当前位置：文档之家 ›  正余弦定理难点突破

正余弦定理难点突破

  • 格式：doc
  • 大小：1.84 MB
  • 文档页数：12

<教师备案>本板块主要都是一星和二星的题．因为在寒假预习的时候，我们已经讲了一讲“正弦定理和余弦定理”，只不过当时讲的比较简单，就是直接运用公式，例题都是一星和二星的．而在本讲会对知识进行加深，例题都在二星、三星和四星之间，老师在讲正余弦定理时，可能需要照顾班里学生的情况，也需要一些简单的题，所以老师在讲概念的时候，也可以让学生做做本板块的题．1、2是正弦定理的题；3、4是余弦定理的题；5、6是正余弦定理的综合运用．１．在ABC △中，若8a =，60B =︒，75C =︒，则b =_______． 【解析】46．２．在ABC △中，60A =︒，43a =，42b =，则B 等于（ ）A ．45︒或135︒B ．135︒C ．45︒D ．以上答案都不对 【解析】 C３．在ABC △中，若8360b c A ===︒，，，则a =＿＿＿．知识切片寒假知识回顾第1讲 正余弦定理难点突破【解析】 7．４．在ABC △中，已知2222a c b ab -+=，则C =（ ）A ．60︒B ．45︒C ．120︒D ．30︒ 【解析】 B ．５．在ABC △中，若sin :sin :sin 7:8:13A B C =，则C =＿＿＿．【解析】 2π3．６．在ABC △中，如果sin 3sin A C =，30B =︒，那么角A 等于（ ）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．120︒ 【解析】 D<教师备案>本讲的正余弦定理是同步课程，在预习时我们已经讲了正余弦定理，只不过当时只是讲公式的运用，而本讲会在这个基础上进行加深．在做正余弦定理的时候我们会发现，有一种做题思想会一直运用，就是边角互化，本讲不会把边角互化这个做题思想单独列出来，老师可以在讲题的时候给学生进行讲解．所以本讲会从头到尾都贯穿边角互化的做题思想．考点1：正弦定理在ABC △中的三个内角A ，B ，C 的对边，分别用a ，b ，c 表示． 1．正弦定理：在三角形中，各边的长和它所对的角的正弦的比相等，即2sin sin sin a b cR A B C===． ① 2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =；② sin 2a A R = ，sin 2b B R = ，sin 2cC R= ；③ ::sin :sin :sin a b c A B C =．④ 面积公式：111sin sin sin 222S ab C bc A ac B ===．2．正弦定理用于两类解三角形的问题：① 已知三角形的任意两个角与一边，求其它两边和另一角；② 已知三角形的两边与其中一边的对角，计算另一边的对角，进而计算出其它的边与角．知识点睛1.1正余弦定理【教师备案】在预习时我们已经把求三角形面积作为一个板块，所以建议老师在同步讲正弦定理时，把三角形面积放到一块去讲，而且三角形的多解情况我们在预习的时候也讲过，老师这里也可以再介绍一下．例1主要是三角形的多解问题，例2是利用正弦定理进行化简． A 为锐角A 为钝角 关系式 sin a b A <sin a b A =sin b A a b <<a b ≥a b >a b ≤图形 abAAbaaaAbAbaAbaAba解的个数无解一解两解一解一解无解【例1】 ⑴在ABC △中，若2sin b a B =，则A 等于（ ）A ．30︒或60︒B ．45︒或60︒C ．120︒或60︒D ．30︒或150︒⑵在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，．若3021A b a ∠=︒==，，，则C ∠ 等于 ．⑶ABC △中，3AB =，1AC =，30B ∠=︒，则ABC △的面积等于（ ） A ．32 B ．34 C ．32或3 D ．32或34【解析】⑴ D ⑵ 105︒或15︒⑶ D【例2】 ⑴（2012天津理6）在ABC △中，内角A B C ，，所对的边分别是a b c ，，，已知85b c =， =2C B ，则cos C =（ ）A ．725B ．725-C ．725±D ．2425⑵（2013年新课标II ）ABC △内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知cos sin a b C c B =+ 则B =________．⑶若ABC △为钝角三角形，其中角C 为钝角，若2π3A C +=，则ABBC的取值范围是（ ）A ．()12，B ．()2+∞，C ．()3+∞，D ．[)3+∞， 【解析】 ⑴ A⑵ π4⑶ B经典精讲考点2：余弦定理1．余弦定理：三角形任何一边的平方等于其它两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即：2222222222cos ,2cos ,2cos .c a b ab C b a c ac B a b c bc A ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ 变形式为：222222222cos ,2cos ,2cos .2a b c C ab a c b B ac b c a A bc ⎧+-=⎪⎪⎪+-=⎨⎪⎪+-=⎪⎩2．余弦定理及其变形常用来解决这样两类解三角形的问题：① 已知两边和任意一个内角解三角形； ② 已知三角形的三边解三角形．<教师备案>相对于正弦定理，因为余弦函数在()0π，上单调减，所以用余弦定理求三角形角度时没有多解的情况，因此可以用余弦定理来判断三角形的形状（锐角、直角或钝角三角形）． 勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理可以用勾股定理来证明．【例3】 ⑴ 在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为13a =，4b =，3c =，则边AC 上的高为______．⑵（2012北京理11）在ABC △中，若2a =，7b c +=，1cos 4B =-，则b = ． ⑶在ABC △中，三个角A B C ，，的对边边长分别为346a b c ===，，， 则cos cos cos bc A ca B ab C ++的值为 ．⑷（2012湖北理11）设ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．若()()a b c a b c ab +-++=，则角C =______________．⑸（2010北京卷7）某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰 长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成， 该八边形的面积为（ ）． A ．2sin 2cos 2αα-+ B ．sin 3cos 3αα-+C ．3sin 3cos 1αα-+D ．2sin cos 1αα-+ 【解析】 ⑴ 332⑵ 4⑶ 612⑷2π3⑸ A知识点睛经典精讲考点3： 判断三角形形状1．解决三角形的综合问题时，要注意以下关系式的运用 ① πA B C ++=．② ()sin sin A B C +=；()cos cos A B C +=-．③ sincos 22A B C +=；cos sin 22A B C+=． ④ sin sin a b A B A B >⇔>⇔>． <教师备案>除了正弦定理和余弦定理，三角形中的这些很明显的恒等式的熟练应用是很重要的细节，将它们和正余弦定理串联起来，是解三角形问题能解决的基础．2．与三角形形状相关的几个结论① 在ABC △中，若cos cos a A b B =，则ABC △为等腰三角形或直角三角形；② 在ABC △中，若cos cos cos a b cA B C==，则ABC △为等边三角形； ③ 在ABC △中，若222sin sin sin A B C +=，则ABC △为直角三角形； ④ 在ABC △中，若cos cos sin a B b A c C +=，则ABC △为直角三角形；⑤ 在ABC △中，若()sin cos cos sin sin A B C B C +=+，则ABC △为直角三角形． 【教师备案】这些结论在B 版教材必修5中都出现了，也不需要强记． ①②③④利用正弦定理易证．④可以和学生介绍一下：在ABC △中，有cos cos c a B b A =+成立． ⑤的证明略有难度．思路有两种．方法一：由三角恒等变换进行变形．注意到()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，以及()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，可将题中的等式进行化简． ()sin cos cos sin sin A B C B C+=+()sin cos sin cos sin sin sin sin cos cos sin A B A C B A B B A B A B+=++=++ sin cos sin cos sin A C B A B =+()sin cos sin cos sin sin cos cos sin cos sin A C A C A B A C A C A B=++=++cos sin cos sin 0A C A B +=，所以()cos sin sin 0A B C +=，从而推出cos 0A =，π2A =．方法二：由正余弦定理将边化为角． ∵()sin cos cos sin sin A B C B C +=+ ∴22222222a c b a b c a b cac ab ⎛⎫+-+-+=+ ⎪⎝⎭ ∴22222222a c b a b c b cc b +-+-+=+∴()()()2222222b a c b c a b c bc b c +-++-=+∴2232232222a b bc b a c b c c b c bc +-++-=+知识点睛1.2解三角形题型归纳∴3322220b c a b a c b c bc +--++=∴()()2220b c b c a ++-=∵0b c +> ∴222b c a += 故ABC △为直角三角形．<教师备案>求三角形形状一般有两种思路：一种是由角化边，然后通过分解因式得出边之间的关系，如下面例题的⑴⑵⑶；一种是由边化角，得出角度之间的关系或者最大角的大小来判断，如下面例题的⑷．【铺垫】⑴ 在ABC △中，2cos a b C =，则这三角形一定是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形⑵ 在ABC △中，22tan tan a B b A =，则这三角形一定是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形 【解析】 ⑴ A⑵ D【例4】判断满足下列条件的三角形的形状⑴ sin 2cos sin C A B =⋅；⑵ cos cos a bA B c++=； ⑶sin b a C =，cos c a B =； ⑷coscoscos222a b c A B C ==；【解析】 ⑴ ABC △为等腰三角形．⑵ ABC △为直角三角形． ⑶ ABC △为等腰直角三角形． ⑷ ABC △为等边三角形．【点评】解这类问题，首先是要考虑用“边”算还是用“角”算，因为我们处理问题要求统一的对象，不能边和角都有．如果用“边”算的话，一般来说是三个未知量，也就是a b c ，，三个，我们一般需要对其进行因式分解之类的化简．如果用“角”算的话，一般来说是处理两个角的问题，如果遇到三个角都有的情况，一般我们可以通过三角公式来减少角的数量，比较常见的就是()sin sin C A B =+．经典精讲考点4：解平面几何<教师备案>用正余弦定理解决平面几何时，需要将问题转移到一个个具体的三角形中去解决，很多时候要用到三角恒等变换，题目都有一定的难度．这部分不是高考的重点，不用深究．【铺垫】（2010年陕西17）如图，已知45B ∠=︒，10AD =，6CD =，14AC =，则AB = ． 【解析】 56【例5】 ⑴如图，90ABC ADC ∠=∠=︒，60BAD ∠=︒，22BC CD ==，求AC ．⑵已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为2AB =，6BC =，4CD DA ==，求四边形ABCD 的面积．DCBA第⑴题【解析】 ⑴ 2213AC =．⑵ 16sin12083S =⨯︒=．考点5：解三角形应用题【例6】（2010陕西卷理17）如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距()533+海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45︒，B 点北偏西60︒的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60︒且与点B 相距203海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船达到D 点需要多长时间？【解析】救援船到达D 点需要1小时．经典精讲经典精讲北60︒60︒45︒D AD C B A【备选】（2013江苏18）如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C ．现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50m /min ．在甲出发2min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再从B 匀速步行到C ．假设缆车匀速直线运动的速度为130m /min ，山路AC 长为1260m ，经测量，12cos 13A =，3cos 5C =． ⑴ 求索道AB 的长；⑵ 问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？⑶ 为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？ABC【解析】 ⑴ 索道AB 的长为1040m ．⑵ 当()35min 37t =时，甲、乙两游客距离最短． ⑶ 乙步行的速度应控制在12506254314⎡⎤⎢⎥⎣⎦，（单位：m/min ）范围内．考点6： 正余弦定理的综合运用正余弦定理的综合运用已知条件 应用定理 一般解法一边和两角（如a ，B ，C ） 正弦定理 由πA B C ++=，求角A ；由正弦定理求出b 与c ． 两边和夹角（如a ，b ，C ） 余弦定理 正弦定理 由余弦定理求第三边c ；由正弦定理求出小边所对的角（此角一定是锐角）；再用πA B C ++=．三边（a ，b ，c ） 余弦定理 由余弦定理求出角A 、B ；由πA B C ++=，求出角C ． 两边与其中一边的对角（如a ，b ，A ）正弦定理 余弦定理由正弦定理求出角B ；由πA B C ++=，求出角C ；再利用正弦定理或余弦定理求c ．【教师备案】根据已知条件，运用正余弦定理及三角形六个元素之间的关系，灵活实现三角形的边与1.3正余弦定理综合运用知识点睛角的互相转化．【铺垫】（2010浙江卷理18）在ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知1cos24C =-．⑴ 求sin C 的值；⑵ 当2a =，2sin sin A C =时，求b 及c 的长．【解析】 ⑴ 10sin 4C =．⑵ 64b c ⎧=⎪⎨=⎪⎩，或264.b c ⎧=⎪⎨=⎪⎩，【例7】 ⑴（2010江苏卷）在锐角三角形ABC 中，A B C 、、的对边分别为a b c 、、，6cos b aC a b+=，则tan tan tan tan C C A B +=_______． ⑵（2013北京理）在ABC △中，3a =，26b =，2B A ∠=∠． ① 求cos A 的值； ② 求c 的值．【解析】 ⑴ 4⑵ ①6cos 3A =． ② 5c =．【拓展】在ABC △中，角A B C ，，所对应的边分别为a b c ，，，23a =，tantan 422A B C++=， 2sin cos sin B C A =，求A B ，及b c ，． 【解析】π6B C ==，2π3A =， 2b c ==．经典精讲1．已知ABC △的三边长为a b c ，，，内切圆和外接圆的半径分别是r 和R ， 求证：2abcRr a b c =++．【解析】 由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C ===得，sin sin sin 222a b cA B C R R R ===，， ∵11sin 222ABC c S ab C ab R ==⋅△，又∵()12ABC S a b c r =++△，∴()42a b c rabc R ++=，即2abc Rr a b c =++．2．对于正三角形，是否存在既平分周长又平分面积的直线？若存在，这样的直线有几条？证明你的结论．【解析】 存在，有3条如图，设ABC △的边长为1，则3ABC C =△，34ABCS =△，假设一条 直线既平分周长又平分面积，与三角形的两条边AB AC ，相交于两点M N ，，设AM x AN y ==，，则1232xy x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，∴112x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或121x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴有3条线满足题意，且分别是每条边的中线．【演练1】（2010西城一模13）在ABC △中，C 为钝角，32AB BC =，1sin 3A =，则角C =____， sinB =_____．【解析】 150︒，2236-【演练2】已知a b c ，，为ABC △的三个内角A B C ，，的对边，向量()31m =-，，()cos sin n A A =，．若m n ⊥，且cos cos sin a B b A c C +=，则角B = ．【解析】 π6【演练3】在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若()3cos cos b c A a C -=，实战演练y x NM CBA则cos A =______． 【解析】 33【演练4】在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设S 为ABC △的面积，满足()22234S a b c =+-． ⑴ 求角C 的大小；⑵ 求sin sin A B +的最大值．【解析】 ⑴所以π3C =． ⑵ sin sin A B +的最大值是3．【演练5】（2010石景山一模理15）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且1a =，2c =，3cos 4C =． ⑴ 求()sin A B +的值；⑵ 求sin A 的值；⑶ 求CB CA ⋅的值．【解析】 ⑴()7sin 4A B +=． ⑵ 14sin 8A =． ⑶ 32CB CA ⋅=．（2010年全国高中数学联合竞赛湖北省高二年级预赛）在ABC △中，已知B ∠的平分线交AC 于K ．若2BC =，1CK =，322BK =，则ABC △的面积为__________．【解析】 15716法一：如图，在BCK △中，由余弦定理可得： 大千世界αβαK A BC2221cosα+-==22212cosβ+-==222121cos2128C+-⎝⎭==⨯⨯∴sinα=，sinβ=sin C=，则sin2sin cosABCαα∠=sin sin(π)sin()sin cos cos sinAαββαβαβα=+-=-=-=在ABC△中，由正弦定理可得：sin sinBC ACA ABC=∠，即52AC==，所以15222ABCS=⨯⨯=△．法二：由角平分线定理可知：BC BACK AK=，即221BAAK==，设AK x=，则2AB x=，在ABK△中，由余弦定理可得222(2)cosx xα+-==在CBK△中，由余弦定理可得2221cosα+-===，解得32x=或1x=，检验1x=不满足题意，舍去．所以52AC AK CK=+=，3232AB=⨯=，在ABC△中，设151532224p⎛⎫=⨯++=⎪⎝⎭为半周长，则由海伦—秦九韶公式可得：ABCS==△．。

合集下载

三角形重难点突破

三角形重难点突破

三角形重难点突破三角形是初中数学中的重要内容，也是高中数学的基础。

掌握好三角形的知识点，对于学生的数学学习和高考复习都至关重要。

然而，三角形的一些概念和定理常常让学生感到困惑。

本文将针对三角形学习中的重难点进行详细讲解，并给出突破这些难点的方法。

一、三角形的分类三角形是由三条边和三个角组成的。

根据边长和角度的特点，三角形可以分为三类：等边三角形、等腰三角形和一般三角形。

1. 等边三角形：三条边长度相等的三角形。

在等边三角形中，三个角均为60度。

2. 等腰三角形：两边长度相等的三角形。

在等腰三角形中，两个底边的两个底角相等。

3. 一般三角形：没有特殊边长或角度关系的三角形。

学生常常会混淆等边三角形和等腰三角形。

记住等边三角形的三个角都是60度，而等腰三角形只有两个底角相等，可以帮助学生准确区分它们。

二、勾股定理勾股定理是三角形中最重要的定理之一。

它描述了直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。

勾股定理可以用公式表示为：a² + b² = c²其中，a和b代表直角三角形的两条直角边，c代表斜边。

重难点在于应用勾股定理解决实际问题。

在解题过程中，学生需要将问题转化为直角三角形，并正确应用勾股定理。

此外，学生还需要注意判断问题中是否存在直角，并确保使用正确的边长。

三、正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理是解决一般三角形问题的重要工具。

它们可以通过边长和角度之间的关系来求解三角形的各个边长和角度。

1. 正弦定理：在任意三角形中，三边的长度和对应的角的正弦值之间存在着恒等关系。

正弦定理可以用公式表示为：a/sinA = b/sinB = c/sinC其中，a、b、c代表三角形的边长，A、B、C代表对应的角。

2. 余弦定理：在任意三角形中，两边的平方和减去它们的两倍乘以两边之间夹角的余弦值，等于第三边的平方。

余弦定理可以用公式表示为：c² = a² + b² - 2ab cosC掌握正弦定理和余弦定理的应用是解决一般三角形问题的关键。

难点突破02 解三角形必备的三个意识-重难点题型突破(全国通用)

难点突破02 解三角形必备的三个意识-重难点题型突破(全国通用)

解三角形问题的关键是能够先从已知中抽象出可以利用正、余弦定理的条件,然后应用三角恒等变换和相关定理求解.在解题过程中,要注意三个必备的意识，同时注意题目中隐含的各种限制条件,选择合理的解决方法.本文探究例1 (2022年全国乙卷)记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ．
（1）求角 ；
（2）角 的内角平分线交 于点 ，若 ， ，求 .
[解析] （1）由正弦定理及切化弦可得 ，又 , , ，整理得 ，又 ，则 .
（2）因为 ， ，所以 ，可得 ，又由余弦定理得 ，解得 或 （舍去），则 ，
可得 或 又 ，显然当 或 时， 的值相同，不妨设 ，则 .由正弦定理得 ，可得 ，又 ，可得 .
[解析] （1） ， ，即 .由正弦定理得 . ， .
， ，又 , ， .（2） 为 边的中点， ， , ， ， ,又 ， ，当且仅当 时取等号.由余弦定理得 ， ，即 .故 的最小值为 ，此时 .
3.(2022·江苏模拟)在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且满足 .
[解析] （1）由 ， ，得 ，由正弦定理得 ，即 .（2）由（1）可得 ，在 中，由余弦定理得 ，解得 或 （舍去）.因为 ，所以 ,所以 ，所以 的面积 .
2.在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 .
（1）求角 的大小；
（2）若 为 边的中点，且 ，求 的最小值.
[解析] （1）选①，因为 ， 因为 ，所以 ,所以 ,所以 ，解得 .选 ②，由 结合正弦定理可知， ，因为 ，所以 ,所以 ，所以有 .因为 ，所以 .
选③，因为 ，所以 ，所以有 .因为 ，所以 .（2）由题可得， ，所以 ，由基本不等式可知 ，解得 ，所以其面积 .当且仅当 时， 的面积取得最大值，最大值为 .
用正余弦定理巧解难题

用正余弦定理巧解难题

用“正弦、余弦定理”巧解难题正弦、余弦定理是高中数学中一个非常重要的知识点，它沟通了三角形中边与角的关系，用这两个定理可以实现边角互化，从而明确解题方向。

怎样才能做到灵活运用“正弦、余弦定理”解题呢？下面举例说明：一、将三角形面积公式与正弦、余弦定理联合运用例1 0,60,2,ABC A B C a b c A a ABC ∆∠==∆中、、的对边分别为、、，且求面积的最大值.分析：我们要充分利用三角形面积公式与正弦、余弦定理这几个公式之间的内在联系，才能真正达到解决问题的目的．解 02,60a A ==Q222222cos 4a b c bc A b c bc =+-=+-=由余弦定理得 （1）222b c bc +≥Q （2）由（1）、（2）知4bc ≤∴13sin 424ABC S bc A ∆==≤⨯= ∴ABC ∆例2 ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别是c b a 、、，S 为ABC ∆的面积，且06012A b S ===，，则=++++CB A cb a sin sin sin ．解160,12,s i n 1832A b S b c A ====Q ∴6=c又2222cos a b c bc A =+-Q ∴36=a 根据正弦定理，得122336sin sin sin sin ===++++A a C B A c b a二、边角互化时，宜统一化为一种元素（边或角）例3 ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别是c b a 、、，证明：C B A cb a sin )sin(222-=-． 证明：要证C B A c b a sin )sin(222-=-，由正弦定理，得只需证 ,s i n )s i n (s i n s i n s i n 222C B A CB A -=- 只需证),sin(sin sin sin 22B A CBA -=- 只需证 ,s i n s i n)s i n ()s i n (22B A B A B A -=-+ 而222222sin()sin()sin cos cos sin sin sin .A B A B A B A B A B +-=-=-成立222sin().sin a b A B c C--=所以三、灵活运用正弦、余弦定理的变形形式例4 已知ABC ∆中，2:3:4sin :sin :sin =C B A ，求B cos 的值． 分析：由Cc B b A a sin sin sin ==得C B A c b a sin sin sin ：：：：=，再利用余弦定理很快解决问题．解 令角C B A 、、所对的边分别是c b a 、、，sin :sin :sin 4:3:2,A B C =Q根据正弦定理，得2:3:4::=c b a ．不妨令),0(,2,3,4>===t t c t b t a∴16111694162cos 2222222=-+=-+=t t t t ac b c a B四、应用正弦定理求角时应注意检验例5 ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别是c b a 、、，,60,35,50===C c b 则B = ．解 ,b c <Q∴C B <又05,60,b c C ===Q∴由正弦定理，得==c C b B sin sin 213560sin 50= 即)150(3000舍去==B B例6 在ABC ∆中，已知,45,2,30===B b a ，求边c ． 解法一：sin sin a bA B=Q∴23sin sin ==b B a A 又,b a <Q ∴A B <∴0012060或=A ．当，时，07560==C A 22645sin 75sin 2sin sin 0+===BC b c 当，时，015120==C A 22645sin 15sin 2sin sin 00-===B C b c 解法二：2222cos ,b a c ac B =+-Q∴223cos ,c B =+-即0162=+-c c ，解得226±=c 说明：在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别是c b a 、、，若有b a >，则有B A B A b a sin sin >⇔>⇔>．。

《余弦定理与正弦定理》突破提高

《余弦定理与正弦定理》突破提高

《余弦定理与正弦定理》突破提高突破1利用正弦定理判断解的情况或已知解的个数求边长的取值范围已知两边和其中一边的对角,求另一边和其他两角,通常用正弦定理解这类问题,但可能会出现多解的情况.如已知两边,a b 及其中一边的对角A ,由sin sin a b A B =求角B 时,可能有一解、两解或无解的情况,如何判断解的情况呢?其判断方法有两种.方法一:如表,过点C 作AB 的垂线,根据边a 与AB 边上的高的大小关系来判断解的个数.a b 一解 方法二:由正弦定理sin sin a A B =得sin B a=,若sin 1B >,则无解;若sin 1B =,则一个解;若0sin 1B <<,则由三角形“大边对大角”来确定角B 的范围,从而判断解的情况.【例5】在ABC ∆中,已知内角,,A B C 所对的边分别为,,,11,12,60a b c b c B ===︒,判断ABC ∆解的情况并解三角形.(角度精确到1︒,边长精确到0.1.参考数据:sin 710.9455︒≈)解:方法一∵sin 1211,sin ,2c B b c B b c ABC =⨯==∴<<∴∆有两个解.由sin sin b c B C =,即1112sin 60sin C=︒,得sin 0.9448C ≈.∵0180,71C C ︒<<︒∴≈︒或109C ≈︒.当71C ≈︒时,sin 49,9.6sin c A A a C ⋅≈︒=≈;当109C ≈︒时,sin 11, 2.4sin c A A a C⋅≈︒=≈. 方法二:由正弦定理sin sin c b C B =,得12sin 2sin 0.944811c B C b ⋅===≈.∵,,60120c b C B C >∴>∴︒<<︒.由sin 0.9448C ≈,得71C ≈︒或109C ≈︒.当71C ≈︒时,sin 49,9.6sin c A A a C ⋅≈︒=≈;当109C ≈︒时,sin 11, 2.4sin c A A a C⋅≈︒=≈. ∴ABC ∆有两个解,71,49,9.6C A a ≈︒≈︒≈或109,11, 2.4C A a ≈︒≈︒≈.突破2判断三角形的形状判断三角形形状时,能化简的先化简,再从两个方向进行变形:一个方向是角,走三角变形之路,主要是应用正弦定理;二个方向是边,通常是正弦定理和余弦定理综合应用,同时注意应用三角形内角的关系,如(),222C A B A B C C A B πππ+++=⇒=-+=-等. 讨论三角形解的个数时应抓住两点:一是其正弦值与“1”的大小关系,从而决定正弦值对应的角是否存在;二是由此正弦值所确定的角(在0~180︒︒内)的个数,它们与已知角的和是否小于等于180︒.应用正弦定理将表达式转化为角的关系【例1】在ABC ∆中,若cos cos sin b C c B a C +=,则ABC ∆的形状是________. 分析:由正弦定理边角互化得sin cos sin cos sin sin B C C B A C +=,进而整理得sin C 的值,得到C 的大小,即可得答案.解析:因为cos cos sin b C c B a C +=,所以由正弦定理得sin cos sin cos sin sin B C C B A C +=,即sin()sin sin B C A C +=.由于在ABC ∆中,sin()sin B C A +=,所以sin sin sin A A C =.因为(0A ∈,)π,所以sin 0A ≠,所以sin 1C =.又因为(0,)C π∈,所以2C π=,即ABC ∆为直角三角形.答案:直角三角形应用余弦定理将表达式转化为边的关系【例2】在ABC ∆中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,判断分别满足下列条件的三角形的形状.(1)260,B b ac =︒=. (2)cos cos a b B A=. 分析:(1)条件中的角为特殊角,应用余弦定理可发现三角形各边之间的关系.(2)根据余弦定理,将条件中的cos ,cos B A 用边表示出来,这样便可化角为边,求出三条边之间的关系式.解:(1)由余弦定理得222221cos 222a cb ac ac B ac ac +-+-===,可得22a c ac ac +-=,∴2()0,a c a c -=∴=.由a c =及60B =︒可知ABC ∆为等边三角形.(2)由cos cos a b B A =及余弦定理,知22222222ac bc a b a c b b c a⋅=⋅+-+-, 化简得()()222220c a b a b c -+-=,即a b =或222a b c +=或0c =(舍去),因而ABC ∆为等腰三角形或直角三角形.应用正弦定理将表达式表示为边的关系,再应用余弦定理,判断三角形的形状【例3】在ABC ∆中,若222sin sin sin A B C +<,则ABC ∆的形状是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.直角三角形D.不能确定解析:设ABC ∆中的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .由222sin sin sin A B C +<及正弦定理,得222a b c +<.由余弦定理,得222cos 02a b c C ab +-=<,所以C 为钝角,故ABC ∆一定是钝角三角形.答案:C突破3正弦定理、余弦定理与其他知识的综合应用应用正弦定理、余弦定理解决三角形的综合问题的关键在于充分应用正弦定理、余弦定理中的边角关系可以相互转化这一功能.常见的综合问题有:正弦定理和余弦定理与平面向量、三角函数、三角恒等变换的综合交汇问题.【例4】已知函数()f x =⋅a b ,其中(2cos ,2),(cos ,1),x x x x ==∈a b R .(1)求()f x 的单调递增区间;(2)在ABC ∆中,内角,,A B C 所对的边分别为,,,()1,a b c f A a =-=,且向量(3=m ,sin )B 与(2,sin )C =n 共线,求边长b 和c 的值. 解:(1)由题意知2()2cos 21cos 2212cos 23f x x x x x x π⎛⎫==+=++ ⎪⎝⎭.∵cos y x =在[2,2]()k k k πππ-∈Z 上单调递增, ∴令222()3k x k k ππππ-+∈Z ,得2()36k x k k ππππ--∈Z ,∴()f x 的单调递增区间为2,()36k k k ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z . (2)()12cos 21,cos 2 1.33f A A A ππ⎛⎫⎛⎫=++=-∴+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又70,2,333A A ππππ<<∴<+<72,.,332A A a πππ∴+=∴==222272cos ()3.4a b c bc A b c bc ∴=+-=+-= 向量(3,sin )B =m 与(2,sin )C =n 共线,∴2sin 3sin B C =,由正弦定理得23b c =.3, 1. 2b c ∴== 【本节与高考】正弦定理是高考的重点,若解答题的第一题没有考查,则选择题或填空题中定要考查题一难度为中低档.常考题型：(1)解三角形或求指定角的三角函数值；(2)判断三角形的形状；(3)求三角形的面积；(4)解三角形与其他知识相交汇,如平面向量、三角函数、三角恒等变换等.。