第一章解三角形1.1.1正弦定理一、教学目标1.核心素养通过学习正弦定理,初步形成基本的数学抽象和逻辑推理能力.2.学习目标（1）通过特殊三角形,了解三角形的边与角的对应关系.（2）能证明正弦定理.（3）应用正弦定理解决三角形相应问题.3.学习重点理解正弦定理,会用正弦定理解两类三角形问题.4.学习难点正弦定理的证明与三角形解的个数的判断.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务任务1阅读教材P1－P4.思考:正弦定理的内容是什么?你还有哪些方法可以证明正弦定理?正弦定理有哪些应用?任务2默写正弦定理的具体内容,查阅三角形面积的计算公式并进行整理.2.预习自测1.在一个三角形中,各边和它对角的（）的比相等.A.正弦B.余弦C.正切D.角度答案:A.解析:考查正弦定理的定义: 一个三角形中,各边和所对角的正弦之比相等,且该比值等于该三角形 外接圆的直径长度.2.下列各式可以表示△ABC 的面积的是（ ） A.12ab sin A B.12ab sin B C.12ab sin C D.ab sin C 答案:C.3.在正弦定理中asin A 的值表示△ABC 的（ ） A.内切圆半径 B.内切圆直径 C.外接圆半径 D.外接圆直径 答案:D.解析:一个三角形中,各边和所对角的正弦之比相等,且该比值等于该三角形外接圆的直径长度. （二）课堂设计 1.知识回顾（1）三角形内角和为180o .（2）三角形中两边之和大于第三边,两边之差小于第三边. （3）在三角形中大边对大角.（4）三角形的面积:S ＝111222a b c ah bh ch ==（其中h a ,h b ,h c 分别为边a ,b ,c 上的高）. （5）我们预习本课的正弦定理是什么?有哪些方法可以证明呢? 2.问题探究问题探究一 直角三角形的边角有哪些关系? ●活动一 回顾旧知,回忆边角关系在初中,我们已经学习过如何解直角三角形,那么在直角三角形中的边角关系有哪些呢?通过作出直角三角形,寻找直角三角形中的边角关系. 在直角三角形中,若C 为直角,锐角A 的正弦sin A ＝=ac对边斜边.同理,sin B ＝b c .●活动二 整合旧知,探求边角新关系 结合三角函数,你有哪些与众不同的发现? 在以上直角△ABC 中,根据正弦函数的定义有:sin a A c =,sin b B c =,sin 1C =,即sin a c A =,sin b c B =,sin c c C=. ∴sin sin sin a b cA B C==.问题探究二 上述边角关系对任意三角形都成立吗?试证明. ●活动一 大胆猜想,几何画板来帮忙 我们猜想在任意三角形中,都有sin a A ＝sin bB ＝sin c C. 为提高直观认识,我们先利用几何画板先作出一个三角形,度量出三个内角大小及三边的长度, 分别计算,,sin sin sin a b cA B C的值,并观察三个值的关系. 然后,再改变三角形形状,再观察三个比值的变化情况. 可以看到,不论三角形如何变化,sin a A ＝sin bB ＝sin c C. ●活动二 集思广益,证明正弦定理 你能在一般的三角形中证明sin a A ＝sin b B ＝sin c C这个结论吗? 在锐角△ABC 中,你能找出a sin B ,b sin A 表示的具体线段吗?它们的几何意义是什么?在锐角△ABC 中,sin ,sin a B b A 表示的线段都是AB 边上的高CD . 因而,有a sin B ＝b sin A ,则sin sin a b A B=,同理,我们可以得到sin a A ＝sin bB ＝sin cC . 在钝角三角形中是否也能用类似方法证明呢?不妨设∠B 为钝角,如图,()sin 180sin CD a B b A =-=o ,因而,有sin sin a B b A =,则sin aA ＝sin b B, 同理,我们可以得到sin a A ＝sin bB ＝sin c C. 正弦定理:对于任意的一个三角形,都有sin a A ＝sin bB ＝sin c C. ●活动三 反思过程,发现面积新公式结合a sin B ,b sin A 的几何意义,你能不能得到三角形的面积公式的另外一种形式? 由以上探究活动,a sin B ,b sin A 的几何意义为AB 边上的高CD ,则由三角形面积111222a b c S ah bh ch ===, 有11sin 22c S ch ac B ==,或11sin 22c S ch bc A ==,以此类推,还有1sin 2S ab C =.所以111sin sin sin 222S ab C ac B bc A ===.●活动四 利用外接圆,重新认识正弦定理 结合△ABC 的外接圆,试探究sin aA的几何意义.设⊙O 为△ABC 的外接圆,连接CO 并延长交⊙O 于点A ′,连接A ′B ,则∠A ＝∠A ′, 在△A ′BC 中,A ′C 为直径,则∠A ′BC 为直角,2sin a A C R A '==',故2sin aR A=,其中R 为三角形外接圆的半径.通过转化与化归的思想,将∠A 转化为∠A ′,最关键的是将一般三角形中a 与∠A 的关系转化为直角三角形中的a 与∠A ′的关系,不难得到sin aA＝2R ,则2sin sin sin a b cR A B C===. 以上过程也是证明正弦定理的另一种方法,你还能想出哪些证明正弦定理的方法?结合活动三得到的三角形的面积公式,我们还可以哪些形式多样的面积公式? 我们可以得到21sin 2sin sin sin 24abc S ab C R A B C R===等形式. 问题探究三 利用正弦定理能解决哪些三角形的问题?●活动一 初步运用,运用定理解三角形一般地,我们把三角形的三个角A ,B ,C 和它们的对边a ,b ,c 叫做三角形的元素,已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 利用正弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题? 例1 在△ABC 中,已知A ＝30°,B ＝45°,a ＝2,解此三角形. 【知识点:正弦定理,解三角形；数学思想:数形结合】 详解:根据三角形内角和定理,C ＝180°－(A ＋B )＝105°,根据正弦定理,b ＝sin sin a B A ＝c ＝sin sin a CA. 点拨:正弦定理是对边对角的关系,在已知一内角的条件下,找出该角的对边,或知道一边的情况下,寻求该边的对角,注意三角形内角和为180°这个条件的运用.在解三角形时,我们在知道三角形的三个元素（至少有一边）时,可以求出另三个元素,称“知三求三”.例2 在△ABC 中,已知A ＝60°,a ＝3,b 解三角形. 【知识点:正弦定理,解三角形；数学思想:数形结合】详解:根据正弦定理,sin sin b A B a ==,且b ＜a ,则B ＜A ,故B ＝45°,所以C ＝75°,sin sin a C c A ==. 点拨:在已知一角和两边（其中一边为该角的对边）的条件下,用正弦定理求出另一边对角的正弦值,一般可以运用大边对大角或三角形内角和定理对结果进行筛选或排除,当然可以两者结合使用.例3在△ABC 中,已知A ＝45°,a ＝2,b 解三角形.【知识点:正弦定理,解三角形；数学思想:分类讨论、数形结合】详解:根据正弦定理,sin B ＝sin b Aa,且b ＞a ,则B ＞A ,故B ＝60°或120°,当B ＝60°时,C ＝75°,解得sin c=1sin a CA；当B ＝120°时,C ＝15°,解得sinc=1sin a CA. 点拨:和例2类似,已知两边和其中一边的对角,用正弦定理求出另一边对角的正弦值,此时这个角有锐角和钝角两种情况,注意分类讨论,切不可先入为主的认为B ＝60°而造成漏解.●活动二 对比提升,判断三角形解的个数比较例2和例3,对于任意给定两边和其中一边的对角,三角形唯一确定吗?如何讨论满足条件的三角形的解的个数?在△ABC 中,已知a ,b ,A ,结合例2、例3分析,在求出sin B 后,B 的解的个数决定了三角形解的个数.不难看到,当A 为直角或钝角时,a ＞b ,B 必为锐角,有唯一解；a ≤b ,无解. 当A 为锐角时,我们可以用以下方法判断解的个数.A以C 为圆心,a 为半径作圆弧,观察该圆弧能否与c 边相交,(1)当a ＜b sin A 时,无解； (2)当a ＝b sin A 时,一解； (3)当b sin A ＜a ＜b 时,两解； (4)当a≥b 时,一解.通过这个方法,我们进一步可以验证当A 为直角或钝角时的情形,(1)当a ≤b 时,无解； (2)当a ＞b 时,一解.●活动三 归纳提升,综合应用新知识利用正弦定理,我们可以解哪些已知条件下的三角形? 1.已知两角和任意一边,求其他的边和角； 2.已知两边和其中一边的对角,求其他的边和角.例4 在△ABC 中,已知A＝60°,b ＝2,c ＝3,求△ABC 的面积S . 【知识点:正弦定理】 详解:1sin 2S bc A ==. 点拨:直接应用三角形的面积公式即可.例5在△ABC 中,已知A ＝120°,a ＝3,b 判断三角形的解的个数,如有解,求△ABC 的面积S .【知识点:正弦定理,解三角形；数学思想:数形结合】 详解:由A 为钝角,且a ＞b ,故此三角形有唯一解.根据正弦定理,sin 1sin 2b A B a ==,则B ＝30°,C ＝180°－(A ＋B )＝30°,所以1sin 2S ab C ==. 点拨:三角形的面积求解需要两边及夹角,因此要先通过正弦定理求B ,再用内角和定理求C ,再用公式即可.例6 已知△ABC 的外接圆半径为1,41sin ,cos 53A B ==-,求△ABC 的面积S . 【知识点:正弦定理,两角和的正弦公式；数学思想:转化与化归】详解:由()113sin sin sin cos cos sin 535C A B A B A B ⎛⎫=+=+=⋅-+= ⎪⎝⎭则242sin sin sin 25S R A B C ==⋅=点拨:在已知三角形外接圆半径时,通过正弦定理转化面积公式显得更快一些,当然也可以利用a ＝2R sin A ,b ＝2R sin B 求出C 的两条夹边再求面积,是一样的道理. 3.课堂总结 【知识梳理】 (1)在△ABC 中,2sin sin sin a b c R A B C===（R 为△ABC 的外接圆半径）. (2)在△ABC 中,111sin sin sin 222S ab C ac B bc A ===. (3)设A 为△ABC 的最大角,已知a ,b ,A ,解三角形时解的个数判定为:若A 为锐角,①a ＜b sin A ,无解；②a ＝b sin A ,一解；③b sin A ＜a ＜b ,两解；④a ≥b ,一解.若A 为直角或钝角,①a ≤b ,无解；②a ＞b ,一解. 【重难点突破】(1)运用正弦定理时,有时需对它进行变形,如::sin :sin :sin a b c A B C =等,不论怎么变形,最终都需要将2R 约去.(2)运用正弦定理求解三角形时,若已知条件是两边和其中一边的对角,则可能无解、一解或两解,判断方法是三角形中大角对大边,大边对大角.(3)用正弦定理来解边角关系问题时,基本思路是统一角或统一边,这是三角形的变形问题常用的方法. 4.随堂检测1.在△ABC 中,A ＝45°,a ＝则sin sin sin a b cA B C++++等于（ ）A.1C.2D.4【知识点:正弦定理；数学思想:数形结合】 解:D 根据s i n a A ＝sin b B ＝sin cC＝2R ,a ＝2R sin A ,b ＝2R sin B ,c ＝2R sin C ,则sin sin sin a b c A B C ++++＝2R ＝sin aA＝4,故选D.2.在△ABC 中,已知b c ＝1,B ＝45°,则a ＝（ ）11【知识点:正弦定理；数学思想:数形结合】 解:B 根据正弦定理,sin C ＝sin c B b ＝12,因为c ＜b ,则C ＜B ,故C ＝30°,则A ＝105°,所以a ＝sin sin c AC,故选B.3.在△ABC 中,已知b cos A ＝a cos B ,则△ABC 的形状为（ ） A.直角三角形 B.等腰三角形 C.正三角形 D.等腰直角三角形【知识点:正弦定理的应用,两角差的正弦公式；数学思想:数形结合】 解:B 根据sin a A ＝sin b B＝2R ,a ＝2R sin A ,b ＝2R sin B ,则2R sin B cos A ＝2R sin A cos B ,即sin(A －B )＝0,得A ＝B ,故△ABC 为等腰三角形,故选B.4.在△ABC 中,A ＝30°,B ＝105°,c ＝4,则△ABC 的外接圆的面积为（ ） A.4πB.8πC.16πD.32π【知识点:正弦定理的应用；数学思想:数形结合】解:B 由C ＝180°－(A ＋B )＝45°,得2R ＝sin cC＝R ＝圆面积S ＝πR 2＝8π,故选B.5.在△ABC 中,若a ＝C ＝13,S △ABC ＝则b ＝_________ . 【知识点:正弦定理的应用；数学思想:数形结合】解 由cos C ＝13,得sin C ,根据S ＝12ab sin C ＝得b ＝（三）课后作业基础型 自主突破1.已知在10,45,30,,ABC c A C a b B ∆==︒=︒中，求和. 【知识点:正弦定理,解三角形；数学思想:数形结合】 解:由A a sin =B b sin =sin cC,180()105B A C =︒-+=︒,解得210=a ,2565+=b .2.在60,1,ABC b B c a ∆=︒=中，求.【知识点:正弦定理,解三角形；数学思想:数形结合】 解:由B b sin =sin cC,得sin C ＝12,因为c ＜b ,所以C ＜B ,则C ＝30°,则A ＝90°,故△ABC 为直角三角形,所以222=+=c b a .3.45,2,,ABC c A a b B C ∆==︒=中，求和.【知识点:正弦定理,解三角形；数学思想:数形结合】解:sin ,sin sin sin a c c A C A C a =∴===Qsin ,60c A a c C <<∴=︒Q 或120︒.sin6075,1sin c BC B b C ∴=︒=︒===当时，,sin12015,1sin c B C B b C ∴=︒=︒===当时，，1,75,60b B C ∴==︒=︒或1,15,120b B C =︒=︒.4.ABC ∆中,222sin sin sin A B C =+,则ABC ∆为( )A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形【知识点:正弦定理；数学思想:转化与化归】解:A 由正弦定理得a 2＝b 2＋c 2,则故△ABC 为直角三角形,故选A.5.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若a cos A ＝b sin B ,则sin A cos A ＋cos 2B ＝( )A.－12B.12C.－1D.1【知识点:正弦定理,同角三角函数间的基本关系】解:D 由正弦定理及a cos A ＝b sin B ,得sin A cos A ＝sin 2B .则sin A cos A ＋cos 2B ＝sin 2B ＋cos 2B ＝1.6.在△ABC 中,C ＝120°,c 2－c 2cos 2A ＝3,则a ＝________.【知识点:正弦定理,同角三角函数间的基本关系】解:2 由c 2－c 2cos 2A ＝c 2sin 2A ＝3,故c sin A ,由正弦定理,a ＝sin sin c A C＝2. 能力型 师生共研7.在ABC ∆中,B A sin sin >是B A >的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【知识点:必要条件、充分条件与充要条件的判断,正弦定理】解:C 首先,由正弦定理得2R sin A ＞2R sin C ,故a ＞c ,由大边对大角,有A ＞C ；其次,由A ＞C ,得a ＞c ,即2R sin A ＞2R sin C ,故sin A ＞sin C .故选C.8.在锐角ABC ∆中,若2,1==b a ,则边c 的取值范围是（ ） A.)5,0( B.)5,1( C.)5,3(D.(1,3)【知识点:正弦定理,解三角形；数学思想:数形结合】解:C 应用极端原理,当B 为直角时,c ＝ 3 ,当C 为直角时,c ＝5,因△ABC 为锐角三角形,故 3 ＜c ＜5,故选C.9.在ABC ∆中,已知︒===45,2,B b x a ,如果利用正弦定理解三角形时有两解,则x 的取值范围是（ ） A.222<<x B.222≤<xC.2>xD.2<x【知识点:正弦定理,解三角形；数学思想:数形结合】解:A 因三角形有两解,则a sin B ＜b ＜a ,x ＜2＜x ,解得2＜x ＜故选A. 10.在ABC ∆中,求证:2222112cos 2cos ba b B a A -=-. 【知识点:二倍角的余弦,正弦定理；数学思想:转化与化归】解:sin sin a b A B =⇒sin sin A B a b =⇒22sin sin ()()A B a b= ⇒2222sin sin A B a b =⇒221cos 21cos 2A B a b --=⇒2222cos 2cos 211A B a b a b-=-. 探究型 多维突破11.已知ABC ∆,B ∠的平分线交AC 于点D ,求证:DC AD BC AB ::=.【知识点:正弦定理的应用；数学思想:数形结合】证明:在ABD ∆内,利用正弦定理得:sin sin sin sin AB AD AB ADB ADB ABD AD ABD∠==∠∠∠即 在BCD ∆内,利用正弦定理得:sin ,.sin sin sin BC DC BC BDC BDC DBC DC DBC∠==∠∠∠即 ∵BD 是B 的平分线,∴sin sin ABD DBC ∠=∠.∵sin sin ADB BDC ∠=∠, ∴sin sin sin sin AB ADB BDC BC AD ABD DBC CD ∠∠===∠∠,∴AB AD BC DC =. 12.在ABC ∆中,已知)sin()sin(sin sin C B B A C A --=,求证:222,,c b a 成等差数列. 【知识点:两角和与差的正弦函数,二倍角的余弦,正弦定理,等差数列；数学思想:转化与化归】证明:由已知得sin()sin()B C B C +-sin()sin()A B A B =+-,cos 2cos 2cos 2cos 2B C A B -=-,1cos 21cos 21cos 22222B A B ---⋅=+, ∴2222sin sin sin B AC =+,由正弦定理可得2b 2＝a 2＋c 2,故a 2,b 2,c 2成等差数列.自助餐1.在ABC ∆中,45a b B ===︒,则A 为（ ）A.233ππ或 B.3πC.566ππ或 D.6π 【知识点:正弦定理,解三角形；数学思想:数形结合、分类讨论】 解:A 由sin a A =sin b B,得sin A,则A ＝60°或120°,故选A. 2.在ABC ∆中,2sin b A =,则B =( )A.3πB.6πC.233ππ或 D.566ππ或【知识点:正弦定理】解:C 由sin aA =sin bB ,得sin B ,故选C.3.在ABC ∆中,已知2,60a b A ==︒,则符合条件的三角形的个数有（） A.2个B .1个C . 0个D.无数个【知识点:正弦定理,解三角形；数学思想:数形结合】解:B 由a ＞b ,故A ＞B ,则三角形只有一解,故选B.4.在△ABC 中,cos A ＝－13,a ＝3,b ,则符合条件的三角形的个数有（）A.2个B .1个C . 0个D.无数个【知识点:正弦定理,解三角形；数学思想:数形结合】解:C 由cos A ＜0,得A 为钝角,又a ＜b ,故此三角形无解,故选C.5.在ABC ∆中,45B =︒,60C =︒,1c =,则最短边的边长等于（ ）C.12【知识点:正弦定理,解三角形；数学思想:数形结合】解:A 由三角形内角和为180°知A ＝75°,故B 角最小,从而b 为最小边,由正弦定理,b故选A. 6.在△ABC 中,a cos A ＝b cos B ,则△ABC 的形状为（ ）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形【知识点:正弦定理】解:D 由a cos A ＝b cos B 及正弦定理,得sin A cos A ＝sin B cos B ,即sin2A ＝sin2B , 则2A ＝2B 或2A ＋2B ＝180°,则A ＝B 或A ＋B ＝90°,△ABC 为等腰或直角三角形,故选D.7.在△ABC 中,若b ＝10,B ＝π4,tan A ＝2,则a ＝________.【知识点:正弦定理,同角三角函数间的基本关系】解:410 由tan A ＝sin A cos A ＝2,得sin A ＝255,又∵b ＝10,B ＝π4,根据正弦定理,得a ＝b sin A sin B ＝10×25522＝410. 8.已知函数()sin()6f x x π=+,ABC △三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若()1f B C +=,a ＝3,b ＝1,则ABC △的面积S ＝__________.【知识点:正弦定理】解:34 由()1f B C +=,得()sin 1B C π++=,又()7,666B C πππ++∈,所以62B C ππ++=, 得23A π=,由正弦定理sin sin B A b a =,得1sin 2B =,则6B π=,6C π=,则面积1s i n 2S ab C =9.如图所示,扇形AOB 中,∠AOB ＝60°,OB ＝1,在弧AB 上有一动点P ,过P 作平行于OB 的直线和OA 交于点C ,则△POC 面积的最大值为______________.【知识点:正弦定理,解三角形,三角恒等变换；数学思想:数形结合】解:312 设∠AOP ＝θ,∵CP ∥OB ,∴∠CPO ＝∠POB ＝60°－θ,∴∠OCP ＝120°.在△POC 中,由正弦定理,得1sin120°＝CP sin θ,有CP ＝23sin θ. 又OC sin(60°－θ)＝1sin120°,有OC ＝23sin(60°－θ). 因此△POC 的面积为S ＝12CP ·OC sin120°＝12·23sin θ·23sin(60°－θ)×32＝13sin θsin(60°－θ)＝13sin θ(32cos θ－12sin θ)＝123[cos(2θ－60°)－12],θ∈(0°,60°). 故当θ＝30°时,S 取得最大值为312.10.已知在ABC ∆中,452A a c ∠=︒==，，,解此三角形.【知识点:正弦定理,解三角形；数学思想:分类讨论】解:由sin a A ＝sin c C,得sin C C ＝60°或120°,sin6075,1sin c B C B b C =︒=︒===+当时，,sin12015,1sin c B C B b C =︒=︒===当时，，所以16075b C B =+=︒=︒，，或112015b C B =︒=︒，，. 11.在ABC ∆中,如果lg lg lgsin a c B -==-且B 为锐角,试判定三角形的形状.【知识点:对数的运算性质,正弦定理,解三角形；数学思想:数形结合】解:由条件有sin B 及c ,因为B 为锐角,则B ＝45°,A ＝135°－C ,由c ,得sin C A －C )＝cos C ＋sin C ,则cos C ＝0,C ＝90°,A ＝45°,故△ABC 为等腰直角三角形.12.在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边,且2cos A cos C (tan A tan C －1)＝1.(1)求B 的大小；(2)若b ＝3,求△ABC 的周长l 的最大值.【知识点:正弦定理,三角恒等变换,正弦函数的值域；数学思想:转化与化归】解:(1)由2cos A cos C (tan A tan C －1)＝1,得2cos A cos C (sin A sin C cos A cos C －1)＝1.∴2(sin A sin C －cos A cos C )＝1,∴cos(A ＋C )＝－12,∴cos B ＝12.又0＜B ＜π,∴B ＝π3.(2)由正弦定理,得2R ＝b sin B ＝2,则a ＝2R sin A ＝2sin A ,c ＝2R sin C ＝2sin(2π3－A ),∴l ＝a ＋b ＋c ＝2sin A ＋2sin(2π3－A )＋3＝2sin A ＋3cos A ＋sin A ＋ 3＝3sin A ＋3cos A ＋3＝23sin(A ＋π6)＋ 3.∵A ∈[0,2π3],且A ≠π6,A ≠π2,∴当A ＝π3时,l max ＝3 3.故△ABC 的周长的最大值为3 3.。
