16-1圆的概念及性质.讲义学生版(1)

圆的概念及相关性质圆是几何学中的基本图形之一，它具有独特的几何性质和广泛的应用。

本文将介绍圆的概念、性质以及与之相关的内容。

1. 圆的概念圆是由平面上距离某个固定点（称为圆心）相等的所有点组成的集合。

在平面几何中，我们可以用圆心和半径来唯一确定一个圆。

圆通常用字母 "O" 表示圆心，用字母 "r" 表示圆的半径。

2. 圆周圆的最重要的属性之一是其周长，也称为圆周。

圆周的长度可以通过使用圆的半径或直径来计算。

如果我们知道圆的半径为 "r"，那么圆的周长可以用公式"C = 2πr" 来计算，其中"π" 是数学中的一个常数，约等于3.14。

如果我们知道圆的直径为 "d"，那么圆的周长可以用公式"C = πd" 来计算。

3. 圆的面积圆的另一个重要性质是其面积，也被称为圆面积。

圆的面积可以通过使用圆的半径或直径来计算。

如果我们知道圆的半径为 "r"，那么圆的面积可以用公式"A = πr²" 来计算。

如果我们知道圆的直径为 "d"，那么圆的面积可以用公式"A = (πd²)/4" 来计算。

4. 圆的直径、弧长和扇形面积圆的直径是连接圆上任意两个点，并通过圆心的线段。

直径是圆的最长线段，其长度等于圆的半径的两倍。

弧是圆上的一段弧线，它由两个点之间的曲线部分组成。

如果我们知道圆的半径和弧的角度，那么可以使用公式"L = (2πr) × (θ/360°)" 来计算弧长，其中 "L" 表示弧长，"θ" 表示弧所对的圆心角的度数。

扇形是由圆心、半径和某个弧所围成的区域。

扇形的面积可以通过使用圆的半径和弧的角度来计算，公式为"A = (πr² × θ)/360°"，其中"A" 表示扇形的面积。

初中九年级数学圆的讲义圆一、基本概念与性质在平面内把线段OP绕着端点O旋转一周，端点P所形成的图形叫做圆。

其中，点O叫做圆心，线段OP叫做半径。

以点O为圆心的圆，记作⊙O ，读作圆O 。

点和圆的位置关系：如果⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则d>r时，点P在__________d=r时，点P在__________d<r时，点p在__________< p="">圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。

圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。

弦与弧连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，是圆最长的弦。

圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，符号：以C、D为端点的弧，记作，读作圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。

顶点在圆心的角叫做圆心角，顶点在圆上且两边与圆相交的角叫做圆周角。

圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆，能够互相重合的两个圆叫做等圆，能够互相重合的弧叫做等弧。

同圆或等圆的半径相等。

圆心角、弧、弦之间的关系：1.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

2.推论：在同圆或等圆中，若两条弧相等，那么它们所对的圆心角和弦都相等。

在同圆或等圆中，若两条弦相等，则它们所对的圆心角和弧都相等。

3.圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。

圆心角与圆周角的关系：1.同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

2.推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°圆周角所对的弦是直径。

垂径定理：1.垂直弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

2.推论：平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧确定圆的条件：1.经过一点A作圆2.经过A、B两点作圆3.经过A、B、C三点作圆——a)当三点位于一条直线时b)当三点不在一条直线上时4.结论：不在同一条直线上的三点确定一个圆三角形的三个顶点确定一个圆。

小学数学中的圆的概念和性质在小学数学中，圆是一个重要的几何概念，具有一系列独特的性质。

本文将介绍圆的定义、构造方法以及与圆相关的一些性质。

一、圆的定义和构造方法圆是由平面上所有与给定点的距离都相等的点构成的图形。

给定一个点O和一个长度r，以O为中心，以r为半径，在平面上可以画出一个圆。

二、圆的性质1. 圆心和半径：圆心是圆上的任意一点，记作O；半径是圆心到圆上任意一点的距离，记作r。

2. 圆周：圆的边界称为圆周，也称作圆的周长。

3. 直径：直径是通过圆心的一条线段，包含圆上两点，且长度等于半径的两倍。

直径可以任取圆上的两点连接得到。

4. 弦：弦是圆上的一条线段，连接圆上的两点，但不一定经过圆心。

5. 弧：弧是圆上的一段连续弯曲的部分，由弦分割而成。

圆上两点之间的弧有无数条，但长度相等的弧称为等弧。

6. 弧长：弧长是指圆周上的一段弧的长度，通常用字母s表示。

7. 弧度制：用弧长与半径之比的值作为角的度量单位，叫做弧度。

一周的弧度为2π。

8. 正圆和异圆：如果两个圆的半径相等，那么它们是同心圆，同心圆的圆心重合；如果两个圆的圆心重合，但半径不相等，那么它们是异心圆。

三、圆的应用1. 圆的构图：根据圆的定义和构造方法，可以通过已知半径或直径画出一个圆。

2. 圆的测量：可以通过测量圆的直径或半径来求解圆的周长或面积。

3. 圆的运用：圆的形状广泛应用于日常生活中，例如自行车的轮胎、钟表的表盘、球类的运动轨迹等。

四、圆与其他几何图形的关系1. 圆与直线：圆的直径是圆与穿过圆心的直线相交的情况；圆与不穿过圆心的直线相交时，在相交点处与直线垂直的半径作为切线。

2. 圆与三角形：一个三角形的外接圆是将三角形三条边的中点连接起来形成的圆，该圆的圆心是三角形三条边中垂心的交点；一个三角形的内切圆是将三角形的三条边的延长线连接起来形成的圆，该圆与三角形三边都相切。

3. 圆与多边形：一个多边形的外接圆是将多边形所有顶点连接起来形成的圆，该圆的圆心是多边形的重心；一个多边形的内切圆是将多边形的所有边的中点连接起来形成的圆，该圆与多边形的所有边都相切。

《圆》讲义一、圆的定义在平面几何中，圆是一个非常重要的图形。

圆可以被定义为平面上到一个定点的距离等于定长的所有点组成的图形。

这个定点称为圆心，定长称为圆的半径。

我们可以想象一下，如果用一根绳子的一端固定在一个点上，另一端绑着一支笔，然后让笔绕着这个固定点旋转一周，那么笔尖所画出的轨迹就是一个圆。

圆是一种非常完美和对称的图形。

无论从哪个角度观察，它的形状都保持不变。

这种对称性使得圆在数学和实际生活中都有广泛的应用。

二、圆的基本元素1、圆心圆心是圆的中心位置，决定了圆的位置。

通常用字母 O 表示。

2、半径半径是连接圆心和圆上任意一点的线段。

它决定了圆的大小。

用字母 r 表示。

3、直径通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。

直径是半径的两倍，用字母 d 表示，即 d ＝ 2r 。

4、弧圆上任意两点间的部分叫做弧。

弧分为优弧和劣弧。

大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。

5、弦连接圆上任意两点的线段叫做弦。

直径是圆中最长的弦。

6、圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角。

7、圆周角顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。

三、圆的性质1、圆的对称性圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。

圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。

2、垂径定理垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧。

例如，在圆 O 中，直径 AB 垂直于弦 CD ，则 CE ＝ DE ，弧 AC ＝弧 AD ，弧 BC ＝弧 BD 。

3、弧、弦、圆心角的关系在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

4、圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

四、圆的周长和面积1、圆的周长圆的周长是指绕圆一周的长度。

圆的周长公式为 C ＝2πr 或 C ＝πd ，其中π是圆周率，约等于 314 。

例如，如果一个圆的半径是 5 厘米，那么它的周长就是 2×314×5 ＝314 厘米。

圆的概念与性质圆是几何中最基本的形状之一，它具有独特的概念和性质。

本文将对圆的概念和性质进行详细论述，帮助读者更好地理解和应用圆的知识。

一、概念圆是平面上的一条曲线，由到定点的等距离点构成。

圆上的每个点与圆心的距离都相等，这个距离称为半径。

半径的两倍称为直径，直径的一半则为半径。

圆的外部称为圆的外部，圆的内部称为圆的内部。

圆的边界称为圆周，圆周上的任意一条曲线都称为圆弧。

二、性质1. 圆的周长和面积：圆的周长是圆周的长度，记作C。

圆的面积是圆内部的所有点构成的区域的大小，记作A。

圆的周长和面积是以圆的半径或直径来计算的。

(1) 圆的周长公式为：C = 2πr，其中r为圆的半径。

(2) 圆的面积公式为：A = πr²，其中r为圆的半径。

2. 圆的直径和半径的关系：(1) 圆的直径等于圆的半径的两倍，即d = 2r。

(2) 圆的半径等于圆的直径的一半，即r = d/2。

3. 圆的弧长和扇形面积：圆弧是圆周上两个端点之间的部分，圆弧对应的圆心角称为圆心角。

圆心角的度数等于所对圆弧的度数。

圆弧的长度称为圆弧长。

(1) 圆弧长公式为：L = 2πrθ/360°，其中L为圆弧长，r为圆的半径，θ为圆心角的度数。

(2) 扇形是由圆心、一条圆弧和两条半径组成的图形，扇形的面积称为扇形面积。

扇形面积公式为：S = 1/2πr²θ/360°，其中S为扇形面积，r为圆的半径，θ为圆心角的度数。

4. 圆的切线和切点：圆上的切线是与圆的圆周相切的直线，切点是切线和圆的圆周相交的点。

切线与半径所在直线垂直。

5. 圆的其他性质：(1) 在同一个圆中，半径相等的弦长相等。

(2) 圆内任意两点与圆心的距离小于圆的半径，而圆外任意一点与圆心的距离大于圆的半径。

(3) 圆的面积比较，面积大的圆通常具有较大的半径。

总结：圆作为几何中最基本的形状之一，具有独特的概念和性质。

掌握圆的定义，理解圆周长和面积的计算方法，以及圆弧和扇形的特性，对于解决与圆相关的几何问题至关重要。

圆的概念与性质圆，是我们常见的几何图形之一。

它以其独特的形状和各种有趣的性质，吸引了无数学者和数学爱好者的关注。

本文将介绍圆的概念与性质，带领读者一起探索这个神奇的几何图形。

一、概念圆是由平面上距离一个点（圆心）固定距离的所有点构成的集合。

这个固定距离被称为半径，通常用字母r来表示。

我们可以用圆的数学定义来描述圆的概念，即所有到圆心距离为r的点的集合。

圆可以通过多种方式来描述和表达。

除了数学定义，我们还可以通过图形表达、文字描述以及公式等方式来表示圆的概念。

例如：如果一个图形是一个闭合曲线，且任意两点间的距离都等于半径r，那么我们可以认为这个图形是一个圆。

二、性质1. 圆的直径和半径圆的直径是通过圆心并且两端点在圆上的一条线段。

直径的两倍等于圆的周长，通常用字母d来表示。

圆的半径是从圆心到圆上的任意一点的距离，通常用字母r来表示。

2. 圆的周长圆的周长是圆上一点到它相邻点的弧长，也就是圆上所有点两两相连形成的曲线。

圆的周长可以用公式C = 2πr来计算，其中C表示周长，π（pi）近似为3.14159。

3. 圆的面积圆的面积是圆内部所有点覆盖的区域。

圆的面积可以用公式A = πr²来计算，其中A表示面积。

4. 圆的切线圆的切线是与圆只有一个交点的直线。

切线与半径垂直并且通过切点。

5. 圆的弦圆上任意两点之间的线段被称为弦。

弦的中点在圆的半径上，并且圆心与弦的两个端点组成的角称为弦心角。

6. 圆的弧圆上两点之间的曲线部分被称为弧。

弧的长度取决于圆心角的大小，通常用字母l来表示。

圆心角为360度（或2π弧度）时，弧的长度等于圆的周长。

三、应用圆的概念与性质在现实生活中有广泛的应用。

下面介绍一些常见的应用情况：1. 圆的几何形状广泛应用于建筑设计、工程测量等领域。

例如，建筑中常用的拱形结构、圆形窗户等都是圆的应用。

2. 圆的性质在数学问题的解决中也扮演着重要的角色。

例如，在解决三角函数问题中，我们常常需要基于圆的性质进行推导和计算。

圆一、圆的概念和性质1、圆的概念：在一个平面内，线段OA绕它的一个固定端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。

固定是端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。

圆上各点到圆心的距离都等于定长。

到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。

对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。

经过圆心的每一条直线都是对称轴。

圆心是对称中心。

圆的确定：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；②不在同一条直线上的三点确定一个圆；弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。

经过圆心的弦叫做直径。

直径是圆中最大的弦。

弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。

弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。

弧分为半圆，优弧、劣弧三种。

我们把圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。

圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

2、、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

垂径定理包含5各元素：直径、垂直弦、平分弦、平分劣弧、平分优弧。

课堂练习（1）、如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，那么下列结论中，错误的是（）。

A、CE=DEB、弧BC=弧BDC、∠BAC=∠BADD、AC＞AD（2）、⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是（）。

A、4B、6C、7D、83、、圆心角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角。

圆心角相关定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。

在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。

由此可见：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弦、两条弧中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。

课堂练习1、如果两个圆心角相等，那么（）A、这两个圆心角所对的弦相等B、这两个圆心角所对的弧相等C、这两个圆心角所对的弦和弧都分别相等D、以上说法都不对2、在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD，则两条弧AB与CD关系是（）A、弧AB=2弧CDB、弧AB>弧CDC、AB<2CDD、不能确定4、、圆周角定义：顶点在圆周上，角两边和圆相交的角叫圆周角。

圆的概念与性质圆是几何学中常见的一个基本图形，有着丰富的性质和应用。

本文将为您介绍圆的概念、性质以及在实际生活中的应用。

一、圆的概念圆是由平面中与一个确定点距离相等的所有点组成的集合。

该确定点称为圆心，与圆心距离相等的距离称为半径。

以圆心为原点，以半径长度为半轴的线段构成的曲线称为圆的周长，用C表示。

圆的周长与直径的比值称为圆周率，用π表示，其值约为3.14159。

二、圆的性质1. 圆的内外点关系：圆内的任意点到圆心的距离小于半径，而圆外的任意点到圆心的距离大于半径。

2. 圆的直径与半径：直径是连接圆上两个点且经过圆心的线段，它的长度是半径的两倍。

3. 圆的切线与半径：切线是与圆仅有一个交点的直线，该交点与圆心连线垂直。

切线与半径的关系是垂直关系。

4. 圆的弦与半径：弦是圆上任意两点之间的线段，弦的中点与圆心连线垂直。

弦和半径的关系是垂直关系。

5. 圆的弧与扇形：圆的弧是两个端点在圆上的弧线，可以用弧长来表示。

扇形是由圆心、圆上的两个点以及所对应的圆心角组成的区域。

6. 圆的面积：圆的面积可以用半径或者直径来计算，其公式为πr²或者π(d/2)²，其中r为半径，d为直径。

三、圆的应用圆在生活中有着广泛的应用，以下列举几个常见的例子：1. 圆的运动轨迹：许多自然界中的运动都以圆形轨迹进行，比如行星绕太阳的轨道以及地球自转产生的地球日等。

2. 圆形建筑物：圆形的建筑物在设计上具有良好的稳定性和视觉效果，比如宫殿中的圆形大厅、圆形会议室等。

3. 轮胎和车轮：轮胎和车轮的形状往往为圆形，这是为了减少摩擦力，提高行驶的平稳性。

4. 交通信号灯：交通信号灯上的圆形灯表示停止，该形状的选择是因为圆形视觉上相对于其他形状更容易辨认和传达信息。

综上所述，圆作为几何学中的一个基本图形，具有独特的概念和性质。

了解圆的性质和应用能够帮助我们更好地理解几何学知识并应用于实际生活中。

无论是在设计、建筑还是科学研究领域，对圆的理解和运用都起着重要的作用。

初三第三章 圆（一）圆的相关概念及性质一 知识梳理1. 圆的有关概念和性质（1）圆的有关概念①圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为圆心，定长为半径．②弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．③弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．（2）圆的有关性质：①圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心．②垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．推论1：a .平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； b.弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； c .平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．注意：应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根 据 垂径定理与勾股定理有：222()2ar d =+，根据此公式，在a ，r ，d 三个量中知道任何两个量就可以求出第三个量．③弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么 它们所对应的其余各组量都分别相等．推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；90”的圆周角所对的弦是直径．④三角形的内心和外心a ：确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆．b ：三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．c ：三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心2.与圆有关的角（1）圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。

圆心角的度数等于它所对的弧的度数． （2）圆周角：顶点在圆上，两边分别和圆相交的角，叫圆周角。

圆(思维导图+考点梳理+典例分析+高频考题+答案解析)【圆的认识与圆周率】1．圆的认识：圆是一种几何图形．当一条线段绕着它的一个端点在平面内旋转一周时，它的另一个端点的轨迹叫做圆．2．圆周率：圆周率符号一般以π来表示，是一个在数学及物理学普遍存在的数学常数．它定义为圆形之周长与直径之比．它也等于圆形之面积与半径平方之比．【圆及其性质】1、圆的概念：（1）、圆心：将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。

圆心一般用字母O 表示。

它到圆上任意一点的距离都相等。

（2）、半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。

一般用字母r表示。

把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。

（3）、直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。

一般用字母d表示。

直径是一个圆内最长的线段。

直径的长度是半径的2倍。

2、圆的性质：（1）、在同圆或等圆内，有无数条半径，有无数条直径。

同圆中所有的半径、直径都相等。

（2）．在同圆或等圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的一半。

（3）、圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。

如果已知的是直径，我们要把直径除以2换成半径，确定圆心，然后才开始画圆。

要比较两个圆的大小，就是比较两个圆的直径或半径。

（4）、轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。

折痕所在的这条直线叫做对称轴。

【圆、圆环的面积】1、圆的面积公式：S＝πr22、圆环的面积等于大圆的面积减去小圆的面积即可得，公式：S＝πr22﹣πr12＝π（r22﹣r12）【圆、圆环的周长】1、圆的周长＝πd＝2πr，2、半圆的周长等于圆周长一半加上直径，即；半圆周长＝πr+2r．3、圆环的周长等于两个圆的周长，即：圆环的周长＝πd1+πd2＝2πr1+2πr2．【扇形的面积】扇形面积可以用扇形所在圆的面积除以360再乘以扇形圆心角的角度n，即：S=nπr 2360．【扇形的认识】1、一条圆弧和经过这条圆弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形2、扇形弧长计算公式，l是弧长，n是扇形圆心角，π是圆周率，R是扇形半径。