2020届吉林省吉林市2017级高三4月三调考试数学(理)试卷及答案

吉林市普通中学2016—2017学年度高中毕业班第四次调研测试数 学（理科）参考答案与评分标准一、选择题：12题解答：222[(2)][ln (1)]b a b a m m --+--≥-恒成立，左端为点(),ln P b b 与点(2,1)Q a a --距离平方，因为,P Q 分别在曲线:ln C y x =及直线:1l y x =+上，由 11y x '==得1x =，故与l 平行且与:ln C y x =相切的切点为（1,0）所以PQ 最小值d ==22m m -≤，解得12m -≤≤。

故选B . 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13：4 ； 14：3 ; 15. 54 ； 16. 19π三、解答题17解答：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，因为3574,14a a a =+=，所以有112421014a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得121a d =⎧⎨=⎩， ---------------------------------------------4分所以2n a n n =+-； ---------------------------------------------5分(1)22n n n S n -=+21(3)2n n =+。

---------------------------------------------6分（Ⅱ）由（1）知211111()1(2)22n n b a n n n n ===--++， ----------------------------------------------9分所以111111(1232435n T =-+-+-+ 1111...)112n n n n +-+--++ 1111(1)2212n n =+--++ ----------------------------------------------11分 34<----------------------------------------------12分18解答：(Ⅰ)由直方图，抽取的50名学生的数学平均成绩为：850.12950.161050.321150.201250.121350.08107.8⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，所以，该校理科毕业生的数学平均成绩约为：107.8-----------------------------3分（Ⅱ）由直方图知，后两组频率之和为0.2，后两组人数之和为500.210⨯=。

A． B． C． D．
4．已知 为两条不重合直线， 为两个不重合平面，下列条件中， 的充分条件是（）
A． ∥ B． ∥
C． ∥ ∥ D．
5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A． B．
C． D．
6．函数 的对称轴不可能为（）
A． B． C． D．
7．已知 为定义在 上的奇函数，且满足 当 时， ，则 （）
【详解】
由 ，得 ，
所以， .
故选：B.
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题.
3．A
【分析】
投影即为 ，利用数量积运算即可得到结论.
【详解】
设向量 与向量 的夹角为 ，
由题意，得 ， ，
所以，向量 在向量 方向上的投影为 .
故选：A.
【点睛】
本题主要考察了向量的数量积运算，难度不大，属于基础题.
19．如图所示，在四棱锥 中， ∥ ， ，点 分别为 的中点.
（1）证明： ∥面 ；
（2）若 ，且 ，面 面 ，求二面角 的余弦值.
20．已知倾斜角为 的直线经过抛物线 的焦点 ，与抛物线 相交于 、 两点，且 .
（1）求抛物线 的方程；
（2）设 为抛物线 上任意一点（异于顶点），过 做倾斜角互补的两条直线 、 ，交抛物线 于另两点 、 ，记抛物线 在点 的切线 的倾斜角为 ，直线 的倾斜角为 ，求证： 与 互补.
分数不少于120分
分数不足120分
合计
线上学习时间不少于5小时
4
19
线上学习时间不足5小时
合计
45
（1）请完成上面 列联表；并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”；

2０1７年吉林省长春市高考数学三模试卷（理科)一、选择题（本大题包括12小题,每小题5分，共6０分,每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选项涂在答题卡上）1．已知复数ｚ=1+2i,则=（)Ａ.5ﻩB.５＋4i Ｃ．﹣３Ｄ.3﹣4i2.已知集合A={x|x2﹣2x﹣３＜0},，则A∩B=（)Ａ.{x|１＜ｘ＜3} B.{x|﹣１＜x<3}C.{x|﹣1<x<０或0＜x＜3}ﻩD.｛x|﹣1<x＜0或1＜ｘ＜３｝3．若点Ｐ为抛物线y=2x2上的动点,F为抛物线的焦点，则｜PF|的最小值为（)Ａ．２ﻩB． C.ﻩD.4.某高中体育小组共有男生2４人，其50m跑成绩记作aｉ(i=１,2,…，24）,若成绩小于6．８s为达标，则如图所示的程序框图的功能是（)Ａ．求24名男生的达标率ﻩB．求２4名男生的不达标率C.求2４名男生的达标人数ﻩＤ．求24名男生的不达标人数5．等比数列{a n}中各项均为正数，S n是其前n项和，且满足２S3=8a1+3a2,ａ4=1６,则S4=( )A.9ﻩB.15C.18ﻩD．306．在平面内的动点（x,y）满足不等式，则z＝2x+ｙ的最大值是（）Ａ．﹣4 B．4 Ｃ.﹣2ﻩＤ．27.某几何体的三视图如图所示,则其表面积为（）A.B．ﻩC． D.８.将一枚硬币连续抛掷n次,若使得至少有一次正面向上的概率不小于,则ｎ的最小值为( ）Ａ.4ﻩB.5 Ｃ.6 D．79．若方程在上有两个不相等的实数解x1,ｘ2,则ｘ1+x２=( ）A．ﻩB．ﻩC.ﻩD．1０.设n∈N*，则=()Ａ．ﻩＢ. C. D.11．已知向量,,(m＞0，n>0)，若m+n∈[１，２]，则的取值范围是（）A.ﻩＢ.Ｃ.ﻩD．12．对函数ｆ(ｘ）＝，若∀ａ，b，c∈R,f（a）,f（ｂ)，f(c)都为某个三角形的三边长，则实数m的取值范围是( )A.B．C．Ｄ.二、填空题（本大题包括4小题,每小题５分,共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）.１３．《九章算术》是我国第一部数学专著,下有源自其中的一个问题:“今有金箠（chuí）,长五尺,斩本一尺,重四斤，斩末一尺,重二斤．问金箠重几何？”其意思为:“今有金杖(粗细均匀变化)长５尺，截得本端1尺，重4斤,截得末端１尺,重2斤.问金杖重多少？”则答案是.14．函数f（x)=ｅx•ｓｉnx在点（０，ｆ(0)）处的切线方程是.15．直线kx﹣3y+3＝0与圆(x﹣1)2+（ｙ﹣3）2=1０相交所得弦长的最小值为．16.过双曲线﹣＝1(a>ｂ＞0）的左焦点Ｆ作某一渐近线的垂线，分别与两渐近线相交于A,Ｂ两点，若，则双曲线的离心率为．三、解答题(本大题包括６小题,共７0分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）.17．(12分）已知点，Ｑ(cosx,sinx），O为坐标原点，函数. (1）求函数ｆ(x）的最小值及此时ｘ的值；（2)若Ａ为△ＡBC的内角,f(Ａ)=４,BC＝3,求△ABC的周长的最大值．18．（12分)某手机厂商推出一款6吋大屏手机,现对5０0名该手机用户(20０名女性,3００名男性）进行调查，对手机进行评分,评分的频数分布表如下:女性用户分值区间[５０,6０)[60，７0)[70，８0）[80，90）[90，100]频数20408０5010男性用户分值区间[５0，6０）[60，70)[70，８0)[８0,90）［９0,100]频数4５75９0603０（1)完成下列频率分布直方图,并指出女性用户和男性用户哪组评分更稳定（不计算具体值,给出结论即可)；（2）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中,从评分不低于8０分的用户中任意抽取3名用户,求3名用户中评分小于90分的人数的分布列和期望．１9．（12分）如图，在四棱锥Ｐ﹣ABＣD中,底面ABCD为正方形，PA⊥底面ＡＢＣＤ，ＡD=AP,E为棱ＰD中点．（1)求证：PD⊥平面ABE;（2)若F为AB中点，，试确定λ的值,使二面角Ｐ﹣FM﹣Ｂ的余弦值为.20.(12分)已知F１，Ｆ２分别是长轴长为的椭圆C:的左右焦点,A1，A2是椭圆C的左右顶点,P为椭圆上异于A1,A２的一个动点，O为坐标原点,点M为线段PＡ2的中点,且直线ＰA2与OM的斜率之积恒为.(１）求椭圆C的方程；（2）设过点F1且不与坐标轴垂直的直线C（２,2,0）交椭圆于A，B两点，线段ＡＢ的垂直平分线与Ｂ(2，0，0）轴交于点Ｎ,点N横坐标的取值范围是,求线段AB长的取值范围.2１．（1２分)已知函数．（1)求f(x）的极值;（2）当0＜x＜ｅ时，求证:f（e+x)＞f(e﹣x)；（3）设函数f（ｘ)图象与直线ｙ=m的两交点分别为Ａ(ｘ1,ｆ(x１)、B(x2,f(x2)）,中点横坐标为ｘ0,证明:f＇（x0）<0.请考生在２2、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分．[选修4-４:坐标系与参数方程选讲]（共1小题，满分１0分）22.（1０分）已知在平面直角坐标系ｘOｙ中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.曲线Ｃ1的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l:（为参数）.(1）求曲线Ｃ1的直角坐标方程及直线ｌ的普通方程;(２）若曲线Ｃ2的参数方程为（α为参数）,曲线Ｐ(x0,y0）上点P的极上的动点,求PQ的中点M到直线l距离的最大值．坐标为，Q为曲线C２[选修4-５:不等式选讲]（共１小题，满分0分)2３．已知a＞0，b＞0，函数ｆ(x）＝｜x+a|＋|2x﹣b｜的最小值为１.（1）求证：2a+ｂ＝2;（2）若a+2ｂ≥tab恒成立，求实数t的最大值．2017年吉林省长春市高考数学三模试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分,共6０分,每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上）1.已知复数z＝1＋2i，则=()Ａ．５ B.５+４ｉﻩC.﹣3ﻩD．3﹣4ｉ【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】由已知直接利用求解．【解答】解:∵z=1＋2i，∴＝|z|2=.故选:A.【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念,是基础题.2.已知集合A={x｜x2﹣２x﹣3<0｝,，则Ａ∩Ｂ＝（）A．{ｘ｜1＜x<3}ﻩB.{x|﹣1＜x<3}C．{ｘ｜﹣１<x＜0或０＜x<3}ﻩＤ.{ｘ|﹣1<x<0或1＜x＜3}【考点】集合的表示法．【分析】先化简A，B，再求出其交集即可.【解答】解：由A={x|﹣１<x<3},B={x|ｘ＜0，或x>1},故A∩B={x|﹣1<ｘ＜0，或1＜x＜３}．故选D.【点评】本题考查了集合的交集的运算,属于基础题．3.若点P为抛物线y=２x2上的动点,Ｆ为抛物线的焦点,则｜PF|的最小值为()Ａ．2ﻩB．ﻩC．ﻩD．【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据题意,设P到准线的距离为d，则有|ＰF｜=d，将抛物线的方程为标准方程，求出其准线方程,分析可得d的最小值,即可得答案．【解答】解：根据题意,抛物线y=２x2上,设P到准线的距离为d，则有|ＰF｜＝d,抛物线的方程为ｙ=2x2，即x2=ｙ,其准线方程为：y=﹣,分析可得:当P在抛物线的顶点时,ｄ有最小值，即｜PＦ|的最小值为，故选:D．【点评】本题考查抛物线的几何性质,要先将抛物线的方程化为标准方程．4．某高中体育小组共有男生24人,其50ｍ跑成绩记作a i(ｉ=1,2,…，24）,若成绩小于6.8s为达标,则如图所示的程序框图的功能是()A．求2４名男生的达标率 B.求24名男生的不达标率C．求24名男生的达标人数D．求2４名男生的不达标人数【考点】程序框图.【分析】由题意，从成绩中搜索出大于6.8s的成绩,计算24名中不达标率.【解答】解：由题意可知,k记录的是时间超过6.８ｓ的人数，而i记录是的参与测试的人数,因此表示不达标率；故选B.【点评】本题考查程序框图的理解以及算法功能的描述．5．等比数列{a n}中各项均为正数,Ｓｎ是其前n项和，且满足２S3＝8ａ1+3a2，a4=１6,则S4=（）A．9 B．１5ﻩC.18 D．30【考点】等比数列的前n项和.【分析】设等比数列{a n}的公比为ｑ>0,由２Ｓ3＝8a1+3a2，可得2(ａ１+a2+a3）=８ａ1+3a2，化为:２ｑ2﹣ｑ﹣6＝０,解得q,进而得出．【解答】解:设等比数列{ａn}的公比为q>０,∵2Ｓ３=８ａ1+3a2,∴2（a1+a２+ａ３)＝8ａ1+３a２,化为:2a3=6a1+a2,可得=6ａ1+a1q，化为：2ｑ2﹣q﹣6＝0，解得q=2．又a4=16，可得ａ1×23＝１６，解得ａ1＝２.则S４==3０.故选：D．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力,属于中档题．6．在平面内的动点（x，y)满足不等式,则z＝２ｘ+y的最大值是( ）A.﹣４ﻩB．4 C.﹣2ﻩD．2【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域,利用目标函数的几何意义求解最大值即可．【解答】解：不等式组所表示的平面区域位于直线x+y﹣3=0的下方区域和直线ｘ﹣ｙ+１=0的上方区域，根据目标函数的几何意义，可知目标函数经过A时,z取得最大值．由可得A(1,2），所以目标函数z的最大值为4．故选B．【点评】本题主要考查线性规划问题.画出可行域判断目标函数的几何意义是解题的关键．7．某几何体的三视图如图所示,则其表面积为（)A.ﻩＢ．Ｃ. D.【考点】由三视图求面积、体积.【分析】通过三视图复原的几何体是正四棱锥，结合三视图的数据,求出几何体的体积．【解答】解：由题意三视图可知，几何体是正四棱锥，底面边长为２的正方形,一条侧棱垂直正方形的一个顶点,长度为2,四棱锥的表面积为．故选D.【点评】本题是基础题，考查三视图复原几何体的表面积的求法,考查计算能力,空间想象能力.8.将一枚硬币连续抛掷n次，若使得至少有一次正面向上的概率不小于,（）A.４Ｂ．５ﻩC．６ﻩD．７【考点】n次独立重复试验中恰好发生ｋ次的概率.【分析】由题意,1﹣≥，即可求出n的最小值.【解答】解：由题意，１﹣≥,∴n≥4,∴ｎ的最小值为４，故选A．【点评】本题考查概率的计算,考查对立事件概率公式的运用，比较基础．9．若方程在上有两个不相等的实数解x1,ｘ2，则x1＋ｘ2＝( ）A．B．ﻩC.ﻩD．【考点】正弦函数的对称性．【分析】由题意可得2ｘ+∈［，]，根据题意可得＝,由此求得x１+ｘ2 值．【解答】解：∵x∈[０，]，∴2x+∈[,]，方程在上有两个不相等的实数解ｘ１,ｘ2,∴=,则ｘ1+ｘ2=,故选:Ｃ.【点评】本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于基础题．10.设n∈Ｎ*，则=(A．ﻩＢ. C.Ｄ.【考点】归纳推理．【分析】利用数列知识,即可求解．--【解答】解: 故选 A． 【点评】本题主要考查推理证明的相关知识,比较基础．=.11.已知向量,,（m＞0，n>0),若 m+n∈[１,2],则的取值范围是（ )A.B．‫ ﻩ‬C．D．【考点】简单线性规划;简单线性规划的应用;平面向量数量积的运算.【分析】根据题意,由向量的坐标运算公式可得=（3m＋n,m﹣3n)，再由向量模的计算公式可得=，可以令 t＝，将 m+n∈[1,2］的关系在直角坐标系表示出来,分析可得 t=表示区域中任意一点与原点(０，０）的距离，进而可得ｔ的取值范围，又由＝ t,分析可得答案．【解答】解:根据题意,向量，,=(3m+n，ｍ﹣３n）,则==，令ｔ=，则= t,而 m＋n∈[1,２],即 1≤m+n≤2,在直角坐标系表示如图，t=表示区域中任意一点与原点(0，０)的距离，分析可得: ≤t≤2,又由= t,故≤≤2 ;故选:Ｄ.----【点评】本题考查简单线性规划问题,涉及向量的模的计算，关键是求出的表达式.12.对函数ｆ(x)=，若∀ a,b，ｃ∈R，f(a),f(b），f（c)都为某个三角形的三边长，则实数 m 的取值范围是( ）A．Ｂ．Ｃ.D．【考点】函数的值． 【分析】当 m=２时,f（a）=f(b）＝f（c)=１,是等边三角形的三边长;当ｍ＞2 时，只要即可,当 m<２时，只要即可，由此能求出结果.【解答】解：当 m＝２时,f（x)==1，此时 f（a)=f(b)=f（c)＝1,是等边三角形的三边长，成立;当 m＞2 时,，只要即可,解得２<ｍ<５；当 m<2 时,，只要即可,解得，综上.故选：C． 【点评】本题考查实数的取值范围的求法,是基础题,解题时要认真审题，注意分类讨论思想 的合理运用.----二、填空题(本大题包括 4 小题，每小题５分，共 20 分，把正确答案填在答题卡中的横线上). １3．《九章算术》是我国第一部数学专著，下有源自其中的一个问题：“今有金箠(chuí）， 长五尺，斩本一尺,重四斤，斩末一尺，重二斤.问金箠重几何？”其意思为:“今有金杖（粗细 均匀变化)长 5 尺,截得本端１尺,重４斤，截得末端 1 尺，重 2 斤.问金杖重多少?”则答案是 15 斤. 【考点】等差数列的通项公式． 【分析】由题意可知等差数列的首项和第 5 项,由等差数列的前 n 项和得答案． 【解答】解:由题意可知等差数列中 a1=4，a５=2，则 S５=,∴金杖重 15 斤． 故答案为：15 斤． 【点评】本题考查等差数列的前 n 项和，是基础的计算题．14．函数 f（ｘ)=eｘ•sinx 在点（0,ｆ(0))处的切线方程是 y=x ． 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】先求出 f′(x)，欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在 x=０处 的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率.从而问题解决. 【解答】解：∵ｆ（ｘ）=ex•siｎx,f′（x)＝ex(ｓinｘ+cosx)，（２分） f′（0)=1，f(0）=０, ∴函数ｆ（x)的图象在点 A（０,0）处的切线方程为 y﹣０=1×(x﹣0）, 即 y＝x(4 分）. 故答案为:y=ｘ. 【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程 等基础知识，考查运算求解能力.属于基础题．１５．直线ｋx﹣3ｙ+3＝0 与圆（ｘ﹣１)2+(y﹣3)2=10 相交所得弦长的最小值为 2 . 【考点】直线与圆的位置关系．----【分析】由条件可求得直线 kx﹣3y＋3=0 恒过圆内定点(0，1）,则圆心(１，3）到定点的距 离为 ，因此最短弦长为 . 【解答】解:由条件可求得直线 kx﹣3y+３=0 恒过圆内定点（０，1）,则圆心（1,3）到定点(0， 1）)的距离为 ,当圆心到直线 kx﹣3y+3=０的距离最大时(即等于圆心(1,3）到定点（0，1))的距离)所得弦长的最小,因此最短弦长为 2=.故答案为：2 ． 【点评】题考查直线和圆的位置关系,以及最短弦问题，属于中档题1６.过双曲线 ﹣ ＝1(a＞ｂ>0）的左焦点Ｆ作某一渐近线的垂线,分别与两渐近线相交于 A，Ｂ两点,若,则双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质. 【分析】方法一、运用两渐近线的对称性和条件，可得 A 为 BF 的中点,由垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，可得 Rt△OＡB 中,∠AOB= ,求得渐近线的斜率,运用离心率公式即可得到；方法二、设过左焦点Ｆ作的垂线方程为，联立渐近线方程,求得交点 A,Ｂ的纵坐标,由条件可得 A 为 BF 的中点，进而得到 a,ｂ的关系，可得离心率.【解答】解法一：由，可知Ａ为 BＦ的中点，由条件可得,则Ｒt△OAＢ中,∠AOB= ,渐近线 OB 的斜率ｋ= =ｔaｎ = ,即离心率 e＝ ==．解法二：设过左焦点 F 作的垂线方程为联立,解得，，----联立，解得，，又,∴yB＝﹣2yA∴３ｂ2=a2，所以离心率．故答案为： . 【点评】本题考查双曲线的性质和应用,主要是离心率的求法,解题时要认真审题,仔细解答， 注意向量共线的合理运用.三、解答题（本大题包括 6 小题，共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）.１7．（12 分)(20１7•长春三模）已知点，Q（cｏsx,sｉnｘ），O 为坐标原点,函数.（1）求函数 f（x）的最小值及此时 x 的值；(2)若 A 为△ABC 的内角,f(A)＝4,BC=3，求△AＢＣ的周长的最大值.【考点】平面向量数量积的运算;基本不等式在最值问题中的应用;余弦定理的应用.【分析】（1)利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式,然后求解最值．(2)利用函数的解析式求解 A,然后利用余弦定理求解即可,得到ｂc 的范围，然后利用基本不等式求解最值.【解答】解:(1）∵,∴，∴当时,f（ｘ)取得最小值 2.(２)∵f（A)=４,∴,又∵BＣ=3,∴,∴9=（b+ｃ)２﹣bc．,∴,----∴，当且仅当 b=c 取等号，∴三角形周长最大值为.【点评】本题考查向量的数量积以及两角和与差的三角函数，三角函数的最值，基本不等式以及余弦定理的应用，考查计算能力.1８.(１2 分)（2０17•长春三模）某手机厂商推出一款 6 吋大屏手机,现对 500 名该手机用户(200 名女性,300 名男性）进行调查，对手机进行评分，评分的频数分布表如下:女性用户 分值区间 [５0，60) [60，70） [７０，80) ［80，90) [90,10０]频数2０４08０5０１0男性用户 分值区间 [5０,60) [60，７０） [70，80) [80，９0) ［90，100]频数4５7５906030(1）完成下列频率分布直方图，并指出女性用户和男性用户哪组评分更稳定（不计算具体值,给出结论即可）;（2）根据评分的不同,运用分层抽样从男性用户中抽取 2０名用户，在这 20 名用户中,从评 分不低于 8０分的用户中任意抽取 3 名用户,求 3 名用户中评分小于 90 分的人数的分布列和 期望. 【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】(I）根据已知可得频率，进而得出矩形的高=,即可得出图形．(II）运用分层抽样从男性用户中抽取 20 名用户，评分不低于 8(0 分)有 6 人,其中评分小于 9(0 分）的人数为 4，从 6 人中任取３人，记评分小于 9（0 分)的人数为 X，则 X 取值为１,2,3, 利用超几何分布列的计算公式即可得出． 【解答】解:（Ⅰ)女性用户和男性用户的频率分布表分别如下左、右图:----由图可得女性用户更稳定．（4 分） (Ⅱ)运用分层抽样从男性用户中抽取２0 名用户,评分不低于 8(0 分)有６人,其中评分小于 9（0 分)的人数为４,从 6 人中任取３人，记评分小于 9（０分)的人数为 X,则 X 取值为 1,２，3，；P（Ｘ=2)=＝;．所以 X 的分布列为X123P.(12 分) 【点评】本题考查了频率分布直方图的性质、超几何分布列的概率与数学期望计算公式、分 层抽样,考查了推理能力与计算能力，属于中档题.１9．(1２分)（2017•长春三模）如图,在四棱锥 P﹣AＢＣD 中,底面ＡBCD 为正方形,PＡ⊥底 面 ABCD，AD=AP,Ｅ为棱 PＤ中点． （1)求证：PD⊥平面 ABE；（2）若Ｆ为 AB 中点,,试确定 λ 的值,使二面角 P﹣ＦM﹣B 的余弦值为.【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定. 【分析】(I）证明 AB⊥平面 PAＤ，推出 AB⊥PD,ＡE⊥ＰD,AE∩AB=A,即可证明 PD⊥平面Ａ----ＢE．(IＩ) 以 A 为原点,以为ｘ,y,z 轴正方向，建立空间直角坐标系 A﹣BDＰ，求出相关点的坐标,平面 PFM 的法向量，平面 BFM 的法向量,利用空间向量的数量积求解即可． 【解答】解:(Ｉ）证明：∵PＡ⊥底面 ABCＤ,AB⊂ 底面 ABCD，∴PA⊥AB， 又∵底面 ABCD 为矩形，∴ＡB⊥ＡD，PA∩AD＝Ａ，PA⊂ 平面 PAD,AD⊂ 平面 PAD, ∴AB⊥平面ＰAD，又ＰＤ⊂ 平面ＰAD，∴AB⊥ＰD，AＤ=AＰ，E 为 PD 中点，∴ＡE⊥PD, ＡE∩AＢ＝A，AE⊂ 平面ＡＢＥ，AB⊂ 平面 AＢE,∴PＤ⊥平面 ABＥ．（II) 以Ａ为原点,以为ｘ，y，z 轴正方向,建立空间直角坐标系Ａ﹣BDＰ，令|ＡＢ｜=2,则 A(0 ， ０ ， 0),B （ 2,0 ， 0 ） ,P(0 ， ０ ,2 ） ， C(2 ， 2 ， ０ ) ， E(0 ， １ ， 1) ， F(1,0 ，0),,，,M(2λ,２λ,2﹣2λ)设 平 面 Ｐ FM 的 法 向 量，，即，设平面 BFM 的法向量，,即，，解得．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法,考查空间想 象能力以及计算能力.----20.(12 分 ） （ 2 ０ １ ７ • 长 春 三 模 ） 已 知 Ｆ 1 ， Ｆ 2 分 别 是 长 轴 长 为 的 椭 圆 Ｃ ： 的左右焦点，A1,A２是椭圆 C 的左右顶点,P 为椭圆上异于 A1，A2 的一个动点,O 为坐标原点，点Ｍ为线段ＰA２的中点,且直线 PＡ2 与 OM 的斜率之积恒为 ．（1）求椭圆 C 的方程； （2）设过点 F１且不与坐标轴垂直的直线 C(2,２，0）交椭圆于 A,Ｂ两点,线段 AB 的垂直平分线与 B(2，０，0）轴交于点 N，点 N 横坐标的取值范围是，求线段ＡB 长的取值范围． 【考点】直线与椭圆的位置关系．【 分 析 】 （ 1) 由 已 知 2a=2 ， 解 得 a= ， 记 点 P(x0,y ０ ） ,kOM ＝，可得kOM•=•利用斜率计算公式及其点 P(ｘ０,ｙ0)在椭圆上，即可得出.(2)设直线 l：ｙ=k(x+1）,联立直线与椭圆方程得(2ｋ2＋1）ｘ２＋4k2ｘ+２k2﹣2=0，记 A（ｘ1，y１),B(ｘ2,ｙ2）．利用根与系数的关系、中点坐标公式、弦长公式即可得出. 【解答】解:(1)由已知 2ａ=2 ，解得ａ= ,记点 P(x０,ｙ0),∵ｋOM=，∴ｋOM•=•=•=,又点Ｐ（x0,y0)在椭圆上,故 ＋ =1，∴kOM•=﹣ =﹣ ，∴，∴ｂ2=1,∴椭圆的方程为.(４分)(２)设直线ｌ:y=k(x+1），联立直线与椭圆方程，得（２ｋ2+1)x2+4ｋ2x+２k2﹣2=0,记 A（x1，ｙ1）,B(x2,y2）.由韦达定理可得，可得,----故 AＢ中点，QN 直线方程:,∴,已知条件得:,∴0<２k２＜１,∴，∵，∴．(１２分）【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、斜率 计算公式、中点坐标公式、两点之间的距离公式,考查了推理能力与计算能力,属于难题．21．(12 分）(2０１7•长春三模)已知函数.（１）求 f(x）的极值； (2）当 0＜x<e 时,求证:f(ｅ+ｘ）＞f(e﹣x)； （３）设函数 f(ｘ)图象与直线ｙ=m 的两交点分别为 A(x1，f（ｘ1）、B(x2，f(x2）)，中点横 坐标为ｘ０，证明：f'(ｘ0)<0. 【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性. 【分析】（1)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的极值即可； （2）问题转化为证明(e﹣x)ln（ｅ+ｘ)＞(e+x)ln(e﹣x)，设 F(x）=（ｅ﹣x）ｌn（e+x）﹣(e ＋ｘ)ln（e﹣x)，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：(1)ｆ′（x）=,f（x)的定义域是(０，+∞），x∈(０，e）时,ｆ′(x)＞0,f(ｘ）单调递增； x∈（e,+∞)时，f'（x)<0,f(ｘ）单调递减.当 x=e 时，f（x）取极大值为 ,无极小值．（2)要证ｆ（e+x)>f（e﹣ｘ）,即证：,只需证明:（ｅ﹣x）ｌn(ｅ+x）>(e+x)ｌn(e﹣x). 设 F（x）=（e﹣x）ｌn（e+ｘ）﹣(e+x)ln(e﹣x)，----,∴Ｆ(x)＞Ｆ（0)＝0， 故(ｅ﹣x）ｌn（ｅ+x)>(ｅ＋ｘ）lｎ（e﹣x)， 即 f(e＋x）＞ｆ（ｅ﹣x）， （3)证明：不妨设 x1＜x2，由（1）知 0＜x１＜ｅ＜x2,∴０<ｅ﹣x1＜ｅ， 由(2)得 f[ｅ+(e﹣ｘ１）]＞f[e﹣(e﹣x1）］＝ｆ(x1)=f（x２), 又 2e﹣x1＞e，ｘ2>e，且 f（x）在(e,+∞)上单调递减, ∴２e﹣x1＜ｘ２，即ｘ１＋ｘ２>2e,∴，∴f＇(x0）＜0.【点评】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算,用导数来研究函数的 单调性等，考查学生解决问题的综合能力.请考生在 22、2３两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.［选修４－4: 坐标系与参数方程选讲]（共１小题,满分 1０分） ２２.（1０分）（20１7•长春三模）已知在平面直角坐标系 xＯy 中，以 O 为极点,ｘ轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.曲线 C1 的极坐标方程为 ρ=4coｓθ，直线 l:（为参数). (1)求曲线 C1 的直角坐标方程及直线 l 的普通方程;(2)若曲线 C2 的参数方程为（α 为参数)，曲线 P(x0，y０）上点 P 的极坐标为 ,Q为曲线 C2 上的动点，求 PＱ的中点 M 到直线 l 距离的最大值. 【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程. 【分析】(1)利用三种方程的转化方法，求曲线 C１的直角坐标方程及直线ｌ的普通方程；(2)，直角坐标为(2,2),，利用点到直线ｌ的距离公式能求出点Ｍ到直线ｌ的最大距离.【解答】解：（1)由曲线 C1 的极坐标方程为 ρ=4coｓθ，得直角坐标方程，----直线 l：,消去参数,可得普通方程 l:ｘ+2y﹣３=0．（ 2),直角坐标为(２,２)，,M 到ｌ的距离 d＝=，从而最大值为．(10 分） 【点评】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直 角坐标方程的互化,参数方程的运用．[选修 4-５:不等式选讲](共 1 小题,满分 0 分) 23．（２0１7•长春三模）已知 a>0，b>0,函数 f(x)=|ｘ+a|+｜2ｘ﹣ｂ|的最小值为 1． （１）求证：２a+b=2; （2）若 a+2b≥tａb 恒成立，求实数 t 的最大值. 【考点】函数恒成立问题;绝对值不等式的解法．【分析】（1）法一:根据绝对值的性质求出 f(x）的最小值，得到 x= 时取等号,证明结论即可;法二:根据 f（ｘ)的分段函数的形式,求出 f(x)的最小值，证明即可；（２）法一,二:问题转化为≥t 恒成立,根据基本不等式的性质求出的最小值，从而求出 t 的范围即可；法三：根据二次函数的性质判断即可.【解答】解：（1)法一:f(x）＝|x+ａ|+|2x﹣ｂ|=|x+a|+|x﹣ ｜+|x﹣ |,∵|x+a|+|ｘ﹣ |≥|(x+a)﹣(x﹣ ）|=a+ 且|x﹣ ｜≥０，∴f(x）≥a+ ，当 x＝ 时取等号，即ｆ(x)的最小值为 a+ ，∴ａ+ ＝1，2a+b＝2；法二：∵﹣ａ< ,∴f(ｘ)＝|x+a|+|2x﹣b|=,----显然 f（x)在（﹣∞, ]上单调递减，ｆ(x)在[ ,+∞）上单调递增，∴f（ｘ)的最小值为ｆ( )=a＋ ,∴a+ =1，２a+b=2.(2)方法一：∵ａ+2ｂ≥tａb 恒成立,∴≥t 恒成立，= + =( ＋ )(2ａ+b ）• = (１＋4+ + ),当 a=b= 时,取得最小值 ,∴ ≥t,即实数 t 的最大值为 ;方法二：∵a+2b≥tab 恒成立，∴≥ｔ恒成立，t≤= + 恒成立,+=＋ ≥=,∴ ≥t,即实数ｔ的最大值为 ； 方法三:∵ａ+2b≥tａb 恒成立， ∴a+2(2﹣ａ）≥ta(２﹣a)恒成立， ∴2ta２﹣（3＋2t）a+4≥０恒成立, ∴(３+２t)２﹣３26≤０, ∴ ≤t≤ ，实数 t 的最大值为 . 【点评】本题考查了绝对值不等式问题，考查绝对值的性质以及二次函数的性质，考查转化 思想，是一道中档题．--。

吉林省长春市2017届高三数学质量监测试题（四）理（扫描版）长春市普通高中2017届高三质量监测（四） 数学（理科）参考答案与评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. A2. B3. B4. A5. D6. C7. D 8. B9. D10. B11. A12. A简答与提示：1. 【命题意图】本题考查复数的基本概念及运算.【试题解析】A 由21i =-可知，原式110i i =--+=. 故选A. 2. 【命题意图】本题考查集合交、补运算.【试题解析】B 由{|24}A x x x =<->或，{|4}B x x =<， 故(){|4}AB x x =>R ð . 故选B.3. 【命题意图】本题考查分段函数的图像与性质.【试题解析】B 根据分段函数的()f x 的图像可知，该函数的值域为(1,)-+∞. 故选B.4. 【命题意图】本题考查统计学中残差图的概念.【试题解析】A 根据残差图显示的分布情况即可看出图1显示的残差分布集中，拟合度较好，故选A.5. 【命题意图】本题依据中华传统文化算法割圆术考查程序框图.【试题解析】D 运行算法可获得结果24，故选D.6. 【命题意图】本题主要考查三角变换公式与三角函数的图像与性质.【试题解析】C 由()cos2sin 2)4f x x x x π=-=+，则())))2842F x x x x πππ=++=+=. 故选C.7. 【命题意图】本题考查三视图.【试题解析】D 由图形补全法，将图形补全为长方体，进而获得该几何体的直观图，再求得该几何体的表面积为：1111224442222S =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+故选D.8. 【命题意图】本题考查二项式相关问题.【试题解析】B 102)x -的系数是773102()C x -=. 故选B.9. 【命题意图】本题主要考查正态分布的相关知识.【试题解析】D0.6826(6 6.8)0.34132P x <==≤. 故选D. 10. 【命题意图】本题主要考查球内的几何体的相关性质.【试题解析】B 由题可知AB 为△ABC 的直径，令球的半径为R ，则22()(3R R =+，可得32R =，则球的表面积为249S R ππ==. 故选B. 11. 【命题意图】本题考查双曲线的定义.【试题解析】A 不妨设12||||PF PF >，则1212||||2||||6PF PF aPF PF a-=⎧⎨+=⎩，则1||4PF a =，2||2PF a =，且12||2F F c =，即2||PF 为最小边，即1230PF F ∠=，则△12PF F 为直角三角形，且2c =，即渐近线方程为y =，故选A. 12. 【命题意图】本题是考查函数与导数的应用问题.【试题解析】A 已知22()(ln )x e f x k x x x=-+，则32()()x x f x e kx x -'=-， 当0x >时，0x e kx -≥恒成立，因此k e ≤. 故选A. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 2- 14. 14-16. 8月4日 简答与提示：13. 【命题意图】本题考查线性规划的相关知识.【试题解析】由题意可先画出可行域，再由目标函数的几何意义，判断最优解为(1,0)故，z 的最小值为2-.14. 【命题意图】本题考查向量的运算和几何意义.【试题解析】由题意2222||||||||2=+=++a a b a b ab ，则220=ab+|b |，即22||||cos ||θ⋅=-a b b ，故1cos 4θ=-. 15. 【命题意图】本题考查解三角形的问题.【试题解析】由正弦定理可得2sin sin A B B =，可得3A π=，由余弦定理可得BC =5BD =. 16. 【命题意图】本题考查学生的逻辑推理能力.【试题解析】根据甲说“我不知道，但你一定也不知道”， 可排除5月5日、5月6日、9月4日、9月6日、9月9日； 乙听了甲的话后，说“本来我不知道，但现在我知道了”， 可排除2月7日、8月7日；甲接着说“哦，现在我也知道了”， 现在可以得知张老师生日为8月4日. 三、解答题17. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查等差数列、等比数列的相关知识.【试题解析】(1)设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q .11225233,1,10,2a b b S a b a ==+=-=Q33103+4232q d d q d ì+++=ïï\íï-=+ïî（2分）2,2d q \==（4分） 121,2n n n a n b -\=+=（6分）（2）由（1）知，(321)(2)2n n n S n n ++==+（8分）111,22,n n n n n c n -ìïï-ï+\=íïïïïî为奇数为偶数 （9分）135********(1)(2222)3352121n n T n n -\=-+-+鬃?-++++鬃?-+ 21121321n n ++=-+.（12分）18. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查学生对概率统计知识的理解，同时考查学生的数据处理能力.【试题解析】(1)由题意知，每人选择贷款期限为12个月的概率为25， （2分） 所以3人中恰有2人选择此贷款的概率为2232336()55125P C =鬃= （6分）(2)由题意知，享受补贴200元的概率为115P =,享受补贴300元的概率为235P =， 享受补贴400元的概率为315P =，即随机变量X 的分布列为（9分）（10分）200900400()300555E X \=++=，600300180000w =?元. 所以，2017年政府需要补贴全市600人补贴款18万元.（12分）19. (本小题满分12分)【命题意图】本题以四棱柱为载体，考查平面与平面垂直，以及二面角、体积等问题. 【试题解析】（Ⅰ）证明：连接BD ，设AC 与BD 的交点为F ，连接EF ， 因为E 为1B D 中点，F 为BD 中点，所以1//EF BB ，所以EF ⊥平面ABCD ， 又因为EF 在平面ACE 内，所以平面ACE ⊥平面ABCD .（6分）（Ⅱ）由于四边形ABCD 是菱形，所以以F 为坐标原点， 分别以FC ，FD ，FE 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设FA a =，FD b =，有221a b +=，(,0,0)A a -，(,0,0)C a ，(0,,0)D b ，1(0,0,)2E ，有1(,0,)2AE a =，(,,0)AD a b =，设平面ADE 的法向量为1(,,2)n b a ab =--，平面ACE 的法向量为2(0,1,0)n =，（8分）由题意知121212||1cos60|cos ,|2||||n n n n n n ⋅=<>==⋅，解得a b ==. （10分）所以菱形ABCD 为正方形， 所以三棱锥C ADE -的体积1113212V EF AD CD =⨯⨯⨯⨯=. （12分）20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查椭圆的标准方程及面积最值问题，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力.【试题解析】（Ⅰ）设AQ 于BP 交点C 为(,)x y ，1(2,)P y -，1(,2)Q x ，由题可知，111122,,242224y x y y yx x x +===++--， （4分）从而有422y x x y -+=-，整理得2214x y +=，即为椭圆方程.（6分）（Ⅱ）(2,0)R ，设00(,)M x y，有0y = 从而所求梯形面积001(2)2S x y =+=（8分）令02,24t x t =+<<，S = 令342324,1244(3)u t t u t t t t '=-=-=-， （10分）当(2,3)t ∈时，344u t t =-单调递增，当(3,4)t ∈时，344u t t =-单调递减，所以当3t =时S （12分） 21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性等，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】（Ⅰ）2()(2)ax f x e ax x '=+，令()0f x '=可得，0x =或2x a=-. （2分）又0a <，则可知()f x 在(,0)-∞和2(,)a -+∞上单调递减；在2[0,]a-上单调递增.（4分）（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下，当21a-≥，即20a -<≤时，()f x 在[0,1]上单调递增， 则()f x 最大值为(1)af e =；（6分）当21a -<，即2a <-时，()f x 在2[0,]a -单调递增，在2(,)a-+∞上单调递减， 则()f x 的最大值为2224()f e a a--=. （9分）（Ⅲ）要证()()2g x xf x ->，即证3ln (2)2xx x e x->+， （10分）令3()(2)xh x x e =-，则322()(32)(1)(22)xxh x x x e e x x x '=--+=-++-， 又(0,1)x ∈，可知在(0,1)x ∈内存在极大值点，又(0)2h =，(1)h e =， 则()h x 在(0,1)x ∈上恒大于2，（11分）而ln 2xx+在(0,1)x ∈上恒小于2，因此()()2g x xf x ->在(0,1)x ∈上恒成立.（12分）22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化.【试题解析】（Ⅰ）由题意可知221:1,4x C y +=222:(2)4C x y -+=. （5分）（Ⅱ）由点,A B 在曲线1C 上，则212413sin ρθ=+，2220413sin ()2ρπθ=++ 2021113sin 4θρ+=，2022113cos 4θρ+=， 因此2200221213sin 13cos 115444θθρρ+++=+=.（10分）- 11 - 23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查含绝对值不等式以及不等式证明的相关知识，本小题重点考查考生的化归与转化思想.【试题解析】（Ⅰ） 因为0a >，所以21,1()|1|||=1,121,x a x f x x x a a x a x a x a -+-<-⎧⎪=++-+-<⎨⎪-+⎩≤≥，又因为不等式()5f x ≥的解集为{|2x x -≤或3}x ≥，解得2a =. （5分）（Ⅱ）111()()1112a b b c c a a b b c c a a b b c c a m++++++++++++=+++1112b c c a a b c a a b b ca b a b b c b c c a c a m++++++++++++++++++++=3922b c a b c a b c abc aa b b c b c c a c a a b m m++++++++++++++++++≥= （10分）。

长春市普通高中2017届高三质量监测（四）数学（理科）一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.i 为虚数单位，则234i i i i +++=A. 0B. iC. 2iD.1-2.已知集合{}{}21|412,|28x A x x x x B x -=-+>+=<，则()R AC B =A. {}|4x x ≥B. {}|4x x >C. {}|2x x ≥-D.{}|24x x x <-≥或3.已知函数()2x 2,1=2-1,x -1x x f x ⎧-<-⎪⎨≥⎪⎩，则函数()f x 的值域为A. [)1,-+∞B. ()1,-+∞C. 1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D.R 4. 下面四个残差图中可以反映出回归模型拟合精度较好的为A. 图1B. 图2C. 图3D. 图35.公元263年左右，我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率π，刘徽称这个方法为“割圆术”，并且把“割圆术”的特点概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”.右图是根据刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图.运行该程序，则输出的n 的值为：（参考数据：3 1.732,sin150.2588,sin7.50.1305=≈≈）A. 48B. 36C. 30D. 24 6.将函数()cos2sin 2f x x x =-的图象向左平移8π个单位后得到函数()F x 的图象，则下列说法中正确的是A. ()F x 是奇函数，最小值为-2B. ()F x 是偶函数，最小值为-2C. ()F x 是奇函数，最小值为2-D. ()F x 是偶函数，最小值为2- 7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A. 64226++ B. 46225++C. 42526++D.46226++8.二项式1022x x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭的展开式中，x 项的系数为A. 152B. 152- C. 15 D. -159.据统计，某城市的火车站春运期间日接送旅客人数X （单位：万）服从正态分布()26,0.8XN ，则日接送人数在6万到 6.8万之间的概率为（()()()0.6826,20.9544,30.9974P X P X P X μσμσμσ-<=-<=-<=） A. 0.6826 B. 0.9544 C. 0.9974 D.0.3413 10.球面上有A,B,C 三点，球心O 到平面ABC 的距离是球半径的13，且22,AB AC BC =⊥，则球O 的表面积是A. 81πB. 9πC.814π D.94π11.已知12,F F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的两个焦点，P 是双曲线C 上的一点，若126PF PF a +=，且12PF F ∆的最小内角的大小为30，则双曲线C 的渐近线方程为A.20x y ±= B. 20x y ±= C. 20x y ±= D.20x y ±=12.已知函数()22ln x e f x k x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，若2x =是函数()f x 的唯一极值点，则实数k 的取值范围为A. (],e -∞B. []0,eC. (),e -∞D.[)0,e二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知实数,x y 满足约束条件2201x y x y x ≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则2z y x =-的最小值为 .14. 若非零向量,a b 满足2,a b a b ==+，则向量,a b 夹角的余弦值为 . 15. 已知锐角三角形ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，2sin 3,2,3a B b b c ===，AD 是角A 的平分线，D 在BC 上，则BD = .16. 有甲、乙两人去看望高中数学张老师，期间他们做了一个游戏，张老师的生日是m 月n日，张老师把m 告诉了甲，把n 告诉了乙，然后张老师列出了如下10个日期供选择：2月5日，2月7日，2月9日，5月5日，5月8日，8月4日，8月7日，9月4日，9月6日，9月9日.看完日期后，甲说：“我不知道，但你一定也不知道”，乙听了甲的话后说，“本来我不知道，但现在我知道了”，甲接着说“哦，现在我也知道了”，请问：张老师的生日是 . 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分12分） 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 是等比数列，满足11225233,1,10,2.a b b S a b a ==+=+=，（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若2,,n n nn S c b n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，设数列{}n c 的前n 项和为n T ，求2n T .18.（本题满分12分）某市对大学生毕业后自主创业人员给予小额贷款补贴，贷款期限分为6个月，12个月，18个月，24个月，36个月五种，对于这五种期限的贷款政府分别补贴200元、300元、300元、400元、400元，从2016年享受此项政策的自主创业人员中抽取了100人进行调查统计，选取贷款期限的频数如下表：以上表中各种贷款期限的频率作为2017年自主创业人员选择各种贷款期限的概率.（1）某大学2017年毕业生中共有3人准备申报此项贷款，计算其中恰有两人选择贷款期限为12个月的概率； （2）设给某享受此项政策的自主创业人员补贴为X 元，写出X 的分布列；该市政府要做预算，若预计2017年全市有600人申报此项贷款，则估计2017年该市共要补贴多少万元.19.（本题满分12分）如图，四棱柱1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 是菱形，1AA ⊥平面ABCD ，E 为1B D 的中点.（1）证明：平面ACE ⊥平面ABCD ；（2）若二面角D AE C --为60，11,AA AB ==求三棱锥C AED -的体积.20.（本题满分12分）如图，在矩形ABCD 中，4,2,AB AD O ==为AB 的中点，,P Q 分别是AD ,CD 的上的点，且满足：①AP DQAD DC=;②直线AQ 与BP 的交点在椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>上. （1）求椭圆E 的方程；（2）设R 为椭圆E 的右顶点，M 为椭圆E 第一象限部分上一点，作MN 垂直于y 轴，垂足为N,求梯形ORMN 的面积的最大值.21.（本题满分12分） 已知函数()2.ax f x x e =（1）当0a <时，讨论函数()f x 的单调性；（2）在（1）的条件下，求函数()f x 在区间[]0,1上的最大值； （3）设函数()ln 2xxg x e x=-，求证：当1a =时，对()()()0,1,2x g x xf x ∀∈->恒成立.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按照所做的第一题计分. 22.（本题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为，曲线222cos :2sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）.的极坐标方程为，曲线（为参数）.（1）求曲线1C 的直角坐标方程和2C 的普通方程； （2）极坐标系中两点()1020,,,2A B πρθρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭都在曲线1C 上，求221211ρρ+的值.23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲（1）已知函数()()10f x x x a a =++->，若不等式()5f x ≥的解集为{}|23x x x ≤-≥或，求a 的值； （2）已知实数,,a b c R +∈，且a b c m ++=，求证：1119.2a b a c c b m++≥+++长春市普通高中2017届高三质量监测（四） 数学（理科）参考答案与评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1. A2. B3. B4. A5. D6. C7. D8. B9. D10. B11. A12. A简答与提示：1. 【命题意图】本题考查复数的基本概念及运算.【试题解析】A 由错误！未找到引用源。

吉林省吉林市普通高中2017届高三数学下学期第三次调研测试试题 文第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设全集U R =，集合2{|0},{|20}A x x B x x x =>=--<.则()U A B =ðA ． (0,2]B ． (1,2]-C ． [1,2]-D ． [2,)+∞2．若复数21iz i+=+，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部是 A ．32B ． 12-C ． 32i -D ． 12i3．“直线y x b =+与圆221x y +=相交”是“01b <<”的 A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．函数1221,0(),0x x f x x x -⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩满足()1f x =的x 值为A.1B. 1-C. 1或2-D. 1或1-5．已知||1,||2a b ==，向量a 与b 的夹角为60，则||a b += A ．B ．C ． 1D ． 26．已知抛物线22x y =的焦点与椭圆2212y x m +=的一个焦点重合，则m = A ． 1B ． 2C ． 3D ．947．已知函数sin()y A x m ωϕ=++的最大值为4，最小值为0．两个对称轴间最短距 离为2π，直线6x π=是其图象的一条对称轴，则符合条件的解析式为A ．2sin(2)26y x π=-++ B ． 2sin(2)23y x π=++ C ．2sin(2)3y x π=-+D ． 4sin(2)6y x π=+8．阅读右侧程序框图，运行相应程序，则输出i 的值为 A ． 3B ． 4C ． 5D ． 69．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若1,a =60b B ==︒，则ABC ∆的面积为A ．12B ．C ． 1D ．10．若正实数y x ,满足0822=-++xy y x ，则y x 2+的最小值为 A ． 3B ． 4C ．92D ．11211．如图，网格上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体 的体积为A ．823π+B ．83π+C ．42π+D ．4π+12．函数()f x 的定义域为D ，对给定的正数k ，若存在闭区间[,]a b D ⊆，使得函数()f x 满足：①()f x 在[,]a b 内是单调函数；②()f x 在[,]a b 上的值域为[,]ka kb ，则称区间[,]a b 为()y f x =的k 级“理想区间”．下列结论错误的是 A ．函数2()f x x =（x R ∈）存在1级“理想区间” B ．函数()()x f x e x R =∈不存在2级“理想区间” C ．函数24()(0)1xf x x x =≥+存在3级“理想区间” D ．函数()tan ,(,)22f x x x ππ=∈-不存在4级“理想区间”第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分。

吉林市普通中学2019—2020学年度高中毕业班第三次调研测试理科数学本试卷共22小题，共150分，共6页，考试时间120分钟，考试结束后，将答题卡和试题卷一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条 形码、姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案 的标号；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、 笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案 无效。

4. 作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮 纸刀。

一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。

1. 已知集合{-1,0,1,2}A =,{|lg(1)}B x y x ==-，则A B =IA. {2}B. {1,0}-C. {1}-D. {1,0,1}-2. 已知复数z 满足i z11=-，则z =A.i 1122+ B. i 1122-C. i 1122-+D. i 1122--3. 已知向量a b (3,1),3)==r r ，则向量b r 在向量a r方向上的投影为A. 3-B.3 C. 1- D. 14. 已知m n ,为两条不重合直线，,αβ为两个不重合平面，下列条件中，αβ⊥的充分条件是A. m ∥n m n ,,αβ⊂⊂B. m ∥n m n ,,αβ⊥⊥★ 保 密C. m n m ,⊥∥n ,α∥βD. m n m ,⊥n ,αβ⊥⊥5. 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为A. 103B. 3C. 83D.736. 函数f x x 2()cos(2)3π=+的对称轴不可能为A.x 56π=-B.x 3π=-C. x 6π=D. x 3π=7. 已知f x ()为定义在R 上的奇函数，且满足f x f x (4)(),+=当x (0,2)∈时，f x x 2()2=, 则f (3)=A. 18-B. 18C. 2-D. 28. 已知数列n a {}为等比数列，若a a a 76826++=，且a a 5936⋅=，则a a a 768111++=A. 1318B. 1318或1936C. 139D. 136 9. 椭圆x y 22192+=的焦点为F F 12,，点P 在椭圆上，若PF 2||2=，则F PF 12∠的大小为A. 150︒B. 135︒C. 120︒D. 90︒10. 已知b a b c a 0.2121()2,log 0.2,===，则a b c ,,的大小关系是A. a b c <<B. c a b <<C. a c b <<D. b c a <<11. 赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时， 介绍了“勾股圆方图”，又称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三 角形再加上中间的一个小正方形组成的，如图（1）），类比“赵爽弦图”，可类似地构造如 图（2）所示的图形，它是由6个全等的三角形与中间的一个小正六边形组成的一个大正 六边形，设A F F A 2'''=,若在大正六边形中随机取一点，则此点取自小正六边形的概率为 A.213B.413ABCD EFA B CD E F2221正视图俯视图侧视图C. 277D.4712. 已知F F 12,分别为双曲线x y C a b2222:1-=的左、右焦点，点P 是其一条渐近线上一点，且以F F 12为直径的圆经过点P ，若PF F 12∆223，则双曲线的离心率为 A.3 B. 2 C. 5D. 3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置． 13. 二项式x 5(2)-的展开式中x 3的系数为（用数字作答） . 14. 已知两圆相交于两点A a B (,3),(1,1)-，若两圆圆心都在直线x y b 0++=上，则a b +的值是 .15. 若点P (cos ,sin )αα在直线y x 2=上，则cos(2)2πα+的值等于 .16. 已知数列n a {}的前n 项和n n S a 14λ=-+且114a =，设x x f x e e 2()1-=-+，则 f a f a f a 721222(log )(log )(log )+++L L 的值等于 .三、解答题：共70分。

2017年吉林省长春市高考数学四模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）i为虚数单位，则i+i2+i3+i4=（）A．0 B．i C．2i D．﹣i2．（5分）已知集合A={x|x2﹣x+4＞x+12}，B={x|2x﹣1＜8}，则A∩（∁R B）=（）A．{x|x≥4}B．{x|x＞4}C．{x|x≥﹣2}D．{x|x＜﹣2或x≥4}3．（5分）已知函数f（x）=，则函数f（x）的值域为（）A．[﹣1，+∞）B．（﹣1，+∞）C．[﹣，+∞）D．R4．（5分）下面四个残差图中可以反映出回归模型拟合精度较好的为（）A．图1 B．图2 C．图3 D．图45．（5分）公元263年左右，我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率π，刘徽称这个方法为“割圆术”，并且把“割圆术”的特点概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”下图是根据刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图．若运行该程序，则输出的n的值为：（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）（）A．48 B．36 C．30 D．246．（5分）将函数f（x）=cos2x﹣sin2x的图象向左平移个单位后得到函数F （x）的图象，则下列说法正确的是（）A．函数F（x）是奇函数，最小值是B．函数F（x）是偶函数，最小值是C．函数F（x）是奇函数，最小值是﹣2D．函数F（x）是偶函数，最小值是﹣27．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A． B． C． D．8．（5分）二项式（﹣）10的展开式中，项的系数是（）A．B．﹣C．15 D．﹣159．（5分）据统计，某城市的火车站春运期间日接送旅客人数X（单位：万）服从正态分布X～N（6，0.82），则日接送人数在6万到6.8万之间的概率为（）（P（|X﹣μ|＜σ）=0.6826，P（|X﹣μ|＜2σ）=0.9544，P（|X﹣μ|＜3σ）=0.9974）A．0.6826 B．0.9544 C．0.9974 D．0.341310．（5分）球面上有A，B，C三点，球心O到平面ABC的距离是球半径的，且AB=2，AC⊥BC，则球O的表面积是（）A．81πB．9πC．D．11．（5分）设F1、F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2最小内角的大小为30°，则双曲线C的渐近线方程是（）A．x±y=0 B．x±y=0 C．x±2y=0 D．2x±y=012．（5分）已知函数f（x）=﹣k（+lnx），若x=2是函数f（x）的唯一一个极值点，则实数k的取值范围为（）A．（﹣∞，e]B．[0，e]C．（﹣∞，e）D．[0，e）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．（5分）已知实数x，y满足条件，则z=y﹣2x的最小值为．14．（5分）若非零向量满足||=2||=|+|，则向量与夹角的余弦值为．15．（5分）已知在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，2asinB=b，b=2，c=3，AD是角A的平分线，D在BC上，则BD=．16．（5分）有甲、乙二人去看望高中数学张老师，期间他们做了一个游戏，张老师的生日是m月n日，张老师把m告诉了甲，把n告诉了乙，然后张老师列出来如下10个日期供选择：2月5日，2月7日，2月9日，5月5日，5月8日，8月4日，8月7日，9月4日，9月6日，9月9日．看完日期后，甲说“我不知道，但你一定也不知道”，乙提听了甲的话后，说“本来我不知道，但现在我知道了”，甲接着说，“哦，现在我也知道了”．请问张老师的生日是．三、解答题：本大题共5小题，共48分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．（12分）等差数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}是等比数列，满足a1=3，b1=1，b2+S2=10，a5﹣2b2=a3．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）令Cn=设数列{c n}的前n项和T n，求T2n．18．（12分）某市对大学生毕业后自主创业人员给予小额贷款补贴，贷款期限分为6个月、12个月、18个月、24个月、36个月五种，对于这五种期限的贷款政府分别补贴200元、300元、300元、400元、400元，从2016年享受此项政策的自主创业人员中抽取了100人进行调查统计，选取贷款期限的频数如表：以上表中各种贷款期限的频数作为2017年自主创业人员选择各种贷款期限的概率．（Ⅰ）某大学2017年毕业生中共有3人准备申报此项贷款，计算其中恰有两人选择贷款期限为12个月的概率；（Ⅱ）设给某享受此项政策的自主创业人员补贴为X元，写出X的分布列；该市政府要做预算，若预计2017年全市有600人申报此项贷款，则估计2017年该市共要补贴多少万元．19．（12分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，AA1⊥底面ABCD，E为B1D的中点．（Ⅰ）证明：平面ACE⊥平面ABCD；（Ⅱ）若二面角D﹣AE﹣C为60°，AA1=AB=1，求三棱锥C﹣AED的体积．20．（12分）如图，在矩形ABCD中，|AB|=4，|AD|=2，O为AB中点，P，Q分别是AD和CD上的点，且满足①=，②直线AQ与BP的交点在椭圆E：+=1（a＞b＞0）上．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设R为椭圆E的右顶点，M为椭圆E第一象限部分上一点，作MN垂直于y轴，垂足为N，求梯形ORMN面积的最大值．21．（12分）已知函数f（x）=x2e ax．（Ⅰ）当a＜0时，讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）在（1）条件下，求函数f（x）在区间[0，1]上的最大值；（Ⅲ）设函数g（x）=2e x﹣，求证：当a=1，对∀x∈（0，1），g（x）﹣xf （x）＞2恒成立．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）在平面直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ2（1+3sin2θ）=4，曲线C2：（θ为参数）．（Ⅰ）求曲线C1的直角坐标方程和C2的普通方程；（Ⅱ）极坐标系中两点A（ρ1，θ0），B（ρ2，θ0+）都在曲线C1上，求+的值．[选修4-5：不等式选讲]23．（Ⅰ）已知函数f（x）=|x+1|+|x﹣a|（a＞0），若不等式f（x）≥5的解集为{x|x≤﹣2或x≥3}，求a的值；（Ⅱ）已知实数a，b，c∈R+，且a+b+c=m，求证：++≥．2017年吉林省长春市高考数学四模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）i为虚数单位，则i+i2+i3+i4=（）A．0 B．i C．2i D．﹣i【解答】解：由i2=﹣1可知，i+i2+i3+i4=i﹣1﹣i+1=0．故选：A．2．（5分）已知集合A={x|x2﹣x+4＞x+12}，B={x|2x﹣1＜8}，则A∩（∁R B）=（）A．{x|x≥4}B．{x|x＞4}C．{x|x≥﹣2}D．{x|x＜﹣2或x≥4}【解答】解：由A={x|x＜﹣2或x＞4}，B={x|x＜4}，故A∩（∁R B）={x|x＜﹣2或x＞4}∩{x|x≥4}={x|x＞4}．故选：B．3．（5分）已知函数f（x）=，则函数f（x）的值域为（）A．[﹣1，+∞）B．（﹣1，+∞）C．[﹣，+∞）D．R【解答】解：根据分段函数f（x）=，的图象可知，该函数的值域为（﹣1，+∞）．故选：B．4．（5分）下面四个残差图中可以反映出回归模型拟合精度较好的为（）A．图1 B．图2 C．图3 D．图4【解答】解：据残差图显示的分布情况即可看出图1显示的残差分布集中，拟合度较好，故选A．5．（5分）公元263年左右，我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率π，刘徽称这个方法为“割圆术”，并且把“割圆术”的特点概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”下图是根据刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图．若运行该程序，则输出的n的值为：（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）（）A．48 B．36 C．30 D．24【解答】解：模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故选：D．6．（5分）将函数f（x）=cos2x﹣sin2x的图象向左平移个单位后得到函数F （x）的图象，则下列说法正确的是（）A．函数F（x）是奇函数，最小值是B．函数F（x）是偶函数，最小值是C．函数F（x）是奇函数，最小值是﹣2D．函数F（x）是偶函数，最小值是﹣2【解答】解：将函数f（x）=cos2x﹣sin2x=cos（2x+）的图象向左平移个单位后得到函数F（x）=cos[2（x+）+]=cos（2x+）=﹣sin2x的图象，故函数F（x）是奇函数，且它的最小值为﹣，故选：A．7．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A． B． C． D．【解答】解：由图形补全法，将图形补全为长方体，进而获得该几何体的直观图P﹣ABC，再求得该几何体的表面积为：．故选D．8．（5分）二项式（﹣）10的展开式中，项的系数是（）A．B．﹣C．15 D．﹣15【解答】解：二项式（﹣）10的展开式的通项共公式为T r+1=••=（﹣1）r••22r﹣10•，令=，求得r=3，可得展开式中含项的系数是﹣•2﹣4=﹣，故选：B．9．（5分）据统计，某城市的火车站春运期间日接送旅客人数X（单位：万）服从正态分布X～N（6，0.82），则日接送人数在6万到6.8万之间的概率为（）（P（|X﹣μ|＜σ）=0.6826，P（|X﹣μ|＜2σ）=0.9544，P（|X﹣μ|＜3σ）=0.9974）A．0.6826 B．0.9544 C．0.9974 D．0.3413【解答】解：∵随机变量X服从正态分布X～N（6，0.82），∴μ=6，σ=0.8，∴P（5.2＜X＜6.8）=0.6826，∴P（6＜x＜6.8）=P（5.2＜X＜6.8）=0.3413．故选D．10．（5分）球面上有A，B，C三点，球心O到平面ABC的距离是球半径的，且AB=2，AC⊥BC，则球O的表面积是（）A．81πB．9πC．D．【解答】解：由题可知AB为△ABC的直径，令球的半径为R，则，可得，则球的表面积为S=4πR2=9π．故选B．11．（5分）设F1、F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2最小内角的大小为30°，则双曲线C的渐近线方程是（）A．x±y=0 B．x±y=0 C．x±2y=0 D．2x±y=0【解答】解：不妨设P为右支上一点，由双曲线的定义，可得，|PF1|﹣|PF2|=2a，又|PF1|+|PF2|=6a，解得，|PF1|=4a，|PF2|=2a，且|F1F2|=2c，由于2a最小，即有∠PF1F2=30°，由余弦定理，可得，cos30==．则有c2+3a2=2ac，即c=a，则b==a，则双曲线的渐近线方程为y=x，即为y=x，故选A．12．（5分）已知函数f（x）=﹣k（+lnx），若x=2是函数f（x）的唯一一个极值点，则实数k的取值范围为（）A．（﹣∞，e]B．[0，e]C．（﹣∞，e）D．[0，e）【解答】解：∵函数f（x）=﹣k（+lnx），∴函数f（x）的定义域是（0，+∞）∴f′（x）=﹣k（﹣+）=∵x=2是函数f（x）的唯一一个极值点∴x=2是导函数f′（x）=0的唯一根．∴e x﹣kx=0在（0，+∞）无变号零点，令g（x）=e x﹣kxg′（x）=e x﹣k①k≤0时，g′（x）＞0恒成立．g（x）在（0，+∞）时单调递增的g（x）的最小值为g（0）=1，g（x）=0无解②k＞0时，g′（x）=0有解为：x=lnk0＜x＜lnk时，g′（x）＜0，g（x）单调递减lnk＜x时，g′（x）＞0，g（x）单调递增∴g（x）的最小值为g（lnk）=k﹣klnk∴k﹣klnk＞0∴k＜e，由y=e x和y=ex图象，它们切于（1，e），综上所述，k≤e．故选A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．（5分）已知实数x，y满足条件，则z=y﹣2x的最小值为﹣2．【解答】解：由z=y﹣2x，则y=2x+z作出不等式组对应的平面区域如图：平移直线y=2x+z，由图象知当直线y=2x+z，经过点A时，直线y=2x+z的截距最大，此时m最大，当直线y=2x+z经过点B时，直线y=2x+z的截距最小，此时z最小，由，得，即B（1，0），此时z=0﹣2=﹣2，即z=y﹣2x的最小值﹣2，给答案为：﹣2．14．（5分）若非零向量满足||=2||=|+|，则向量与夹角的余弦值为﹣．【解答】解：设向量与夹角为θ，θ∈[0，π]，由题意||=2||=|+|，可得||2=4=||2+||2+2•，即2+||2=0，即2•2||•||cosθ=﹣|b|2，故，故答案为：﹣．15．（5分）已知在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，2asinB=b，b=2，c=3，AD是角A的平分线，D在BC上，则BD=．【解答】解：∵2asinB=b，∴由正弦定理可得，∵sinB≠0，可得sinA=，∴由A为锐角，可得，∵b=2，c=3，∴由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bcosA=4+9﹣2×=7，可得：a=，∴根据角平分线定理可知，．故答案为：．16．（5分）有甲、乙二人去看望高中数学张老师，期间他们做了一个游戏，张老师的生日是m月n日，张老师把m告诉了甲，把n告诉了乙，然后张老师列出来如下10个日期供选择：2月5日，2月7日，2月9日，5月5日，5月8日，8月4日，8月7日，9月4日，9月6日，9月9日．看完日期后，甲说“我不知道，但你一定也不知道”，乙提听了甲的话后，说“本来我不知道，但现在我知道了”，甲接着说，“哦，现在我也知道了”．请问张老师的生日是8月4日．．【解答】解：根据甲说“我不知道，但你一定也不知道”，可排除5月5日、5月8日、9月4日、9月6日、9月9日；乙听了甲的话后，说“本来我不知道，但现在我知道了”，可排除2月7日、8月7日；甲接着说“哦，现在我也知道了”，现在可以得知张老师生日为8月4日．故答案为：8月4日．三、解答题：本大题共5小题，共48分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．（12分）等差数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}是等比数列，满足a1=3，b1=1，b2+S2=10，a5﹣2b2=a3．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）令Cn=设数列{c n}的前n项和T n，求T2n．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，数列{b n}的公比为q，由b2+S2=10，a5﹣2b2=a3．得，解得∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1，．（Ⅱ）由a1=3，a n=2n+1得S n=n（n+2），则n为奇数，c n==，n为偶数，c n=2n﹣1．∴T2n=（c1+c3+…+c2n﹣1）+（c2+c4+…+c2n）===．18．（12分）某市对大学生毕业后自主创业人员给予小额贷款补贴，贷款期限分为6个月、12个月、18个月、24个月、36个月五种，对于这五种期限的贷款政府分别补贴200元、300元、300元、400元、400元，从2016年享受此项政策的自主创业人员中抽取了100人进行调查统计，选取贷款期限的频数如表：以上表中各种贷款期限的频数作为2017年自主创业人员选择各种贷款期限的概率．（Ⅰ）某大学2017年毕业生中共有3人准备申报此项贷款，计算其中恰有两人选择贷款期限为12个月的概率；（Ⅱ）设给某享受此项政策的自主创业人员补贴为X元，写出X的分布列；该市政府要做预算，若预计2017年全市有600人申报此项贷款，则估计2017年该市共要补贴多少万元．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意知，每人选择贷款期限为12个月的概率为，（2分）所以3人中恰有2人选择此贷款的概率为（6分）（Ⅱ）由题意知，享受补贴200元的概率为，享受补贴300元的概率为，享受补贴400元的概率为，即随机变量X的分布列为（9分）（10分）∴，w=600×300=180000元．所以，2017年政府需要补贴全市600人补贴款18万元．（12分）19．（12分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，AA1⊥底面ABCD，E为B1D的中点．（Ⅰ）证明：平面ACE⊥平面ABCD；（Ⅱ）若二面角D﹣AE﹣C为60°，AA1=AB=1，求三棱锥C﹣AED的体积．【解答】证明：（Ⅰ）连接BD，设AC与BD的交点为F，连接EF，因为E为B1D中点，F为BD中点，所以EF∥BB1，因为BB1⊥平面ABCD，所以EF⊥平面ABCD，又因为EF在平面ACE内，所以平面ACE⊥平面ABCD．（6分）解：（Ⅱ）由于四边形ABCD是菱形，所以以F为坐标原点，分别以FC，FD，FE为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设FA=a，FD=b，有a2+b2=1，A（﹣a，0，0），C（a，0，0），D（0，b，0），，，，设平面ADE的法向量为，平面ACE的法向量为，（8分）由题意知，解得．（10分）所以菱形ABCD为正方形，所以三棱锥C﹣ADE的体积．（12分）20．（12分）如图，在矩形ABCD中，|AB|=4，|AD|=2，O为AB中点，P，Q分别是AD和CD上的点，且满足①=，②直线AQ与BP的交点在椭圆E：+=1（a＞b＞0）上．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设R为椭圆E的右顶点，M为椭圆E第一象限部分上一点，作MN垂直于y轴，垂足为N，求梯形ORMN面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）设AQ于BP交点C为（x，y），P（﹣2，y1），Q（x1，2），由题可知，，（4分）从而有，整理得，即为椭圆方程，椭圆E的方程；（6分）（Ⅱ）R（2，0），设M（x0，y0），有，从而所求梯形面积=，（8分）令t=2+x0，2＜t＜4，，令u=4t3﹣t4，u'=12t2﹣4t3=4t2（3﹣t），（10分）当t∈（2，3）时，u=4t3﹣t4单调递增，当t∈（3，4）时，u=4t3﹣t4单调递减，则当t=3时S取最大值，梯形ORMN面积的最大值．（12分）21．（12分）已知函数f（x）=x2e ax．（Ⅰ）当a＜0时，讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）在（1）条件下，求函数f（x）在区间[0，1]上的最大值；（Ⅲ）设函数g（x）=2e x﹣，求证：当a=1，对∀x∈（0，1），g（x）﹣xf （x）＞2恒成立．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=e ax（ax2+2x），令f'（x）=0可得，x=0或．（2分）又a＜0，则可知f（x）在（﹣∞，0）和上单调递减；在上单调递增．（4分）（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下，当，即﹣2≤a＜0时，f（x）在[0，1]上单调递增，则f（x）最大值为f（1）=e a；（6分）当，即a＜﹣2时，f（x）在单调递增，在上单调递减，则f（x）的最大值为．（9分）（Ⅲ）要证g（x）﹣xf（x）＞2，即证，（10分）令h（x）=（2﹣x3）e x，则h'（x）=（﹣x3﹣3x2+2）e x=﹣e x（x+1）（x2+2x﹣2），又x∈（0，1），可知在x∈（0，1）内存在极大值点，又h（0）=2，h（1）=e，则h（x）在x∈（0，1）上恒大于2，（11分）而在x∈（0，1）上恒小于2，因此g（x）﹣xf（x）＞2在x∈（0，1）上恒成立．（12分）[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）在平面直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ2（1+3sin2θ）=4，曲线C2：（θ为参数）．（Ⅰ）求曲线C1的直角坐标方程和C2的普通方程；（Ⅱ）极坐标系中两点A（ρ1，θ0），B（ρ2，θ0+）都在曲线C1上，求+的值．【解答】（本小题满分10分）解：（Ⅰ）∵曲线C1的极坐标方程为ρ2（1+3sin2θ）=4，∴ρ2+3ρ2sin2θ=4，∴曲线C1的直角坐标方程，∵曲线C2：（θ为参数）．∴C2的普通方程．（5分）（Ⅱ）∵A（ρ1，θ0），B（ρ2，θ0+）都在曲线C1上，∴，，，，∴．（10分）[选修4-5：不等式选讲]23．（Ⅰ）已知函数f（x）=|x+1|+|x﹣a|（a＞0），若不等式f（x）≥5的解集为{x|x≤﹣2或x≥3}，求a的值；（Ⅱ）已知实数a，b，c∈R+，且a+b+c=m，求证：++≥．【解答】（本小题满分10分）解：（Ⅰ）因为a＞0，所以，又因为不等式f（x）≥5的解集为{x|x≤﹣2或x≥3}，就是x=﹣2或x=3时，f （x）=5，解得a=2．（5分）（Ⅱ）证明：==（10分）赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。

吉林市普通中学2016—2017学年度高中毕业班第四次调研测试数 学（理科）参考答案与评分标准一、选择题：12题解答：222[(2)][ln (1)]b a b a m m --+--≥-恒成立，左端为点(),ln P b b 与点 (2,1)Q a a --距离平方，因为,P Q 分别在曲线:ln C y x =及直线:1l y x =+上，由11y x'==得1x =，故与l 平行且与:ln C y x =相切的切点为（1,0）所以PQ 最小值22d ==，所以22m m -≤，解得12m -≤≤。

故选B . 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13：4 ；14：3 ;15.54；16. 19π三、解答题 17解答：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，因为3574,14a a a =+=，所以有112421014a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得121a d =⎧⎨=⎩，---------------------------------------------4分所以2(1)1n a n n =+-=+；---------------------------------------------5分(1)22n n n S n -=+21(3)2n n =+。

---------------------------------------------6分1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ACDCBDBDCABB（Ⅱ）由（1）知211111()1(2)22n n b a n n n n ===--++，----------------------------------------------9分 所以111111(1232435n T =-+-+-+ 1111...)112n n n n +-+--++1111(1)2212n n =+--++----------------------------------------------11分 34<----------------------------------------------12分18解答：(Ⅰ)由直方图，抽取的50名学生的数学平均成绩为： 850.12950.161050.321150.201250.121350.08107.8⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，所以，该校理科毕业生的数学平均成绩约为：107.8 -----------------------------3分（Ⅱ）由直方图知，后两组频率之和为0.2，后两组人数之和为500.210⨯=。

吉林省吉林市普通高中2017届高三下学期第三次调研测试文数试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集，集合.则A. B. C. D.【答案】D【解析】由书籍，，所以，故选D．2. 若复数，其中为虚数单位，则复数的虚部是A. B. C. D.【答案】B【解析】，故虚部为．3. “直线与圆相交”是“”的A. 充要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当时，直线与圆都相交，因此题中应选必要不充分条件．4. 函数满足的值为A. B. C. 或 D. 或【答案】D【解析】当时，，，当时，，，综上，或．5. 已知，向量与的夹角为，则A. B. C. 1 D. 2【答案】B【解析】．6. 已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则A. B. C. D.【答案】D【解析】抛物线的焦点为，因此，．7. 已知函数的最大值为，最小值为．两个对称轴间最短距离为，直线是其图象的一条对称轴，则符合条件的解析式为A. B.C. D.【答案】A8. 阅读右侧程序框图，运行相应程序，则输出的值为A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B考点：程序框图9. 在中，分别是角的对边，若，则的面积为A. B.C. 1D.【答案】B【解析】由正弦定理得，，因为，所以，所以，则，．10. 若正实数满足，则的最小值为A. 3B. 4C. D.【答案】B【解析】试题分析：，解不等式得考点：不等式性质11. 如图，网格上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A. B. C. D.【答案】D【解析】依题意，这是半个圆柱和一个三棱柱组成的几何体，故体积为.12. 函数的定义域为，对给定的正数，若存在闭区间，使得函数满足：①在内是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的级“理想区间”．下列结论错误的是A. 函数（）存在级“理想区间”B. 函数不存在级“理想区间”C. 函数存在级“理想区间”D. 函数不存在级“理想区间”【答案】D故选D．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分.13. 设满足不等式组，则的最小值为_____.【答案】-6【解析】作出可行域，如图内部（含边界），作直线，当向下平移时，减小，因此当过点时，为最小值．14. 设，则_____.【答案】2【解析】原式＝．点睛：关于的齐次式（齐次分式）求值时，一般都把它为化关于的式子再代入求值，如，，如果是整式，，或，则可它看作分母是的分式，再转化求值．15. 《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现。

吉林市普通中学2017—2020学年度高中毕业班第三次调研测试理科数学一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。

1. 若集合{|0}B x x =≥，且A B A =，则集合A 可以是A ．{1,2}B ．{|1}x x ≤C ．{1,0,1}-D ．R2． 已知复数1z i =+（i 为虚数单位）给出下列命题：①||2z =；②1z i =-；③z 的虚部为i . 其中正确命题的个数是A.0 B. 1 C. 2 D. 33． 若1sin ,3α=且2παπ<<，则sin2α= A ． 229-B ． 429-C ．429D ．2294. 已知等差数列{}n a 的公差不为0，11a =，且248,,a a a 成等比数列，设{}n a 的前n 项和为n S ，则n S =A. (1)2n n +B. 2(1)2n +C. 212n +D. (3)4n n +5． 若1()n x x-的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中含2x 项的系数是A ． 462-B ． 462C ． 792D ． 792-6． 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 A. 12018 B. 12019 C.20172018D.201820197． 10|1|x dx -=⎰A ． 12B ． 1C ．2D ． 38． 一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是 (0,0,0),(1,0,1),(0,1,1)1,(,1,0)2, 绘制该四面体三视图时,按照如图所示的方向画正视图,则得到左视图可以为 A. B.C.D.开始结束k = 1 , S = 0k = k + 1k < 2018?输出SS = S +k (k +1)1是否xyz正视图方向O9． 设曲线()cos (*)f x m x m R =∈上任一点(,)x y 处切线斜率为()g x ，则函数2()y x g x =的部分图象可以为A. B. C. D.10．平行四边形ABCD 中，2,1,1,AB AD AB AD ===- 点M 在边CD 上，则MA MB 的最大值为A. 2B. 221-C.5 D. 31-11．等比数列{}n a 的首项为32，公比为12-，前n 项和为n S ，则当*n N ∈时，1n nS S -的最大值与最小值的比值为A.125-B. 107-C.109D.12512．已知函数13,1()22ln ,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩（ln x 是以e 为底的自然对数， 2.71828e =），若存在实数,()m n m n <，满足()()f m f n =，则n m -的取值范围为A. 2(0,3)e + B. 2(4,1]e -C. 2[52ln 2,1]e --D. [52ln2,4)-二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分。

长春市普通高中2017届高三质量监测（三）数 学(理科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分.考试时间为120分钟，其中第Ⅱ卷22题－24题为选考题，其它题为必考题.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1． 答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2． 选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3． 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 4． 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀.第Ⅰ卷一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）.1. 已知集合{11}A x x =-≤≤，2{20}B x x x =-≤，则A B =A. [1,0]-B. [1,2]-C. [0,1]D. (,1][2,)-∞+∞ 2. 设复数1z i =+（i 是虚数单位），则22z z+=A. 1i +B. 1i -C. 1i --D. 1i -+ 3. 已知1,==ab ，且()⊥-a a b ，则向量a 与向量b 的夹角为A. 6π B. 4π C. 3π D. 23π4. 已知ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若222a b c bc =+-，4bc =，则ABC ∆的面积为A. 12B. 1 5. 已知{}2,0,1,3,4a ∈-，{}1,2b ∈，则函数2()(2)f x a x b =-+为增函数的概率是A. 25B. 35C. 12D. 3106. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序. 若输出的S 为1112，则判断框中填写的内容可以是A. 6n =B. 6n <C. 6n ≤D. 8n ≤7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为A. 323B. 64D. 6438. 在平面直角坐标系中，若(,)P x y 满足44021005220x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪-+⎩≤≤≥，则2x y +的最大值是A. 2B. 8C. 14D. 16 9.已知直线1)y x =-与抛物线:C x y 42=交于B A ,两点，点),1(m M -，若0=⋅，则=mA.B.2C. 21 D. 010. 对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为M函数：(i) 对任意的[0,1]x ∈，恒有()0f x ≥；(ii) 当12120,0,1x x x x +≥≥≤时，总有1212()()()f x f x f x x ++≥成立. 则下列四个函数中不．是M 函数的个数是 ① 2()f x x = ② 2()1f x x =+③ 2()ln(1)f x x =+ ④ ()21x f x =- A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 11.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与函数y 的图象交于点P ，若函数y =的图象在点P 处的切线过双曲线左焦点(1,0)F -，则双曲线的离心率是A.12B.22C.12D. 3212. 若对,[0,)x y ∀∈+∞，不等式2242x y x y ax e e +---++≤恒成立，则实数a 的最大值是A. 14B. 1C. 2D. 12第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题－24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上). 13.函数1sin 2y x x =+([0,]2x π∈)的单调递增区间是__________. 14.61()2x x-的展开式中常数项为__________. 15.已知定义在R 上的偶函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，且(1)0f =，则不等式(2)f x -≥的解集是__________.16. 底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥. 已知同底的两个正三棱锥内接于同一个球. 已知两个正三棱锥的底面边长为a ，球的半径为R . 设两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为α、β，则tan()αβ+的值是 . 三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17. (本小题满分12分)已知数列{}n a 中，11a =，其前n 项的和为n S ，且满足2221n n n S a S =-2()n ≥.⑴ 求证：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；⑵ 证明：当2n ≥时，1231113 (232)nSS S S n ++++<. 18. (本小题满分12分)如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD是菱形，∠DAB ＝60，PD ⊥平面ABCD ，PD =AD =1，点,E F分别为AB 和PD 中点.⑴ 求证：直线AF //平面PEC ； ⑵ 求PC 与平面PAB 所成角的正弦值. 19.(本小题满分12分)某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进⑴ 从统计数据看，甲、乙两个班哪个班成绩更稳定（用数字特征说明）；⑵ 若把上表数据作为学生投篮命中率，规定两个班级的1号和2号同学分别代表自己的班级参加比赛，每人投篮一次，将甲、乙两个班两名同学投中的次数之和分别记作X 和Y ，试求X 和Y 的分布列和数学期望. 20.(本小题满分12分)已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的上顶点为(0,1)，且离心率为2.⑴ 求椭圆C 的方程；⑵ 证明：过椭圆1C :22221(0)x y m n m n +=>>上一点00(,)Q x y 的切线方程为00221x x y ymn+=； ⑶ 从圆2216x y +=上一点P 向椭圆C 引两条切线，切点分别为,A B ，当直线AB 分别与x 轴、y 轴交于M、N 两点时，求MN 的最小值. 21.(本小题满分12分)定义在R 上的函数()f x 满足222(1)()2(0)2x f f x e x f x -'=⋅+-，21()()(1)24x g x f x a x a =-+-+.⑴ 求函数()f x 的解析式； ⑵ 求函数()g x 的单调区间；⑶ 如果s 、t 、r 满足||||s r t r --≤，那么称s 比t 更靠近r . 当2a ≥且1x ≥时，试比较e x和1x e a -+哪个更靠近ln x ，并说明理由.请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.22. (本小题满分10分) 选修4－1：几何证明选讲如图所示，AB 为圆O 的直径，CB ，CD 为圆O的切线，B ，D 为切点.⑴ 求证：OC AD //；⑵ 若圆O 的半径为2，求OC AD ⋅的值.23. (本小题满分10分) 选修4－4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+-=+=θθsin 24cos 23y x （θ为参数）.⑴ 以原点为极点、x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程；⑵ 已知(2,0),(0,2)A B -，圆C 上任意一点),(y x M ，求ABM ∆面积的最大值.24.(本小题满分10分) 选修4－5：不等式选讲⑴已知,a b都是正数，且a b≠，求证：3322a b a b ab+>+；⑵已知,,a b c都是正数，求证：222222a b b c c aabca b c++++≥.长春市普通高中2017届高三质量监测（三）数学(理科)参考答案及评分参考说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)1. C2. A3. B4. C5. B6.C7. D 8. C 9. B 10. A 11. A 12. D. 简答与提示：1. 【命题意图】本小题主要考查集合的计算，是一道常规问题. 【试题解析】C ∵[0,2]B =，∴A B = [0,1]，故选C.2. 【命题意图】本小题主要考查复数的基本运算，特别是复数的除法和平方运算，对考生的运算求解能力有一定要求. 【试题解析】A ∵1z i =+，∴i i i i i+=+-=+++121)1(122，故选A.3. 【命题意图】本小题主要考查平面向量的的位置关系以及平面向量的数量积运算，特别突出对平面向量运算律的考查，另外本题也对考生的分析判断能力进行考查.【试题解析】B ∵()⊥-a a b ，∴2()0⋅-=-⋅=a a b a a b ，∴2⋅=a b a ，∵1,==a b 2cos ,||||||||⋅<>===a b a a b a b a b ，∴向量a 与向量b 的夹角为4π，故选B.4. 【命题意图】本小题主要考查余弦定理在解三角形中的应用，以及三角形面积的求法，对学生的推理论证能力和数形结合思想提出一定要求.【试题解析】C ∵222a b c bc =+-，∴1cos 2A =，∴3A π=，又4bc =，∴ABC ∆的面积为1sin 2bc A =C.5. 【命题意图】本小题通过一次函数的单调性和系数的关系，考查古典概型的理解和应用，是一道综合创新题.【试题解析】B ∵2()(2)f x a x b =-+为增函数，∴22a ->0， 又{}2,0,1,3,4a ∈-，∴{}2,3,4a ∈-，又{}1,2b ∈，∴函数2()(2)f x a x b =-+为增函数的概率是35，故选B.6. 【命题意图】本小题主要通过程序框图的理解考查学生的逻辑推理能力，同时考查学生对算法思想的理解与剖析. 【试题解析】C ∵1111124612++=，因此应选择6n =时满足，而8n =时不满足的条件∴6n ≤，故选C.7. 【命题意图】本小题主要考查立体几何中的三视图问题，并且对考生的空间想象能力及利用三视图还原几何体的能力进行考查，同时考查简单几何体的体积公式.【试题解析】D 由三视图可知，该多面体是一个四棱锥，且由一个顶点出发的三条棱两两垂直，长度都为4， ∴其体积为643，故选D.8. 【命题意图】本小题主要考查二元一次不等式组所表示的可行域的获取以及目标函数的几何意义，是线性规划的一种简单应用，对学生的数形结合思想提出一定要求.【试题解析】C 根据线性规划的方法可求得最优解为点)6,2(，此时2x y +的值等于14，故选C.9. 【命题意图】本小题主要考查抛物线的定义与基本性质及过焦点的弦的性质. 本题不但对考生的运算求解能力、推理论证能力有较高要求，而且对考生的化归与转化的数学思想也有较高要求.【试题解析】B)2,21(),22,2(-B A ，∵),1(m M -，且0=⋅，∴01=+m m 22-22，解得2m =B.10. 【命题意图】本小题通过函数的运算与不等式的比较，另外也可以利用函数在定义域内的变化率、函数图像的基本形式来获得答案，本题对学生的运算求解能力和数形结合思想提出一定要求.【试题解析】A (i)在[0,1]上，四个函数都满足；(ii)12120,0,1x x x x ≥≥+≤；对于①，0222≥=+-+=+-+21212212121)()()]()([)(x x x x x x x f x f x x f ，满足； 对于②，22212121212()[()()][()1][(1)(1)]f x x f x f x x x x x +-+=++-+++02<-=121x x ，不满足.对于③，)]1ln()1[ln(]1)ln[()]()([)(212212121+++-++=+-+22x x x x x f x f x x f112ln)1)(1(1)(ln)]1)(1ln[(]1)ln[(212212122212122121221++++++=++++=++-++=2222222x x x x x x x x x x x x x x x x而12120,0,1x x x x ≥≥∴≥+≥∴41≤21xx ，∴212121x x x x x x 24122≤≤， ∴1222≥++++++11221221212221x x x x x x x x ，∴0222≥++++++112ln21221212221x x x x x x x x ，满足；对于④，)121()]()([)(21212121-+--=+-++x x xx x f x f x x f 21)-(20222≥--=+--=)12)(12(12212121x x x x x x ，满足；故选A.11. 【命题意图】本小题主要考查过曲线外一点作曲线切线的基本方法，结合双曲线的标准方程与离心率，对考生的运算求解能力和推理论证能力提出较高要求. 【试题解析】A 设),(00x xP，又∵在点P 处的切线过双曲线左焦点)0,1(-F ，0=解得01x =，∴(1,1)P ，因此152,22-==a c ，故双曲线的离心率是215+，故选A ；12. 【命题意图】本小题主要考查基本不等式的应用，以及利用导数求取函数最值的基本方法，本题作为选择的压轴题，属于较难题，对学生的运算求解能力和推理论证能力提出一定要求. 【试题解析】D 因为)1(22)(22222+≥++=++------+x y y x y x y x e e e e e e ，再由,4)1(22ax ex ≥+-可有x e a x 212-+≤，令x e x g x 21)(-+=，则22(1)1()x e x g x x---'=，可得(2)0g '=，且在),2(+∞上()0g x '>，在)2,0[上()0g x '<，故)(x g 的最小值为1)2(=g ，于是,12≤a 即21≤a ，故选D.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分)13. [0,]6π 14. 52- 15. (,1][3,)-∞+∞ 16. 简答与提示：13. 【命题意图】本小题主要考查辅助角公式的应用以及三角函数单调区间的求取，属于基本试题.【试题解析】∵1sin sin()23y x x x π==+，∴函数的增区间为5[2,2]()66k k k Z ππππ-+∈，又[0,]2x π∈，∴增区间为[0,]6π. 14. 【命题意图】本小题是二项式定理的简单应用，求取二项展开式中某项的系数是考生的一项基本技能. 【试题解析】∵61()2x x -的通项为k kk k k k k x x x T C C 2--+-=-=66661)21()21(，令026=-k ，∴3=k ，故展开式中常数项为52-；15. 【命题意图】本小题主要考偶函数的性质以及函数图像的平移变换等，同时对考生的数形结合思想.【试题解析】由已知21x -≥或21x -≤-，∴解集是(,1][3,)-∞+∞ .16. 【命题意图】本小题通过对球的内接几何体的特征考查三角函数的计算，对考生的空间想象能力与运算求解能力以及数形结合思想都提出很高要求，本题是一道综合题，属于较难题. 【试题解析】如图，右侧为该球过SA 和球心的截面，由于三角形ABC 为正三角形，所以D 为BC 中点，且BC BC BC ⊥⊥⊥MD SD AD ,,，故βα=∠=∠MDA SDA ,. 设P ABC 平面SM = ，则点P 为三角形ABC 的重心，且点P 在AD 上，a ==AB ，2R SM∴236AD a PA a PD a ===，，，因此 222tan tan tan()1tan tan 1SP MP PD SM PD SM PD PD SP MP PD SP MP PD PA PD PDαβαβαβ++⋅⋅+====--⋅--⋅2226.123RR a a ⋅==- 三、解答题17. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查有关于数列的基础知识，其中包括数列基本量的求取，数列前n 项和的求取，以及利用放缩法解决数列不等式问题，虽存在着一定的难度，但是与高考考查目标相配合，属于一道中档题，对考生的运算求解能力，化归与转化能力提出一定要求.【试题解析】解：（1）当2n ≥时，21221nn n n S S S S --=-，112n n n n S S S S ---=1112n n S S --=，从而1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成以1为首项，2为公差的等差数列.(6分)（2）由（1）可知，111(1)221n n n S S =+-⨯=-，121n S n ∴=- ∴当2n ≥时，11111111()(21)(22)2(1)21n S n n n n n n n n n=<=⋅=----- 从而123111111111313...1(1)2322231222n S S S S n n n n ++++<+-+-++-<-<- .(12分) 18. 【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面的平行关系、线面角的求法及空间向量在立体几何中的应用. 本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求.【试题解析】解：（1）证明：作FM ∥CD交PC于M .∵点F 为PD 中点，∴CD FM21=. 形，∴FM AB AE ==21，∴AEMF 为平行四边∴AF ∥EM ，∵AF PEC EM PEC ⊄⊂平面，平面， ∴直线AF //平面PEC. (6分)（2）60DAB ∠= ，DE DC ∴⊥ 如图所示，建立坐标系，则 P (0，0，1)，C (0，1，0)， E(20，0)，A(2，12-，0)，1(,0)22B∴1(,1)22AP =- ，()0,1,0AB = .设平面PAB 的一个法向量为(),,n x y z =.∵0n AB ⋅= ，0n AP ⋅=，∴1020y z y ⎧++=⎪⎨⎪=⎩，取1x =，则2z =，∴平面PAB的一个法向量为2n =.∵(0,1,1)PC =-，∴设向量n PC θ 与所成角为，∴cos n PCn PCθ⋅===∴PC平面PAB(12分)19.【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识，其中包括方差的求法、基本概率的应用以及离散型随机变量的数学期望的求法. 本题主要考查学生的数据处理能力.【试题解析】解：（1）两个班数据的平均值都为7，（2）X可能取0，1，2211(0)525P X==⨯=，31211(1)52522P X==⨯+⨯=，313(2)5210P X==⨯=，所以X 分布列为：6分 数学期望11311012521010EX =⨯+⨯+⨯= 8分Y可能取0，1，2313(0)5525P Y ==⨯=，342114(1)555525P Y ==⨯+⨯=，248(2)5525P Y ==⨯=，所以Y10分 数学期望314860122525255EY =⨯+⨯+⨯=. 12分20. 【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到椭圆标准方程的求取，直线与圆锥曲线的相关知识以及圆锥曲线中最值的求取. 本小题对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求.【试题解析】解：（1）1b = ，c e a=， 2,1a b ∴==，∴椭圆C 方程为2214x y +=.2分（2）法一：椭圆1C :22221x y m n +=，当0y >时，y =故2nx y m'=-∴当00y >时，2000222001x nn n k x x y mm m y n =-=-=-⋅. 4分切线方程为()200020x n y y x x m y -=-⋅-，222222220000n x x m y y m y n x m n +=+=，00221x x y ym n+=. 6分 同理可证，00y <时，切线方程也为00221x x y ym n +=. 当0=0y 时，切线方程为x m =±满足00221x x y ym n+=. 综上，过椭圆上一点00(,)Q x y 的切线方程为00221x x y ym n+=. 7分法二：. 当斜率存在时，设切线方程为y kx t =+，联立方程：22221x y m ny kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩可得222222()n x m kx t m n ++=，化简可得： 22222222()2()0n m k x m ktx m t n +++-=，①由题可得：42222222244()()0m k t m n m k t n ∆=-+-=， 4分 化简可得：2222t m k n =+，① 式只有一个根，记作0x ，220222m kt m kx n m k t=-=-+，0x 为切点的横坐标，切点的纵坐标200n y kx t t=+=，所以2020x m k y n =-，所以202n x k m y =-，所以切线方程为：2000020()()n x y y k x x x x m y -=-=--，化简得：00221x x y ymn+=. 6分当切线斜率不存在时，切线为x m =±，也符合方程00221x x y ymn+=， 综上：22221x y m n+=在点00(,)x y 处的切线方程为00221x x y y m n +=. 7分（3）设点P (,)p p x y 为圆2216x y +=上一点，,PA PB 是椭圆2214x y +=的切线，切点1122(,),(,)A x y B x y ，过点A 的椭圆的切线为1114x x y y +=，过点B 的椭圆的切线为2214x x y y +=.两切线都过P 点，12121,144p p p p x x x x y y y y ∴+=+=.∴切点弦AB 所在直线方程为14p p xx yy +=.9分1(0)p M y ∴，，4(,0)pN x ，2222222161161=16p pp p p p x y MN x y x y ⎛⎫+∴=++⋅⎪ ⎪⎝⎭22221125=171617161616p p p p x y y x ⎛⎛⎫ ++⋅≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝. 当且仅当222216p p ppx y y x =，即226416,55P P x y ==时取等，54MN ∴≥，MN ∴的最小值为54. 12分21. 【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来描述函数的单调性等情况. 本小题主要考查考生分类讨论思想的应用，对考生的逻辑推理能力与运算求解有较高要求.【试题解析】解：（1）22'()'(1)22(0)x f x f e x f -=+-，所以'(1)'(1)22(0)f f f =+-，即(0)1f =. 又2(1)(0)2f f e -'=⋅， 所以2'(1)2f e =，所以22()2x f x e x x =+-. 4分 （2）22()2x f x e x x =-+ ，222111()()(1)(1)(1)2444x x x g x f x a x a e x x x a x a e a x ∴=-+-+=+--+-+=-- ()x g x e a '∴=-. 5分①当0a ≤时，()0g x '>，函数()f x 在R 上单调递增； 6分②当0a >时，由()0x g x e a '=-=得ln x a =，∴(),ln x a ∈-∞时，()0g x '<， ()g x 单调递减；()ln ,x a ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增.综上，当0a ≤时，函数()g x 的单调递增区间为(,)-∞+∞；当0a >时， 函数()g x 的单调递增区间为()ln ,a +∞，单调递减区间为(),ln a -∞. 8分（3）解：设1()ln ,()ln x e p x x q x e a x x-=-=+-，21'()0e p x x x=--<，∴()p x 在[1,)x ∈+∞上为减函数，又()0p e =， ∴当1x e ≤≤时，()0p x ≥，当x e >时，()0p x <. 11'()x q x e x -=-，121''()0x q x e x-=+>， ∴'()q x 在[1,)x ∈+∞上为增函数，又'(1)0q =，∴[1,)x ∈+∞时，'()0q x ≥，∴()q x 在[1,)x ∈+∞上为增函数， ∴()(1)20q x q a ≥=+>.①当1x e ≤≤时，1|()||()|()()x e p x q x p x q x e a x--=-=--，设1()x e m x e a x -=--，则12'()0x em x e x-=--<， ∴()m x 在[1,)x ∈+∞上为减函数， ∴()(1)1m x m e a ≤=--，2a ≥，∴()0m x <，∴|()||()|p x q x <，∴e x比1x e a -+更靠近ln x .②当x e >时，11|()||()|()()2ln 2ln x x e p x q x p x q x x e a x e a x---=--=-+--<--， 设1()2ln x n x x e a -=--，则12'()x n x e x-=-，122''()0x n x e x-=--<，∴'()n x 在x e >时为减函数，∴12'()'()0e n x n e e e-<=-<， ∴()n x 在x e >时为减函数，∴1()()20e n x n e a e -<=--<， ∴|()||()|p x q x <，∴e x比1x e a -+更靠近ln x .综上：在2,1a x ≥≥时，e x比1x e a -+更靠近ln x . 12分22. 【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到圆的切线的性质，三角形相似等内容. 本小题重点考查考生对平面几何推理能力.【试题解析】解： (1) 连接CD CB OD BD ,,, 是圆O 的两条切线，OC BD ⊥∴， 又AB 为直径，DB AD ⊥∴，∴//AD OC .5分(2)由//AD OC ，DAB COB ∴∠=∠，BAD Rt ∆∴∽Rt COB ∆，AD ABOB OC=，∴8AD OC AB OB ⋅=⋅=. 10分23. 【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、平面内直线与曲线的位置关系等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求.【试题解析】解：（1）圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+-=+=θθsin 24cos 23y x （θ为参数）所以普通方程为4)4()3(22=++-y x . 2分∴圆C 的极坐标方程：021sin 8cos 62=++-θρθρρ.5分（2）点),(y x M 到直线AB ：02=+-y x 的距离为2|9sin 2cos 2|+-=θθd 7分ABM∆的面积|9)4sin(22||9sin 2cos 2|||21+-=+-=⨯⨯=θπθθd AB S所以ABM ∆面积的最大值为229+10分24. 【命题意图】本小题主要考查不等式证明的相关知识，具体涉及到利用比较法等证明方法. 本小题重点考查考生的逻辑思维能力与推理论证能力.【试题解析】解：（1）证明：33222()()()()a b a b ab a b a b +-+=+-. 因为,a b 都是正数，所以0a b +>. 又因为a b ≠，所以2()0a b ->.于是2()()0a b a b +->,即3322()()0a b a b ab +-+>所以3322a b a b ab +>+； 5分 （2）证明：因为2222,0b c bc a +≥≥，所以2222()2a b c a bc +≥. ① 同理2222()2b a c ab c +≥. ② 2222()2c a b abc +≥. ③ ①②③相加得2222222222()222a b b c c a a bc ab c abc ++≥++从而222222()a b b c c a abc a b c ++≥++.由,,a b c 都是正数，得0a b c ++>，因此222222a b b c c a abc a b c++≥++. 10分。

【关键字】调研吉林市普通中学2016—2017学年度高中毕业班第三次调研测试数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共24小题，共150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内；2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚；3．请按照题号顺序在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效；第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设全集集合，集合若，则应该满足的条件是A．B．≥C．D．≤2．已知复数，其中为虚数单位.则A．B．C．D．3．已知向量，若∥，则A．4 B．C．12 D．204．已知点是双曲线的一个焦点，则此双曲线的离心率为A．B．C．D．5．的展开式中，各项系数之和为，各项的二项式系数之和为，若，则A．5 B．C．7 D．86．给出下列几个命题：①命题任意，都有，则存在，使得．②命题“若且，则且”的逆命题为假命题．③空间任意一点和三点，则是三点共线的充分不必要条件．④线性回归方程对应的直线一定经过其样本数据点中的一个．其中不正确的个数为A. B. C. D.7．若直角坐标平面内的两点满足条件：①都在函数的图象上；②关于原点对称。

则称点对是函数的一对“友好点对”(点对与看作同一对“友好点对”)．已知函数，则此函数的“友好点对”有A. 3对B. 2对C. 1对D. 0对8．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么的值为A．B．C．D．9．阅读右侧程序框图，运行相应程序，则输出的值为A．3B．4C．5D．610．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外.”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是：，则9117用算筹可表示为A. B．C ．D ．11．已知数列{}n a 的各项均为正整数，其前n 项和为n S ，11231,,n n n n na a a a a ++⎧⎪=⎨⎪-⎩若310S =，则180S = A ． 600或900B ． 900或560C ． 900D ． 60012．定义在区间D 上的函数()f x 和()g x ，如果对任意x D ∈，都有|()()|1f x g x -≤ 成立，则称()f x 在区间D 上可被()g x 替代，D 称为“替代区间”．给出以下问题： ①2()1f x x =+在区间(,)-∞+∞上可被21()2g x x =+替代； ②如果()ln f x x =在区间[1,]e 可被()g x x b =-替代，则22b -≤≤；③设212()lg()(),()sin ()f x ax x x D g x x x D =+∈=∈，则存在实数(0)a a ≠及区 间12,D D , 使得()f x 在区间12D D 上被()g x 替代。

吉林市普通中学2016—2017学年度高中毕业班第三次调研测试数 学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共24小题，共150分，考试时间120分钟。

注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内；2．选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚；3．请按照题号顺序在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效；第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设全集,U R =集合{|1}A x x =>，集合{|},B x x p =>若()UA B =∅，则p 应该满足的条件是 A ．1p >B ．p ≥1C ．1p <D ．p ≤12．已知复数1iz i=+，其中i 为虚数单位.则||z =A ．12B C D ．23．已知向量(,2),(2,1),(3,)a x b c x ===，若a ∥b ，则a c = A ．4B ．8C ．12D ．204．已知点(2,0)F 是双曲线2233(0)x my m m -=>的一个焦点，则此双曲线的离心率 为A ．12B C ．2 D ．45．3)nx的展开式中，各项系数之和为A ，各项的二项式系数之和为B ，若 32AB=，则n = A ．5B ．6C ．7D ．86．给出下列几个命题：① 命题:p 任意x R ∈，都有cos 1x ≤，则:p ⌝存在0x R ∈，使得0cos 1x ≤．② 命题“若2a >且2b >，则4a b +>且4ab >”的逆命题为假命题． ③ 空间任意一点O 和三点,,A B C ，则32OA OB OC =-是,,A B C 三点共线的充 分不必要条件．④ 线性回归方程y bx a =+对应的直线一定经过其样本数据点1122(,),(,),,x y x y(,)n n x y 中的一个．其中不正确．．．的个数为 A. 1B. 2C. 3D. 47．若直角坐标平面内的两点,P Q 满足条件：①,P Q 都在函数()y f x =的图象上； ②,P Q 关于原点对称。

长春市普通高中2017届高三质量监测（四） 数学理科第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上） 1. i 为虚数单位，则234i i i i +++=A. 0B. iC. 2iD. 1- 2. 已知集合2{|412}A x x x x =-+>+，1{|28}x B x -=<,则R ()A B = ðA. {|4}x x ≥B.{|4}x x >C. {}|2x x -≥D. {}|24x x x <-≥或3. 已知函数22,1()21,1x x x f x x ⎧-<-⎪=⎨--⎪⎩≥，则函数()f x 的值域为A. [1,)-+∞B. (1,)-+∞C. 1[,)2-+∞ D. R 4. 下面四个残差图中可以反映出回归模型拟合精度较好的为A. 图1B. 图2C. 图3D. 图45.公元263年左右，我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率π，刘徽称这个方法为“割圆术”，并且把“割圆术”的特点概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”下图是根据刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图.若运行该程序，则输出的n 的值为：1.732≈，sin150.2588︒≈，sin 7.50.1305︒≈）A.B. C.D. 246.将函数()cos 2sin 2f x x x =-的图象向左平移8π个单位后得到函数()F x 的图象，则下列说法中正确的是 A. ()F x 是奇函数，最小值是2- B. ()F x 是偶函数，最小值是2-C. ()F x 是奇函数，最小值是()F x 是偶函数，最小值是7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为+ C. 4+ D. 4+8. 二项式102)x - A. 152 B.152- C. 15 D. 15- 9. 据统计，某城市的火车站春运期间日接送旅客人数X （单位：万）服从正态分布2~(6,0.8)X N ，则日接送人数在6万到6.8万之间的概率为（(||)0.6826P X μσ-<=,(||2)0.9544P X μσ-<=,(||3)0.9974P X μσ-<=）A. 0.6826B. 0.9544C. 0.9974D. 0.341310. 球面上有A ，B ，C 三点，球心O 到平面ABC 的距离是球半径的13，且AB =AC BC ⊥，则球O 的表面积是A. 81πB. 9πC. 814π D. 94π11. 已知1F ，2F 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点，P 是双曲线C 上一点，若12||||6PF PF a +=，且12PF F ∆最小内角的大小为30︒，则双曲线C 的渐近线方程是0y ±=B. 0x =C. 20x y ±= D . 20x y ±=12.已知函数22()(ln )x e f x k x x x=-+，若2x =是函数()f x 的唯一极值点，则实数k 的取值范围为A. (,]e -∞B. [0,]eC. (,)e -∞D. [0,)e第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题—21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题—23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).13. 已知实数,x y 满足条件2201x y x y x ⎧⎪+-⎨⎪⎩≥≥≤，则2z y x =-的最小值为___________.14. 若非零向量,a b满足||2||||a b a b ==+ ，则向量a 与b 夹角的余弦值为___________.15. 已知在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，2sin a B =，2b =，3c =，AD 是角A 的平分线，D 在BC 上，则BD =______.16. 有甲、乙二人去看望高中数学张老师，期间他们做了一个游戏，张老师的生日是m 月n 日，张老师把m 告诉了甲，把n 告诉了乙，然后张老师列出来如下10个日期供选择：2月5日，2月7日，2月9日，5月5日，5月8日，8月4日，8月7日，9月4日，9月6日，9月9日.看完日期后，甲说“我不知道，但你一定也不知道”，乙提听了甲的话后，说“本来我不知道，但现在我知道了”，甲接着说，“哦，现在我也知道了”.请问张老师的生日是___________.三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17.（本小题满分12分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 是等比数列，满足13a =，11b =，22S 10b +=，5232a b a -=. (1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2) 若2,,n n nn S c b n ⎧⎪=⎨⎪⎩为偶数为奇数，设数列{}n c 的前n 项和为n T ，求2n T .18. （本小题满分12分）某市对大学生毕业后自主创业人员给予小额贷款补贴，贷款期限分为6个月、12个月、18个月、24个月、36个月五种，对于这五种期限的贷款政府分别补贴200元、300元、300元、400元、400元，从2016100 (1)某大学2017年毕业生中共有3人准备申报此项贷款，计算其中恰有两人选择贷款期限为12个月的概率； (2)设给某享受此项政策的自主创业人员补贴为X 元，写出X 的分布列；该市政府要做预算，若预计2017年全市有600人申报此项贷款，则估计2017年该市共要补贴多少万元.19. （本小题满分12分）如图，四棱柱1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 为菱形， 1AA ⊥底面ABCD ，E 为1B D 的中点.A （1）证明：平面ACE ⊥平面ABCD ；（2）若二面角D AE C --为60︒，11AA AB ==，求三棱锥C AED -的体积.20. （本小题满分12分）如图，在矩形ABCD 中，||=4AB ，||2AD =，O 为AB 中点，P ,Q 分别是AD 和CD 上的点，且满足①||||||||AP DQ AD DC =，②直线AQ 与BP 的交点在椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>上.(1)求椭圆E 的方程;(2)设R 为椭圆E 的右顶点，M 为椭圆E 第一象限部分上一点，作MN 垂直于y 轴，垂足为N ，求梯形ORMN 面积的最大值.21. （本小题满分12分） 已知函数2()ax f x x e =.（1）当0a <时，讨论函数()f x 的单调性；（2）在(1)条件下，求函数()f x 在区间[0,1]上的最大值； （3）设函数ln ()2xxg x e x=-，求证：当1a =，对(0,1)x ∀∈，g()()2x xf x ->恒成立. 请考生在22、23中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程选讲.在平面直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为22(13sin )4ρθ+=，曲线2C ：22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）. （1）求曲线1C 的直角坐标方程和2C 的普通方程； （2）极坐标系中两点1020(,),(,)2A B πρθρθ+都在曲线1C 上，求221211ρρ+的值.23. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲.(1)已知函数()|1|||f x x x a =++-（0a >），若不等式()5f x ≥的解集为{}|23x x x -或≤≥，求a 的值；(2) 已知实数,,a b c +∈R ，且a b c m ++=，求证：11192a b b c c a m+++++≥.长春市普通高中2017届高三质量监测（四）数学（理科）参考答案与评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. A 【命题意图】本题考查复数的基本概念及运算.【试题解析】A 由21i =-可知，原式110i i =--+=. 故选A. 2. B 【命题意图】本题考查集合交、补运算.【试题解析】B 由{|24}A x x x =<->或，{|4}B x x =<，故(){|4}A B x x =>R ð . 故选B.3. B 【命题意图】本题考查分段函数的图像与性质.【试题解析】B 根据分段函数的()f x 的图像可知，该函数的值域为(1,)-+∞. 故选B.4. A 【命题意图】本题考查统计学中残差图的概念.【试题解析】A 根据残差图显示的分布情况即可看出图1显示的残差分布集中，拟合度较好，故选A. 5. D 【命题意图】本题依据中华传统文化算法割圆术考查程序框图.【试题解析】D 运行算法可获得结果24，故选D.6. C 【命题意图】本题主要考查三角变换公式与三角函数的图像与性质.【试题解析】C由()cos 2sin 2)4f x x x x π=-=+，则())))2842F x x x x πππ=++=+=. 故选C.7. D 【命题意图】本题考查三视图.【试题解析】D 由图形补全法，将图形补全为长方体，进而获得该几何体的直观图，再求得该几何体的表面积为：1111224442222S =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+故选D.8. B 【命题意图】本题考查二项式相关问题.【试题解析】B102)x -773102()C x -=故选B. 9. D 【命题意图】本题主要考查正态分布的相关知识.【试题解析】D0.6826(6 6.8)0.34132P x <==≤. 故选D. 10. B 【命题意图】本题主要考查球内的几何体的相关性质.【试题解析】B 由题可知AB 为△ABC 的直径，令球的半径为R ，则22()(3R R =+，可得32R =，则球的表面积为249S R ππ==. 故选B. 11. A 【命题意图】本题考查双曲线的定义.【试题解析】A 不妨设12||||PF PF >，则1212||||2||||6PF PF aPF PF a-=⎧⎨+=⎩，则1||4PF a =，2||2PF a =，且12||2F F c =，即2||PF 为最小边，即1230PFF ∠=，则△12PFF为直角三角形，且2c =，即渐近线方程为y =，故选A.12. A 【命题意图】本题是考查函数与导数的应用问题.【试题解析】A 已知22()(ln )x e f x k x x x=-+，则32()()x x f x e kx x -'=-， 当0x >时，0xe kx -≥恒成立，因此k e ≤. 故选A.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）简答与提示：13. 2-【命题意图】本题考查线性规划的相关知识.【试题解析】由题意可先画出可行域，再由目标函数的几何意义，判断最优解为(1,0) 故，z 的最小值为2-.14. 14-【命题意图】本题考查向量的运算和几何意义. 【试题解析】由题意2222||||||||2=+=++a a b a b ab ，则220=ab+|b |，即22||||cos ||θ⋅=-a b b ，故1cos 4θ=-.15. 【命题意图】本题考查解三角形的问题.【试题解析】由正弦定理可得2sin sin A B B ，可得3A π=，由余弦定理可得BC =再根据角分线定理可知，BD =.16. 8月4日【命题意图】本题考查学生的逻辑推理能力.【试题解析】根据甲说“我不知道，但你一定也不知道”， 可排除5月5日、5月6日、9月4日、9月6日、9月9日； 乙听了甲的话后，说“本来我不知道，但现在我知道了”， 可排除2月7日、8月7日；甲接着说“哦，现在我也知道了”， 现在可以得知张老师生日为8月4日. 三、解答题17.(本小题满分12分)【命题意图】本题考查等差数列、等比数列的相关知识. 【试题解析】(1)设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q .11225233,1,10,2a b b S a b a ==+=-=Q33103+4232q d d q d ì+++=ïï\íï-=+ïî （2分） 2,2d q \== （4分）121,2n n n a n b -\=+=（6分） （2）由（1）知，(321)(2)2n n n S n n ++==+ （8分）111,22,n n n n n c n -ìïï-ï+\=íïïïïî为奇数为偶数 （9分） 135********(1)(2222)3352121n n T n n -\=-+-+鬃?-++++鬃?-+21121321n n ++=-+. （12分）18. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查学生对概率统计知识的理解，同时考查学生的数据处理能力.【试题解析】(1)由题意知，每人选择贷款期限为12个月的概率为25， （2分） 所以3人中恰有2人选择此贷款的概率为2232336()55125P C =鬃=（6分）(2)由题意知，享受补贴200元的概率为115P =,享受补贴300元的概率为235P =， 享受补贴400元的概率为315P =，即随机变量X 的分布列为（9分）（10分）200900400()300555E X \=++=，600300180000w =?元.所以，2017年政府需要补贴全市600人补贴款18万元. （12分）19.(本小题满分12分)【命题意图】本题以四棱柱为载体，考查平面与平面垂直，以及二面角、体积等问题. 【试题解析】（Ⅰ）证明：连接BD ，设AC 与BD 的交点为F ，连接EF ， 因为E 为1B D 中点，F 为BD 中点，所以1//EF BB ，所以EF ⊥平面ABCD ，又因为EF 在平面ACE 内，所以平面ACE ⊥平面ABCD . （6分）（Ⅱ）由于四边形ABCD 是菱形，所以以F 为坐标原点， 分别以FC ，FD ，FE 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系， 设FA a =，FD b =，有221a b +=，(,0,0)A a -，(,0,0)C a ，(0,,0)D b ，1(0,0,)2E ，有1(,0,)2AE a = ，(,,0)AD a b = ，设平面ADE 的法向量为1(,,2)n b a ab =-- ，平面ACE 的法向量为2(0,1,0)n =，（8分）由题意知121212||1cos60|cos ,|2||||n n n n n n ⋅=<>==⋅，解得2a b ==. （10分） 所以菱形ABCD 为正方形，所以三棱锥C ADE -的体积1113212V EF AD CD =⨯⨯⨯⨯=. （12分）20.(本小题满分12分)【命题意图】本小题考查椭圆的标准方程及面积最值问题，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力. 【试题解析】（Ⅰ）设AQ 于BP 交点C 为(,)x y ，1(2,)P y -，1(,2)Q x ，由题可知，111122,,242224y x y y y x x x +===++--， （4分） 从而有422y x x y-+=-，整理得2214x y +=，即为椭圆方程.（6分）（Ⅱ）(2,0)R ，设00(,)M x y ，有0y = 从而所求梯形面积001(2)2S x y =+=（8分）令02,24t x t =+<<，S = 令342324,1244(3)u t t u t t t t '=-=-=-，（10分）当(2,3)t ∈时，344u t t =-单调递增，当(3,4)t ∈时，344u t t =-单调递减，所以当3t =时S （12分） 21.(本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性等，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】（Ⅰ）2()(2)ax f x e ax x '=+，令()0f x '=可得，0x =或2x a=-.（2分） 又0a <，则可知()f x 在(,0)-∞和2(,)a -+∞上单调递减；在2[0,]a-上单调递增. （4分）（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下，当21a-≥，即20a -<≤时，()f x 在[0,1]上单调递增， 则()f x 最大值为(1)a f e =；（6分）当21a -<，即2a <-时，()f x 在2[0,]a -单调递增，在2(,)a-+∞上单调递减， 则()f x 的最大值为2224()f e a a--=. （9分）（Ⅲ）要证()()2g x xf x ->，即证3ln (2)2xx x e x->+， （10分）令3()(2)x h x x e =-，则322()(32)(1)(22)x x h x x x e e x x x '=--+=-++-， 又(0,1)x ∈，可知在(0,1)x ∈内存在极大值点，又(0)2h =，(1)h e =， 则()h x 在(0,1)x ∈上恒大于2， （11分）而ln 2x x+在(0,1)x ∈上恒小于2，因此()()2g x xf x ->在(0,1)x ∈上恒成立. （12分）22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化.【试题解析】（Ⅰ）由题意可知221:1,4x C y +=222:(2)4C x y -+=. （5分） （Ⅱ）由点,A B 在曲线1C 上，则2120413sin ρθ=+，2220413sin ()2ρπθ=++，2021113sin 4θρ+=，2022113cos 4θρ+=， 因此2200221213sin 13cos 115444θθρρ+++=+=.（10分） 23.(本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查含绝对值不等式以及不等式证明的相关知识，本小题重点考查考生的化归与转化思想.【试题解析】（Ⅰ） 因为0a >，所以21,1()|1|||=1,121,x a x f x x x a a x a x a x a -+-<-⎧⎪=++-+-<⎨⎪-+⎩≤≥，又因为不等式()5f x ≥的解集为{|2x x -≤或3}x ≥，解得2a =.（5分）（Ⅱ）111()()1112a b b c c a a b b c c aa b b c c a m ++++++++++++=+++ 1112b c c a a b c a a b b c a b a b b c b c c a c a m++++++++++++++++++++=3922b c a b c a b c a b c a a b b c b c c a c a a b m m++++++++++++++++++≥=（10分）。