吉林省长春市数学高考理数真题试卷(新课标Ⅱ)

①平均每年减贫人数超过 1300 万；②每年减贫人数均保持在 1100 万以上；③打破了以往随着脱贫工作
深入推进，难度越来越大，脱贫人数逐年减的规律；④历年减人数的中位数是 1240〔万人〕
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
5.5 道试题中有 3 道代数题和 2 道几何题，每次从中抽取一道题，抽出的题不再放回，在第 1 次抽到代数 题的条件下，第 2 次抽到几何题的概率为〔 〕
直线
垂直，再利用两直线垂直斜率之积等于-1，进而求出直线 l 的斜率，再利用点斜式方
程求出直线 l 的方程，再转化为直线 l 的一般式方程。
8.【解析】【解答】由题意知，四边形
为直角梯形，
，
所以
。
故答案为：B．
【分析】利用条件得知四边形
为直角梯形，
数量积的运算法那么和数量积的定义，进而求出数量积
9.【解析】【解答】如图，等腰三角形
高，球冠外表积
，其中 为球的半径， 球冠的高)，设球冠底的半径为 周长为 球冠
的面积为 ，那么 的值为________．〔结果用
表示〕
三、解答题
17.随着互联网行业、传统行业和实体经济的融合不断加深，互联网对社会经济开展的推动效果日益显 著，某大型超市方案在不同的线上销售平台开设网店，为确定开设网店的数量，该超市在对网络上相关 店铺做了充分的调查后，得到以下信息，如下列图〔其中 表示开设网店数量， 表示这 个分店的年
，因为
可得
，
而
，所以
，故 正确， 错误； 中，
，由图可知，直线
是函数
的对称轴，故 故答案为：C．
正确，假设
， 错误．所以正确的命题是①③。

吉林省长春市（新版）2024高考数学部编版真题(拓展卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题正方体的棱长为1，动点在线段上，动点在平面上，且平面.线段长度的取值范围是（）A．B．C．D．第(2)题已知函数的部分图像如图所示，且的图像关于点中心对称，则（）．A．4B．3C．2D．0第(3)题已知离心率为的椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上位于第一象限的一点，且，则（）A．B．C．D．第(4)题已知，则当取得最大值时，（）A．B．C．D．第(5)题已知数列中，，若，设，若，则正整数的最大值为（）A．1009B．1010C．2019D．2020第(6)题已知函数满足，则下列结论不正确的是（）A．B．函数关于直线对称C．D．的周期为3第(7)题斛是我国古代的一种量器，如图所示的斛可视为正四棱台，若该正四棱台的上、下底面边长分别为，，侧面积为72，则该正四棱台的体积为（）A．56B．C．D．第(8)题在平面直角坐标系中，如果一个多边形的顶点全是格点（横纵坐标都是整数），那么称该多边形为格点多边形，若△ABC是格点三角形，其中A（0，0），B（4，0），且面积为8，则该三角形边界上的格点个数不可能为（）A．6B．8C．10D．12二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题在正方体中，分别为的中点，若过点且与直线垂直的平面截正方体所得截面图形为三角形，则直线可以是（）A．B．CE C．D．第(2)题随着时代与科技的发展，信号处理以各种方式被广泛应用于医学、声学、密码学、计算机科学、量子力学等各个领域.而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数，的图象就可以近似的模拟某种信号的波形，则下列说法正确的是（）A ．函数的图象关于直线对称B．函数的图象关于点对称C．函数为周期函数，且最小正周期为D．函数的导函数的最大值为4第(3)题已知函数的图象关于点对称，且其图象与直线的交点中有两个交点的横坐标分别为，若的最小值为，则的值可能为（）A．B．C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题在正方体中，为的中点，若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的取值范围是________．第(2)题已知，若，则______．第(3)题若，则________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知等比数列的前项和为，，且．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和．第(2)题已知抛物线上一点到其焦点的距离为4；椭圆的离心率，且过抛物线的焦点．（1）求抛物线和椭圆的标准方程；（2）过点的直线交抛物线于、两不同点，交轴于点，已知，求证：为定值．（3）直线交椭圆于，两不同点，，在轴的射影分别为，，，若点S 满足：，证明：点S 在椭圆上．第(3)题已知函数，数列的前项的和为，点均在函数的图象上.（1）求数列的通项公式；（2）令，证明：.第(4)题某校为了调查网课期间学生在家锻炼身体的情况，随机抽查了150名学生，并统计出他们在家的锻炼时长，得到频率分布直方图如图所示．(1)求a 的值，并估计锻炼时长的平均数（同组数据用该组区间的中点值代替）；(2)从锻炼时长分布在，，，的学生中按分层抽样的方法抽出7名学生，再从这7名学生中随机抽出3人，记3人中锻炼时长超过40分钟的学生人数为X ，求X 的分布列和数学期望．第(5)题已知a ，b 均为正实数，且，证明：(1)；(2)．。

吉林省长春市（新版）2024高考数学统编版能力评测(强化卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学.作为当今世界十分风靡和活跃的新理论､新学科，它的出现使人们重新审视这个世界：世界是非线性的，分形无处不在.分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺术的融合，数学与艺术审美的统一，而且还具有深刻的科学方法论意义，由此可见分形的重要性.美国物理学大师JohnWheeler 曾说过：今后谁不熟悉分形，谁就不能被称为科学上的文化人.koch 雪花曲线是一种典型的分形曲线，它的制作步骤如下：第一步：任意画一个正三角形，记为，并把的每一条边三等分；第二步：以三等分后的每一条边中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉，记所得图形为；第三步：把的每一条边三等分，重复第二步的制作，记所得图形为；同样的制作步骤重复下去，可以得到，直到无穷，所画出的曲线叫做koch 雪花曲线.若下图中的边长为1，则图形的周长为（ ）A ．6B ．C ．D ．第(2)题已知全集，，则（ ）A ．B ．或C ．D ．或第(3)题如图，已知梯形中,点在线段上,且,双曲线过三点，以为焦点; 则双曲线离心率的值为A．B ．C ．D．2第(4)题某班一天上午有四节课，现要安排该班上午的课程表，从语文、数学、英语、物理、体育科中选出科排到课表中，体育课不能排到第一节，且数学和物理两科不能相邻，则不同的排课方案共有（ ）种A ．B ．C ．D ．第(5)题设，，，，则a 、b 、c 、d 的大小关系是（ ）A ．B ．C ．D ．第(6)题已知复数满足，则（ ）A ．B ．C ．D ．第(7)题若，则（ ）A ．0B ．1C ．D ．第(8)题在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，，则三棱锥的外接球的表面积为A．B．C ．D ．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题下列命题正确的是（）A．若甲､乙两组数据的相关系数分别为和，则乙组数据的线性相关性更强B．已知样本数据的方差为4，则的标准差是4C．在检验与是否有关的过程中，根据所得数据算得，已知，则有的把握认为和有关D．对具有线性相关关系的变量，有一组观测数据，其线性回归方程是，且，则实数的值是第(2)题下列命题中是真命题的是（）A．“”是“”的充分不必要条件B．命题“，都有”的否定是“，使得”C．不等式成立的一个必要不充分条件是或D．当时，方程组有无穷多解第(3)题给出下列命题，其中错误命题是（）A．若样本数据（数据各不相同）的平均数为3，则样本数据，，…，的平均数为2B．随机变量的方差为，则C．随机变量服从正态分布，，则D．随机变量，若，，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题年底，中国科学家成功构建了个光子的量子计算机“九章”，推动全球量子计算的前沿研究达到一个新高度.该量子计算机取名“九章”，是为了纪念中国古代著名的数学专著《九章算术》.在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”.如图，棱柱为一“堑堵”，是的中点，，则在过点且与平行的截面中，当截面图形为等腰梯形时，该截面的面积等于___________，该“堑堵”的外接球的表面积为___________.第(2)题在中，，，则________；________.第(3)题飞车走壁技艺利用圆周运动特点和惯性原理，表演者驾驶飞车在球形大棚的内壁上行走，飞车忽高忽低，斜走横行，甚至直贯球顶，该技艺目前已成为中国国宝级杂技节目．已知球形飞车大棚内有辆飞车、、、，分别飞行于上下平行两个的等圆周上，飞车飞行在上圆周，飞车、、飞行在下圆周，且满足，，则的最大值为______；若三棱锥的最大体积为，则球形飞车大棚的直径约为______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知分别是椭圆的上顶点､右顶点，左､右焦点分别为，到直线的距离为，且到直线的距离与到直线的距离之比为.(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线与椭圆交于两个不同的点，为坐标原点，若满足的点正好在椭圆上，求的面积.第(2)题已知数列满足，(1)令，求，，及的通项公式；(2)求数列的前2n项和.第(3)题有研究显示，人体内某部位的直径约10的结节约有0.2%的可能性会在1年内发展为恶性肿瘤.某医院引进一台检测设备，可以通过无创的血液检测，估计患者体内直径约10的结节是否会在1年内发展为恶性肿瘤，若检测结果为阳性，则提示该结节会在1年内发展为恶性肿瘤，若检测结果为阴性，则提示该结节不会在1年内发展为恶性肿瘤．这种检测的准确率为85%，即一个会在1年内发展为恶性肿瘤的患者有85%的可能性被检出阳性，一个不会在1年内发展为恶性肿瘤的患者有85%的可能性被检出阴性．患者甲被检查出体内长了一个直径约10的结节，他做了该项无创血液检测．(1)求患者甲检查结果为阴性的概率；(2)若患者甲的检查结果为阴性，求他的这个结节在1年内发展为恶性肿瘤的概率（结果保留5位小数）；(3)医院为每位参加该项检查且检测结果为阴性的患者缴纳200元保险费，对于在1年内发展为恶性肿瘤的患者，保险公司赔付该患者20万元，若每年参加该保险的患者有1000人，请估计保险公司每年在这个项目上的收益．第(4)题在数列中，，．(1)记，证明：为等比数列；(2)记为的前项和，若是递增数列，求实数的取值范围．第(5)题如图，在直四棱柱中，底面为菱形，，，，分别为，的中点.(1)求证：平面平面；(2)若，求点到平面的距离.。

吉林省长春市（新版）2024高考数学人教版真题(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．第(2)题已知三棱锥的四个顶点均在球的球面上，，，，为球的球面上一动点，则点到平面的最大距离为（ ）A ．B ．C ．D ．第(3)题设函数，则（ ）A．B ．C ．D ．第(4)题已知复数z 满足，则复数z 在复平面内对应的点的坐标为（ ）A ．B ．C．D ．第(5)题为了缓解道路拥堵，合理分配车流，有关部门对城市若干道路的流量情况展开调查．调查员甲经实地观察发现，道路K 由于较为偏僻，在分钟内出现车辆的概率仅为 ．若车辆在任何时刻出现的概率都是独立的，则甲观察分钟就能发现车辆的概率约为（ ）A ．0.3B ．0.4C ．0.5D ．0.6第(6)题已知正方体的棱长为2，棱的中点为S ，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）A．B ．C ．D ．第(7)题已知向量，.若不超过5，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．第(8)题若是偶函数，则（ ）A ．1B ．C ．D ．2二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题下列说法正确的是（ ）A ．事件A 与事件B 互斥，则它们的对立事件也互斥．B ．若，且，则事件A 与事件B 不是独立事件．C ．若事件A ，B ，C 两两独立，则．D ．从2个红球和2个白球中任取两个球，记事件{取出的两个球均为红色}，{取出的两个球颜色不同}，则A 与B 互斥而不对立．第(2)题甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有“关怀老人”、“环境检测”、“图书义卖”这三个项目，每人都要报名且限报其中一项.记事件A 为“恰有两名同学所报项目相同 ”，事件B 为“只有甲同学一人报‘关怀老人’项目”，则（ ）A ．四名同学的报名情况共有种B ．“每个项目都有人报名”的报名情况共有72种C．“四名同学最终只报了两个项目”的概率是D．第(3)题已知，且，则下列不等式中成立的有（）A．B．C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题曲线在点处的切线的斜率为____.第(2)题已知直线与函数和函数的图象分别交于两点，若，则线段中点的纵坐标为___________.第(3)题设是集合，且(其中为自然对数的底数)中所有的数从小到大排成的数列，若，则的最大值为___________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知椭圆的中心在坐标原点，且经过点，它的一个焦点与抛物线的焦点重合.（1）求椭圆的方程；（2）斜率为的直线过点，且与抛物线交于两点，设点，的面积为，求的值；（3）若直线过点，且与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为，直线的纵截距为，证明：为定值.第(2)题已知函数，.(1)求函数的单调区间；(2)若当时，恒成立，求实数m的取值范围.第(3)题已知数列各项都为正数，且，.(1)求的通项公式；(2)若，数列的前项和为，证明：.第(4)题在中，．(1)求；(2)若的面积为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求a的值．条件①：；条件②：；条件③：．注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．第(5)题已知函数，.(1)求曲线在处的切线方程；(2)证明：对，恒成立（为的导数）；(3)设，证明：（）.。

2022年吉林高考理数真题及答案(解析版)使用人数最多的全国乙卷共有12个省区:河南、安徽、江西、山西、陕西、内蒙古、新疆、宁夏、吉林、黑龙江、青海、甘肃。

2022年全国乙卷的整体难易比去年有所加大，下面是小编为大家整理了关于2022年吉林高考理数真题及答案(解析版)的相关内容，供大家学习参考!2022年全国乙卷使用省份：河南、山西、江西、安徽、甘肃、青海、内蒙古、黑龙江、吉林、宁夏、新疆、陕西，共12省市区全国乙卷的语文、数学、外语、文科综合、理科综合均由教育部考试中心统一命题。

2022年全国乙卷高考理数真题及答案(解析版)2022年全国乙卷理科数学难度今年全国乙卷理科数学有一道考题要求查天坛公园有多少快地钻，天坛是个老考点，可以考的内容很多，不仅仅可以考数学，还可以考物理，考历史，考语文，考政治，考地理。

本次高考理科数学试题难度较上年有所提升。

整体考察重基础，但创新较多。

这之中对学生的计算能力要求较高。

虽然考察内容注重基础，但也很注重学生能力的培养，注重数学的实际应用。

例如对试题的文化包装，考察学生的建模意识与能力，重点培养学生的实际应用能力。

给下一届考生的建议：对于全国乙卷的理科考生来说，要以基础为先，夯实基本知识，掌握基本方法，培养基本能力。

以课本为基础，加强写，算，画的能力，培养良好的独立思考，认真纠错和答题的习惯。

并且在学习过程中多问自己为什么，善于用数学思维去分析和解决问题，只有这样才能真正的掌握数学，才能在最终的高考中取得满意的分数!高考数学是全国统一卷吗全国高考的试卷不是统一的，目前我国大部分省份高考使用的都是全国卷，全国卷还分为甲乙丙卷，还有一些省份高考采取自主命题方式。

全国甲卷：云南、广西、贵州、四川、西藏。

全国乙卷：河南、山西、江西、安徽、甘肃、青海、内蒙古、黑龙江、吉林、宁夏、新疆、陕西。

新高考全国卷Ⅰ：山东、福建、广东、河北、湖北、湖南、江苏。

新高考全国卷Ⅱ：海南、辽宁、重庆。

吉林省长春市（新版）2024高考数学人教版考试(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题一质子从原点处出发，每次等可能地向左、向右、向上或向下移动一个单位长度，则移动6次后质子回到原点处的概率是（）A．B．C．D．第(2)题一个不透明的袋子中装有3个黑球，n个白球，这些球除颜色外大小、质地完全相同，从中任意取出3个球，已知取出2个黑球，1个白球的概率为，设X为取出白球的个数，则（）A．B．C．1D．2第(3)题（2）i为虚数单位，A．0B．2i C．-2i D．4i第(4)题已知，，则（）A．B．C．D．第(5)题在直角梯形，，，，，，分别为，的中点，点在以A为圆心，为半径的圆弧上变动（如图所示），若，其中，则的取值范围是（）A．B．C．D．第(6)题在平面直角坐标系中，已知两圆和，又点A坐标为、是上的动点，为上的动点，则四边形能构成矩形的个数为A．0个B．2个C．4个D．无数个第(7)题已知函数，那么下列命题中假命题是（）A．是偶函数B．在上恰有一个零点C．是周期函数D．在上是增函数第(8)题已知集合，则（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知抛物线与圆的公共点为A，B，点P为圆C的劣弧上不同于A，B的一个动点，过点P作垂直于x轴的直线l交抛物线E于点N，则下列四个命题中正确的是（）A．B．点P纵坐标的取值范围是C．点N到圆心C距离的最小值为1D．若l不经过原点，则周长的取值范围是若，则下列结果正确的是（）A．B．C．D．第(3)题函数的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A．的最小正周期为B．的最大值为2C ．在区间上单调递增D．为偶函数三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知函数，则关于x的不等式的解集为______．第(2)题某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，该三棱锥所有表面中，最大的面积为______．第(3)题在的展开式中，项的系数为__________.（结果用数值表示）四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题如图，在四棱锥中，平面，，点在棱上，，点，是棱上的三等分点，点是棱的中点.，.(1)证明：平面，且；(2)求三棱锥的体积.已知椭圆E：的长轴长为4，由E的三个顶点构成的三角形的面积为2.(1)求E的方程；(2)记E的右顶点和上顶点分别为A，B，点P在线段AB上运动，垂直于x轴的直线PQ交E于点M（点M在第一象限），P为线段QM的中点，设直线AQ与E的另一个交点为N，证明：直线MN过定点.第(3)题已知的三个内角所对的边分别为a，b，c，其中A为锐角，且.(1)求角A；(2)若，求的最大值.第(4)题已知函数，．(1)若对任意的都有，求实数的取值范围；(2)若且，，证明：．第(5)题2022年9月23日，以“庆丰收同心共富，迎盛会齐向未来”为主题的第五个中国农民丰收节开幕式在盐城市射阳县海河镇举行．射阳县政府同步开展以“湿地绿城庆丰收、向海图强迎盛会”为主题的农民丰收节系列活动，现从某活动现场的观众中随机抽取200名（其中男性120名），了解他们对该活动的满意情况，得到下表．不满意满意总计男性75女性50总计200(1)根据统计数据完成2×2列联表，并依据小概率值α=0.001的独立性检验，能否认为性别与对活动的满意度有关？(2)该活动现场还举行了有奖促销活动，凡当天消费每满500元，可抽奖一次．抽奖方案是：从装有3个红球和3个白球（形状、大小、质地完全相同）的抽奖箱里一次性摸出2个球，若摸出2个红球，则可获得80元现金的返现；若摸出1个红球，则可获得40元现金的返现；若没摸出红球，则不能获得任何现金返现．若某观众当天消费1000元，记该观众参加抽奖获得的返现金额为X，求X的分布列和数学期望．附：，其中．α0.1000.0500.0100.0012.7063.841 6.63510.828。

2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上.本试卷满分150分.2.作答时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题目：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合U ={−2，−1，0，1，2，3}，A ={−1，0，1}，B ={1，2}，则()U A B ð（）A.{−2，3}B.{−2，2，3}C.{−2，−1，0，3}D.{−2，−1，0，2，3}【答案】A 【解析】【分析】首先进行并集运算，然后计算补集即可.【详解】由题意可得： 1,0,1,2A B ，则 U 2,3A B ð.故选：A.【点睛】本题主要考查并集、补集的定义与应用，属于基础题.2.若α为第四象限角，则（）A.cos2α>0 B.cos2α<0C.sin2α>0D.sin2α<0【答案】D 【解析】【分析】由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可.【详解】当6时，cos 2cos 03，选项B 错误；当3时，2cos 2cos 03，选项A 错误；由 在第四象限可得：sin 0,cos 0 ，则sin 22sin cos 0 ，选项C 错误，选项D 正确；故选：D.【点睛】本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（）A.10名B.18名C.24名D.32名【答案】B 【解析】【分析】算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.【详解】由题意，第二天新增订单数为50016001200900 ，故需要志愿者9001850名.故选：B【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.4.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（）A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块【答案】C 【解析】【分析】第n 环天石心块数为n a ，第一层共有n 环，则{}n a 是以9为首项，9为公差的等差数列，设n S 为{}n a 的前n 项和，由题意可得322729n n n n S S S S ，解方程即可得到n ，进一步得到3n S .【详解】设第n 环天石心块数为n a ，第一层共有n 环，则{}n a 是以9为首项，9为公差的等差数列，9(1)99n a n n ，设n S 为{}n a 的前n 项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为232,,n n n n n S S S S S ，因为下层比中层多729块，所以322729n n n n S S S S ，即3(927)2(918)2(918)(99)7292222n n n n n n n n 即29729n ，解得9n ，所以32727(9927)34022n S S .故选：C【点晴】本题主要考查等差数列前n 项和有关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一道容易题.5.若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y 的距离为（）A.5B.5C.5D.455【答案】B 【解析】【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为 ,,0a a a ，可得圆的半径为a ，写出圆的标准方程，利用点 2,1在圆上，求得实数a 的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线230x y 的距离.【详解】由于圆上的点 2,1在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必第一象限，设圆心的坐标为,a a ，则圆的半径为a ，圆的标准方程为 222x a y a a .由题意可得 22221a a a ，可得2650a a ，解得1a 或5a ，所以圆心的坐标为 1,1或 5,5，圆心到直线230x y 距离均为255d；所以，圆心到直线230x y 的距离为5.故选：B.【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.6.数列{}n a 中，12a ，m n m n a a a ，若155121022k k k a a a ，则k （）A.2B.3C.4D.5【答案】C 【解析】分析】取1m ，可得出数列 n a 是等比数列，求得数列 n a 的通项公式，利用等比数列求和公式可得出关于k 的等式，由k N 可求得k 的值.【详解】在等式m n m n a a a 中，令1m ，可得112n n n a a a a ，12n na a，所以，数列 n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列，则1222n n n a ，1011011105101210122122212211212k k k k k k a a a a，1522k ，则15k ，解得4k .故选：C.【点睛】本题考查利用等比数列求和求参数的值，解答的关键就是求出数列的通项公式，考查计算能力，属于中等题.7.如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M ，在俯视图中对应的点为N ，则该端点在侧视图中对应的点为（）A.EB.FC.GD.H【答案】A 【解析】【分析】根据三视图，画出多面体立体图形，即可求得M 点在侧视图中对应的点.【详解】根据三视图，画出多面体立体图形，图中标出了根据三视图M 点所在位置，可知在侧视图中所对应的点为E 故选：A【点睛】本题主要考查了根据三视图判断点的位置，解题关键是掌握三视图的基础知识和根据三视图能还原立体图形的方法，考查了分析能力和空间想象，属于基础题.8.设O 为坐标原点，直线x a 与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（）A.4B.8C.16D.32【答案】B 【解析】【分析】因为2222:1(0,0)x y C a b a b ，可得双曲线的渐近线方程是b y x a，与直线x a 联立方程求得D ，E 两点坐标，即可求得||ED ，根据ODE 的面积为8，可得ab 值，根据2c ，结合均值不等式，即可求得答案.【详解】∵2222:1(0,0)x y C a b a b双曲线的渐近线方程是by x a∵直线x a 与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b的两条渐近线分别交于D ，E 两点不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限联立x ab y x a，解得x a y b故(,)D a b 联立x ab y x a，解得x a y b故(,)E a b ||2ED bODE 面积为：1282ODE S a b ab△∵双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b其焦距为28c当且仅当a b C 的焦距的最小值：8故选：B.【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.9.设函数()ln |21|ln |21|f x x x ，则f (x )（）A.是偶函数，且在1(,)2 单调递增B.是奇函数，且在11(,)22单调递减C.是偶函数，且在1(,)2单调递增D.是奇函数，且在1(,)2单调递减【答案】D 【解析】【分析】根据奇偶性的定义可判断出 f x 为奇函数，排除AC ；当11,22x时，利用函数单调性的性质可判断出 f x 单调递增，排除B ；当1,2x时，利用复合函数单调性可判断出 f x 单调递减，从而得到结果.【详解】由 ln 21ln 21f x x x 得 f x 定义域为12x x，关于坐标原点对称，又 ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x ，f x 为定义域上的奇函数，可排除AC ；当11,22x时， ln 21ln 12f x x x ， ln 21y x Q 在11,22 上单调递增， ln 12y x 在11,22上单调递减，f x 在11,22上单调递增，排除B ；当1,2x时， 212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x，2121x∵在1,2上单调递减， ln f 在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知： f x 在1,2上单调递减，D 正确.故选：D.【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据 f x 与 f x 的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.10.已知△ABC 是面积为4的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（）A.B.32C.1D.2【答案】C【解析】【分析】根据球O 的表面积和ABC 的面积可求得球O 的半径R 和ABC 外接圆半径r ，由球的性质可知所求距离d【详解】设球O 的半径为R ，则2416R ，解得：2R .设ABC 外接圆半径为r ，边长为a ，ABC ∵ 是面积为4的等边三角形，21393224a ，解得：3a ，2233r球心O 到平面ABC 的距离1d .故选：C.【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面.11.若2233x y x y ，则（）A.ln(1)0y x B.ln(1)0y x C.ln ||0x y D.ln ||0x y 【答案】A 【解析】【分析】将不等式变为2323x x y y ，根据 23t tf t 的单调性知x y ，以此去判断各个选项中真数与1的大小关系，进而得到结果.【详解】由2233x y x y 得：2323x x y y ，令 23ttf t ，2x y ∵为R 上的增函数，3x y 为R 上的减函数， f t 为R 上的增函数，x y ，0y x Q ，11y x ， ln 10y x ，则A 正确，B 错误；x y Q 与1的大小不确定，故CD 无法确定.故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到,x y 的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.12.0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列12n a a a 满足{0,1}(1,2,)i a i ，且存在正整数m ，使得(1,2,)i m i a a i 成立，则称其为0-1周期序列，并称满足(1,2,)i m i a a i 的最小正整数m 为这个序列的周期.对于周期为m 的0-1序列12n a a a ，11()(1,2,,1)mi i k i C k a a k m m 是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足1()(1,2,3,4)5C k k 的序列是（）A 11010 B.11011C.10001D.11001【答案】C 【解析】【详解】由i m i a a 知，序列i a 的周期为m ，由已知，5m ，511(),1,2,3,45i i k i C k a a k 对于选项A ，511223344556111111(1)()(10000)55555i i i C a a a a a a a a a a a a52132435465711112(2)()(01010)5555i i i C a a a a a a a a a a a a ，不满足；对于选项B ，51122334455611113(1)()(10011)5555i i i C a a a a a a a a a a a a ，不满足；对于选项D ，51122334455611112(1)()(10001)5555i i i C a a a a a a a a a a a a ，不满足；故选：C【点晴】本题考查数列的新定义问题，涉及到周期数列，考查学生对新定义的理解能力以及数学运算能力，是一道中档题.二、填空题目：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知单位向量a ，b 的夹角为45°，ka –b 与a 垂直，则k =__________.【答案】2【解析】【分析】首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数k 的值.【详解】由题意可得：211cos 452a b ，由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a，即：202k a a b k ，解得：2k .故答案为：2．【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14.4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种.【答案】36【解析】【分析】根据题意，采用捆绑法，先取2名同学看作一组，现在可看成是3组同学分配到3个小区，即可求得答案.【详解】∵4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学先取2名同学看作一组，选法有：246C 现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：336A根据分步乘法原理，可得不同的安排方法6636 种故答案为：36.【点睛】本题主要考查了计数原理的实际应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.15.设复数1z ，2z 满足12||=||=2z z ，12i z z ，则12||z z =__________.【答案】【解析】【分析】令12cos 2sin z i ，22cos 2sin z i ，根据复数的相等可求得1cos cos sin sin 2，代入复数模长的公式中即可得到结果.【详解】122z z ∵，可设12cos 2sin z i ，22cos 2sin z i ，122cos cos 2sin sin z z i i ，2cos cos 2sin sin 1，两式平方作和得： 422cos cos 2sin sin 4 ，化简得：1cos cos sin sin 2122cos cos 2sin sin z z i故答案为：.【点睛】本题考查复数模长的求解，涉及到复数相等的应用；关键是能够采用假设的方式，将问题转化为三角函数的运算问题.16.设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.p ：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.p 4：若直线l 平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l .则下述命题中所有真命题的序号是__________.①14p p ②12p p ③23p p ④34p p 【答案】①③④【解析】【分析】利用两交线直线确定一个平面可判断命题1p 的真假；利用三点共线可判断命题2p 的真假；利用异面直线可判断命题3p 的真假，利用线面垂直的定义可判断命题4p 的真假.再利用复合命题的真假可得出结论.【详解】对于命题1p ，可设1l 与2l 相交，这两条直线确定的平面为 ；若3l 与1l 相交，则交点A 在平面 内，同理，3l 与2l 的交点B 也在平面 内，所以，AB ，即3l ，命题1p 为真命题；对于命题2p ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题2p 为假命题；对于命题3p ，空间中两条直线相交、平行或异面，命题3p 为假命题；对于命题4p ，若直线m 平面 ，则m 垂直于平面 内所有直线，∵直线l 平面 ， 直线m 直线l ，命题4p 为真命题.综上可知，14p p 为真命题，12p p 为假命题，23p p 为真命题，34p p 为真命题.故答案为：①③④.【点睛】本题考查复合命题的真假，同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断，考查推理能力，属于中等题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C.（1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值.【答案】（1）23；（2）3 【解析】【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出cos A 的形式，进而求得A ；（2）利用余弦定理可得到 29AC AB AC AB ，利用基本不等式可求得AC AB 的最大值，进而得到结果.【详解】（1）由正弦定理可得：222BC AC AB AC AB ，2221cos 22AC AB BC A AC AB ， 0,A ∵，23A .（2）由余弦定理得：222222cos 9BC AC AB AC AB A AC AB AC AB ，即 29AC AB AC AB .22AC AB AC AB∵（当且仅当AC AB 时取等号）， 22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB ，解得：AC AB （当且仅当AC AB 时取等号），ABC周长3L AC AB BC ，ABC周长的最大值为3 .【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值.18.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x i ，y i )(i =1，2，…，20)，其中x i 和y i 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得20160i i x ，2011200i i y，202180i i x x （，20219000i i y y （，201))800i i i x y x y （（.（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本(x i ，y i )(i =1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.附：相关系数r)ni i x y x y（（=1.414.【答案】（1）12000；（2）0.94；（3）详见解析【解析】【分析】（1）利用野生动物数量的估计值等于样区野生动物平均数乘以地块数，代入数据即可；（2）利用公式20()()ii x x y y r 计算即可；（3）各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样.【详解】（1）样区野生动物平均数为201111200602020i i y ，地块数为200，该地区这种野生动物的估计值为2006012000（2）样本(,)i i x y的相关系数为20()()0.943i i x x y y r （3）由于各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样先将植物覆盖面积按优中差分成三层，在各层内按比例抽取样本，在每层内用简单随机抽样法抽取样本即可.【点晴】本题主要考查平均数的估计值、相关系数的计算以及抽样方法的选取，考查学生数学运算能力，是一道容易题.19.已知椭圆C 1：22221x y a b(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |.（1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程.【答案】（1）12；（2）221:13627x y C ，22:12C y x .【解析】【分析】（1）求出AB 、CD ，利用43CD AB可得出关于a 、c 的齐次等式，可解得椭圆1C 的离心率的值；（2）由（1）可得出1C 的方程为2222143x y c c，联立曲线1C 与2C 的方程，求出点M 的坐标，利用抛物线的定义结合5MF 可求得c 的值，进而可得出1C 与2C 的标准方程.【详解】（1） ,0F c ∵，AB x 轴且与椭圆1C 相交于A 、B 两点，则直线AB 的方程为x c ，联立22222221x c x y a b a b c，解得2x c b y a ，则22b AB a，抛物线2C 的方程为24y cx ，联立24x c y cx，解得2x c y c ，4CD c ，43CD AB ∵，即2843b c a，223b ac ，即222320c ac a ，即22320e e ，01e Q ，解得12e ，因此，椭圆1C 的离心率为12；（2）由（1）知2a c，b ，椭圆1C 的方程为2222143x y c c，联立222224143y cx x y c c，消去y 并整理得22316120x cx c ，解得23x c 或6x c （舍去），由抛物线的定义可得25533c MF c c ，解得3c .因此，曲线1C 的标准方程为2213627x y ，曲线2C 的标准方程为212y x .【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，同时也考查了利用抛物线的定义求抛物线和椭圆的标准方程，考查计算能力，属于中等题.20.如图，已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面是正三角形，侧面BB 1C 1C 是矩形，M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点，P 为AM 上一点，过B 1C 1和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F .（1）证明：AA 1∥MN ，且平面A 1AMN ⊥EB 1C 1F ；（2）设O 为△A 1B 1C 1的中心，若AO ∥平面EB 1C 1F ，且AO =AB ，求直线B 1E 与平面A 1AMN 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）10.【解析】【分析】（1）由,M N 分别为BC ，11B C 的中点，1//MN CC ，根据条件可得11//AA BB ，可证1MN AA //，要证平面11EB C F 平面1A AMN ，只需证明EF 平面1A AMN 即可；（2）连接NP ，先求证四边形ONPA 是平行四边形，根据几何关系求得EP ，在11B C 截取1B Q EP ，由（1）BC ⊥平面1A AMN ，可得QPN 为1B E 与平面1A AMN 所成角，即可求得答案.【详解】（1）∵,M N 分别为BC ，11B C 的中点，1//MN BB 又11//AA BB 1//MN AA 在ABC 中，M 为BC 中点，则BC AM又∵侧面11BB C C 为矩形，1BC BB 1//MN BB ∵MN BC由MN AM M ，,MN AM 平面1A AMNBC ⊥平面1A AMN又∵11//B C BC ，且11B C 平面ABC ，BC 平面ABC ，11//B C 平面ABC又∵11B C 平面11EB C F ，且平面11EB C F 平面ABC EF 11//B C EF//EF BC又BC ∵平面1A AMNEF 平面1A AMNEF ∵平面11EB C F平面11EB C F 平面1A AMN（2）连接NP∵//AO 平面11EB C F ，平面AONP 平面11EB C F NP //AO NP根据三棱柱上下底面平行，其面1A NMA 平面ABC AM ，面1A NMA 平面1111A B C A N //ON AP故：四边形ONPA 是平行四边形设ABC 边长是6m (0m )可得：ON AP ，6NP AO AB m∵O 为111A B C △的中心，且111A B C △边长为6m 16sin 603ON故：ON AP ∵//EF BC AP EP AM BM3EP 解得：EP m在11B C 截取1B Q EP m ，故2QN m∵1B Q EP 且1//B Q EP四边形1B QPE 是平行四边形，1//B E PQ由（1）11B C 平面1A AMN故QPN 为1B E 与平面1A AMN 所成角在Rt QPN △，根据勾股定理可得：PQsin10QN QPN PQ 直线1B E 与平面1A AMN 所成角的正弦值：1010.【点睛】本题主要考查了证明线线平行和面面垂直，及其线面角，解题关键是掌握面面垂直转为求证线面垂直的证法和线面角的定义，考查了分析能力和空间想象能力，属于难题.21.已知函数f (x )=sin 2x sin2x .（1）讨论f (x )在区间(0，π)的单调性；（2）证明：()8f x ；（3）设n ∈N *，证明：sin 2x sin 22x sin 24x …sin 22n x ≤34nn .【答案】（1）当0,3x时， '0,f x f x 单调递增，当2,33x 时， '0,f x f x 单调递减，当2,3x时， '0,f x f x 单调递增.（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后由导函数的零点确定其在各个区间上的符号，最后确定原函数的单调性即可；(2)首先确定函数的周期性，然后结合(1)中的结论确定函数在一个周期内的最大值和最小值即可证得题中的不等式；(3)对所给的不等式左侧进行恒等变形可得2222123sin sin sin 2sin 2sin 4sin 2sin 2sin 2n n n f x x x x x x x x x ，然后结合(2)的结论和三角函数的有界性进行放缩即可证得题中的不等式.【详解】(1)由函数的解析式可得： 32sin cos f x x x ，则： 224'23sin cos sin f x x x x2222sin 3cos sin x x x 222sin 4cos 1x x 22sin 2cos 12cos 1x x x ，'0f x 在 0,x 上的根为：122,33x x，当0,3x时， '0,f x f x 单调递增，当2,33x时， '0,f x f x 单调递减，当2,3x时， '0,f x f x 单调递增.(2)注意到 22sinsin 2sin sin 2f x x x x x f x ，故函数 f x 是周期为 的函数，结合(1)的结论，计算可得： 00f f ，233333228f ，2233333228f ，据此可得： max 338f x， min 338f x ，即 338f x .(3)结合(2)的结论有：2222sin sin 2sin 4sin 2n x x x x 233333sin sin 2sin 4sin 2n x x x x2222123sin sin sin 2sin 2sin 4sin 2sin 2sin 2n n n x x x x x x x x232sin sin 2888n x x 23338n 34n .【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4—4：坐标系与参数方程]22.已知曲线C 1，C 2的参数方程分别为C 1：224cos 4sin x y ，（θ为参数），C 2：1,1x t t y t t（t 为参数）.（1）将C 1，C 2的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C 1，C 2的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程.【答案】（1）1:4C x y ；222:4C x y ；（2）17cos 5.【解析】【分析】（1）分别消去参数 和t 即可得到所求普通方程；（2）两方程联立求得点P ，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程.【详解】（1）由22cos sin 1 得1C 的普通方程为：4x y ；由11x t t y t t 得：2222221212x t t y t t，两式作差可得2C 的普通方程为：224x y .（2）由2244x y x y 得：5232x y ，即53,22P ；设所求圆圆心的直角坐标为 ,0a ，其中0a ，则22253022a a，解得：1710a ， 所求圆的半径1710r ， 所求圆的直角坐标方程为：22217171010x y ，即22175x y x ， 所求圆的极坐标方程为17cos 5.【点睛】本题考查极坐标与参数方程的综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程、直角坐标方程化极坐标方程等知识，属于常考题型.[选修4—5：不等式选讲]23.已知函数2()|21|f x x a x a .（1）当2a 时，求不等式()4f x 的解集；（2）若()4f x ，求a 的取值范围.【答案】（1）32x x或112x；（2） ,13, .【解析】【分析】（1）分别在3x 、34x 和4x 三种情况下解不等式求得结果；（2）利用绝对值三角不等式可得到 21f x a ，由此构造不等式求得结果.【详解】（1）当2a 时， 43f x x x .当3x 时， 43724f x x x x ，解得：32x ≤；当34x 时， 4314f x x x ，无解；当4x 时， 43274f x x x x ，解得：112x；综上所述： 4f x 的解集为32x x或112x .（2） 22222121211f x x a x a x ax a a a a （当且仅当221a x a 时取等号）， 214a ，解得：1a 或3a ，a 的取值范围为 ,13, .【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.祝福语祝你马到成功，万事顺意!。

吉林省长春市（新版）2024高考数学部编版真题(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知，，，则（）A．B．C．D．第(2)题设复数满足，为虚数单位，则在复平面上对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限第(3)题已知四棱锥的底面是正方形，平面平面ABCD，，点E为PB的中点，且，则四棱锥体积的最大值为（）A．B．C．D．第(4)题的展开式中常数项为（）A．B．C．3D．5第(5)题已知抛物线的焦点为，点在上．若以为圆心，为半径的圆被轴截得的弦长为，则该圆的面积为（）A．B．C．D．第(6)题已知向量，且，则（）A．B．C．或D．或第(7)题函数的图象（）A．关于点对称B．关于直线对称C．关于点对称D．关于直线对称第(8)题若正数x，y满足，则使得不等式恒成立的的取值范围是（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知函数的图象是连续不间断的，函数的图象关于点对称，在区间上单调递增.若对任意恒成立，则下列选项中的可能取值有（）A．B．C．D．第(2)题以下四个命题中真命题是（）A．为了了解800名学生的成绩，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔为40B．线性回归直线恒过样本点的中心C．随机变量服从正态分布，若在内取值的概率为0.1，则在内的概率为0.4D．概率值为零的事件是不可能事件第(3)题已知椭圆的上顶点为，右顶点为A，左、右焦点分别为，．若P为C上与点A，B不重合的动点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，则（）A．C的方程为B．面积的最大值为2C．坐标原点O到直线AB的距离为D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知函数，若存在三个互不相等的实数，使得成立，则实数的取值范围是__________．第(2)题已知向量满足，若的最大值为，则向量的夹角的最小值为__________，的取值范围为__________．第(3)题已知双曲线的离心率，则一条渐近线与实轴所成角的取值范围是______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）若，证明：．第(2)题如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，侧棱底面，且，E是侧棱上的动点.(1)求四棱锥的体积;(2)如果E是的中点，求证: 平面;(3)是否不论点E在侧棱的任何位置，都有?证明你的结论.第(3)题如图，在底面为矩形的四棱锥中，PA⊥底面．(1)证明：平面PAD⊥平面PCD．(2)若E在棱AD上，且，求PE与平面PBD所成角的正弦值．第(4)题锚定2060碳中和，中国能源演进“绿之道”，为响应绿色低碳发展的号召，某地在沙漠治理过程中，计划在沙漠试点区域四周种植红柳和梭梭树用于防风固沙，中间种植适合当地环境的特色经济作物，通过大量实验发现，单株经济作物幼苗的成活率为0.8，红柳幼苗和梭梭树幼苗成活的概率均为p，且已知任取三种幼苗各一株，其中至少有两株幼苗成活的概率不超过0.896．(1)当p最大时，经济作物幼苗的成活率也将提升至0.88，求此时三种幼苗均成活的概率（）；(2)正常情况下梭梭树幼苗栽种5年后，其树杆地径服从正态分布（单位：mm）．㈠梭梭树幼苗栽种5年后，若任意抽取一棵梭梭树，则树杆地径小于235mm的概率约为多少？（精确到0.001）㈡为更好地监管梭梭树的生长情况，梭梭树幼苗栽种5年后，农林管理员随机抽取了10棵梭梭树，测得其树杆地径均小于235mm，农林管理员根据抽检结果，认为该地块土质对梭梭树的生长产生影响，计划整改地块并选择合适的肥料，试判断该农林管理员的判断是否合理？并说明理由．附：若随机变量Z服从正态分布，则，，．第(5)题已知函数，.(1)若图像在处的切线过点，求切线方程；(2)当时，若，求证：.。

吉林省长春市（新版）2024高考数学部编版质量检测(评估卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知，i为虚数单位，则（）A．B．C．D．第(2)题已知函数，若方程有4个不同的根，，，，且，则的取值范围是（）A．B．C．D．第(3)题在给出的（1）（2）（3）.三个不等式中，正确的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个第(4)题已知，则（）A．B．C．D．第(5)题若复数z满足，则在复平面内与复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限第(6)题已知函数是定义在上的奇函数，且的图象关于对称．若，则（）A．3B．2C．0D．50第(7)题已知双曲线的渐近线经过点，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．第(8)题已知向量，若，则（）A．B．C．5D．6二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知正方体的棱长为为空间中任一点，则下列结论中正确的是（）A．若为线段上任一点，则与所成角的范围为B．若为正方形的中心，则三棱锥外接球的体积为C．若在正方形内部，且，则点轨迹的长度为D ．若三棱锥的体积为恒成立，点轨迹的为椭圆的一部分第(2)题设椭圆C：的左､右焦点分别为､，上､下顶点分别为､，点P是C上异于､的一点，则下列结论正确的是（）A．若C的离心率为，则直线与的斜率之积为B．若，则的面积为C．若C上存在四个点P使得，则C的离心率的范围是D．若恒成立，则C的离心率的范围是第(3)题函数与函数的图象关于点对称，，则（）A ．函数的图象可由函数向右平移个单位长度得到B．函数的图象向右平移个单位长度为偶函数的图象C ．函数的图象关于直线对称D．的所有实根之和为2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知椭圆的左、右焦点分别为，过且与轴垂直的直线交椭圆于两点，直线与椭圆的另一个交点为C，若，则椭圆的离心率为_____ .第(2)题已知函数，．若，，使得，则实数的最大值为________．第(3)题若复数（为虚数单位），则___________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题在中，内角的对边分别为，且．(1)求角；(2)若，且，求的最小值．第(2)题已知.（1）当，时，解不等式；（2）若的最小值为2，求的最小值.第(3)题长方形中，，点为中点（如图1），将点绕旋转至点处，使平面平面（如图2）．(1)求证：；(2)点在线段上，当二面角大小为时，求四棱锥的体积．第(4)题在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程：（为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程；（2）过曲线上一点作直线与曲线交于两点，中点为，，求的最小值.第(5)题2019年3月5日，国务院总理李克强作出的政府工作报告中，提到要“惩戒学术不端，力戒学术不端，力戒浮躁之风”．教育部2014年印发的《学术论文抽检办法》通知中规定：每篇抽检的学术论文送3位同行专家进行评议，3位专家中有2位以上（含3位）专家评议意见为“不合格”的学术论文，将认定为“存在问题学术论文”．有且只有1位专家评议意见为“不合格”的学术论文，将再送另外2位同行专家（不同于前3位专家）进行复评，2位复评专家中有1位以上（含1位）专家评议意见为“不合格”的学术论文，将认定为“存在问题学术论文”．设每篇学术论文被每位专家评议为“不合格”的概率均为，且各篇学术论文是否被评议为“不合格”相互独立．（1）若，求抽检一篇学术论文，被认定为“存在问题学术论文”的概率；（2）现拟定每篇抽检论文不需要复评的评审费用为900元，需要复评的总评审费用1500元；若某次评审抽检论文总数为3000篇，求该次评审费用期望的最大值及对应的值．。

吉林省长春市（新版）2024高考数学部编版考试(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题若直线与曲线相切，则k的取值范围是（）A．B．C．D．第(2)题设函数，其中，，存在使得成立，则实数的值为A．B．C．D．第(3)题已知是自然对数的底数，当时，若关于的不等式的解集非空，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．第(4)题记为等差数列的前项和，若，则（）A．20B．16C．14D．12第(5)题已知△ABC的外接圆半径长为1，则的最小值为（）A．B．C．D．第(6)题已知函数，若函数在内恰有5个零点，则a的取值范围是（）A．B．C．D．第(7)题中国空间站的主体结构包括天和核心舱､问天实验舱和梦天实验舱.假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁4名航天员开展实验，其中天和核心舱安排2人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人.若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（）种A．8B．10C．16D．20第(8)题偶函数在区间上是增函数，且，则不等式的解集为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知抛物线和的焦点分别为，动直线与交于两点，与交于两点，其中，且当过点时，，则下列说法中正确的是（）A．的方程为B ．已知点，则的最小值为3C．D．若，则与的面积相等第(2)题若，则下列不等关系中，一定成立的是（）A．B．C．D．第(3)题设函数，，下列说法正确的是（）A．当时，的图象关于直线对称B ．当时，的图象关于点成中心对称C ．当时，在上单调递增D．若在上的最小值为－2，则的取值范围为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题记等差数列的前项和为，若，，则公差______；使取得最小值的值为______.第(2)题在的展开式中，常数项为___________.第(3)题点，分别是椭圆的左、右两焦点，点为椭圆的上顶点，若动点满足：，则的最大值为__________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题在直角坐标系中，已知曲线C：（其中），曲线C上的点A、B满足，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C的极坐标方程；(2)求面积的最大值．第(2)题2022年北京冬奥会的成功举办，带动中国3亿多人参与冰雪运动，这是对国际奥林匹克运动发展的巨大贡献．2020《中国滑雪产业白皮书》显示，2020-2021排名前十的省份的滑雪人次（单位：万人次）数据如下表：排名省份2020-20212019-20202018-20191河北2211362352吉林2021232073北京1881121864黑龙江1491011955新疆133761166四川9952697河南9858958浙江94621089陕西79477610山西7839100(1)从滑雪人次排名前10名的省份中随机抽取1个省份，求该省2020-2021滑雪人次大于2018-2019滑雪人次的概率；(2)从滑雪人次排名前5名的省份中随机选取3个省份，记这3个省份中2020-2021的滑雪人次超过150万人次的省份数为X，求X的分布列和数学期望；(3)记表格中2020-2021， 2019-2020两组数据的方差分别为与，试判断和的大小．结论不要求证明第(3)题如图，点均在轴的正半轴上，，，…，分别是以为边长的等边三角形，且顶点均在函数的图象上．(1)求第个等边三角形的边长；(2)求数列的前项和．第(4)题如图，直三棱柱中，，且．(1)证明：平面；(2)，分别为棱，的中点，点在线段上，若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值．第(5)题已知函数（其中），.(1)当时，求函数的图象在点处的切线方程；(2)当时，若恒成立，求的取值范围.。

长春市数学高考理数真题试卷（新课标Ⅱ卷）B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题：在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高一上·长春月考) 若，则函数（）A . 有最小值，无最大值B . 有最小值，最大值1C . 有最小值1，最大值D . 无最小值，也无最大值2. （2分）(2017·成安模拟) 已知复数为纯虚数，那么实数a的值为（）A . ﹣1B . 0C . 1D . 23. （2分） (2019高一下·佛山月考) 已知等比数列中，有，数列是等差数列，其前项和为，且，则（）A . 26B . 52C . 78D . 1044. （2分） (2015高二上·西宁期末) 对于平面α，β，γ和直线a，b，m，n，下列命题中真命题是（）A . 若α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，则a∥bB . 若a∥b，b⊂α，则a∥αC . 若a⊂β，b⊂β，a∥α，b∥α，则β∥αD . 若a⊥m，a⊥n，m⊂α，n⊂α，则a⊥α5. （2分）的展开式中，x4的系数为（）A . －40B . 10C . 40D . 456. （2分）根据如图所示的程序，当输入a，b分别为2，3时，最后输出的m的值是（）A . 0B . 2C . 3D . 17. （2分） (2016高一下·黔东南期末) 已知某几何体的正（主）视图，侧（左）视图和俯视图均为边长为1的正方形（如图），若该几何体的顶点都在同一球面上，则此球的表面积为（）A . 4πB . 3πC . 2πD . π8. （2分） (2017高一下·怀远期中) 已知a＞b＞0，则下列结论中不正确的是（）A . ＜B . ＞C . ＜D . log0.3 ＜log0.39. （2分）(2017·万载模拟) 在区间[0，2]上任取两个实数a，b，则函数f（x）=x3+ax﹣b在区间[﹣1，1]上有且只有一个零点的概率是（）A .B .C .D .10. （2分） (2015高二下·和平期中) 若函数f（x）=x3﹣3ax+1在区间（0，1）内有极小值，则a的取值范围是（）A . （0，1）B . （0，1]C . [0，1）D . [0，1]11. （2分） (2017高二上·南宁月考) 已知抛物线上一点到焦点的距离为5，则的面积为（）A . 1B . 2C . 3D . 412. （2分）已知直线与圆相切，且与直线平行，则直线的方程是（）A .B . 或C .D . 或二、填空题 (共4题；共5分)13. （2分）在等腰梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB=4，BC=2，∠ABC=60°，动点E和F分别在线段BC和DC 上，且=λ，=，则•当λ=________时有最小值为________14. （1分） (2017高一下·衡水期末) 一个均匀的正四面体的表面上分别标有数字1，2，3，4，现随机投掷两次，得到朝下的面上的数字分别为a，b，若方程x2﹣ax﹣b=0至少有一根m∈{1，2，3，4}，就称该方程为“漂亮方程”，则方程为“漂亮方程”的概率为________．15. （1分） (2020高一上·铜仁期末) 已知，则 ________.16. （1分） (2016高三上·承德期中) 已知等差数列{an}满足：，且它的前n项和Sn有最大值，则当Sn取到最小正值时，n=________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤： (共8题；共75分)17. （10分） (2018高二上·南宁月考) 在中，内角所对的边分别为，已知.（1）求角的大小；（2）若，求的值.18. （5分） (2017高二上·信阳期末) 已知直棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=CC1= AB，E是线段CC1的中点，连接AE，B1E，AB1 ， B1C，BC1 ，得到的图形如图所示．（Ⅰ）证明BC1⊥平面AB1C；（Ⅱ）求二面角E﹣AB1﹣C的大小．19. （5分）(2017·石家庄模拟) 某篮球队对篮球运动员的篮球技能进行统计研究，针对篮球运动员在投篮命中时，运动员在篮筐中心的水平距离这项指标，对某运动员进行了若干场次的统计，依据统计结果绘制如下频率分布直方图：（Ⅰ）依据频率分布直方图估算该运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离的中位数；（Ⅱ）在某场比赛中，考察他前4次投篮命中到篮筐中心的水平距离的情况，并且规定：运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离不少于4米的记1分，否则扣掉1分．用随机变量X表示第4次投篮后的总分，将频率视为概率，求X的分布列和数学期望．20. （10分） (2016高二上·大连期中) 已知椭圆的焦点在x轴上，短轴长为4，离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线l过该椭圆的左焦点，交椭圆于M、N两点，且，求直线l的方程．21. （10分）(2018·广安模拟) 已知函数（为自然对数的底数）（1）讨论函数的单调性；（2）当且时，在上为减函数，求实数的最小值.22. （15分）如图所示，BC 为⊙O 的直径，，以点 A 为切点的切线与 CD 的延长线交于点E（1）∠AED 是否等于90°？为什么？（2）若 AD=2 ，ED：EA=1：2，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，求∠CAD的正弦值．23. （10分） (2016高三上·闽侯期中) 已知在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（1）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）设M是直线l上任意一点，过M做圆C切线，切点为A、B，求四边形AMBC面积的最小值．24. （10分） (2017高二下·赤峰期末) 已知函数是自然对数的底数， .（1）求函数的单调递增区间；（2）若为整数，，且当时，恒成立，其中为的导函数，求的最大值.参考答案一、选择题：在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 (共12题；共24分) 1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤： (共8题；共75分) 17-1、17-2、18-1、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、23-1、23-2、24-1、24-2、。

答案第 4页，共 4页
种
C．
C30 400
C30 200
种
D．
C
40 400
C20 200
种
4．若
f
x
x
a ln
2x 2x
1 1
为偶函数，则 a
（
）
A． 1
B．0
C． 1
2
D．1
5．已知椭圆 C
:
x2 3
y2
1
的左、右焦点分别为
F1 ，F2 ，直线
y
x
m与
C
交于
A，B
两点，若 △F1AB
面积是△F2 AB
面积的 2 倍，则 m （
）
A．2
B．1
C． 2
3
D． 1
3．某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两
层共抽取 60 名学生，已知该校初中部和高中部分别有 400 名和 200 名学生，则不同的抽样结果共有（
）
A．
C45 400
C15 200
种
B．
C2：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．已知向量
a
，
b
满足
a
b
3，
a
b
2a
b
，则
b
14．底面边长为 4 的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为 2，高为 3 的正四棱锥，所得棱台
的体积为
15．已知直线 l : x my 1 0 与 C : x 12 y2 4 交于 A，B 两点，写出满足“ ABC 面积为 8 ”的 m 的一个值

吉林省长春市（新版）2024高考数学人教版测试(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题设实数，已知函数f(x)=，若函数在区间上有两个零点，则的取值范围是（）A．B．C．D．第(2)题已知函数，，实数，满足，若，，使得成立，则的最大值为（）A．1B．C．D．第(3)题记为数列的前项和，设甲：为等差数列，乙：（其中），则下列说法正确的是（）A．甲是乙的充分不必要条件B．甲是乙的必要不充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲是乙的既不充分也不必要条件第(4)题设是定义在R上的偶函数，且当时，.若对任意的，不等式恒成立，则实数a的最大值是（）A．B．C．D．2第(5)题已知命题，则命题的否定为（）A．B．C．D．第(6)题若，则的大小关系为（）A．B．C．D．第(7)题已知函数在定义域内单调递增，则的最小值为（）A．B．C．D．第(8)题若的展开式中常数项为，则的最小值为（）A．1B．2C．3D．4二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知P为抛物线上的动点，为坐标原点，在抛物线C上，过抛物线C的焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，，则（）A．的最小值为4B．若线段AB的中点为M，则弦长AB的长度为8C．若线段AB的中点为M，则三角形OAB的面积为D．过点作两条直线与抛物线C分别交于点G，H，且满足EF平分，则直线GH的斜率为定值第(2)题近年来，加强青少年体育锻炼，重视体质健康已经在社会形成高度共识，某校为了了解学生的身体素质状况，举行了一场身体素质体能测试，以便对体能不达标的学生进行有效的训练，促进他们体能的提升，现从全部测试成绩中随机抽取200名学生的测试成绩，进行适当分组后，画出如下频率分布直方图，则（）A．B．在被抽取的学生中，成绩在区间内的学生有70人C．估计全校学生体能测试成绩的平均数为77.5D．估计全校学生体能测试成绩的69%分位数为84第(3)题下列说法正确的是（）A．展开式中的常数项为B．展开式中的各项系数之和为1C．展开式中的系数为40D．展开式中的二项式系数之和为32三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是__________.第(2)题《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马.若从一个阳马的8条棱中任取2条，则这2条棱所在直线互相垂直的概率为__________.第(3)题已知，，则______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知椭圆的离心率为，、分别是左、右焦点，、为椭圆上的任意两点，当固定为上顶点时，线段长度的最大值为．(1)求椭圆的标准方程；(2)若、均在轴上方，圆上是否存在点，使得、、三点共线，、、三点共线，且，请说明理由．第(2)题四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝BC＝1，PA＝CD＝2，PA⊥平面ABCD，E在棱PB上．（Ⅰ）求证：AC⊥PD；（Ⅱ）若V P﹣ACE，求证：PD∥平面AEC．第(3)题已知点在上,以R为切点的的切线的斜率为,过外一点A(不在x轴上)作的切线､,点B､C为切点,作平行于的切线(切点为D),点M､N分别是与､的交点(如图).(1)用B､C的纵坐标s､t表示直线的斜率;(2)设三角形面积为S,若将由过外一点的两条切线及第三条切线(平行于两切线切点的连线)围成的三角形叫做“切线三角形”,如,再由M､N作“切线三角形”,并依这样的方法不断作切线三角形…,试利用“切线三角形”的面积和计算由抛物线及所围成的阴影部分的面积T.第(4)题在中，有．（1）求B；（2）若，角B的角平分线BD交AC于D，，求边AD的长．第(5)题已知椭圆C：=1(a>b>0)的左焦点为F，离心率为，过点F且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，|AB|=3.（1）求椭圆C的方程；（2）过F点作相互垂直的弦DE，MN，设DE，MN的中点分别为P，Q，当△FPQ的面积最大时，证明：点P，Q关于x轴对称.。

吉林省长春市（新版）2024高考数学人教版真题(评估卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题命题“若，则”的否命题是（）A．若，则B．若，在C．若，则D．若，在第(2)题千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小波同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，观察了地区A的100天日落和夜晚天气，得到如下2×2列联表（单位：天），并计算得到，下列小波对地区A天气的判断不正确的是（）日落云里走下雨未下雨夜晚天气出现255未出现2545参考公式：临界值参照表：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828A．夜晚下雨的概率约为B．未出现“日落云里走”，夜晚下雨的概率约为C．据小概率值的独立性检验，认为“日落云里走”是否出现与夜晚天气有关D．出现“日落云里走”，据小概率值的独立性检验，可以认为夜晚会下雨第(3)题已知m、n是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列命题：①若mα，n∥α，则m∥n；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若α∩β=n，m∥n，则m∥α且m∥β；④若m⊥α，m⊥β，则α∥β.其中真命题的个数是（）A．0B．1C．2D．3第(4)题设函数在区间恰有3个极值点，2个零点，则的取值范围是（）A．B．C．D．第(5)题某对新婚夫妇响应国家号召，计划生育3个孩子，若每胎只有一个孩子，且每胎生男生女的概率相同，记事件A为“3个孩子中有男有女”，则（）A．B．C．D．第(6)题已知幂函数的图象过点，则（）A．B．1C．2D．3第(7)题在中，若，则的面积的最大值为（）A．B．C．D．第(8)题“”是“”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知a，b，c为三条不同的直线，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则第(2)题“阿基米德多面体”是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．某天小明在广场上发现了如图1所示的一个石凳，其形状是将一个正方体沿交于同一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”（如图2所示）．小明用卷尺测量出这个石凳的高度为50cm，他给出了如下判断，请你指出小明的哪些判断是正确的（）A．这个石凳共有24条棱，12个顶点，14个面B．一个体积为1立方米的正方体石料可以切割出8个这样的石凳（不计损耗）C．这个石凳也可以由一个直径为70cm的球形石料切割而成（不计损耗）D．如果将这个石凳三角形的那个面水平放置，石凳的高度会增加第(3)题定义在上的函数满足，且.若，则下列说法正确的是（）A．为的一个周期B．C．若，则D ．在上单调递增三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知曲线在处的切线与圆相交于、两点，则____________．第(2)题利用等面积法可以推导出在边长为a的正三角形内任意一点到三边的距离之和为定值，类比上述结论，利用等体积法进行推导，在棱长为a的正四面体内任意一点到四个面的距离之和也为定值，则这个定值是______第(3)题已知集合，则__________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知数列、满足：，，，．（1）求，，，；（2）求证：数列是等差数列，并求的通项公式；（3）设，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．第(2)题在平面直角坐标系xOy内，动点P到定点F（﹣1，0）的距离与P到定直线x=﹣4的距离之比为.（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）若轨迹C上的动点N到定点M（m，0）（0＜m＜2）的距离的最小值为1，求m的值.（3）设点A、B是轨迹C上两个动点，直线OA、OB与轨迹C的另一交点分别为A1、B1，且直线OA、OB的斜率之积等于，问四边形ABA1B1的面积S是否为定值？请说明理由.第(3)题某广告公司设计一块周长为8米的巨型广告牌，广告设计费为每平米1000元，设矩形一边长为x米，面积为S平方米，（1）求S与x的函数关系式及x的取值范围；（2）为使广告费用最多，广告牌的长和宽分别为多少米？求此时的广告费.第(4)题如图，在正四棱台中，，，是的中点．(1)求证：直线平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值第(5)题在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知的外接圆的面积为，．(1)求c的值；(2)已知，角A的平分线AD交BC于点D，求与的面积之比．。

吉林省长春市（新版）2024高考数学部编版真题(强化卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知正数满足，则（）A．B．C．D．第(2)题函数A．是偶函数，在区间上单调递增B．是偶函数，在区间上单调递减C．是奇函数，在区间上单调递增D．是奇函数，在区间上单调递减第(3)题在等腰梯形中，，，点是线段上靠近的三等分点，则（）A．B．C．D．第(4)题人们通常把顶角为的等腰三角形称为黄金三角形，因为它的底边和腰长的比值等于黄金分割比，我们熟悉的五角星就是由5个黄金三角形和1个正五边形组成的，如图，就是一个黄金三角形，根据以上信息，可得（）A．B．C．D．第(5)题已知，则（）A．B．C．D．第(6)题若二项式的展开式中只有第3项的二项式系数最大，则展开式中项的系数为（）A．32B．C．16D．第(7)题，则（）A．B．C．D．第(8)题已知为第四象限角，且，则（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球的半径为R，A，B，为球面上三点，劣弧BC的弧长记为，设表示以为圆心，且过B，C的圆，同理，圆的劣弧的弧长分别记为，曲面（阴影部分）叫做曲面三角形，，则称其为曲面等边三角形，线段OA，OB，OC与曲面围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面．设，则下列结论正确的是（）A．若平面是面积为的等边三角形，则B．若，则C ．若，则球面的体积D ．若平面为直角三角形，且，则第(2)题已知在直三棱柱中，，直线与底面ABC所成角的正弦值为，则（）A．直三棱柱的体积为B．点到平面的距离为C．当点为线段的中点时，平面平面D．E，F分别为棱上的动点，当取得最小值时，第(3)题已知全集U的两个非空真子集A，B满足，则下列关系一定正确的是（）A．B．C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题在平面直角坐标系中，曲线（为参数）的普通方程为___________.第(2)题请写出一个满足下列3个条件的函数的表达式__________.①；②在上单调递减；③.第(3)题已知定义在上的函数是奇函数，当时，，则不等式的解集为______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题在直角坐标系中，曲线（为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的极坐标方程.（2）已知点，直线的极坐标方程为，它与曲线的交点为，与曲线的交点为，求的面积.第(2)题已知平面四边形的对角线分别为，，其中．(1)探究：是否为直角三角形；若是．请说明哪个角为直角，若不是，请给出相关理由；(2)记平面四边形的面积为S，若，且恒有，求实数λ的取值范围．第(3)题从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛．设随机变量表示所选3人中女生的人数，求的分布.第(4)题近两年来，自行车的市场占有率在不断提升，随着人们的健康意识不断增强，骑自行车不仅仅是人们出行的交通方式，也渐渐成为一种新颖的运动，越来越多的人加入了骑行一族．在某地区随机调查了100位自行车骑行者的年龄分布情况，得到如图所示的样本数据频率分布直方图．(1)数据显示，该地区年龄在岁内的人口占比为12%，该地区自行车骑行率约为13%，从该地区任选一人，已知此人年龄在内，求此人是自行车骑行者的概率；(2)对这100位自行车骑行者进行统计，骑行频率次/周的共有70人，其中年龄在40岁以下的占80%．请完成以下列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断骑行频率与年龄是否有关联．年龄骑行频率年龄合计岁岁次/周次/周合计附：，其中．0.0500.0100.0013.8416.63510.828第(5)题记等比数列前n项的和为，已知，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前10项和。

吉林省长春市（新版）2024高考数学部编版真题(备考卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题下列说法中，正确的命题是（）A．在独立性检验中，由列联表计算得到，则的值越大，判断两个变量相关的概率越小B．满足直线方程的两个变量，呈正相关关系C．正态分布的图象越瘦高，越小D．回归直线至少经过散点图中的一个点第(2)题“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件第(3)题已知双曲线，若一过焦点F的斜率的直线与双曲线交于A、B两点（A、B在同一支上），且满足，则双曲线的离心率（）A．B．C．D．第(4)题如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（）A．B．C．D．第(5)题如果分别是的对立事件，下列选项中不能判断件与事件相互独立的是（）A．B．C．D．第(6)题若复数的实部与虚部相等，则实数m的值为（）A．B．C．1D．3第(7)题在母线长为4，底面直径为6的一个圆柱中挖去一个体积最大的圆锥后，得到一个几何体，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．第(8)题已知复数()是纯虚数，则（）A．1B．C．0D．2二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题瑞士著名数学家欧拉在年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作，，点，点，且其“欧拉线”与圆相切，则下列结论正确的是（）A．的“欧拉线”方程为B ．圆上点到直线的最大距离为C ．若点在圆上，则的最小值是D ．圆与圆有公共点，则的取值范围是第(2)题已知的内角所对的边分别为，若，且，则下列结论正确的是（ ）A ．的三边一定构成等差数列B ．的三边一定构成等比数列C ．面积的最大值为D ．周长的最大值为第(3)题以下函数满足对任意其定义域上的，都有的有（ ）A ．B ．C ．D ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题过点(0，1)，且与直线垂直的直线方程为_______________第(2)题已知集合，且，则实数的取值范围是______.第(3)题已知数列{}的前n 项和为，且满足，则=___________四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题某小区毗邻一条公路，为了解交通噪声，连续天监测噪声值（单位：分贝），得到频率分布直方图（图甲）.发现噪声污染严重，经有关部门在公路旁加装隔声板等治理措施后，再连续天监测噪声值，得到频率分布直方图（图乙）.把同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，请解答下列问题：(1)根据图乙估算出该小区治理后平均噪声值为分贝，估计治理后比治理前的平均噪声值降低了多少分贝？(2)国家“城市区域环境噪声”规定：重度污染：分贝；中度污染：分贝；轻度污染：分贝；较好：分贝；好：分贝.把上述两个样本数据的频率视为概率，根据图甲估算出该小区噪声治理前一年内（天）噪声中度污染以上的天数为天，根据图乙估计一年内（天）噪声中度污染以上的天数比治理前减少了多少天？（精确到天）第(2)题已知抛物线的焦点为.过的直线交抛物线于位于第一象限）两点，且满足.（1）若，求直线的方程；（2）若线段位于直线的下方，过点分别作直线的垂线，垂足分别为.求四边形的面积的最大值.第(3)题记，若存在，满足：对任意，均有，则称为函数在上的最佳逼近直线.已知函数，.(1)请写出在上的最佳逼近直线，并说明理由；(2)求函数在上的最佳逼近直线.第(4)题已知函数，其中为自然对数的底数．(1)讨论的单调性；(2)若方程有两个不同的根．(i)求的取值范围；(ii)证明：．第(5)题已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若函数的最大值为，且，求最小值.。

吉林省长春市（新版）2024高考数学部编版测试(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知函数的图象经过点和.若函数在区间上有唯一零点，则实数的取值范围是A．B．C．D．第(2)题在正方体中，分别为，的中点，则下列结论正确的个数为（）①平面；②；③直线与所成角的余弦值为④过三点的平面截正方体所得的截面为梯形A．1B．2C．3D．4第(3)题如图，在直角坐标系中，过坐标原点作曲线的切线，切点为，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，向矩形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为A．B．C．D．第(4)题设集合，则（）A．B．C．D．第(5)题已知直线和平面满足,则（）A．B．或C．D．或第(6)题已知函数的零点是以为公差的等差数列.若在区间上单调递增，则α的取值范围为（）A．B．C．D．第(7)题在直角坐标系内，函数的图象（）A．关于坐标轴、原点都不对称B．关于原点对称C．关于x轴对称D．关于y轴对称第(8)题一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示. 则该几何体的体积为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情，某校举办了“学党史、育文化”暨“喜迎党的二十大”党史知识竞赛，并将师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的是（）A．a的值为0.005B．这组数据的极差为60C．样本数据的平均数为70D．这组数据的第85百分位数为86第(2)题袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量X为其中白球的个数，随机变量Y为其中黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量Z为取出4个球的总得分，则下列结论中正确的是（）A．B．C．D．第(3)题半圆形量角器在第一象限内，且与轴、轴相切于D、E两点．设量角器直径，圆心为，点为坐标系内一点．下列选项正确的有（）A．点坐标为B．C．D．若最小，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题设，直线，直线，记分别过定点，且与的交点为，则的最大值为__________.第(2)题已知双曲线的两条渐近线互相垂直，则_________．第(3)题在空间直角坐标系中，设，，，的中点为，则_______________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题设数列的前项和为，，当时，．（1）若，求及；（2）求的通项公式．第(2)题在递增的等比数列中，前n项和为，若，.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前n项和.第(3)题记的内角的对边分别为，已知．(1)求角；(2)若，点为的重心，且，求的面积．第(4)题在中，内角所对的边分别是，已知．(1)求角；(2)设边的中点为，若，且的面积为，求的长．第(5)题已知数列的前项和，数列满足，且．(1)求数列和的通项公式；(2)设，求数列的前项和．。