江苏省锡山高级中学2019-2020学年高二数学第一学期阶段测试卷(十月月考)

2020-2021学年第一学期高二数学基础试卷2020.10.8一､单选题(每题5分,共40分)1.,则() A.第6项 B.第7项 C.第10项 D.第11项2.设数列{}n a 的前m 项和2n S n =,则8a 的值为A.15B.16C.49D.64 3.不等式3112x x-≥-的解集是() 3.|24A x x ≤≤3.{|2}4B x x ≤< 3.|4C x x ≤-或2}x > D. {x|x<2}4.有这样一道题目:“戴氏善屠,日益功倍｡初日屠五两,今三十日屠讫,向共路几何?”其意思为:“有一个姓戴的人善于屠肉,每一天屠完的肉是前一天的2倍,第一天屠了5两肉,共屠了30天,向一共屠了多少两肉?“在这个问题中,该屠夫前5天所屠肉的总两数为()A.35B.75C.155D.315 5.已知22,,100,m n m n ∈+=R 则mn 的最大值是()A.100B.50C.20D.106.在正项等比数列{}n a 中,374,a a =数列2{log }n a 的前9项之和为()A.11B.9C.15D.137.数列{}n a 的前n 项和为2*23(),n S n n n =-∈N 若p-q=5,则p q a a -=()A.20B.15C.10D. -58.函数233(1)1x x y x x ++=<-+的最大值为() A.3 B.2 C.1 D. -1二､多选题(每题5分,共20分;选对得5分,少选得3分,选错不得分)9.已知{}n a 是等差数列,其前n 项和为,n S 满足1263,a a S +=则下列四个选项中正确的有7.0A a = 13.0B S = 7.C S 最小 58.D S S =10.在公比q 为整数的等比数列{}n a 中,n S 是数列{}n a 的前n 项和,若142332,12a a a a ⋅=+=,则下列说法正确的是()A. q=2B.数列{2}n S +是等比数列8.510C S = D.数列{lg }n a 是公差为2的等差数列11.设正实数a,b 满足a +b=1,则()12 11.B a b +有最大值4.C 22.D a b +有最小值12 12.设{}n a 是无穷数列,若存在正整数k,使得对任意n N +∈ ,均有,n k n a a +>则称{}n a 是间隔递增数列, k 是{}n a 的间隔数,下列说法正确的是()A.公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列B.已知4,n a n n=+,则{}n a 是间隔递增数列 C.已知2(1),n n a n =+-则{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是2D.已知22020,n a n tn =-+,若{}n a 是间隔递增数列且最小间隔是3,则4≤t<5三､填空题(每题5分,共20分)13.不等式2560x x -+<的解集为________. 1111114.22424624682462020+++++++++++++++=_______. 15.设a>0, b>1,若a+b=2,则911a b +-的最小值为________. 16.已知数列{}n a 的前n 项和为12,1,3,n S a a ==且1222(2)n n n n S S S n +++=+≥.若()n n S a λλ-++5≥(2-λ)n 对*n ∀∈N 都成立,则实数λ的最小值为_______.四､解答题(共70分; 17题和18题各10分, 22题14分,其余各题每题12分)17.已知数列{}n a 的前n 项和为2230.n S n n =-(1)当n S 取最小值时,求n 的值;(2)求出{}n a 的通项公式.18. (1)已知x>0, y>0,且2x +5y=1,求11x y +的最小值. (2)已知2()(2)2(f x x m x m m =+--∈R ),求f(x)<0的解集.19.已知等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 等比数列{}n b 的前n 项和为,n T ,若114243,,a b a b S ===-212.T =(1)求数列{}n a 与{}n b 的通项公式;(2)求数列{}n n a b +的前n 项和.20.2020年初,新冠肺炎疫情袭击全国,对人民生命安全和生产生活造成严重影响.在党和政府强有力的抗疫领导下,我国控制住疫情后,一面防止境外疫情输入,另一方面逐步复工复产,减轻经济下降对企业和民众带来的损失.为降低疫情影响,某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m 万元(m ≥0)满足41k x m =-+(k 为常数),如果不搞促销活动,则该产品的年销售量只能是2万件,已知生产该产品的固定投入为8万元,每生产一万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(此处每件产品年平均成本按816x x +元来计算)｡ (1)将2020年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数;(2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?21.数列{}n a 满足:212,*231n a a a n n n n +++=+∈+N . (1)求{}n a 的通项公式;(2)设1,n n b a =数列{}n b 的前n 项和为,n S 求满足920n S >的最小正整数n.22.已知{}n x 是各项均为正数的等比数列,且12323,2x x x x +=-=(1)求数列{}n x 的通项公式;(2)如图,在平面直角坐标系xOy 中,依次连接点1122111(,1),(,2)(,1)n n P x P x P x n +++得 到折线121,n PP P +,求四边形11n n n n x x P P ++的面积;(3)求由该折线与直线110,,n y x x x x +===所围成的区域的面积.n T。

2019-2020年高三（上）10月月考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1．（5分）（xx•江苏模拟）已知集合M={x|x＜3}，N={x|log2x＞1}，则M∩N={x|2＜x＜3}．考点：对数函数的定义域；交集及其运算．专题：计算题．分析：先求出集合N，然后再求集合M∩N．解答：解：∵M={x|x＜3}，N={x|log2x＞1}={x|x＞2}，∴M∩N={x|2＜x＜3}．故答案为：{x|2＜x＜3}．点评：本题考查集合的运算和对数函数的定义域，解题时要全面考虑，避免不必要的错误．2．（5分）已知=3+i（a，n∈R，i为虚数单位），则a+b=6．考点：复数相等的充要条件．专题：计算题．分析：由已知中=3+i，可得a+bi=（3+i）•（2﹣i），由复数乘法运算法则，求出（3+i）•（2﹣i）后，根据复数相等的充要条件，可以分别求出a，b的值，进而得到a+b的值．解答：解：∵=3+i∴a+bi=（3+i）•（2﹣i）=7﹣i∴a=7，b=﹣1∴a+b=6故答案为：6点评：本题考查的知识点是复数相等的充要条件，复数的基本运算，其中根据复数相等的充要条件求出参数a，b的值，是解答本题的关键．3．（5分）在△ABC中，，则∠B=45°．考点：正弦定理．专题：计算题．分析：先根据正弦定理可知，进而根据题设条件可知，推断出sinB=cosB，进而求得B．解答：解：由正弦定理可知，∵∴∴sinB=cosB∴B=45°故答案为45°点评：本题主要考查了正弦定理的应用．属基础题．4．（5分）（xx•黄埔区一模）执行如图的程序框图，若p=15，则输出的n=5．考点：程序框图．专题：计算题．分析：由已知可得循环变量n的初值为1，循环结束时S≥p，循环步长为1，由此模拟循环执行过程，即可得到答案．解答：解：当n=1时，S=2，n=2；当n=2时，S=6，n=3；当n=3时，S=14，n=4；当n=4时，S=30，n=5；故最后输出的n值为5故答案为：5点评：本题考查的知识点是程序框图，处理本类问题最常用的办法是模拟程序的运行，其中分析循环过程中各变量在循环中的值是关键．5．（5分）（xx•怀化二模）若向量，满足且与的夹角为，则=．考点：合情推理的含义与作用．专题：计算题．分析：要求两个向量的和的模长，首先求两个向量的和的平方再开方，根据多项式运算的性质，代入所给的模长和夹角，求出结果，注意最后结果要开方．解答：解：∵且与的夹角为，∴===，故答案为：点评：本题考查向量的和的模长运算，考查两个向量的数量积，本题是一个基础题，在解题时最后不要忽略开方运算，是一个送分题目．这种题目会在高考卷中出现．6．（5分）函数的图象如图所示，则f（x）的表达式是f（x）=．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题；图表型；数形结合；数形结合法．分析：由函数图象知，函数的最大值是，最小值是，易求出A与K，又由最高点的横坐标与最低点的横坐标求出，即可求出ω，再将点（）代入求出φ即可得到函数的解析式解答：解：由图知，周期，所以ω=2．又，所以k=1．因为，则．由，得sin（2×+φ）=1，即得2×+φ=得．故．故答案为点评：本题考查由f（x）=Asin（ωx+φ）+k的部分图象确定其解析式，解题的关键是从图象的几何特征得出解析式中参数的方程求出参数，求解本题难点是求初相φ的值，一般是利用最值点的坐标建立方程求之，若代入的点不是最值点，要注意其是递增区间上的点还是递减区间上的点，确定出正确的相位值，求出初相，此处易出错，要好好总结规律．7．（5分）（xx•江西模拟）已知sin（﹣x）=，则sin2x的值为．考点：二倍角的正弦；两角和与差的正弦函数．专题：计算题．分析：利用诱导公式和两角和公式对sin2x化简整理，然后把sin（﹣x）=代入即可得到答案．解答：解：sin2x=cos（﹣2x）=1﹣2sin2（﹣x）=故答案为点评：本题主要考查了三角函数中的二倍角公式．属基础题．8．（5分）（xx•四川）设数列{a n}中，a1=2，a n+1=a n+n+1，则通项a n=．考点：数列递推式．专题：计算题；压轴题．分析：根据数列的递推式，依次写出n=1，2，3…n的数列相邻两项的关系，进而格式相加即可求得答案．解答：解：∵a1=2，a n+1=a n+n+1∴a n=a n﹣1+（n﹣1）+1，a n﹣1=a n﹣2+（n﹣2）+1，a n﹣2=a n﹣3+（n﹣3）+1，…，a3=a2+2+1，a2=a1+1+1，a1=2=1+1将以上各式相加得：a n=[（n﹣1）+（n﹣2）+（n﹣3）++2+1]+n+1=故答案为；点评：此题重点考查由数列的递推公式求数列的通项公式．重视递推公式的特征与解法的选择；抓住a n+1=a n+n+1中a n+1，a n系数相同是找到方法的突破口；此题可用累和法，迭代法等；9．（5分）双曲线x2﹣=1的渐近线被圆x2+y2﹣6x﹣2y+1=0所截得的弦长为4．考点：圆与圆锥曲线的综合．专题：计算题；分类讨论．分析：求出渐近线方程，由点到直线的距离公式求出圆心到渐近线的距离，将此距离和半径作比较，得出结论，再求弦长即可．解答：解：由题得双曲线x2﹣=1的渐近线是：y=±2x圆x2+y2﹣6x﹣2y+1=0的标准方程为：（x﹣3）2+（y﹣1）2=9∴圆心（3，1），半径r=3．∴（3，1）到直线y=2x的距离d=．故有，得到弦长l=4；∵（3，1）到直线y=﹣2x的距离d=＞r，此时圆于直线相离．综上得：双曲线x2﹣=1的渐近线被圆x2+y2﹣6x﹣2y+1=0所截得的弦长为4．故答案为：4．点评：本题考查双曲线的简单性质，点到直线的距离公式的应用，直线和圆的位置关系．考查计算能力以及分类讨论能力．10．（5分）设直线x=t与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别交于点M，N，则当MN 达到最小时t的值为．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：综合题．分析：将两个函数作差，得到函数y=f（x）﹣g（x），求此函数的最小值，确定对应的自变量x的值，即可得到结论．解答：解：设函数y=f（x）﹣g（x）=x2﹣lnx（x＞0），求导数得y′=2x﹣=（x＞0）令y′＜0，则函数在（0，）上为单调减函数，令y′＞0，则函数在（，+∞）上为单调增函数，所以当x=时，函数取得最小值为+ln2所以当MN达到最小时t的值为故答案为：点评：本题考查导数知识的运用，解题的关键是构造函数，确定函数的单调性，从而求出函数的最值．11．（5分）函数上的最大值为．考点：利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用．分析：用导数判断函数的单调性，由单调性可求最大值．解答：解：y′=1+2cosx，当x∈[﹣，]时，y′＞0，所以y=x+2sinx在[﹣，]上单调递增，所以当x=时，y=x+2sinx取得最大值为：+2sin=+2．故答案为：+2．点评：本题考查函数的单调性，对于由不同类型的函数构成的函数最值问题，常用函数的性质解决．12．（5分）若函数f（x）满足f（x+2）=f（x）且x∈[﹣1，1]时f（x）=|x|，则函数y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象的交点个数是4．考点：函数的周期性；带绝对值的函数．专题：计算题．分析：先根据题意确定f（x）的周期和奇偶性，进而在同一坐标系中画出两函数大于0时的图象，可判断出x＞0时的两函数的交点，最后根据对称性可确定最后答案．解答：解：∵f（x+2）=f（x），x∈（﹣1，1）时f（x）=|x|，∴f（x）是以2为周期的偶函数∵y=log3|x|也是偶函数，∴y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象的交点个数只要考虑x＞0时的情况即可当x＞0时图象如图：故当x＞0时y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象有2个交点∴y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象的交点个数为4故答案为：4．点评：本题主要考查函数的基本性质﹣﹣单调性、周期性，考查数形结合的思想．数形结合在数学解题中有重要作用，在掌握这种思想能够给解题带来很大方便．13．（5分）（xx•天津）如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是边BC上一点，DC=2BD，则=．考点：平面向量数量积的运算．专题：压轴题．分析：法一：选定基向量，将两向量，用基向量表示出来，再进行数量积运算，求出的值．法二：由余弦定理得，可得，又夹角大小为∠ADB，，所以=．解答：解：法一：选定基向量，，由图及题意得，=∴=（）（）=+==法二：由题意可得∴，∵，∴=．故答案为：﹣．点评：本题主要考查余弦定理和向量数量积的应用．向量和三角函数的综合题是高考热点，要给予重视．14．（5分）关于x的方程（x2﹣1）2﹣|x2﹣1|+k=0有5个不同的实根，则实数k=0．考点：函数的图象；分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：计算题；数形结合．分析：讨论x2﹣1的正负，画出高次函数的图象，观察即可得出答案．解答：解：当x2﹣1≥0时原方程为（x2﹣1）（x2﹣2）=﹣k（x﹣1）（x+1）（x+）（x﹣）=﹣k当x＜0时原方程为（x2﹣1）x2=﹣k（x+1）（x﹣1）x2=﹣k两种情况联立图象为由此可知只有当k=0时，方程才可能有五个不同实根．故答案为0．点评：本题考查了高次方程的解，技巧有把高次方程因式分解，把所有根在数轴上从小到大依次排列，用平滑曲线从右上方开始顺次穿过所有根，值得注意的是如果根所在的因式为偶次曲线穿而不过，像图中的﹣1，0，1处．在x 轴上下方的线分别代表y 的值的正负．二、解答题（本大题共6道题，计90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．15．（14分）（xx •天津）在△ABC 中，已知AC=2，BC=3，．（Ⅰ）求sinB 的值；（Ⅱ）求的值．考点：正弦定理；同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的正弦函数；二倍角的余弦． 专题：计算题．分析： （1）利用cosA ，求得sinA ，进而根据正弦定理求得sinB ．（2）根据cosA 小于0判断A 为钝角，从而角B 为锐角，进而根据sinB 求得cosB 和cos2B ，进而利用倍角公式求得sin2B ，最后根据两角和公式求得答案．解答： （Ⅰ）解：在△ABC 中，，由正弦定理，．所以．（Ⅱ）解：∵，所以角A 为钝角，从而角B 为锐角， ∴，，．==．点评： 本小题考查同角三角函数的基本关系式、两角和公式、倍角公式、正弦定理等的知识，考查基本运算能力16．（14分）（xx •南通模拟）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 5+a 13=34，S 3=9．（1）求数列{a n }的通项公式及前n 项和公式；（2）设数列{b n }的通项公式为，问：是否存在正整数t ，使得b 1，b 2，b m （m ≥3，m ∈N ）成等差数列？若存在，求出t 和m 的值；若不存在，请说明理由．考点：等差数列的性质．专题：综合题；探究型．分析：（1）设出等差数列的公差为d，根据等差数列的性质及通项公式化简a5+a13=34，S3=9，即可求出首项和公差，分别写出通项公式及前n项和的公式即可；（2）把（1）求得的通项公式a n代入得到数列{b n}的通项公式，因为b1，b2，b m成等差数列，所以2b2=b1+b m，利用求出的通项公式化简，解出m，因为m与t都为正整数，所以得到此时t和m的值即可．解答：解：（1）设等差数列{a n}的公差为d．由已知得即解得．故a n=2n﹣1，S n=n2（2）由（1）知．要使b1，b2，b m成等差数列，必须2b2=b1+b m，即，（8分）．整理得，因为m，t为正整数，所以t只能取2，3，5．当t=2时，m=7；当t=3时，m=5；当t=5时，m=4．故存在正整数t，使得b1，b2，b m成等差数列．点评：此题考查学生灵活运用等差数列的性质、通项公式及前n项和的公式化简求值，是一道中档题．17．（14分）多面体ABCDE中，AB=BC=AC=AE=1，CD=2，AE⊥面ABC，AE∥CD．（1）在BC上找一点N，使得AN∥面BED（2）求证：面BED⊥面BCD．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）分别取BC、BD中点为N、M，连接MN、AN、EM．可证出四边形AEMN为平行四边形，得AN∥EM，结合线面平行的判定定理，可得AN∥面BED；（2）利用空间线线平行的性质，结合线面垂直的判定与性质可证出EM⊥CD且EM⊥BC，可得EM⊥面BCD，最后根据面面垂直的判定定理，证出面BED⊥面BCD．解答：解：（1）分别取BC、BD中点为N、M，连接MN、AN、EM∵MN是△ABC的中位线，∴MN∥CD且MN=CD …（2分）又∵AE∥CD且AE=CD，∴MN、AE平行且相等．∴四边形AEMN为平行四边形，得AN∥EM …（4分）∵AN⊄面BED，EM⊂面BED，∴AN∥面BED…（6分）（2）∵AE⊥面ABC，AN⊂面ABC，∴AE⊥AN又∵AE∥CD，AN∥EM，∴EM⊥CD…（8分）∵N为BC中点，AB=AC，∴AN⊥BC∴结合AN∥EM得EM⊥BC…（10分）∵BC、CD是平面BCD内的相交直线，∴EM⊥面BCD…（12分）∵EM⊂面BED，∴面BED⊥面BCD …（14分）点评：本题给出特殊的四面体，求证线面平行并且面面垂直，着重考查了空间线面平行、线面垂直和面面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．18．（16分）开口向下的抛物线y=ax2+bx（a＜0，b＞0）在第一象限内与直线x+y=4相切．此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为．（1）求a与b的关系式，并用b表示S（b）的表达式；（2）求使S（b）达到最大值的a、b值，并求S max．考点：直线与圆锥曲线的关系；函数最值的应用．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）直线x+y=4与抛物线y=ax2+bx相切，即它们有唯一的公共点，联立方程，利用判别式必须为0，确定a与b的关系式，代入，即可用b表示S（b）的表达式；（2）求导数，确定函数的单调性，可求函数的极值与最值，即可得到结论．解答：解：（1）依题设可知抛物线开口向下，且a＜0，b＞0，直线x+y=4与抛物线y=ax2+bx相切，即它们有唯一的公共点，由方程组得ax2+（b+1）x﹣4=0，其判别式必须为0，即（b+1）2+16a=0．∴，代入得：；（2）；令S'（b）=0，在b＞0时得b=3，且当0＜b＜3时，S'（b）＞0；当b＞3时，S'（b）＜0，故在b=3时，S（b）取得极大值，也是最大值，即a=﹣1，b=3时，S取得最大值，且．点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查导数知识的运用，确定函数关系式是关键．19．（16分）（2011•扬州模拟）在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆E：的左、右顶点分别为A1、A2，上、下顶点分别为B1、B2．设直线A1B1的倾斜角的正弦值为，圆C与以线段OA2为直径的圆关于直线A1B1对称．（1）求椭圆E的离心率；（2）判断直线A1B1与圆C的位置关系，并说明理由；（3）若圆C的面积为π，求圆C的方程．考点：圆与圆锥曲线的综合；圆的标准方程；直线与圆的位置关系；椭圆的简单性质．专题：综合题．分析：（1）设椭圆E的焦距为2c（c＞0），因为直线A1B1的倾斜角的正弦值为，所以，由此能求出椭圆E的离心率．（2）由，设a=4k（k＞0），，则，于是A1B1的方程为：，故OA2的中点（2k，0）到A1B1的距离d=，由此能够证明直线A1B1与圆C相切．（3）由圆C的面积为π知圆半径为1，从而，设OA2的中点（1，0）关于直线A1B1：的对称点为（m，n），则，由此能求出圆C的方程．解答：解：（1）设椭圆E的焦距为2c（c＞0），因为直线A1B1的倾斜角的正弦值为，所以，于是a2=8b2，即a2=8（a2﹣c2），所以椭圆E的离心率．（4分）（2）由可设a=4k（k＞0），，则，于是A1B1的方程为：，故OA2的中点（2k，0）到A1B1的距离d=，（6分）又以OA2为直径的圆的半径r=2k，即有d=r，所以直线A1B1与圆C相切．（8分）（3）由圆C的面积为π知圆半径为1，从而，（10分）设OA2的中点（1，0）关于直线A1B1：的对称点为（m，n），则（12分）解得．所以，圆C的方程为（14分）点评：本题考查圆锥曲线和直线的位置关系的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．20．（16分）（xx•兰州一模）已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2﹣x+2（I）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（Ⅲ）对一切的x∈（0，+∞），2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．专题：综合题；压轴题；转化思想．分析：（I）求出f′（x），令f′（x）小于0求出x的范围即为函数的减区间，令f′（x）大于0求出x的范围即为函数的增区间；（Ⅱ）当时t无解，当即时，根据函数的增减性得到f（x）的最小值为f（），当即时，函数为增函数，得到f（x）的最小值为f（t）；（Ⅲ）求出g′（x），把f（x）和g′（x）代入2f（x）≤g′（x）+2中，根据x大于0解出，然后令h（x）=，求出h（x）的最大值，a大于等于h（x）的最大值，方法是先求出h′（x）=0时x的值，利用函数的定义域和x的值分区间讨论导函数的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性即可得到函数的最大值，即可求出a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）f′（x）=lnx+1令f′（x）＜0解得∴f（x）的单调递减区间为令f′（x）＞0解得∴f（x）的单调递增区间为；（Ⅱ）当时，t无解当，即时，∴；当，即时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，∴f（x）min=f（t）=tlnt∴；（Ⅲ）由题意：2xlnx≤3x2+2ax﹣1+2即2xlnx≤3x2+2ax+1∵x∈（0，+∞）∴设，则令h′（x）=0，得（舍）当0＜x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜0∴当x=1时，h（x）取得最大值，h（x）max=﹣2∴a≥﹣2故实数a的取值范围[﹣2，+∞）点评：本题要求学生会利用导函数的正负得到函数的额单调区间以及会根据函数的增减性得到函数的极值，掌握不等式恒成立时所满足的条件，是一道中档题．11 / 11文档可自由编辑打印。

2019-2020学年江苏省无锡市锡山区天一中学平行班高二（上）期中数学试卷一、选择题（每小题5分，共60分）请把答案直接填写在答题纸相应位置上1．命题“x π=”是“sin 0x =”的()条件．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．下列双曲线中，渐近线方程为2y x =±的是()A ．2214y x -=B ．2214x y -=C ．2212y x -=D ．2212x y -=3．以坐标原点为顶点，且(3,0)为焦点的抛物线方程是()A ．212y y=-B ．212y x=C ．26y x =D ．26y x=-4．下列命题中是假命题的是()A ．x R ∃∈，0x lge =B ．x R ∃∈，tan x x =C ．(0,)2x π∀∈，sin 1x <D ．x R ∀∈，1x e x >+5．设椭圆22221(0)x y m n m n +=>>的右准线为8x =，椭圆的离心率为12，则椭圆的方程为()A ．2211216x y +=B ．2211612x y +=C ．2214864x y +=D ．2216448x y +=6．下列命题：①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有0AB BC CD DA +++=；②||||||a b a b -=+ 是a、b 共线的充要条件；③对空间任意一点P 与不共线的三点A 、B 、C ，若(OP xOA yOB zOC x =++，y ，)z R ∈，则P 、A 、B 、C 四点共面．其中不正确命题的个数是()A ．0B ．1C ．2D ．37．已知(2a = ，1-，3)，(1b =- ，4，2)-，(1c = ，3，)λ，若a 、b 、c三向量共面，则实数λ等于()A ．1B ．2C ．3D ．48．O 为坐标原点，F为抛物线2:C y =的焦点，P 为C 上一点，若||PF =，则POF ∆的面积为()A ．2B．C．D ．49．设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与抛物线21y x =+相切，则该双曲线的离心率等于()AB ．2CD10．设1F ，2F 是双曲线2244(0)x y a a -=>的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足120PF PF =，12||||2PF PF =，则a 的值为()A ．2B ．52C ．1D11．直线l 的方程为3y x =+，P 为l 上任意一点，过点P 且以双曲线221243x y -=的焦点为焦点作椭圆，那么该椭圆的最短长轴长为()A ．2B．C ．4D．12．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线与椭圆交于A 、B 两点，若△1F AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则离心率为()A ．22B．2-C2-D-二、填空题（每小题5分，共20分）请把答案直接填写在答题纸相应位置上.13．若双曲线221y x m-=，则实数m =．14．已知集合{|22}A x a x a =-+ ，2{|41270}B x x x =+- ，若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，则实数a 的取值范围是．15．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，离心率为e ，若椭圆上存在点P ，使得12PFe PF =，则该离心率e 的取值范围是．16．已知F 是抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB = （其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是．三、解答题（本大题共6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案直接填写在答题纸相应位置上）17．已知命题:(2,1)p x ∃∈-，使等式20x x m --=成立，命题22:124x y q m m+=--表示椭圆．（1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围．（2）判断命题p 为真命题是命题q 为真命题的什么条件（请用简要过程说明是“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”和“既不充分也不必要条件”中的哪一个）18．已知双曲线1C 20y ±=，焦点坐标是1(F ，0)、2F 0)．（Ⅰ）求双曲线1C 的方程；（Ⅱ）若椭圆2C 与双曲线1C 有公共的焦点，且它们的离心率之和为576，点P 在椭圆2C 上，且1||4PF =，求12F PF ∠的大小．19．三棱柱111ABC A B C -在如图所示的空间直角坐标系中，已知2AB =，4AC =，13AA =．D 是BC 的中点．（1）求直线1A D 与11B C 所成角的余弦值；（2）求直线1DB 与平面11A C D 所成角的正弦值．20．已知抛物线2:2C y x =的焦点为F ，过焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，过A ，B 作准线的垂线交准线与P ，Q 两点．R 是PQ 的中点．（1）证明：以PQ 为直径的圆恒过定点F ．（2）证明：//AR FQ ．21．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1AA ⊥底面ABCD ，AB AC ⊥，1AB =，12AC AA ==，AD CD ==M 和N 分别为1B C 和1D D 的中点．（Ⅰ）求证：//MN 平面ABCD （Ⅱ）求二面角11D AC B --的正弦值；（Ⅲ）设E 为棱11A B 上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13，求线段1A E 的长．22．平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率是32，抛物线2:2E x y=的焦点F 是C 的一个顶点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M ．()i 求证：点M 在定直线上；()ii 直线l 与y 轴交于点G ，记PFG ∆的面积为1S ，PDM ∆的面积为2S ，求12S S 的最大值及取得最大值时点P的坐标．2019-2020学年江苏省无锡市锡山区天一中学平行班高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）请把答案直接填写在答题纸相应位置上1．命题“x π=”是“sin 0x =”的()条件．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：由x π=，得sin 0x =；反之，由sin 0x =，得x k π=，k Z ∈．∴“x π=”是“sin 0x =”的充分不必要条件．故选：A ．2．下列双曲线中，渐近线方程为2y x =±的是()A ．2214y x -=B ．2214x y -=C ．2212y x -=D ．2212x y -=【解答】解：A ，曲线方程是：2214y x -=，其渐近线方程是2204y x -=，整理得2y x =±．正确；B ，曲线方程是：2214x y -=，其渐近线方程是2204x y -=，整理得12y x =±．错误；C ，曲线方程是：2212y x -=，其渐近线方程是2202y x -=，整理得y =．错误；D ，曲线方程是：2212x y -=，其渐近线方程是2202x y -=，整理得22y x =±．错误；故选：A ．3．以坐标原点为顶点，且(3,0)为焦点的抛物线方程是()A ．212y y=-B ．212y x=C ．26y x=D ．26y x=-【解答】解：根据题意，要求抛物线的焦点为(3,0)；则抛物线的开口向左，且32p=，即6p =；故抛物线的标准方程为212y x =；故选：B ．4．下列命题中是假命题的是()A ．x R ∃∈，0x lge =B ．x R ∃∈，tan x x =C ．(0,)2x π∀∈，sin 1x <D ．x R ∀∈，1x e x >+【解答】解：当0x =时，0x lge =，所以A 是真命题；0x =时，tan x x =，所以B 是真命题；因为sin 1x ，当2x π=时，sin 1x =，所以(0,)2x π∀∈，sin 1x <，C 是真命题；0x =时，1x e x =+，所以x R ∀∈，1x e x >+不正确，所以D 是假命题；故选：D ．5．设椭圆22221(0)x y m n m n +=>>的右准线为8x =，椭圆的离心率为12，则椭圆的方程为()A ．2211216x y +=B ．2211612x y +=C ．2214864x y +=D ．2216448x y +=【解答】解： 椭圆22221(0)x y m n m n+=>>的右准线为8x =，椭圆的离心率为12，可得2812a cc a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得4a =，2c =，则b ==所以椭圆方程：2211612x y +=．故选：B ．6．下列命题：①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有0AB BC CD DA +++=；②||||||a b a b -=+ 是a、b 共线的充要条件；③对空间任意一点P 与不共线的三点A 、B 、C ，若(OP xOA yOB zOC x =++，y ，)z R ∈，则P 、A 、B 、C 四点共面．其中不正确命题的个数是()A ．0B ．1C ．2D ．3【解答】解：①根据向量的运算法则知，等号的左边为0，而右边为0，故①不正确；②2222||||||||2||||||||2||cos 1a b a b a a b b a a b b θ-=+⇔-+=++⇔=- ，即a与b 反向，∴||||||a b a b -=+ 是a、b 共线的充分不必要条件，故②不正确；③由空间向量基本定理知，空间任意一个向量OP 可以用不共面的三个向量OA 、OB 、OC线性表示，所以P 、A 、B 、C 四点一定不共面，故③不正确；故选：D ．7．已知(2a = ，1-，3)，(1b =- ，4，2)-，(1c = ，3，)λ，若a 、b 、c三向量共面，则实数λ等于()A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：向量a、b 、c 共面，则c xa yb =+ ，其中x ，y R ∈；则(1，3，)(2x λ=，x -，3)(x y +-，4y ，2)(2y x y -=-，4x y -+，32)x y -，∴214332x y x y x y λ-=⎧⎪-+=⎨⎪-=⎩，解得1x =，1y =，1λ=．故选：A ．8．O 为坐标原点，F为抛物线2:C y =的焦点，P 为C 上一点，若||PF =，则POF ∆的面积为()A ．2B．C．D ．4【解答】解： 抛物线C的方程为2y=2p ∴=，可得2p=，得焦点F 设(,)P m n根据抛物线的定义，得||2pPF m =+=，即m +=，解得m = 点P 在抛物线C上，得224n ==n ∴==±||OF = POF ∴∆的面积为11||||22S OF n =⨯==故选：C ．9．设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与抛物线21y x =+相切，则该双曲线的离心率等于()A 3B ．2C 5D 6【解答】解：双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线方程为by x a =±，代入抛物线方程21y x =+，得210bx x a±+=，由相切的条件可得，判别式2240b a-=，即有2b a =，则222245c a b a a a +=+=，则有5ce a==故选：C ．10．设1F ，2F 是双曲线2244(0)x y a a -=>的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足120PF PF = ，12||||2PF PF =，则a 的值为()A ．2B 5C ．1D 5【解答】解：由题意可得12F PF ∠为直角，△12PF F 为直角三角形，又双曲线的方程可化为2214x y a a-=，故22212420PF PF c a +==，变形可得21212()220PF PF PF PF a -+= ，由双曲线定义得2(22420a a ⨯+=，即21a =，解得1a =，故选：C ．11．直线l 的方程为3y x =+，P 为l 上任意一点，过点P 且以双曲线221243x y -=的焦点为焦点作椭圆，那么该椭圆的最短长轴长为()A ．2B ．C ．4D ．【解答】解：由题意可设椭圆方程为：22221(x y a b+=0)a b >>，则1c =，2221a b c ∴-==，设(,3)P m m +，由P 在椭圆上，得2222(3)11m m a a ++=-，222222222(1)(69)(1)()a m a m m a a a a ∴-+++=-=-，即222222(21)610()0a m a m a a -++-=．由△22224(6)(84)(10)0a a a a =--- ，得44264368040840a a a a a -+++- ，24484080a a ∴-++ ，42650a a -+ ，即22(5)(1)0a a -- ，解得21a 或25a ，21c = ，22a c >，25a ∴ ，长轴最短，即25a =，该椭圆的最短长轴长为：故选：B ．12．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线与椭圆交于A 、B 两点，若△1F AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则离心率为()A ．2B ．2-C 2-D -【解答】解：如图，设12||2F F c =，1||AF m =，若1ABF ∆构成以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则1||||AB AF m ==，1||BF =，由椭圆的定义可得1ABF ∆的周长为4a ，即有42a m =+，即2(2m a =-，则2||22)AF a m a =-=，在直角三角形12AF F 中，2221212||||||F F AF AF =+，即2222244(21)c a a =+，22(9c a ∴=-，则22299c e a==-=-e ∴=．故选：D ．二、填空题（每小题5分，共20分）请把答案直接填写在答题纸相应位置上.13．若双曲线221y xm-=，则实数m =2．【解答】解：双曲线221(0)y x m m-=>可得：11=解得2m =．故答案为：2．14．已知集合{|22}A x a x a =-+ ，2{|41270}B x x x =+- ，若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，则实数a 的取值范围是11[2，)+∞．【解答】解：271{|41270}{|(27)(21)0}{|}22B x x x x x x x x =+-=+-=- ，{|22}A x a x a =-+ ，“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，B A ∴⊆，即22122722a a a a ⎧⎪-+⎪⎪+⎨⎪⎪--⎪⎩ ，解得112a ，∴实数a 的取值范围是11[2，)+∞．故答案为：11[2，)+∞．15．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，离心率为e ，若椭圆上存在点P ，使得12PF e PF =，则该离心率e的取值范围是1-，1)．【解答】解：依题意，得121222211PF PF PF a e PF PF PF ++===+，221a PF e ∴=+，又2a c PF a c -+ ，21a a c a c e ∴-++，不等号两端同除以a 得，2111e e e -++ ，∴2121e e ⎧-⎪⎨+⎪⎩1e ，又01e <<，∴11e -< ．故答案为：1-，1)16．已知F 是抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB = （其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是3．【解答】解：设直线AB 的方程为：x ty m =+，点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，直线AB 与x 轴的交点为(,0)M m ，x ty m =+代入2y x =，可得20y ty m --=，根据韦达定理有12y y m =- ，2OA OB = ，12122x x y y ∴+= ，从而21212()20y y y y +-= ，点A ，B 位于x 轴的两侧，122y y ∴=- ，故2m =．不妨令点A 在x 轴上方，则10y >，又1(4F ，0)，12111111922()32248ABO AFO S S y y y y y ∆∆∴+=⨯⨯-+⨯=+ 当且仅当11928y y =，即143y =时，取“=”号，ABO ∴∆与AFO ∆面积之和的最小值是3，故答案为：3．三、解答题（本大题共6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案直接填写在答题纸相应位置上）17．已知命题:(2,1)p x ∃∈-，使等式20x x m --=成立，命题22:124x y q m m +=--表示椭圆．（1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围．（2）判断命题p 为真命题是命题q 为真命题的什么条件（请用简要过程说明是“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”和“既不充分也不必要条件”中的哪一个）【解答】解：（1）由题意，方程20x x m --=在(2,1)-上有解，即m 的取值范围就是函数2y x x =-在(2,1)-上的值域，函数2y x x =-的对称轴方程为12x =，则当12x =时，有最小值为14-，当2x =-时，有最大值为6．可得1{|6}4m m -< ；（2） 命题22:124x y q m m+=--表示椭圆为真命题，∴204024m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，解得23m <<或34m <<．故有1{|6}{|234m m m m -<<< Ý或34}m <<．p ∴是q 的必要不充分条件．18．已知双曲线1C20y ±=，焦点坐标是1(F ，0)、2F 0)．（Ⅰ）求双曲线1C 的方程；（Ⅱ）若椭圆2C 与双曲线1C 有公共的焦点，，点P 在椭圆2C 上，且1||4PF =，求12F PF ∠的大小．【解答】解：()I 根据题意，设双曲线22122:1x y C a b-=，则2227b a a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，2243a b ⎧=⎨=⎩，双曲线1C 方程是22143x y -=．()II 双曲线1C，∴椭圆2C离心率是，在椭圆2C中，c =3a ∴=，12||F F =1||4PF = ，由椭圆定义，2||2PF =，在△12F PF 中，根据余弦定理，22212241cos 2242F PF +-∠==- ，12120F PF ∴∠=︒．19．三棱柱111ABC A B C -在如图所示的空间直角坐标系中，已知2AB =，4AC =，13AA =．D 是BC 的中点．（1）求直线1A D 与11B C 所成角的余弦值；（2）求直线1DB 与平面11A C D所成角的正弦值．【解答】解：根据题意，得(0A ，0，0)，(2B ，0，0)，(0C ，4，0)，(1D ，2，0)，1(0A ，0，3)，1(2B ，0，3)，1(0C ，4，3)，由此可得1(1A D = ，2，3)-，11(0A C = ，4，0)，(1DB = ，2-，0)，11(2B C =- ，4，0)，1(1DB = ，2-，3)（1）1cos A D <，1170B C >== ，∴直线1A D 与11B C所成角的余弦值为70；（2）设平面11A C D 的一个法向量为(n x = ，y ，)z ，则11123040n A D x y z n A C y ⎧=+-=⎪⎨==⎪⎩ ，取1z =得3x =，0y =，∴(3n = ，0，1)是平面11A C D 的一个法向量因此，设直线1DB 与平面11A C D 所成角为θ，可得1sin cos DB θ=<，n >== 即直线1DB 与平面11A C D．20．已知抛物线2:2C y x =的焦点为F ，过焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，过A ，B 作准线的垂线交准线与P ，Q 两点．R 是PQ 的中点．（1）证明：以PQ 为直径的圆恒过定点F ．（2）证明：//AR FQ ．【解答】证明：（1）抛物线2:2C y x =的焦点1(2F ，0)，设直线l 的方程为12x my =+，联立抛物线方程可得2210y my --=，设21(2y A ，1)y ，22(2y B ，2)y ，则122y y m +=，121y y =-，抛物线的准线方程为12x =-，可得1(2P -，1)y ，1(2Q -，2)y ，1(2R -，122y y +，则1(1,)PF y =- ，2(1,)QF y =- ，可得121110PF QF y y =+=-= ，即PF QF ⊥，以PQ 为直径的圆恒过定点F ；（2）设AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则2221122y k y ==---，1211212122221111211211()22y y y y y y y k y y y y y y y +---=====-+---，即12k k =，则//AR FQ ．21．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1AA ⊥底面ABCD ，AB AC ⊥，1AB =，12AC AA ==，AD CD ==M 和N 分别为1B C 和1D D 的中点．（Ⅰ）求证：//MN 平面ABCD（Ⅱ）求二面角11D AC B --的正弦值；（Ⅲ）设E 为棱11A B 上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13，求线段1A E 的长．【解答】（Ⅰ）证明：如图，以A 为坐标原点，以AC 、AB 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建系，则(0A ，0，0)，(0B ，1，0)，(2C ，0，0)，(1D ，2-，0)，1(0A ，0，2)，1(0B ，1，2)，1(2C ，0，2)，1(1D ，2-，2)，又M 、N 分别为1B C 、1D D 的中点，(1M ∴，12，1)，(1N ，2-，1)．由题可知：(0n = ，0，1)是平面ABCD 的一个法向量，(0MN = ，52-，0)，0n MN = ，MN ⊂/平面ABCD ，//MN ∴平面ABCD ；（Ⅱ）解：由()I 可知：1(1AD = ，2-，2)，(2AC = ，0，0)，1(0AB = ，1，2)，设(m x = ，y ，)z 是平面1ACD 的法向量，由100m AD m AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，得22020x y z x -+=⎧⎨=⎩，取1z =，得(0m = ，1，1)，设(n x = ，y ，)z 是平面1ACB 的法向量，由100n AB n AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，得2020y z x +=⎧⎨=⎩，取1z =，得(0n = ，2-，1)，cos m <，||||10m n n m n >==- ，sin m ∴<，n >== ，∴二面角11D AC B --的正弦值为31010；（Ⅲ）解：由题意可设111A E A B λ= ，其中[0λ∈，1]，(0E ∴=，λ，2)，(1NE =- ，2λ+，1)，又 (0n = ，0，1)是平面ABCD 的一个法向量，cos NE ∴<，13||||NE n n NE n >=== ，整理，得2430λλ+-=，解得2λ=-或2-（舍)，∴线段1A E2-．22．平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率是32，抛物线2:2E x y =的焦点F 是C 的一个顶点．()I 求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M ．()i 求证：点M 在定直线上；()ii 直线l 与y 轴交于点G ，记PFG ∆的面积为1S ，PDM ∆的面积为2S ，求12S S 的最大值及取得最大值时点P的坐标．【解答】解：()I由题意可得2c e a ==，抛物线2:2E x y =的焦点F 为1(0,)2，即有12b =，2214a c -=，解得1a =，c =可得椭圆的方程为2241x y +=；（Ⅱ）()i 证明：设0(P x ，0)y ，可得2002x y =，由212y x =的导数为y x '=，即有切线的斜率为0x ，则切线的方程为000()y y x x x -=-，可化为00y x x y =-，代入椭圆方程，可得2220000(14)8410x x x y x y +-+-=，△22220000644(14)(41)0x y x y =-+->，可得2200144x y +>．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，可得001220814x y x x x +=+，即有中点00204(14x y D x +，02014y x -+，直线OD 的方程为014y x x =-，可令0x x =，可得14y =-．即有点M 在定直线14y =-上；()ii 直线l 的方程为00y x x y =-，令0x =，可得0(0,)G y -，则21000001111||||()(1)2224S FG x x y x x ==+=+ ；32200000002000222000444(12)1111||||()2142414814x y x x x y x S PM x y x x x x +-+=-=+=+++ ，则2200122202(1)(14)(12)x x S S x ++=+，令2012(1)x t t += ，则122212(1)(122)(1)(21)2t t S t t S t t -++-+-==222221111192()24t t t t t t +-==+-=--+，则当2t =，即022x =时，12S S 取得最大值94，此时点P 的坐标为2(2，1)4．。

高一数学阶段性测试卷一、选择题1.已知全集{}{}{}0,1,2,3,4,0,1,2,2,3U M N ===则U C M N ⋂= ( )A. {}2B. {}3C. {}2,3,4D. {}0,1,2,3,4【答案】B【解析】【分析】先求M 的补集，再与N 求交集．【详解】∵全集U ＝{0，1，2，3，4}，M ＝{0，1，2}，∴∁U M ＝{3，4}．∵N ＝{2，3}，∴（∁U M ）∩N ＝{3}．故选B ．【点睛】本题考查了交、并、补集的混合运算，是基础题．2.已知全集U N =，设{|}A x x k N ==∈，集合{|6,}B x x x N =>∈，则N A B ⋂ð等于（）A. {1,4}B. {1,6}C. {1,4,6}D. (4,6}【答案】C【解析】【分析】化简集合A ，B ,根据集合的补集，交集运算即可.【详解】因为{|}{1,}A x x k N ==∈=，{|6,}B x x x N =>∈， 所以{|6,}{0,1,2,3,4,5,6}N B x x x N =≤∈=ð，{1,4,6}N A B ⋂=ð，故选：C【点睛】本题主要考查了集合的描述法，集合的交集，补集运算，属于中档题.3.函数()f x = ）A. (,0]-∞B. [0,)+∞C. (,1]-∞D. R【答案】A【解析】【分析】要使函数有意义，只需120x -≥，根据指数函数性质解不等式即可求解.【详解】要使函数有意义，则120x -≥，即21x ≤，解得0x ≤，所以函数的定义域(,0]-∞，故选：A【点睛】本题主要考查了函数的定义域，指数不等式，属于中档题.4.已知集合||1|2,}M x x x R =〈-∈…，集合5|1,1P x x R x ⎧⎫=≥∈⎨⎬+⎩⎭，则M P ⋃等于。

A. {|13}x x -<≤B. {|14}x x -<≤C. {}|4x x ≤D. {|14}x x -≤≤（）【答案】D【解析】【分析】根据绝对值不等式及分式不等式，化简集合M,P ，根据并集运算求解即可. 【详解】 |1|2x -…,∴ 13x -≤≤,即[1,3]M =-， 511x ≥+，14x ∴-<≤，即(1,4]P =-,[1,4]M P ∴=-,故选：D【点睛】本题主要考查了集合的并集运算，分式不等式，绝对值不等式，属于中档题.5.函数21()x f x x -=的图象一定关于（ ）A. x 轴对称B. y 轴对称C. 原点对称D. 直线x =1对称 【答案】C【解析】【分析】 由21()x f x x -=知()()f x f x -=-，根据函数的奇偶性即可求解. 【详解】21()x f x x -=,定义域为{|0}x x ≠， ∴2211()()x x f x f x x x ---==-=--，∴()f x 是奇函数，故图象一定关于原点对称，故选：C【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，奇函数的性质，属于容易题.6.设137x =，则（ ）A. 21x -<<-B. 32x -<<-C. 10x -<<D. 01x <<【答案】A【解析】【分析】根据指数函数的单调性，即可判断x 的取值范围. 【详解】111337-=>，211397-=<，2113337x --∴<=< 又3x y =是增函数，21x ∴-<<-，故选：A【点睛】本题主要考查了指数函数的单调性，属于容易题.7.设集合{}2A x x a=>，{}32B x x a =<-，若A B =∅，则a 的取值范围为（ ）A. ()1,2B. ()(),12,-∞⋃+∞C. []1,2D. (][),12,-∞+∞ 【答案】D【解析】【分析】集合的交集运算即求两个集合的公共元素，AB =∅说明集合,A B 没有公共元素，借助于数轴列式计算． 【详解】因为A B φ⋂=，所以232a a ≥-，解得1a ≤或2a ≥.【点睛】本题考查集合的交集运算，考查运算求解能力与推理论证能力.8.关于x 的不等式2(2)2(2)40a x a x -+--≥的解集为φ，则实数a 的取值范围是（ ）A (2,2]-B. (2,2)-C. [2,2)-D. []22-,【答案】A【解析】【分析】分二次项系数为0和不为0讨论，当二次项系数不为0时，借助于二次函数的开口方向和判别式列不等式组求解．【详解】关于x 的不等式2(2)2(2)40a x a x -+--≥的解集为φ， 等价于不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<恒成立，当2a =时，对于一切实数x ，不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<恒成立； .当2a ≠时，要使不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<恒成立， 则220[2(2)]4(2)(4)0a a a -<⎧⎨----<⎩，解得22a -<< 综上，实数a 的取值范围是（−2，2]．故选A ．【点睛】本题考查函数恒成立问题，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了不等式恒成立和系数之间的关系，是中档题．9.已知函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则不等式()24(3)f a f a ->的解集为( ) A. (4,1)-B. (1,4)-C. (1,4)D. (0,4)【答案】B【解析】【分析】 先判断函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调性，把()24(3)f a f a ->转化为自变量的不等式求解. 【详解】可知函数()f x 为减函数，由2(4)(3)f a f a ->，可得243a a -<， 整理得2340a a --<，解得14a -<<，所以不等式的解集为(1,4)-．故选B.【点睛】本题考查函数不等式，通常根据函数的单调性转化求解，一般不代入解析式.10.已知非空集合M 满足：对任意x M ∈，总有2x M ∉M ，若{}0,1,2,3,4,5M ⊆，则满足条件的M 的个数是（ ）A. 11B. 12C. 15D. 16【答案】A【解析】【分析】可得集合M 是集合{}2,3,4,5的非空子集，且2,4不同时出现，即可得到结论.【详解】由题意，可得集合M 是集合{}2,3,4,5的非空子集，共有42115-=个，且2,4不能同时出现，同时出现共有4个，所以满足题意的集合M 的个数为11个，故选A.【点睛】本题主要考查了元素与集合的关系，以及集合的子集个数的判定及应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.11.已知函数()21f x x mx =+-，若对于任意的[1,3]x ∈，都有()0f x <成立，则实数m 的取值范围是（ ）A. 0m <B. 83m <-C. 0m ≤D. 2m <-【答案】B【解析】【分析】根据二次函数图象以及在某段区间上小于零，得到对应的不等式组，求解出m 的范围. 【详解】因为对任意的[1,3]x ∈，都有()0f x <成立，所以只需要满足：()()1030f f ⎧<⎪⎨<⎪⎩，即0830m m <⎧⎨+<⎩，解得：83m <-， 故选B .【点睛】本题考查根据二次函数在给定区间上的恒成立求解参数的问题，难度一般.除了可以利用图象直接进行分析，还可以根据二次函数对称轴进行分析，利用对称轴分析时注意分类.12.已知函数()f x 的定义域为{}|,1x x R x ∈≠，且(1)f x +为奇函数，当1x <时，2()21f x x x =-+，那么当1x >时，()f x 的递减区间是（ ） A. 5[,)4+∞ B. 7[,)4+∞ C. 5(1,]4 D. 7(1,]4【答案】B【解析】【详解】令()()1F x f x =+，则由已知得()F x 的定义域为{}|,0x x R x ∈≠，且()F x 为奇函数，当0x <时，()2232F x x x =++， 所以当0x >时，有()2232F x x x =-+-， 此时其单调递减区间为3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭， ()F x 图象向右平移1个单位得到()f x 的图象，所以对于函数()f x 来说，其单调递减区间为7[,)4+∞.故选：B. 二、填空题13.函数()f x 2(2)(1)1m x m x =-+--为偶函数，则()f x 的减区间为___________【答案】[0,)+∞【解析】【分析】根据函数为偶函数，确定参数m 的取值，根据二次函数写出单调区间即可. 【详解】函数()f x 2(2)(1)1m x m x =-+--为偶函数,22(2)(1)1()(2)(1))1(m x m x f x m x m x f x ----==-+-∴=--恒成立，10m ∴-=，即1m =，2()1f x x ∴=--，∴函数的减区间为[0,)+∞，故答案为：[0,)+∞【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，二次函数的单调性，属于中档题.14.若()12ax f x x +=+在区间2（，）∞-+上是增函数，则a 的取值范围是_________ 【答案】a>【解析】【分析】先将函数()f x 分离常数，再根据反比例函数的单调性，即可得出结果.【详解】因为()()221121222a x a ax a f x a x x x +-++-===-+++，又()12ax f x x +=+在区间2（，）∞-+上是增函数，所以只需210a ->，即12a >. 故答案为12a > 【点睛】本题主考查根据函数的单调性求参数的问题，熟记基本初等函数的单调性即可求解，属于基础题型.15.已知函数()2,01,12,1,2x x x f x x +≤<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩若0a b >≥，且()()f a f b =，则()b f a 的取值范围是__________． 【答案】5,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】 ∵()2,01,12,1,2x x x f x x +≤<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩，a ＞b ≥0，且()()f a f b =，作图如下：由图象可知，当a=1时，直线y=52与f （x ）的图象有两个交点，即f （a ）=f （1）=52， b +2=52得b=12， ∴bf （a ）=54； 当b=1时，直线y=3与f （x ）的图象只有一个交点，且f （a ）=f （b ）=3，∴bf （a ）=1×3=3，∴bf （a ）的取值范围为5,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 故答案为5,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 16.已知函数()()()()()21421x a x f x x a x a x ⎧-⎪=⎨--≥⎪⎩＜， 若()0f x =恰有2个实数根，则实数a 的取值范围是__________. 【答案】1[,1)[2,)2+∞ 【解析】分析】根据已知中分段函数的解析式，分类讨论满足f （x ）＝0恰有2个实数根的实数a 的取值范围，综合可得答案．【详解】当a ≤0时，方程f （x ）＝0无实根；当0＜a ＜1时，要使f （x ）＝0恰有2个实数根，须2a ≥1， ∴112a ≤＜当a ≥1时，要使f （x ）＝0恰有2个实数根，须21﹣a ≤0，∴a ≥2 综上，所求为[)1122⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭，，， 故答案为：[)1122⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭，，． 【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，分类讨论思想，方程根的存在性质及个数判断，难度中档． 三、解答题17.已知集合{}2{|22}|540A x a x a B x x x =+-=-+≥剟. ⑴当3a =-时，求A B ，A B .⑵若A B φ⋂=，求实数a取值范围. 【答案】（1）=[1,1][4,5],A B=R AB -（2）(1,)-+∞【解析】【分析】 （1）将3a =-代入A 中确定出A ,求出A 与B 的交集、并集即可（2）由A,B 以及两集合的交集为空集，列出关于a 的不等式组，求出不等式组的解集即可.【详解】（1）将3a =-代入A ，得[1,5]A =-,又{}2|540{|14}B x x x x x x =-+≥=≤≥或，所以=[1,1][4,5],A B=R A B -（2）当A φ=时，即0a >，满足A B φ⋂=，当A φ≠时，即0a ≤， 由A B φ⋂=可得：1224a a <+⎧⎨-<⎩， 解得10a -<≤，综上故实数a 的取值范围为(1,)-+∞. 的【点睛】本题主要考查了集合的交集、并集运算，分类讨论的思想，属于中档题.18.画出下列函数的图象，并求出值域(1)()|1|f x x x =+-;(2)222()212x x f x x x x ⎧≥=⎨-++<⎩，，;【答案】（1）图象见解析，值域[1,)+∞（2）图象见解析，值域(,2][4,)-∞+∞.【解析】【分析】（1）去掉绝对值号，写成分段函数即可求解（2）结合图象可求出函数值域.【详解】（1）21,1()11,1x x f x x x x -≥⎧=+-=⎨<⎩， 作出图象：函数值域为[1,)+∞（2）作出222()212x x f x x x x ⎧≥=⎨-++<⎩，，的图象：由图象可知2y ≤或4y ≥，所以函数值域为(,2][4,)-∞+∞.【点睛】本题主要考查了函数图象的作图，利用分段函数的解析式，结合函数性质求出函数值域，属于中档题.19.解下列不等式： (1)203x x-≤-; (2)2(2)20,(0)ax a x a +--厔【答案】（1）(,2](3,)-∞+∞（2）详见解析 【解析】【分析】（1）转化为二次不等式求解（2）分解因式后分类讨论即可求解.【详解】（1）由203x x-≤-可得(2)(3)0(3)x x x --≥≠， 解得23x x ≤>或，所以不等式的解集为(,2](3,)-∞+∞.（2）①当0a =时，原不等式可化为10x +≤，解得1x ≤-.②当0a >时，原不等式可化2(1)0x x a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭…， 解得2x a…或1x -…， ③当0a <时，原不等式可化为2(1)0x x a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭…， 在20a -<<时，21a <-，解得21x a -剟， 在2a =-时，21a=-，解得1x =-， 在2a <-时，21a >-，解得21x a-剟， 综上0a =时不等式的解集(,1]-∞-，0a >时不等式的解集2(,1][,)a-∞-+∞， 20a -<<时不等式的解集2[,1)a- 2a =-时不等式的解集{}1-，2a <-时不等式的解集[]21,a-. 【点睛】本题主要考查了分式不等式的解法，含参数一元二次不等式的解法，分类讨论的思想，属于中档题.20.某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起300天内，西红柿市场销售价与上市时间的关系用图（1）的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图（2）的抛物线段表示.的（1）写出图（1）表示的市场售价与时间的函数关系式();P f t =写出图（2）表示的种植成本与时间的函数关系式().Q g t =（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：元/210kg ，时间单位：天.）【答案】(1) 300,0200()2300,200300t t f t t t -≤≤⎧=⎨-<≤⎩；21()(150)100,0300200g t t t =-+≤≤；(2) 从2月1日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大．【解析】【分析】(1)根据图像写出解析式即可;(2)得到()()()h t f t g t =-2211175,020020022171025,20030020022t t t t t t ⎧-++≤≤⎪⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎩后,分两段求得各段的最大值,再比较大小可得分段函数的最大值.【详解】解：（1）由图（1）可得市场售价与时间的函数关系为300,0200()2300,200300t t f t t t -≤≤⎧=⎨-<≤⎩由图（2）可得种植成本与时间的函数关系为21()(150)100,0300200g t t t =-+≤≤ （2）设t 时刻的纯收益为()h t ，则由题意得()()()h t f t g t =- 即2211175,020020022()171025,20030020022t t t h t t t t ⎧-++≤≤⎪⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎩ 当0200t ≤≤时，配方得到21()(50)100200h t t =--+ 所以，当50t =时，()h t 取得区间[0,200]上的最大值为100；当200300t <≤时，配方整理得到：21()(350)100200h t t =--+ 所以，当300t =时，()h t 取得区间(200,300]上的最大值为87.5．综上，()h t 在区间[0,300]上的最大值为100，此时50,t =即从2月1日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大．【点睛】本题考查了分段函数最大值的求法.属中档题.【此处有视频，请去附件查看】21.已知奇函数31()31x x a f x ⋅-=+的定义域为[2,3]a b --. (1)求实数a ，b 的值；(2)判断函数()f x 的单调性，并用定义给出证明；(3)若2()()0f x f x m ++…恒成立，求m 的取值范围．【答案】（1）1,1a b ==（2）增函数，证明见解析（3）1,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ 【解析】【分析】（1）根据奇函数的定义域关于原点对称及(0)0f =，即可求出实数,a b 的值（2）函数()f x 单调递增，根据定义证明即可（3）求解()f x 的值域，转化为二次函数的最小值问题即可求m 的取值范围.【详解】（1）奇函数的定义域关于原点对称，且0x =函数有意义，即(0)0f =， 可得：0031031a ⋅-=+，且230ab --+=， 解得1,1a b ==， 所以31()31x x f x -=+，定义域为[]33-. （2）312()13131x x x f x -==-++，定义域为[]33-，()f x 单调递增，证明如下： 设任意1233x x -<剟， 那么()()()()1221121211222323331331x x x x x x f x f x ++⋅⋅-=-=-++， 1233x x <()()120f x f x ∴-<，即()()12f x f x <∴函数()f x 为单调递增函数.（3）由（2）知(3)()(3)f f x f -剟，即1313()1414f x -剟， 设1313(),,1414f x t t ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦， 则2t t m +…恒成立， 设22111313(),,241414g t t t t t ⎛⎫⎡⎤=+=+-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 1()4min g t ∴=-， 故m 的取值范围1,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦. 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，解析式，定义法证明增减性，不等式的恒成立问题，属于难题. 22.已知函数2()f x x =+|x -a |1a +,∈R .(1)若0a =，解不等式：()3f x >；(2)求()f x 的最小值()g a ；(3)解不等式()2g a >。

2019-2020学年江苏省无锡市锡山高级中学高二（上）10月段考数学试卷一、选择题：（本题共12小题，每题5分，共计60分）1．命题“若x是正数，则x＝|x|”的否命题是（）A．若x是正数，则x≠|x|B．若x不是正数，则x＝|x|C．若x是负数，则x≠|x|D．若x不是正数，则x≠|x|2．设x∈R，则“x2+x﹣2＞0”是“1＜x＜5”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知椭圆C：3x2+4y2＝12的左、右焦点为F1，F2，△PF1F2的周长为7，则点P（）A．在椭圆C上B．在椭圆C外C．在椭圆C内D．条件不足，无法判断4．设双曲线2mx2﹣my2＝1的一个焦点的坐标为（0，4），则m的值为（）A．B．C．.．D．5．使不等式成立的一个充分不必要条件是（）A．x＞0B．x＞﹣1C．x＜﹣1或x＞0D．﹣1＜x＜06．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±2x7．美学四大构件是：史诗、音乐、造型（绘画、建筑等）和数学．素描是学习绘画的必要一步，它包括了明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步．某同学在画“切面圆柱体”（用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体）的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若“切面”所在平面与底面成60°角，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．8．以下有关命题的说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．x＝1是x2﹣3x+2＝0的充分不必要条件C．设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件D．命题p：任意x＞0，都有x2﹣3x+2＜0，则命题p的否定为：存在x≤0，使得x2﹣3x+2≥0．9．《九章算术）是我国古代内容极为丰富的数学名著第九章“勾股”，讲述了“勾股定理及一些应用．直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”“股”“弦”，且“勾2+股2＝弦2”．设F是椭圆＝1（a＞b＞0）的左焦点，直线y＝x交椭圆于A、B两点，若|AF|，|BF|恰好是Rt△ABF的”勾”“股”，则此椭圆的离心率为（）A．B．C．D．10．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，过F2且斜率为1的直线l交椭圆C于A、B两点，则△F1AB的面积为（）A．B．C．D．11．抛物线y2＝4x的焦点为F，点P（x，y）为该抛物线上的动点，又点A（﹣1，0），则的最小值是（）A．B．C．D．12．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）和动直线l：y＝kx+b（k，b是参变量，且k≠0．b≠0）相交于A（x1，y2），N）x2，y2）两点，直角坐标系原点为O，记直线OA，OB的斜率分别为k OA•k OB＝恒成立，则当k变化时直线l恒经过的定点为（）A．（﹣p，0）B．（﹣2p，0）C．（﹣，0）D．（﹣，0）二、填空题：（本题共4小题，每题5分，共计20分）13．已知命题；命题q：m≥1．则命题p是命题q的条件．（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”之一）．14．已知以F为焦点的抛物线y2＝4x上的两点A，B满足＝3，则AB的中点到y轴的距离为．15．在周长为16的△PMN中，MN＝6，则的取值范围是．16．已知双曲线的渐近线与抛物线交于点O，A，B．若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为．三、解答题：（本题共6小题，共计70分）17．求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程．（1）求与椭圆有相同的焦点，且离心率的双曲线的方程；（2）求长轴长是短轴长的2倍，且过点（2，﹣6）的椭圆的方程．18．命题p：方程＝1表示椭圆；命题q：双曲线C：＝l（m＞0）的虚轴长于实轴．（1）当简单命题p为真命题时，求实数m的取值范围；（2）当复合命题“p∧q”为真命题时，求实数m的取值范围．19．给定直线l：y＝2x﹣16，抛物线C：y2＝ax（a＞0）．（1）当抛物线C的焦点在直线l上时，确定抛物线C的方程；（2）若△ABC的三个顶点都在（1）所确定的抛物线C上，且点A的纵坐标为8，直线BC的方程为4x+y﹣40＝0，求△ABC的重心坐标．20．若直线l：y＝﹣过双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线平行．（1）求双曲线的方程；（2）若过点B（0，b）且与x轴不平行的直线和双曲线相交于不同的两点M，N，MN 的垂直平分线为m，求直线m与y轴上的截距的取值范围．21．2018年世界人工智能大会已于2018年9月在上海徐汇西岸举行，某高校的志愿者服务小组受大会展示项目的启发，会后决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏，如图：A、B两个信号源相距10米，O是AB的中点，过O点的直线l与直线AB的夹角为45°，机器猫在直线l上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足：接收到A点的信号比接收到B点的信号晚秒（注：信号每秒传播v0米）．在时刻t0时，测得机器鼠距离O点为4米．（1）以O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系（如图），求时刻t0时机器鼠所在位置的坐标；（2）游戏设定：机器鼠在距离直线l不超过1.5米的区域运动时，有“被抓”的风险．如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？22．如图，在平面直角坐标系xoy中，已知F1，F2分别是椭圆E：的左、右焦点，A，B分别是椭圆E的左、右顶点，且．（1）求椭圆E的离心率；（2）已知点D（1，0）为线段OF2的中点，M为椭圆E上的动点（异于点A、B），连接MF1并延长交椭圆E于点N，连接MD、ND并分别延长交椭圆E于点P、Q，连接PQ，设直线MN、PQ的斜率存在且分别为k1、k2，试问是否存在常数λ，使得k1+λk2＝0恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．2019-2020学年江苏省无锡市锡山高级中学高二（上）10月段考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本题共12小题，每题5分，共计60分）1．命题“若x是正数，则x＝|x|”的否命题是（）A．若x是正数，则x≠|x|B．若x不是正数，则x＝|x|C．若x是负数，则x≠|x|D．若x不是正数，则x≠|x|【解答】解：命题“若x是正数，则x＝|x|”的否命题是“若x不是正数，则x≠|x|”．故选：D．2．设x∈R，则“x2+x﹣2＞0”是“1＜x＜5”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵x2+x﹣2＞0，解得x＜﹣2或x＞1；当x＜﹣2或x＞1时，使得1＜x＜5不成立；当1＜x＜5时，使得x＜﹣2或x＞1成立；∴x2+x﹣2＞0是1＜x＜5的必要不充分条件．故选：B．3．已知椭圆C：3x2+4y2＝12的左、右焦点为F1，F2，△PF1F2的周长为7，则点P（）A．在椭圆C上B．在椭圆C外C．在椭圆C内D．条件不足，无法判断【解答】解：椭圆C：3x2+4y2＝12的标准方程为：，所以a＝2，b＝，c＝1，如果P在椭圆上，则△PF1F2的周长为：2a+2c＝6，因为△PF1F2的周长为7，所以P在椭圆外．故选：B．4．设双曲线2mx2﹣my2＝1的一个焦点的坐标为（0，4），则m的值为（）A．B．C．.．D．【解答】解：双曲线2mx2﹣my2＝1的一个焦点的坐标为（0，4），可得，解得m＝﹣．故选：B．5．使不等式成立的一个充分不必要条件是（）A．x＞0B．x＞﹣1C．x＜﹣1或x＞0D．﹣1＜x＜0【解答】解：由，得＞0，解得x＜﹣1或x＞0．∴使不等式成立的一个充分不必要条件是x＞0．故选：A．6．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±2x【解答】解：由题意可得e＝＝，即为c2＝a2，由c2＝a2+b2，可得b2＝a2，即a＝2b，双曲线的渐近线方程为y＝±x，即为y＝±2x．故选：D．7．美学四大构件是：史诗、音乐、造型（绘画、建筑等）和数学．素描是学习绘画的必要一步，它包括了明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步．某同学在画“切面圆柱体”（用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体）的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若“切面”所在平面与底面成60°角，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：椭圆的长轴为2a，短轴的长为2b，“切面”是一个椭圆，若“切面”所在平面与底面成60°角，可得，即a＝2b，所以e＝＝＝．故选：C．8．以下有关命题的说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．x＝1是x2﹣3x+2＝0的充分不必要条件C．设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件D．命题p：任意x＞0，都有x2﹣3x+2＜0，则命题p的否定为：存在x≤0，使得x2﹣3x+2≥0．【解答】解：对于A，命题“若x2﹣3x+2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，符号逆否命题的形式，所以A正确；对于B，x＝1推出x2﹣3x+2＝0，反之不成立，所以x＝1是x2﹣3x+2＝0的充分不必要条件，B正确；命题“任意x＜1，则x2＜1”的否定是“存在x＜1，则x2≥1”，对于C，设a，b∈R，a≠0时，不能得出ab≠0，充分性不成立；“ab≠0”时，得出a≠0，必要性成立，是必要不充分条件，所以C正确；对于D，命题p：任意x＞0，都有x2﹣3x+2＜0，则命题p的否定为：存在x＞0，使得x2﹣3x+2≥0，所以D不正确．故选：D．9．《九章算术）是我国古代内容极为丰富的数学名著第九章“勾股”，讲述了“勾股定理及一些应用．直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”“股”“弦”，且“勾2+股2＝弦2”．设F是椭圆＝1（a＞b＞0）的左焦点，直线y＝x交椭圆于A、B两点，若|AF|，|BF|恰好是Rt△ABF的”勾”“股”，则此椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵|AF|，|BF|恰好是Rt△ABF的”勾”“股”，∴AF1⊥BF1，∴OA＝OB＝OF1＝c．∴A（，），∴⇒，，⇒，e2＝1﹣＝4﹣2，∴﹣1．故选：A．10．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，过F2且斜率为1的直线l交椭圆C于A、B两点，则△F1AB的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，c＝1，则F2的坐标为（1，0），过F2且斜率为1的直线l为：y＝x﹣1，即x＝y+1，代入：得：7y2+6y﹣9＝0，则y1﹣y2＝＝，故△F1AB的面积S＝•2c•|y1﹣y2|＝，故选：C．11．抛物线y2＝4x的焦点为F，点P（x，y）为该抛物线上的动点，又点A（﹣1，0），则的最小值是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知，抛物线的准线方程为x＝﹣1，A（﹣1，0），过P作PN垂直直线x＝﹣1于N，由抛物线的定义可知PF＝PN，连结PA，当PA是抛物线的切线时，有最小值，则∠APN最大，即∠PAF最大，就是直线PA的斜率最大，设在PA的方程为：y＝k（x+1），所以，解得：k2x2+（2k2﹣4）x+k2＝0，所以△＝（2k2﹣4）2﹣4k4＝0，解得k＝±1，所以∠NPA＝45°，＝cos∠NPA＝．故选：B．12．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）和动直线l：y＝kx+b（k，b是参变量，且k≠0．b≠0）相交于A（x1，y2），N）x2，y2）两点，直角坐标系原点为O，记直线OA，OB的斜率分别为k OA•k OB＝恒成立，则当k变化时直线l恒经过的定点为（）A．（﹣p，0）B．（﹣2p，0）C．（﹣，0）D．（﹣，0）【解答】解：将直线与抛物线联立，消去y，得k2x2+（2kb﹣2p）x+b2＝0，∴x1+x2＝，x1x2＝；∵k OA•k OB＝，∴y1y2＝x1x2，∴y1y2＝（kx1+b）（kx2+b）＝k2x1x2+kb（x1+x2）+b2＝；∴＝•，解得b＝，∴y＝kx+＝k（x+）令x＝﹣，得y＝0，∴直线过定点（﹣，0）．故选：D．二、填空题：（本题共4小题，每题5分，共计20分）13．已知命题；命题q：m≥1．则命题p是命题q的必要不充分条件．（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”之一）．【解答】解：当x，tan x∈[0，1]由命题，m ＞（tan x）min＝0，命题q：m≥1，m＞0推不出m≥1，而m≥1能推出m＞0，则命题p是命题q的必要不充分条件，故答案为：必要不充分．14．已知以F为焦点的抛物线y2＝4x上的两点A，B满足＝3，则AB的中点到y轴的距离为．【解答】解：设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为：y＝k（x﹣1），联立方程组，消元得：k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2＝1．∵＝3，F（1，0），∴1﹣x1＝3（x2﹣1），解方程组，可得x1＝3，x2＝，∴x1+x2＝，∴AB的中点的横坐标为＝．故答案为：．15．在周长为16的△PMN中，MN＝6，则的取值范围是[7，16）．【解答】解：设PM＝x，则PN＝10﹣x，∠MPN＝θ所以＝x（10﹣x）cosθ在△PMN中，由余弦定理得cosθ＝∴（2＜x＜8）分析可得当x＝5时最小为7，且＜16，即的取值范围是[7，16）；故答案为[7，16）16．已知双曲线的渐近线与抛物线交于点O，A，B．若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y＝±x，与抛物线C2：y2＝2px联立，可得x＝0或x＝，不妨取A（，），设垂心H（，0），则k AH＝，∵△OAB的垂心为C2的焦点，∴×（﹣）＝﹣1，即9a2＝5c2，∴e＝．故答案为：．三、解答题：（本题共6小题，共计70分）17．求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程．（1）求与椭圆有相同的焦点，且离心率的双曲线的方程；（2）求长轴长是短轴长的2倍，且过点（2，﹣6）的椭圆的方程．【解答】解：（1）椭圆的焦点坐标为（±5，0），设双曲线方程＝1（a，b＞0），则c＝5，离心率，b2＝c2﹣a2．∴a＝4，b2＝9．∴所求双曲线方程为：．（2）若椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为＝1，（a＞b＞0），由题意知，解得a＝，b＝，∴椭圆方程为：．若椭圆的焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为＝1，（a＞b＞0），由题意知：，解得a＝，b＝，∴椭圆方程为：．18．命题p：方程＝1表示椭圆；命题q：双曲线C：＝l（m＞0）的虚轴长于实轴．（1）当简单命题p为真命题时，求实数m的取值范围；（2）当复合命题“p∧q”为真命题时，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）若p是真命题，则，得，得﹣2＜m＜4且m≠1，即实数m的取值范围是﹣2＜m＜4且m≠1．（2）当q是真命题时，4＞2m＞0，得0＜m＜2，若“p∧q”为真命题，则p，q同时为真命题，即得0＜m＜2且m≠119．给定直线l：y＝2x﹣16，抛物线C：y2＝ax（a＞0）．（1）当抛物线C的焦点在直线l上时，确定抛物线C的方程；（2）若△ABC的三个顶点都在（1）所确定的抛物线C上，且点A的纵坐标为8，直线BC的方程为4x+y﹣40＝0，求△ABC的重心坐标．【解答】解：（1）由题意得：直线l与x轴的交点坐标为（8，0），而抛物线的焦点（，0），由题意得：＝8，∴a＝32，所以抛物线的方程为：y2＝32x．（2）由题意得A（2，8），设B（x，y），C（x'，y'），联立直线BC与抛物线方程整理得：x2﹣22x+100＝0，△＝84＞0，x+x'＝22，∴y+y'＝（40﹣4x）+（40﹣4x'）＝﹣8，∴△ABC的重心（，），即重心坐标为：（8，0）．20．若直线l：y＝﹣过双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线平行．（1）求双曲线的方程；（2）若过点B（0，b）且与x轴不平行的直线和双曲线相交于不同的两点M，N，MN 的垂直平分线为m，求直线m与y轴上的截距的取值范围．【解答】解：（1）直线l：y＝﹣过x轴上一点（2，0），由题意可得c＝2，即a2+b2＝4，双曲线的渐近线方程为y＝±x，由两直线平行的条件可得＝，解得a＝，b＝1，即有双曲线的方程为﹣y2＝1；（2）设直线y＝kx+1（k≠0），代入﹣y2＝1可得，（1﹣3k2）x2﹣6kx﹣6＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），x1+x2＝，x1x2＝，MN中点为（，），可得MN的垂直平分线方程为y﹣＝﹣（x﹣），令x＝0，可得y＝，由△＝36k2+24（1﹣3k2）＞0，解得3k2＜2，又＜0，解得3k2＜1，综上可得，0＜3k2＜1，即有的范围是（4，+∞），可得直线m与y轴上的截距的取值范围为（4，+∞）．21．2018年世界人工智能大会已于2018年9月在上海徐汇西岸举行，某高校的志愿者服务小组受大会展示项目的启发，会后决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏，如图：A、B两个信号源相距10米，O是AB的中点，过O点的直线l与直线AB的夹角为45°，机器猫在直线l上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足：接收到A点的信号比接收到B点的信号晚秒（注：信号每秒传播v0米）．在时刻t0时，测得机器鼠距离O点为4米．（1）以O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系（如图），求时刻t0时机器鼠所在位置的坐标；（2）游戏设定：机器鼠在距离直线l不超过1.5米的区域运动时，有“被抓”的风险．如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？【解答】解：（1）设机器鼠位置为点P，由题意可得﹣＝，即|PA|﹣|PB|＝8＜10，可得P的轨迹为双曲线的右支，且2c＝10，2a＝8，即有c＝5，a＝4，b＝3，则P的轨迹方程为﹣＝1（x≥4），时刻t0时，|OP|＝4，即P（4，0），可得机器鼠所在位置的坐标为（4，0）；（2）设直线l的平行线l1的方程为y＝x+m，联立双曲线方程﹣＝1（x≥4），可得7x2+32mx+16m2+144＝0，即有△＝（32m）2﹣28（16m2+144）＝0，且x1+x2＝﹣＞0，可得m＝﹣，即l1：y＝x﹣与双曲线的右支相切，切点即为双曲线右支上距离l最近的点，此时l与l1的距离为d＝＝，即机器鼠距离l最小的距离为＞1.5，则机器鼠保持目前运动轨迹不变，没有“被抓”的风险．22．如图，在平面直角坐标系xoy中，已知F1，F2分别是椭圆E：的左、右焦点，A，B分别是椭圆E的左、右顶点，且．（1）求椭圆E的离心率；（2）已知点D（1，0）为线段OF2的中点，M为椭圆E上的动点（异于点A、B），连接MF1并延长交椭圆E于点N，连接MD、ND并分别延长交椭圆E于点P、Q，连接PQ，设直线MN、PQ的斜率存在且分别为k1、k2，试问是否存在常数λ，使得k1+λk2＝0恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）∵，∴．∴a+c＝5（a﹣c），化简得2a＝3c，故椭圆E的离心率为．（2）存在满足条件的常数λ，．∵点D（1，0）为线段OF2的中点，∴c＝2，从而a＝3，，左焦点F1（﹣2，0），椭圆E的方程为．设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x3，y3），Q（x4，y4），则直线MD的方程为，代入椭圆方程，整理得，．∵，∴．从而，故点．同理，点．∵三点M、F1、N共线，∴，从而x1y2﹣x2y1＝2（y1﹣y2）．从而．故，从而存在满足条件的常数λ，．。

2019-2020学年高二数学上学期第一次月考试题(20)一、选择题(每小题5分,共12小题60分)1、已知在中，，那么这个三角形的最大角是( )A. B. C. D.2、若数列满足,那么这个数列的通项公式为( )A. B.C. D.3、已知等比数列的前项和为，若，则（）A.115B.116C.125D.1264、在中，若，，则的值为（）A. B. C. D.5、在数列中，，，则等于( )A. B. C. D.6、若等差数列前项和，则（）A.1B.C.0D.任意实数7、中，表示的面积，若，，则（）A. B. C. D.8、数列的前项和为（）A. B. C. D.9、等差数列,的前项和分别为,,若,则（）A. B. C. D.10、中，，，，则的面积等于( )A.B.C.或D.或11、在各项均为正数的等比数列中，若，则（）A.12B.C.8D.1012、在等差数列中，，其前项和为，若，则()A. B. C. D.二、填空题(每小题5分,共4小题20分)13、在中，已知，两边，是方程的两根，则等于__________．14、中，若，则的形状为__________．15、已知在等比数列中，各项都是正数，且，，成等差数列，则＝__________.16、设数列的通项为，则__________．三、解答题(第17题10分,第18题12分,第19题12分,第20题12分,第21题12分,第22题12分,共6小题70分)17、设等差数列满足，．（1）求数列的通项公式；（2）求的最大值及其相应的的值.18、在锐角中，内角对边的边长分别是，且, （1）求角；（2）若边，的面积等于，求边长和.19、如图所示，渔船甲位于岛屿A的南偏西方向的B处，且与岛屿A相距海里，渔船乙以海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上，此时到达C处.（1）求渔船甲的速度；（2）求的值.20、在数列中，，（1）证明数列为等比数列；（2）求数列的前项和．21、已知锐角三角形的三个内角，，所对边的长分别为，，，设向量，，且．（1）求角的大小；（2）若，求的取值范围．22、已知数列的前项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)设，，求证：．高二数学10月份月考试题答案解析第1题答案C第1题解析解：设三角形的三边长分别为，及，根据正弦定理,化简已知的等式得：，设，根据余弦定理得，∵，∴．则这个三角形的最大角为．故选C.第2题答案D第2题解析当时,；当时，,所以，故选D.第3题答案D第3题解析∵是等比数列的前项和，∴成等比数列，∴，∴，∴.故选D.第4题答案A第4题解析∵正弦定理，∴.∵，，∴.第5题答案B第5题解析由递推公式得，，，…，，则．时，，则数列是首项为，公差为，，，则第6题答案C第6题解析∵等差数列得.∴当时，.又，且，∴.故选C.第7题答案B第7题解析∵，即，即，∴，故，角为直角，那么，则，，又，∴，∴，∴，故选.第8题答案B第8题解析因为的通项公式是，那么前项和可以裂项求和得到为，因此得到为，选B.第9题答案B第9题解析因为，所以．故选B.第10题答案D第10题解析由正弦定理，解得，故或；当时，，为直角三角形，；当时，，为等腰三角形，，故选D．第11题答案D第11题解析根据等比数列的性质：，∴.故选D.第12题答案D第12题解析由题意得数列也是等差数列，且数列的首项，公差，所以，所以. 第13题答案第13题解析∵，，∴，解得：．第14题答案等腰三角形第14题解析由余弦定理可知,代入中，得,因此答案是等腰三角形.第15题答案第15题解析设等比数列的公比为，∵，，成等差数列，∴，∴，∵各项都是正数，∴，∴，∴.第16题答案第16题解析.第17题答案（1）（2）当时，取到最小值第17题解析（1）设数列的公差为.由已知条件，得，解得，所以；（2）因为，所以当时，取到最大值．第18题答案（1）；（2）第18题解析（1）由及正弦定理得，得，∵是锐角三角形，∴.（2）由面积公式得, 得, 由余弦定理得,,所以.第19题答案（1）（海里/时）；（2）.第19题解析（1）依题意知,海里，（海里），.在中，由余弦定理，可得，解得海里.所以渔船甲的速度为（海里/时）.（2）由（1）知海里，在中，，由正弦定理，得，即.第20题答案略第20题解析（1）∵，∴，．∴为首项，公比的等比数列，（2）∵，∴，．第21题答案（1）；（2）第21题解析（1）∵，∴，∴，由三角形余弦定理得，，结合得；（2）∵，∴.由题意，三角形是锐角三角形得，，，∴.由正弦定理：且，∴.∵，∴，∴.故.第22题答案（1）；（2）略.第22题解析（1）由题意可知，当时，当，两式作差可得，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，当时也满足此式，即通项公式为；（2）①，②两式作差可得，即.。

2019-2020学年江苏省无锡市锡山区天一中学高三（上）10月调研数学试卷试题数：20.满分：1601.（填空题.5分）设全集U={1.2.3.4.5.6}.集合A={3.4}.B={2.4.5}.则（∁U A）∪B=___ ．2.（填空题.5分）若复数z满足条件（3-i）z=5（其中i为虚数单位）.则|z|=___ ．3.（填空题.5分）执行如图所示的程序框图.则输出s的值为___ ．4.（填空题.5分）某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析.随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩.并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图（如图）.则成绩在[250.400）内的学生共有___ 人．5.（填空题.5分）口袋中有形状和大小完全相同的4个球.球的编号分别为1.2.3.4.若从袋中一次随机摸出2个球.则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为___ ．6.（填空题.5分）已知f(x)=2x+a2x 为奇函数. g(x)=log2(2x+1)−12bx−1为偶函数.则f（ab）=___ ．7.（填空题.5分）若函数f(x)=sin(ωx+π6)(ω＞0)图象的两条相邻的对称轴之间的距离为π2 .且该函数图象关于点（x0.0）成中心对称. x0∈[0，π2] .则x0=___ ．8.（填空题.5分）在等差数列{a n}中.S n为前n项和.已知a5+a7+a10=15.S15=45.则公差d的值为___ ．9.（填空题.5分）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1.S2.体积分别为V1.V2.若它们的侧面积相等.且S1S2 = 94.则V1V2的值是 ___ ．10.（填空题.5分）向量a⃗，b⃗⃗均为非零向量. (a⃗+2b⃗⃗)⊥a⃗，(b⃗⃗+2a⃗)⊥b⃗⃗ .则a⃗与b⃗⃗的夹角为___ ．11.（填空题.5分）已知α∈(0，π2)，cos(α+π3)=13.则cos(2α+π6) =___ ．12.（填空题.5分）已知定义在（0.+∞）上的可导函数f（x）的导函数为f'（x）.满足f（x）＜x•f'（x）.且f（1）=0.则关于x的不等式f（x）＜0的解集为___ ．13.（填空题.5分）如图.A.B.C是直线l上的三点.P是直线l外一点.已知AB= 12BC=1 .∠CPB=90°.tan ∠APB=43．则PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗•PC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ．14.（填空题.5分）已知实数x.y＞0.则(2x+1)(y+1)2x2+5y2+7的最大值为___ ．15.（问答题.14分）设向量a⃗=(sinx，√3cosx)，b⃗⃗=(−1，1)，c⃗=(1，1)．（其中x∈[0.π]）（1）若(a⃗+b⃗⃗)∥c⃗ .求实数x的值；（2）若a⃗•b⃗⃗=12 .求函数sin(x+π6)的值．16.（问答题.14分）如图.已知A.B.C.D四点共面.且CD=1.BC=2.AB=4.∠ABC=120°.cos∠BDC=2√77．（Ⅰ）求sin∠DBC；（Ⅱ）求AD．17.（问答题.14分）在如图所示的空间几何体中.四边形ABCD为正方形.四边形ABEF为直角梯形.已知AF || BE.AB⊥BE.平面ABEF⊥平面ABCD.AB=BE=2AF.点P为棱DE上一点.且DP=2PE．（1）求证：AC || 平面DEF；（2）求证：BP⊥平面DEF．18.（问答题.16分）政府部门为加快实现塌陷区域整治和资源枯竭城市转型发展.对一片半径为1km的圆形采煤塌陷区进行生态修复和景观建设.将其开发为湿地景区．一期工程对塌陷区水面及周边整治已结束.二期工程是进行湖面观光曲桥建设.设计方案如下：在圆形水面上建设由线段AB、AP、BP、CD组成的环湖观光曲桥.其中A、B、P是湖面观光曲桥的出入口.出入口A建在湖面东西方向的正东的湖边.出入口B建在湖面南北方向方向的正北的湖边.出入口P 建在圆形湖面南偏西的某处湖边.C、D分别在东西和南北方向的轴线上.满足P、C、B共线.P、D、A共线．（1）求曲桥AB、BC、CD、DA围成的水域的面积；（2）试确定P点的位置.使得曲桥CD、DP、PC围成的水域面积最大．19.（问答题.16分）对于无穷数列{a n}与{b n}.记A={x|x=a n.n∈N*}.B={x|x=b n.n∈N*}.若同时满足条件：① {a n}.{b n}均单调递增；② A∩B=∅且A∪B=N*.则称{a n}与{b n}是无穷互补数列．（1）若a n=2n-1.b n=4n-2.判断{a n}与{b n}是否为无穷互补数列.并说明理由；（2）若a n=2n且{a n}与{b n}是无穷互补数列.求数量{b n}的前16项的和；（3）若{a n}与{b n}是无穷互补数列.{a n}为等差数列且a16=36.求{a n}与{b n}的通项公式．20.（问答题.16分）已知函数f(x)=a2x2+x+1e x−1．（1）若a=2.求函数f（x）的极小值；（2）若f（x）在x∈[0.+∞）的最小值为0.求实数a的取值范围；（3）证明：当a≥1时.证明不等式f（x）≤x+1对x∈R恒成立．2019-2020学年江苏省无锡市锡山区天一中学高三（上）10月调研数学试卷参考答案与试题解析试题数：20.满分：1601.（填空题.5分）设全集U={1.2.3.4.5.6}.集合A={3.4}.B={2.4.5}.则（∁U A）∪B=___ ．【正确答案】：[1]{1.2.4.5.6}【解析】：进行并集和补集的运算即可．【解答】：解：∵U={1.2.3.4.5.6}.A={3.4}.B={2.4.5}.∴∁U A={1.2.5.6}.（∁U A）∪B={1.2.4.5.6}．故答案为：{1.2.4.5.6}．【点评】：考查列举法的定义.以及并集和补集的运算．2.（填空题.5分）若复数z满足条件（3-i）z=5（其中i为虚数单位）.则|z|=___ ．【正确答案】：[1] √102【解析】：把已知等式变形.再由复数代数形式的乘除运算化简.然后利用复数模的计算公式求解．【解答】：解：由（3-i）z=5.得z= 53−i =5(3+i)(3−i)(3+i)=32+12i .∴|z|= √(32)2+(12)2=√102．故答案为：√102．【点评】：本题考查复数代数形式的乘除运算.考查复数模的求法.是基础题．3.（填空题.5分）执行如图所示的程序框图.则输出s的值为___ ．【正确答案】：[1]20【解析】：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值.模拟程序的运行过程.分析循环中各变量值的变化情况.可得答案．【解答】：解：第一次满足循环的条件.执行循环体后.S=5.a=4；第二次满足循环的条件.执行循环体后.S=20.a=3；第三次不满足循环的条件.不执行循环体.故输出S值为20.故选答案为：20．【点评】：本题考查了程序框图的应用问题.解题时应模拟程序框图的运行过程.以便得出正确的结论.是基础题4.（填空题.5分）某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析.随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩.并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图（如图）.则成绩在[250.400）内的学生共有___ 人．【正确答案】：[1]750【解析】：由样本的频率分布直方图求出a.从而成绩在[250.400）内的频率为0.75.由此能求出成绩在[250.400）内的学生人数．【解答】：解：由样本的频率分布直方图得：（0.001+0.001+0.004+a+0.005+0.003）×50=1.解得a=0.006．∴成绩在[250.400）内的频率为（0.004+0.006+0.005）×50=0.75.∴成绩在[250.400）内的学生共有1000×0.75=750．故答案为：750．【点评】：本题考查频数的求法.考查频率分布直方图等基础知识.考查运算求解能力.考查函数与方程思想.是基础题．5.（填空题.5分）口袋中有形状和大小完全相同的4个球.球的编号分别为1.2.3.4.若从袋中一次随机摸出2个球.则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为___ ．【正确答案】：[1] 23【解析】：从袋中一次随机摸出2个球.基本事件总数n= C42 =6.利用列举法求出摸出的2个球的编号之和大于4包含的基本事件个数.由此能求出摸出的2个球的编号之和大于4的概率．【解答】：解：口袋中有形状和大小完全相同的4个球.球的编号分别为1.2.3.4.从袋中一次随机摸出2个球.基本事件总数n= C42 =6.摸出的2个球的编号之和大于4包含的基本事件有：（1.4）.（2.3）.（2.4）.（3.4）.共4个.∴摸出的2个球的编号之和大于4的概率为p= 46=23．故答案为：23．【点评】：本题考查概率的求法.考查古典概型、列举法等基础知识.考查运算求解能力.考查函数与方程思想.是基础题．6.（填空题.5分）已知f(x)=2x+a2x 为奇函数. g(x)=log2(2x+1)−12bx−1为偶函数.则f（ab）=___ ．【正确答案】：[1] −32【解析】：由f(x)=2x+a2x为奇函数.可得f（0）=1+a=0.可求a.然后由g（x）为偶函数.结合g（-x）=g（x）.可求b.然后代入即可求解．【解答】：解：由f(x)=2x+a2x为奇函数.可得f（0）=1+a=0.∴a=-1.∵ g(x)=log2(2x+1)−12bx−1为偶函数.∴g（-x）=g（x）.∴ log2(2x+1)−12bx−1=log2(2−x+1)+12bx−1 .整理可得.2bx=2x. ∴b=1.∴f（ab）=f（-1）= 2−1−12−1 =- 32故答案为：- 32．【点评】：本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数解析式及求解函数值.属于基础知识的灵活应用．7.（填空题.5分）若函数f(x)=sin(ωx+π6)(ω＞0)图象的两条相邻的对称轴之间的距离为π2 .且该函数图象关于点（x0.0）成中心对称. x0∈[0，π2] .则x0=___ ．【正确答案】：[1] 5π12【解析】：利用两角和的正弦公式化简f（x）.然后由f（x0）=0求得[0. π2]内的x0的值．【解答】：解：∵函数f(x)=sin(ωx+π6)(ω＞0)图象的两条相邻的对称轴之间的距离为π2.∴ 2πω=π.∴ω=2∴f（x）=sin（2x+ π6）．∵f（x）的图象关于点（x0.0）成中心对称.∴f（x0）=0.即sin（2x0+ π6）=0.∴2x0+ π6=kπ.∴x0= kπ2 - π12.k∈Z.∵x0∈[0. π2].∴x0= 5π12．故答案为：5π12．【点评】：本题考查两角和与差的正弦函数.考查了正弦函数的对称中心的求法.属于基本知识的考查．8.（填空题.5分）在等差数列{a n}中.S n为前n项和.已知a5+a7+a10=15.S15=45.则公差d的值为___ ．【正确答案】：[1]-3【解析】：将a5+a7+a10=15.S15=45.用基本量a1和d表示出来.消去a1即可求d．【解答】：解：根据题意.a5+a7+a10=15.所以3a1+19d=15 ① .又S15=45=15a8=45.所以a8=a1+7d=3 ② .联立① ② 得d=-3．故答案为：-3．【点评】：本题考查了等差数列的基本量的运算.属于基础题．9.（填空题.5分）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1.S2.体积分别为V1.V2.若它们的侧面积相等.且S1S2 = 94.则V1V2的值是 ___ ．【正确答案】：[1] 32【解析】：设出两个圆柱的底面半径与高.通过侧面积相等.推出高的比.然后求解体积的比．【解答】：解：设两个圆柱的底面半径分别为R.r；高分别为H.h；∵ S1 S2 = 94.∴ R r =32.它们的侧面积相等. 2πRH2πrℎ=1∴ H ℎ=23.∴ V1 V2 = πR2Hπr2ℎ= (32)2•23= 32．故答案为：32．【点评】：本题考查柱体体积公式以及侧面积公式的直接应用.是基础题目．10.（填空题.5分）向量a⃗，b⃗⃗均为非零向量. (a⃗+2b⃗⃗)⊥a⃗，(b⃗⃗+2a⃗)⊥b⃗⃗ .则a⃗与b⃗⃗的夹角为___ ．【正确答案】：[1] 2π3【解析】：由平面向量垂直时数量积为0.列方程求出a⃗、b⃗⃗的夹角余弦值.从而求出向量a⃗，b⃗⃗的夹角．【解答】：解：由（a⃗ +2 b⃗⃗）⊥ a⃗ .得（a⃗ +2 b⃗⃗）• a⃗ = a⃗2 +2 a⃗• b⃗⃗ =0.∴ |a⃗|2 +2| a⃗ |×| b⃗⃗|×cosθ=0；… ①又（b⃗⃗ +2 a⃗）⊥ b⃗⃗ .得（b⃗⃗ +2 a⃗）• b⃗⃗ = b⃗⃗2 +2 a⃗• b⃗⃗ =0.∴ |b⃗⃗|2 +2| a⃗ |×| b⃗⃗|×cosθ=0；… ②又向量a⃗，b⃗⃗均为非零向量.则| a⃗ |=| b⃗⃗ |.且cosθ=- 12.由θ∈[0.π].得θ= 2π3.即a⃗与b⃗⃗的夹角为2π3．故答案为：2π3．【点评】：本题考查了平面向量的数量积与夹角计算问题.是基础题．11.（填空题.5分）已知α∈(0，π2)，cos(α+π3)=13.则cos(2α+π6) =___ ．【正确答案】：[1] 4√29【解析】：由已知利用诱导公式可求sin（α- π6）.根据同角三角函数基本关系式可求cos（α- π6）的值.进而根据诱导公式.二倍角的正弦函数公式化简所求即可求解．【解答】：解：∵ α∈(0，π2)，cos(α+π3)=13.∴sin[ π2 -（α+π3）]=sin（π6-α）= 13.可得sin（α- π6）=- 13.∵α- π6∈（- π6. π3）.∴cos（α- π6）= √1−sin2(α−π6) = 2√23.∴ cos(2α+π6) =sin[ π2-（2α+ π6）]=sin（π3-2α）=-sin（2α- π3）=-sin2（α- π6）=-2sin（α- π6）cos（α- π6）=-2×（- 13）× 2√23= 4√29．故答案为：4√29．【点评】：本题主要考查了诱导公式.同角三角函数基本关系式.二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用.考查了计算能力和转化思想.属于基础题．12.（填空题.5分）已知定义在（0.+∞）上的可导函数f（x）的导函数为f'（x）.满足f（x）＜x•f'（x）.且f（1）=0.则关于x的不等式f（x）＜0的解集为___ ．【正确答案】：[1]（0.1）【解析】：构造函数g（x）= f(x)x.利用函数的导数判断函数的单调性.然后转化不等式f（x）＜0.求解即可得到答案．【解答】：解：函数f（x）的定义域为x＞0.xf'（x）＞f（x）.令g（x）= f(x)x.g′（x）= xf′(x)−f(x)x2＞0.所以函数g（x）在（0.+∞）上为增函数.∵f（1）=0.关于x的不等式f（x）＜0.f(x)x＜0 .可得g（x）＜g（1）.解得0＜x＜1.故答案为：（0.1）．【点评】：本题主要考查函数的单调性与其导函数之间的关系.考查了学生的计算能力.属基础题．13.（填空题.5分）如图.A.B.C是直线l上的三点.P是直线l外一点.已知AB= 12BC=1 .∠CPB=90°.tan ∠APB=43．则PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗•PC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ．【正确答案】：[1] −3217【解析】：设∠PBC=θ.利用三角函数的定义以及余弦定理.以及向量数量积的公式进行计算即可．【解答】：解：设∠PBC=θ.∵tan ∠APB =43 .∴cos∠APB= 35 .sin∠APB= 45 .则由AB= 12 BC=1.可得|PC|=2sinθ.|PB|=2cosθ.|PA|=sin （π-θ） •1sin∠APB = 54 sinθ. 且|PA|2=|AB|2+|PB|2-2|PB||AB|cos （π-θ）=1+4cos 2θ+4cos 2θ=1+8cos 2θ. ∴ 2516 sin 2θ=1+8cos 2θ得sin 2θ= 1617 .则 PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =| PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ || PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠APC= 54 sinθ•2sinθcos （90°+∠APB ）= 52sin 2θ（-sin∠APB ）=- 52×1617×45 =- 3217 ．故答案为：- 3217 ．【点评】：本题主要考查向量数量积的应用.结合三角函数的定义以及余弦定理建立方程是解决本题的关键．14.（填空题.5分）已知实数x.y ＞0.则 (2x+1)(y+1)2x 2+5y 2+7 的最大值为___ ． 【正确答案】：[1] 12【解析】：构造新的不等式.引入参数t. (2x+1)(y+1)2x 2+5y 2+7+t = 2tx+2(y+1)x+5ty 2+y+7t+12x 2+5y 2+7.然后令分子等于0.△=0.即（10t 2-1）y 2+2（t-1）y+14t 2+2t-1=0.再令△=0.t 2（2t+1）（14t-5）=0解得t=0或t=- 12 或t= 514 .进而求解．【解答】：解：构造新的不等式.引入参数t. (2x+1)(y+1)2x 2+5y 2+7+t = 2tx 2+2(y+1)x+5ty 2+y+7t+12x 2+5y 2+7 . 令分子等于0.△=0.即（10t 2-1）y 2+2（t-1）y+14t 2+2t-1=0. 再令△=0.t 2（2t+1）（14t-5）=0解得t=0或t=- 12 或t= 514 . ① (2x+1)(y+1)2x 2+5y 2+7 - 12 =−2x 2+4(y+1)x−5y 2−5+2y 2(2x 2+5y 2+7) = −2(x−y−1)2−3(y−1)22(2x 2+5y 2+7)≤0. 当且仅当 {x −y −1=0y −1=0 即 {x =2y =1 时等号成立；② (2x+1)(y+1)2x 2+5y 2+7 + 514 =10x 2+28(y+1)x+25y 2+14y+4914(2x 2+5y 2+7) = 2(5x+7y+7)2+3(3y−7)270(2x 2+5y 2+7)≥0. 当且仅当 {5x +7y +7=03y −7=0 即 {x =−143y =73 时等号成立；综上.(2x+1)(y+1)2x 2+5y 2+7最大值为 12.故答案为： 12【点评】：考查转化思想.不等式成立的条件．15.（问答题.14分）设向量a⃗=(sinx，√3cosx)，b⃗⃗=(−1，1)，c⃗=(1，1)．（其中x∈[0.π]）（1）若(a⃗+b⃗⃗)∥c⃗ .求实数x的值；（2）若a⃗•b⃗⃗=12 .求函数sin(x+π6)的值．【正确答案】：【解析】：（1）利用(a⃗+b⃗⃗)∥c⃗ .列出方程即可求实数x的值；（2）由已知条件a⃗•b⃗⃗=12和辅助角公式得到sin(x+2π3)=14．然后由同角三角函数关系来求sin(x+π6)的值．【解答】：解：（1）∵ (a⃗+b⃗⃗)∥c⃗⇒(sinx−1)−(√3cosx+1)=0 .∴ sinx−√3cosx=2⇒2(12sinx−√32cosx)=2⇒sin(x−π3)=1 .又x∈[0，π]⇒x−π3∈[−π3，2π3] .∴ x−π3=π2⇒x=5π6．（2）∵ a⃗•b⃗⃗=−sinx+√3cosx=12⇒2(−12sinx+√32cosx)=12.∴ sin(x+2π3)=14.∴ sin(x+π6)=sin((x+2π3)−π2)=−cos(x+2π3)．又x∈[0.π]且sin(x+2π3)=14＞0⇒x+2π3∈(2π3，π) .∴ cos(x+2π3)=−√154即sin(x+π6)=√154．【点评】：本题考查向量的共线与数量积的运算.三角函数的恒等变换应用.基本知识的考查．16.（问答题.14分）如图.已知A.B.C.D四点共面.且CD=1.BC=2.AB=4.∠ABC=120°.cos∠BDC=2√77．（Ⅰ）求sin∠DBC；（Ⅱ）求AD．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）利用已知及同角三角函数基本关系式可求sin∠BDC=√217.进而利用正弦定理即可求得sin∠DBC的值．（Ⅱ）在△BDC中.由余弦定理可求DB的值.利用同角三角函数基本关系式可求cos∠DBC=5√714.进而利用两角差的余弦函数公式可求cos∠ABD的值.在△ABD中.由余弦定理可求AD的值．【解答】：（本小题满分13分）解：（Ⅰ）在△BDC中.因为cos∠BDC=2√77.所以sin∠BDC=√217．由正弦定理DCsin∠DBC =BCsin∠BDC得. sin∠DBC=DC•sin∠BDCBC=√2114．…（5分）（Ⅱ）在△BDC中.由BC2=DC2+DB2-2DC•DBcos∠BDC. 得. 4=1+DB2−2DB2√77．所以DB2−4√77DB−3=0．解得DB=√7或DB=−3√77（舍）．由已知得∠DBC是锐角.又sin∠DBC=√2114.所以cos∠DBC=5√714．所以cos∠ABD=cos（120°-∠DBC）=cos120°•cos∠DBC+sin120°•sin∠DBC= −12•5√714+√32•√2114= −√714．在△ABD中.因为AD2=AB2+BD2-2AB•BDcos∠ABD= 16+7−2×4×√7×(−√714)=27 .所以AD=3√3．…（13分）【点评】：本题主要考查了同角三角函数基本关系式.正弦定理.余弦定理.两角差的余弦函数公式在解三角形中的综合应用.考查了计算能力和转化思想.数形结合思想.属于中档题．17.（问答题.14分）在如图所示的空间几何体中.四边形ABCD为正方形.四边形ABEF为直角梯形.已知AF || BE.AB⊥BE.平面ABEF⊥平面ABCD.AB=BE=2AF.点P为棱DE上一点.且DP=2PE．（1）求证：AC || 平面DEF；（2）求证：BP⊥平面DEF．【正确答案】：【解析】：（1）连结BD.设AC∩BD=O.推导出O为BD中点.设G为DE的中点.连结OG.FG.推导出四边形AOGF是平行四边形.由此能证明AC || 平面DEF．（2）设AF=x.则AB=BE=2x.推导出△PEB∽△BED.BP⊥DE.PF⊥PB.由此能证明PB⊥平面DEF．【解答】：证明：（1）连结BD.设AC∩BD=O.∵四边形ABCD为正方形.∴O为BD中点.设G为DE的中点.连结OG.FG.BE.则OG || BE.且OG= 12∵AF || BE.且AF= 12BE.∴AF || OG.OG=AF.∴四边形AOGF是平行四边形.∴AO || FG.∴AC || FG.∵AC⊄平面DEF.FG⊂平面DEF.∴AC || 平面DEF．（2）设AF=x.则AB=BE=2x.Rt△BDE中.DE2=BD2+BE2=12x2.∴DE=2 √3x .∵DP=2PE.∴PE= 2√33x.∵ PE BE =√33. BEDE= √33.∴ PEBE=BEDE.∵∠BEP=∠DEB.∴△PEB∽△BED. ∴∠BPE=∠DBE=90°.∴BP⊥DE.在△DEF中.cos∠FED= EF 2+DE2−DF2 2•EF•DE= √155.解得PF= √213x.∵BF= √5 x.∴PF2+PB2= 219x2+249x2 =5x2=BF2.∴PF⊥PB.∵PF∩DE=P.∴PB⊥平面DEF．【点评】：本题考查线面平行、线面垂直的证明.考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识.考查运算求解能力.是中档题．18.（问答题.16分）政府部门为加快实现塌陷区域整治和资源枯竭城市转型发展.对一片半径为1km的圆形采煤塌陷区进行生态修复和景观建设.将其开发为湿地景区．一期工程对塌陷区水面及周边整治已结束.二期工程是进行湖面观光曲桥建设.设计方案如下：在圆形水面上建设由线段AB、AP、BP、CD组成的环湖观光曲桥.其中A、B、P是湖面观光曲桥的出入口.出入口A建在湖面东西方向的正东的湖边.出入口B建在湖面南北方向方向的正北的湖边.出入口P 建在圆形湖面南偏西的某处湖边.C、D分别在东西和南北方向的轴线上.满足P、C、B共线.P、D、A共线．（1）求曲桥AB、BC、CD、DA围成的水域的面积；（2）试确定P点的位置.使得曲桥CD、DP、PC围成的水域面积最大．【正确答案】：【解析】：（1）以圆形湖面的东西方向的轴线为x轴.南北方向的轴线为y轴建立直角坐标系.由题意可得.圆O的方程为x2+y2=1.A（1.0）.B（0.1）.设P（m.n）（m＜0.n＜0）.则m2+n2=1.求出D.C的坐标.代入求出面积S；（2）由S△PAB=12AB•d=12•|m+n−1| .设m=cosα.n=sinα（π＜α＜3π2）.利用三角函数的性质.求出最值即可．【解答】：解：以圆形湖面的东西方向的轴线为x轴.南北方向的轴线为y轴建立直角坐标系. 由题意可得.圆O的方程为x2+y2=1.A（1.0）.B（0.1）.设P（m.n）（m＜0.n＜0）.则m2+n2=1.（1）由拱桥AB.BC.CD.DA所围成的水面的面积为S.直线PA的方程为y=nm−1(x−1) .令x=0.得D（0. n1−m) .直线PB的方程为y=1−n−m x+1 .令y=0.得C（m1−n，0）.则S= 12AC•BD = 12|1−m1−n||1−n1−m|=(1−m−n)22(1−m)(1−n)= 1−2m−2n+m2+n2+2mn2(1−m)(1−n)=1 .所以曲桥AB、BC、CD、DA围成的水域的面积为1km2；（2）由（1）曲桥AB、BC、CD、DA围成的水域的面积为1km2.要使CD.DP.PC所围成的面积最大.只需要确定P的位置使得△PAB的面积最大.易知.直线AB的方程为x+y-1=0.AB= √2 km.点P（m.n）到直线AB的距离d=√2.所以S△PAB=12AB•d=12•|m+n−1| .因为m＜0.n＜0.所以S△PAB=1−m−n2.设m=cosα.n=sinα（π＜α＜3π2）.所以S△PAB=1−cosα−sinα2 = 1−√2sin(α+π4)2.当且仅当α=5π4时.S△PAB面积最大为1+√22km2 .此时又CD.DP.PC所围成的水面的面积最大.且最大值为1+√22−1=√2−12(km2) .所以当入口P位于湖面的正西南方向时.CD.DP.PC所围成的水面的面积最大．【点评】：考查直线与圆的位置关系.三角函数求最值.解三角形等.难度较大.综合性高．19.（问答题.16分）对于无穷数列{a n}与{b n}.记A={x|x=a n.n∈N*}.B={x|x=b n.n∈N*}.若同时满足条件：① {a n}.{b n}均单调递增；② A∩B=∅且A∪B=N*.则称{a n}与{b n}是无穷互补数列．（1）若a n=2n-1.b n=4n-2.判断{a n}与{b n}是否为无穷互补数列.并说明理由；（2）若a n=2n且{a n}与{b n}是无穷互补数列.求数量{b n}的前16项的和；（3）若{a n}与{b n}是无穷互补数列.{a n}为等差数列且a16=36.求{a n}与{b n}的通项公式．【正确答案】：【解析】：（1）{a n}与{b n}不是无穷互补数列．由4∉A.4∉B.4∉A∪B=N*.即可判断；（2）由a n=2n.可得a4=16.a5=32.再由新定义可得b16=16+4=20.运用等差数列的求和公式.计算即可得到所求和；（3）运用等差数列的通项公式.结合首项大于等于1.可得d=1或2.讨论d=1.2求得通项公式.结合新定义.即可得到所求数列的通项公式．【解答】：解：（1）{a n }与{b n }不是无穷互补数列． 理由：由a n =2n-1.b n =4n-2.可得4∉A .4∉B .即有4∉A∪B=N *.即有{a n }与{b n }不是无穷互补数列； （2）由a n =2n .可得a 4=16.a 5=32.由{a n }与{b n }是无穷互补数列.可得b 16=16+4=20. 即有数列{b n }的前16项的和为 （1+2+3+…+20）-（2+4+8+16）=1+202×20-30=180； （3）设{a n }为公差为d （d 为正整数）的等差数列且a 16=36.则a 1+15d=36. 由a 1=36-15d≥1.可得d=1或2.若d=1.则a 1=21.a n =n+20.b n =n （1≤n≤20）. 与{a n }与{b n }是无穷互补数列矛盾.舍去； 若d=2.则a 1=6.a n =2n+4.b n = {n ，n ≤52n −5，n ＞5．综上可得.a n =2n+4.b n = {n ，n ≤52n −5，n ＞5 ．【点评】：本题考查新定义的理解和运用.考查等差数列的通项公式和求和公式的运用.考查运算和推理能力.属于中档题．20.（问答题.16分）已知函数 f (x )=a2x 2+x+1e x−1 ．（1）若a=2.求函数f （x ）的极小值；（2）若f （x ）在x∈[0.+∞）的最小值为0.求实数a 的取值范围； （3）证明：当a≥1时.证明不等式f （x ）≤x+1对x∈R 恒成立．【正确答案】：【解析】：（1）求出 f′（x ）.求出函数的单调区间.得出极值；（2）分a 的符号讨论函数f （x ）的单调性.从而得出取最值的情况.得到参数a 的取值范围； （3）用分析法当x≥0时.要证明 e x −a 2x 2e |x|≤x +1 成立；构造函数g （x ）= a 2x 2+x+1e x.讨论函数g（x）的单调性.得出最值从而证明.同理去证明x＜0的情况．【解答】：解：（1）因为a=2.所以f(x)=x2+x+1e x −1 .∴ f′(x)=(2e x−1)xe x.所以 f（x）极小值=f（0）=0；（2）f'（x）= x(a−1e x) .∵x≥0.则e x≥1∴ 0＜1e x≤1 .① 若a≤0.则当x＞0时.f'（x）＜0.f（x）为减函数.而f（0）=0.从而f'（x）＜0.不符合题意.舍去；② 若0＜a＜1.则当x＜-lna时.f'（x）＜0.f（x）为减函数.而f（0）=0.从而f'（x）＜0.不符合题意.舍去；③ 若a≥1.则当x＜0时.f'（x）＞0.f（x）为增函数.而f（0）=0.从而当x≥0时.f（x）≥0.综上：实数a的取值范围是[1.+∞）；（3）由题可知f（x）≤x+1即为e x−a2x2e|x|≤x+1；① 当x≥0时.要证明e x−a2x2e|x|≤x+1成立；只需证e x≤a2x2e x+x+1 .即证a2x2+x+1e x≥1 ① ；令g（x）= a2x2+x+1e x.得g′(x)=ax+e x−(x+1)e x(e x)2=ax−xe x；整理得g′(x)=x(a−1e x)∵x≥0 时. 1e x≤1结合a≥1.得g′（x）≥0；∴g（x）在[0.+∞）上是增函数.故g（x）≥g（0）=1；所以① 得证；② 当x＜0时.要证明e x−a2x2e|x|≤x+1成立；只需证e x≤a2x2e−x+x+1 .即证a2x2e−2x+(x+1)e−x≥1 ② ；令m（x）= a2x2e−2x+(x+1)e−x .得m′（x）=-xe-2x[e x+a（x-1）]；而 h（x）=e x+a（x-1）在x≤0时为增函数；故h（x）≤h（0）=1-a≤0.从而m′（x）≤0；∴m（x）在x≤0时为减函数.则m（x）≥m（0）=1.从而② 式得证；故当a≥1时.不等式f（x）≤x+1对x∈R恒成立．【点评】：本题考查函数的极值.根据最值求参数范围.构造函数利用导数证明不等式.考查分类讨论的思想和构造法.属于难题．。

（新课标）2019—2020学年苏教版高中数学必修二高二数学阶段检测试卷一、填空题:(本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．)1．A,B,C 为空间三点,经过这三点的平面有 个.2.两个球的半径之比为1∶2，那么两个球的表面积之比为________． 3．已知a,b 是两条异面直线，直线c 平行于直线a,那么直线c 与直线b 的位置关系是____________．4. 空间中直线l 和三角形的两边AC ，BC 同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB 的位置关系是________．5. 以下角：①异面直线所成角；②直线和平面所成角；③二面角的平面角，可能为钝角的有________个．6．过平面外一点能作 条直线与这个平面平行． 7. 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为916， 则正方体的棱长为________． 8.如右图所示的水平放置的平面图形的直观图，它所表示的平面图形ABCD 是9.如图所示，P 是三角形ABC 所在平面外一点，平面α∥平面ABC ，α分别交线段PA 、PB 、PC 于A ′、B ′、C ′，y C BD A x若PA′∶AA′＝3∶4，则S△A′B′C′∶S△ABC＝________.10.已知平面α外两点A、B到平面α的距离分别是3和5，则A，B的中点P到平面α的距离是________．11.若圆锥的全面积是底面积的3倍，则该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为________度．12. 已知高为3的棱柱ABC—A1B1C1的底面是边长为2的正三角形(如图)，则三棱锥B1—ABC的体积为________．13. 在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是________．①BC∥面PDF；②面PDF⊥面ABC；③DF⊥面PAE；④面PAE⊥面ABC.AB D C14. 设α∥β，A ∈α，C ∈α，B ∈β，D ∈β，直线AB 与CD 交于O ， 若AO ＝8，BO ＝9，CD ＝51，则CO ＝________．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 15.(本题14分)已知：平面α∩平面β=b ，直线a ∥α，a ∥β，求证：a ∥b 。

2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案体验 探究 合作 展示数学试题理科答案一、BDCCC ADABD CD二、13．414．032=+-y x15．1121622=+x y 16．2三、17．解析：由题意知02>a ，即0>a ，又过点)3,2(且平行于直线064=++y ax 的直线方程可写为)2(43--=-x a y ，此直线与x 轴的交点为⎪⎭⎫ ⎝⎛+0,212a ，与y 轴的交 点为⎪⎭⎫ ⎝⎛+23,0a ，由已知条件，得)0(22321221>=+⋅+a a a a ，解得6=a ． 18．解析： 设圆心为),(b a ，则⎪⎩⎪⎨⎧-++=-+-=--2222)1()3()2()2(2322b a b a a b 解得1394,1,02=+=-==r b a即所求圆的方程为13)1(22=++y x ．19．解析：设动圆M 的半径为r ，则由已知2,221-=+=r MC r MC ， ∴2221=-MC MC ．又)0,4(),0,4(21C C -，∴821=C C ，∴2122C C <．根据双曲线定义知，点M 的轨迹是以)0,4(),0,4(21C C -为焦点的双曲线的右支． ∵4,2==c a ，∴14222=-=a c b∴点M 的轨迹方程是)2(114222≥=-x y x ． 20．解析：(1)因为点P 在椭圆C 上，所以6221=+=PF PF a ，3=a ．在Rt 21F PF ∆中，52212221=-=PF PF F F ， 故椭圆的半焦距5=c ，从而4222=-=c a b ．所以椭圆C 的方程为14922=+y x ． (2)设A ,B 的坐标分别为(x 1,y 1)，(x 2,y 2)．已知M 的坐标为(－2，1)，可设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)＋1．代入椭圆C 的方程得，0273636)1836()94(2222=-+++++k k x k k x k ．因为A ，B 关于点M 对称，所以29491822221=++=+k k k x x ，解得k ＝98, 所以直线l 的方程为y －1＝98 (x ＋2)，即8x －9y ＋25＝0． 经检验，所求直线方程符合题意．(本题也可用点差法求解)21．解析：(1)依题意得)0,1(F ，设直线AB 方程为1+=my x ．将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，消去x 得0442=--my y ．设),(),,(2211y x B y x A ，所以4,42121-==+y y m y y ．①因为2=，所以212y y -=．②联立①和②，消去21,y y ，得42±=m ，所以直线AB 的斜率是22±． (2)由点C 与原点O 关于点M 对称，得M 是线段OC 的中点，从而点O 与点C 到直线AB 的距离相等，所以四边形OACB 的面积等于AOB S ∆2．因为212122y y OF S AOB -⋅⨯=∆221221144)(m y y y y +=-+=，所以 0=m 时，四边形OACB 的面积最小，最小值是4．22．解析：(1)∵点M 到抛物线准线的距离为41724=+p ，∴21=p ．即抛物线C 的方 程为x y =2．(2)解法一：∵当AHB ∠的角平分线垂直于x 轴时，点)2,4(H ，∴HF HE K K -=，设),(),,(2211y x F y x E ∴2211x x y y x x y y H H H H ---=-- ∴22222121y y y y y y y y H H H H ---=-- ∴4221-=-=+H y y y411122122121212-=+=--=--=y y y y y y x x y y k EF ． 解法二：当AHB ∠的角平分线垂直于x 轴时，点)2,4(H∴ 60=∠AHB ，可得3,3-==HB HA k k ．∴直线HA 的方程为2343+-=x y ， 联立方程组⎩⎨⎧=+-=xy x y 22343 得023432=+--y y ∵332=+E y ， ∴33413,363-=-=E E x y ， 同理可得33413,363+=--=F F x y ∴41-=EF k ． (3)解法一：设),(),,(2211y x B y x A ∵,411-=x y k MA ∴114y x k HA -= 可得，直线HA 的方程为),(41111x x y x y y --=- 即04)4(2112111=+-+--y x x y y x x ．又,1)4(2121=+-y x ∴1544121121-=+-x y x x∴直线HA 的方程为0154)4(111=-+--x y y x x ，同理，直线HB 的方程为0154)4(222=-+--x y y x x ，∴0154)4(101201=-+--x y y y x0154)4(202202=-+--x y y y x∴直线AB 的方程为0154)4(020=-+--x yy y x ，即0154)4(20020=-+--y y y x y令0=x ，可得)1(154000≥-=y y y t ， ∵t 关于0y 的函数在[)+∞,1上单调递增，∴11min -=t ．解法二：设点H (m m ,2)(m ≥1)， ∴157,16724222242+-=-=+-=m m MA HM HA m m HM以H 为圆心，HA 为半径的圆的方程为157)()(24222+-=-+-m m m y m x ，①∵M 的方程为1)4(22=+-y x ．②①－②得直线AB 的方程为 147)2()4)(42(2422+-=-----m m m m y m m x ．当x ＝0时，直线AB 在y 轴上的截距t ＝4m －m15(m ≥1)， ∵t 关于m 的函数在[1,＋∞)上单调递增，∴t min ＝－11．2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案(共100分,考试时间120分钟)第Ⅰ卷一、选择题(每小题3分，共36分．每小题只有一项是符合题目要求)1．抛物线y 2＝4x ，经过点P (3，m )，则点P 到抛物线焦点的距离等于( )A ．94B ．4C ．134D ．32．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 等于( )A ．－14B ．－4C ．4D ．143．命题：“若a 2＋b 2＝0(a ，b ∈R )，则a ＝b ＝0”的逆否命题是( )A ．若a ≠b ≠0(a ，b ∈R )，则a 2＋b 2≠0B ．若a ＝b ≠0(a ，b ∈R )，则a 2＋b 2≠0C ．若a ≠0且b ≠0(a ，b ∈R )，则a 2＋b 2≠0D ．若a ≠0或b ≠0(a ，b ∈R )，则a 2＋b 2≠04．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x≥0，x ＋3y≥4，3x ＋y≤4，所表示的平面区域的面积等于( ) A ．32 B ．23 C ．43 D ．345．“m ＞n ＞0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( )A ．充分而不必要条件B ．充要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件6．已知点P 是抛物线y 2＝4x 上一点，设点P 到直线1x =-的距离为d 1，到直线x ＋2y ＋10＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是( )A ．5B ．4C ．115 5D ．1157．设a ∈R ，则a ＞1是1a＜1的( ) A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．如果命题“非p 或非q ”是假命题，则在下列各结论中，正确的是( )①命题“p 且q ”是真命题②命题“p 且q ”是假命题 ③命题“p 或q ”是真命题④命题“p 或q ”是假命题 A ．①③ B ．②④ C ．②③ D ．①④9．若命题甲是命题乙的充分不必要条件，命题丙是命题乙的必要不充分条件，命题丁是命题丙的充要条件，那么命题丁是命题甲的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 10．设平面区域D 是由双曲线y 2－x 24＝1的两条渐近线和椭圆x 22＋y 2＝1的右准线所围成的三角形(含边界与内部)．若点(x ，y )∈D ，则目标函数z ＝x ＋y 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．611．在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0，(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为( )A ．－5B ．1C ．2D ．312．已知抛物线C 的方程为x 2＝12y ，过点A (0，－1)和点B (t ,3)的直线与抛物线C 没有公共点，则实数t 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－22)∪(22，＋∞)C ．(－∞，－22)∪(22，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)数学(文)第Ⅱ卷二、填空题：(本大题共4小题，每小题3分，共12分．)13．命题“对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”的否定是_______________________________；14．设实数,x y 满足20240230x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则y x 的最大值是________； 15．经过椭圆x 22＋y 2＝1的右焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A 、B 两点．设O 为坐标原点，则OA →·OB →＝___________16．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过焦点F 的动直线l 交抛物线于A 、B 两点，则我们知道1|AF|＋1|BF|为定值，请写出关于椭圆的类似的结论：_______________________；当椭圆方程为x 24＋y 23＝1时，1|AF|＋1|BF|＝___________三、解答题：(本大题共5小题，共52分)17．(本小题满分10分)设命题p ：|4x －3|≤1；命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0．若┐p 是┐q 的必要而不充分条件，求实数a 的取值范围．18．(本小题满分10分)(1)求与椭圆2212516x y +=共焦点的抛物线的标准方程． (2)已知两圆()221:42C x y ++=，()222:42C x y -+=，动圆M 与两圆一个内切，一个外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．19．(本小题满分10分)(1)已知椭圆x 25＋y 2m ＝1的离心率e ＝105，求m 的值； (2)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的14，求该双曲线的离心率．20．(本小题满分10分)抛物线y 2＝2px (p ＞0)有一个内接直角三角形，直角顶点是原点，一条直角边所在直线方程为y ＝2x ，斜边长为513，求此抛物线方程．21．(本小题满分12分)已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心率为3，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线y ＝x ＋2相切．(Ⅰ)求a 与b ；(Ⅱ)设该椭圆的左，右焦点分别为1F 和2F ，直线1l 过2F 且与x 轴垂直，动直线2l 与y 轴垂直，2l 交1l 于点p ．求线段1PF 的垂直平分线与2l 的交点M 的轨迹方程，并指明曲线类型．2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案一、选择题：(本大题共10小题．每小题5分，共50分)二、填空题：(本大题共5小题,每小题5分,共25分)11．1412．外心13．051121022=+--+y x y x14．0203=-=-+y x y x 或 15．a 36 三、解答题：(本大题共6小题,共75分)16．解：(1)依题意：321220=++=AB k ； …………(2分) 由CD AB ⊥得：1-=⋅CD AB k k ，∴ 23-=CD k ； ……………(4分) 直线CD 的方程为：)1(233--=-x y ，即：0923=-+y x ．…………(6分) (2)方法一：)2,3(=AB ，)5,2(=AC ； …………………………(10分)211|2253|21=⨯-⨯=∆ABC S ．………………………………(12分) 方法二：13)20()12(||22=+++=AB ，直线AB 的方程为：121202++=++x y ，即：0432=--y x ；…………(8分) 131311)3(2|43312|||22=-+-⨯-⨯=CD ； ………………………………(10分) 2111313111321||||21=⨯⨯==∆CD AB S ABC ．……………………(12分) 17．解： (1)证明：依题意：AC AB ⊥ ;∵ ABC AA 平面⊥1，∴ AC AA ⊥1， ………………………(2分) 又 ∵ A AA AB =1 ，∴ B B AA AC 11平面⊥, ………………(4分) ∵ 1BA B B AA 11平面，∴ 1BA AC ⊥．……………………(6分)(2)在ABC Rt ∆中，2=AB ，22=AC ，090=∠BAC∴ 32=BC , ππ36332=⨯=侧S ．……………………(12分)18．解：(1)证明：∵ BD CO ⊥， ABD BCD 平面平面⊥，CO ≠⊂BCD 平面，BD ABD BCD =平面平面 ， ∴ ABD CO 平面⊥; ……………………………………(3分) ∵ 正方形ABCD 边长为4，∴ 22==OA CO ,在COA Rt ∆中，4)22()22(2222=+=+=AO CO AC ，∴ BC AC =．(也可证COA ∆≌COB ∆)……………………(6分)(2)321622421312=⨯⨯⨯=-ABD C V ．………………………(12分) 19．解：(1)依题意： 0)28(4)12(4)3(4222>+--++m m m ………………(2分)即：0328122>++-m m ， 解得：234<<-m ， ∴ m 的取值范围是(34-，2)．……………………(6分) (2))28(4)12(4)3(421222+--++=m m m r 325)31(382322+--=++-=m m m ……………………(9分) ∵ ∈m (34-，2)， ∴3350≤<r ， ∴ r 的取值范围是⎥⎦⎤ ⎝⎛335,0．………………………………(12分) 20．解：(1)设圆心a C (，0)， Z a ∈， 依题意：534|294|22=+-a ， ………………(2分) 得：2271==a a 或(舍去)， …………(4分) ∴ 圆C 的标准方程为：25)1(22=+-y x ．……………………(6分)(2)设圆心C 到直线05=+-y ax 的距离为d ， 则 1|5|2++=a a d ，① 若 51|5|2>++a a ， 即 1250<<a 时，r d >，直线与圆相离； ………(8分)② 若 51|5|2=++a a ， 即 1250==a a 或时， r d =，直线与圆相切；……(10分) ③若 51|5|2<++a a ， 即 1250><a a 或时，r d <，直线与圆相交．……(12分) ∴当1250<<a 时，直线与圆相离；当1250==a a 或时，直线与圆相切； 当1250><a a 或时，直线与圆相交．……………………(13分) 21．解(1)证明：∵ G E 、分别是BC PC 、的中点， ∴ EG ∥PB ，又 ∵ EG ≠⊂平面PAB ， PB ≠⊂平面PAB ， ∴ EG ∥平面PAB ， ……………………………(2分)同理可证：EF ∥平面PAB ，∵ E EF EG = ， ∴ 平面PAB ∥平面EFG ．……………(4分)(2)证明： ∵ ABCD PD 平面⊥， ∴ DC PD ⊥，又 AD DC ⊥， D AD PD = ,∴ PAD DC 平面⊥, ………………(6分)∵ EF ∥CD ， ∴ PAD EF 平面⊥EF ≠⊂平面EFG ， ∴ PAD EFG 平面平面⊥．……………(8分) (3)Q 为PB 的中点．………………………………(9分)证明：连接QE DE AQ 、、， 平面ADQ 即为平面ADEQ ，∵ ABCD PD 平面⊥， ∴ AD PD ⊥，又 DC AD ⊥， D PD DC = ,∴ PCD AD 平面⊥, ∴ PC AD ⊥．……………………(11分)∵ CD PD =， ∴ PC DE ⊥， ………………………………(12分)∵ D DE AD = ， 且AD ，DE ≠⊂平面ADQ ， ∴ ⊥PC 平面ADQ ．…………………………(14分)注：若学生采用其他解法，可酌情给分．2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案一、选择题（每小题5分，共60分）1．下列语句中，命题的个数是 ( )①|x ＋2|；②－5∈；③π∉R ；④{0}∈N.A ．1B ．2C ．3D ．42．已知命题“若p ，则q ”，假设其逆命题为真，则p 是q 的 ( )A ．充分条件B ．必要条件C ．既不是充分条件也不是必要条件D ．无法判断3.设命题：对，则为（ ）A ．B ．C ．D ．4．命题“若x 2<1，则－1<x<1”的逆否命题是 ( )A ．若x 2≥1，则x ≥1，或x ≤－1B ．若－1<x<1，则x 2<1C ．若x>1或x<－1，则x 2>1D ．若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥15.已知数列，则“为等比数列”是“1n 1-n 2n a a a +∙=”的（ ）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件6．若A 是定直线l 外一定点，则过点A 且与直线l 相切的圆的圆心轨迹为 ( )A ．直线B ．椭圆C ．线段D ．抛物线7．抛物线x 2＝4y 的焦点到准线的距离为 ( )A ．12B ．1C ．2D ．48．设正方形ABCD 的边长为1，则|﹣+|等于（ ）A ．0B ．C ．2D ．29．设l 1的方向向量为a ＝(1,2，－2)，l 2的方向向量为b ＝(－2,3，m)，若l 1⊥l 2，则m 等于( )A ．1B ．2C.12 D ．310．若直线mx ＋ny ＝4与圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P(m ，n)的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为 ()A ．至多一个B ．2C ．1D ．011．已知向量a ＝(1,2,3)，b ＝(－2，－4，－6)，|c|＝14，若(a ＋b)·c ＝7，则a 与c 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 12．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与椭圆x 2m 2＋y 2b 2＝1(a>0，m>b>0)的离心率互为倒数，那么以a 、b 、m 为边长的三角形一定是 ( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形 二、填空题（每小题5分，共20分）13.已知双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，点A ，B 在双曲线的右支上，线段AB 经过双曲线的右焦点F 2，|AB|＝m ，F 1为另一焦点，则△ABF 1的周长为________.14.已知空间三点O(0,0,0)，A(－1,1,0)，B(0,1, 1)在直线OA 上有一点H 满足BH ⊥OA ，则点H 的坐标为________.15. 已知a ＝(2，－1，3)、b ＝(－1,4，－2)、c ＝(7,7，λ)，若a 、b 、c 共面，则实数λ＝________.16.下列说法中错误的是_______（填序号）①命题“,,212,1x x M x x ≠∈∃有0))](()([1221>--x x x f x f ”的否定是“,,212,1x x M x x ≠∉∀有0))](()([1221≤--x x x f x f ”；②若一个命题的逆命题为真命题，则它的否命题也一定为真命题；③已知032:2>-+x x p ， 131:>-xq ，若命题p q ∧⌝)(为真命题，则x 的取值范围是(,3)(1,2)[3,)-∞-+∞；④“3≠x ”是“3≠x ”成立的充分条件．三、解答题（共70分）17．(本题满分10分)命题p ：关于x 的方程x 2＋ax ＋2＝0无实根，命题q ：函数f(x)＝log a x 在(0，＋∞)上单调递增，若“p ∧q ”为假命题，“p ∨q ”真命题，求实数a 的取值范围18. (本题满分12分)设命题p ：(4x －3)2≤1；命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a(a ＋1)≤0，若¬p 是¬q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.19．(本题满分12分)已知方程mx2+（m﹣4）y2=2m+2表示焦点在x轴上的双曲线．（1）求m的取值范围；（2）若该双曲线与椭圆+=1有共同的焦点．求该双曲线的渐近线方程．20. (本题满分12分)在长方体ABCDA1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，求点A1到截面AB1D1的距离21. （本题满分12分）如图，在四棱锥A-BCDE 中，底面BCDE 为平行四边形，平面ABE ⊥平面BCDE ，AB=AE ，DB=DE ，∠BAE=∠BDE=90°.(1)求异面直线AB 与DE 所成角的大小；(2)求二面角B-AE-C 的平面角的余弦值.22．(本题满分12分)已知椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的离心率为，椭圆C 的长轴长为4． （1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线l ：y=kx +与椭圆C 交于A ，B 两点，是否存在实数k 使得以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．一、选择题CBCDB DCCBB CB二、填空题13.4a+2m 14．⎝⎛⎭⎫－12，12，0 15. 9 16. ①③④ 三、解答题17、解： ∵方程x 2＋ax ＋2＝0无实根，∴△＝a 2－8<0，∴－22<a<22，∴p ：－22<a<2 2.∵函数f(x)＝log a x 在(0，＋∞)上单调递增，∴a>1.∴q ：a>1.∵p ∧q 为假，p ∨q 为真，∴p 与q 一真一假．当p 真q 假时，－22<a ≤1，当p 假q 真时，a ≥2 2.综上可知，实数a 的取值范围为(－22，1]∪[22，＋∞)18、解： 由(4x －3)2≤1，得12≤x ≤1，令A ＝{x|12≤x ≤1}． 由x 2－(2a ＋1)x ＋a(a ＋1)≤0，得a ≤x ≤a ＋1，令B ＝{x|a ≤x ≤a ＋1}．由¬p 是¬q 的必要不充分条件，得p 是q 的充分不必要条件，即A B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12a ＋1≥1，∴0≤a ≤12.∴实数a 的取值范围是 [0，12]． 19.解：（1）由题意得：，解得：0＜m ＜4；（2）由题意得：8﹣2=+，解得：m=2或m=﹣4（舍），故双曲线方程是：x 2﹣y 2=3，故渐近线方程是：y=±x ．20.解：建立如图所示的空间直角坐标系．则A(2,0,0)，B 1(2,2,4)，D 1(0,0,4)，A 1(2,0,4)，AB 1＝(0,2,4)，AD 1＝(－2,0,4)，AA 1＝(0,0,4)．设平面AB 1D 1的法向量n ＝(x ，y ，z)，有⎩⎪⎨⎪⎧ AB 1·n ＝0， AD 1·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y ＋4z ＝0，－2x ＋4z ＝0，令x ＝2，得n ＝(2，－2,1)． 所以A 1到平面AB 1D 1的距离为d ＝|AA 1·n||n|＝43. 21.解：(1)不妨设OA=a ，以O 为坐标原点，建立如图(2)所示的空间直角坐标系O-xyz ，则A(0，0，a)，B(0，-a ，0)，C(a ，-2a ，0)，D(a ，0，0)，E(0，a ，0)，所以=(0，-a ，-a)，=(-a ，a ，0).因为cos<>===-， 所以与的夹角为120°，所以异面直线AB 与DE 所成的角为60°.(2)设平面ACE 的法向量为n 1=(x ，y ，z).因为=(0，a ，-a)，=(a ，-3a ，0)，所以所以解得取y=z=1，得x=3，所以n 1=(3，1，1).又平面ABE 的一个法向量为n 2=(1，0，0)，设二面角B-AE-C的平面角为θ，则cos θ===，因此二面角B-AE-C的余弦值为.22.解：（1）设椭圆的焦半距为c，则由题设，得：，解得所以b2=a2﹣c2=4﹣3=1，故所求椭圆C的方程为+x2=1．（2）存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．理由如下：设点A（x1，y1），B（x2，y2），将直线l 的方程y=kx+代入+x2=1，并整理，得（k2+4）x2+2 kx﹣1=0．（*）则x1+x2=﹣，x1x2=﹣．因为以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O，所以•=0，即x1x2+y1y2=0．又y1y2=k2x1x2+k（x1+x2）+3，于是﹣﹣+3=0，解得k=±，经检验知：此时（*）式的△＞0，符合题意．所以当k=±时，以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案1．A.10B.11C.12D.132．下列说法正确的是A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x≠1”B ．命题“若A ＝B ，则tanA ＝tanB ”的逆否命题为假命题C ．命题“∃x 0∈R ，x 02＋x 0－1＜0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋x －1＞0”D ．若“p 或q”为真命题，则p ，q 中至少有一个为真命题3．已知,x y 的取值如下表所示，若y 与x 线性相关，且ˆ0.85yx a =+，则a =A ．2.2B ．2.6C ．2.8D ．2.9 4．已知命题p ：若x>y ，则x y e e >；命题q ：若a<|b|，则22a b >.下列四个命题：①q p q p q p q p ∨⌝⌝∧∨∧）④（③②);(;;，其中真命题的编号是 A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④5．准线为x=2的抛物线的标准方程是（ ）A ．y 2=﹣4xB ．y 2=﹣8xC ．x 2=4yD ．x 2=8y6．已知3:1,:11p x k q x ≥+<+，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是A. ),1[+∞B. ()1,+∞C. ),2[+∞D. ),2(+∞7．如图给出的是计算1＋13＋15＋…＋139的值的一个程序框图，则图中执行框中的①处和判断框中的②处应填的语句分别是 A ．n ＝n ＋2，i>21?B ．n ＝n ＋2，i>20?C ．n ＝n ＋1，i ≥20?D ．n ＝n ＋1，i>21?8．直线220x y -+=经过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为A. B. C. 23 D. 129．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为A ．23B ．25C ．35D ．910三、解答题：（3小题，共34分）15．（本小题10分）（Ⅰ）求图中实数a 的值； （Ⅲ）若从样本中数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，试用列举法求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率.16．（本小题12分）已知抛物线2:4E x y =.（Ⅰ）若直线1y x =+与抛物线E 相交于,P Q 两点，求PQ 弦长；BC边过定点(0,2)N，点M在BC 上且17.”是真命题．x M∈的必要条件，求a的取值范围．18AB≠CD“平面向量a与b的夹角是钝角”的充要条件是“19P是椭圆上任意一点，且直线PM、PN的12⎫⎪⎭，则椭圆方程为A D三、解答题：（3小题，共36分）21．（本小题12分）已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球2个，标号为2的小球n 个.若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率为25. （Ⅰ）求n 的值；（Ⅱ）从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球的标号为a ，第二次取出的小球的标号为b .(i)记“2a b +=”为事件A ，求事件A 的概率；(ii)在区间[0,4]内任取2个实数,x y ，记a b >+” 为事件B ，求使事件B 恒成立的概率.22．（本小题12分）设命题:p 函数21()lg()16f x ax ax =-+的定义域R ，命题:q 不等式ax x +<+4163对一切正实数x 均成立，如果命题p q ∨为真，p q ∧为假，求实数a 的取值范围.23．（本小题12分）如图，设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点D 在椭圆上，112DF F F ⊥，121||||F F DF =12DF F ∆的面积为2. （Ⅰ）求该椭圆的标准方程；的上方有两个交点，（Ⅱ）设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆在x 轴且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆C的方程稿 纸第I卷（共100分）一、选择题：（共10小题，每小试题5分，共50分）1．C 2．D 3．C 4．C 5．B 6．B 7．B 8．A 9．D 10．D 二、填空题：（4小题，每小题4分，共16分）11．3 12．4313．80 14．78三、解答题：（3小题，共34分）12分）即(2) 当当则⎪⎩⎪⎨⎧当第Ⅱ卷（共50分）一、选择题：（共2小题，每小试题5分，共10分） 18．B 19．C 二、填空题：（共4分） 20．M N Q P e e e e <<<三、解答题：（3小题，共36分）21．（本小题12分）【解析】（Ⅰ）由题意，2125n n =++，2n ∴=……………3分（Ⅱ）①将标号为1的小球记为1a ，2a ，将标号为2的小球记为1b ，2b ，两次不放回的取小球的所有基本事件为10个，事件A 包含的基本事件为3个.3()10P A ∴=.……………………………………7分 ②.∵a+b 的最大值为4，∴事件B 等价于2216x y +>,………………8分(,)x y 可以看作平面中的点,则全部结果所构成的区域{(,)04,04,,}x y x y x y R Ω=≤≤≤≤∈,而事件B 的所构成的区域B=22{(,)16,,}x y x y x y +>∈Ω,………………10分444()1444B S P B S ππΩ⨯-∴===-⨯.…………12分 22．（本小题12分）【解析】p 为真2104ax ax <=>-+>恒成立， 当0a =，符合题意，…………………………1分 当0a ≠ 时，由0010a a >⎧⇒<<⎨∆<⎩∴:01p a ≤< …………………… 5分q 为真<=>a >==对一切x >均成立， …………………………7分48> 8341633<++∴x 从而38a ≥………………………… 8分 又3018p q p p a a q q p q ∨⎫⎧⎧⇔⇔≤<≥⎬⎨⎨∧⎩⎩⎭为真真假，或，或假真为假. ………… 12分 （其他解法酌情给分）高二数学（理）期中考试卷答案 第3页 共4页 高23．（本小题12分）【解析】解：（Ⅰ）设()()12,0,,0F c F c -，其中222c a b =-，由121F F DF =得12DF c ==从而1221121,222DF F S DF F F ∆=⋅==故1c =.……………………2分从而12DF =，由112DF F F ⊥得222211292DF DF F F =+=，因此22DF =.所以122a DF DF =+=2221a b a c ==-=因此，所求椭圆的标准方程为：2212x y +=…………………………4分 （Ⅱ）如右图，设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆2212x y +=相交，()()111222,,,P x y P x y 是两个交点，120,0y y >>，11F P,22F P 是圆C 的切线，且11F P ⊥22F P ，由圆和椭圆的对称性，易知2112,x x y y =-=，…………5分由（1）知()()121,0,1,0F F -， 所以()()111122111,,1,F P x y F P x y =+=--，再由11F P ⊥22F P ，得()221110x y -++=， 又由椭圆方程得()2211112x x -=+，即211340x x +=，解得143x =-或10x =. 当10x =时，12,P P 重合，此时题设要求的圆不存在. …………………………7分 当143x =-时，过12,P P 分别与11F P ,22F P 垂直的直线的交点即为圆心C .………8分 由11F P ,22F P 是圆C 的切线，且11F P ⊥22F P ，知21CP CP ⊥，又12||||CP CP =故圆C的半径11213CP ===.……………………………10分 容易求得圆心坐标为(0，53)………………………………………………11分 所以，所求的圆的方程为2253239x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭ ……………………12分2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在等比数列{}n a 中，若48a =，2q =-，则7a 的值为( )A ．64-B ．64C ．48-D ．482．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若1313=-S S ，则数列}{n a 的公差是( ) A ．21B ．1C ．2D ．33．已知△ABC 中，a =b =60B =，那么角A 等于( )A ．135°B ．90°C ．45°D ．30°4．若0<<b a ，则( )A ．22b a <B ．ab a <2C ．1>b aD ．ab b >25．顶点为原点，焦点为F （0，-1）的抛物线方程是( )A ．x y 22-=B ．x y 42-=C ．y x 22-=D ．y x 42-=6．双曲线22142x y -=的焦点坐标是( )A ．(6,0),(6,0)-B ．(C ．(2,0),(2,0)-D ．(7．在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>中，12,F F 为其左、右焦点，以21F F 为直径的圆与椭圆交于D C B A ,,,四个点，若21,F F ，D C B A ,,,恰好为一个正六边形的六个顶点，则椭圆的离心率为( )A 1B ．2C 1D ．28．已知数列{}n a 的通项公式为13n a n =-，那么满足119102k k k a a a +++++=的整数k ( )A ．有3个B ．有2个C ．有1个D ．不存在二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上. 9．抛物线x y 22=上横坐标为2的点到其焦点的距离为________ 10．在ABC ∆中，3,5,120a b C ===，则＝________11．渐近线为x y 3±=且过点(1,3)的双曲线的标准方程是________12．已知递增的等差数列{}n a 满足21321,4a a a ==-，则_____n a =13．已知数列{}n a 对任意的*,N q p ∈满足q p q p a a a +=+且62-=a ，那么=10a ________.14．观察下列各图，并阅读下面的文字，像这样，10条直线相交，交点的个数最多是________，其通项公式为________.三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．(本题满分7分)在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为4,,,,cos ,35a b c B A b π==. (1)求sin C 的值； (2)求ABC △的面积.16．(本题满分7分)等比数列{n a }的前n 项和为n S ，已知1S ，3S ，2S 成等差数列(1)求{n a }的公比q ； (2)求1a －3a ＝3，求n S17．(本题满分8分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且34-=n n a S (*n ∈N )．(1)证明：数列{}n a 是等比数列；(2)若数列{}n b 满足*1()n n n b a b n +=+∈N ，且12b =，求数列{}n b 的通项公式．18．(本题满分7分)已知椭圆22:184x y C +=的左焦点为1F ，直线2:-=x y l 与椭圆C 交于A 、B 两点.(1)求线段AB 的长； (2)求1ABF ∆的面积.19．(本题满分7分)已知拋物线C ： x 2＝2py(p ＞0)的焦点F 在直线10x y -+=上.(1)求拋物线C 的方程；(2)设直线l 经过点A (－1，－2)，且与拋物线C 有且只有一个公共点，求直线l 的方程.20．(本题满分8分)给出下面的数表序列：其中表),3,2,1( =n n 有n 行，第1行的n 个数是12,5,3,1-n ，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．(1)写出表4，验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表)3(≥n n (不要求证明)；(2)每个数列中最后一行都只有一个数，它们构成数列1，4，12，记此数列为{}n b 求和：32412231n n n b b b b b b b b b ++++(*N n ∈)选做题 已知椭圆C 经过点A (1，32)，且两个焦点分别为(－1，0)，(1，0)． (1)求椭圆C 的方程； (2)E ，F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值．2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案考试时间：120分钟 满分：150分一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1、命题“对任意的01,23≤+-∈x x R x ”的否定是( )A .不存在01,23≤+-∈x x R xB .存在01,23≥+-∈x x R xC .存在01,23>+-∈x x R xD .对任意的01,23>+-∈x x R x2、已知椭圆1162522=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离为() A ．2 B ．3 C ．5 D ．73、若命题p ：(x -2)(x -3)=0，q ：x -2=0，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4、设x x x f cos sin )(+=，那么( )A ．x x x f sin cos )(-='B ．x x x f sin cos )(+='C ．x x x f sin cos )(+-='D ．x x x f sin cos )(--='5、抛物线x y 102=的焦点到准线的距离是( )A ．25B ．215C ．5D ．1068=的点M 的轨迹方程是( ) A. 221169x y += B. 191622=-x y C. 2210169()x y x -=> D. 2210169()y x y -=>7、若1)()(lim 000-=--→k x f k x f k ，则)(0x f '等于( )A ．-1B ．1C ．0D ．无法确定8、如图所示：为'()y f x =的图像，则下列判断正确的是( ) ①()f x 在(),1-∞上是增函数②1x =-是()f x 的极小值点③()f x 在()2,4上是减函数，在()1,2-上是增函数④2x =是()f x 的极小值点A ．①②③B ．①③④C ．③④D ．②③9、已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的取值范围是( )A ．),3[]3,(+∞--∞B ．)3,3(-C ．),3()3,(+∞--∞D ．]3,3[-10、如图，一个底面半径为R 的圆柱被与其底面所成角为(090)θθ<<的平面所截，截面是一个椭圆，当θ为30时，这个椭圆的离心率为( )A ．12B ．2C ．3 D ．2311、已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足关系式2()3(2)xf x x xf e '=++，则(2)f '的值等于( ) A ．2- B ．222e - C ．22e - D ．222e -- 12、抛物线)0(2:2>=p px y C 的焦点为F ，M 是抛物线C 上的点，三角形OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切，该圆的面积为36π，则p 的值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）13、写出命题：“若2x =且3y =，则5x y +=”的逆否命题是 命题(填“真”或“假”)14、已知中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线方程是20x y +=，则该双曲线的离心率是15、求曲线53xy e =-+在点()0,2-处的切线方程为 16、已知点P 是抛物线x y 42=上的一个动点，点P 到点(0，3)的距离与点P 到该抛物线的准线的距离之和的最小值是三、解答题（本题共6小题，第17～21题每题12分，第22题14分，共74分）17、已知命题0107:2≤+-x x p ，)0(0)1)(1(:>≤-+--a a x a x q 其中.(1)若2a =，命题“p 且q ”为真，求实数x 的取值范围；(2)已知p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围.18、函数54)(23+++=bx ax x x f 的图像在x=1处的切线方程为y= -12x ；(1)求函数)(x f 的解析式；(2)求函数)(x f 在[-3，1]上的最值.19、已知抛物线顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上.已知该抛物线上一点A(1，m)到焦点的距离为3.(1)求此抛物线的方程； (2)若此抛物线方程与直线y ＝kx －2相交于不同的两点A 、B ，且AB 中点横坐标为2，求k 的值．20、有一块边长为6m 的正方形钢板，将其四个角各截去一个边长为x 的小正方形，然后焊接成一个无盖的蓄水池。

锡山区高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 以下四个命题中，真命题的是（ ） A ．(0,)x π∃∈，sin tan x x =B ．“对任意的x R ∈，210x x ++>”的否定是“存在0x R ∈，20010x x ++<C ．R θ∀∈，函数()sin(2)f x x θ=+都不是偶函数D ．ABC ∆中，“sin sin cos cos A B A B +=+”是“2C π=”的充要条件【命题意图】本题考查量词、充要条件等基础知识，意在考查逻辑推理能力． 2． 若函数f （x ）的定义域为R ，则“函数f （x ）是奇函数”是“f （0）=0”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3． 在“唱响内江”选拔赛中，甲、乙两位歌手的5次得分情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别、，则下列判断正确的是（ ）A ．＜，乙比甲成绩稳定B ．＜，甲比乙成绩稳定C ．＞，甲比乙成绩稳定D ．＞，乙比甲成绩稳定4． 在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是线段11AC 的中点，若四面体M ABD -的外接球体积为36p ， 则正方体棱长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【命题意图】本题考查以正方体为载体考查四面体的外接球半径问题，意在考查空间想象能力和基本运算能力． 5． 如图框内的输出结果是（ ）A．2401 B．2500 C．2601 D．27046．下面茎叶图表示的是甲、乙两个篮球队在3次不同比赛中的得分情况，其中有一个数字模糊不清，在图中以m表示．若甲队的平均得分不低于乙队的平均得分，那么m的可能取值集合为（）A． B． C． D．7．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则其侧视图的面积是（）A．B．C．1 D．8．已知直线x+y+a=0与圆x2+y2=1交于不同的两点A、B，O是坐标原点，且，那么实数a的取值范围是（）A．B．C．D．9．如果执行如图所示的程序框图，那么输出的a=（）A ．2B ．C ．﹣1D ．以上都不正确10．设f （x ）＝（e －x －e x ）（12x ＋1－12），则不等式f （x ）＜f （1＋x ）的解集为（ ）A ．（0，＋∞）B ．（－∞，－12）C ．（－12，＋∞）D ．（－12，0）11．若圆心坐标为()2,1-的圆在直线10x y --=上截得的弦长为 ） A ．()()22210x y -++= B ．()()22214x y -++= C ．()()22218x y -++= D ．()()222116x y -++=12．数列1，，，，，，，，，，…的前100项的和等于（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知集合{}|03,A x x x R =<∈≤，{}|12,B x x x R =-∈≤≤，则A ∪B ＝ ▲ ．14．已知点A 的坐标为（﹣1，0），点B 是圆心为C 的圆（x ﹣1）2+y 2=16上一动点，线段AB 的垂直平分线交BC 与点M ，则动点M 的轨迹方程为 ．15．如果实数,x y 满足等式()2223x y -+=，那么yx的最大值是 ． 16．为了近似估计π的值，用计算机分别产生90个在[﹣1，1]的均匀随机数x 1，x 2，…，x 90和y 1，y 2，…，y 90，在90组数对（x i ，y i ）（1≤i ≤90，i ∈N *）中，经统计有25组数对满足，则以此估计的π值为 ．17．抛物线y=x2的焦点坐标为（）A．（0，）B．（，0）C．（0，4） D．（0，2）18．给出下列命题：①存在实数α，使②函数是偶函数③是函数的一条对称轴方程④若α、β是第一象限的角，且α＜β，则sinα＜sinβ其中正确命题的序号是．三、解答题19．已知△ABC的顶点A（3，2），∠C的平分线CD所在直线方程为y﹣1=0，AC边上的高BH所在直线方程为4x+2y﹣9=0．（1）求顶点C的坐标；（2）求△ABC的面积．20．某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段，，，，，进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图（如下）．（Ⅰ）体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”．已知该校高一年级有1000名学生，试估计高一年级中“体育良好”的学生人数；（Ⅱ）为分析学生平时的体育活动情况，现从体育成绩在和的样本学生中随机抽取2人，求在抽取的2名学生中，至少有1人体育成绩在的概率；（Ⅲ）假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为，且分别在，，三组中，其中．当数据的方差最大时，写出的值．（结论不要求证明）（注：，其中为数据的平均数）21．已知A（﹣3，0），B（3，0），C（x0，y0）是圆M上的三个不同的点．（1）若x0=﹣4，y0=1，求圆M的方程；（2）若点C是以AB为直径的圆M上的任意一点，直线x=3交直线AC于点R，线段BR的中点为D．判断直线CD与圆M的位置关系，并证明你的结论．22．（本小题满分12分）如图, 矩形ABCD 的两条对角线相交于点()2,0M ,AB 边所在直线的方 程为360x y --=点()1,1T -在AD 边所在直线上. （1）求AD 边所在直线的方程； （2）求矩形ABCD 外接圆的方程.23．如图，四边形ABCD内接于⊙O，过点A作⊙O的切钱EP交CB 的延长线于P，己知∠PAB=25°．（1）若BC是⊙O的直径，求∠D的大小；（2）若∠DAE=25°，求证：DA2=DC•BP．24．在直角坐标系xOy中，过点P（2，﹣1）的直线l的倾斜角为45°．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极坐标建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ，直线l和曲线C的交点为A，B．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）求|PA|•|PB|．锡山区高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题1．【答案】D2．【答案】A【解析】解：由奇函数的定义可知：若f（x）为奇函数，则任意x都有f（﹣x）=﹣f（x），取x=0，可得f（0）=0；而仅由f（0）=0不能推得f（x）为奇函数，比如f（x）=x2，显然满足f（0）=0，但f（x）为偶函数．由充要条件的定义可得：“函数f（x）是奇函数”是“f（0）=0””的充分不必要条件．故选：A．3．【答案】A【解析】解：由茎叶图可知=（77+76+88+90+94）=，=（75+86+88+88+93）==86，则＜，乙的成绩主要集中在88附近，乙比甲成绩稳定，故选：A【点评】本题主要考查茎叶图的应用，根据平均数和数据的稳定性是解决本题的关键．4．【答案】C【解析】解：模拟执行程序框图，可得S=1+3+5+…+99=2500，故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，等差数列的求和公式的应用，属于基础题．6．【答案】C【解析】【知识点】样本的数据特征茎叶图【试题解析】由题知：所以m可以取：0，1，2．故答案为：C7．【答案】B【解析】解：由三视图知几何体的直观图是半个圆锥，又∵正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，∴半圆锥的底面半径为1，高为，即半圆锥的侧视图是一个两直角边长分别为1和的直角三角形，故侧视图的面积是，故选：B．【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．8．【答案】A【解析】解：设AB的中点为C，则因为，所以|OC|≥|AC|，因为|OC|=，|AC|2=1﹣|OC|2，所以2（）2≥1，所以a≤﹣1或a≥1，因为＜1，所以﹣＜a＜，所以实数a的取值范围是，故选：A．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题．【解析】解：模拟执行程序，可得 a=2，n=1执行循环体，a=，n=3满足条件n ≤2016，执行循环体，a=﹣1，n=5 满足条件n ≤2016，执行循环体，a=2，n=7满足条件n ≤2016，执行循环体，a=，n=9 …由于2015=3×671+2，可得：n=2015，满足条件n ≤2016，执行循环体，a=，n=2017不满足条件n ≤2016，退出循环，输出a 的值为． 故选：B ．10．【答案】【解析】选C.f （x ）的定义域为x ∈R ，由f （x ）＝（e －x －e x ）（12x ＋1－12）得f （－x ）＝（e x －e －x ）（12－x ＋1－12）＝（e x －e －x ）（－12x ＋1＋12）＝（e －x －e x ）（12x ＋1－12）＝f （x ），∴f （x ）在R 上为偶函数，∴不等式f （x ）＜f （1＋x ）等价于|x |＜|1＋x |，即x 2＜1＋2x ＋x 2，∴x ＞－12，即不等式f （x ）＜f （1＋x ）的解集为{x |x ＞－12}，故选C.11．【答案】B 【解析】考点：圆的方程.1111] 12．【答案】A 【解析】解：=1×故选A ．二、填空题13．【答案】1－1，3] 【解析】试题分析：A ∪B ＝{}{}|03,|12,x x x R x x x R <∈-∈≤≤≤＝1－1，3]考点：集合运算 【方法点睛】1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2.求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3.在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．14．【答案】=1【解析】解：由题意得，圆心C （1，0），半径等于4，连接MA ，则|MA|=|MB|，∴|MC|+|MA|=|MC|+|MB|=|BC|=4＞|AC|=2，故点M 的轨迹是：以A 、C 为焦点的椭圆，2a=4，即有a=2，c=1，∴b=，∴椭圆的方程为=1．故答案为：=1．【点评】本题考查用定义法求点的轨迹方程，考查学生转化问题的能力，属于中档题．15．【解析】考点：直线与圆的位置关系的应用. 1【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到点到直线的距离公式、直线与圆相切的判定与应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力和转化与化归的思想方的最值转化为直线与圆相切是解答的关键，属于中档试题.法，本题的解答中把yx16．【答案】．【解析】设A（1，1），B（﹣1，﹣1），则直线AB过原点，且阴影面积等于直线AB与圆弧所围成的弓形面积S1，由图知，，又，所以【点评】本题考查了随机数的应用及弓形面积公式，属于中档题．17．【答案】D【解析】解：把抛物线y=x2方程化为标准形式为x2=8y，∴焦点坐标为（0，2）．故选：D．【点评】本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用，把抛物线的方程化为标准形式是关键．18．【答案】②③．【解析】解：①∵sinαcosα=sin2α∈[，]，∵＞，∴存在实数α，使错误，故①错误，②函数=cosx是偶函数，故②正确，③当时，=cos（2×+）=cosπ=﹣1是函数的最小值，则是函数的一条对称轴方程，故③正确，④当α=，β=，满足α、β是第一象限的角，且α＜β，但sinα=sinβ，即sinα＜sinβ不成立，故④错误，故答案为：②③．【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及三角函数的图象和性质，考查学生的运算和推理能力．三、解答题19．【答案】【解析】解：（1）由高BH所在直线方程为4x+2y﹣9=0，∴=﹣2．∵直线AC⊥BH，∴k AC k BH=﹣1．∴，直线AC的方程为，联立∴点C的坐标C（1，1）．（2），∴直线BC的方程为，联立，即．点B到直线AC：x﹣2y+1=0的距离为．又，∴．【点评】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、角平分线的性质、点到直线的距离公式、两点间的距离公式、三角形的面积计算公式，属于基础题．20．【答案】【解析】【知识点】样本的数据特征古典概型【试题解析】（Ⅰ）由折线图，知样本中体育成绩大于或等于70分的学生有人，所以该校高一年级学生中，“体育良好”的学生人数大约有人．（Ⅱ）设“至少有1人体育成绩在”为事件，记体育成绩在的数据为，，体育成绩在的数据为，，，则从这两组数据中随机抽取2个，所有可能的结果有10种，它们是：，，，，，，，，，．而事件的结果有7种，它们是：，，，，，，，因此事件的概率．（Ⅲ）a，b，c的值分别是为，，．21．【答案】【解析】解：（1）设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0圆的方程为x2+y2﹣8y﹣9=0…（2）直线CD与圆M相切O、D分别是AB、BR的中点则OD ∥AR ，∴∠CAB=∠DOB ，∠ACO=∠COD ， 又∠CAO=∠ACO ，∴∠DOB=∠COD 又OC=OB ，所以△BOD ≌△COD ∴∠OCD=∠OBD=90°即OC ⊥CD ，则直线CD 与圆M 相切． … （其他方法亦可）22．【答案】（1）320x y ++=；（2）()2228x y -+=．【解析】试题分析：（1）由已知中AB 边所在直线方程为360x y --=，且AD 与AB 垂直，结合点()1,1T -在直线AD 上，可得到AD 边所在直线的点斜式方程，即可求得AD 边所在直线的方程；（2）根据矩形的性质可得矩形ABCD 外接圆圆心纪委两条直线的交点()2,0M ，根据（1）中直线，即可得到圆的圆心和半径，即可求得矩形ABCD 外接圆的方程.（2）由360320x y x y --=⎧⎨++=⎩解得点A 的坐标为()0,2-,因为矩形ABCD 两条对角线的交点为()2,0M ,所以M 为距形ABCD 外接圆的圆心, 又AM ==从而距形ABCD 外接圆的方程为()2228x y -+=.1考点：直线的点斜式方程；圆的方程的求解.【方法点晴】本题主要考查了直线的点斜式方程、圆的方程的求解，其中解答中涉及到两条直线的交点坐标，圆的标准方程，其中（1）中的关键是根据已知中AB 边所在的直线方程以及AD 与AB 垂直，求出直线AD 的斜率；（2）中的关键是求出A 点的坐标，进而求解圆的圆心坐标和半径，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力. 23．【答案】【解析】解：（1）∵EP 与⊙O 相切于点A ，∴∠ACB=∠PAB=25°， 又BC 是⊙O 的直径，∴∠ABC=65°，∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠ABC+∠D=180°， ∴∠D=115°．证明：（2）∵∠DAE=25°，∴∠ACD=∠PAB ，∠D=∠PBA ，∴△ADC ∽△PBA ，∴，又DA=BA ，∴DA 2=DC •BP ．24．【答案】【解析】（1）∵ρsin 2θ=4cos θ，∴ρ2sin 2θ=4ρcos θ，…∵ρcos θ=x ，ρsin θ=y ，∴曲线C 的直角坐标方程为y 2=4x …（2）∵直线l 过点P （2，﹣1），且倾斜角为45°．∴l 的参数方程为（t 为参数）．…代入 y 2=4x 得t 2﹣6t ﹣14=0…设点A ，B 对应的参数分别t 1，t 2 ∴t 1t 2=﹣14…∴|PA|•|PB|=14．…。

无锡市高中2019-2020学年高二上学期第一次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． sin （﹣510°）=（ ）A ．B ．C ．﹣D ．﹣2． 已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，定点(0,2)A ，若射线FA 与抛物线C 交于点M ，与抛 物线C 的准线交于点N ，则||:||MN FN 的值是（ ）A ．2)B ．2C ．1:D (1+ 3． 平面α与平面β平行的条件可以是（ ）A ．α内有无穷多条直线与β平行B ．直线a ∥α，a ∥βC ．直线a ⊂α，直线b ⊂β，且a ∥β，b ∥αD ．α内的任何直线都与β平行4． 特称命题“∃x ∈R ，使x 2+1＜0”的否定可以写成（ ）A ．若x ∉R ，则x 2+1≥0B ．∃x ∉R ，x 2+1≥0C ．∀x ∈R ，x 2+1＜0D ．∀x ∈R ，x 2+1≥05． 已知函数f （x ）满足：x ≥4，则f （x ）=；当x ＜4时f （x ）=f （x+1），则f （2+log 23）=（ ）A ．B ．C ．D ．6． 下列各组函数为同一函数的是（ ）A ．f （x ）=1；g （x ）=B ．f （x ）=x ﹣2；g （x ）=C ．f （x ）=|x|；g （x ）=D ．f （x ）=•；g （x ）=7． 函数f （x ）=﹣lnx 的零点个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．38． 设双曲线焦点在y 轴上，两条渐近线为，则该双曲线离心率e=（ ）A ．5B ．C ．D ．9． 已知函数f （x ）=若关于x 的方程f （x ）=k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．（0，1）B ．（1，+∞）C ．（﹣1，0）D ．（﹣∞，﹣1）10．某个几何体的三视图如图所示，其中正（主）视图中的圆弧是半径为2的半圆，则该几何体的表面积为 （ ）A ．π1492+B ．π1482+C ．π2492+D ．π2482+【命题意图】本题考查三视图的还原以及特殊几何体的面积度量.重点考查空间想象能力及对基本面积公式的运用，难度中等.11．对于任意两个正整数m ，n ，定义某种运算“※”如下：当m ，n 都为正偶数或正奇数时，m ※n=m+n ；当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m ※n=mn ．则在此定义下，集合M={（a ，b ）|a ※b=12，a ∈N *，b ∈N *}中的元素个数是（ ） A ．10个 B ．15个 C ．16个 D ．18个12．已知定义在区间[0，2]上的函数y=f （x ）的图象如图所示，则y=f （2﹣x ）的图象为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．若正数m 、n 满足mn ﹣m ﹣n=3，则点（m ，0）到直线x ﹣y+n=0的距离最小值是 ．14．已知向量、满足，则|+|= ．15．给出下列命题：（1）命题p：；菱形的对角线互相垂直平分，命题q：菱形的对角线相等；则p∨q是假命题（2）命题“若x2﹣4x+3=0，则x=3”的逆否命题为真命题（3）“1＜x＜3”是“x2﹣4x+3＜0”的必要不充分条件（4）若命题p：∀x∈R，x2+4x+5≠0，则¬p：．其中叙述正确的是．（填上所有正确命题的序号）16．在△ABC中，若角A为锐角，且=（2，3），=（3，m），则实数m的取值范围是．17．如图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为2的正三角形，俯视如图是一个圆，那么该几何体的体积是．18．设函数f（x）=，则f（f（﹣2））的值为．三、解答题19．已知等差数列{a n}，等比数列{b n}满足：a1=b1=1，a2=b2，2a3﹣b3=1．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）记c n=a n b n，求数列{c n}的前n项和S n．20．已知x 2﹣y 2+2xyi=2i ，求实数x 、y 的值． 21．函数。