（2）当a＝b，x∈（0，e]时，f（x）≤，所以xf（x）﹣1≤0，令g（x）＝xf（x）﹣1＝lnx+ax2﹣（2a+1）x﹣1，g'（x）＝，当a＝0时，g'（x）＝，所以g（x）在（0，1）上为增函数，在（1，e]上为减函数，所以函数g（x）最大值为g（1）＝﹣2＜0，成立；当a≠0时，令g'（x）＝，当a＜0时，x∈（0，1），g'（x）＞0，g（x）递增，x∈（1，e]，g'（x）＜0，g（x）递减，g（x）max＝g（1）＝a﹣（2a+1）﹣1≤0，得a∈[﹣2，0）；当a＞0时，①若，即a＞，函数g（x）在（0，），（1，e]上为增函数，在（，1）上为减函数，所以函数g（x）在（0，e]上的最大值为max{g（），g（e）}，因为g（）＝ln+a﹣（）2﹣（2a+1）﹣1＝ln﹣﹣2＜0成立，由g（e）＝1+ae2﹣（2a+1）e﹣1≤0，得a，所以＜a；②若＝1，即a＝，函数g（x）在（0，e]上为增函数，所以函数g（x）在（0，e]上的最大值为g（e）＝＜0成立；③当1＜＜e，即时，g（x）在（0，1），（，e）上为增函数，在（1，）上为减函数，所以函数g（x）在（0，e]上的最大值为max{g（1），g（e）}，因为g（1）＝a﹣（2a+1）﹣1＝﹣a﹣2＜0成立，由g（e）＝1+ae2﹣（2a+1）e﹣1≤0，得a，所以；⑤当≥e，即0＜a≤时，函数g（x）在（0，1）上为增函数，在（1，e]上为减函数，所以g（x）在（0，e]上的最大值为g（1）＝﹣a﹣2＜0成立，所以0＜a；综上所述，实数a的取值范围为﹣2．选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（Ⅰ）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|．【解答】解：（Ⅰ）直线l：（t为参数），消去t得，即4x+3y ﹣2＝0．曲线C：，即ρ＝2cosθ+2sinθ，又，ρ2＝2ρcosθ+2ρsinθ．故曲线C：x2+y2﹣2x﹣2y＝0．（Ⅱ）直线l的参数方程为（t为参数）⇒直线l的参数方程为（t′为参数），代入曲线C：x2+y2﹣2x﹣2y＝0，消去x，y得t/2+4t′+3＝0，由参数t′的几何意义知，．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|+|x﹣a|．（1）当a＝2时，求不等式f（x）＜5的解集；（2）若f（x）≥2的解集为R，求a的取值范围．【解答】解：（1）原不等式可化为或或…………解得x∈（﹣2，3）…………（2）由已知可得f（x）min≥2…………∵|x+1|+|x﹣a|≥|（x+1）﹣（x﹣a）|＝|a+1|，∴f（x）min＝|a+1|…………a+1≥2或a+1≤﹣2，即a≥1或a≤﹣3为所求。

提高练习一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．某品牌小汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y （升）关于行驶速度x （千米/时）的函数解析式为31118(0120)8100010y x x x =-+<≤.若要使该汽车行驶200千米时的油耗最低，则汽车匀速行驶的速度应为（ ） A ．60千米/时B ．80千米/时C ．90千米/时D ．100千米/时2．某地气象台预计，7月1日该地区下雨的概率为415，刮风的概率为215，既刮风又下雨的概率为110，设A 表示下雨，B 表示刮风，则()P A B = A ．12B ．34C ．25D ．383．某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念,制定节能减排的目标,先调查了用电量 (单位:千瓦·时)与气温 (单位: )之间的关系,随机选取了4天的用电量与当天气温,并制作了以下对照表：（单位：）17 14 10 -1（单位：千瓦时）24 34 38 64由表中数据得线性回归方程: ,则由此估计:当某天气温为12时,当天用电量约为（ ）A ．56千瓦时B ．36千瓦时C ．34千瓦时D ．38千瓦时4．某批零件的尺寸X 服从正态分布()210,N σ，且满足()198P x <=，零件的尺寸与10的误差不超过1即合格，从这批产品中抽取n 件，若要保证抽取的合格零件不少于2件的概率不低于0.9，则n 的最小值为（ ） A ．7B ．6C ．5D ．45．已知离散型随机变量X 的分布列如图，则常数c 为（ ） X 01P 29c c - 38c -A ．3B ．3C ．13或23D ．146．某几何体的三视图如图所示，则其体积为（ ）A ．80B ．160C ．240D ．4807．把边长为a 的正ABC ∆沿BC 边上的高线AD 折成60的二面角,则点A 到BC 的距离是( ) A ．aB ．62a C ．33a D ．154a 8．已知函数1ln(1),1()21,1x x x f x x -->⎧=⎨-≤⎩，则()f x 的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．39．设全集U =R ，{}10A x x =+<，集合{}2|log 1B x x =<，则集合()UA B =（ ）A ．[1,2]-B ．(0,2)C ．[1,)-+∞D ．[1,1)-10．某锥体的正视图和侧视图均为如图所示的等腰三角形，则该几何体的体积最小值为（ ）A ．4π B ．12C ．1D ．211．正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，那么EF =（ ）A ．1123AB AD - B ．1142AB AD +C ．1132AB DA + D ．1223AB AD -. 12．在空间中，设α，β表示平面，m ，n 表示直线.则下列命题正确的是（ ） A ．若m∥n，n⊥α，则m⊥α B ．若m 上有无数个点不在α内，则m∥α C ．若,m αβα⊥⊂，则m β⊥ D ．若m∥α，那么m 与α内的任何直线平行二、填空题：本题共4小题13．已知函数f(x)＝,0(1),0x e k x k x k x ⎧-≤⎨-+>⎩是R 上的增函数，则实数k 的取值范围是________．14．函数y x =与函数12y x =在第一象限的图象所围成封闭图形的面积是_____．15．某城市街区如下图所示,其中实线表示马路,如果只能在马路上行走,则从A 点到B 点的最短路径的走法有___种．16．通常，满分为100分的试卷，60分为及格线，若某次满分为100分的测试卷，100人参加测试，将这100人的卷面分数按照[24,36),[36,48),,[84,96]⋯分组后绘制的频率分布直方图如图所示.由于及格人数较少，某位老师准备将每位学生的卷面分采用“开方乘以10取整”的方式进行换算以提高及格率（实数a 的取整等于不超过a 的最大整数），如：某位学生卷面49分，则换算成70分作为他的最终考试成绩，则按照这种方式，这次测试的及格率将变为__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。