高中数学必修四学案：2.3向量的坐标表示 Word版缺答案

2．3．2 向量的坐标表示（2）【学习目标】1、 进一步掌握向量的坐标表示；2、 理解向量平行坐标表示的推导过程；3、 提高运用向量的坐标表示解决问题的能力。

【预习指导】1、 向量平行的线性表示是_____________________________2、向量平行的坐标表示是：设),(11y x = ，))(,(22≠=y x ，如果∥ ，那么_________________，反之也成立。

3、已知A ，B ，C ，O 四点满足条件：OC OB OA =+βα ，当1=+βα ，则能得到 ________________________________________【典型例题选讲】例1：已知A （)0,1- ，)1,3(-B ,)2,1(C ,并且BC BF AC AE 31,31== ,求证：∥AB 。

例2：已知)1,2(,)0,1(==b a ，当实数k 为何值时，向量k -与3+平行？并确定此时它们是同向还是反向。

例3：已知点O , A , B , C , 的坐标分别为（0，0），（3，4），（－1，2），（1，1），是否存在常数t ，OC OB t OA =+成立？解释你所得结论的几何意义。

【课堂练习】1. 已知),,6(),3,2(y b a ==且∥，求实数y 的值。

2. 已知，平行四边形ABCD 的三个顶点的坐标分别为A (2, 1)， B (－1,3) ，C (3,4)， 求第四个顶点的D 坐标。

3. 已知A (0, －2)，B (2, 2)，C (3, 4)，求证：A ，B ，C 三点共线。

4. 已知向量)4,3(--=，求与向量同方向的单位向量。

5. 若两个向量)4,(,),1(x x -=-=方向相同，求b a 2-。

【课堂小结】。

第1课时平面向量根本定理问题1：在物理中 ,我们学习了力的分解 ,即一个力可以分解为两个不同方向的力 ,试想平面内的任一向量是否可以分解为其他两个向量的和 ?提示：可以．问题2：如图 ,以a为平行四边形一条对角线作平行四边形 ,四边形确定吗 ?提示：不确定．问题3：如图 ,向量e1、e2、a,仍以a为平行四边形一条对角线且平行四边形相邻边所在直线平行于e1和e2 ,这样的平行四边形唯一吗 ?你能作出来吗 ?提示：唯一 ,作法为：将a,e1,e2均平移到同一个起点O,且令e1＝OA ,e2＝OB ,然后过C点分别作OA与OB 的平行线 ,交OB ,OA的延长线于N ,M点 ,那么OMCN为所作平行四边形．问题4：根据问题2的作图过程 ,你认为如何用e1和e2表示a?提示：因OM＝λ1e1 ,ON＝λ2e2 ,OC＝OM＋ON ,那么a＝λ1e1＋λ2e2 ,λ1、λ2是常数．1．平面向量根本定理如果e1 ,e2是同一平面内两个不共线的向量 ,那么对于这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数λ1 ,λ2 ,使a＝λ1e1＋λ2e2.2．基底不共线的向量e 1 ,e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 3．正交分解一个平面向量用一组基底e 1、e 2表示成a ＝λ1e 1＋λ2e 2的形式 ,我们称它为向量的分解．当e 1、e 2互相垂直时 ,就称为向量的正交分解．1．定理中 ,要求作为基底的两个向量e 1 ,e 2不共线 ,即作为基底的向量一定是非零向量．因此 ,只要是同一平面内的两个不共线的向量都可以作为基底．2．平面向量根本定理中 ,实数λ1 ,λ2的唯一性是相对于基底e 1 ,e 2而言的．一旦选定一组基底 ,那么给定向量沿着基底的分解是唯一的．[例1] 假设向量a ,b 不共线 ,且c ＝2a －b ,d ＝3a －2b ,试判断c ,d 能否作为基底． [思路点拨] 要判断c ,d 能否作为基底 ,只需看c ,d 是否共线 ,假设共线 ,那么不能作为基底；否那么可以作为基底．[精解详析] 设存在实数λ使得c ＝λd ,那么2a －b ＝λ(3a －2b ) ,即(2－3λ)a ＋(2λ－1)b ＝0.由于a ,b 不共线 ,从而2－3λ＝2λ－1＝0 ,这样的λ是不存在的 ,从而c ,d 不共线 ,故c ,d 能作为基底．[一点通] 基底具备两个主要特征： (1)基底是两个不共线向量； (2)基底的选择是不唯一的．1．e 1 ,e 2是表示平面内所有向量的一组基底 ,那么以下各组向量中 ,不能作为一组基底的序号是________．①e 1＋e 2 ,e 1－e 2 ②3e 1－2e 2,4e 2－6e 1 ③e 1＋2e 2 ,e 2＋2e 1 ④e 2 ,e 1＋e 2 ⑤2e 1－15e 2 ,e 1－110e 2解析：由题意 ,知e 1 ,e 2不共线 ,易知②中 ,4e 2－6e 1＝－2(3e 1－2e 2) ,即3e 1－2e 2与4e 2－6e 1共线 ,∴②不能作基底．⑤中 ,2e 1－15e 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫e 1－110e 2 , ∴2e 1－15e 2与e 1－110e 2共线不能作基底．答案：②⑤2．如果e 1 ,e 2是平面α内所有向量的一组基底 ,λ ,μ是实数 ,那么以下说法正确的有________．①假设λ ,μ满足λe 1＋μe 2＝0 ,那么λ＝μ＝0；②对于平面α内任意一个向量a ,使得a ＝λe 1＋μe 2成立的实数λ ,μ有无数对； ③线性组合λe 1＋μe 2可以表示平面α内的所有向量； ④当λ ,μ取不同的值时 ,向量λe 1＋μe 2可能表示同一向量．解析：①正确．假设λ≠0 ,那么e 1＝－μλe 2 ,从而向量e 1 ,e 2共线 ,这与e 1 ,e 2不共线相矛盾 ,同理可说明μ＝0.②不正确．由平面向量根本定理可知λ ,μ唯一确定．③正确．平面α内的任一向量a 可表示成λe 1＋μe 2的形式 ,反之也成立；④不正确 ,结合向量加法的平行四边形法那么易知 ,只有当λe 1和μe 2确定后 ,其和向量λe 1＋μe 2才唯一确定．答案：①③[例2] 如图 ,在平行四边形ABCD 中 ,M 、N 分别为DC 、BC 的中点 ,AM ＝c ,AN ＝d ,试用c ,d 表示AB 和AD .[思路点拨] 此题要求用c ,d 表示AB 和AD ,所以可以将c ,d 看做基底 ,也就变成了用基底表示AB 和AD 两个向量．[精解详析] 设AB ＝a ,AD ＝b ,那么由M 、N 分别为DC 、BC 的中点 ,得BN ―→＝12b ,DM＝12a . 在△ABN 和△ADM 中 ,⎩⎪⎨⎪⎧a ＋12b ＝d b ＋12a ＝c解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝232d －c b ＝232c －d即AB ＝43d －23c ,AD ＝43c －23d .[一点通] (1)假设题目中已给出了基底 ,求解此类问题时 ,常利用向量加法三角形法那么或平行四边形法那么 ,结合数乘运算找到所求向量与基底的关系．(2)假设题目中没有给出基底 ,常结合条件先寻找一组从同一点出发的两不共线向量作为基底 ,而后再寻找所求向量与基底的关系．3．ABCDEF 是正六边形 ,且AB ＝a ,AE ＝b ,那么BC ＝________. 解析：AD ＝AE ＋ED ＝AE ＋AB ＝b ＋a , 又AD ＝2BC ,∴BC ＝12(a ＋b )．答案：12(a ＋b )4.如下图 ,△ABC 中 ,假设D 、E 、F 依次是AB 的四等分点 ,那么以CB ＝e 1 ,CA ＝e 2为基底时 ,CF ＝________.解析：CB ＝e 1 ,CA ＝e 2 , ∴AB ＝e 1－e 2.∵AF ＝34AB ,∴AF ＝34(e 1－e 2)．∴CF ＝CA ＋AF ＝e 2＋34(e 1－e 2)＝34e 1＋14e 2.答案：34e 1＋14e 25.如下图 ,在△OAB 中 ,OA ＝a ,OB ＝b ,M ,N 分别是边OA ,OB 上的点 ,且OM ＝13a ,ON ＝12b ,设AN 与BM 交于点P ,用向量a ,b 表示OP .解：∵OP ＝OM ＋MP ,OP ＝ON ＋NP , 设MP ＝m MB ,NP ＝n NA , 那么OP ＝OM ＋m MB＝OM ＋m (OB －OM )＝(1－m )OM ＋m OB ＝13(1－m )a ＋m bOP ＝ON ＋n NA＝ON ＋n (OA －ON )＝(1－n )ON ＋n OA ＝12(1－n )b ＋n a .∵a 与b 不共线 , ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 131－m ＝n121－n ＝m⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝25 n ＝15∴OP ＝15a ＋25b .[例3] 如图 ,△ABC 中 ,D 为BC 的中点 ,G 为AD 的中点 ,过点G 任作一直线MN 分别交AB 、AC 于M 、N 两点 ,假设AM ＝x AB ,AN ＝y AC ,试问：1x ＋1y是否为定值 ?[思路点拨] (1)选取基向量AB ＝a ,AC ＝b ； (2)利用平面向量根本定理表示MG 、MN ； (3)利用MG 、MN 共线可得结论． [精解详析] 设AB ＝a ,AC ＝b , 那么AM ＝x a ,AN ＝y b ,AG ＝12AD ＝14(AB ＋AC )＝14(a ＋b )．∴MG ＝AG －AM ＝14(a ＋b )－x a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14－x a ＋14b ,MN ＝AN －AM ＝y b －x a ＝－x a ＋y b .∵MG 与MN 共线 ,∴存在实数λ ,使MG ＝λMN .∴⎝ ⎛⎭⎪⎫14－x a ＋14b ＝λ(－x a ＋y b )＝－λx a ＋λy b .∵a 与b 不共线 ,∴⎩⎪⎨⎪⎧14－x ＝－λx14＝λy .消去λ ,得1x ＋1y ＝4 ,∴1x ＋1y为定值．[一点通] 利用平面向量根本定理和共线向量定理 ,引入参数解决问题是常考的热点题型 ,要注意合理地选择基底及构造向量共线 ,从而结合方程思想解决问题．6．在△ABC 中 ,D 是AB 边上一点 ,假设AD ＝2DB ,CD ＝13CA ＋λCB ,那么λ＝________.解析：∵AD ＝2DB ,∴CD ＝CA ＋AD ＝CA ＋23AB ＝CA ＋23(CB －CA )＝13CA ＋23CB .又∵CD ＝13CA＋λCB ,∴λ＝23.答案：237．向量e 1 ,e 2是平面α内所有向量的一组基底 ,且a ＝e 1＋e 2 ,b ＝3e 1－2e 2 ,c ＝2e 1＋3e 2 ,假设c ＝λa ＋μb (λ ,μ∈R ) ,试求λ ,μ的值．解：将a ＝e 1＋e 2与b ＝3e 1－2e 2代入c ＝λa ＋μb 得c ＝λ(e 1＋e 2)＋μ(3e 1－2e 2)＝(λ＋3μ)e 1＋(λ－2μ)e 2.因为c ＝2e 1＋3e 2 ,且向量e 1 ,e 2是平面α内所有向量的一组基底 ,根据平面向量根本定理中的唯一性可得方程组⎩⎪⎨⎪⎧λ＋3μ＝2 λ－2μ＝3 解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝135μ＝－15.1．理解平面向量根本定理应注意以下几点 (1)e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量； (2)基底的选取不唯一；(3)该平面内的任意向量a 都可用e 1、e 2线性表示 ,且这种表示是唯一的．即：假设a 可用基底e 1、e 2分别表示为a ＝λ1e 1＋μ1e 2 ,a ＝λ2e 1＋μ2e 2 ,那么λ1＝λ2 ,μ1＝μ2.2．应用平面向量根本定理解题的一般步骤 (1)选定基底； (2)进行向量间的运算；(3)结合有关向量定理、推论对(2)中结果进行分析、比照 ,从而得出问题的结论．课下能力提升(十七)一、填空题1．设O 是平行四边形ABCD 的两条对角线AC 与BD 的交点 ,有以下向量组：①AD 与AB ；②DA 与BC ；③CA 与DC ；④OD 与OB .其中可作为这个平行四边形所在平面内其他所有向量的基底的是________．解析：如下图 ,AD 与AB 为不共线向量 ,可以作为基底．CA 与DC 为不共线向量 ,可以作为基底．DA 与BC ,OD 与OB 均为共线向量 ,不能作为基底．答案：①③2．向量a 和b 不共线 ,实数x ,y 满足向量等式(2x －y )a ＋4b ＝5a ＋(x －2y )b ,那么x ＋y 的值等于________．解析：由平面向量根本定理得⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝54＝x －2y解得⎩⎨⎧x ＝2y ＝－1.∴x ＋y ＝1. 答案：13．▱ABCD 中 ,BP ＝23BC ,假设AB ＝a ,BC ＝b ,那么PD ＝________.解析：如下图 ,PD ＝PC ＋CD ＝13BC ＋CD ＝13b －AB ＝13b －a .答案：13b －a4．点M 是△ABC 所在平面内的一点 ,且满足AM ＝34AB ＋14AC ,那么△ABM 与△ABC 的面积之比为________．解析：如图 ,分别在AB ,AC 上取点E ,F ,使AE ＝34AB ,AF ＝14AC ,在BC 上取点G ,使BG ＝14BC ,那么EG ∥AC ,FG ∥AE , ∴AG ＝AE ＋AF ＝AM , ∴M 与G 重合 ,∴S △ABM S △ABC ＝BM BC ＝14. 答案：145．在平行四边形ABCD 中 ,AE ＝13AB ,AF ＝14AD ,CE 与BF 相交于G 点．假设AB ＝a ,AD ＝b ,那么AG ＝________(用a ,b 表示)．解析：如下图 ,∵B ,G ,F 三点共 线 ,∴AG ＝λAF ＋(1－λ)AB ＝ 14λb ＋(1－λ)a . ∵E ,G ,C 三点共线 ,∴AG ＝μAE ＋(1－μ)AC ＝13μ a ＋(1－μ)(a ＋b )．由平面向量根本定理得 ,⎩⎪⎨⎪⎧ λ4＝1－μ1－λ＝1－23μ ∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝47 μ＝67∴AG ＝37a ＋17b .答案：37a ＋17b二、解答题6．△ABC 中 ,AE ＝15AB ,EF ∥BC ,交AC 于点F .设AB ＝a ,AC ＝b ,试用a ,b 表示BF .解：依题意作图 ,如下图． 因为AE ＝15AB ,EF ∥BC ,所以EF ＝15BC .所以BF ＝BE ＋EF ＝BE ＋15BC ＝－45AB ＋15(AC －AB )＝－AB ＋15AC ＝－a ＋15b . 7.如图 ,平面内有三个向量OA ,OB ,OC , 其中OA 与OB 的夹角为120° ,OA 与OC 的夹角为30° ,且|OA |＝|OB |＝1 ,|OC |＝2 3 ,OC ＝λOA ＋μOB (λ ,μ∈R ) ,求λ＋μ的值．解：如图 ,以OA ,OB 所在射线为邻边 ,OC 为对角线作平行四边形ODCE ,那么OC ＝OD ＋OE .在Rt △OCD 中 ,∵|OC |＝2 3 ,∠COD ＝30° ,∠OCD ＝90° ,∴|OD |＝4 ,|CD |＝2 ,故OD ＝4OA ,OE ＝2 OB ,即λ＝4 ,μ＝2 ,∴λ＋μ＝6.8．以向量OA ＝a ,OB ＝b 为邻边作平行四边形OADB ,C 为AB 与OD 的交点 ,BM ＝13BC ,CN ＝13CD ,以a ,b 为基底表示MN .解：如下图 ,CD ＝12OD ＝12(a ＋b ) ,CN ＝13CD ＝13×12(a ＋b )＝16(a ＋b ) ,BC ＝12BA ＝12(a －b ) ,MC ＝23BC ＝13(a －b ) ,在△MNC 中 ,MN ＝MC ＋CN ＝13(a －b )＋16(a ＋b )＝12a －16b .第2课时平面向量的坐标运算问题1：在平面向量根本定理中 ,假设e1⊥e2 ,定理还适用吗 ?提示：适用．问题2：在平面直角坐标系中 ,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底 ,任作一个向量a ,由平面向量根本定理 ,我们知道a表示为x i＋y j ,试想数对(x ,y)唯一吗 ?能理解为点坐标吗 ?提示：唯一 ,能．问题3：一点A的坐标(x ,y) ,那么向量OA确定吗 ?提示：唯一确定 ,即OA＝x i＋y j.平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中 ,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底 ,对于平面上的向量a,由平面向量的根本定理可知 ,有且只有一对有序实数x,y,使得a＝x i＋y j.我们把有序实数对(x ,y)称为向量a的(直角)坐标 ,记作a＝(x ,y).a＝(x1 ,y1) ,b＝(x2 ,y2)．问题1：试用单位向量i和j表示a和b.提示：a＝x1i＋y1j ,b＝x2i＋y2j.问题2：试求a＋b.提示：a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j.问题3：向量a＋b的坐标是什么 ?提示：(x1＋x2 ,y1＋y2)平面向量的坐标运算(1)向量a＝(x1 ,y1) ,b＝(x2 ,y2)和实数λ ,那么①a ＋b ＝(x 1＋x 2 ,y 1＋y 2)； ②a －b ＝(x 1－x 2 ,y 1－y 2)； ③λa ＝(λx 1 ,λy 1)．(2)A (x 1 ,y 1) ,B (x 2 ,y 2) ,那么AB ＝OB －OA ＝(x 2－x 1 ,y 2－y 1)． 这就是说 ,一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标．1．在直角坐标平面内 ,以原点为起点的向量OA ＝a ,点A 的位置被向量a 唯一确定 ,此时点A 的坐标与向量a 的坐标统一为(x ,y )．2．符号(x ,y )在直角坐标系中有两重意义 ,它既可以表示一个固定的点 ,又可以表示一个向量．为了加以区分 ,在表达中 ,就常说点(x ,y )或向量(x ,y )．3．平面向量的坐标与该向量的始点、终点坐标有关 ,应把向量的坐标与点的坐标区别开来 ,只有始点在原点时 ,向量的坐标才与终点的坐标相等．[例1] 在直角坐标系xOy 中 ,向量a ,b 的位置如右图 ,|a |＝4 ,|b |＝3 ,且∠AOx ＝45° ,∠OAB ＝105° ,分别求向量a ,b 的坐标．[思路点拨] 利用任意角的三角函数定义 ,假设a ＝(a 1 ,a 2) ,a 的方向相对于x 轴正向的转角为θ ,那么有⎩⎨⎧a 1＝|a |cos θ a 2＝|a |sin θ.[精解详析] 设a ＝(a 1 ,a 2) ,b ＝(b 1 ,b 2) ,由于向量a 相对于x 轴正方向的转角为45° ,所以a 1＝|a |cos 45°＝4×22＝2 2 , a 2＝|a |sin 45°＝4×22＝2 2. 可以求得向量b 相对于x 轴正方向的转角为120°. 所以b 1＝|b |cos 120°＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－32 ,b 2＝|b|sin 120°＝3×32＝332. 故a ＝(2 2 ,22) ,b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32332.[一点通] 求任意一个向量的坐标 ,需要求出这个向量在x 轴 ,y 轴上的坐标 ,即将向量沿x 轴 ,y 轴作正交分解 ,在求解相应点的坐标时 ,可能会用到三角函数的定义．1．如下图 ,在正方形ABCD 中 ,O 为中|心 ,且OA ＝(－1 ,－1) ,试求OB 、OC 、OD 的坐标．解：∵OA ＝(－1 ,－1) ,∴A (－1 ,－1)． ∴B (1 ,－1) ,C (1,1) ,D (－1,1)． ∴OB ＝(1 ,－1) ,OC ＝(1,1) ,OD ＝(－1,1)．2．边长为2的正三角形ABC ,顶点A 在坐标原点 ,AB 边在x 轴上 ,C 在第|一象限 ,D 为AC 的中点 ,分别求向量AB ,AC ,BC ,BD 的坐标．解：如图 ,正三角形ABC 的边长为 2 ,那么顶点A (0,0) ,B (2,0) ,C (2cos 60° ,2sin 60°) ,∴C (1 ,3) ,D⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1232 , ∴AB ＝(2,0) ,AC ＝(1 ,3) ,BC ＝(1－2 ,3－0)＝(－1 ,3) ,BD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12－2 32－0＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32 32.[例2] (1)a ＝(1,2) ,b ＝(－3,4) ,求向量a ＋b ,a －b,3a －4b 的坐标．(2)A (－1,2) ,B (2,8) ,AC ＝13AB ,DA ＝－13BA ,求点C ,D 和向量CD 的坐标．[思路点拨] (1)直接利用向量的坐标运算求解；(2)可设出C 、D 坐标 ,由题设条件列出方程 ,可通过方程(组)的思想求出坐标．[精解详析] (1)a ＋b ＝(1,2)＋(－3,4)＝(－2,6)；a －b ＝(1,2)－(－3,4)＝(4 ,－2)；3a －4b ＝3×(1,2)－4×(－3,4)＝(15 ,－10)． (2)设C ,D 的坐标为(x 1 ,y 1) ,(x 2 ,y 2) , 由题意得AC ＝(x 1＋1 ,y 1－2) ,AB ＝(3,6) ,DA ＝(－1－x 2,2－y 2) ,BA ＝(－3 ,－6) ,又AC ＝13AB ,DA ＝－13BA ,∴(x 1＋1 ,y 1－2)＝13(3,6) ,(－1－x 2,2－y 2)＝－13(－3 ,－6) ,即(x 1＋1 ,y 1－2)＝(1,2) ,(－1－x 2,2－y 2)＝(1,2)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋1＝1 y 1－2＝2 ⎩⎨⎧ －1－x 2＝1 2－y 2＝2.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0 y 1＝4⎩⎨⎧x 2＝－2 y 2＝0.∴点C ,D 和向量CD 的坐标分别为(0,4) ,(－2,0)和(－2 ,－4)．[一点通] 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法那么进行 ,条件中如果知道的是起始点的坐标 ,那么向量的坐标就等于终点的坐标减去起点的坐标．3．假设向量a ＝(3,2) ,b ＝(0 ,－1) ,那么向量2b －a 的坐标为________． 解析：2b －a ＝2(0 ,－1)－(3,2)＝(0 ,－2)－(3,2)＝(－3 ,－4)． 答案：(－3 ,－4)4．a ＝AB ,B 点坐标为(1,0) ,b ＝(－3,4) ,c ＝(－1,1) ,且a ＝3b －2c ,求点A 的坐标． 解：∵b ＝(－3,4) ,c ＝(－1,1) ,∴3b －2c ＝3(－3,4)－2(－1,1)＝(－9,12)－(－2,2)＝(－7,10) ,即a ＝(－7,10)＝AB , 又B (1,0) ,设A 点坐标为(x ,y ) , 那么AB ＝(1－x,0－y )＝(－7,10) ,∴⎩⎨⎧1－x ＝－7 0－y ＝10⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8 y ＝－10 即A 点坐标为(8 ,－10)．5．A (－2,4) ,B (3 ,－1) ,C (－3 ,－4) ,且CM ＝3CA ,CN ＝2CB ,求M ,N 的坐标和MN 的坐标．解：因为A (－2,4) ,B (3 ,－1) ,C (－3 ,－4) , 所以CA ＝(1,8) ,CB ＝(6,3)． 设M (x ,y ) ,那么CM ＝(x ＋3 ,y ＋4)． 由CM ＝3CA ＝(x ＋3 ,y ＋4)＝3(1,8) ,即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝3y ＋4＝24 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝20即M (0,20)． 同理可得N (9,2)． 所以MN ＝(9 ,－18).[例3] 点O (0,0) ,A (1,2) ,B (4,5)及OP ＝OA ＋t AB ,试问： (1)当t 为何值时 ,P 在x 轴上 ?P 在y 轴上 ?P 在第三象限 ?(2)四边形OABP 是否能成为平行四边形 ?假设能 ,那么求出t 的值．假设不能 ,说明理由． [思路点拨] (1)由点的坐标表示出向量OA ,AB 的坐标 ,从而知道OP 的坐标 ,即点P 的坐标 ,然后分类讨论即可．(2)假设四边形OABP 为平行四边形 ,那么OA ＝PB . [精解详析] (1)AB ＝(3,3) ,OP ＝OA ＋t AB ＝(1＋3t ,2＋3t ) ,那么P (1＋3t,2＋3t )．假设P 在x 轴上 ,那么2＋3t ＝0 , 所以t ＝－23；假设P 在y 轴上 ,那么1＋3t ＝0 , 所以t ＝－13；假设P 在第三象限 ,那么⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t <02＋3t <0所以t <－23.(2)因为OA ＝(1,2) ,PB ＝(3－3t,3－3t ) , 假设OABP 是平行四边形 ,那么OA ＝PB ,所以⎩⎨⎧3－3t ＝1 3－3t ＝2.此方程组无解；故四边形OABP 不可能是平行四边形．[一点通] 对于探究存在性问题的求解策略：一般先假设存在满足题意的参数 ,然后根据条件建立方程或方程组 ,假设方程或方程组有解 ,说明这样的参数存在 ,假设方程或方程组无解 ,说明不存在．6．a ＝(3 ,－2) ,b ＝(－2,1) ,c ＝(7 ,－4)且c ＝x a ＋y b ,那么x ＝________ ,y ＝________. 解析：由得(7 ,－4)＝x (3 ,－2)＋y (－2,1) ＝(3x －2y ,y －2x ) ,∴⎩⎪⎨⎪⎧7＝3x －2y －4＝y －2x解之得⎩⎨⎧x ＝1y ＝－2.答案：1 －27．P ＝{a |a ＝(1,0)＋m (0,1) ,m ∈R } ,Q ＝{b |b ＝(1,1)＋n (－1,1) ,n ∈R }是两个向量集合 ,那么P ∩Q 等于________．解析：因为a ＝(1 ,m ) ,b ＝(1－n,1＋n ) ,假设a ＝b ,那么⎩⎨⎧1－n ＝1 1＋n ＝m .∴⎩⎨⎧n ＝0 m ＝1.得P ∩Q ＝{(1,1)}． 答案：{(1,1)}8．点A (2,3) ,B (5,4) ,C (7,10) ,假设AP ＝AB ＋λAC (λ∈R ) ,试求当点P 在第三象限内时 ,λ满足的条件．解：设点P 的坐标为(x ,y ) ,那么AP ＝(x ,y )－(2,3)＝(x －2 ,y －3) ,AB ＋λAC ＝(5,4)－(2,3)＋λ[(7,10)－(2,3)]＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ ,1＋7λ)． 因为AP ＝AB ＋λAC ,所以(x －2 ,y －3)＝(3＋5λ ,1＋7λ)．所以⎩⎨⎧x －2＝3＋5λ y －3＝1＋7λ.解得⎩⎨⎧x ＝5＋5λ y ＝4＋7λ.即P (5＋5λ ,4＋7λ)．当点P 在第三象限时 ,有⎩⎨⎧5＋5λ<04＋7λ<0.解得λ<－1.故当点P 在第三象限内时 ,λ满足的条件为λ<－1.1．平面向量与实数对的一一对应关系在直角坐标平面内 ,以原点O 为起点作OA ＝a ,那么点A 的位置由a 唯一确定 ,设a ＝x i ＋y j ,那么向量OA 的坐标(x ,y )就是点A 的坐标；反过来 ,点A 的坐标(x ,y )也就是向量OA 的坐标．因此 ,在平面直角坐标系内 ,每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示；相等的向量其坐标相同 ,同样 ,坐标相同的向量是相等的向量 ,这就是向量坐标表示的实质 ,向量(x ,y )向量OA点A (x ,y )．2．平面向量的坐标运算应注意的问题(1)平面向量的坐标运算表示是这两个向量的相应坐标(横横、纵纵)之间的加减运算 ,也就是说不能纵横交叉进行加减运算．(2)明确起点与终点的向量的坐标一定是终点的坐标减去起点的相应坐标 ,特别地 ,位置向量OP 的坐标即为终点P 的坐标(x ,y )．(3)两个向量a ＝(x 1 ,y 1) ,b ＝(x 2 ,y 2)相等 ,当且仅当⎩⎨⎧x 1＝x 2y 1＝y 2.课下能力提升(十八)一、填空题1．平面向量a ＝(2,1) ,b ＝(1 ,－2) ,那么向量12a －32b ＝________.解析：12a －32b ＝12(2,1)－32(1 ,－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1 12－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32 －3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－32 12＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1272. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12 72 2．假设A (2,3) ,B (x,4) ,C (3 ,y ) ,且AB ＝2AC ,那么BC ＝________. 解析：∵A (2,3) ,B (x,4) ,C (3 ,y ) , ∴AB ＝(x －2,1) ,AC ＝(1 ,y －3) 又AB ＝2AC ,∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝2 1＝2y －3解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝72.∴BC ＝(3－x ,y －4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1 －12答案：⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1 －123．平行四边形ABCD 中 ,A (0,0) ,B (5,0) ,D (2,4) ,对角线AC 、BD 相交于点M ,那么DM 的坐标是________．解析：DM ＝12DB ＝12[(5,0)－(2,4)]＝12(3 ,－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32 －2. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32 －24．A (－1,2) ,B (2,8)．假设AC ＝13AB ,DA ＝－23AB ,那么CD 的坐标为________．解析：∵AB ＝(2,8)－(－1,2)＝(3,6) , ∴AC ＝13AB ＝(1,2) ,DA ＝－23AB ＝(－2 ,－4) ,∴DC ＝DA ＋AC ＝(－2 ,－4)＋(1,2)＝(－1 ,－2) , ∴CD ＝－DC ＝(1,2)． 答案：(1,2)5．设向量a ＝(m ,n ) ,b ＝(s ,t ) ,定义两个向量a ,b 之间的运算 "⊕〞为a ⊕b ＝(ms ,nt )．假设向量p ＝(1,2) ,p ⊕q ＝(－3 ,－4) ,那么向量q 的坐标为________．解析：设向量q ＝(x ,y ) ,p ⊕q ＝(x,2y )＝(－3 ,－4) , ∴x ＝－3 ,y ＝－2 ,故向量q ＝(－3 ,－2)． 答案：(－3 ,－2) 二、解答题6．三点A (2 ,－1)、B (3,4)、C (－2,0) ,求： (1)3AB ＋12CA ；(2)BC －2AB .解：AB ＝(3－2,4＋1)＝(1,5) ,BC ＝(－2－3 ,－4)＝(－5 ,－4)． CA ＝(2＋2 ,－1－0)＝(4 ,－1)．(1)3AB ＋12CA ＝3(1,5)＋12(4 ,－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5 292.(2)BC －2AB ＝(－5 ,－4)－2(1,5)＝(－7 ,－14)．7．如图 ,A (－1,2) ,B (3,4) ,连结A ,B 并延长至|P ,使AP ＝3BP ,求P 点的坐标．解：设P 点坐标为(x ,y ) , 那么AP ＝(x ＋1 ,y －2) ,BP ＝(x －3 ,y －4)．由AP 、BP 同向共线 , 得AP ＝3BP ,即(x ＋1 ,y －2)＝3(x －3 ,y －4)．∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝3x －9 y －2＝3y －12 解得⎩⎨⎧x ＝5y ＝5.∴点P 的坐标为(5,5)．8.如图 ,在△ABC 中 ,A (7,8) ,B (3,5) ,C (4,3) ,M ,N ,D 分别是AB ,AC ,BC 的中点 ,且MN 与AD 交于点F ,求DF 的坐标．解：∵A (7,8) ,B (3,5) ,C (4,3) , ∴AB ＝(3－7,5－8)＝(－4 ,－3) ,AC ＝(4－7,3－8)＝(－3 ,－5)．∵D 是BC 的中点 ,∴AD ＝12(AB ＋AC )＝12(－4－3 ,－3－5)＝12(－7 ,－8)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－72 －4.∵M ,N 分别为AB ,AC 的中点 ,∴F 为AD 的中点．∴DF ＝－FD ＝－12AD ＝－12⎝⎛⎭⎪⎪⎫－72 －4＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫74 2.第3课时 向量平行的坐标表示问题：假设a ＝(x 1 ,y 1) ,b ＝(x 2 ,y 2) ,其中a ≠0 ,试想假设a ∥b ,它们的坐标有何关系 ? 提示：由a ∥b, 那么b ＝λa , 用坐标可写为(x 2 ,y 2)＝λ(x 1 ,y 1) ,即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝λx 1 y 2＝λy 1 消去λ得x 1y 2－x 2y 1＝0.向量平行的坐标表示设向量a ＝(x 1 ,y 1) ,b ＝(x 2 ,y 2)(a ≠0) ,如果a ∥b ,那么x 1y 2－x 2y 1＝0；反过来 ,如果x 1y 2－x 2y 1＝0 ,那么a ∥b .设a ＝(x 1 ,y 1) ,b ＝(x 2 ,y 2) ,如果向量b 不平行于坐标轴 ,即x 2≠0 ,y 2≠0 ,那么a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0⇔x 1x 2＝y 1y 2.用语言可描述为：两个向量平行的条件是相应坐标成比例．[例1] A (2,1) ,B (0,4) ,C (1,3) ,D (5 ,－3) ,判断AB 与CD 是否平行 ?如果平行 ,它们的方向相同还是相反 ?[思路点拨] 根据条件求出AB 和CD ,然后利用两向量平行的条件判断． [精解详析] ∵A (2,1) ,B (0,4) ,C (1,3) ,D (5 ,－3) , ∴AB ＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3) ,CD ＝(5 ,－3)－(1,3)＝(4 ,－6)．法一：∵(－2)×(－6)－3×4＝0 ,且(－2)×4<0. ∴AB 与CD 平行且方向相反． 法二：∵CD ＝－2AB , ∴AB 与CD 平行 ,又－2<0 , ∴AB 与CD 的方向相反．[一点通] 判定用坐标表示的两向量a ＝(x 1 ,y 1) ,b ＝(x 2 ,y 2)是否平行 ,即判断x 1y 2－x 2y 1＝0是否成立 ,假设成立 ,那么平行；否那么 ,不平行．1．a ＝(－1,3) ,c ＝(x ,－1) ,且a ∥c ,那么x ＝________. 解析：∵a ∥c ,∴(－1)×(－1)－3x ＝0. 即3x ＝1 ,∴x ＝13.答案：132．A ,B ,C 三点的坐标分别为(－1,0) ,(3 ,－1) ,(1,2) ,并且AE ＝13AC ,BF ＝13BC ,求证：EF ∥AB .证明：设E (x 1 ,y 1) ,F (x 2 ,y 2) ,依题意有AC ＝(2,2) ,BC ＝(－2,3) ,AB ＝(4 ,－1)．因为AE ＝13AC ,所以AE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23 23.因为BF ＝13BC ,所以BF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－23 1.因为(x 1＋1 ,y 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23 23 ,所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13 23； 因为(x 2－3 ,y 2＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－23 1 ,所以F ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫73 0.所以EF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫83 －23.又因为4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－83×(－1)＝0 ,所以EF ∥AB .3．a ＝(1,2) ,b ＝(－3,2) ,当实数k 为何值时 ,(k a ＋b )∥(a －3b ) ?这两个向量的方向是相同还是相反 ?解：∵a ＝(1,2) ,b ＝(－3,2) ,∴k a ＋b ＝(k －3,2k ＋2) ,a －3b ＝(10 ,－4)． 由题意得(k －3)×(－4)－10(2k ＋2)＝0 ,解得k ＝－13.此时k a ＋b ＝－13a ＋b ＝－13(a －3b ) ,∴当k ＝－13时 ,(k a ＋b )∥(a －3b ) ,并且它们的方向相反．[例2] (1)OA ＝(3,4) ,OB ＝(7,12) ,OC ＝(9,16) ,求证：A ,B ,C 三点共线． (2)设向量OA ＝(k,12) ,OB ＝(4,5) ,OC ＝(10 ,k ) ,当k 为何值时 ,A ,B ,C 三点共线 ? [思路点拨] 要判断A ,B ,C 三点是否共线 ,一般是看AB 与BC ,或AB 与AC ,或AC与BC 是否共线．假设共线 ,并且每组向量都有公共点 ,那么A ,B ,C 三点共线．[精解详析] (1)∵AB ＝OB －OA ＝(4,8) ,AC ＝OC －OA ＝(6,12) ,∴AC ＝32AB ,即AB 与AC 共线．又∵AB 与AC 有公共点A ,∴A ,B ,C 三点共线． (2)法一：假设A ,B ,C 三点共线 ,那么AB ,AC 共线 , 那么存在实数λ ,使得AB ＝λAC . ∵AB ＝OB －OA ＝(4－k ,－7) ,AC ＝OC －OA ＝(10－k ,k －12) ,∴(4－k ,－7)＝λ(10－k ,k －12) ,∴⎩⎪⎨⎪⎧4－k ＝λ10－k －7＝λk －12解得k ＝－2 ,或k ＝11.法二：假设A ,B ,C 三点共线 ,那么AB ,AC 共线． ∵AB ＝OB －OA ＝(4－k ,－7) ,AC ＝OC －OA ＝(10－k ,k －12) ,∴(4－k )(k －12)＋7(10－k )＝0 , ∴k 2－9k －22＝0 ,解得k ＝－2 ,或k ＝11.[一点通] 证明三点共线方法很多 ,可利用两条较短的线段之和等于第三条线段的长度 ,以及利用斜率或直线方程．4．假设三点P (1,1) ,A (2 ,－4) ,B (x ,－9)共线 ,那么x ＝________. 解析：由题意知PA ＝(1 ,－5) ,AB ＝(x －2 ,－5) , 又∵P 、A 、B 三点共线 ,∴1＝x －2 ,∴x ＝3. 答案：35．如果向量AB ＝i －2j ,BC ＝i ＋m j ,其中i ,j 分别是x 轴、y 轴正方向上的单位向量 ,试确定实数m 的值使A ,B ,C 三点共线．解：法一：∵A ,B ,C 三点共线 ,即AB 、BC 共线 , ∴存在实数λ使得AB ＝λBC ,即i －2j ＝λ(i ＋m j )．∴⎩⎨⎧λ＝1 λm ＝－2.∴m ＝－2 ,即m ＝－2时 ,A ,B ,C 三点共线． 法二：依题意知i ＝(1,0) ,j ＝(0,1) ,那么AB ＝(1,0)－2(0,1)＝(1 ,－2) ,BC ＝(1,0)＋m (0,1)＝(1 ,m ) ,而AB ,BC 共线 ,∴1×m ＋2＝0. 故当m ＝－2时 ,A ,B ,C 三点共线．[例3] 如下图 ,点A (4,0) ,B (4,4) ,C (2,6) ,求AC 和OB 交点P 的坐标．[思路点拨] 利用共线条件求解． 思路一：由AP 、AC 共线可求． 思路二：由OP 、OB 共线可求．[精解详析] 法一：设OP ＝t OB ＝t (4,4)＝(4t,4t ) , 那么AP ＝OP －OA ＝(4t,4t )－(4,0)＝(4t －4,4t ) ,AC ＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)．由AP ,AC 共线的条件知(4t －4)×6－4t ×(－2)＝0 ,解得t ＝34.∴OP ＝(4t,4t )＝(3,3) ,∴P 点坐标为(3,3)． 法二：设P (x ,y ) ,那么OP ＝(x ,y ) ,OB ＝(4,4)． ∵OP ,OB 共线 ,∴4x －4y ＝0.① 又CP ＝(x －2 ,y －6) ,CA ＝(2 ,－6) , 且向量CP 、CA 共线 , ∴－6(x －2)＋2(6－y )＝0.②解①②组成的方程组 ,得x ＝3 ,y ＝3 , ∴点P 的坐标为(3,3)．[一点通] 求解直线或线段的交点问题 ,常规方法为写出直线或线段对应的直线方程 ,建立方程组求解 ,而利用向量方法借助共线向量的充要条件可减少运算量 ,且思路简单明快．6．点A (－1,9)和向量a ＝(2,3) ,假设AB ＝3a ,那么点B 的坐标为________． 解析：设B (x ,y ) ,那么AB ＝(x ＋1 ,y －9)．又∵AB ＝3a ＝(6,9)．∴⎩⎨⎧x ＋1＝6y －9＝9.即⎩⎨⎧x ＝5 y ＝18.答案：(5,18)7．向量a ＝(－2,3) ,b ∥a ,向量b 的起点为A (1,2) ,终点B 在坐标轴上 ,那么点B 的坐标为____________．解析：b ∥a ,可设b ＝λa ＝(－2λ ,3λ) , 设B (x ,y ) ,那么AB ＝(x －1 ,y －2)＝b .由⎩⎪⎨⎪⎧－2λ＝x －1 3λ＝y －2⇒⎩⎨⎧x ＝1－2λy ＝3λ＋2.又B 点在坐标轴上 ,那么1－2λ＝0或3λ＋2＝0 ,所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0 72或⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫73 0.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0 72或⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫73 0ABCD ,如下图 ,其中AB ∥CD ,且DC ＝2AB ,三个顶点A (1,2) ,B (2 ,1) ,C (4,2) ,求D 点的坐标．解：∵等腰梯形ABCD 中 ,DC ＝2AB , ∴DC ＝2AB .设D 点坐标为(x ,y )．∴DC ＝OC －OD ＝(4,2)－(x ,y )＝(4－x,2－y ) ,AB ＝OB －OA ＝(2,1)－(1,2)＝(1 ,－1)．∴(4－x,2－y )＝2(1 ,－1) ,即(4－x,2－y )＝(2 ,－2)．∴⎩⎨⎧4－x ＝2 2－y ＝－2.解之 ,得⎩⎨⎧x ＝2y ＝4.故D 点坐标为(2,4)．1．与坐标轴平行的向量的特点与x 轴平行的向量的纵坐标为0 ,即a ＝(x,0)；与y 轴平行的向量的横坐标为0 ,即b ＝(0 ,y )． 2．判断两个平行向量是同向还是反向的方法(1)假设b ＝λa (a ≠0) ,那么当λ>0时 ,同向；当λ<0时 ,反向．(2)当两个向量的对应坐标同号时 ,同向；当两个向量的对应坐标异号时 ,反向． 3．向量平行的应用用坐标表示向量共线的条件 ,可以解决有关平行的问题 ,应用比拟广泛 ,利用该条件除判定平行、证明三点共线外 ,还可以由三点共线设出坐标；在解析几何中 ,可利用该条件求与向量平行的直线．课下能力提升(十九)一、填空题1．假设向量a ＝(－2,4) ,b ＝(3 ,－6) ,那么以下说法正确的选项是________．(填序号) ①a 与b 共线且方向相同 ②a 与b 共线且方向相反 ③a 与b 是相反向量 ④a 与b 不共线 解析：∵a ＝(－2,4) ,b ＝(3 ,－6) ,∴a ＝－23b .又∵－23<0 ,∴a 与b 共线且方向相反．答案：②2．M (3 ,－2) ,N (－5 ,－1)且MP ＝12MN ,那么P 点的坐标为________．解析：法一：设P (x ,y ) ,那么MP ＝(x －3 ,y ＋2) ,12MN ＝12(－5－3 ,－1＋2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－4 12.∵MP ＝12MN ,∴⎩⎨⎧ x －3＝－4y ＋2＝12∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－32.法二：设P (x ,y ) ,∵MP ＝12MN ,∴P 是MN 的中点 ,由中点坐标公式得：x ＝3＋－52＝－1 ,y ＝－2－12＝－32.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1 －323．向量a ＝(3,1) ,b ＝(1,3) ,c ＝(k,7) ,假设(a －c )∥b ,那么k ＝________. 解析：由题意知a －c ＝(3－k ,－6) , ∵(a －c )∥b ,∴3－k 1＝－63.∴k ＝5.答案：54．假设三点A (2,2) ,B (a,0) ,C (0 ,b )(ab ≠0)共线 ,那么1a ＋1b的值等于________．解析：AB ＝(a －2 ,－2) ,BC ＝(－a ,b )． ∵A 、B 、C 三点共线 ,∴2a ＝b (a －2) ,即2a ＋2b ＝ab . ∴2a ＋2b ＝1 ,即1a ＋1b ＝12. 答案：125．A (－2,3) ,B (3 ,－1) ,点P 在线段AB 上 ,且|AP |∶|PB |＝1∶2 ,那么P 点坐标为________． 解析：设P (x ,y ) ,那么AP ＝(x ＋2 ,y －3) ,PB ＝(3－x ,－1－y ) , ∵P 在线段AB 上 ,且|AP |∶|PB |＝1∶2 , ∴AP ＝12PB ,∴(x ＋2 ,y －3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3－x2 －1－y 2 ,∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝3－x 2 y －3＝－1－y2 ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－13 y ＝53即P⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13 53.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13 53 二、解答题6．平面内给定三个向量a ＝(3,2) ,b ＝(－1,2) ,c ＝(4,1)． (1)求3a ＋b －2c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ,n ； (3)假设(a ＋k c )∥(2b －a ) ,求实数k .解：(1)3a ＋b －2c ＝3(3,2)＋(－1,2)－2(4,1)＝(0,6)． (2)∵a ＝m b ＋n c ,∴(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)＝(－m ＋4n,2m ＋n )．∴⎩⎨⎧－m ＋4n ＝3 2m ＋n ＝2.解得m ＝59 ,n ＝89.(3)∵(a ＋k c )∥(2b －a ) ,又a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k ) , 2b －a ＝(－5,2) ,∴3＋4k －5＝2＋k 2.∴k ＝－1613.7．直角坐标平面上四点A (1,0) ,B (4,3) ,C (2,4) ,D (0,2) ,求证：四边形ABCD 是等腰梯形． 证明：由得 ,AB ＝(4,3)－(1,0)＝(3,3) ,CD ＝(0,2)－(2,4)＝(－2 ,－2)．∵3×(－2)－3×(－2)＝0 ,∴AB 与CD 共线． ∵AD ＝(0,2)－(1,0)＝(－1,2) ,∵3×2－3×(－1)≠0 ,∴AB 与AD 不共线． ∴AB ∥CD ,AB 与AD 不平行．又|AB |＝3 2 ,|CD |＝2 2 ,∴|AB |≠|CD | , 即AB ≠CD .∵BC ＝(2,4)－(4,3)＝(－2,1) ,AD ＝(－1,2) , ∴|BC |＝5＝|AD | ,即BC ＝AD . 故四边形ABCD 是等腰梯形．8．a ＝(1,2) ,b ＝(－2,1) ,x ＝a ＋(t 2＋1)b ,y ＝－1k a ＋1tb ,是否存在正实数k ,t 使得x ∥y ?假设存在 ,求出它们的取值范围；假设不存在 ,请说明理由．解：不存在．依题意得 ,x ＝a ＋(t 2＋1)b ＝(1,2)＋(t 2＋1)(－2,1) ＝(－2t 2－1 ,t 2＋3)．y ＝－1k a ＋1t b ＝－1k (1,2)＋1t(－2,1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1k－2t －2k ＋1t .假设存在正实数k ,t ,使x ∥y ,那么(－2t 2－1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ＋1t －(t 2＋3)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k －2t ＝0 ,化简得t 2＋1k ＋1t＝0 ,即t 3＋t ＋k ＝0.∵k ,t 为正实数 ,∴满足上式的k ,t 不存在 ,∴不存在这样的正实数k ,t ,使x ∥y .。

2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式明目标、知重点 1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能依据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式.3.能依据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直.1.平面对量数量积的坐标表示若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b＝x 1x 2＋y 1y 2. 即两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和. 2.两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)， 则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 3.平面对量的长度(1)向量长度公式：设a ＝(x 1，y 1)，则|a |＝x 21＋y 21.(2)两点间距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 4.向量的夹角公式设两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b|a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.[情境导学] 在平面直角坐标系中，平面对量可以用有序实数对来表示，两个平面对量共线的条件也可以用坐标运算的形式刻画出来，那么学习了平面对量的数量积之后，它能否用坐标来表示？若能，如何通过坐标来实现？平面对量的数量积还会是一个有序实数对吗？同时，平面对量的模、夹角又该如何用坐标来表示？通过回顾两个向量的数量积的定义向向量的坐标表示，在此基础上推导、探究平面对量数量积的坐标表示. 探究点一 平面对量数量积的坐标表示思考1 已知两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，怎样用a 与b 的坐标表示a ·b? 答 ∵a ＝x 1i ＋y 1j ，b ＝x 2i ＋y 2j ， ∴a ·b ＝(x 1i ＋y 1j )·(x 2i ＋y 2j ) ＝x 1x 2i 2＋x 1y 2i ·j ＋x 2y 1j ·i ＋y 1y 2j 2.又∵i ·i ＝1，j ·j ＝1，i ·j ＝j ·i ＝0，∴a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.思考2 若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，这就是平面对量数量积的坐标表示.你能用文字描述这一结论吗？答 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. 例1 已知a 与b 同向，b ＝(1,2)，a·b ＝10. (1)求a 的坐标；(2)若c ＝(2，－1)，求a (b·c )及(a·b )c .解 (1)设a ＝λb ＝(λ，2λ) (λ>0)，则有a·b ＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a ＝(2,4). (2)∵b·c ＝1×2－2×1＝0，a·b ＝1×2＋2×4＝10， ∴a (b·c )＝0a ＝0，(a·b )c ＝10(2，－1)＝(20，－10).反思与感悟 两个向量的数量积是实数，这和前面三种运算性质不同.同时本例进一步验证了平面对量的数量积不满足结合律.跟踪训练1 若a ＝(2,3)，b ＝(－1，－2)，c ＝(2,1)，则(a·b )·c ＝____________；a·(b·c )＝____________. 答案 (－16，－8) (－8，－12) 解析 ∵a·b ＝2×(－1)＋3×(－2)＝－8， ∴(a·b )·c ＝－8×(2,1)＝(－16，－8). ∵b·c ＝(－1)×2＋(－2)×1＝－4， ∴a·(b·c )＝(2,3)×(－4)＝(－8，－12).探究点二 平面对量长度的坐标形式及两点间的距离公式思考1 若a ＝(x ，y )，如何计算向量的长度|a |? 答 ∵a ＝x i ＋y j ，∴a 2＝(x i ＋y j )2＝(x i )2＋2xy i ·j ＋(y j )2 ＝x 2i 2＋2xy i ·j ＋y 2j 2. 又∵i 2＝1，j 2＝1，i ·j ＝0， ∴a 2＝x 2＋y 2，∴|a |2＝x 2＋y 2， ∴|a |＝x 2＋y 2.思考2 若A (x 1，y 2)，B (x 2，y 2)，如何计算向量AB →的长度？ 答 如图，∵AB →＝OB →－OA →＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1)＝(x 2－x 1，y 2－y 1)， ∴|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.例2 已知在△ABC 中，A (2，－1)、B (3,2)、C (－3，－1)，AD 为BC 边上的高，求|AD →|与点D 的坐标. 解 设点D 坐标为(x ，y )，则AD →＝(x －2，y ＋1)，BC →＝(－6，－3)， BD →＝(x －3，y －2)，∵D 在直线BC 上，即BD →与BC →共线， ∴存在实数λ，使BD →＝λBC →， 即(x －3，y －2)＝λ(－6，－3).∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－6λ，y －2＝－3λ.∴x －3＝2(y －2)，即x －2y ＋1＝0.① 又∵AD ⊥BC ，∴AD →·BC →＝0， 即(x －2，y ＋1)·(－6，－3)＝0， ∴－6(x －2)－3(y ＋1)＝0. 即2x ＋y －3＝0.②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即D 点坐标为(1,1)，AD →＝(－1,2). ∴|AD →|＝(－1)2＋22＝5，即|AD →|＝5，D (1,1).反思与感悟 在几何里利用垂直及长度来求解点的题型是一种常见题型，其处理方法：设出点的坐标，利用垂直及长度列出方程组进行求解.跟踪训练2 以原点和A (5,2)为两个顶点作等腰直角△OAB ，∠B ＝90°，求点B 和AB →的坐标. 解 设B (x ，y )，则|OB →|＝x 2＋y 2，∵B (x ，y )，A (5,2)，∴|AB →|＝(x －5)2＋(y －2)2.又∵|AB →|＝|OB →|，∴(x －5)2＋(y －2)2＝x 2＋y 2.可得10x ＋4y ＝29，①又OB →＝(x ，y )，AB →＝(x －5，y －2)，且OB →⊥AB →， ∴OB →·AB →＝0，∴x (x －5)＋y (y －2)＝0， 即x 2－5x ＋y 2－2y ＝0，②由①②解得⎩⎨⎧x 1＝32，y 1＝72，或⎩⎨⎧x 2＝72，y 2＝－32.∴B ⎝⎛⎭⎫32，72或⎝⎛⎭⎫72，－32. ∴AB →＝⎝⎛⎭⎫－72，32或AB →＝⎝⎛⎭⎫－32，－72. 探究点三 平面对量夹角的坐标表示思考1 设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若a ⊥b ，则x 1，y 1，x 2，y 2之间的关系如何？反之成立吗？ 答 a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.思考2 设a ，b 都是非零向量，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ是a 与b 的夹角，那么cos θ如何用坐标表示？ 答 cos θ＝a·b|a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. 例3 已知a ＝(1,2)，b ＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：(1)a 与b 的夹角为直角；(2)a 与b 的夹角为钝角；(3)a 与b 的夹角为锐角. 解 设a 与b 的夹角为θ， 则a·b ＝(1,2)·(1，λ)＝1＋2λ.(1)由于a 与b 的夹角为直角，所以cos θ＝0， 所以a·b ＝0，所以1＋2λ＝0，所以λ＝－12.(2)由于a 与b 的夹角为钝角，所以cos θ<0且cos θ≠－1， 所以a·b <0且a 与b 不反向. 由a·b <0得1＋2λ<0，故λ<－12，由a 与b 共线得λ＝2，故a 与b 不行能反向.所以λ的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－12. (3)由于a 与b 的夹角为锐角，所以cos θ>0，且cos θ≠1， 所以a·b >0且a ，b 不同向.由a·b >0，得λ>－12，由a 与b 同向得λ＝2.所以λ的取值范围为⎝⎛⎭⎫－12，2∪(2，＋∞). 反思与感悟 由于两个非零向量a ，b 的夹角θ满足0°≤θ≤180°，所以用cos θ＝a·b|a||b |来推断，可将θ分五种状况：cos θ＝1，θ＝0°；cos θ＝0，θ＝90°；cos θ＝－1，θ＝180°；cos θ<0且cos θ≠－1，θ为钝角；cos θ>0且cos θ≠1，θ为锐角.跟踪训练3 已知a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)，若a 与b 的夹角α为钝角，求λ的取值范围. 解 ∵a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)， ∴|a |＝2，|b |＝1＋λ2，a ·b ＝λ－1.∵a ，b 的夹角α为钝角.∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－1<0，21＋λ2≠1－λ，即⎩⎪⎨⎪⎧λ<1，λ2＋2λ＋1≠0.∴λ<1且λ≠－1.∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1,1).1.已知a ＝(3，－1)，b ＝(1，－2)，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2 答案 B解析 ∵|a |＝10，|b |＝5，a ·b ＝5. ∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝510×5＝22. 又∵a ，b 的夹角范围为[0，π]. ∴a 与b 的夹角为π4.2.已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( ) A.1 B. 2 C.2 D.4 答案 C解析 ∵(2a －b )·b ＝2a ·b －|b |2 ＝2(－1＋n 2)－(1＋n 2)＝n 2－3＝0， ∴n 2＝3.∴|a |＝12＋n 2＝2.3.在△ABC 中，∠C ＝90°，AB →＝(k,1)，AC →＝(2,3)，则k 的值为________. 答案 5解析 ∵BC →＝AC →－AB →＝(2,3)－(k,1)＝(2－k,2)， AC →＝(2,3)，∴BC →·AC →＝2(2－k )＋6＝0，∴k ＝5.4.已知平面对量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |＝________. 答案 82解析 ∵a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，∴a ·b ＝2×(－1)＋4×2＝6， ∴c ＝a －6b ， ∴c 2＝a 2－12a ·b ＋36b 2 ＝20－12×6＋36×5＝128. ∴|c |＝8 2.[呈重点、现规律]1.向量的坐标表示简化了向量数量积的运算.为利用向量法解决平面几何问题以及解析几何问题供应了完善的理论依据和有力的工具支持.2.应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的力气.3.留意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆.若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2).则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，a⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.一、基础过关1.已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m ).若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m 等于( )A.2 3B. 3C.0D.－3 答案 B解析 ∵a ·b ＝(1，3)·(3，m )＝3＋3m ， 又a ·b ＝12＋(3)2×32＋m 2×cos π6，∴3＋3m ＝12＋(3)2×32＋m 2×cos π6，∴m ＝ 3.2.已知a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为( ) A.－17B.17C.－16D.16答案 A解析 由a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)， 知λa ＋b ＝(－3λ－1,2λ)，a －2b ＝(－1,2). 又(λa ＋b )·(a －2b )＝0， ∴3λ＋1＋4λ＝0，∴λ＝－17.3.平面对量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |等于( ) A. 3 B.23 C.4 D.12 答案 B解析 ∵a ＝(2,0)，|b |＝1， ∴|a |＝2，a ·b ＝2×1×cos 60°＝1. ∴|a ＋2b |＝a 2＋4·a ·b ＋4b 2＝2 3.4.已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3).若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( )A.⎝⎛⎭⎫79，73B.⎝⎛⎭⎫－73，－79 C.⎝⎛⎭⎫73，79 D.⎝⎛⎭⎫－79，－73 答案 D解析 设c ＝(x ，y )，则c ＋a ＝(x ＋1，y ＋2)， 又(c ＋a )∥b ，∴2(y ＋2)＋3(x ＋1)＝0.① 又c ⊥(a ＋b )，∴(x ，y )·(3，－1)＝3x －y ＝0.② 由①②解得x ＝－79，y ＝－73.5.若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( ) A.－π4 B.π6 C.π4 D.3π4答案 C解析 2a ＋b ＝2(1,2)＋(1，－1)＝(3,3)， a －b ＝(1,2)－(1，－1)＝(0,3)， (2a ＋b )·(a －b )＝9， |2a ＋b |＝32，|a －b |＝3.设所求两向量夹角为α，则cos α＝932×3＝22，∵α∈[0，π]，∴α＝π4.6.设a ＝(2，x )，b ＝(－4,5)，若a 与b 的夹角θ为钝角，则x 的取值范围是________. 解 ∵θ为钝角，∴cos θ＝a ·b|a ||b |<0， 即a ·b ＝－8＋5x <0，∴x <85.∵a ∥b 时有－4x －10＝0，即x ＝－52，当x ＝－52时，a ＝(2，－52)＝－12b ，∴a 与b 反向，即θ＝π.故a 与b 的夹角为钝角时，x <85且x ≠－52.7.已知a ＝(4,3)，b ＝(－1,2).(1)求a 与b 的夹角的余弦；(2)若(a －λb )⊥(2a ＋b )，求实数λ的值. 解 (1)∵a ·b ＝4×(－1)＋3×2＝2， |a |＝42＋32＝5，|b |＝(－1)2＋22＝5，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝255＝2525. (2)∵a －λb ＝(4＋λ，3－2λ)，2a ＋b ＝(7,8)， 又(a －λb )⊥(2a ＋b )，∴(a －λb )·(2a ＋b )＝7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0， ∴λ＝529.二、力气提升8.已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ等于( ) A.－4 B.－3 C.－2 D.－1答案 B解析 由于m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2). 所以m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1). 由于(m ＋n )⊥(m －n )，所以(m ＋n )·(m －n )＝0， 所以－(2λ＋3)－3＝0，解得λ＝－3.9.已知点A (－1,1)、B (1,2)、C (－2，－1)、D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的正射影的数量为( ) A.322B.3152C. －322D.－3152答案 A解析 ∵AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)， ∴AB →在CD →方向上的正射影的数量为 AB →·CD →|CD →|＝2×5＋1×552＋52＝1552＝322.10.平面对量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________.答案 2解析 由于向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，所以c ＝m a ＋b ＝(m ＋4,2m ＋2)，所以a ·c ＝m ＋4＋2(2m ＋2)＝5m ＋8，b ·c ＝4(m ＋4)＋2(2m ＋2)＝8m ＋20. 由于c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角， 所以a ·c |a ||c |＝b ·c |b ||c |，即a ·c |a |＝b ·c |b |，所以5m ＋85＝8m ＋2025，解得m ＝2.11.在△ABC 中，AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，若△ABC 是直角三角形，求k 的值. 解 ∵AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )， ∴BC →＝AC →－AB →＝(－1，k －3).若∠A ＝90°，则AB →·AC →＝2×1＋3×k ＝0， ∴k ＝－23；若∠B ＝90°，则AB →·BC →＝2×(－1)＋3(k －3)＝0， ∴k ＝113；若∠C ＝90°，则AC →·BC →＝1×(－1)＋k (k －3)＝0， ∴k ＝3±132.故所求k 的值为－23或113或3±132.12.设a ＝(1,2)，b ＝(－2，－3)，又c ＝2a ＋b ，d ＝a ＋m b ，若c 与d 夹角为45°，求实数m 的值. 解 ∵a ＝(1,2)，b ＝(－2，－3)， ∴c ＝2a ＋b ＝2(1,2)＋(－2，－3)＝(0,1)， d ＝a ＋m b ＝(1,2)＋m (－2，－3)＝(1－2m,2－3m )， ∴c ·d ＝0×(1－2m )＋1×(2－3m )＝2－3m . 又∵|c |＝1，|d |＝(1－2m )2＋(2－3m )2，∴cos 45°＝c ·d|c ||d |＝2－3m(1－2m )2＋(2－3m )2＝22. 化简得5m 2－8m ＋3＝0，解得m ＝1或m ＝35.三、探究与拓展13.已知三个点A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4). (1)求证：AB ⊥AD ；(2)要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标并求矩形ABCD 两对角线所成的锐角的余弦值. (1)证明 ∵A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)， ∴AB →＝(1,1)，AD →＝(－3,3)， 又∵AB →·AD →＝1×(－3)＋1×3＝0， ∴AB →⊥AD →，即AB ⊥AD .(2)解 AB →⊥AD →，四边形ABCD 为矩形，∴AB →＝DC →. 设C 点坐标为(x ，y )，则AB →＝(1,1)，DC →＝(x ＋1，y －4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝1，y －4＝1， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝5.∴C 点坐标为(0,5). 由于AC →＝(－2,4)，BD →＝(－4,2)， 所以AC →·BD →＝8＋8＝16>0， |AC →|＝2 5，|BD →|＝2 5. 设AC →与BD →夹角为θ，则 cos θ＝AC →·BD →|AC →|·|BD →|＝1620＝45>0，∴矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为45.。

§2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式（课前预习案）班级：___ 姓名：________ 编写：一、新知导学1.平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量),(11y x a = ，),(22y x b = ，则a b = ，这就是说：两个向量的数量积等于2.向量垂直的判定设),(11y x a = ，),(22y x b = ，则b a ⊥ ⇔ ；对于任意的实数k ，向量k (,)x y -与 垂直。

3. 向量的长度.距离和夹角公式（1）设),(y x a = ，则2||___________a =或||_____________a = (长度公式)（2）如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x .),(22y x ，那么||___________________a =(距离公式)（3）cos __________________a b a b θ==（πθ≤≤0）(夹角公式)二.预习自测1.设向量a =（-1，2），b =（2，-1），则（a ·b ）（a +b ）等于（ ）A.（1，1）B.（-4，-4）C.-4D.（-2，-2）2.若a =(5,y),b =(-6,-4)且a ·b =-2，则y=( )A.-5B.-7C.5D.7 3.a =(-4,3),b =(5,6)，则3|a |2-4a ·b =（ ）A.23B.57C.63D.834.若a =(cosα,sinα),b =(cosβ,sinβ),则（a +b ）·（a -b ）=_____三、典例分析已知(3,1),(1,2)a b =-=-，求,,,,a b a b a b .，求证：AB ⊥AC .：已知△ABC ，A 点的坐标及AD .在△ABC中，∠A=90°，AB=(k,1),AC=(2,3)，则k的值是已知OA=（-1，2），OB=（3，m），且OA⊥AB，则m=______已知向量p=（-2，，则与p垂直的单位向量的坐标为＿＿＿＿＿＿.⋅=4，4.直角坐标平面中，若定点A，2）与动点P(x,y)满足OP OA则点P的轨迹方程是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.5.i，j是互相垂直的单位向量，已知a+b=2i-8j,a-b=-8i+16j,则|2a+b|=___已知|a|=4，|b|=3，（2a-3b）·（2a+b）=61.（1）求a与b的夹角θ；2）设OA=（2，5），OB=（3，1），OC=（6，3），⊥，若存在，求出点在OC上是否存在点，使MA MB请说明理由.俯视图。

2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算掌握两个向量和、差及数了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.2.学习目标 1...3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来乘向量的坐标运算法则平面向量的正交分解知识点一bbaaba互相垂直的两个向与垂直，记作的夹角是90°，则称向量.与思考如果向量⊥量能否作为平面内所有向量的一组基底？. 互相垂直的两个向量能作为平面内所有向量的一组基底答案. 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解梳理平面向量的坐标表示知识点二aiija＝30°，且是两个互相垂直的单位向量，向量|与|思考1 如图，向量的夹角是，a?ji，4，以向量为基底，如何表示向量ija.2 ＝＋23答案AAA点位置确定了吗？给定向量，则在平面直角坐标系内，给定点，的坐标为1)(1思考2aaa的位置确定了吗？ 1)，则向量＝(1，的坐标为AAAaaa的坐标为点位置确定.点，若给定坐标为对于向量(1，1)，则，给定答案对于a的方向和大小，但因向量的位置由起点和终点确定，且向量可以任1)，此时给出了＝(1，a的位置还与其起点有关意平移，因此.→→→→BCOBCOAOAA点，，则为坐标原点，若将向量的坐标是多少？平移到思考3 设向量，＝(11)坐标是多少？→→OAOAAA(1，1)，1). 答案向量点坐标为的坐标为(1＝，梳理 (1)平面向量的坐标xyij作为基底.、①在平面直角坐标系中，分别取与轴、对于轴方向相同的两个单位向量axyaxiyj.＋平面内的一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数＝，，使得axyxya的坐标，记(叫做向量，)平面内的任一向量都可由、唯一确定，我们把有序数对axy). ，(＝作ij＝(0，1)，00)，＝(0，②在平面直角坐标平面中，0). ＝(1，(2)点的坐标与向量坐标的区别和联系平面向量的坐标运算知识点三yxybyijxax，)，，思考设，、＝是分别与轴、(轴同向的两个单位向量，若设)＝(2112aabjybxiyjabaxi 如，R＝，λ＋)＋(，根据向量的线性运算性质，向量λ＋∈则＝，－2211ji何分别用基底表示？、jyabxxiy答案 )＋(＝(，＋＋)＋2211abxxiyyj，－) ＋－(＝()－2211axiyj.λ＋＝λλ11axybxy)，，＝梳理设(＝( ，，)2112→AxyBxyABxxyy)(＝－－已知点(，，)，即任意一个向量的坐标等于(，)，那么向量，11222211表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.类型一平面向量的坐标表示→xOyOAABAOxOABOA＝＝105°，＝45°，∠，∠3＝，4＝中，如图，在平面直角坐标系1 例→baAB.＝，OABC.四边形为平行四边形ba (1)求向量的坐标；，→BA (2)求向量的坐标；B.的坐标(3)求点MxAM(1)解作轴于点⊥，OAOM＝则·cos 45°2 ，2＝4×2＝2OAAM＝·sin 45°22. ＝4×＝22aA2). ＝(2222，，22)∴，故(2AOyAOC＝180°－105°＝75°，∠∵∠＝45°，COy∴∠＝30°.ABOC＝＝3又∵，????33333→→??OCABC，∴＝＝∴，－????2222??333??b.即＝，－??22??333→→??ABBA.＝(2)＝－，－??22333→→→ABOBOA)，2)＋＝(＋，＝(222(3)－22??333??.＝＋22，22－??22反思与感悟在表示点、向量的坐标时，可利用向量的相等、加减法运算等求坐标，也可以利用向量、点的坐标定义求坐标.一般利用不等式思想求解，即把问题条件转化为关于参数的不等式(组)，再解不等式(组)就可以求得参数的取值范围.ABCAABxC在第轴上，点边在在坐标原点，，顶点的正三角形2已知边长为1 跟踪训练．→→→→BDACBCDACAB.一象限，，为的坐标的中点，分别求向量，，CABABC2sin (2cos 60°，，解如图，正三角形的边长为2，则顶点0)(0，0)，，(2 60°)，31DC ()，∴，(1，，3)22→→ACAB＝，(1，∴3)＝(2，0)，→BC，3)＝(－，1＝(1－，23－0)3313→BD). ，＝(－＝(－2－，0)2222类型二平面向量的坐标运算→→→→→ABCAB a BC b CA c CM c CN，＝＝，＝＝，且已知，(－2，4)，3(3，－1)，－(3，－4).设2 例b.2＝－abc；33 ＋－(1)求a m b n c mn的值；(2)求满足，＝的实数＋→MNMN的坐标求的坐标及向量，.(3)abc＝(1，3)，，8). ＝(－6 解由已知得，－＝(5，－5)abc＝3(5，－5)＋(－6，－3)(1)3－＋3(1－3，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42).m b n c mnmn a＝(5，－5))－6＝＋，，－3(2)∵＋＋8＝(mmn，＝－＝5－6，＋1????解得∴??nmn1.，－38＋＝－＝－5????O为坐标原点，设 (3)→→→CMOMOC c，∵＝＝3－→→OM c OC＝(3，24)＋(－3，－＋4)＝(0，20)，∴＝3M(0，20).∴→→→CNONOC b，又∵＝－＝2－→→ON b OC＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)∴＝－2＋，→NMN18).，－(9＝，∴2)，(9∴．反思与感悟向量坐标运算的方法(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行.(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算.(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.ab＝(2，1)，求：＝(－1，2)跟踪训练2 已知，11ababab.－；；(2)(3)－(1)23＋323ab＝2(－1，32)＋3(2，(1)2解 1) ＋＝(－2，4)＋(6，3)＝(4，7).ab＝(－1，2)－3(2，1) (2)3－＝(－1，2)－(6，3)＝(－7，－1).1111ab＝(－1，2)－(2(3)，－1) 232312172????????????，－1，－，. ＝＝－??????36332类型三平面向量坐标运算的应用→→→ABCAPABAC(λ∈R)，试求＝λ＋λ已知点为何值时：(2，3)，(5，4)， (7，10).若例3 P在第一、三象限的角平分线上；点 (1)P在第三象限内点. (2)Pxy)，( 解设点，的坐标为→APxyxy－3)，，3)＝(则＝(－，2)－(2，→→ACAB3)]，－(2＋λ[(7，10)＋λ－＝(5，4)(2，3)). λ＋75λ，11)，＋λ(5，7)＝(3＋＝(3→→→ACAPAB ＝，＋∵λxx，λ5＋5λ，＋5＝－2＝3????∴则??yy.，λ7λ＝4＋1－3＝＋7????P在一、三象限角平分线上，则5＋5λ＝4＋(1)若点7λ，1∴λ＝.2，<0＋5λ5??P∴λ<(2)若点－在第三象限内，则1.?，λ4＋7<0??1P在第一、三象限角平分线上；时，点∴当λ＝2P.在第三象限内时，点1－<λ当．反思与感悟 (1)待定系数法是最基本的数学方法之一，实质是先将未知量设出来，建立方程(组)求出未知数的值，是待定系数法的基本形式，也是方程思想的一种基本应用.(2)坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量.由此可建立相等关系求某些参数的值.ab m a n b mnmn－R8)(，若(1，－2))，＋，则∈＝跟踪训练3 已知向量(9＝(2，1)，，－＝的值为________.答案－3ab m a n b mnmn)＝(9，2－＝(28)＋，解析∵(2＝，1)，，＝(1，－2)，∴即－＋mmn，2＝92，＋＝????mn＝2－－5＝－解得故3.??nnm，＝，2－5＝－8????abab等于( －21)＝(－2，1.设平面向量，则＝(3，5)，)A.(7，3)B.(7，7)C.(1，7)D.(1，3)答案 A1→→→OAOBAB的坐标是( ，则向量 )＝(－5，－2.已知向量，－＝(32)，1)211????????，－4－4， A. B.????22D.(8，－C.(8，1) 1)A答案→→→OAABOB＝－，＝(－8，解析∵1)11??→??AB，4－.＝∴??22→→DBCCBAABCDAD的，则顶点＝2，且3.已知四边形，的三个顶点(0，2)1(－，－2)，(3，1))坐标为(71????????，－22， A.B.????22D.(1，3)C.(3，2)A答案→DxyBC＝(4，3)，)，则，设解析点坐标为(→ADxy，2)－，(＝x2＝??x，4＝2?7?→→?DADBC(2，2).，得，∴由∴＝?72yy，??－23＝2＝????2→→ABACBC等于( 3)，则向量) 2)，向量＝(－4.已知点4(0，1)，，－(3，A.(－7，－4) B.(7，4)D.(14) ，4)C.(－1，A答案→→→→→ABBCACABAC4). －(7，－＝(－4，－3)－(3 解析，＝(3，1)，＝(－4，－3)，＝1)－＝xy b x abcca，，(满足＋5.如图，在6×6的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量，＝yxy＝＋R∈)，则________.19 答案7ab＝(2，，2) 建立如图所示的平面直角坐标系，设小方格的边长为1，则可得，＝(1解析c＝(3，，4).3)－yx，＋23＝??b yx ac，∴＝＋∵?yx，＝2－34??17?x?719?xy＝解得.＋因此72?y?.＝71.向量的正交分解是把一个向量分解为两个互相垂直的向量，是向量坐标表示的理论依据.向量的坐标表示，沟通了向量“数”与“形”的特征，使向量运算完全代数化.2.要区分向量终点的坐标与向量的坐标.由于向量的起点可以任意选取，如果一个向量的起点是坐标原点，这个向量终点的坐标就是这个向量的坐标；若向量的起点不是原点，则向量→ABxxyy). ，(的终点坐标不是向量的坐标，此时＝－－ABAB．3.向量和、差的坐标就是它们对应向量坐标的和、差，数乘向量的坐标等于这个实数与原来向量坐标的积.课时作业一、选择题abba的坐标是( － (1，0)，那么向量1.已知向量3＝(－1，2)，) ＝A.(－4，2) B.(－4，－2)D.(4C.(4，2) ，－2)D答案ab，故选2)(3＋1，0－2)＝(4，－＝＝3(1，0)－(－1，2)(3，0)－(－1，2)解析 3＝－D.1aaabb)等于( ＝(42.已知，－－(1＝，2)，10)＋，则2B.(2A.(－2，－2) ，2)D.(2，－2，2) 2)C.(－D答案bcabca的值分别为，则λ＋λ，＝(34)，且，＝已知向量3.λ＝(1，2)，＝(2，3)，λ2121) ( B.1，－2 －2，1 A.D.－1C.2，－1 ，2D答案，＝λ＋2λ3，1λ＝－????121解得解析由??2.2λλ4，＝＝＋3λ????212→→→ABCDADABACBDOCO的坐标是，，则相交于点＝(－2，3)4.在?，对角线中，已知，＝(37)，( ) 11????????5－，5－，－ B.A.????2211????????5，，－5 D.C. ????22B答案11→→→→ADACCOAB)＋(解析＝－＝－22111????5，－－，故选＝×(3，3)2＝－×(－，－7)B. ??222．13→→→OBOOAOB)( 5.如果将，则＝ (，)绕原点的坐标是逆时针方向旋转120°得到221331) )B.(，－A.(－，222213－D.(3) ，C.(－) 1，22D答案13→→OBOAO120°得到＝逆时针方向旋转(，)解析因为所在直线的倾斜角为30°，绕原点223ByAB，轴对称，由此可知－所在直线的倾斜角为150°，所以点坐标为，(两点关于2113→OB D. －，))，故，故选的坐标是(222ccacab xy b) 等于，则)，若3( －2 ＋6.已知向量2)＝(5，，3)＝(－4，－，＝＝(0，B.(2323，－12) ，12) A.(－D.(－0) C.(7，7，0)A答案y acb x解析∵＝(5，2)，－＝(4，－3)，)＝(，，cba＋，＝3－20且acb12).23，－－－－815，－66)＝(－23－－＝2(4，－3)3(5，2)＝(－∴＝→→PPMNMNPNPM点的坐标为＝－，(－27)，(10，－2)，点2是线段，则上的点，且7.已知) (B.(2216) ，－11) A.(－14，D.(2C.(6，，1) 4)D 答案二、填空题eeaeeae＋，为基底，将分解成λ，则以，－(2，3)－＝(1，2)＝(1已知8.＝，2)，112211e____________. ∈，(λλλR)的形式为221241eea＝＋答案2177eae)，R∈，λ(＋λ解析设＝λλ2211122则(－2λ＝3)，－(2＋2)，(1λ＝，1－2)λ(λ＋3λλ，)21，2121．1??，λ＝17，－1＝λ－2λ??21?由解得?43λ，2＝2λ＋???21?.＝λ2741eea. ＝所以＋217711→→BCBCACA________.－－8，10)(2，－4)，，则(0，6)，的坐标是(9.已知平面上三点426)－3，答案 (→→yBDxDBCxyACA________. ，，则(2，＝)，且10.已知＋(－1，－2)，＝(2，3)，－(2，0)11 答案2→AC 2)，(－1，，0)－(－1，－2)＝解析∵＝(－2→yyxBDx，，－3)－(2，＝(3)＝(－，2)→→yxBDAC，－1，，22)－6)又∵2＝＝，即(2(－43??xx，1－4＝－2，＝??2?∴由解得?y，22－6＝????y，＝411yx.＋∴＝2→→→→→MNCNCBBACCMCA的坐标为＝2－3，－4)，＝3，则11.已知2(－，4)，，(3，－1)，(________.18)(9，－答案→CM，＝(3，解析 24)＝3(1，8)→CN，(12，6)＝2(6，3)＝→→→CMCNMN18).＝(9，－，6)－(3＝，－24)＝(12→→OAOAxOAOA的坐标为＝612.已知，∠是坐标原点，点|在第二象限，＝150°，向量|________.3)3(－，3答案πAOCAOBCOCOAB＝.22，2)，为坐标原点，点，且∠在∠内，||＝，，－13.已知(30)(04→→→OCOAOB ________.＝λ，则)R∈λ(＋λ＝设2答案3πCCExEAOC＝知，过轴于点作⊥，由∠解析4OECE|＝2|，| |＝→→→→→OCOEOBOAOB，＋所以＝＝λ＋→→OEOA，λ即＝2所以(－2，0)＝λ(－3，0)，故λ＝.3三、解答题abcpabcabp. 3、＋，＝(1，2)，求表示＝2已知14.，并用基底＝(2，1)，＋＝(－1，3)pabc＋3＝2＋解＝2(2，1)＋3(－1，3)＋(1，2)＝(4，2)＋(－3，9)＋(1，2)＝(2，13).p x a y b，＝＋设19?x?，＝7yx，2＝－2???解得则有?yx24，＝＋313???y?.＝71924pab.∴＋＝77四、探究与拓展11→→→→→ABACABDABACDCD的坐标、，.＝－－(1，2)，，求点(2，8)及和＝15.已知点33CxyDxy)，，)，解设点((，2112→→ACxyAB ＝(3，6)－2)由题意可得，＝(，＋1，11→→BAyDAx6).3，－＝(－1－2－－)，＝(22，11→→→→BAABDAAC，∵，＝＝－331yx，，2)(3＝，6)＝∴(＋1，(1－2)1131yx，，＝(12)＝－)(－3，－6)－(－1－222，3xx，＝1－11＋1＝，－????21和则有??yy，2＝2－2－2＝????21．xx，，2＝－＝0????21解得和??yy0.＝4＝????21CD的坐标分别为(0，4)和(－2，0)，∴，→CD＝(－∴2，－4).。

《2.3.4 平面向量共线的坐标表示》导学纲要（学生用）班级:姓名:小组:评论:【学习目标 】1. 理解用坐标表示的平面向量共线的条件．2．能用向量的坐标表示判断向量共线，会用向量的坐标表示证明三点共线 .【要点难点】要点：坐标表示的平面向量共线的条件． 难点：向量共线的应用． 【学法指导】小构成员合作研究，发现规律． 【导学流程】研究一：向量共线的坐标表示设ax 1 , y 1 , b x 2 , y 2，此中b0 .那么当且仅当存在实数，使 a b 时，即 a 与b共线 ?研究二：平面向量定比分点坐标与向量公式坐标公式（ 1）线段中点坐标公式：设 P 1x 1, y 1 , P 2 x 2, y 2 , 则线段 AB 中点的坐标是 P（ 2）若P x 1 , y 1 , P 2x 2 , y 2 , 且 PP 1PP 2 ,(1)则 P1向量公式：（ 1）已知 PPPP ,(1) 设 OPa ， OP 2b ， 则 OPa b1121系数和的特点是：1（2）当1时，即点 P 为线段 P 1 P 2 的中点时 ，OP(a b)2ab例题剖析：已知a / /b, 且a =(4, 2), b =(6, y), 求y 的值 ;例 1：例 2、已知A(-1，-1)，Ｂ(1，3)，C(2，5)，试判断A,B,C三点之间的地点关系.例 3.已知a(1,0) ， b (2,1) ,当实数 k 为什么值时,向量k a b 与 a 3b 平行?并确立它们是同向仍是反向.例 4、设点 P 是线段 P1P2上的一点， P1、 P2的坐标分别是( x1, y1 ), ( x2 , y2 )（1）当点 P 是线段 P1P2的中点时，求点 P 的坐标；（ 2）当点 P 是线段 P1P2的一个三平分点时，求点 P 的坐标。

堂测堂练：1、已知 A、B、C三点共线，且A(3,6), B( 5, 2) ，若C点的横坐标为6，则 C 点的纵坐标为（）A 、-13 B、9 C、-9 D、132 、已知向量 a (3, 4), b (sin , cos )，且 a // b ，则 tan 的值为（）3 34 4A 、4 B、 4 C、3 D、 3a (8, 1 x),b ( x, 1)，此中 x>0，若(a2b ) //( 2a b ) ，则x值的为（3、已知向量 2 ）A 、 4 B、8 C、0 D、24、已知向量 OA ( k, 12), OB (4, 5), OC ( k, 10) ，且A、B、C三点共线，则k= 。

2.3《平面向量的基本定理及坐标表示》教学设计【教学目标】1．了解平面向量基本定理；2．理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；3．能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 【导入新课】 复习引入：1． 实数与向量的积实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa .（1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时，λa 与a方向相同；λ<0时，λa 与a 方向相反；λ=0时，λa=0. 2．运算定律结合律：λ(μa )=(λμ)a ；分配律：(λ+μ)a =λa +μa ，λ(a +b )=λa +λb .3. 向量共线定理向量b 与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa .新授课阶段一、平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e . 探究：(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2) 基底不惟一，关键是不共线；(3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； (4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a，1e ，2e 唯一确定的数量. 二、平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a (1)1 我们把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作 ),(y x a (2)2 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○2○2式叫做向量的坐标表示.与．a 相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．),(y x . 特别地，)0,1( i ，)1,0( j ，)0,0(0 .如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作a OA ，则点A 的位置由a 唯一确定. 设yj xi OA ，则向量OA 的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量OA 的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.三、平面向量的坐标运算（1）若),(11y x a ，),(22y x b ，则b a ),(2121y y x x ，b a ),(2121y y x x .两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.设基底为、j ，则b a )()(2211j y i x j y i x j y y i x x )()(2121 ，即b a ),(2121y y x x ，同理可得b a ),(2121y y x x .（2）若),(11y x A ，),(22y x B ，则 1212,y y x x AB .一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.AB =OB OA =( x 2，y 2) -(x 1，y 1)= (x 2 x 1，y 2 y 1).（3）若),(y x a 和实数 ，则),(y x a .实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 设基底为、j ，则a )(yj xi yj xi ，即),(y x a .例1 已知A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，求AB u u u r的坐标.例2 已知a r =(2，1)，b r =(-3，4)，求a r +b r ，a r -b r ，3a r +4b r的坐标.例3 已知平面上三点的坐标分别为A( 2，1)，B( 1，3)， C(3，4)，求点D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.解：当平行四边形为ABCD 时，由DC AB ，得D 1=(2，2).当平行四边形为ACDB 时，得D 2=(4，6)，当平行四边形为DACB 时，得D 3=( 6，0). 例4 已知三个力1F (3，4)，2F (2， 5)，3F (x ，y)的合力1F +2F +3F =0，求3F 的坐标. 解：由题设1F +2F +3F =，得：(3，4)+ (2， 5)+(x ，y)=(0，0)， 即：320,450,x y∴5,1.x y ∴3F ( 5，1).例5 已知a =(2,1),b =(－3,4),求a ＋b ，a －b ，3a＋4b 的坐标.解：a ＋b＝（2,1）+（-3,4）=(－1，5)， a －b＝（2,1）-（-3,4）=(5，－3)，3a＋4b ＝3（2,1）+4（-3,4）=（6,3）+（-12,16）=(－6，19).点评：利用平面向量的坐标运算法则直接求解.例6 已知平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别为（-2，1）、（-1，3）（3，4），求顶点D 的坐标. 解：设点D 的坐标为（x,y ）,即 3- x=1,4-y=2. 解得x=2,y=2.所以顶点D 的坐标为（2，2）. 另解：由平行四边形法则可得(1,3)(2,1)(1,2),(3,4)(,)(3,4),,AB DC x y x y AB DC u u u rQ u u u ru u u r u u u r 且(1,2)(3,4).x y (2(1),13)(3(1),43)(3,1),BD BA BCu u u r u u u r u u u r例7 经过点(2,3)M 的直线分别交x 轴、y 轴于点,A B ，且||3||AB AM u u u r u u u u r，求点,A B 的坐标.解：由题设知，,,A B M 三点共线，且||3||AB AM u u u r u u u u r，设(,0),(0,)A x B y ，①点M 在,A B 之间，则有3AB AM u u u r u u u u r， ∴(,)3(2,3)x y x .解之得：3,3x y ， 点,A B 的坐标分别为(3,0),(0,3) .②点M 不在,A B 之间，则有3AB AM u u u r u u u u r ，同理，可求得点,A B 的坐标分别为3(,0)2，(0,9) .综上，点,A B 的坐标分别为(3,0),(0,3) 或3(,0)2 ，(0,9) . 例8. 已知三点(2,3),(5,4),(7,10)A B C ，若AM AB AC u u u u r u u u r u u u r，试求实数 的取值范围，使M落在第四象限.解：设点(,)M x y ，由题设得(2,3)(3,)(5,7)(35,7)x y ， ∴33,4x y ， 要使M 落在第四象限，则330,40x y ， 解之得14 .例8 已知向量(8,2),(3,3),(6,12),(6,4)a b c p r r r u r，问是否存在实数,,x y z 同时满足两个条件：(1);(2)1p xa yb zc x y z u r r r r？如果存在，求出,,x y z 的值；如果不存在，请说明理由.解：假设满足条件的实数,,x y z 存在，则有8366,23124,1.x y z x y z x y z 解之得：1,21,31.6x y z(1,3)(3,1)(2,2).OD OB BD u u u r u u u r u u u r∴满足条件的实数111,,236x y z . 课堂小结（1）理解平面向量的坐标的概念； （2）掌握平面向量的坐标运算；（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线. 作业 见同步练习 拓展提升1.设,1e 2e是同一平面内两个不共线的向量，不能以下各组向量中作为基底的是（ ） A. 1e ，2e B. 1e +2e ，2e C. 1e ，22e D.1e ，1e +2e2. 设,1e 2e是同一平面内所有向量的一组基底，则以下各组向量中，不能作为基底的是（ ） A. 1e +2e 和1e -2e B. 31e -22e 和41e -62eC. 1e +22e 和21e +2eD. 1e +2e 和2e3.已知,1e 2e 不共线，a =1 1e +2e ，b =4 1e +22e ，并且a ，b共线，则下列各式正确的是（ ）A. 1 =1，B. 1 =2，C. 1 =3，D. 1 =44.设AB =a +5b ，BC =-2a +8b ，CD =3a -3b，那么下列各组的点中三点一定共线的是（ ）A. A ，B ，CB. A ，C ，DC. A ，B ，DD. Ｂ，Ｃ，Ｄ ５．下列说法中，正确的是（ ）①一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底； ②一个平面内有无数多对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底； ③零向量不可作为基底中的向量.Ａ．①② Ｂ．①③ Ｃ．②③ Ｄ①②③６．已知,1e 2e是同一平面内两个不共线的向量，那么下列两个结论中正确的是（ ） ①1 1e +2 2e（1 ，2 为实数）可以表示该平面内所有向量；②若有实数1 ，2 使1 1e +2 2e ＝0，则1 ＝2 ＝０.Ａ．① Ｂ．② Ｃ．①② Ｄ．以上都不对７．已知ＡＭ＝△ＡＢＣ的ＢＣ边上的中线，若AB ＝a，AC ＝b ，则AM ＝（ ）Ａ．21（a －b ） Ｂ． －21（a －b ）Ｃ．－21（a ＋b ） Ｄ．21（a ＋b ）８．已知ＡＢＣＤＥＦ是正六边形，AB ＝a，AE ＝b ，则BC ＝（ ）Ａ．21（a －b ） Ｂ． －21（a －b ）Ｃ．a ＋21b Ｄ．21（a ＋b ）９．如果３1e +４2e ＝a ，２1e +３2e ＝b ，其中a ，b为已知向量，则1e ＝ ，2e ＝ .１０．已知,1e 2e 是同一平面内两个不共线的向量，且AB ＝２1e +ｋ2e ，CB ＝1e +３2e，＝２1e －2e，如果Ａ，Ｂ，Ｄ三点共线，则ｋ的值为 .１１．当ｋ为何值时，向量a＝４1e +２2e ，b ＝ｋ1e ＋2e 共线，其中1e 、2e 是同一平面内两个不共线的向量.１２．已知：1e 、2e 是不共线的向量，当ｋ为何值时，向量a＝ｋ1e +2e 与b ＝1e ＋ｋ2e 共线？。

课后导练基础达标1.下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（ ）A.e 1=(0,0),e 2=(1,-2)B.e 1=(-1,2),e 2=(5,7)C.e 1=(3,5),e 2=(6,10)D.e 1=(2,-3),e 2=(21,-43) 解析：e 1与e 2应非0且不共线，只有B 适合.答案：B2.已知a =(-1,3),b =(-1,x),且a ∥b ，则x 等于（ ）A.3B.-31C.31 D.-3 解析：由a ∥b ，得-x=-1×3,x=3.答案：A3.下列各式正确的是（ ）A.a =(-2,4) b =(5,2) 则a +b =(3,6)B.a =(5,2) b =(2,4) 则a -b =(-3,2)C.a =(1,0) b =(0,1) 则a +b =(0,1)D.a =(1,1) b =(1,2) 则2a +3b =(4,8)解析：用向量坐标运算的法则来解，逐一计算，只有A 正确.答案：A4.已知A （1,-3）,B(8, 21)且A 、B 、C 三点共线，则C 点的坐标是（ ） A.（-9，1） B.（9，-1） C.（9，1） D.（-9，-1） 解析：设C(x,y)，则=(7,27),=(x-1,y+3). ∵A 、B 、C 三点共线，∴AB ∥,∴7(y+3)=27(x-1),7x-14y-49=0.只有C 满足. 答案：C5.设a =（31，t a nα）,b =(cosα, 23),且a ∥b ，则锐角α的值为（ ） A ．12π B ．6π C ．4π D ．3π 解析：∵a ∥b ,∴31×23-t a nα·cosα=0， 即sinα=21,α=6π. 答案：B6.若A 点的坐标为A （1，2），O 为原点，且'OA =2OA ，则A′点的坐标（ ）A.（1，4）B.（2，2）C.（2，4）D.（4，2）解析：设A （x,y ）.由（x,y ）=2(1,2),得x=2,y=4.答案：C7.若|a |=32,b =(-1,3)，且a ∥b ,则a =____________.解析：设a =(x,y)，则⎩⎨⎧=+=+,03,1222y x y x 解出x,y.答案：(530,3053-)或（-530,3053） 8.已知点A 、B 、C 的坐标分别是（2，-4）、（0，6）、（-8，10），则+2=___________，-21=_________________. 解析：=（-2，10），=（-8，4），∴+2=(-2,10)+(-16,8)=(-18,18),用同样方法得-21=(-3,-3). 答案：（-18,18） (-3,-3)9.已知向量a =(3,-2),b =(-2,1),c =(7,-4).试用a 和b 来表示c .解：设c =λ1a +λ2b .将已知坐标代入有(7,-4)=λ1(3,-2)+λ2(-2,1)=(3λ1-2λ2，-2λ1+λ2).故⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧-=+-=-3.2,1,42,72212121λλλλλλ 故c =a -2b .10.已知向量a =(5,2),b =(x 2+y 2,xy),且a =b ,求x,y 的值.解：根据两向量相等的充要条件是它们的对应坐标相等,)2()1(2522⎩⎨⎧==+xy y x ①+②×2得（x+y ）2=9,①-②×2得（x-y ）2=1,可有⎩⎨⎧±=-±=+,1,3y x y x 解得⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.1,2,2,1,2,1,1,2y x y x y x y x 综合运用11.已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（-1，0）、（3，0）、（1，-5），则第四个顶点的坐标为（ ）A.（1，5）或（5，-5）B.（1，5）或（-3，-5）C.（5，-5）或（-3，-5）D.（1，5）或（5，-5）或（-3，-5） 解析：设出第四个顶点坐标（x,y ），根据点写出向量坐标，再用向量相等求出.答案：D12.已知向量e 1≠0，λ∈R ，a =e 1+λe 2,b =2e 1.若a 与b 共线，则下列关系中一定成立的是（ ）A.λ=0B.e 2=0C.e 1∥e 2D.e 1∥e 2或λ=0 解析：若e 1与e 2共线.当e 1与e 2同向时，a =e 1(1+λ1)=211λ+·b ，满足题意；当e 1与e 2反向时，a =(1-λ2)e 1=b 211λ-，满足题意. 若e 1与e 2不共线.由a ∥b ，可知，λ=0.答案：D13.设①AB =22(a +5b ) ②BC =-2a +8b ③CD =3(a -b )，则共线的三点是（ ） A.A 、B 、C B.B 、C 、D C.A 、B 、D D.A 、C 、D 解析：=-2a +8b , =3a -3b , ∴=+=a +5b . 从而AB =22BD . 答案：C14.(2004上海高考)已知点A （1，-2），若向量AB 与a =（2，3）同向，|AB |=132，则点B 的坐标为__________________.解析：设AB =（x,y ）,因AB 与a 同向，∴AB =λa (λ>0),即（x,y ）=λ(2,3)，∴⎩⎨⎧==,3,2λλy x 又|AB |=132，∴x 2+y 2=52. ∴4λ2+9λ2=52,λ=2(λ>0).即=（4，6）.∴点B 的坐标为（5，4）.答案：（5，4）15.已知a =(1,2),b =(-3,2).当k 为何值时，k a +b 与a -3b 平行？平行时，它们是同向还是反向？ 解：k a +b =k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),a -3b =(1,2)-3(-3,2)=(10,-4).当k a +b 与a -3b 平行时，存在唯一实数λ,使k a +b =λ(a -3b ).于是(k-3,2k+2)=λ(10,-4),∴⎩⎨⎧-=+=-.422,103λλk k解得k=-31,λ=-31. 故k=-31时，k a +b 与a +3b 平行. 这时k a +b =-31a +b ， ∵λ=-31＜0， ∴-31a +b 与a -3b 反向. 拓展探究16.已知△ABC 的面积为14 c m 2,D 、E 分别为边AB 、BC 上的点，且AD ∶DB=BE ∶EC=2∶1，求△APC 的面积.思路分析：据题目所给的比例关系解出△PAB ，与△PBC 的面积，再相减得到所求. 解：设=a , =b . 则=a +32b , =31a +b . ∵点A 、P 、E 与D 、P 、C 分别共线，∴存在λ和μ，使得AP =λAE =λa +32λb , =μ=31μa +μb . 又∵=+=(32+31μ)a +μb , ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=.74,7632,3132μλμλμλ∴S △PAB =74S △ABC =14×74=8 c m 2. ∴S △PBC =14×(1-76)=2 c m 2. 故S △APC =14-8-2=4 c m 2.。

§2.3.4平面向量共线的坐标表示教学过程：一、复习引入：1．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a +=把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a =其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=.2．平面向量的坐标运算若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，),(y x a λλλ=.若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=二、讲解新课：a ∥b (b ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0设a =(x 1， y 1) ，b =(x 2， y 2) 其中b ≠a .由a =λb 得， (x 1， y 1) =λ(x 2， y 2) ⎩⎨⎧==⇒2121y y x x λλ消去λ，x 1y 2-x 2y 1=0 探究：（1）消去λ时不能两式相除，∵y 1， y 2有可能为0，∵b ≠0∴x 2， y 2中至少有一个不为0（2）充要条件不能写成2211x y x y =∵x 1， x 2有可能为0 (3)从而向量共线的充要条件有两种形式：a ∥b (b ≠0)01221=-=⇔y x y x λ三、讲解范例：例1已知a =(4，2)，b =(6， y)，且a ∥b ，求y.例2已知A(-1， -1)，B(1，3)，C(2，5)，试判断A ，B ，C 三点之间的位置关系. 例3设点P 是线段P 1P 2上的一点， P 1、P 2的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2).(1) 当点P 是线段P 1P 2的中点时，求点P 的坐标；(2) 当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时，求点P 的坐标.例4若向量a =(-1，x)与b =(-x ， 2)共线且方向相同，求x解：∵a =(-1，x)与b =(-x ， 2)共线∴(-1)×2- x •(-x )=0∴x=±2∵a 与b 方向相同∴x=2例5已知A(-1， -1)，B(1，3)，C(1，5) ，D(2，7) ，向量与平行吗？直线AB 与平行于直线CD 吗？ 解：∵=(1-(-1)， 3-(-1))=(2， 4) ，=(2-1，7-5)=(1，2)又∵2×2-4×1=0 ∴∥ 又∵=(1-(-1)，5-(-1))=(2，6)，=(2， 4)，2×4-2×6 0 ∴与不平行∴A ，B ，C 不共线∴AB 与CD 不重合∴AB ∥CD四、课堂练习：1.若a =(2，3)，b =(4，-1+y )，且a ∥b ，则y =（ ）A.6 B .5 C.7 D.82.若A (x ，-1)，B (1，3)，C (2，5)三点共线，则x 的值为（ ）A.-3 B .-1 C.1 D.33.若=i +2j ， =(3-x )i +(4-y )j (其中i 、j 的方向分别与x 、y 轴正方向相同且为单位向量). AB 与共线，则x 、y 的值可能分别为（ ）A.1，2 B .2，2 C.3，2 D.2，44.已知a =(4，2)，b =(6，y )，且a ∥b ，则y =.5.已知a =(1，2)，b =(x ，1)，若a +2b 与2a -b 平行，则x 的值为.6.已知□ABCD四个顶点的坐标为A(5，7)，B(3，x)，C(2，3)，D(4，x)，则x=.五、小结（略）六、课后作业（略）七、板书设计（略）八、课后记：。

一、学习目标1、了解平面向量的坐标的概念； 理解平面向量的坐标表示法和一对有序实数一一对应关系；2、掌握两向量的和、差坐标表示法，掌握平面向量的坐标运算；3、会根据向量的坐标，判断向量是否共线，掌握两向量平行时坐标表示； 二、学习重点、难点重点：平面向量的坐标运算； 难点：向量平行的坐标表示； 三、学习过程1、平面向量的坐标表示：问题1：在直角坐标平面内的每个点都与一对有序实数存在一一对应关系，平面向量能否也用一对实数表示？如何建立平面向量与实数对一一对应关系？向量坐标表示的实质是什么？思考：→i = ，→j = ，→0= 问题2：如何理解平面向量与实数对一一对应的关系？注：相等的向量其坐标相同，同样坐标相同的向量是相等的向量，这就是向量坐标表示的实质，向量（x ，y ）−−−→←一一对应向量→-OA −−−→←一一对应点A （x ，y ） 学习71p 例1问题3：平面向量的坐标与该向量的始点、终点坐标有何关系？怎样从已知给出的任意两个坐标，求第三个？问题4：平面向量和与差的坐标运算及实数与向量积的坐标运算，类似于代数运算中的哪些运算？ （1）两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差：),(2121y y x x b a ±±=±→→（其中),(),,(2211y x b y x a ==→→）（2）实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标： 若),(y x a =→，则),(y x a λλλ=→； （3）向量平行的坐标表示：已知向量→a 、→b )0(→→≠a ，则→a //→b 的等价条件为存在实数λ，使→b =λ→a ，如果→a =（11,y x ），→b =（22,y x ）)0(→→≠a ， 则→a //→b 的等价条件为：01221=-y x y x学习7271-p 例2、例3、例4；通过例4的 学习我们应该掌握两个重要的公式，你知道是哪两个重要公式吗、你能利用向量坐标推导吗？课堂检测： 完成书73p 1-61、设a =(4，－3)，b =(x ，5)，c =(－1，y)，若a +b =c ，则（x ，y ）= ．2、若a =(-1，x)与b =(－x ，2)共线且方向相同，则x= ．3、若A(－1， －1)， B(1，3)， C(x ，5) 三点共线，则x= ．4、已知a =(3， 2)，b =(－2，1)，若λa +b 与a +λb （λ∈R ）平行，则λ= ．5、已知|a |=10，b =（4，－3），且a ∥b ，则向量a 的坐标是 ．6、若向量a =(－1，x)，b =(－x ，2)，且a 与b 同向，则a －2b = ．7、已知点O 是平行四边形ABCD 的对角线交点，AD =(2，5)，AB =(-2，3)，则CD 坐标为 ，DO 坐标为 ，CO 的坐标为 ．8、已知OA =(x 1，y 1)，OB =(x 2，y 2)，线段AB 中点为C ，则OC 的坐标为 ．巩固练习：1. 若)4,3(),1,2(-==→→b a ，则→→+b a 43的坐标为__________；2. 设点A 的坐标为（2，1），点B 的坐标为（1，-2）则向量→-BA 的坐标为 ；y xABCD E3. 已知)2,1(),3,2(+=-=→→y b x a ，若→→=b a ，则X= ；y= ； 4. 下列说法正确的有 个（1）向量的坐标即此向量终点的坐标 （2）位置不同的向量其坐标可能相同（3）一个向量的坐标等于它的始点坐标减去它的终点坐标 （4）相等的向量坐标一定相同 5. 作用于原点的两力)3,2(),1,1(21==→→F F ，为使它们平衡(即合力为0)，需加力→3F =______6. 已知平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别为（-2，1）、（-1，3）、（3，4），则顶点D 的坐标为 7. 已知平行四边形ABCD 中，A （0，0）、B （5，0）、D （2，4），对角线AC 、BD 交于点M ，则→-DM 的坐标是8. 已知点B 的坐标为（m ，n ），→-AB 的坐标为（i ，j ），则点A 的坐标为 9. 若A （2，3）、B （x ，4）、C （3，y ），且→-→-=AC AB 2，则X= ；y= ；10.已知向量a =(3,-2),b =(-2,1),c =(7,-4),若c =λa+μb ,则λ＝ ，μ＝______.11.已知向量a =（1，2），b =（x ，1），1e =a +2b ，2e =2a -b 且1e ∥2e ，求x ．12.已知→a =（x+y+1，2x-y ），→b =（x-y ，x+2y-2），若2→a =3→b ，求x 、y 的值；13.已知四边形ABCD 是平行四边形，O 是坐标原点，试证明：→-OA +→-OC =→-OB +→-OD13.已知两点A(4，－2)，B(－4，4)，C(1，1)，求：(1)求方向与→AB一致的单位向量；（2）过点C作向量→CD与→AB共线，且4=→CD，求D点坐标；（3）若A、B、C都是某个平行四边形的顶点，求另一个顶点D的坐标．。

2．3．3平面向量的坐标运算编审：周彦 魏国庆【学习目标】1.理解平面向量的坐标的概念；掌握平面向量的坐标运算；2.会根据向量的坐标，判断向量是否共线.【新知自学】 知识回顾：1．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =______________(1)不共线向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组 ；(2)由定理可将任一向量a 在给出基底1e ，2e 的条件下进行分解；分解形式惟一. λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的实数对； 2. 向量的夹角:已知两个非零向量a 、b ，作=，=，则∠AOB ＝θ，叫向量a 、b 的夹角，当θ= ，a 、b 同向，当θ= ，a 、b 反向，当θ= ，a 与b 垂直，记作a ⊥b 。

3．向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，取i =(1,0)，j =(0,1)作为一组基底,设=x i +y j ，则向量的坐标),(y x 就是点A 的坐标。

新知梳理： 1．平面向量的坐标运算已知：a =(11,x y ),b =(22,x y )，我们考虑如何得出b a +、b a -、a λ的坐标。

设基底为i 、j ，则b a +==即b a += ，同理可得b a -=结论：(1) 若a =(11,x y ),b =(22,x y )，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --= 即：两个向量和与差的坐标分别等于 .（2）若a =(x,y)和实数λ，则(,)a x y λλλ=.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。

思考感悟：已知),(11y x A ，),(22y x B ，怎样来求AB 的坐标？若),(11y x A ，),(22y x B ，=OBOA = 则AB =结论:一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的 对点练习：1.设向量，坐标分别是（-1，2），（3，-5）则+=__________，-=________，3=_______，2+5=___________2. 如右图所示，平面向量AB 的坐标是（ ）A. (2,3)B. (2,3)-C. (2,3)--D. (2,3)-3．若A(0，1)，B(1，2)，C(3，4)，则2BC = .【合作探究】 典例精析：例1： 已知a =(2，1)， b =(-3，4)，求a +b ，a -b ，3a +4b 的坐标.变式1： 已知(1,2),(2,1)a b =-=，求：（1）23a b +（2）3a b - （3）1123a b -。

自主广场我夯基我达标1.向量，，的终点A ，B ，C 在一条直线上，且=-3.设=p ，=q ,=r ，则下列等式成立的是( )A.r =-21p+23q B.r =-p +2q C.r =23p -21q D.r=-q +2p 思路解析：由AC =-3CB ,得OC -OA =-3(OB -OC )，即2=-+3， ∴=-21+23，即r =-21p +23q . 答案：A2.设一直线上三点A,B,P 满足=λ(λ≠1)，O 是空间一点，则用,表示为( ) A.OP =OA +λOB B.=λ+(1-λ) C.=λλ++1OB OA D.OP =λ1OA +λ-11OB 思路解析：由=λ(λ≠1),得-=λ(-)， 即=λλ++1OB OA . 答案：C3.已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A 、C),则AP 等于( ) A.λ(+),λ∈(0,1) B.λ(+),λ∈(0,22) C.λ(-),λ∈(0,1)D.λ(-),λ∈(0,22) 思路解析：∵点P 在对角线AC 上，∴AP 与AC 共线.又AC =AB +AD ,AP =λ(AB +AD ),当P 与A 重合时，λ=0；当P 与C 重合时，λ=1.答案：A4.若向量a =(1,1),b =(1,-1),c =(-1,2),则c 可表示为（ ） A.-21a +23b B.21a -23b C.23a -21b D.23-a +21b 思路解析：平面内任一向量可用该平面内一组基底唯一线性表示，本题可用待定系数法,也可对各选项进行排除.答案：B5.下面所给向量共线的是( )A.(1，5)，(5，-5)B.(2，-3)，(21,43-) C.(1，0)，(0，1) D.(1，-3)，(8，21) 思路解析：将所给坐标代入公式，看“x 1y 2-x 2y 1=0”是否成立即可.答案：B6.与a =(12,5)平行的单位向量为( ) A.(135,1312-) B.(135,1312--) C.(135,1312)或(135,1312--) D.(135,1312±±) 思路解析：利用平行与单位向量两个条件，即由与a 共线的单位向量是±||a a 可得. 答案：C我综合我发展7.(2006山东高考，文4) 设向量a =(1,-3),b =(-2,4),若表示向量4a 、3b -2a 、c 的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c 为( )A.(1,-1)B.(-1,1)C.(-4,6)D.(4,-6)思路解析：4a =(4，-12)，3b -2a =(-8，18).设向量c =(x ，y)，依题意，得4a +(3b -2a )+c =0，所以4-8+x=0，-12+18+y=0，解得x=4，y=-6.答案：D8.已知点A(3，1)，B(0，0),C(3，0).设∠BAC 的平分线AE 与BC 相交于E ，那么=λ,其中λ等于( )A.2B.21 C.-3 D.-31 思路解析：∵AE 为∠BAC ||CE ||AC =12=2.∴CE BE 2-=. ∴BC =BE -CE =-2CE -CE =-3CE .答案：C9.(2006北京高考，文11) 若三点A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)共线，则ba 11+的值等于________. 思路解析：AB =(a-2,-2)，AC =(-2,b-2)，依题意，有(a-2)·(b-2)-4=0，即ab-2a-2b=0.所以b a 11+=21. 答案：21 10.已知|a |=10,b =(3,4),a ∥b ,则向量a =__________.思路解析：首先设a =(x,y)，然后利用|a |=10,a ∥b ,列出含x,y 的两个等式，解出x,y. 答案：(6,8)或(-6,-8)11.在△ABC 中，设=m ，=n ，D 、E 是边BC 上的三等分点，则=______,=______.思路解析：由D 、E 是边BC 上的三等分点，可得=31,=32，转化为已知向量即可. 答案：32m +31n 31m +32n 12.平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A(3,1),B(-1,3)，若点C 满足=α+β，其中，α、β∈R ，且α+β=1,则点C 的轨迹方程为__________.思路解析：将点C 所满足的向量式条件转化为直角坐标的方程式即为点C 的轨迹方程. 答案：x+2y-5=013.已知向量p =a +t b ,q =c +s d (t 、s 是任意实数)，其中a =(1,2),b =(3,0),c =(1,-1),d =(3,2)，求向量p 、q 的交点坐标.思路分析：本例主要利用向量相等的坐标运算,即若a =(x 1,y 1)，b =(x 2,y 2)，则a =b 的充要条件是x 1=x 2且y 1=y 2.另外当t 、s ∈R 时，向量p =a+t b ,q =c +s d 表示两条直线，(211,2)为这两条直线的交点.解：设交点坐标为(m,n)，则存在实数t′，使p =a +t′b =(3t′+1,2)=(m,n).∴⎩⎨⎧=+'=,2,13n t m 同理，存在实数s′，使p =c +s′d =(3s′+1，2s′-1)=(m,n).∴⎩⎨⎧-'=+'=,12,13s n t m 得⎩⎨⎧-'=+'=+'.122,1313s s t . 解得s′=t′=23. ∴(m,n)=(1，2)+t′(3，0)=(3t′+1,2)=(211,2)， 即向量p 、q 的交点坐标为(211,2).。

格一课堂教学方案章节：课时： 2精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。

平面向量基本定理及坐标表示小结编审：周彦魏国庆【学习目标】. 了解平面向量的基本定理及其意义；掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．．会用坐标表示平面向量的线性运算；会用坐标表示的平面向量共线的条件.【知识重温】．平面向量基本定理如果，是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，，使＝.向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.．平面向量的坐标表示在平面直角坐标系内，分别取与轴、轴的两个单位向量、作为基底，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数，，使得＝，则有序数对(、)叫做向量的坐标，记作，其中，分别叫做在轴、轴上的坐标，＝(，)叫做向量的坐标表示。

相等的向量其相同，相同的向量是相等向量．．平面向量的坐标运算()已知点(，)，(，)，则＝，)已知＝(，)，(，)，则＋，－，λ＝；∥(≠).()＝(，)， (，)，＝⇔.思考感悟．基底的不唯一性只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，故基底的选取是不唯一。

平面内任意向量都可被这个平面的一组基底，线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的．．向量坐标与点的坐标区别在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量＝，此时点的坐标与的坐标统一为(，)，但应注意其表示形式的区别，如点(，)，向量＝＝(，)．当平面向量平行移动到时，向量不变即＝＝(，)，但的起点和终点的坐标都发生了变化．对点练习：．已知向量(，－)，(－)，则等于( )．(－) ．(，－)．() ．(－，－)．已知向量()，(，)，若＋与－平行，则实数的值是( )．－．．．．已知向量()，＝()，＝()．若λ为实数，(＋λ)∥，则λ＝( )．．．下列各组向量中，能作为基底的是( )①()，＝()②()，＝(－，－)③(，－)，＝(－)④()，()．．①②．②③．③④．②④。

2.3.4 平面向量共线的坐标表示 课时目标 1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.2.会根据平面向量的坐标，判断向量是否共线．1．两向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)．(1)当a ∥b 时，有______________________．(2)当a ∥b 且x 2y 2≠0时，有____________________．即两向量的相应坐标成比例．2．若P 1P →＝λPP 2→，则P 与P 1、P 2三点共线．当λ∈________时，P 位于线段P 1P 2的内部，特别地λ＝1时，P 为线段P 1P 2的中点； 当λ∈________时，P 位于线段P 1P 2的延长线上；当λ∈________时，P 位于线段P 1P 2的反向延长线上．一、选择题1．已知三点A (－1,1)，B (0,2)，C (2,0)，若AB →和CD →是相反向量，则D 点坐标是( )A ．(1,0)B ．(－1,0)C ．(1，－1)D ．(－1,1)2．已知平面向量a ＝(x,1)，b ＝(－x ，x 2)，则向量a ＋b ( )A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第二、四象限的角平分线3．若a ＝(2cos α，1)，b ＝(sin α，1)，且a ∥b ，则tan α等于( )A ．2 B.12 C ．－2 D ．－124．已知向量a 、b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b .如果c ∥d ，那么( )A ．k ＝1且c 与d 同向B ．k ＝1且c 与d 反向C ．k ＝－1且c 与d 同向D ．k ＝－1且c 与d 反向5．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(0,1)，设u ＝a ＋k b ，v ＝2a －b ，若u ∥v ，则实数k 的值为( )A ．－1B ．－12C.12D ．1 6．已知A 、B 、C 三点在一条直线上，且A (3，－6)，B (－5,2)，若C 点的横坐标为6，则C 点的纵坐标为( )A ．－13B ．9C ．－9D ．13题 号 1 2 3 4 5 6 答 案7．已知向量a ＝(2x ＋1,4)，b ＝(2－x,3)，若a ∥b ，则实数x 的值等于________．8．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )且a ∥b ，则2a ＋3b ＝________.9．若三点P (1,1)，A (2，－4)，B (x ，－9)共线，则x 的值为________．10．设向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)．若向量λa ＋b 与向量c ＝(－4，－7)共线，则λ＝________.三、解答题11．已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？12．如图所示，已知点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，O (0,0)，求AC 与OB 的交点P 的坐标．能力提升13．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3,1)，B (－1，3)，若点C 满足OC →＝mOA→＋nOB →，其中m ，n ∈R 且m ＋n ＝1，则点C 的轨迹方程为( )A ．3x ＋2y －11＝0B ．(x －1)2＋(y －2)2＝5C ．2x －y ＝0D ．x ＋2y －5＝014．已知点A (－1，－3)，B (1,1)，直线AB 与直线x ＋y －5＝0交于点C ，则点C 的坐标为________.1．两个向量共线条件的表示方法已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(1)当b ≠0，a ＝λb .(2)x 1y 2－x 2y 1＝0.(3)当x 2y 2≠0时，x 1x 2＝y 1y 2，即两向量的相应坐标成比例． 2．向量共线的坐标表示的应用两向量共线的坐标表示的应用，可分为两个方面．(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线．联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题．要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行．(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程．要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据．2．3.4 平面向量共线的坐标表示答案知识梳理1．(1)x 1y 2－x 2y 1＝0 (2)x 1x 2＝y 1y 22．(0，＋∞) (－∞，－1) (－1,0)作业设计1．C2．C [∵a ＋b ＝(0,1＋x 2)，∴平行于y 轴．]3．A [∵a ∥b ，∴2cos α×1＝sin α.∴tan α＝2.故选A.]4．D [由c ∥d ，则存在λ使c ＝λd ，即k a ＋b ＝λa －λb ，∴(k －λ)a ＋(λ＋1)b ＝0.又a 与b 不共线，∴k －λ＝0，且λ＋1＝0.∴k ＝－1.此时c ＝－a ＋b ＝－(a －b )＝－d . 故c 与d 反向，选D.]5．B [∵u ＝(1,2)＋k (0,1)＝(1,2＋k )，v ＝(2,4)－(0,1)＝(2,3)，又u ∥v ，∴1×3＝2(2＋k )，得k ＝－12.故选B.] 6．C [C 点坐标(6，y )，则AB →＝(－8,8)，AC →＝(3，y ＋6)．∵A 、B 、C 三点共线，∴3－8＝y ＋68，∴y ＝－9.] 7.12解析 由a ∥b 得3(2x ＋1)＝4(2－x )，解得x ＝12. 8．(－4，－8)解析 由a ∥b 得m ＝－4.∴2a ＋3b ＝2×(1,2)＋3×(－2，－4)＝(－4，－8)．9．3解析 P A →＝(1，－5)，PB →＝(x －1，－10)，∵P 、A 、B 三点共线，∴P A →与PB →共线．∴1×(－10)－(－5)×(x －1)＝0，解得x ＝3.10．2解析 λa ＋b ＝(λ＋2,2λ＋3)，c ＝(－4，－7)，∴λ＋2－4＝2λ＋3－7，∴λ＝2. 11．解 由已知得k a ＋b ＝(k －3,2k ＋2)，a －3b ＝(10，－4)，∵k a ＋b 与a －3b 平行，∴(k －3)×(－4)－10(2k ＋2)＝0，解得k ＝－13. 此时k a ＋b ＝⎝⎛⎭⎫－13－3，－23＋2＝－13(a －3b )， ∴当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，并且反向． 12．解 方法一 由题意知P 、B 、O 三点共线，又OB →＝(4,4)．故可设OP →＝tOB →＝(4t,4t )，∴AP →＝OP →－OA →＝(4t,4t )－(4,0)＝(4t －4,4t )，AC →＝OC →－OA →＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)．又∵A 、C 、P 三点共线，∴AP →∥AC →，∴6(4t －4)＋8t ＝0，解得t ＝34， ∴OP →＝(3,3)，即点P 的坐标为(3,3)．方法二 设点P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，OB →＝(4,4)．∵P 、B 、O 三点共线，∴OP →∥OB →，∴4x －4y ＝0.又AP →＝OP →－OA →＝(x ，y )－(4,0)＝(x －4，y )，AC →＝OC →－OA →＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)，∵P 、A 、C 三点共线，∴AP →∥AC →，∴6(x －4)＋2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ 4x －4y ＝0，6(x －4)＋2y ＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝3， 所以点P 的坐标为(3,3)．13．D [设点C 的坐标为(x ，y )，则(x ，y )＝m (3,1)＋n (－1,3)＝(3m －n ，m ＋3n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3m －n ， ①y ＝m ＋3n ， ② ①＋2×②得，x ＋2y ＝5m ＋5n ，又m ＋n ＝1，∴x ＋2y －5＝0.所以点C 的轨迹方程为x ＋2y －5＝0.]14．(2,3)解析 设AC →＝λCB →，则得C 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－11＋λ，λ－31＋λ. 把C 点坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－11＋λ，λ－31＋λ代入直线x ＋y －5＝0的方程，解得λ＝－3.∴C 点坐标为(2,3)．附赠材料答题六注意 ：规范答题不丢分提高考分的另一个有效方法是减少或避免不规范答题等非智力因素造成的失分,具体来说考场答题要注意以下六点:第一,考前做好准备工作。

第课时平面向量基本定理
[核心必知]
．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材～的内容，回答下列问题．
()观察教材图－的作图过程，思考：如果，是两个不共线的确定向量，那么与，在同一平面内的任意向量能否用，表示？根据是什么？
提示：可以．根据是数乘向量和平行四边形法则．
()平面内的任意两个向量都可以平移至公共起点，它们存在夹角吗？
提示：存在．
()两个非零向量夹角θ的取值范围是什么？当非零向量与共线时，它们的夹角是多少？
提示：两个非零向量夹角θ的范围是°≤θ≤°.当非零向量与共线时，它们的夹角是°或°.
．归纳总结，核心必记
()平面向量基本定理
作向量＝，＝，则∠叫做向量
续表
()能与另外一个向量构成基底吗？
提示：不能．基向量是不共线的，而与任意向量是共线的．
()平面向量的基底是唯一的吗？
提示：不是．平面内任何不共线的两个向量都可以作为基底，基底一旦确定，平面内任何一向量都可以用这一基底唯一表示．
()如果，是共线向量，那么向量能否用，表示？为什么？
提示：不一定，当与共线时可以表示，否则不能表示．
[课前反思]
()平面向量基本定理：
；
()基底：
；
()基向量：
；
()向量的夹角：
．
讲一讲
.如图，梯形中，∥，且＝，，分别是和的中点，若试用，表示
[尝试解答]如图所示，连接，则四边形是平行四边形．。