３７ 理念理解 数列的概念和通项公式江苏省吴江盛泽中学 许佳龙同学们，如果我在黑板上写上“１，２，３，４，５”，你会作何感想？很明显，这是五个阿拉伯数字，而且是连续的自然数，我们观察每一个数字，发现他们之间也有一定的联系，整体呈逐渐上升的趋势，同时不仅仅限于这五个数字，我猜你一定会想象是不是还会有后续呢？是６，７，８，９，１０吗？答案并不是你想象的那么单纯，后面永远是未知数，从不同的角度和逻辑来分析，可以得到完全不同的答案，而且婆说婆有理，公说公有理．有人发现了“每一个后面的数都比前一个数大１”的规律，可以猜想出接着递增的应该是“６，７，８，９，１０，…”这样的形式；有人想到平时广播体操和眼保健操的节拍，以至于脑海中就会有“１２３４５６７８，２２３４５６７８，…”的习惯性想象；甚至有些人可以大胆猜想，前面几个数字是递增，接下来是不是要递减了？会不会是“５，４，３，２，１”呢？小时候还有一首儿歌《数星星》，歌词是这样的“１２３４５６７，７６５４３２１，…”……像这样按照一定的次序排列的一列数，就称为数列．（注意：这里的数不一定是正整数，可以是小数、分数，甚至是负数或零）数列一般用犪１，犪２，犪３，犪４，…，犪狀，…来表示，简记为｛犪狀｝，其中犪１为该数列的第一项（首项）．同学们，你们有没有思考过，随便写几个数字接上去，可不可以算作数列？答案是肯定的．甚至，就让这五个数字永远停留在第五个数字“５”上，可不可以算作数列？答案是肯定的．由此我们得到了有穷数列和无穷数列，顾名思义，显而易见．如果要和集合比，数列与数集的区别在于：１．数列｛犪狀｝形式看似集合形态，但并不是集合，只是规定如此而已；２．数列中的数可以重复，但是集合中的数（元素）不可重复；３．数列中的数按照一定的次序排列，交换数字次序就表示不同的数列，而集合中的数（元素）是无序的．如果要和函数比，数列可以看成是一类特殊函数的表现形式．第１项对应犪１，第２项对应犪２，…，第狀项对应犪狀，…，这种特殊的对应关系，让我们想到数列可以看做是一种特殊函数的表现形式，特殊在哪？１．定义域是正整数集，而且讲究顺序，１，２，３顺次递增；２．最后呈现的是函数值的有序排列：犳（１），犳（２），犳（３），犳（４），…；３．除了列表、画散点图，对应关系更需要确定．一般地，如果数列｛犪狀｝的第狀项与序号狀之间的关系可以用公式犪狀＝犳（狀）来表示，那。
人教版数学必修五第二章数列重难点解析第二章课文目录2． 1数列的概念与简单表示法2． 2等差数列2． 3等差数列的前n 项和2． 4等比数列2． 5等比数列前n 项和【重点】1、数列及其有关概念，通项公式及其应用。
2、根据数列的递推公式写出数列的前几项。
3、等差数列的概念，等差数列的通项公式；等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用。
4、等差数列 n 项和公式的理解、推导及应用，熟练掌握等差数列的求和公式。
5、等比数列的定义及通项公式，等比中项的理解与应用。
6、等比数列的前n 项和公式推导，进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n 项和公式【难点】1、根据数列的前n 项观察、归纳数列的一个通项公式。
2、理解递推公式与通项公式的关系。
3、等差数列的性质，灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题。
4、灵活应用等差数列前n 项公式解决一些简单的有关问题。
5、灵活应用求和公式解决问题，灵活应用定义式及通项公式解决相关问题。
6、灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题。
一、数列的概念与简单表示法⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列 .注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项 . 各项依次叫做这个数列的第 1 项（或首项），第2 项，，第 n 项， .⒊数列的一般形式：a1 , a2 , a3 , , a n , ，或简记为a n，其中 a n是数列的第n项⒋数列的通项公式：如果数列 a n 的第 n 项a n与 n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式 .注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④；⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1， 0， 1， 0， 1 ， 0 ，它的通项公式可以是1 ( 1) n 1|.a n ，也可以是 a n | cos n 12 2⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项．5.数列与函数的关系：*数列可以看成以正整数集N（或它的有限子集{1 ， 2， 3，， n} ）为定义域的函数a n f (n) ，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。
数列的概念(1) 定义：按一定次序排列的一列数，数列中的每一个数叫做这个数列的项，第作a n(2) 通项公式：如果数列「aj 的第n 项与项数 n 之间的函数关系，可以用一个公式a n = f(n)来表示，那么就把这个公式叫这个数列的通项公式。
注意：①数列的通项公式实际上是一种定义域特殊的函数解析式，即② 并非所有的数列都能写出他的通项公式③ 如果一个是数列有通项公式，在形式上可以不止一个。
④ 数列中的项必须是数(3) 数列不是集合，用符号「a n ［表示数列，只不过是“借用”集合的符号，他们之间有本质的区别：集合中的元素是互异的，而数列中的项可以是相同的。
集合中的元素是无序的，而数列中的项必须按一定顺序排列。
(4) 数列的分类按照项数是有限还是无限来分 ：有穷数列，无穷数列. ⑴关键看省略号来判断数列是否有界按照项与项之间的大小关系来分：递增数列与递减数列统称为单调数列 .⑵观察数列通项的特点，通项公式是单调函数的就是递增数列 ；通项中有_1n的一般为摆动数列；公差d=0的为常数列按照任何一项的绝对值是否都不大于某一正数来分：有界数列、无界数列.⑶判断通项的值域，值域的绝对值小于等于某正数时成为有界函数 ，否则叫做无界函数练习：1、判断下列数列的类型⑴ 1,2,3,4,5； 2,4,6,8,10,,； ⑵ a =3； 1,-1,1,-1,1,, ； 6,6,6,6,,n 项记a n = f (n)。
1a. =3 --⑶ n;a n = n2 3n _12由下列各组元素能构成数列吗？如果能构成数列是有穷数列，还是无穷数列？并说明理由。
(1)-3,-1,1,x,5,7, y,11 ( 2)无理数；(3)正有理数3下列叙述正确的是( )B 、 同一个数列在数列中可能重复出现C 、 数列的通项公式是定义域为正整数集 N *的函数D 、 数列的通项公式是唯一的。
4、 已知数列1,订3,』5,、- 7,…j2n -1,…则3•:f 5是它的（） A 、第22项 B 、第23项 C 、第24项D 、第28项5、 判断下列说法正确的有 ______________ .①二的不足近似值： 3 , 3.1,3.14,3.141,……没有通项公式。
