2021届四川省成都七中高三入学考试数学(文)试题解析

成都七中外地生自主招生考试数学试题及解析一、选取题（6×10=60分）1. 已知等腰△ABC面积为1，∠A=120，则△ABC内切圆面积为（）A.√318π B.√354π C.√39π D.√327π解：过A作底边垂线，垂足为D，连接圆心O与AB边切点E，连接BO设圆半径为rRt△ABD中，∠B=30°，S△ABD=(1/2)AD.BD=(1/2)AD.√3A D=1/2，∴AD2=1/√3在Rt△AEO中，∠EAO=60°，∴sin60°=EO/AO=√3/2，即r/(AD-r)=√3/2，∴r=√3AD/(2+√3)∴S○O=πr2=√3π7+4√3=(7−4√3)√3π49−16×3=(7√3−12)π此题四个选项都不对的。

2. 如图所示，两条对角线长为4和2菱形绕中心旋转90°，可围成一种四角形（各边用实线标注），则该四角形周长是____。

解：作如图所示辅助线（红色）∵对角线长为2倍关系，∴E、F分别为AD、BD中点，∴EF为△ABD中位线，∴EF=AB/2，△EFC∽△BAC,∴FC=AC/2 在Rt△ADF中，(AC+CF)2=AD2+DF2，即(AC+AC/2)2=22+12解得AC=2√53，∴周长=8AC=16√533.已知x=√3+1，x4+4x2+2x+2=解：∵x=√3+1∴x2=2x+2∴x 2+2x +2=2x 2 x 4+4=x 22+4=(2x +2)2+4=4(x 2+2x +2)=4(x 2+x 2)=8x 2∴原式=8x 22x 2=44、某三棱锥三视图如右图所示，则该三棱锥最长棱长为此题看不清原图，加之本人也未能完全参透，故未做。

5. 设x,y 为实数，则代数式2x 2+4xy+5y 2-4x+2y-5最小值是____解：原式=2x 2+4xy+5y 2-4x+2y-5=x 2+4xy+4y 2+x 2-4x+y 2+2y-5=(x+2y)2+ x 2-4x+4+y 2+2y+1-5-4-1=(x+2y)2+(x-2)2+(y+1)2-10，正好有解x=2,y=-1使得前三项都获得最小值0,故最小值为-106、已知x ≤y ≤z ≤w ≤6 ，则方程x+y+z+w=18正整数解个数为A.5B. 6C.7D.8分析：设那4个数都相等，则它们=4.5，∵w 最大，∴w ≥4.5，∴w 值只能是5或6。

2021届四川省成都七中高三入学考试数学（文）试题一、单选题 1．已知集合(){},21A x y y x ==-，(){}2,B x y y x ==，则AB =（ ）A ．∅B ．{}1C ．(){}1,1D ．(){}1,1-【答案】C【解析】由题意可知A B 是直线21y x =-与抛物线2y x 的交点，所以两关系式联立成方程组求解即可 【详解】解：由221y x y x=-⎧⎨=⎩，得2210x x -+=，解得1x =，1y =， 所以A B =(){}1,1，故选：C 【点睛】此题考查集合的交集运算，考查两曲线的交点问题，属于基础题2．复数z =的模是（ ）A ．1BC ．2D【答案】B【解析】先算1的模，再利用复数的除法计算z . 【详解】因为()()()2121111i z i i i i -===-++-，所以z =B .【点睛】本题考查复数的除法及其复数的模的计算，属于基础题. 3．已知命题():,0,23xxp x ∃∈-∞<；命题:0,,sin 2q x x x π⎛⎫∀∈< ⎪⎝⎭，则下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．()p q ∨⌝C ．()p q ⌝∧D ．()p q ∧⌝【答案】C【解析】试题分析：因为当0x <时，213x⎛⎫> ⎪⎝⎭即23x x >，所以命题p 为假，从而p ⌝为真.因为当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，即sin x x >，所以命题q 为真，所以()p q ⌝∧为真，故选C.【考点】命题的真假.4．抛物线2:4W y x =的焦点为F ，点A 在抛物线上，且点A 到直线3x =-的距离是线段AF 长度的2倍，则线段AF 的长度为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【解析】利用抛物线定义可得点A 到直线3x =-的距离是点A 到准线x ＝－1的距离的2倍，从而可得结果. 【详解】解：依题意，得F （1,0），抛物线的准线为x ＝－1， 线段AF 的长等于点A 到准线x ＝－1的距离，因为点A 到直线3x =-的距离是线段AF 长度的2倍，所以，点A 到直线3x =-的距离是点A 到准线x ＝－1的距离的2倍 设A 点横坐标为0x ，是0x ＋3＝2（0x ＋1），解得：0x ＝1， 所以，｜AF ｜＝1－（－1）＝2 故选B 【点睛】本题考查了抛物线定义，考查了数形结合的思想，属于基础题.5．一组数据的平均数是4.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是( ) A ．55.2,3.6 B ．55.2,56.4 C ．64.8,63.6 D ．64.8,3.6【答案】D【解析】首先写出原来数据的平均数的公式和方差的公式，把数据都加上60以后，再表示出新数据的平均数和方差的公式，两部分进行比较，即可得到结果.【详解】设这组数据分别为12,,,n x x x ，由其平均数为4.8，方差是3.6，则有1121() 4.8n x x x x n=+++=，方差22221121[()()()] 3.6n S x x x x x x n=-+-++-=，若将这组数据中每一个数据都加上60，则数据为1260,60,,60n x x x +++，则其平均数为1121[(60)(60)(60)] 4.86064.8n x x x x n=++++++=+=，方差为22222121[(6064.8)(6064.8)(6064.8)] 3.6n S x x x n=+-++-+++-=，故选D. 【点睛】本题主要考查了数据的平均数和方差公式的计算与应用，其中熟记数据的平均数和方差的公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.6．设1323a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2313b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1313c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b c a >>【答案】B【解析】先利用13y x =的单调性比较a ，c 的大小，再利用1()3xy =比较b ，c 的大小可得. 【详解】先比较a ，c 的大小关系，由13y x =在R 上是增函数可得：a c >， 再比较b ，c 的大小关系，由1()3xy =在R 上是减函数可得：b c <， 综上可得：a c b >>， 故选：B. 【点睛】比较数的大小时，我们要找到它们的共性，合理利用对应函数的单调性是解决此类问题的关键，属于简单题目.7．若,αβ为锐角，且满足4cos 5α=，5cos()13αβ+=，则sin β的值为（ ）A ．1665-B ．3365C ．5665D ．6365【答案】B【解析】根据,αβ为锐角，且4cos 5α=，5cos()13αβ+=，利用平方关系求得sin ,sin()ααβ+，再由sin sin[()]βαβα=+-，利用两角差的正弦公式求解.【详解】因为,αβ为锐角，且4cos 5α=，5cos()13αβ+=， 所以312sin ,sin()513ααβ=+=，所以故sin sin[()]βαβα=+-，124533313513565=⨯-⨯=， 故选：B. 【点睛】本题主要考查两角和与差的三角函数的应用以及平方关系的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.8．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20，要使其体积最大，则其高为（ ） A ．203B ．100C ．20D ．203【答案】A【解析】设圆锥高为x ，利用x 表示出底面半径，从而可构造出关于圆锥体积的函数关系式；利用导数求得当2033x =时，体积最大，从而得到结果. 【详解】设圆锥的高为()020x x <<，则圆锥底面半径：2400r x =-∴圆锥体积：()223114004003333V r x x x x x ππππ=⋅=-=-+24003V x ππ'∴=-+，令，解得：203x =当2030,3x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，0V '>；当203203x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，0V '<∴当203x =，V 取最大值即体积最大时，圆锥的高为：2033本题正确选项：A 【点睛】本题考查利用函数思想来解决立体几何中的最值问题，关键是能够构造出关于所求变量的函数，从而利用导数来求解最值.9．一空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积可能为（ ）A ．12π+B ．22π+C ．1π+D ．2π+【答案】B【解析】由三视图理解该几何体：一个长、宽、高分别为2、1、1的长方体和两个底面半径为1，高为1的四分之一圆柱组成，即可求体积； 【详解】由三视图可知：该几何体可看作由一个长、宽、高分别为2、1、1的长方体和两个底面半径为1，高为1的四分之一圆柱组成， ∴12111222V ππ=⨯⨯+⨯⨯=+. 故选：B 【点睛】本题考查了利用三视图求几何体体积，注意几何体的组合分别求体积后加总，属于简单题；10．已知数列{}n a 满足132n n a -=⨯，*n N ∈，现将该数列按下图规律排成蛇形数阵（第i 行有i 个数，*i N ∈），从左至右第i 行第j 个数记为(),i j a （*,i j N ∈且j i ≤），则()21,20a =（ ）A ．20932⨯B ．21032⨯C ．21132⨯D ．21232⨯【答案】C【解析】由题可观察得到第i 行有i 个数,当i 为奇数时,该行由右至左i 逐渐增大,()21,20a 表示第21行第20个数,即为第21行倒数第2个数,则先求得前20行的数的个数,再加2即为()21,20a 对应的数列的项,即可求解. 【详解】由题可知,第i 行有i 个数,当i 为奇数时,该行由右至左i 逐渐增大,()21,20a 表示第21行第20个数,即为第21行倒数第2个数,则前20行共有()1+2020=2102⨯个数,即第21行倒数第1个数为211a,所以()21121221,2032a a ==⨯,故选:C 【点睛】本题考查合情推理,考查归纳总结能力,考查等差数列求和公式的应用. 11．已知函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0>ω，0ϕπ<<，()4f x f π⎛⎫⎪⎝⎭恒成立，且()f x 在区间0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上恰有两个零点，则ω的取值范围是（ ） A ．(6,10) B ．(6,8)C ．(8,10)D ．(6,12)【答案】A【解析】根据题干得到函数在4π处取得最大值，当x ∈0,4π⎛⎫⎪⎝⎭时，,4x πωϕϕϕω⎛⎫+∈+⎪⎝⎭，()sin ,?f t t t x ωϕ==+有两个零点,故这两个零点应该是,2ππ，得到()50,24πϕπωπ=-∈进而求解.【详解】函数()()sin f x x ωϕ=+，其中0ω>，0ϕπ<<，()4f x f π⎛⎫⎪⎝⎭恒成立,说明函数在4π处取得最大值，又因为()f x 在区间0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上恰有两个零点，当x ∈0,4π⎛⎫⎪⎝⎭时，,4x πωϕϕϕω⎛⎫+∈+⎪⎝⎭在这个范围内()sin ,?f t t t x ωϕ==+有两个零点,故这两个零点应该是,2ππ 结合条件：当4t πϕω=+时取得最大值，故根据三角函数的图像的性质得到542πϕωπ+=，()50,24πϕπωπ=-∈，解得()6,10ω∈.故答案为A. 【点睛】这个题目考查了三角函数的性质的应用，整体思想的应用，整体思想是将ω x +φ看做一个整体，地位等同于sinx 中的x ．12．已知函数()212ln xf x x -=的定义域为10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦，若对任意的121,0,x x e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，()()()1212221212f x f x m x x x x x x -+>-恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．(],3-∞B ．(],4-∞C ．(],5-∞D ．(],6-∞【答案】B【解析】由题意可知，()f x 在10,e⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，将不等式()()()1212221212f x f x m x x x x x x -+>-两边同时乘以12x x -，变形为()()12221211f x f x mx x ->-，不妨设12x x >，则()()122212f x f x x x m m -<-，构造新函数()()21,0,mg x f x x x e ⎛⎫⎛⎤=-∈ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭，根据函数单调性定义可知，若使得对任意的121,0,x x e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，()()()1212221212f x f x m x x x x x x -+>-恒成立，则需()10,0,g x x e ⎛⎫⎛⎤'≤∈ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭恒成立，即min22ln m x，求解即可.【详解】()212ln x f x x -=∴()()()()()()2223212ln 12ln 4ln 1x x x x x f x xx ''----'==函数()f x 的定义域为10,e ⎛⎤⎥⎝⎦∴()0f x '<，即函数()f x 在10,e ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减.121,0,x x e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦1222120x x x x +∴> ∴()()()1212221212f x f x m x x x x x x -+>-变形为()()()()1212122212x x f x f x mx x x x +->-即()()12221211f x f x mx x ->- 不妨设12x x >，则()()12f x f x <，221211x x < 即()()122212f x f x x x m m -<- 令2212ln 1()(),0,m m x g x f x x x x e ⎛⎫--⎛⎤=-=∈ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭ 则()()()()()2223212ln 1ln 424ln m x x x m x m xg x x x ''------++'==若使得对任意的121,0,x x e⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，()()()1212221212f x f x m x x x x x x -+>-恒成立.则需()10,0,g x x e⎛⎫⎛⎤'≤∈ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭恒成立.则1424ln 0,0,m x x e ⎛⎫⎛⎤-++≤∈ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭恒成立.即122ln ,0,m x x e⎛⎫⎛⎤≤-∈ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭恒成立.所以()min 122ln 22ln 4m x e≤-=-=. 即实数m 的取值范围是(],4-∞. 故选：B 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，等价变形，构造新函数，是解决本题的关键，本题属于难题.二、填空题13．在空间直角坐标系O xyz -中，记点()1,2,3A 在xOz 平面内的正投影为点B ，则OB =________．【解析】根据正投影定义确定点B 坐标，再根据空间两点距离公式求结果. 【详解】因为点()1,2,3A 在xOz 平面内的正投影为()1,0,3，即B ()1,0,3，所以OB =【点睛】本题考查空间直角坐标正投影以及空间两点距离公式，考查基本分析求解能力，属基础题.14．已知x ，y 满足22x y x x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =-+的最大值为____________.【答案】1-【解析】作可行域，作目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解．【详解】作可行域，如图ABC 内部（含边界），作直线:20l x y -+=，由2y x x y =⎧⎨+=⎩得11x y =⎧⎨=⎩，即(1,1)C ，平移直线l ，向上平移时2z x y =-+增大，∴当直线l 过点(1,1)C 时，2z x y =-+取得最大值1-． 故答案为：1-．【点睛】本题考查简单的线性规划，作出可行域是解题关键．15．在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos cos 2B bC a c=-+，若13b =，4a c +=，则a 的值为______.【答案】1或3【解析】利用正弦定理把边角关系式转化为角的三角函数关系式，再利用两角和的正弦公式化简该式可得23B π=，利用余弦定理可求a 的值． 【详解】cos cos 2B bC a c=-+， 即有2cos cos cos -=+a B b C c B ，即()2sin cos sin cos cos sin sin sin -=+=+=A B B C C B B C A ， 即有1cos 2B =-，由于B 为三角形的内角，则23B π=， 又2222cos b a c ac B =+-，即有2213a c ac =++，又4a c +=，解得，1a =，3c =或3a =，1c =. 故答案为：1或3． 【点睛】在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式.另外，注意分析三边三角中哪些是已知的，哪些是未知的，从而确定用什么定理解决问题．16．已知椭圆22221x y a b Γ+=：与双曲线22221x y m nΩ-=：共焦点，F 1、F 2分别为左、右焦点，曲线Γ与Ω在第一象限交点为P ，且离心率之积为1.若1212sin 2sin F PF PF F ∠=∠，则该双曲线的离心率为____________.【答案】12【解析】根据正弦定理，可得2PF c =，根据椭圆与双曲线定义可求得a m c =+，结合椭圆与双曲线的离心率乘积为1，可得220c m mc --=，进而求得双曲线的离心率c e m=． 【详解】 设焦距为2c在三角形PF 1F 2中，根据正弦定理可得2121212sin sin PF F F F PF PF F =∠∠因为1212sin 2sin F PF PF F ∠=∠，代入可得1222F F PF =，所以2PF c =在椭圆中，1212PF PF PF c a +=+= 在双曲线中，1212PF PF PF c m -=-= 所以112,2PF a c PF m c =-=+ 即22a c m c -=+ 所以a m c =+因为椭圆与双曲线的离心率乘积为1即1c c a m ⨯= ，即2c a m= 所以2c m c m+=化简得220c m mc --=，等号两边同时除以2m得210c c m m⎛⎫--= ⎪⎝⎭，因为c m 即为双曲线离心率 所以若双曲线离心率为e ，则上式可化为210e e --=由一元二次方程求根公式可求得e = 因为双曲线中1e >所以e =【点睛】本题考查了椭圆与双曲线性质的综合应用，正弦定理的应用，双曲线离心率的表示方法，计算量复杂，属于难题．三、解答题17．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且111,21n n a a S +==+，数列{}n b 满足11a b =，点()1,n n P b b +在20x y -+=上，*.n N ∈（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设nn nb c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 【答案】（1）13n n a -=，1(1)221n b n n =+-⋅=-（2）2112132323n n n n T ---=--⋅⋅1133n n -+=-.【解析】（1）利用n a 与n S 的递推关系可以n a 的通项公式；P 点代入直线方程得12n n b b +-=，可知数列{}n b 是等差数列，用公式求解即可.(2)用错位相减法求数列的和.【详解】()1由121n n a S +=+可得()1212n n a S n -=+≥，两式相减得12n n n a a a +-=，()132n n a a n +=≥．又21213a S =+=，所以213a a =．故{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列．所以13n n a -=．由点()1,n n P b b +在直线20x y -+=上，所以12n n b b +-=．则数列{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列．则()11221n b n n =+-⋅=-()2因为1213n n n n b n c a --==，所以0121135213333n n n T --=+++⋯+． 则123111352321333333n n n n n T ---=+++⋯++， 两式相减得：21222221133333n n n n T --=+++⋯+-． 所以21112113323233n n n n n n T ----+=--=-⋅⋅． 【点睛】用递推关系1=(2)n n n a S S n --≥求通项公式时注意n 的取值范围，所求结果要注意检验1n =的情况；由一个等差数列和一个等比数列的积组成的数列求和，常用错位相减法求解.18．如图，四棱锥P ABCD -中，平面PDC ⊥底面ABCD ，PDC 是等边三角形，底面ABCD 为梯形，且60DAB ∠=，//AB CD ，22DC AD AB ===．(Ⅰ)证明：BD PC ⊥；(Ⅱ)求A 到平面PBD 的距离．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）32h =. 【解析】（1）由余弦定理得BD 3=，从而BD⊥AB，由AB∥DC，得BD⊥DC．从而BD⊥平面PDC ，由此能证明BD⊥PC（2）设A 到平面PBD 的距离为h ．取DC 中点Q ，连结PQ ，由V A-PBD =V P-ABD ，能求出A 到平面PBD 的距离． 【详解】（1）由余弦定理得22BD 12212cos603=+-⨯⨯︒=， ∴222BD AB AD +=，∴ABD 90∠=︒，BD AB,AB //DC,⊥ ∴BD DC ⊥.又平面PDC ⊥底面ABCD ，平面PDC底面ABCD DC =，BD ⊂底面ABCD ，∴BD ⊥平面PDC ，又PC ⊂平面PDC ，∴BD PC ⊥. （2）设A 到平面PBD 的距离为h.取DC 中点Q ，连结PQ ,∵△PDC 是等边三角形，∴PQ DC ⊥.又平面PDC ⊥底面ABCD ，平面PDC 底面ABCD DC =，PQ ⊂平面PDC ，∴PQ ⊥底面ABCD ，且PQ 3=，由（Ⅰ）知BD ⊥平面PDC ，又PD ⊂平面PDC ，∴BD PD ⊥. ∴A PBD P ABD V V --=，即1132⨯3h = 1132⨯33解得3h =. 【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．19．某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量()g y 与尺寸(mm)x 之间近似满足关系式b y c x =⋅（b ，c 为大于0的常数）.按照某指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间(0.302,0.388)内时为优等品.现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：（1）现从抽取的6件合格产品中再任选2件，求选中的2件均为优等品的概率； （2）根据测得数据作了初步处理，得相关统计量的值如下表：根据所给统计量，求y 关于x 的回归方程. 附：对于样本(),(1,2,,6)i i v u i =，其回归直线u b v a =⋅+的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：()()()1122211ˆnniii i i i nniii i v v u u v u nvub v v vnv ====---==--∑∑∑∑，ˆˆau bv =-， 2.7183e ≈. 【答案】（1）15；（2）0.5ˆyex =. 【解析】（1）根据优等品的质量与尺寸的比(0.302,0.388)yx∈，得到随机抽取的6件合格产品中，有3件为优等品，有3件为优等品，有3件为非优等品，列出所有从6件中取2件的所有基本事件和2件均为优等品的基本事件，再用古典概型的概率公式求得答案；（2）对b y c x =⋅两边取自然对数得ln ln ln y c b x =+，令ln ,ln i i i i v x u y ==，则u b v a =⋅+，根据表中的数据，先求得u 关于v 的回归方程，从而求得y 关于x 的回归方程. 【详解】（1）由已知，优等品的质量与尺寸的比(0.302,0.388)yx∈， 则随机抽取的6件合格产品中，有3件为优等品，记为,,a b c ， 有3件为非优等品，记为,,d e f ，现从抽取的6件合格产品中再任选2件，基本事件为：(,),(,),(,),(,)(,),(,),(,),(,),(,),(,)a b a c a d a e a f b c b d b e b f c d(,),(,),(,),(,),(,)c e c f d e d f e f ，选中的两件均为优等品的事件为(,),(,),(,)a b a c b c ， 所以所求概率为31155=. （2）对b y c x =⋅两边取自然对数得ln ln ln y c b x =+ 令ln ,ln i i i i v x u y ==，则u b v a =⋅+，且ln a c = 由所给统计量及最小二乘估计公式有：6162221675.324.618.360.271101.424.660.5426ˆi i i i i v u uvbvv ==--⨯÷====-÷-∑∑ 118.324.62ˆˆ16au bv ⎛⎫-⨯⎪⎝⎭=-==， 由ˆˆln ac =得ˆc e =， 所以y 关于x 的回归方程为0.5ˆyex =.【点睛】本题考查了古典概型的概率公式，换元法的应用，用最小二乘法公式求回归方程，考查了分析理解能力，转化与化归思想，计算能力，属于中档题. 20．设函数()f x =[()24143ax a x a -+++]x e ．（1）若曲线()y f x =在点（1，()1f ）处的切线与x 轴平行，求a ；（2）若()f x 在2x =处取得极小值，求a 的取值范围． 【答案】(1) 1 (2)（12，+∞） 【解析】分析：（1）先求导数，再根据()01f '=得a ；（2）先求导数的零点：1a，2；再分类讨论，根据是否满足()f x 在x =2处取得极小值，进行取舍，最后可得a 的取值范围．详解：解：（Ⅰ）因为()f x =[()24143ax a x a -+++]x e ，所以f ′（x ）=［2ax –（4a +1）］e x +［ax 2–（4a +1）x +4a +3］e x （x ∈R ） =［ax 2–（2a +1）x +2］e x ． f ′(1)=(1–a )e ．由题设知f ′(1)=0，即(1–a )e=0，解得a =1． 此时f (1)=3e≠0． 所以a 的值为1．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f ′（x ）=［ax 2–（2a +1）x +2］e x =（ax –1）(x –2)e x ． 若a >12，则当x ∈(1a，2)时，f ′(x )<0； 当x ∈(2，+∞)时，f ′(x )>0． 所以f (x )<0在x =2处取得极小值． 若a ≤12，则当x ∈(0，2)时，x –2<0，ax –1≤12x –1<0， 所以f ′(x )>0．所以2不是f (x )的极小值点． 综上可知，a 的取值范围是（12，+∞）． 点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.21．如图，设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点D 在椭圆上，112DF F F ⊥，121||||F F DF =12DF F ∆的面积为2.（1）求该椭圆的标准方程；（2）是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由.【答案】（1）2212x y +=；（2）存在满足条件的圆，其方程为2253239x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭. 【解析】试题分析：（1）由题设知()()12,0,,0F c F c -其中222c a b =-由12112222F F DF c DF =⇒=,结合条件12DF F ∆的面积为22，可求c 的值，再利用椭圆的定义和勾股定理即可求得,a b 的值，从而确定椭圆的标准方程；（2）假设存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点；设圆心在y 轴上的圆与椭圆在x 轴的上方有两个交点为()()111222,,,P x y P x y 由圆的对称性可知1212,x x y y =-=，利用()()111222,,,P x y P x y 在圆上及11220PF P F ⋅=确定交点的坐标，进而得到圆的方程. 解：（1）设()()12,0,,0F c F c -，其中222c a b =-，由12122F F DF =得121222F F DF ==从而122112122222DF F S DF F F ∆=⋅==故1c =. 从而122DF =，由112DF F F ⊥得222211292DF DF F F =+=，因此2322DF =. 所以12222a DF DF =+=，故2222,1a b a c ==-=因此，所求椭圆的标准方程为：2212x y +=（2）如图，设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆2212xy +=相交，()()111222,,,P x y P x y 是两个交点，120,0y y >>，11F P ,22F P 是圆C 的切线，且11F P ⊥22F P 由圆和椭圆的对称性，易知2112,x x y y =-=1212.PP x =，由（1）知()()121,0,1,0F F -，所以()()111122111,,1,F P x y F P x y =+=--，再由11F P ⊥22F P 得()221110x y -++=，由椭圆方程得()2211112x x -=+，即211340x x +=，解得143x =-或10x =. 当10x =时，12,P P 重合，此时题设要求的圆不存在. 当143x =-时，过12,P P 分别与11F P ,22F P 垂直的直线的交点即为圆心C ，设()00,C y 由111,CP F P ⊥得101111,1y y y x x -⋅=-+而1111,3y x =+=故053y = 圆C 的半径22141542333CP ⎛⎫⎛⎫=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭综上，存在满足条件的圆，其方程为：2253239x y ⎛⎫+-=⎪⎝⎭ 【考点】1、椭圆的标准方程；2、圆的标准方程；3、直线与圆的位置关系；4、平面向量数量积的应用.22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22114x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩（t 为参数）.（1）求曲线C 的普通方程；（2）以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为6πθ=，（R ρ∈），直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求线段AB 的长度AB . 【答案】（1）26y x =-（2x ≤-或2x ≥）；（2）2373. 【解析】（1）根据参数方程，消去参数，得到曲线普通方程，再由题意求出定义域即可；（2）先将（1）中的曲线方程化为极坐标方程，得到226sin cos ρθρθ=-，（2cos ρθ≥），设,A B 的极坐标分别为12,,,66A B ππρρ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，将6πθ=代入曲线的极坐标方程，由根与系数关系，以及()21212124AB ρρρρρρ=-=+-，即可得出结果. 【详解】（1）曲线C 的参数方程为22114x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩①②（t 为参数）.将①式两边平方，得22212x t t=++③， ③②，得26x y -=，即26y x =-， 因为1112?2t t t t t t+=+≥=，当且仅当1t t =，即1t =±时取“=”，所以2x ≥，即2x -≤或2x ≥， 所以曲线C 的普通方程为26y x =-（2x -≤或2x ≥）.（2）因为曲线C 的直角坐标系方程为26y x =-（2x -≤或2x ≥），所以把x cos y sin ρθρθ==，代入得：226sin cos ρθρθ=-，（2cos ρθ≥），则曲线C 的极坐标方程为226sin cos ρθρθ=-，（2cos ρθ≥）设,A B 的极坐标分别为12,,,66A B ππρρ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，将6πθ=代入曲线C 的极坐标方程得232240ρρ--=，433ρ≥,因为∆=4+4×3×24=4×73>0,∴1211ρ?ρ33==，满足ρ≥， 所以|12|AB ρρ=-=【点睛】 本题主要考查参数方程与普通方程的互化，以及极坐标的方法求弦长的问题，属于常考题型.23．已知函数()1144f x x x =-++，M 为不等式()2f x ≤的解集． （1）求M ；（2）证明：当a ，b M ∈时，a b -．【答案】（1）[]1,1M =-；（2）证明见解析.【解析】（1）根据绝对值定义化简函数，再解三个不等式组，最后求并集得结果； （2）利用分析法证明不等式【详解】 （1）()12,,411111,,4424412,4x x f x x x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=-++=-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩()12422x f x x ⎧≤-⎪≤∴⎨⎪-≤⎩或1144122x ⎧-<<⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩或1422x x ⎧≥⎪⎨⎪≤⎩ 114x ∴-≤≤-或1144x -<<或114x ≤≤ 所以不等式的解集为[]1,1M =-．（2）要证a b -，只需证a b ≥-，即证()241ab a b -≥-，只需证22442ab a ab b --+≥，即2242a ab b ++≥， 即证()24a b ≥+，只需证2a b ≥+因为a ，b M ∈，所以2a b +≤，所以所证不等式成立．【点睛】本题考查含绝对值不等式解法、分析法证明不等式，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.。

2021-2022学年四川省成都七中高三（上）入学数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．设集合U＝R，集合A＝{x|x2﹣1＞0}，B＝{x|0＜x≤2}，则集合（∁U A）∩B＝（）A．（﹣1，1）B．[﹣1，1]C．（0，1]D．[﹣1，2]2．已知i是虚数单位，设，则复数+2对应的点位于复平面（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知向量＝（，），＝（，），则∠ABC＝（）A．30°B．45°C．60°D．120°4．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（）A．B．C．D．5．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a n+2+a n﹣2a n+1＝0（n∈N*），若a16+a18+a20＝24，则S35＝（）A．140B．280C．70D．4206．已知命题p：存在a∈R，曲线x2+ay2＝1为双曲线；命题q：≤0的解集是{x|1＜x＜2}．给出下列结论中正确的有（）①命题“p且q”是真命题；②命题“p且（￢q）”是真命题；③命题“（￢p）或q”为真命题；④命题“（￢p）或（￢q）”是真命题．A．1个B．2个C．3个D．4个7．公元263年左右，我国数学有刘徽发现当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形的面积可无限逼近圆的面积，并创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值 3.14，这就是著名的“徽率”．某同学利用刘徽的“割圆术”思想设计了一个计算圆周率的近似值的程序框图如图，则输出S的值为（参考数据：sin15°＝0.2588，sin7.5°＝0.1305）（）A．2.598B．3.106C．3.132D．3.1428．下列说法正确的是（）A．若函数f（x）对于任意x∈R都有f（x）＝f（4﹣x）成立，则f（x+2）是偶函数B．若函数f（x）＝a log3x+b log2x+1，f（2016）＝3，则f（）＝﹣3C．对于函数f（x）＝lnx，其定义域内任意x1≠x2都满足f（）≤D．函数f（x）＝a x（a＞0，a≠1）满足对定义域内任意实数a，b都有f（a+b）＝f（a）•f（b），且f（x）为增函数9．设函数，则y＝f（x）（）A．在单调递增，且其图象关于直线对称B．在单调递增，且其图象关于直线对称C．在单调递减，且其图象关于直线对称D．在单调递减，且其图象关于直线对称10．如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可以估计众数与中位数分别是（）A．12.5 12.5B．12.5 13C．13 12.5D．13 1311．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36πB．64πC．144πD．256π12．已知O为坐标原点，F是椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C 的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y 轴交于点E．若直线BM经过OE的三等分点G（靠近O点），则C的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（每小题5分，共20分）13．函数f（x）＝sin2x（x∈R）的最小正周期T＝．14．已知双曲线过点且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程是．15．若x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为．16．已知曲线y＝x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y＝ax2+（a+2）x+1相切，则a＝．三、解答题（17-21每题12分，22题10分，共70分）17．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足2a sin A＝（2b﹣c）sin B+（2c ﹣b）sin C．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a＝2，b＝2，求△ABC的面积．18．根据国际疫情形势以及传染病防控的经验，加快新冠病毒疫苗接种是当前有力的防控手段，我国正在安全、有序加快推进疫苗接种工作，某乡村采取通知公告、微信推送、广播播放、条幅宣传等形式，积极开展疫苗接种社会宣传工作，消除群众疑虑，提高新冠疫苗接种率，让群众充分地认识到了疫苗接种的重要作用，自宣传开始后村干部统计了本村200名居民（未接种）的一个样本，5天内每天新接种疫苗的情况，如下统计表：第x天12345新接种人数y1015192328（1）建立y关于x的线性回归方程；（2）假设全村共计2000名居民（均未接种过疫苗），用样本估计总体来预测该村80%居民接种新冠疫苗需要几天？参考公式：回归方程＝x+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：＝，＝﹣．19．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面为菱形，AC∩BD＝O．（1）证明：B1C∥平面A1BD；（2）设AB＝AA1＝2，，若A1O⊥平面ABCD，求三棱锥B1﹣A1BD的体积．20．设椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左焦点为F，过F且垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为（﹣1，）．（1）求椭圆C的方程；（2）若过点F的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为M，过M且与l垂直的直线与x轴和y轴分别交于N、P两点，记△FMN和△OPN的面积分别为S1、S2，若＝10．求直线l的方程．21．已知函数f（x）＝te x﹣﹣2，t∈R．（1）当t＝﹣4时，求f（x）的单调区间与极值；（2）当t＞0时，若函数g（x）＝e x f（x）+te x﹣x+1在R上有唯一零点，求t的值．22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：（t为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点A在曲线C1：ρ2﹣8ρcosθ+12＝0上运动，点B为线段OA的中点．（1）求动点B的运动轨迹C2的参数方程；（2）若直线l与C2的公共点分别为M，N，当＝3时，求a的值．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．设集合U＝R，集合A＝{x|x2﹣1＞0}，B＝{x|0＜x≤2}，则集合（∁U A）∩B＝（）A．（﹣1，1）B．[﹣1，1]C．（0，1]D．[﹣1，2]解：A＝{x|x＜﹣1，或x＞1}；∴∁U A＝{x|﹣1≤x≤1}；∴（∁U A）∩B＝（0，1]．故选：C．2．已知i是虚数单位，设，则复数+2对应的点位于复平面（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：＝＝﹣i，则复数+2＝i+2∴+2对应的点（2，1）位于复平面的第一象限．故选：A．3．已知向量＝（，），＝（，），则∠ABC＝（）A．30°B．45°C．60°D．120°解：，；∴；又0°≤∠ABC≤180°；∴∠ABC＝30°．故选：A．4．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（）A．B．C．D．解：从M，I，N中任取一个字母，再从1，2，3，4，5中任取一个数字，取法总数为：（M，1），（M，2），（M，3），（M，4），（M，5），（I，1），（I，2），（I，3），（I，4），（I，5），（N，1），（N，2），（N，3），（N，4），（N，5）共15种．其中只有一个是小敏的密码前两位．由随机事件发生的概率可得，小敏输入一次密码能够成功开机的概率是．故选：C．5．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a n+2+a n﹣2a n+1＝0（n∈N*），若a16+a18+a20＝24，则S35＝（）A．140B．280C．70D．420解：数列{a n}的前n项和为S n，且a n+2+a n﹣2a n+1＝0（n∈N*），可得a n+2﹣a n+1＝a n+1﹣a n＝…＝a2﹣a1，即有数列{a n}为等差数列，即有2a18＝a16+a20，a16+a18+a20＝24，可得3a18＝24，即a18＝8，则S35＝（a1+a35）•35＝35a18＝35×8＝280．故选：B．6．已知命题p：存在a∈R，曲线x2+ay2＝1为双曲线；命题q：≤0的解集是{x|1＜x＜2}．给出下列结论中正确的有（）①命题“p且q”是真命题；②命题“p且（￢q）”是真命题；③命题“（￢p）或q”为真命题；④命题“（￢p）或（￢q）”是真命题．A．1个B．2个C．3个D．4个解：当a＜0时，曲线x2+ay2＝1为双曲线，故命题p：“存在a∈R，曲线x2+ay2＝1为双曲线”为真命题；≤0的解集是{x|1≤x＜2}故命题q：“≤0的解集是{x|1＜x＜2}”为假命题；命题“p且q”是假命题，即①错误；命题“p且（¬q）”是真命题，即②正确；命题“（¬p）或q”为假命题，即③错误；命题“（¬p）或（¬q）”是真命题，即④正确．故选：B．7．公元263年左右，我国数学有刘徽发现当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形的面积可无限逼近圆的面积，并创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值 3.14，这就是著名的“徽率”．某同学利用刘徽的“割圆术”思想设计了一个计算圆周率的近似值的程序框图如图，则输出S的值为（参考数据：sin15°＝0.2588，sin7.5°＝0.1305）（）A．2.598B．3.106C．3.132D．3.142解：模拟执行程序，可得：n＝6，S＝3sin60°＝，不满足条件n＞24，n＝12，S＝6×sin30°＝3，不满足条件n＞24，n＝24，S＝12×sin15°＝12×0.2588＝3.1056，不满足条件n＞24，n＝48，S＝24×sin7.5°＝24×0.1305＝3.132，满足条件n＞24，退出循环，输出S的值为3.132．故选：C．8．下列说法正确的是（）A．若函数f（x）对于任意x∈R都有f（x）＝f（4﹣x）成立，则f（x+2）是偶函数B．若函数f（x）＝a log3x+b log2x+1，f（2016）＝3，则f（）＝﹣3C．对于函数f（x）＝lnx，其定义域内任意x1≠x2都满足f（）≤D．函数f（x）＝a x（a＞0，a≠1）满足对定义域内任意实数a，b都有f（a+b）＝f（a）•f（b），且f（x）为增函数解：A选项：因为f（x）＝f（4﹣x），所以f（x+2）＝f[4﹣（x+2）]＝f（﹣x+2），所以f（x+2）是偶函数，正确．B选项：f（2016）＝a log32016+b log22016+1＝3，所以a log32016+b log22016＝2．所以f（）＝＝﹣（a log32016+b log22016）+1＝﹣2+1＝﹣1，错误．C选项：因为，所以，即f（）＞，错误．D选项：当0＜a＜1时，f（x）为减函数，错误．故选：A．9．设函数，则y＝f（x）（）A．在单调递增，且其图象关于直线对称B．在单调递增，且其图象关于直线对称C．在单调递减，且其图象关于直线对称D．在单调递减，且其图象关于直线对称解：函数＝2[sin（+）+cos（+）]＝2sin（++）＝2sin（+），在（0，）上，+∈（，），f（x）＝2sin（+）单调递增，当x＝时，f（x）＝2，为最大值，故其图象关于直线对称，故A、C错误．在（0，）上，+∈（，），f（x）＝2sin（+）单调递增，故选：B．10．如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可以估计众数与中位数分别是（）A．12.5 12.5B．12.5 13C．13 12.5D．13 13解：众数是频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标，∴中间的一个矩形最高，故10与15的中点是12.5，众数是12.5而中位数是把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于Y轴的直线横坐标第一个矩形的面积是0.2，第三个矩形的面积是0.3，故将第二个矩形分成3：2即可∴中位数是13故选：B．11．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36πB．64πC．144πD．256π解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时V O﹣ABC＝V C﹣AOB＝＝＝36，故R＝6，则球O的表面积为4πR2＝144π，故选：C．12．已知O为坐标原点，F是椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C 的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的三等分点G（靠近O点），则C的离心率为（）A．B．C．D．解：如图，由MF∥OE，，，所以，得a＝2c．所以e＝．故选：B．二、填空题（每小题5分，共20分）13．函数f（x）＝sin2x（x∈R）的最小正周期T＝π．解：f（x）＝sin2x＝（1﹣cos2x）＝﹣cos2x+最小正周期T＝＝π故答案为：π14．已知双曲线过点且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程是x2﹣y2＝1．解：设双曲线方程为y2﹣x2＝λ，代入点，可得3﹣＝λ，∴λ＝﹣1，∴双曲线的标准方程是x2﹣y2＝1．故答案为：x2﹣y2＝1．15．若x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为8．解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z＝2x+y得y＝﹣2x+z，平移直线y＝﹣2x+z，由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点A时，直线y＝﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（3，2）将A（3，2）的坐标代入目标函数z＝2x+y，得z＝2×3+2＝8．即z＝2x+y的最大值为8．故答案为：8．16．已知曲线y＝x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y＝ax2+（a+2）x+1相切，则a＝8．解：y＝x+lnx的导数为y′＝1+，曲线y＝x+lnx在x＝1处的切线斜率为k＝2，则曲线y＝x+lnx在x＝1处的切线方程为y﹣1＝2x﹣2，即y＝2x﹣1．由于切线与曲线y＝ax2+（a+2）x+1相切，故y＝ax2+（a+2）x+1可联立y＝2x﹣1，得ax2+ax+2＝0，又a≠0，两线相切有一切点，所以有△＝a2﹣8a＝0，解得a＝8．故答案为：8．三、解答题（17-21每题12分，22题10分，共70分）17．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足2a sin A＝（2b﹣c）sin B+（2c ﹣b）sin C．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a＝2，b＝2，求△ABC的面积．解：（Ⅰ）由已知及正弦定理可得，整理得，所以．又A∈（0，π），故．（Ⅱ）由正弦定理可知，又a＝2，，，所以．又，故或．若，则，于是；若，则，于是．18．根据国际疫情形势以及传染病防控的经验，加快新冠病毒疫苗接种是当前有力的防控手段，我国正在安全、有序加快推进疫苗接种工作，某乡村采取通知公告、微信推送、广播播放、条幅宣传等形式，积极开展疫苗接种社会宣传工作，消除群众疑虑，提高新冠疫苗接种率，让群众充分地认识到了疫苗接种的重要作用，自宣传开始后村干部统计了本村200名居民（未接种）的一个样本，5天内每天新接种疫苗的情况，如下统计表：第x天12345新接种人数y1015192328（1）建立y关于x的线性回归方程；（2）假设全村共计2000名居民（均未接种过疫苗），用样本估计总体来预测该村80%居民接种新冠疫苗需要几天？参考公式：回归方程＝x+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：＝，＝﹣．解：（1）由题意可知，，，所以＝＝，则，所以y关于x的线性回归方程为；（2）设，数列{a n}的前n项和为S n，又数列{a n}为等差数列，所以，因为S6＝127.2，S7＝163.8，所以10S6＝1272，10S7＝1638，2000×80%＝1600人，所以预测该村80%居民接种新冠疫苗需要7天．19．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面为菱形，AC∩BD＝O．（1）证明：B1C∥平面A1BD；（2）设AB＝AA1＝2，，若A1O⊥平面ABCD，求三棱锥B1﹣A1BD的体积．【解答】（1）证明：依题意，，且，∴，∴四边形A1B1CD是平行四边形，∴B1C∥A1D，∵B1C⊄平面A1BD，A1D⊂平面A1BD，∴B1C∥平面A1BD．（2）依题意，，在Rt△AA1O中，，所以三棱锥A1﹣BCD的体积＝＝＝．由（1）知B1C∥平面A1BD，∴＝＝．20．设椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左焦点为F，过F且垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为（﹣1，）．（1）求椭圆C的方程；（2）若过点F的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为M，过M且与l垂直的直线与x轴和y轴分别交于N、P两点，记△FMN和△OPN的面积分别为S1、S2，若＝10．求直线l的方程．解：（1）由题意可得：，解得，故椭圆方程为．（2）由题意知，斜率不为0，故设直线AB方程为x＝my﹣1．设A（x1，y1），B（x2，y2），联立椭圆方程可得（3m2+4）y2−6my−9＝0，∴，，∴，，同理，所以直线方程为：y＝±3（x+1）．21．已知函数f（x）＝te x﹣﹣2，t∈R．（1）当t＝﹣4时，求f（x）的单调区间与极值；（2）当t＞0时，若函数g（x）＝e x f（x）+te x﹣x+1在R上有唯一零点，求t的值．解：（1）当t＝﹣4时，f（x）＝﹣4e x﹣﹣2，则f′（x）＝﹣4e x+＝，令f′（x）＝0，得x＝﹣ln2，所以当x∈（﹣∞，﹣ln2）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（﹣ln2，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，所以f（x）的极大值是f（﹣ln2）＝﹣4×﹣2﹣2＝﹣6，无极小值．（2）当t＞0时，g（x）＝e x f（x）+te x﹣x+1＝te2x+（t﹣2）e x﹣x，则g′（x）＝2te2x+（t﹣2）e x﹣1＝（te x﹣1）（2e x+1），令g′（x）＝0，得x＝﹣lnt，所以g（x）在（﹣∞，﹣lnt）上单调递减，在（﹣lnt，+∞）上单调递增，所以g（x）的极小值是g（﹣lnt），所以只要g（﹣lnt）＝0，即可满足函数在R上有唯一零点，所以g（﹣lnt）＝lnt﹣+1＝0，令F（t）＝lnt﹣+1，则F′（t）＝+＞0，所以F（t）在（0，+∞）上单调递增，因为F（1）＝0，所以t的值是1．22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：（t为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点A在曲线C1：ρ2﹣8ρcosθ+12＝0上运动，点B为线段OA的中点．（1）求动点B的运动轨迹C2的参数方程；（2）若直线l与C2的公共点分别为M，N，当＝3时，求a的值．解：（1）点A在曲线C1：ρ2﹣8ρcosθ+12＝0上运动，点B为线段OA的中点．设A（2ρ，θ），B（ρ，θ），由于，转换为点B的直角坐标方程为（x﹣2）2+y2＝1；转换为参数方程为（θ为参数）；（2）直线l：（t为参数），转换为普通方程为y＝ax，极坐标方程为a＝tanθ，设M（ρ1，θ），N（ρ2，θ），由于，所以：ρ1＝3ρ2，代入ρ2﹣4ρcosθ+3＝0所以，整理得：，解得：，所以，解得tanθ＝0，故θ＝0．即a＝0．。

2021年四川省成都市七中高三11月段测三文科数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知全集U=R ，集合A={x|x ≥12}，集合B={x|x ≤l}，那么=)B ( A C U （ ） A ．{x|x ≤12或x ≥1} B ．{x|x ＜12或x ＞1） C ．{x|12＜x ＜1} D ．{x|12≤x ≤l} 2．命题“0x ∃∈N ，x 02+2x o ≥3”的否定为（ ） A ．0x ∃∈N ，x 02+2x 0 ≤3B ．0x ∀∈N ，x 2+2x ≤3C ．0x ∃∈N ，x 02+2x 0＜3D ．0x ∀∈N ，x 2+2x ＜33．抛物线y=2x 2的焦点坐标是（ ） A ．（0，14） B ．（0，18） C ．（18，0） D ．（14，0）4．已知定义在R 上的函数()y f x =满足以下三个条件：①对于任意的x R ∈，都有()()4f x f x +=；②对于任意的1212,,02,x x R x x 且∈≤<≤都有()()12;f x f x <③函数()2y f x =+的图象关于y 轴对称，则下列结论中正确的是( ) A ．()()()7 4.5 6.5f f f << B ．()()()4.57 6.5f f f << C ．()()()7 6.5 4.5f f f <<D ．()()()4.5 6.57f f f <<5．已知正项数列{}n a 为等比数列，且a 4是2a 2与3a 3的等差中项，若a 2=2，则该数列的前5项的和为（ ）A ．3312B ．31C ．314D ．以上都不正确6．已知函数f （x ）的部分图象如图所示，则f （x ）的解析式可能为 （ ）A ．f （x ）=2sin （26x π-）B ．f （x ）2（44x π+） C ．f （x ）=2cos （23x π-） D ．f （x ）=2sin （46x π+） 7．若实数x ，y 满足不等式0{24010x y x y x y +≥+-≤--≤，且x y +的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin sin A aB c=，（b+c+a ）（b+c-a ）=3bc ，则△ABC 的形状为（ ） A ．直角三角形B ．等腰非等边三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形9．已知12,F F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右两个焦点，以线段12F F 为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M ，与双曲线交于点N （点,M N 均在第一象限），当直线1MF 与直线ON 平行时，双曲线的离心率取值为0e ，则0e 所在区间为（ ）A．( B．C．)2 D ．()2,310．设直角△ABC 的三个顶点都在单位圆x 2+ y 2=1上，点M （12，12），则||MA MB MC ++的最大值是（ ）A．12+ D．22+二、填空题 11．函数f （x ）的定义域为 ．12．式子tan20° +tan40°°tan40°的值是____．13．已知向量a ,b 满足2a b ==，且()()22a b a b +⋅-=-，则向量a ,b 的夹角为______.14．已知函数3lg ,2(){3lg(3),2x x f x x x ≥=-<，若函数()y f x k =-无零点，则实数k 的取值范围是 ．15．已知,[0,1]a b ∈，则(,)(1)(1)11a b S a b a b b a=++--++的最小值为 ．三、解答题16．设命题p:|2x -3|＜1;命题q ：lg 2x - （2t+l ）lgx+t （t+l ）≤0， （1）若命题q 所表示不等式的解集为A={x|l0≤x ≤100}，求实数t 的值； （2）若⌝p 是⌝q 的必要不充分条件，求实数t 的取值范围．17．设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ．平面向量m =（cosA ，cosC ），n =（c ，a ），p =（2b ，0），且m ·（n -p ）=0 （1）求角A 的大小；（2）当|x|≤A 时，求函数f （x ）=sinxcosx+sinxsin （x-6π）的值域． 18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2n n S a n =+，且(1)n n b n a =-． （1）求证：{}1n a -为等比数列； （2）求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．已知函数f(x)=ax+blnx+c(a>0)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为x−y−2=0．（1）用a表示b，c；（2）若函数g(x)=x−f(x)在x∈(0,1]上的最大值为2，求实数a的取值范围．20．己知椭圆C：2222x ya b+=1（a＞b＞0）的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线=0相切，过点P（4，0）且不垂直于x轴直线，与椭圆C 相交于A、B两点．（1）求椭圆C的方程：（2）求OA OB⋅的取值范围；（3）若B点关于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点．21．已知函数f（x）=lnx-ax+l，其中a∈R．（1）求f（x）的单调区间；（2）当a=1时，斜率为k的直线与函数f（x）的图像交于两点A（x 1，y1），B（x2，y2），其中x1＜x2，证明：（3）是否存在k∈Z，使得f（x）+ax-2＞k（1一2x）对任意x＞l恒成立？若存在，请求出k的最大值；若不存在，请说明理由．参考答案1．B 【解析】试题分析：由已知得，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=121x x B A ，所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧><=121x x x A C U 或)B ( ．故选B ．考点：集合运算：交集、补集． 2．D 【解析】 试题分析：特称命题的否定是将∃改为∀，同时对结论进行否定，所以已知命题的否定是“0x ∀∈N ，x 2+2x ＜3”，故选D ． 考点：特称命题的否定． 3．B 【解析】试题分析：先将抛物线的方程化为标准形式y x 212=，所以焦点坐标为（810，）．故选B ． 考点：求抛物线的焦点． 4．B 【解析】 【分析】由①可知函数f （x ）是周期T=4的周期函数； 由②可得函数f （x ）在[0，2]上单调递增；由③可得函数f （x ）的图象关于直线x=2对称．于是f （4.5）=f （0.5），f （7）=f （3）=f （1），f （6.5）=f （2.5）=f （1.5）．即可得出结果. 【详解】定义在R 上的函数y=f （x ）满足以下三个条件：由①对于任意的x ∈R ，都有f （x+4）=f （x ），可知函数f （x ）是周期T=4的周期函数； ②对于任意的x 1，x 2∈R ，且0≤x 1＜x 2≤2，都有f （x 1）＜f （x 2），可得函数f （x ）在[0，2]上单调递增；③函数y=f （x+2）的图象关于y 轴对称，可得函数f （x ）的图象关于直线x=2对称．∴f （4.5）=f （0.5），f （7）=f （3）=f （1），f （6.5）=f （2.5）=f （1.5）．∵f （0.5）＜f （1）＜f （1.5），∴f （4.5）＜f （7）＜f （6.5）．故选：B ． 【点睛】本题考查了函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题,熟练掌握函数的周期性，单调性，对称性是解题的关键. 5．B 【解析】试题分析：设等比数列的公比为q ，由a 4是2a 2与3a 3的等差中项得2a 2+3a 3=2a 4，解得q=2或21-=q ．又因数列各项为正，所以q=2．于是，数列{}n a 是以1为首项2为公比的等比数列，则312121155=--⨯=)(s ．故选B ． 考点：等比数列基本量运算． 6．C 【解析】试题分析：由图像可知，点A 、C 的横坐标的差为π，所以21241T 41=∴=⋅=ωπωππ，，所以排除答案B 、D ．将点B （0，1）的坐标代入答案A 、C 中验证知，选项C 符合题意，故选C ．考点：已知三角函数的部分图像求解析式． 7．C 【详解】试题分析：首先根据约束条件，作出可行域，如下图：可知目标函数z x y =+，可知在点(2,1)M 上取得的最大值，故目标函数z x y =+的最大值为3．考点：简单的线性规划． 【方法点睛】一般地，在解决简单线性规划问题时，如果目标函数z Ax By =+，首先，作直线Ay x B=-，并将其在可行区域内进行平移；当0B >时，直线Ay x B=-在可行域内平移时截距越高，目标函数值越大，截距越低，目标函数值越小；当0B <时，直线Ay x B=-在可行域内平移时截距越低，目标函数值越大，截距越高，目标函数值越小． 8．C 【详解】 由sin sin A aB c=及正弦定理得，a a b c b c =∴=，即三角形ABC 为等腰三角形．又由()()3b c a b c a bc +++-=,得222b c a bc +-=，所以由余弦定理得，2221cos 22b c a A bc +-==， 又0A π<<，所以3A π=．综上，三角形为等边三角形. 故选：C ． 9．A 【解析】试题分析：由题意得，双曲线的渐近线的方程为by x a=与圆222x y c +=联立，解得(,)M a b ，与双曲线()222210,0x y a b a b -=>>联立，解得,)N c c ，即22()c a N c c-，直线1MF 与直线ON平行时，即有22b ac =+，即222222()()(2)a c c a a c a +-=-，即32232220c ac a c a +--=，即320002220e e e +--=，设()32222f x x x c =+--，由()()(1)0,0,0,20,30f f f f f <>>>>，所以可得(0e ∈，故选A ．考点：双曲线的标准方程及其简单的几何性质．【方法点晴】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，着重考查了双曲线离心率的求解和两直线平行的条件及其应用，注重了运算能力和转化的思想方法，属于中档试题，本题的解答 中求出双曲线的渐近线，分别与圆的方程和双曲线的方程联立，求解点,M N 的坐标，再与两直线平行的条件----斜率相等，得到方程，注意结合,,a b c 的关系及离心率的公式，转化为函数的零点问题，从而求解离心率的范围． 10．C 【解析】试题分析：不妨设AC 为直角三角形的斜边，则AC 为圆O 的直径，所以0OC OA =+．设B （x，y），所以||MA MB MC ++-OB OC OM -OC OM -OB OM -OA =++=++=）（）（）（222323）（）（-+-=y x ，则可将其看作是单位圆上点B （x ，y ）与点P （2323，）两点间距离，所以当点B 在PO 的延长线与圆的交点时，两点间的距离最大也即||MA MB MC ++最大，且最大值为1223+=+r PO ．故选C ． 考点：向量模长的最值问题．【方法点睛】本题综合性较强，难以找到突破口，所以根据向量特点尽可能的将向量转化到已知向量（或基底）上来．题目中的定点是O 、M ，所以运用向量运算得到||MA MB MC ++=，这时将所求化为只有一个变量（即点B ）．设点B （x ，y ），得到||MA MB MC ++222323）（）（-+-=y x ，然后考查几何意义即可圆外点P （2323，）与圆上点B 两点间的距离问题，从而求出最值．应注意，如何将复杂问题转化为简单问题，难的化为容易的，感受化归思想是数学的灵魂．11．(]0,10 【解析】试题分析：要使函数有意义需有01≥-x lg ，解得100≤<x ，所以函数的定义域为(]0,10． 考点：求函数的定义域．12【解析】试题分析：因为︒︒-︒+︒=︒+︒=︒402014020402060tan tan tan tan )tan(tan ，所以)tan tan (tan tan ︒︒-=︒+︒4020134020，则tan20° +tan40°°tan40°3=．考点：两角和的正切公式的灵活运用． 13．3π 【分析】由()()22a b a b +⋅-=-得2a b ，再根据平面向量的夹角公式可得结果.【详解】由()()22a b a b +⋅-=-，得2222a a b b +⋅-=-， 所以482a b +⋅-=-，即2a b ，所以21cos ,222||||a b a b a b ⋅<>===⨯，又因为,[0,]a b π<>∈，所以,3a b π<>=.故答案为：3π. 【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算律，考查了平面向量的夹角公式，属于基础题. 14．3lg 2k < 【解析】试题分析：∵函数3lg ,2(){3lg(3),2x x f x x x ≥=-<，故函数()f x 在32⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，上是增函数，在32⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，上是减函数．故当32x =时，()f x 有最小值为3lg 2．由题意可得，函数()f x 的图象与直线y k =无交点，∴3lg2k <．故实数k 的取值范围是3lg 2k <． 考点：1．函数零点；2．函数的单调性．【思路点睛】本题考查函数零点的定义，函数的单调性以及最小值，体现了转化的数学思想，利用函数()f x 的单调性求出函数的最小值，由题意可得，函数()f x 的图象与直线y k =无交点，故只要k 小于()f x 的最小值即可．15【解析】 试题分析：,[0,1]a b ∈，()()()()()2211(,)(1)(1)1111111ab ab a b a b a b S a b a b b a a b a b -+++∴=++--==-++++++，令()()()1,11ab ab T x a b -==++()11ab ab T a b ab-=+++1ab ab -≤()()22211x x x -=+()211x x x -=+，令()f x ()[]21,0,11x x x x -=∈+，可得()()()[]2221',0,11x x x f x x x -+-=∈+，所以()f x 在⎡⎢⎣⎭上单调递增，在⎤⎥⎝⎦上单调递增减；所以()max f x f ==⎝⎭(,)S a b 得最小值为()max 11f x -==． 考点：基本不等式；2．导数在函数单调性中的应用．【思路点睛】首先对(,)S a b 化简，可得()()()1(,)111ab ab S a b a b -=-++，令()()()1,11ab ab T x a b -==++()11ab ab T a b ab-=+++1ab ab -≤()()22211x x x -=+()211x x x -=+，再构造辅助函数()f x ()[]21,0,11x x x x -=∈+，将原问题转化为求函数()f x 在区间[]0,1x ∈的最大值，利用导数求出函数()f x 在区间[]0,1x ∈上的单调性，进而可求出函数()f x 在区间[]0,1x ∈的最大值，即可求出(,)S a b 的最小值．16．（1）1t =；（2）lg 210t -≤≤． 【解析】试题分析：（1）利用换元思想解含有对数的方程，得lg 1t x t ≤≤+，从而求出x 的范围11010+≤≤t t x ．又由已知得10010101==+t t ,10，从而求出t 的值；（2）由⌝p 是⌝q 的必要不充分条件知，p 是q 的充分不必要条件，然后求出对应不等式的解集并利用集合的观点理解充分性、必要性问题，从而得到t 的不等式，进而求解． 试题解析：（1）:q ()()lg lg 10x t x t --+≤⎡⎤⎣⎦，∴lg 1t x t ≤≤+ 解集为{}10100x x A =≤≤，∴1t =（2）设命题p 表示的集合为{}12x x M =<<，设命题q 表示的集合为{}11010t t x x +N =≤≤，由已知，p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，则p 是q 的充分不必要条件，∴N M ≠⊂∴1101102tt +⎧≤⎪⎨≥⎪⎩⇒lg 210t -≤≤ 考点：①解含对数的不等式；②由充分性、必要性求参数范围． 17．（1）3πA =；（2）⎣⎦．【解析】试题分析：（1）由条件m ·（n -p ）=0得，()2cos cosC 0c b a -A +=，然后运用正弦定理进行边化角，得1cos 2A =，从而求解；（2）由（1）得33x ππ-≤≤，然后利用倍角公式及辅助角公式将函数解析式化为1()sin 223f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，最后求出值域即可． 试题解析：（1）因为m ·（n -p ）=0，所以()()()()cos ,cosC 2,2cos cosC 0m n p c b a c b a ⋅-=A ⋅-=-A+= 所以()sinC 2sin cos sin cosC 0-B A+A =，即2sin cos sin 0-B A+B =sin 0B ≠，∴1cos 2A =⇒3πA =（2）函数解析式可化为()21sin cos sin sin sin cos 622f x x x x x x x x π⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭11cos 211sin 2sin 2cos 2sin 2422444423x x x x x π-⎛⎫=+⋅=+-=+- ⎪⎝⎭x ≤A ，3πA =，∴33x ππ-≤≤⇒233x πππ-≤-≤1sin 232x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭⇒21sin 244232x π⎛⎫≤+-≤⎪⎝⎭∴函数()f x 的值域为⎣⎦ 考点：①正弦定理的应用；②三角函数求值域．18．（1）详见解析；（2）1(1)22n n T n +=-+【解析】试题分析：（1）2n n S a n =+，得：1121n n S a n ++=++，可得111221n n n n n a S S a a +++=-=-+，化简可得121n n a a +=-，整理可得112(1)n n a a +-=-，即可证明结论．（2）由（1）得12n n a =-，即•2n n b n =然后再利用错位相减即可求出结果．试题解析：（1）2n n S a n =+，得：1121n n S a n ++=++，∴111221n n n n n a S S a a +++=-=-+，即121n n a a +=-， ∴112(1)n n a a +-=-，∴{}1n a -是以-2为首项，2为公比的等比数列．（2）由（1）得11222n n n a --=-⨯=-，即21nn a =-+， ∴2nn b n =⋅ ∴1212222n n T n =⋅+⋅++⋅① 231212222n n T n +=⋅+⋅++⋅②①- ②得：21112(21)22222(1)2221n n n n n n T n n n +++--=+++-⋅=-⋅=---∴1(1)22n n T n +=-+．考点：1．数列的递推公式；2．错位相减．【方法点睛】针对数列{}n n a b ⋅（其中数列{}{},n n a b 分别是等差数列和等比数列（公比1q ≠）），一般采用错位相减法求和，错位相减的一般步骤是:1．112233...n n n S a b a b a b a b =++++…①；2．等式112233...n n n S a b a b a b a b =++++两边同时乘以等比数列{}n b 的公比，得到112233...n n n qS a b q a b q a b q a b q =++++…②；3．最后①-②，化简即可求出结果．19．（1）b =a +1，c =−a −1；（2）[1,+∞)． 【解析】试题分析：（1）求导可得，f ′(x)=−a x2+bx (a >0)，由题意，f ′(1)=1，得b =a +1，又切点(1,a +c)在直线x −y −2=0上，得1−(a +c)−2=0，可得：c =−a −1．（2）由（1）得g(x)=x −ax −(a +1)lnx +a +1，得g ′(x)=(x−1)(x−a)x 2，令g ′(x)=0，得x =1或x =a ，然后再对a ≥1，0<a <1和0<x <a分类讨论，即可求出结果．试题解析：（1）f ′(x)=−ax 2+bx (a >0)，由题意，f ′(1)=1，得−a +b =1，∴b =a +1，又切点(1,a +c)在直线x −y −2=0上，得1−(a +c)−2=0， 解得：c =−a −1．（2）g(x)=x −ax−blnx −c =x −ax−(a +1)lnx +a +1，∴g ′(x)=1+a x2−a+1x=x 2−(a+1)x+ax 2=(x−1)(x−a)x 2，令g ′(x)=0，得x =1或x =aⅰ）当a ≥1时，由0<x ≤1知，g ′(x)≥0 ∴g(x)在(0,1]上单调递增， ∴g(x)max =g(1)=2， 于是a ≥1符合条件． ⅱ）当0<a <1时，当0<x <a 时，g ′(x)>0；a <x <1时，g ′(x)<0 ∴g(x)在(0,a)上单增，在(a,1)上单减， g(x)max =g(a)>g(1)=2与题意矛盾， ∴0<a <1不符合题意．综上，实数a 的取值范围是[1,+∞)．考点：1．导数的几何意义；2．利用导数研究函数的单调性．20．（1）22143x y +=；（2）134,4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭；（3）()1,0．【解析】试题分析：（1）由椭圆性质离心率得2243a b =，由直线与圆相切得到b =圆方程；（2）设出直线方程并代入椭圆方程得到关于x 的一元二次方程()2222433264120kx k x k +-+-=，并设出点A 、B 的坐标，利用韦达定理得出12122872543x x y y k OA ⋅OB =+=-+，然后利用判别式大于零求出k 的范围，最后函数求值域即可；（3）直线恒过定点问题，常求出直线方程，令参数的系数等于零即可求解．试题解析：（1）由题意知12c e a ==，∴22222214c a b e a a -===，即2243a b =．又b ==∴24a =，23b =． 故椭圆的方程为22143x y += （2）解：由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()4y k x =-由()224143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得，()2222433264120k x k x k +-+-=由()()()22223244364120kk k ∆=--+->得，214k <设()11,x y A ，()22,x y B ，则21223243k x x k +=+，2122641243k x x k -=+ ①∴()()()2221212121244416y y k x k x k x x k x x k =--=-++∴()22222121222264123287141625434343k k x x y y k k k k k k -OA⋅OB =+=+⋅-⋅+=-+++2104k ≤<，∴28787873434k -≤-<-+，∴134,4⎡⎫OA ⋅OB ∈-⎪⎢⎣⎭∴OA ⋅OB 的取值范围是134,4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭． （3）证：B 、E 两点关于x 轴对称，∴()22,x y E -直线AE 的方程为()121112y y y y x x x x +-=--，令0y =得：()112112y x x x x y y -=-+又()114y k x =-，()224y k x =-，∴()121212248x x x x x x x -+=+-由将①代入得：1x =，∴直线AE 与x 轴交于定点()1,0．考点：①求椭圆方程；②向量与椭圆的综合应用；③直线恒过定点问题．【方法点睛】直线与圆锥曲线的综合问题，常将直线方程代入圆锥曲线方程，从而得到关于x （或y ）的一元二次方程，设出交点坐标A （11y x ,）、B （22y x ,），利用韦达定理得出坐标的关系，同时注意判别式大于零求出参数的范围（或者得到关于参数的不等关系），然后将所求转化到参数上来再求解．如本题()22222121222264123287141625434343k k x x y y k k k k k k -OA⋅OB =+=+⋅-⋅+=-+++，然后求值域即可．注意圆锥曲线问题中，常参数多、字母多、运算繁琐，应注意设而不求的思想、整体思想的应用．21．（1）当0a <时()f x 的单调递增区间为()0,+∞；当0a >时，()f x 的单调递增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；()f x 的单调递减区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）证明过程详见解析；（3）不存在满足条件的整数k ，证明过程详见解析． 【解析】试题分析：（1）先求定义域，再求导数，然后由导数大于零、小于零分别求解，并总结结论即可．但注意导函数含有参数a ，所以注意讨论；（2）由点A 、B 的坐标表示出直线的斜率21221121212121ln ln ln ln 1y y x x x x x x k x x x x x x ---+-===----，并化简所要证明的结论，即等价于证明21221211ln x x x x x x x x --<<，然后构造函数法证明不等式；（3）由不等式恒成立求参数问题，常转化为最值问题求解．本题转化为()()ln 120g x x x kx k =--+>，1x >，即求解．试题解析：（1）()1f x a x'=-，0x >， ∴当0a <时，()0f x '>，即()f x 在()0,+∞上是增函数．当0a >时，10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数；1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 在1,a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是减函数．∴综上所述，当0a <时()f x 的单调递增区间为()0,+∞；当0a >时，()f x 的单调递增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()f x 的单调递减区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．（2）当1a =时，()ln 1f x x x =-+，∴21221121212121ln ln ln ln 1y y x x x x x x k x x x x x x ---+-===----，∴2121ln ln 1x x k x x -+=-．要证1211x x k <<+，即证212211ln ln 11x x x x x x -<<-， 因为210x x ->，即证21221211ln x x x x x x x x --<<， 令21x t x =（1t >），即证11ln 1t t t-<<-（1t >）．令()ln 1k t t t =-+（1t >），由（1）知，()k t 在()1,+∞上单调递减，∴()()10k t k <=，即ln 10t t -+<， ∴ln 1t t <-． ①令()1ln 1h t t t =+-（1t >），则()221110t h t t t t'-=-=>， ∴()h t 在()1,+∞上单调递增，∴()()10h t h >=，即1ln 1t t>-（1t >）． ②综①②得11ln 1t t t -<<-（1t >），即1211x x k <<+． （3）由已知()221f x ax k x ⎛⎫+->-⎪⎝⎭，即为()()ln 12x x k x ->-，1x >， 即()ln 120x x kx k --+>，1x >．令()()ln 12g x x x kx k =--+，1x >，则()ln g x x k ='-． 当0k ≤时，()0g x '>，故()g x 在()1,+∞上是增函数， 由()11210g k k k =--+=->，则1k >，矛盾，舍去．当0k >时，由ln 0x k ->解得k x e >，由ln 0x k -<解得1k x e <<，故()g x 在()1,ke上是减函数，在(),ke +∞上是增函数，∴()()min 2k k g x g e k e ==-．即讨论()min 20kg x k e =->（0k >）恒成立，求k 的最小值．令()2th t t e =-，则()2th t e '=-，当20t e ->，即ln 2t <时，()h t 单调递增， 当20t e -<，即ln 2t >时，()h t 单调递减，∴ln 2t =时，()()max ln 22ln 22h t h ==-．1ln 22<<， ∴02ln 222<-<．又()120h e =-<，()2240h e =-<，∴不存在整数k 使20k k e ->成立．综上所述，不存在满足条件的整数k ．考点：①求含参数的函数的单调区间；②证明不等式；③由不等式恒成立求参数范围（或值）． 【方法点睛】对于含双变量的不等式证明问题，题目中变量（）之间的关系，一般选取为主元，将，，，，建立关于t 的函数，用函数思想建立数量关系，利用导数这个重要工具去研究．本题：要证1211x x k <<+，即证212211ln ln 11x x x x x x -<<-， 因为210x x ->，即证21221211ln x x x x x x x x --<<，令21x t x =（1t >），即证11ln 1t t t-<<-（1t >），从而将问题转化为关于t 的不等式证明．应在实践中应用并体会这种思想、方法．。