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苏教版高中数学必修五-综合练习四.docx

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高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作数学必修五-综合练习四A 卷一．选择题(本大题共11小题，每小题5分，共55分).1．如果R b a ∈,，并且b a >，那么下列不等式中不一定能成立的是（ ） A.b a -<- B.21->-b a C.a b b a ->- D.ab a >22．等比数列{}n a 中，5145=a a ，则111098a a a a =（ ）A.10B.25C.50D.75 3．在ABC ∆中,若b 2 + c 2 = a 2 + bc , 则A =( ) A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．120︒4．已知数列{}n a 中，11=a ，31+=+n n a a ，若2008=n a ，则n =（ ） A.667 B.668 C.669 D.670 5．等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若,100,302==n n S S 则=n S 3（ ） A.130 B.170 C.210 D.260 6．在⊿ABC 中，A =45°,B =60°,a=2，则b 等于（ ）A.6B.2C.3D. 627．若将20，50，100都分别加上同一个常数，所得三个数依原顺序成等比数列，则此等比数列的公比是（ ） A.21 B. 23 C. 34 D. 35 8．关于x 的不等式x x x 352>--的解集是（ ）A.}1x 5{-≤≥或x xB.}1x 5{-<>或x xC.}5x 1{<<-xD.}5x 1{≤≤-x9．在一幢10米高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为060，塔基的俯角为045，那么这座塔吊的高是( ) A.)331(10+B.)31(10+C.)26(5+D.)26(2+ 10．已知+∈R b a ,且111=+ba ，则b a +的最小值为（ ） A.2 B.8 C. 4D. 111已知约束条件2828,x y x y x N y N +++≤⎧⎪+≤⎨⎪∈∈⎩，目标函数z=3x+y ，某学生求得x =38， y=38时，z max =323，这显然不合要求，正确答案应为( )A. x =3, y=3 , z max =12B. x =3, y=2 , z max =11.C. x =2, y= 3 , z max = 9.D. x =4, y= 0 , z max = 12. 二、填空题（共2小题，每小题5分，共10分） 12．在⊿ABC 中，5:4:21sin :sin :sin =C B A ，则角A =13．某校要建造一个容积为83m ，深为2m 的长方体无盖水池，池底和池壁的造价每平方米分别为240元和160元，那么水池的最低总造价为 元。

三、解答题(本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)14．(本题11分）已知数列{}n a 的前n 项和为,2n n S n +=（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n b na n +=)21(，求数列{}n b 的前n 项和n T 。

15．（本题12分）在△ABC 中，10=+b a ，cosC 是方程02322=--x x 的一个根，求 ①角C 的度数②△ABC 周长的最小值。

16．（本题12分）某人承揽一项业务，需做文字标牌4个，绘画标牌5个，现有两种规格的原料，甲种规格每张3m 2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个，乙种规格每张2m 2，可做文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张，才能使总的用料面积最小？B 卷一．填空题(本大题共3小题，每小题4分，共12分)17．已知数列{n a }的前n 项和为S n ，若a 1 = -2 ,a 2=２, 且a n + 2－a n ＝１＋(-1)n则S 50 =18．已知三角形两边长分别为2和23，第三边上的中线长为2，则三角形的外接圆半径为 19.不等式3|2|<++m y x 表示的平面区域包含点)0,0(和点),1,1(-则m 的取值范围是 二．解答题(本大题共3小题，共38分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤) 20.( 12分)在△ABC 中，sinA+cosA=22，AC=2，AB=3，求① tanA 的值 ; ② △ABC 的面积..21. (本小题满分12分)过点P （1，4）作直线L ，直线L 与x,y 的正半轴分别交于A,B 两点，O 为原点, ① △ABO 的面积为S ，求S 的最小值并求此时直线l 的方程； ② ②当|OA|+|OB|最小时，求此时直线L 的方程22. (本小题满分14分) 已知数列}2{1n n a ⋅-的前n 项和S n =9-6n ．（1）求数列}{n a 的通项公式．（2）设)3||log 3(2n n a n b -=，求数列}1{n b 的前n 项和．2009届六安二中高三文1、2、8必修五综合练习3答案 2008-5-30一、选择题(本大题共11小题，每小题5分，共55分).题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案DBCDCADBBCB二、填空题(本大题共2小题，每小题5分，共10分) 12．060 ； 13．3520； 三、解答题(本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 14．解：（1）当1=n 时，,21=a ………………………1分当2≥n 时，,2)1()1(221n n n n n S S a n n n =----+=-=-也适合1=n 时，∴n a n 2= …………………………5分（2）n n b n a n n+=+=)41()21(，………………………6分∴2)1(411))41(1(41)21()41()41(412++--=+++++++=n n n T n n n ……9分 2)1())41(1(31++-=n n n ……11分 15．解：①02322=--x x 21,221-==∴x x ……2分又C cos 是方程02322=--x x 的一个根 21cos -=∴C ，在△ABC 中∴C = 120度…6分② 由余弦定理可得：()ab b a ab b a c -+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∙-+=2222212即：()()7551010022+-=--=a a a c ……8分当5=a 时，c 最小且3575==c 此时3510+=++c b a ……10分∴ △ABC 周长的最小值为3510+……12分16．解：设需要甲种原料x 张，乙种原料y 张，则可做文字标牌(x ＋2y)个，绘画标牌(2x ＋y)个． 由题意可得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+04252y x y x y x …………5分所用原料的总面积为z ＝3x ＋2y ，作出可行域如图，…………8分在一组平行直线3x ＋2y ＝t 中，经过可行域内的点且到原点距离最近的直线过直线2x ＋y ＝5和直线x ＋2y ＝4的交点(2，1)，∴最优解为：x ＝2，y ＝1………10分 ∴使用甲种规格原料2张，乙种规格原料1张，可使总的用料面积最小． ………12分B 卷一、填空题(本大题共3小题，每小题4分，共12分)17．600． 18． 2 ． 19．理：2．文：（-2 ，3 ）二、解答题(本大题共3小题，共38分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)20(本小题满分12分)解：①∵sinA+cosA=2cos(A －45°)=22， ∴cos(A －45°)= 21.………2分 又0°<A<180°, ∴A －45°=60°，A=105°. ……… 4分 ∴tanA=tan(45°+60°)=3131-+=－2－3.………6分② sinA=sin105°=sin(45°+60°)=sin45°cos60°+cos45°sin60°=462+.……… 9分 ∴S ABC =21AC ·AbsinA=21·2·3·462+=43(2+6).……… 12分（此题还有其它解法，类似给分）21. (本小题满分12分)解：依题意可设直线l 的方程为:1x ya b+=(a>0 , b>0 ) 则A(a , 0 ), B(0,b ), 直线L 过点P （1，4）, ∴141a b+= , ……………2分 x +2y =42x +y =5 yx OM 3x +2y =t又a>0 , b>0 ∴144412,4,16ab ab a b ab ab+=≥=∴≥≥ 111168222ABO S OA OB ab ∆∴==⨯≥⨯=………………4分 当且仅当141,2,2b a b ===即a ＝8时取等号, S 的最小值为8 此时直线方程为：182=+yx ，即：4x + y - 8＝0…………………6分②|OA|+|OB|= a + b = (a + b )(14a b+)=5 + 44529b a ab a b ab +≥+=……8分 当且仅当414,13,b a b a b a b=+=∴=即b=2a,又a ＝6时取等号, ……10分 |OA|+|OB|的值最小, 此时直线方程为：136x y+=即：2x + y - 6＝0……12分法二：①依题意可设直线l 的方程为:y-4 = k ( x -1 ) ( k<0 ) 令 x = 0 , 则y = 4 – k ,B( 0 , 4-k) ;令 y = 0 , 则x =k 4-+1 ,A (k4-+1, 0)…2分 S =21(4-k)( k 4-+1)= 21(k16-- k + 8 )≥8 ，…………4分 当且仅当-16/k = -k 时，即 k = -4时取等号, S 的最小值为8 ， 此时直线方程为：y-4 = -4( x -1 )，即：4x + y - 8＝0…………6分 ②|OA|+|OB|=( k 4-+1) + (4-k) = k4--k + 5 ≥4 + 5 =9 ，……8分 当且仅当k4-= -k 时，即 k = -2时取等号, |OA|+|OB|的值最小, ……………10分 此时直线方程为：:y-4 = -2 ( x -1 ) 即：2x + y - 6＝0……………12分22. (本小题满分14分)解：（1）1=n 时，32110==⋅S a ∴31=a ………理1分，文2分2≥n 时，6211-=-=⋅--n n n n S S a ∴223--=n n a ………理3分，文5分 ∴通项公式231322n n n a n -=⎧⎪=⎨-≥⎪⎩………理5分，文7分（2）当1=n 时，333log 321=-=b ∴3111=b ………理6分，文9分2≥n 时，223(3log )(1)32n n b n n n -=-=+⋅ ∴)1(11+=n n b n ………理7分，文11分 ∴)1(1431321*********+++⨯+⨯+=++++n n b b b b n )1(6151165+-=+-=n n n ………理9分，文14分 （3）∵5|,|222212=∴=-=C a C C n 时, (10),232221--+=≥n n n C C n 时两边同时乘以2n,得,1224211+⨯=--n n n n C C 即),42(4)42(11+⨯=+--n n n n C C ∴数列{n n C 2+4}是以6为首项，4为公比的等比数列，n n C 2+4 = 6×4n-1，∴nn n C ---⨯=21223（n ≥2） (13)又C 1=1, 满足上式∴通项公式n n n C ---⨯=21223 (14)法二:(迭代法)2322123)232(22322-----++=+=≥n n n n n n C C C n 时=2322232232---+⨯+n n n C = …… =2324322232232232232-----+⨯++⨯+⨯+n n n n n C ==--⨯⨯+⨯----2244221212325n n n nn ---⨯21223 又C 1=1, 满足上式 ∴通项公式n n n C ---⨯=21223。

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2021年苏教版高一数学测试四答案详解(苏教版必修5)

2021年苏教版高一数学测试四答案详解(苏教版必修5)

必修五模块测试四一、填空题1. 2.在△ABC 中，已知a ＝8，∠B ＝60°，∠C ＝75°，则b 等于 。

1. 46。

提示:A ＝180°－(B ＋C )＝45°，则结合正弦定理可得。

2. 在不等边△ABC 中，a 为最大边，如果a 2＜b 2＋c 2，则∠A 的取值范围是 。

2. 60°＜∠A ＜90°。

提示:∵a 2＜b 2＋c 2，∴b 2＋c 2－a 2＞0∴cos ∠A ＝b 2＋c 2－a 22bc＞0 ∴∠A ＜90°，又∵a 边最大，∴A 角最大∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180° ∴3∠A ＞180°，∴∠A ＞60°∴60°＜∠A ＜90° 3．已知等差数列{a n }中，|a 3|＝|a 9|，公差d <0.则使前n 项和S n 取最大值的正整数n 的值是 。

3.B 【解析】∵d ＜0，|a 3|＝|a 9|，∴a 3－a 9 即a 3＋a 9＝0，∴a 6＝0，a 5＞0，a 7＜0.4.满足不等式x ＋y ＋1<0表示平面区域的一个点的坐标为 。

4.(-2，0)。

提示:答案不唯一，代入满足x ＋y ＋1<0即可。

5.函数y ＝lg (x 2－2x)＋x 2－3x ＋2的定义域是 。

5. (2，＋∞)∪(－∞0)。

提示:由已知条件得:⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＞0x 2－3x ＋2≥0即⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2或x ＜0x ≥2或x ≤1所以x ＞2或x<0，所求函数f(x)的定义域为(2，＋∞)∪(－∞0) 6. 已知△ ABC 中，边AB ＝3，AC ＝5且∠A ＝60°，则sin B= 。

6. 55738。

提示:由余弦定理得:BC 2＝9＋25－2×3×5cos 60°＝34－15＝19∴BC ＝19，又由正弦定理得:BC sin 60°＝AB sin C ＝ACsin B。

(完整版)高中数学必修五综合测试题 含答案

(完整版)高中数学必修五综合测试题 含答案

.绝密★启用前高中数学必修五综合考试卷第I 卷（选择题）一、单选题1．数列的一个通项公式是（ ）0,23,45,67⋯A ．B ． a n =n -1n +1（n ∈N *)a n =n -12n +1（n ∈N *)C ．D ．a n =2（n -1）2n -1（n ∈N *)a n =2n2n +1（n ∈N *)2．不等式的解集是（ ）x -12-x ≥0A ．B ．C ．D ． [1,2](-∞,1]∪[2,+∞)[1,2)(-∞,1]∪(2,+∞)3．若变量满足 ，则的最小值是（ ）x,y {x +y ≥0x -y +1≥00≤x ≤1x -3y A ．B ．C ．D ． 4-5-314．在实数等比数列{a n }中，a 2，a 6是方程x 2－34x ＋64＝0的两根，则a 4等于( )A ． 8B ． －8C ． ±8D ． 以上都不对5．己知数列为正项等比数列，且，则（ ）{a n }a 1a 3+2a 3a 5+a 5a 7=4a 2+a 6=A ． 1B ． 2C ． 3D ． 46．数列前项的和为（ ）11111,2,3,4,24816n A ． B ． C ．D ．2122nn n ++21122n n n +-++2122n n n +-+21122n n n +--+7．若的三边长成公差为的 等差数列，最大角的正弦值为ΔABC a,b,c 232的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．1541534213435348．在△ABC 中，已知,则B 等于( )a =2,b =2,A =450A ． 30°B ． 60°C ． 30°或150°D ． 60°或120°9．下列命题中正确的是( )A ． a ＞b ⇒ac 2＞bc 2B ． a ＞b ⇒a 2＞b 2C ． a ＞b ⇒a 3＞b 3D ． a 2＞b 2⇒a ＞b.10．满足条件，的的个数是 ( )a =4,b =32,A =45∘A ． 1个B ． 2个C ． 无数个D ． 不存在11．已知函数满足：则应满足（ ）f(x)=ax 2-c -4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5.f(3)A ．B ．C ．D ．-7≤f(3)≤26-4≤f(3)≤15-1≤f(3)≤20-283≤f(3)≤35312．已知数列{a n }是公差为2的等差数列，且成等比数列，则为（ ）a 1,a 2,a 5a2A ． -2B ． -3C ． 2D ． 313．等差数列的前10项和，则等于（）{a n }S 10=15a 4+a 7A ． 3B ． 6C ． 9D ． 1014．等差数列的前项和分别为，若，则的值为（ ）{a n },{b n }n S n ,T nS nT n=2n3n +1a 3b 3A ．B ．C ．D ． 3547581219第II 卷（非选择题）二、填空题15．已知为等差数列，且－2＝－1,＝0,则公差={a n }a 7a 4a3d 16．在中，，，面积为，则边长=_________.△ABC A =60∘b =13c 17．已知中，，， ，则面积为_________.ΔABC c =3a =1acosB =bcosA ΔABC 18．若数列的前n 项和，则的通项公式____________{a n }S n =23a n +13{a n }19．直线下方的平面区域用不等式表示为________________．x -4y +9=020．函数的最小值是 _____________．y =x +4x -1(x >1)21．已知，且，则的最小值是______．x ，y ∈R +4x +y =11x +1y三、解答题22．解一元二次不等式（1） （2）-x 2-2x +3>0x 2-3x +5>0.（1）求边上的中线的长；BC AD （2）求△的面积。

苏教版高中数学必修5试卷专题四综合检测.doc

苏教版高中数学必修5试卷专题四综合检测.doc

B・—7V〃V24 加=—7或加=24 243.4 .A. [2 ,6]不等B・[2,5]C・[3,6]D.[3,5] 仁;+严+以。

,表示的平面区域是一个A・三角 B.直角三角形C.梯形D.矩5 .6 .A. 3,1在直角坐标系C. 1, —3D.满足不等式x2~y-^G的点（x, y）的集合（用阴影部分来A. 13个10 个14 个17 个专题四《二元一次不等式组和简单的线性规划》综合检测一、选择题，本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.不在3兀+2yv6表示的平面区域内的一个点是A.(0, 0)B.(1, 1)C. (0, 2)D. (2, 0)2.已知点（3 , 1）和点（一4 , 6）在直线3.x-2y + m = 0的两侧，则A.—7或加＞24兀< 2心小心’则目标函数— + 2y的取值范围是在ZVIBC中，三顶点坐标为A (2 , 4) , B ( —1, 2),△ABC内部及边界运动，则的最大值和最小值分别是（7.不等式|A-|+|.V|<3表示的平面区域内的整点个数为A. -2 < m < 3 0<m<6 —3 < m <60 < m <3数多个，则加的A. C .7 20丄 2 B . 7 20D.不存在 10.如图所示，表示阴影部分的二元「次不等式v >-2, A. < 3.r - 2y + 6 > 0, x < 0 y > -2, B ・ J3x-2y + 6>0, 兀50 I y > -2, C* <3x-2y + 6〉0,x <0y >—2, 兀<012. 兀 + 2y < &已知约束条件< 2x+y< &目标函数z=3兀+y,兀 N\ yeN*.某学生求得碍 I 时'这显然不合要求，正确答案应为兀二 :y = ； Zmax= • 8.不等式I 2x + y + m l< 3表示的平面区域包含点(0, 0)和点(-1, 1),则加的取值范围是9.已知平面区域如右图所示，z = mx+y(m>Q)在平面区域内取得最大值的最优解有无二、填空题，本大题共4小题，每小题3分，满分12分，把正确的答案写在题中横线上.兀—y + 5 n 0,11.已知兀，y 满足约束条件< x + y > 0, 贝z = 4x-y 的最小值为 ___________________ •x < 3.13. 给出下面的线性规划问题：求z=3x+5y 的最大值和最小值，使x 、y 满足约束条件: 6x + 3y < 15,<^<x + l,欲使目标函数Z 只有最小值而无最大值，请你设计一种改变约束条件的办兀一5歹< 3.法(仍由三个不等式构成，且只能改变其中•个不等式)，那么结果是 ______________ .x + - 5 < 0,14. _________________________________________________ 已知兀，y 满足 < 兀n 1, y > 0, 则丄的最大值为 _________________________________________ ，最小值为 ____________xx + 2y - 3 > 0.三、解答题，本大题共4小题，每小题12分，共48分，解答应写出必要的文字说明、证明 过程和演算步骤. 15.由y S 2及卜| < y <|x| + l 围成的几何图形的面积是多少？3216.已知“e(0, 2),当"为何值时，直线l t : ax - 2y = 2a - 4-tj/, : 2x + a2 y = 2a2 + 4 及坐标轴围成的平面区域的面积最小？机运输效果如下:在一天内如何安排才能合理完成运输2000吨小麦和1500吨大米的17.有两种农作物（大米和小麦），可用轮船和飞机两种方式运输，每天毎艘轮船和每架飞18.某家俱公司生产甲、乙两种型号的组合柜，每种柜的制造口坯时间、油漆时间及有关数据如下:问该公司如何安排甲、乙二种柜的日产量可获最大利润，并且最大利润是多少？。

苏教版高中数学必修五 章末综合测评(一).docx

苏教版高中数学必修五 章末综合测评(一).docx

章末综合测评(一)(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中的横线上)1．在△ABC中，AB＝6，A＝75°，B＝45°，则AC＝.【导学号：92862026】【解析】C＝180°－75°－45°＝60°，由正弦定理得ABsin C＝ACsin B，即6sin 60°＝ACsin 45°，解得AC＝2.【答案】 22．在△ABC中，已知c＝6，a＝4，B＝120°，则b＝. 【解析】由b2＝16＋36－2×4×6cos 120°，得b＝219.【答案】2193．在△ABC中，a＝4，b＝43，A＝30°，则B＝.【解析】sin B＝b sin Aa＝43sin 30°4＝32.又a<b，故B>A，∴B＝60°或120°.【答案】60°或120°4．在△ABC中，化简b cos C＋c cos B＝.【解析】 利用余弦定理，得b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝a .【答案】 a5．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos C ＝ . 【解析】 ∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ， ∴a ∶b ∶c ＝2∶3∶4. 设a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k ，则 cos C ＝4k 2＋9k 2－16k 22×2k ×3k ＝－14.【答案】 －146．在△ABC 中，若A ＝60°，b ＝16，S △ABC ＝2203，则a ＝ . 【解析】 由12bc sin A ＝2203，可知c ＝55. 又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝2 401， ∴a ＝49. 【答案】 497．在△ABC 中，若sin A ＝34，a ＝10，则边长c 的取值范围是 ． 【解析】 ∵c sin C ＝a sin A ＝403， ∴c ＝403sin C ，∴0<c ≤403. 【答案】 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，4038．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是 ．(填序号)【导学号：92862027】(1)a ＝8，b ＝16，A ＝30°，有两解； (2)b ＝18，c ＝20，B ＝60°，有一解； (3)a ＝5，c ＝2，A ＝90°，无解； (4)a ＝30，b ＝25，A ＝150°，有一解． 【解析】 (1)中，∵a sin A ＝bsin B ，∴sin B ＝16×sin 30°8＝1， ∴B ＝90°，即只有一解； (2)中，sin C ＝20sin 60°18＝539，且c >b ，∴C >B ，故有两解；(3)中，∵A ＝90°，a ＝5，c ＝2，∴b ＝a 2－c 2＝25－4＝21，即有解，故(1)(2)(3)都不正确．所以答案为(4)．【答案】 (4)9．已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝ .【解析】 化简23cos 2A ＋cos 2A ＝0，得23cos 2A ＋2cos 2A －1＝0，解得cos A ＝15.由余弦定理，知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，代入数据解方程，得b ＝5.【答案】 5 10．在△ABC 中，若acos A 2＝b cos B 2＝c cos C 2，那么△ABC 是 三角形． 【解析】 由正弦定理得，sin A cos A 2＝sin B cos B 2＝sin Ccos C 2， ∴sin A 2＝sin B 2＝sin C 2.∵0<A 2，B 2，C 2<π2，∴A 2＝B 2＝C2，即A ＝B ＝C ，∴△ABC 是等边三角形． 【答案】 等边11．如图1所示，在△ABC 中，∠ACB 的平分线CD 交AB 于D ，AC →的模为2，BC →的模为3，AD →的模为1，那么DB →的模为．图1【解析】 由三角形内角平分线的性质得 |AC →|∶|BC →|＝|AD →|∶|DB →|， 故|DB →|＝32. 【答案】 3212．如图2所示，在山底测得山顶仰角∠CAB ＝45°，沿倾斜角为30°的斜坡走1 000 m 至S 点，又测得山顶仰角∠DSB ＝75°，则山高BC 为 m.图2【解析】 由题可知，∠SAB ＝45°－30°＝15°，又∠SBD ＝15°，∴∠ABS ＝45°－15°＝30°，AS ＝1 000.由正弦定理可知BS sin 15°＝1 000sin 30°，∴BS ＝2 000sin 15°，∴BD ＝BS ·sin 75°＝2 000sin 15°cos 15°＝1 000sin 30°＝500，且DC ＝1 000sin 30°＝500，∴BC ＝DC ＋BD ＝1 000 m.【答案】 1 00013．已知角A ，B ，C 是三角形ABC 的内角，a ，b ，c 分别是其对边长，向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23sin A 2，cos 2A 2，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A 2，－2，m ⊥n ，且a ＝2，cos B ＝33，则b＝ .【解析】 ∵m·n ＝0，∴23sin A 2cos A 2－2cos 2A 2＝0，∵cos A 2≠0，∴tan A 2＝33，∴A2＝30°，∴A ＝60°， ∵a sin A ＝bsin B ，sin B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝63，∴b ＝a sin B sin A ＝2×6332＝43 2.【答案】 43 214．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b a ＋ab ＝6cos C ，则tan C tan A ＋tan Ctan B 的值是 ．【解析】 ∵b a ＋ab ＝6cos C ， ∴a 2＋b 2ab ＝6·a 2＋b 2－c 22ab ， 即a 2＋b 2＝32c 2， ∴tan C tan A ＋tan C tan B ＝tan C ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A sin A ＋cos B sin B＝sin 2Ccos C sin A sin B ＝2c 2a 2＋b 2－c 2＝4. 【答案】 4二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，已知b 2＝ac ，且a 2－c 2＝ac －bc ，求角A 的大小及b sin Bc. 【解】 由b 2＝ac 及a 2－c 2＝ac －bc ，得b 2＋c 2－a 2＝bc . 在△ABC 中，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12. ∵0°＜A ＜180°，∴A ＝60°. 在△ABC 中，由正弦定理得sin B ＝b sin Aa .又∵b 2＝ac ，A ＝60°， ∴b sin B c ＝b 2sin A ac ＝sin 60°＝32.16．(本小题满分14分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos B ＝35.(1)若b ＝4，求sin A 的值；(2)若△ABC 的面积S △ABC ＝4，求b ，c 的值． 【解】 (1)∵cos B ＝35>0，且0<B <π， ∴sin B ＝1－cos 2B ＝45. 由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，sin A ＝a sin Bb ＝2×454＝25.(2)∵S △ABC ＝12ac sin B ＝4， ∴12×2×c ×45＝4，∴c ＝5.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝22＋52－2×2×5×35＝17，∴b ＝17. 17．(本小题满分14分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B＝2c －a b .(1)求sin Csin A 的值；(2)若cos B ＝14，△ABC 的周长为5，求b 的长． 【解】 (1)由正弦定理，设a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝k ， 则2c －a b ＝2k sin C －k sin A k sin B＝2sin C －sin A sin B，所以cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin Asin B，即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B ，化简可得sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )． 又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝2sin A . 因此sin Csin A ＝2.(2)由sin Csin A ＝2，得c ＝2a ，由余弦定理及cos B ＝14得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋4a 2－4a 2×14＝4a 2， 所以b ＝2a .又a ＋b ＋c ＝5，从而a ＝1， 因此b ＝2.18．(本小题满分16分)在△ABC 中a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状.【导学号：92862028】【解】 (1)由2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C ，得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc ， ∴b 2＋c 2－a 2＝－bc ， ∴2bc cos A ＝－bc ，∴cos A ＝－12，又A ∈(0，π)， ∴A ＝2π3.(2)由(1)得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ， 又sin B ＋sin C ＝1，得sin B ＝sin C ＝12.又B ，C ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，故B ＝C .所以△ABC 是等腰三角形．19．(本小题满分16分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin(A ＋C )＝－35.(1)求sin A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求向量BA→在BC →方向上的投影．【解】 (1)由cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin(A ＋C )＝－35，得cos(A －B )cos B－sin(A －B )sin B ＝－35，则cos(A －B ＋B )＝－35，即cos A ＝－35. 又0<A <π，则sin A ＝45.(2)由正弦定理，有a sin A ＝bsin B ， 所以sin B ＝b sin A a ＝22.由题知a >b ，则A >B ，故B ＝π4.根据余弦定理，有(42)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，解得c ＝1或c ＝－7(负值舍去)．故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝22.20．(本小题满分16分)如图3，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量，cos A ＝1213，cos C ＝35.图3(1)求索道AB的长；(2)问乙出发多少min后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应控制在什么范围内？【解】(1)在△ABC中，因为cos A＝1213，cos C＝35，所以sin A＝513，sin C＝45.从而sin B＝sin[]π－(A＋C)＝sin(A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C＝513×35＋1213×45＝6365.由ABsin C＝ACsin B，得AB＝ACsin B×sin C＝1 2606365×45＝1 040(m)．所以索道AB的长为1 040 m.(2)设乙出发t min后，甲、乙两游客距离为d m，此时，甲行走了(100＋50t)m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×12 13＝200(37t2－70t＋50)，因0≤t≤1 040130，即0≤t≤8，故当t＝3537min时，甲、乙两游客距离最短．(3)由BCsin A＝ACsin B，得BC＝ACsin B×sin A＝1 2606365×513＝500(m)．乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C .设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v ≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 min ，乙步行的速度应控制在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 25043，62514(单位：m/min)范围内．。