高中数学第二章函数2.1.4函数的奇偶性学案新人教B版必修1

12/13/2021
知识点二 已知函数的奇偶性求值
3．设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 y＝f(x)的图象关于直
线 x＝12对称，则 f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)的值为( )
A．0
B．1
C．2
D．－1
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解析：A 由题可知 f(0)＝0，∴f(1)＝f(0)＝0， f(2)＝f(－1)＝－f(1)＝0， f(3)＝f(－2)＝－f(2)＝0， f(4)＝f(－3)＝－f(3)＝0， f(5)＝f(－4)＝－f(4)＝0， ∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝0，故选 A．
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2．下列函数既是偶函数，又在区间(－∞，0)上为增函数的
是( )
A．y＝－2x
B．y＝－2x
C．y＝－x2
D．y＝|x|
答案：C

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3．已知 f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且 f(－2)＝10，那么 f(2)等
于( )
A．－26
B．－18
C．－10
D．10
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知识点一 判定函数的奇偶性
1．下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的为
() A．y＝x＋1
B．y＝－x3
C．y＝－1x
D．y＝x|x|
解析：D y＝－x3，y＝－1x，y＝x|x|是奇函数，
y＝x|x|在 R 上是增函数，故选 D．
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2．下列判断正确的是( )
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11．f(x)为奇函数，当 x>0 时，f(x)＝x|x－2|，求 x<0 时，f(x) 的表达式．

函数的奇偶性教案一、教学重点1.函数奇偶性的定义及性质2.函数奇偶性的判断与证明二、教学难点1.函数奇偶性的判断与证明2.奇函数偶函数性质的证明三、教学目标1.通过探究过程总结概括函数奇偶性的定义2.灵活运用奇偶函数的性质3.学会用定义判断证明函数的奇偶性四、教学方法传统板书教学与t教学相结合，几何画板演示法，创设情境导入法五、教学过程（一）情境创设师：上节课我们从函数图像上升及下降的变化趋势研究了函数的单调性，那么今天我们将从函数图像的另一个角度去继续探究函数的另一个性质——奇偶性师：通过学生熟悉的伸展运动及太极八卦图，让学生观察并回忆这两幅图有什么特点？在初中已有的知识里把这样的图像叫什么？生：从几何角度来看，第一幅图是轴对称图形，以一条直线为对称轴，第二幅图是中心对称图形，以一个点作180°旋转重合，以一个点为对称中心师：在坐标系中的函数图像是否也具有这样的对称性的？生：观察函数y=x2与y=x3的图像，总结特征结论：y=x2图像关于轴对称，y=x3的图像关于原点对称师：如何用函数中的数学语言来科学严谨的描述这样的性质呢？（二）探究总结，形成概念1.老师带领学生通过赋特殊值观察函数y=x2自变量与函数值之间的关系，再利用几何画板动态演示为学生呈现直观的函数值与自变量之间的关系变化，会发现当自变量在定义域内任取相反数时都有f(−x)=f(x)2.学生依照上述探究方法，对函数y=x3自主探讨，总结自变量与函数值的关系：对定义域内的任意自变量,都有f(−x)=−f(x)3.通过上述讨论探究，师生共同整理总结得出函数奇偶性的定义：奇函数：如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x,都有f(−x)=−f(x),则称f(x)为奇函数偶函数：如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x,都有f(−x)=f(x),则称f(x)为偶函数4.通过函数奇偶性的定义给出几点说明（1）如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就说函数f(x)具有奇偶性2 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的先决条件（3）奇、偶函数定义的逆命题也成立，即：若函数f(x)为奇函数, 则f(−x)=－f(x)成立若函数f(x)为偶函数, 则f(−x)= f(x)成立（4）函数的奇偶性与最值都是在整个定义域上的性质，是“整体性质”，而函数的单调性是在函数定义域或其子集上的性质，是“局部”性质．5 通过定义及图像总结奇函数与偶函数的性质（三）函数的奇偶性应用1课堂练习: 说出下列函数的奇偶性:①f=4_______ ②f= -1__________③f= ________ ④f= -2__________⑤f=5________ ⑥f= -3_______________对于形如f(x)=x n n∈Z的函数，在定义域R内:若n为偶数，则它为偶函数,若n为奇数，则它为奇函数。

必修1函数复习 学案知识点解读：1、函数的定义、表示法：2、单调性：会用定义判断或证明函数的单调性 3、奇偶性：（1）奇函数在x=0时有定义，则必有f （0）=0 （2）偶函数f （x ）必有f （-x ）=f （x ）= f （︱x ︱） （3）会用定义证明、判断函数的奇偶性4、反函数：基础达标：1、设集合A 和集合B 都是自然数集合N ，映射B A f →:把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素n n+2，则在映射f 下，象20的原象是 （A ）2（B ）3（C ）4（D ）52、函数xx x f -+=11)(的定义域为A ，函数)]([x f f y =的定义域为B ，则（A ）B B A = （B ）B A ⊆ （C ）B B A =（D ）B A =3、若函数)(x f 的图象经过)1,0(-，那么)4(+x f 的反函数图象经过点 (A))1,4(-(B))4,1(--(C))1,4(--(D))4,1(-4、已知函数)(x f y =的反函数)(1x f-的定义域为]1,0[，那么函数))((R m m x f y ∈+=的值域是（A ）]1,[m m -- （B ）]0,1[- （C ）]1,0[ （D ）R5、已知函数1)()(32+-+=x a a ax x f 在]1,(--∞上递增，则a 的取值范围是 （A ）3≤a （B ）33≤≤-a （C ）30≤<a （D ）03<≤-a6、已知二次函数c x b a ax x f +++=)()(22的图像开口向上，且1)0(=f ，0)1(=f ，则实数b 取值范围是 (A) ]43,(--∞ (B) )0,43[-(C) ),0[+∞ (D) )1,(--∞参考答案1.C2.B3.B4.C5.D6.D能力提高：1．设()124+-=x x x f ，则()=-01f________2．函数),(1R x mx y ∈+=与)(2R n n x y ∈-=互为反函数的充要条件是___________3．若点)41,2(既在函数bax y +=2的图象上，又在它的反函数的图象上，则a =__________________，b =_________________。

2.1.4 函数的奇偶性整体设计教学分析本节讨论函数的奇偶性是描述函数整体性质的．教材沿用了处理函数单调性的方法，即先给出几个特殊函数的图象，让学生通过图象直观获得函数奇偶性的认识，然后利用表格探究数量变化特征，通过代数运算，验证发现的数量特征对定义域中的“任意”值都成立，最后在这个基础上建立了奇(偶)函数的概念．因此教学时，充分利用信息技术创设教学情境，会使数与形的结合更加自然．三维目标1．理解函数的奇偶性及其几何意义，培养学生观察、抽象的能力，以及从特殊到一般的概括、归纳问题的能力．2．学会运用函数图象理解和研究函数的性质，掌握判断函数的奇偶性的方法，渗透数形结合的数学思想．重点难点教学重点：函数的奇偶性及其几何意义．教学难点：判断函数的奇偶性的方法与书写过程格式．课时安排1课时教学过程导入新课思路 1.同学们，我们生活在美的世界中，有过许多对美的感受，请大家想一下有哪些美呢？(学生回答可能有和谐美、自然美、对称美……)今天，我们就来讨论对称美，请大家想一下哪些事物给过你对称美的感觉呢？(学生举例，再在屏幕上给出一组图片：喜字、蝴蝶、建筑物、麦当劳的标志)生活中的美引入我们的数学领域中，它又是怎样的情况呢？下面，我们以麦当劳的标志为例，给它适当地建立直角坐标系，那么大家发现了什么特点呢？(学生发现：图象关于y轴对称．)数学中对称的形式也很多，这节课我们就同学们谈到的与y轴对称的函数展开研究．思路2.结合轴对称与中心对称图形的定义，请同学们观察图形，说出函数y＝x2和y＝x3的图象各有怎样的对称性？引出课题：函数的奇偶性．推进新课新知探究提出问题①如下图所示，观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性．②那么如何利用函数的解析式描述函数的图象关于y轴对称呢？填写下面两表，你发现这两个函数的解析式具有什么共同特征？③请给出偶函数的定义？ ④偶函数的图象有什么特征？⑤函数f(x)＝x 2，x∈[－1,2]是偶函数吗？ ⑥偶函数的定义域有什么特征？⑦观察函数f(x)＝x 和f(x)＝1x 的图象，类比偶函数的推导过程，给出奇函数的定义和性质？活动：教师从以下几点引导学生： ①观察图象的对称性．②学生给出这两个函数的解析式具有什么共同特征后，教师指出：这样的函数称为偶函数．③利用函数的解析式来描述．④偶函数的性质：图象关于y 轴对称．⑤函数f(x)＝x 2，x∈[－1,2]的图象关于y 轴不对称；对定义域[－1,2]内x ＝2，f(－2)不存在，即其函数的定义域中任意一个x 的相反数－x 不一定也在定义域内，即f(－x)＝f(x)不恒成立．⑥偶函数的定义域中任意一个x 的相反数－x 一定也在定义域内，此时称函数的定义域关于原点对称．⑦先判断它们的图象的共同特征是关于原点对称，再列表格观察自变量互为相反数时，函数值的变化情况，进而抽象出奇函数的概念，再讨论奇函数的性质．给出偶函数和奇函数的定义后，要指明：(1)函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；(2)由函数的奇偶性定义，可知函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)；(3)具有奇偶性的函数的图象的特征：偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称；(4)可以利用图象判断函数的奇偶性，这种方法称为图象法，也可以利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性，这种方法称为定义法；(5)函数的奇偶性是函数在定义域上的性质是“整体”性质，而函数的单调性是函数在定义域的子集上的性质是“局部”性质．讨论结果：①这两个函数之间的图象都关于y 轴对称． ②填表如下．x －3 －2 －1 0 1 2 3f(x)＝3 2 1 0 1 2 3|x|这两个函数的解析式都满足：f(－3)＝f(3)；f(－2)＝f(2)；f(－1)＝f(1)．可以发现对于函数定义域内任意的两个相反数，它们对应的函数值相等，也就是说对于函数定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)．③设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且g(－x)＝g(x)，则这个函数叫做偶函数．④偶函数的图象关于y轴对称．⑤不是偶函数．⑥偶函数的定义域关于原点轴对称．⑦设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则这个函数叫做奇函数．奇函数的图象关于原点中心对称，其定义域关于原点轴对称．应用示例思路1例1判断下列函数是否具有奇偶性：(1)f(x)＝x＋x3＋x5；(2)f(x)＝x2＋1；(3)f(x)＝x＋1；(4)f(x)＝x2，x∈[－1,3]．解：(1)函数f(x)＝x＋x3＋x5的定义域为R，当x∈R时，－x∈R.因为f(－x)＝－x－x3－x5＝－(x＋x3＋x5)＝－f(x)，所以函数f(x)＝x＋x3＋x5是奇函数．(2)函数f(x)＝x2＋1的定义域为R，当x∈R时，－x∈R.因为f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝f(x)，所以f(x)＝x2＋1是偶函数．(3)函数f(x)＝x＋1的定义域是R，当x∈R时，－x∈R.因为f(－x)＝－x＋1＝－(x－1)，－f(x)＝－(x＋1)，所以f(－x)≠－f(x)，f(－x)≠f(x)．因此，f(x)＝x＋1既不是奇函数也不是偶函数．(4)因为函数的定义域关于原点不对称，存在3∈[－1,3]，而－3[－1,3]，所以f(x)＝x2，x∈[－1,3]既不是奇函数也不是偶函数．点评：在奇函数与偶函数的定义中，都要求x∈D，－x∈D，这就是说，一个函数不论是奇函数还是偶函数，它的定义域都一定关于坐标原点对称．如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称，那么这个函数就失去了是奇函数或是偶函数的前提条件，即这个函数既不是奇函数也不是偶函数．函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，对定义域内任意x，其相反数－x 也在函数的定义域内，此时称为定义域关于原点对称．利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；②确定f(－x)与f(x)的关系．③作出相应结论：若f(－x)＝f(x)或f(－x)－f(x)＝0，则f(x)是偶函数；若f(－x)＝－f(x)或f(－x)＋f(x)＝0，则f(x)是奇函数.例2研究函数y＝1x2的性质并作出它的图象．解：已知函数的定义域是x≠0的实数集，即{x∈R|x≠0}．由函数的解析式可以推知：对任意的x值，对应的函数值y＞0，函数的图象在x轴的上方；函数的图象在x＝0处断开，函数的图象被分为两部分，且f(－x)＝f(x)，这个函数为偶函数；当x的绝对值变小时，函数值增大得非常快，当x的绝对值变大时，函数的图象向x轴的两个方向上靠近x轴．由以上分析，以x＝0为中心，在x轴的两个方向上对称地选取若干个自变量的值，计算出对应的y值，列出x，y的对应值表：在直角坐标系中，描点、连成光滑曲线，就得到这个函数的图象，如下图所示．由图象可以看出，这个函数在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数．点评：当函数y ＝f(x)不是基本初等函数时，通常利用其性质来画其图象，即根据函数思路2例1判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝x 2，x∈[－1,2]； (2)f(x)＝x 3－x2x －1；(3)f(x)＝x 2－4＋4－x 2. 活动：学生思考奇偶函数的定义和函数的定义域的求法．先判断函数的定义域是否关于原点对称，再判断f(－x)与f(x)的关系．在(4)中注意定义域的求法，对任意x∈R ，有1＋x 2＞x 2＝|x|≥－x ，则1＋x 2＋x ＞0.则函数的定义域是R .解：(1)因为它的定义域[－1,2]不关于原点对称，函数f(x)＝x 2，x∈[－1,2]既不是奇函数又不是偶函数．(2)因为它的定义域为{x|x∈R 且x≠1}，并不关于原点对称，函数f(x)＝x 3－x2x －1既不是奇函数又不是偶函数．(3)∵x 2－4≥0且4－x 2≥0， ∴x＝±2，即f(x)的定义域是{－2,2}． ∵f(2)＝0，f(－2)＝0，∴f(2)＝f(－2)，f(2)＝－f(2)．∴f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(x)． ∴f(x)既是奇函数也是偶函数． 点评：本题主要考查函数的奇偶性．定义法判断函数奇偶性的步骤是(1)求函数的定义域，当定义域关于原点不对称时，则此函数既不是奇函数也不是偶函数，当定义域关于原点对称时，判断f(－x)与f(x)或－f(x)是否相等；(2)当f(－x)＝f(x)时，此函数是偶函数；当f(－x)＝－f(x)时，此函数是奇函数；(3)当f(－x)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)时，此函数既是奇函数又是偶函数.例2已知函数f(x)的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x 1、x 2都有f(x 1·x 2)＝f(x 1)＋f(x 2)，且当x ＞1时f(x)＞0，f(2)＝1，(1)求证：f(x)是偶函数；(2)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；(3)试比较f(－52)与f(74)的大小．分析：(1)转化为证明f(－x)＝f(x)，利用赋值法证明f(－x)＝f(x)；(2)利用定义法证明单调性，证明函数单调性的步骤是“去比赛”；(3)利用函数的单调性比较它们的大小，利用函数的奇偶性，将函数值f(－52)和f(74)转化为同一个单调区间上的函数值．(1)证明：令x 1＝x 2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.令x 1＝x 2＝－1，得f(1)＝f[－1×(－1)]＝f(－1)＋f(－1)，∴2f(－1)＝0. ∴f(－1)＝0.∴f(－x)＝f(－1·x)＝f(－1)＋f(x)＝f(x)． ∴f(x)是偶函数．(2)证明：设x 2＞x 1＞0，则f(x 2)－f(x 1)＝f(x 1·x 2x 1)－f(x 1)＝f(x 1)＋f(x 2x 1)－f(x 1)＝f(x 2x 1)．∵x 2＞x 1＞0，∴x 2x 1＞1.∴f(x 2x 1)＞0，即f(x 2)－f(x 1)＞0.∴f(x 2)＞f(x 1)．∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．(3)解：由(1)知f(x)是偶函数，则有f(－52)＝f(52)．由(2)知f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则f(52)＞f(74)．∴f(－52)＞f(74)．点评：本题是抽象函数问题，主要考查函数的奇偶性和单调性及其综合应用．判断抽象函数的奇偶性和单调性通常应用定义法，比较抽象函数值的大小通常利用抽象函数的单调性来比较．其关键是将所给的关系式进行有效的变形和恰当的赋值.知能训练1．设函数y ＝f(x)是奇函数．若f(－2)＋f(－1)－3＝f(1)＋f(2)＋3，则f(1)＋f(2)＝__________.解析：∵函数y ＝f(x)是奇函数，∴f(－2)＝－f(2)，f(－1)＝－f(1)．∴－f(2)－f(1)－3＝f(1)＋f(2)＋3.∴2[f(1)＋f(2)]＝－6.∴f(1)＋f(2)＝－3. 答案：－32．f(x)＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，定义域为[a －1,2a]，则a ＝__________，b ＝__________.解析：∵偶函数定义域关于原点对称，∴a－1＋2a ＝0.∴a＝13.∴f(x)＝13x 2＋bx ＋1＋b.又∵f(x)是偶函数，∴b＝0.答案：133．已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x ＋2)＝－f(x)，则f(6)的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 解析：f(6)＝f(4＋2)＝－f(4)＝－f(2＋2)＝f(2)＝f(2＋0)＝－f(0)．又f(x)是定义在R 上的奇函数，∴f(0)＝0.∴f(6)＝0. 答案：B 拓展提升问题：利用图象讨论基本初等函数的奇偶性．探究：利用判断函数的奇偶性的方法：图象法，可得 正比例函数y ＝kx(k≠0)是奇函数； 反比例函数y ＝kx(k≠0)是奇函数；一次函数y ＝kx ＋b(k≠0)，当b ＝0时是奇函数，当b≠0时既不是奇函数也不是偶函数；二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)，当b ＝0时是偶函数，当b≠0时既不是奇函数也不是偶函数．课堂小结本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称．作业课本本节练习B 1、2.设计感想 单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，而本节设计的题目不多，因此，在实际教学中，教师可以利用课余时间补充，让学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质．在教学设计中，注意培养学生的综合应用能力，以便满足高考要求．备课资料 奇、偶函数的性质(1)奇偶函数的定义域关于原点对称；奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称．(2)奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立．(3)f(－x)＝f(x) ⇔f(x)是偶函数，f(－x)＝－f(x) ⇔f(x)是奇函数．(4)f(－x)＝f(x) ⇔f(x)－f(－x)＝0，f(－x)＝－f(x) ⇔f(x)＋f(－x)＝0. (5)两个奇函数的和(差)仍是奇函数，两个偶函数的和(差)仍是偶函数．奇偶性相同的两个函数的积(商、分母不为零)为偶函数，奇偶性相反的两个函数的积(商、分母不为零)为奇函数；如果函数y ＝f(x)和y ＝g(x)的奇偶性相同，那么复合函数y ＝f[g(x)]是偶函数，如果函数y ＝f(x)和y ＝g(x)的奇偶性相反，那么复合函数y ＝f[g(x)]是奇函数，简称为“同偶异奇”．(6)如果函数y ＝f(x)是奇函数，那么f(x)在区间(a ，b)和(－b ，－a)上具有相同的单调性；如果函数y ＝f(x)是偶函数，那么f(x)在区间(a ，b)和(－b ，－a)上具有相反的单调性．(7)定义域关于原点对称的任意函数f(x)可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和，即f(x)＝f(x)－f(－x)2＋f(x)＋f(－x)2.(8)若f(x)是(－a ，a)(a ＞0)上的奇函数，则f(0)＝0；若函数f(x)是偶函数，则f(x)＝f(－x)＝f(|x|)＝f(－|x|)； 若函数y ＝f(x)既是奇函数又是偶函数，则有f(x)＝0.。