辽宁省人教b版高一数学必修四导学案：3.2.1倍角公式

3．2 倍角公式和半角公式3.2.1 倍角公式[学习目标] 1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形运用．[知识链接]1．两角和公式与二倍角公式有联系吗？答 有联系．在S α＋β，C α＋β，T α＋β中，令β＝α即可得S 2α，C 2α，T 2α.2．什么情况下sin 2α＝2sin α，tan 2α＝2tan α？答 一般情况下，sin 2α≠2sin α，例如sin π3≠2sin π6，只有当α＝k π(k ∈Z )时，sin 2α＝2sin α才成立．只有当α＝k π(k ∈Z )时，tan 2α＝2tan α成立．[预习导引]1．倍角公式(1)S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α，sin α2cos α2＝12sin α； (2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；(3)T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 2．倍角公式常用变形(1)sin 2α2sin α＝cos_α，sin 2α2cos α＝sin_α； (2)(sin α±cos α)2＝1±sin_2α；(3)sin 2α＝1－cos 2α2，cos 2α＝1＋cos 2α2； (4)1－cos α＝2sin 2α2,1＋cos α＝2cos 2α2.要点一 给角求值问题例1 求下列各式的值：(1)sin π12cos π12；(2)1－2sin 2750°；(3)2tan 150°1－tan 2150°； (4)1sin 10°－3cos 10°；(5)cos 20°cos 40°cos 80°. 解 (1)原式＝2sin π12cos π122＝sin π62＝14. (2)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500°＝cos(4×360°＋60°)＝cos 60°＝12. (3)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝－ 3.(4)原式＝cos 10°－3sin 10°sin 10°cos 10°＝2⎝⎛⎭⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°cos 10°＝4(sin 30°cos 10°－cos 30°sin 10°)2sin 10°cos 10°＝4sin 20°sin 20°＝4. (5)原式＝2sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°2sin 20° ＝2sin 40°·cos 40°·cos 80°4sin 20°＝2sin 80°·cos 80°8sin 20°＝sin 160°8sin 20°＝18. 规律方法 此类题型(1)(2)(3)小题直接利用公式或逆用公式较为简单，而(4)小题分式一般先通分，再考虑结合三角函数公式的逆用从而使问题得解．而(5)小题通过观察角度的关系，发现其特征(二倍角形式)，逆用正弦二倍角公式，使得问题中可连用正弦二倍角公式，所以在解题过程中要注意观察式子的结构特点及角之间是否存在特殊的倍数关系，灵活运用公式及其变形，从而使问题迎刃而解． 跟踪演练1 求下列各式的值．(1)sin π8sin 3π8；(2)cos 215°－cos 275°； (3)2cos 25π12－1；(4)tan 30°1－tan 230°.解 (1)∵sin 3π8＝sin(π2－π8)＝cos π8， ∴sin π8sin 3π8＝sin π8cos π8＝12·2sin π8cos π8＝12sin π4＝24. (2)∵cos 275°＝cos 2(90°－15°)＝sin 215°，∴cos 215°－cos 275°＝cos 215°－sin 215°＝cos 30°＝32. (3)2cos 25π12－1＝cos 5π6＝－32. (4)tan 30°1－tan 230°＝12×2tan 30°1－tan 230°＝12tan 60°＝32. 要点二 给值求值问题例2 已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝513，0<x <π4，求cos 2x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x 的值． 解 原式＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x ·cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x . ∵sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝513，且0<x <π4， ∴π4＋x ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝1213. ∴原式＝2×1213＝2413. 规律方法 在解题过程中要注意抓住角的特点解题，同时要注意挖掘题目中的隐含条件：π4＋x 与π4－x 存在互余关系．特别要注意利用这些条件来确定某些三角函数值的符号． 跟踪演练2 已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35，π2≤α<3π2，求cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4的值．解 ∵π2≤α<3π2，∴3π4≤α＋π4<7π4，于是可由cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35得到sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－45. 即22cos α－22sin α＝35，22sin α＋22cos α＝－45. 两式相加得cos α＝－210，两式相减得sin α＝－7210. 而cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝22(cos 2α－sin 2α)， cos 2α＝⎝⎛⎭⎫－2102－(－7210)2＝－2425， sin 2α＝2×⎝⎛⎭⎫－210×⎝⎛⎭⎫－7210＝725. 所以cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝22⎝⎛⎭⎫－2425－725＝－31250. 要点三 给值求角问题例3 已知tan α＝13，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值． 解 ∵tan α＝13>0，∴α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，2α∈(0，π)， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝⎛⎭⎫132＝34>0， ∴2α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 又∵tan β＝－17<0，β∈(0，π)，∴β∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34－⎝⎛⎭⎫－171＋34×⎝⎛⎭⎫－17＝1， 又∵2α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴2α－β∈(－π，0)，∴2α－β＝－34π. 规律方法 在给值求角时，一般选择一个适当的三角函数，根据题设确定所求角的范围，然后再求出角．其中确定角的范围是关键的一步．跟踪演练3 已知tan α＝17，sin β＝1010，且α，β为锐角，求α＋2β的值． 解 ∵tan α＝17<1，且α为锐角，∴0<α<π4，又∵sin β＝1010<22，且β为锐角，∴0<β<π4， ∴0<α＋2β<3π4. 由sin β＝1010，β为锐角，得cos β＝31010， ∴tan β＝13，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝12， ∴tan(α＋2β)＝tan (α＋β)＋tan β1－tan (α＋β)tan β＝12＋131－12×13＝1， 故α＋2β＝π4.1．cos 275°＋cos 215°＋cos 75°cos 15°的值等于( )A.62B.32C.54 D ．1＋34答案 C解析 原式＝sin 215°＋cos 215°＋12sin 30°＝1＋14＝54. 2．sin 4π12－cos 4π12等于( ) A ．－12 B ．－32 C.12 D.32答案 B解析 原式＝⎝⎛⎭⎫sin 2π12＋cos 2π12·⎝⎛⎭⎫sin 2π12－cos 2π12 ＝－⎝⎛⎭⎫cos 2π12－sin 2π12＝－cos π6＝－32. 3.tan 7.5°1－tan 27.5°＝________. 答案 1－32 解析 原式＝12·2tan 7.5°1－tan 27.5°＝12·tan 15°＝12tan(60°－45°)＝12×3－11＋3＝1－32. 4．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是____________．答案 3解析 因为sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以cos α＝－12，sin α＝1－cos 2 α＝32， 所以tan α＝－3，则tan 2α＝2tan α1－tan 2 α＝－231－(－3)2＝ 3.1.对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是32α的二倍；α2是α4的二倍；α3是α6的二倍；α2n ＝2·α2n ＋1(n ∈N ＋)． 2．二倍角的余弦公式的运用在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛．二倍角的常用形式：①1＋cos 2α＝2cos 2α，②cos 2α＝1＋cos 2α2，③1－cos 2α＝2sin 2α，④sin 2α＝1－cos 2α2.。

§3.2.1《倍角公式》学案【学习目标】1. 学会利用两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，知道各公式之间的内在联系，认识整个公式体系的生成过程 2. 能记住二倍角公式及相关变形 3. 能用二倍角公式进行化简，求值 【重难点】重点：二倍角公式的推导及应用 难点：二倍角公式的变形式的应用 【学法指导】自主探究公式的内在联系 【知识链接】两角和的正弦、余弦、正切公式cos(βα+)= sin(βα+)= tan(βα+)= 【学习过程】阅读课本第132页到133页的内容，尝试回答下面的问题 知识点1.二倍角公式的推导在上面和角公式中，若令αβ=，会得到怎样结果α2sin = α2cos = tan α2=（其中tan α有意义α≠ ，tan α2有意义α≠ ）知识点2.二倍角公式的变形 由sin2α+cos 2α=1，你能填写下面的结果吗cos2α=αα22sin cos -= =它们还可以写成α2c o s1+ = α2cos 1- = α2sin =α2cos =基础训练：你能根据上面的公式解答下列问题吗？ 化简求值：(1)2015cos 15sin (2)cos8sin 822ππ-(3)0205.22tan 15.22tan - (4)15.22cos 202-例题分析： 例题1.已知5sin ,132πααπ=<<,求sin 2α,cos 2α,tan 2α的值问题：若条件5sin 13α=改为sin α+cos α=713-，怎么做？变式练习：已知sin α+cos α=31,0<α<π,求sin2α,cos2α,tan2α. 分析导引：1.先根据条件可以求sin2α 2.求cos2α的两种思路 （1）sin α+cos α=)1,0()4sin(2∈+πα，故有)22,0()4sin(∈+πα， 所以4πα+的范围是 ，从而得到α2的范围故cos2α的符号为负，由平方关系即可求解（2）你能分析ααcos ,sin 的符号，结合条件计算sin α-cos α的值吗，从而联立方程算出ααcos ,sin ，再由倍角公式求α2cos小结：sin α+cos α，sin α-cos α,sin ααcos ,知一求二,但要注意符号的判断 例题2. 在△ABC 中，cosA=54,tanB=2,求tan(2A+2B)的值 思路1：先求tan2A,tan2B思路2：先求tan(A+B),2A+2B 是A+B 的倍角问题：若求tan(A+2B)的值呢？你能写出几种思路？【当堂检测】 化简(1)θθtan 11tan 11+-- (2)αααα4cos 4sin 14cos 4sin 1++-+【学习反思】本节课我最大的收获是什么？【课后练习】 一．选择题1.已知θπθ2sin -1),4,0(则∈为 （ ）A.θθsin cos -B.θθcos sin -C.θcos 2D.θcos 22.已知==-∈x x x 2tan ,54cos ),0,2(则π（ ）A.247B.245-C.724D.724-3.已知则),2,4(,412sin ππαα∈=ααsin cos -= ( )A.23-B.43C.23 D.43-二．填空题1. (1)sinxcosxcos2xcos4x= (2)sin100sin300sin500sin700=2. 若tan()4πα+=223+，则αα2sin 2cos 1- =3.已知=-=+)232cos(,31)6sin(απαπ则 4.已知=∈=αππαααtan ),,2(,2cos sin 则5.函数x x x f 2sin cos 2)(2+=的最小值是 三．解答题1.已知sin()4απ+sin()4απ-=61,且),2(ππα∈，求sin α42.已知)4sin(21sin 2cos 2),,2(2,222tan 2θθθππθθ+--∈-=求3.已知向量(sin ,cos 2sin ),(1,2).a b θθθ=-= （Ⅰ）若//a b ，求tan θ的值；（Ⅱ）若||||,0,a b θπ=<<求θ的值。

§3.2.1倍角公式
(一)教学目标：
1.知识目标：
(1)掌握2,2,2S C T ααα公式的推导，明确α的取值范围；
(2) 能正确运用二倍角公式求值、化简、证明。

2.能力目标：
(1)通过公式的推导，了解它们的内在联系，从而培养逻辑推理内容能力； (2)通过综合运用公式，掌握有关技巧，提高分析问题、解决问题的能力。

3.情感目标：
引导学生发现数学规律,培养学生思维的严密性与科学性等思维品质.
(二)教学重点、难点
重点：二倍角的正弦、余弦、正切公式以及公式的变形，二倍角公式的简单应用。

难点：理解二倍角公式，用单角的三角函数表示二倍角的三角函数，倍角公式与以前
学过的同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和角公式的综合应用。

(三)教学方法
本节课采用观察、赋值、启发探究相结合的教学方法，进行教学活动。

通过设置问题让学生理解二倍角公式是由和角公式由一般化归为特殊而来的。

对于二倍角公式的灵活运用，采用讲、练结合的方式进行处理，让学生从实例中去理解,从而能灵活地运用二倍角公式解题。

(四)教学过程
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tan2α = 119120-。

示范教案整体设计教学分析倍角公式是在研究了两角和与差的三角函数的基础上，进一步研究具有“二倍角”关系的正弦、余弦、正切公式的，它既是两角和与差的正弦、余弦、正切公式的特殊化，又为以后求三角函数值、化简、证明提供了非常有用的理论工具，通过对二倍角的推导知道，二倍角的内涵是：揭示具有倍数关系的两个三角函数的运算规律，通过推导还让学生加深理解了高中数学由一般到特殊的化归思想．因此本节内容也是培养学生运算和逻辑推理能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力、发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义．本节课通过教师提出问题、设置情境及对和角公式中α、β关系的特殊情形α＝β时的简化，让学生在探究中既感到自然、易于接受，还可清晰知道和角的三角函数与倍角公式的联系，同时也让学生学会怎样发现规律及体会由一般到特殊的化归思想．这一切教师要引导学生自己去做，因为，《数学课程标准》提出：“要让学生在参与特定的数学活动，在具体情境中初步认识对象的特征，获得一些体验．”在实际教学过程中不要过多地补充一些高技巧、高难度的练习，否则就违背了新课标在这一节的编写意图和新课改精神．三维目标1．通过让学生探索、发现并推导二倍角公式，了解它们之间、以及它们与和角公式之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对二倍角公式的理解，培养运算能力及逻辑推理能力．2．通过二倍角的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明．体会化归这一基本数学思想在发现中和求值、化简、恒等证明中所起的作用．3．通过本节学习，引导学生领悟寻找数学规律的方法，培养学生的创新意识，以及善于发现和勇于探索的科学精神．重点难点教学重点：二倍角公式推导及其应用．教学难点：灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(复习导入)请学生回忆上两节共同探讨的和角公式、差角公式，并回忆这组公式的来龙去脉，然后让学生默写这六个公式．教师引导学生：和角公式与差角公式是可以互相化归的．当两角相等时，两角之和便为此角的二倍，那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢？今天，我们进一步探讨一下二倍角的问题，请同学们思考一下，应解决哪些问题呢？由此展开新课．思路2.(问题导入)出示问题，让学生计算，若sinα＝35，α∈(π2，π)，求sin2α，cos2α的值．学生会很容易看出：sin2α＝sin(α＋α)＝sinαcosα＋cosαsinα＝2sinαcosα的，以此展开新课，并由此展开联想推出其他公式．推进新课新知探究提出问题(1)还记得和角的正弦、余弦、正切公式吗？(请学生默写出来，并由一名学生到黑板默写)(2)你写的这三个公式中角α、β会有特殊关系α＝β吗？此时公式变成什么形式？(3)在得到的C 2α公式中，还有其他表示形式吗？(4)细心观察二倍角公式结构，有什么特征呢？(5)能看出公式中角的含义吗？思考过公式成立的条件吗？(6)让学生填空：老师随机给出等号一边括号内的角，学生回答等号另一边括号内的角，稍后两人为一组，做填数游戏：sin ( )＝2sin ( )cos ( )，cos ( )＝cos 2( )－sin 2( ).(7)思考过公式的逆用吗？想一想C 2α还有哪些变形？(8)请思考以下问题：sin2α＝2sinα吗？cos2α＝2cosα吗？tan2α＝2tanα吗活动：本节总的指导思想是教师引导学生自己推导倍角公式．学生默写完问题(1)后，教师打出课件，然后引导学生观察正弦、余弦的和角公式，提醒学生注意公式中的α，β，既然可以是任意角，怎么任意的？你会有些什么样的奇妙想法呢？并鼓励学生大胆试一试．如果学生想到α，β会有相等这个特殊情况，教师就此进入下一个问题，如果学生没想到这种特殊情况，教师适当点拨进入问题(2)，然后找一名学生到黑板进行简化，其他学生在自己的座位上简化，教师再与学生一起集体订正黑板的书写，最后学生都不难得出以下式子，鼓励学生尝试一下，对得出的结论给出解释．这个过程教师要舍得花时间，充分地让学生去思考、去探究，并初步地感受二倍角的意义．同时开拓学生的思维空间，为学生将来遇到的3α或3β等角的探究附设类比联想的源泉．sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ⇒sin2α＝2sinαcosα(S 2α)；cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ⇒cos2α＝cos 2α－sin 2α(C 2α)；tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ ⇒tan2α＝2tanα1－tan 2α(T 2α)． 这时教师适时地向学生指出，我们把这三个公式分别叫做二倍角的正弦，余弦，正切公式，并指导学生阅读教科书，确切明了二倍角的含义，以后的“倍角”专指“二倍角”．教师适时提出问题(3)，点拨学生结合sin 2α＋cos 2α＝1思考，因此二倍角的余弦公式又可表示为以下右表中的公式．sin2α＝2sinαcosα(S 2α)cos2α＝cos 2α－sin 2α(C 2α)tan2α＝2tanα1－tan 2α(T 2α) cos2α＝2cos 2α－1cos2α＝1－2sin 2α 这时教师点出，这些公式都叫做倍角公式(用多媒体演示)．倍角公式给出了α的三角函数与2α的三角函数之间的关系．问题(4)，教师指导学生，这组公式用途很广，并与学生一起观察公式的特征与记忆，首先公式左边角是右边角的2倍；左边是2α的三角函数的一次式，右边是α的三角函数的二次式，即左到右→升幂缩角，右到左→降幂扩角、二倍角的正弦是单项式，余弦是多项式，正切是分式．问题(5)，因为还没有应用，对公式中的含义学生可能还理解不到位，教师要引导学生观察思考并初步感性认识到：(Ⅰ)这里的“倍角”专指“二倍角”，遇到“三倍角”等名词时，“三”字等不可省去；(Ⅱ)通过二倍角公式，可以用单角的三角函数表示二倍角的三角函数；(Ⅲ)二倍角公式是两角和的三角函数公式的特殊情况；(Ⅳ)公式(S 2α)，(C 2α)中的角α没有限制，都是α∈R ，但公式(T 2α)需在α≠12kπ＋π4和α≠kπ＋π2(k ∈Z )时才成立，这一条件限制要引起学生的注意．但是当α＝kπ＋π2，k ∈Z 时，虽然tanα不存在，此时不能用此公式，但tan2α是存在的，故可改用诱导公式．问题(6)，填空是为了让学生明了二倍角的相对性，即二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其他如4α是2α的二倍，α2是α4的二倍，3α是3α2的二倍，α3是α6的二倍，π2－α是π4－α2的二倍等，所有这些都可以应用二倍角公式． 例如：sin α2＝2sin α4cos α4，cos α3＝cos 2α6－sin 2α6等等． 问题(7)，本组公式的灵活运用还在于它的逆用以及它的变形用，这点教师更要提醒学生引起足够的注意．如：sin3αcos3α＝12sin6α，4sin α4cos α4＝2(2sin α4cos α4)＝2sin α2， 2tan40°1－tan 240°＝tan80°，cos 22α－sin 22α＝cos4α，tan2α＝2tanα(1－tan 2α)等等． 问题(8)，一般情况下：sin2α≠2sinα，cos2α≠2cosα，tan2α≠2tanα.若sin2α＝2sinα，则2sinαcosα＝2sinα，即sinα＝0或cosα＝1，此时α＝kπ(k ∈Z )． 若cos2α＝2cosα，则2cos 2α－2cosα－1＝0，即cosα＝1－32(cosα＝1＋32舍去)． 若tan2α＝2tanα，则2tanα1－tan 2α＝2tanα，∴tanα＝0，即α＝kπ(k ∈Z )． 讨论结果：(1)～(8)略．应用示例思路1例 1已知si nα＝513，α∈(π2，π)，求sin2α，cos2α，tan2α的值． 活动：教师引导学生分析题目中角的关系，观察所给条件与结论的结构，注意二倍角公式的选用，领悟“倍角”是相对的这一换元思想．让学生体会“倍”的深刻含义，它是描述两个数量之间关系的．本题中的已知条件给出了α的正弦值．由于2α是α的二倍角，因此可以考虑用倍角公式．本例是直接应用二倍角公式解题，目的是为了让学生初步熟悉二倍角的应用，理解二倍角的相对性，教师大胆放手，可让学生自己独立探究完成． 解：因为s inα＝513，α∈(π2，π)，所以cosα＝－1－sin 2α＝－1－(513)2＝－1213， sin2α＝2sinαcosα＝2×513×(－1213)＝－120169， cos2α＝cos 2α－sin 2α＝(－1213)2－(513)2＝119169， tan2α＝sin2αcos2α＝－120169÷119169＝－120119. 点评：学生由问题中条件与结论的结构不难想象出解法，但要提醒学生注意，在解题时注意优化问题的解答过程，使问题的解答简捷、巧妙、规范，并达到熟练掌握的程度．本节公式的基本应用是高考的热点.例 2证明1＋sin2θ－cos2θ1＋sin2θ＋cos2θ＝tanθ. 活动：教师可点拨学生想一想，到现在为止，所学的证明三角恒等式的方法大致有几种：从复杂一端化向简单一端；两边化简，中间碰头；化切为弦；还可以利用分析综合法解决，有时几种方法会同时使用等．对找不到思考方向的学生，教师点出：可否再添加一种，化倍角为单角？这可否成为证明三角恒等式的一种方法？再适时引导，前面学习同角三角函数的基本关系时曾用到“1”的代换，对“1”的妙用大家深有体会，这里可否在“1”上做做文章？待学生探究解决方法后，可找几个学生到黑板书写解答过程，以便对照点评及给学生以启发．点评时对能够善于运用所学的新知识解决问题的学生给予赞扬；对暂时找不到思路的学生给予点拨、鼓励．强调“1”的妙用很妙，妙在它在三角恒等式中一旦出现，在证明过程中就会起到至关重要的作用，在今后的证题中，万万不要忽视它．证明：方法一：左＝sin2θ＋(1－cos2θ)sin2θ＋(1＋co s2θ)＝2sinθcosθ＋(1＋1－2cos 2θ)2sinθcosθ＋(1＋2cos 2θ－1)＝sinθcosθ＋1－cos 2θsinθcosθ＋cos 2θ＝sinθcosθ＋sin 2θsinθcosθ＋cos 2θ＝sinθ(cosθ＋sinθ)cosθ(sinθ＋cosθ)＝tanθ＝右， 所以，原式成立．方法二：左＝sin 2θ＋cos 2θ＋sin2θ＋sin 2θ－cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＋sin2θ＋cos 2θ－sin 2θ＝sin2θ＋2sin 2θsin2θ＋2cos 2θ＝2sinθ(sinθ＋cosθ)2cosθ(sinθ＋cosθ)＝tanθ＝右． 方法三：左＝(1＋sin2θ)－cos2θ(1＋sin2θ)＋cos2θ＝(sin 2θ＋cos 2θ＋2sinθ·cosθ)－(cos 2θ－sin 2θ)(sin 2θ＋cos 2θ＋2sinθ·cosθ)＋(cos 2θ－sin 2θ)＝(sinθ＋cosθ)2－(cosθ＋sinθ)(cosθ－sinθ) (sinθ＋cosθ)2＋(cosθ＋sinθ)(cosθ－sinθ)＝(sinθ＋cosθ)(sinθ＋cosθ＋sinθ－cosθ)(sinθ＋cosθ)(sinθ＋cosθ＋cosθ－sinθ)＝(sinθ＋cosθ)·2sinθ(sinθ＋cosθ)·2cosθ＝tanθ＝右．点评：以上几种方法大致遵循以下规律：首先从复杂端化向简单端；第二，化倍角为单角，这是我们今天刚刚学习的；第三，证题中注意对数字的处理，尤其“1”的代换的妙用，请同学们在探究中仔细体会这点．在这道题中通常用的几种方法都用到了，不论用哪一种方思路2例1求sin10°sin30°sin50°sin70°的值．活动：本例是一道灵活应用二倍角公式的经典例题，有一定难度，但也是训练学生思维能力的一道好题．本题需要公式的逆用，逆用公式的先决条件是认识公式的本质，要善于把表象的东西拿开，正确捕捉公式的本质属性，以便合理运用公式．教学中教师可让学生充分进行讨论探究，不要轻易告诉学生解法，可适时点拨学生需要做怎样的变化，又需怎样应用二倍角公式．并点拨学生结合诱导公式思考．学生经过探索发现，如果用诱导公式把10°，30°，50°，70°正弦的积化为20°，40°，60°，80°余弦的积，其中60°是特殊角，很容易发现40°是20°的2倍，80°是40°的2倍，故可考虑逆用二倍角公式．解：原式＝cos80°cos60°cos40°cos20°＝23·sin20°cos20°cos40°cos80°23·2sin20°＝sin160°16sin20°＝sin20°16sin20°＝116.例 2在△ABC 中，cosA ＝45，tanB ＝2，求tan(2A ＋2B)的值． 活动：这是本节课本上最后一个例题，结合三角形，具有一定的综合性，同时也是和与差公式的应用问题．教师可引导学生注意在三角形的背景下研究问题，会带来一些隐含的条件，如A ＋B ＋C ＝π，0<A<π，0<B<π，0<C<π，就是其中的一个隐含条件．可先让学生讨论探究，教师适时点拨．学生探究解法时教师进一步启发学生思考由条件到结果的函数及角的联系．由于对2A ＋2B 与A ，B 之间关系的看法不同会产生不同的解题思路，所以学生会产生不同的解法，不过它们都是对倍角公式、和角公式的联合运用，本质上没有区别．不论学生的解答正确与否，教师都不要直接干预．在学生自己尝试解决问题后，教师可与学生一起比较各种不同的解法，并引导学生进行解题方法的归纳总结．基础较好的班级还可以把求tan(2A ＋2B)的值改为求tan2C 的值．解法一：在△ABC 中，由cosA ＝45，0<A<π，得 sinA ＝1－cos 2A ＝1－(45)2＝35. 所以tanA ＝sinA cosA ＝35×54＝34， tan2A ＝2tanA 1－tan 2A ＝2×341－(34)2＝247. 又tanB ＝2，所以tan2B ＝2tanB 1－tan 2B ＝2×21－22＝－43. 于是tan(2A ＋2B)＝tan2A ＋tan2B 1－tan2Atan2B ＝247－431－247×(－43)＝44117. 解法二：在△ABC 中，由cosA ＝45，0<A<π，得 sinA ＝1－cos 2A ＝1－(45)2＝35. 所以tanA ＝sinA cosA ＝35×54＝34. 又tanB ＝2，所以tan(A ＋B)＝tanA ＋tanB 1－tanAtanB ＝34＋21－34×2＝－112. 于是tan(2A ＋2B)＝tan[2(A ＋B)]＝2tan (A ＋B )1－tan 2(A ＋B )＝2×(－112)1－(－112)2＝44117.课堂小结1．先由学生回顾本节课都学到了什么？有哪些收获？对前面学过的两角和公式有什么新的认识？对三角函数式子的变化有什么新的认识？怎样用二倍角公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明．2．教师画龙点睛：本节课要理解并掌握二倍角公式及其推导，明白从一般到特殊的思想，并要正确熟练地运用二倍角公式解题．在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系，一个题目能给出多种解法，从中比较最佳解决问题的途径，以达到优化解题过程，规范解题步骤，领悟变换思路，强化数学思想方法之目的．作业课本本节练习B 组1～4.设计感想1．新课改的核心理念是：以学生发展为本．本节课的设计流程从回顾→探索→应用，充分体现了“学生主体、主动探索、培养能力”的新课改理念，体现“活动、开放、综合”的创新教学模式．本节在学生探究和角公式的特殊情形中得到了二倍角公式，在这个活动过程中，由一般化归为特殊的基本数学思想方法就深深的留在了学生记忆中．本节课的教学设计流程还是比较流畅的．2．纵观本教案的设计，学生发现二倍角后就是应用，至于如何训练二倍角公式正用，逆用，变形用倒成了次要的了．而学生从探究活动过程中学会了怎样去发现数学规律，又发现了怎样逆用公式及活用公式，那才是深层的，那才是我们中学数学教育的最终目的．3．教学矛盾的主要方面是学生的学，学是中心，会学是目的，根据高中三角函数的推理特点，本节主要是教给学生“回顾公式、探索特殊情形、发现规律、推导公式、学习应用”的探索创新式学习方法．这样做增加了学生温故知新的空间，增强了学生的参与意识，教给了学生发现规律、探索推导、获取新知的途径，让学生真正尝试到探索的喜悦，真正成为教学的主体．备课资料一、三角变换中的“一致代换”法在三角变换中，“一致代换”法是一种重要的方法，所谓“一致代换”法，即在三角变换中，化“异角”“异名”“异次”为“同角”“同名”“同次”的方法．它主要包括：在三角函数式中，①如果只含同角三角函数，一般应从变化函数名称入手，尽量化为同名函数，常用“化弦法”；②如果含有异角，一般应从变化角入手，尽量化不同角为同角，变复角为单角；③如果含有异次幂，一般利用升幂或降幂公式化异次幂为同次幂．二、备用习题1．求值：1sin10°－3cos10°. 2．化简：cos36°cos72°.3．化简：cosαcos α2cos α22cos α23·…·cos α2n －1. 4．求值：sin6°sin42°sin66°sin78°.5．已知向量m ＝(sinA ，cosA)，n ＝(1，－2)，且m·n ＝0.(1)求tanA 的值；(2)求函数f(x)＝cos2x ＋tanAsinx(x ∈R )的值域．6．已知cos(α－β2)＝－19，sin(α2－β)＝23，且π2<α<π，0<β<π2，求cos(α＋β)的值． 7．已知cos(x －π4)＝210，x ∈(π2，3π4)． (1)求sinx 的值；(2)求sin(2x ＋π3)的值． 参考答案：1．解：原式＝cos10°－3sin10°sin10°cos10°＝2(12cos10°－32sin10°)sin10°cos10°＝4(sin30°cos10°－cos30°sin10°)2sin10°cos10°＝4sin (30°－10°)sin20°＝4. 2．解：原式＝2sin36°cos36°·cos72°2sin36°＝2sin72°cos72°4sin36°＝sin144°4sin36°＝14. 3．解：先将原式同乘除因式sin α2n －1，然后逐次使用倍角公式，则原式＝sin2α2n sin α2n －1. 4．解：原式＝sin6°cos48°cos24°cos12°＝sin6°cos12°cos24°cos48°＝24cos6°sin6°cos12°cos24°cos48°24cos6°＝sin96°24cos6°＝cos6°16cos6°＝116. 5．解：(1)由题意，得m·n ＝sinA －2cosA ＝0，因为cosA ≠0，所以tanA ＝2.(2)由(1)知tanA ＝2，得f(x)＝cos2x ＋2sinx ＝1－2sin 2x ＋2sinx ＝－2(sinx －12)2＋32， 因为x ∈R ，所以sinx ∈[－1,1]．当sinx ＝12时，f(x)有最大值32；当sinx ＝－1时，f(x)有最小值－3， 所以所求函数f(x)的值域是[－3，32]． 6．∵cos(α－β2)＝－19，π2<α<π，0<β<π2， ∴π2<α－β2<π. ∴sin(α－β2)＝459. ∵sin(α2－β)＝23，π2<α<π，0<β<π2， ∴0<α2－β<π2.∴cos(α2－β)＝53. ∵cos α＋β2＝cos[(α－β2)－(α2－β)]＝cos(α－β2)cos(α2－β)＋sin(α－β2)sin(α2－β) ＝(－19)×53＋459×23＝7275， ∴cos(α＋β)＝2cos 2α＋β2－1＝－239729. 7．解：(1)因为x ∈(π2，3π4)，所以x －π4∈(π4，π2)． 于是sin(x －π4)＝1－cos 2(x －π4)＝7210， sinx ＝sin[(x －π4)＋π4]＝sin(x －π4)cos π4＋cos(x －π4)sin π4＝7210×22＋210×22＝45. (2)因为x ∈(π2，3π4)，故cosx ＝－1－sin 2x ＝－1－(45)2＝－35， sin2x ＝2sinxcosx ＝－2425，cos2x ＝2cos 2x －1＝－725. 所以sin(2x ＋π3)＝sin2xcos π3＋cos2xsin π3＝－24＋7350.。

案例名称 倍角公式 教师 孙策
教学目标 知识与技能 ⑴掌握ααα222,,T C S 公式的推导，明确α的取值范围； ⑵能运用二倍角公式求三角函数值。

过程与方法 ⑴通过公式的推导，了解它们的内在联系，从而培养逻辑推理能力。

⑵通过综合运用公式，掌握有关技巧，提高分析问题、
解决问题能力。

情感态度
价值观 通过公式的推导，了解半角公式间以及它们与和角公式
之间的内在联系，从而培养逻辑推理能力和辩证唯物主义观点。

学习者特征分析：学生在前面教学中，学习并掌握了两角和与差的正弦、余弦、正切公式，在这一节中启发学生合理赋值，并推导倍角公式。

公式的推导符合学生认知，但是灵活应用还学配合习题巩固 教学策略选择与设计： 本小节采用观察、赋值、启发探究相结合的教学方法，通过设置问题引导学生观察分析，是学生在独立思考的基础上进行合作交流。

教学重点及难点：
教学重点：二倍角公式正弦、余弦、正切公式以及公式α2C 的两种变形； 教学难点：倍角公式与以前学过的同角三角函数的基本关系式、诱导公式、
和角公式的综合应用。

教学过程
教师活动 预设学生活动 设计意图 复习引入：
复习两角和与差的三角函数公式公式推导：
探索研究ααα222,,T C S 的表达式
公式的深化理解： 1. 二倍角的正切公式的适用范围2. 二倍角公式的不同表示形式 公式应用： 例1已知
求αππααcos ,2sin ),,2(,135sin ∈=跟踪训练 例2证明恒等式：
θθθθθθtan cos sin 22cos 2sin 2sin 2=+++ 板书设计。

教学目标：能记住二倍角公式，会运用二倍角公式进行求值、化简和证明，同时懂得这一公式在运用当中所起到的用途.培养观察分析问题的能力，寻找数学规律的能力，同时注意渗透由一般到特殊的化归的数学思想及问题转化的数学思想.重点难点：记住二倍角公式，运用二倍角公式进行求值、化简和证明；在运用当中如何正确恰当运用二倍角公式一、引入新课1、sin()____________________________;αβ+=2、cos()___________________________;αβ+=3、tan()___________________________;αβ+=4、由)(βα+S ，)(βα+C ，)(βα+T 公式中，令αβ=可以得到的结果：（倍角公式) sin 2_______α= ；cos 2________________________α===；=α2tan _______________；二、例题剖析例1、已知12sin 13α=，(,)2παπ∈，求ααα2tan 2cos 2sin ，，的值.例2、求证:θθθθθtan 2cos 2sin 12cos 2sin 1=++-+。

例3、不查表，求下列各式的值。

(1)︒︒15cos 15sin（2）8sin 8cos 22ππ- （3）︒-︒5.22tan 15.22tan 22 （4）︒-75sin 212 三、巩固练习1、求下列各式的值：1sin cos 88ππ=（）________ ；222sin cos 1212ππ-（）=_________; 22tan1531tan 15︒=-︒（）___________ ;2412sin 15-︒=（） ____________ ； 58sin cos cos cos 48482412ππππ=（） __________________ 。

2、34sin cos 2525αα==-已知，， 则角α的终边在第___________象限。

§3．2 倍角公式和半角公式3．2．1 倍角公式 课时目标 1．会用两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式．2．能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形运用．1．倍角公式(1)S 2α：sin 2α＝2sin αcos α，sin α2cos α2＝12sin α； (2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；(3)T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α． 2．倍角公式常用变形(1)sin 2α2sin α＝__________，sin 2α2cos α＝__________； (2)(sin α±cos α)2＝__________；(3)sin 2α＝__________，cos 2α＝______________．一、选择题1．计算1－2sin 222．5°的结果等于( )A ．12B ．22C ．33D ．322．函数y ＝2cos 2(x －π4)－1是( ) A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π2的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π2的偶函数 3．若sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)的值为( ) A ．－13 B ．－79 C ．13 D ．794．若1－tan θ2＋tan θ＝1，则cos 2θ1＋sin 2θ的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．－2 D ．－125．如果|cos θ|＝15，5π2<θ<3π，则sin θ2的值是( ) A ．－105 B ．105 C ．－155 D ．1556．已知角α在第一象限且cos α＝35，则1＋2cos (2α－π4)sin (α＋π2)等于( ) A ．25 B ．75 C ．145 D ．－25二、填空题7．3－sin 70°2－cos 210°的值是________． 8．函数f (x )＝cos x －sin 2x －cos 2x ＋74的最大值是______． 9．已知tan θ2＝3，则1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝______． 10．已知sin 22α＋sin 2αcos α－cos 2α＝1，α∈(0，π2)，则α＝________．三、解答题11．求证：3－4cos 2A ＋cos 4A 3＋4cos 2A ＋cos 4A＝tan 4 A ．12．若cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝－45，5π4<x <7π4， 求sin 2x －2sin 2x 1＋tan x的值．能力提升13．求值：cos 20°cos 40°cos 80°．14．求值：tan 70°·cos 10°·(3tan 20°－1)．1．对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是32α的二倍；α2是α4的二倍；α3是α6的二倍；α2n ＝2·α2n ＋1 (n ∈N *)． 2．二倍角余弦公式的运用在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛，二倍角的常用形式： ①1＋cos 2α＝2cos 2α，②cos 2α＝1＋cos 2α2，③1－cos 2α＝2sin 2α，④sin 2α＝1－cos 2α2．§3．2 倍角公式和半角公式3．2．1 倍角公式答案知识梳理2．(1)cos α sin α (2)1±sin 2α (3)1－cos 2α2 1＋cos 2α2作业设计1．B 2．A3．B 2(π6－α)1－2sin 2(π6－α) 4．A5．C6．C7．2解析 3－sin 70°2－cos 210°＝3－sin 70°2－1＋cos 20°2＝2(3－cos 20°)3－cos 20°＝2． 8．2解析 f (x )＝cos x －(1－cos 2x )－(2cos 2x －1)＋74＝－cos 2x ＋cos x ＋74＝－⎝⎛⎭⎫cos x －122＋2． ∴当cos x ＝12时，f (x )max ＝2． 9．3解析 1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝2sin 2θ2＋2sin θ2cos θ22cos 2θ2＋2sin θ2cos θ2＝2sin θ2⎝⎛⎭⎫sin θ2＋cos θ22cos θ2⎝⎛⎭⎫cos θ2＋sin θ2＝tan θ2＝3． 10．π6解析 ∵sin 22α＋sin 2αcos α－(cos 2α＋1)＝0． ∴4sin 2αcos 2α＋2sin αcos 2α－2cos 2α＝0．∵α∈(0，π2)．∴2cos 2α>0． ∴2sin 2α＋sin α－1＝0．∴sin α＝12(sin α＝－1舍)． ∴α＝π6． 11．证明 ∵左边＝3－4cos 2A ＋2cos 2 2A －13＋4cos 2A ＋2cos 2 2A －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－cos 2A 1＋cos 2A 2＝⎝⎛⎭⎫2sin 2 A 2cos 2 A 2＝(tan 2 A )2 ＝tan 4 A ＝右边．∴3－4cos 2A ＋cos 4A 3＋4cos 2A ＋cos 4A＝tan 4 A ． 12．解 sin 2x －2sin 2x 1＋tan x ＝2sin x (cos x －sin x )cos x cos x ＋sin x＝sin 2x (cos x －sin x )cos x ＋sin x＝sin 2x 1－tan x 1＋tan x＝sin 2x tan ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x tan ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝⎣⎡⎦⎤2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x －1tan ⎝⎛⎭⎫π4－x ， ∵5π4<x <7π4，∴－3π2<π4－x <－π． 又∵cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝－45， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35，tan ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝－34． ∴原式＝⎝⎛⎭⎫2×1625－1×⎝⎛⎭⎫－34＝－21100． 13．解 原式＝2sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°2sin 20°＝2sin 40°·cos 40°·cos 80°4sin 20°＝2sin 80°·cos 80°8sin 20°＝sin 160°8sin 20°＝18． 14．解 原式＝sin 70°cos 70°·cos 10°⎝⎛⎭⎫3sin 20°cos 20°－1 ＝sin 70°cos 70°·cos 10°·⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin 20°－cos 20°cos 20° ＝cos 20°sin 20°·cos 10°·2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32sin 20°－12cos 20°cos 20° ＝2cos 10°·sin (－10°)sin 20°＝－sin 20°sin 20°＝－1．。

3.2 倍角公式和半角公式3.2.1 倍角公式基础知识基本能力1．理解二倍角公式的推导过程，并了解倍角公式之间以及它们与和角公式之间的内在联系．(难点) 2．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式及其变形．(重点、易错点)1．能运用倍角公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式的证明．(重点)2．对于倍角公式不仅要会正用，还要会逆用及变形用，尤其是cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2作为降幂公式，更要会熟练应用．(难点、易错点)记法公式推导S 2αsin 2α＝2sin_αcos_α S α＋β――→令α＝βS 2α C 2αcos 2α＝cos 2α－sin 2αC α＋β――→令α＝βC 2αcos 2α＝2cos 2α－1，cos 2α＝1－2sin 2α 利用sin 2α＋cos 2α＝1 消去sin 2α或cos 2αT 2αtan 2α＝2tan α1－tan 2αT α＋β――→令α＝βT 2α名师点拨(1)T 2α只有当α≠kπ＋2(k ∈Z )及α≠2＋4(k ∈Z )时才成立．(2)对于二倍角公式的“倍”有广义的含义，2α是α的二倍角，同样地，4α是2α的二倍角，α是12α的二倍角，3α是32α的倍角．一般地，(2n m )α是(2n －1m )α的二倍角(n ∈Z )，于是二倍角公式可对应变形为： sin(2n mα)＝2sin(2n －1mα)cos(2n －1mα)；cos(2n mα)＝cos 2(2n －1mα)－sin 2(2n －1mα)；tan(2nmα)＝2tan 2n －1mα1－tan 22n －1mα. 【自主测试1】已知tan α＝2，则tan 2α等于( )A ．4B ．45C ．－43D ．43答案：C【自主测试2】(2012·广东珠海质检)函数f (x )＝sin x cos x 是( ) A ．周期为2π的偶函数 B ．周期为2π的奇函数 C ．周期为π的偶函数 D ．周期为π的奇函数 答案：D【自主测试3】已知sin α＝23，则cos(π－2α)＝( )A ．－53 B ．－19 C ．19 D ．53解析：cos(π－2α)＝－cos 2α＝2sin 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫232－1＝－19.答案：B关于升降幂公式的解读剖析：口诀如下： (1)1加余弦想余弦； (2)1减余弦想正弦； (3)幂升一次角减半； (4)幂降一次角翻番． 图表如下：归纳总结(1)对于公式sin 2α＝2sin αcos α，有①cos α＝sin 2α2sin α，②sin α＝sin 2α2cos α；(2)对于(sin α＋cos α)2＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α，有(sin α＋cos α)2＝1＋sin 2α，同理有(sin α－cos α)2＝1－sin 2α；(3)对于公式tan 2α＝2tan α1－tan 2α，有1tan α－tan α＝1－tan 2αtan α＝2tan 2α； (4)对于等腰三角形，已知底角的三角函数值求顶角的三角函数值正用倍角公式，已知顶角的三角函数值求底角的三角函数值逆用倍角公式．题型一 化简、求值问题【例题1】求值：sin 50°(1＋3tan 10°)．分析：应通过“切化弦”化为关于弦函数的分式，然后利用“分式通分”技巧求解．解：原式＝sin 50°⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°×2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°＋32sin 10°cos 10°＝sin 50°×2sin 30°＋10°cos 10°＝2sin 40°sin 50°cos 10°＝2sin 40°cos 40°cos 10°＝sin 80°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1. 反思问题中含有正弦、正切，采用“切化弦”，变为仅含有正弦、余弦的三角函数式，然后利用两角和公式、倍角公式等变形，将问题化简到底．题型二 给值求值问题【例题2】若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α等于( ) A ．－79 B ．－13 C ．13 D ．79解析：观察发现2π3＋2α＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α，而⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α－1＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α－1＝－79.答案：A反思通过角的形式的变化，生成所求的角或再变形即得所求角，是三角变换的重要方式．求解时应当对所给角有敏锐的感觉，这种感觉的养成要靠平时经验的积累．题型三 给值求角问题【例题3】已知tan α＝13，tan β＝－17且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．分析：tan α＝13→tan 2α→tan2α－β→确定2α－β的范围→在确定范围中找出角解：∵tan α＝13＞0，∴α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，2α∈(0，π)，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝34＞0，∴2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.又∵tan β＝－17＜0，β∈(0，π)，∴β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34－⎝ ⎛⎭⎪⎫－171＋34×⎝ ⎛⎭⎪⎫－17＝1.又∵2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴2α－β∈(－π，0)，∴2α－β＝－3π4.反思在给值求角时，一般选择一个适当的三角函数，根据题设确定所求角的范围，然后再求出角，确定角的范围是关键的一步．题型四 恒等式的证明【例题4】已知tan(α＋β)＝3tan α.求证：2sin 2β－sin 2α＝sin(2α＋2β)．分析：解答本题可先将条件式切化弦，再设法推出待证式，最后进行解答． 证明：tan(α＋β)＝3tan α，可变为sin(α＋β)cos α＝3sin αcos(α＋β)⇒sin(α＋β)cos α－sin αcos(α＋β)＝2sin αcos(α＋β) ⇒sin[(α＋β)－α]＝2sin α(cos αcos β－sin αsin β)⇒sin β＝2sin αcos αcos β－2sin 2αsin β⇒(1＋2sin 2α)sin β＝sin 2αcos β. 当cos β＝0时，上式中因为1＋2sin 2α≠0，所以sin β＝0，矛盾．所以cos β≠0，上式两边同乘以2cos β，得(1＋2sin 2α)sin 2β＝sin 2α2cos 2β⇒sin 2β＋(1－cos 2α)sin 2β＝sin 2α(1＋cos 2β) ⇒2sin 2β－sin 2α＝sin 2αcos 2β＋cos 2αsin 2β＝ sin(2α＋2β)，所以等式成立，即得证．反思证明三角恒等式常用的方法是：观察等式两边的差异(角、函数、运算的差异)，从解决某一差异入手(同时消除其他差异)，决定从该等式的哪边证明(也可两边同时化简)，当差异不易消除时，可采用转换命题法或分析法等方法作进一步的化简．题型五 三角函数的综合问题【例题5】已知函数f (x )＝(1＋cot x )sin 2x －2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4.(1)若tan α＝2，求f (α)；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，求f (x )的取值范围． 分析：(1)利用两角的和差公式、三角函数基本关系式、倍角公式，将f (x )化成同角的函数形式，然后变成切的形式代入求解；(2)将(1)中的结论用公式将其变形为正弦函数，再研究其性质．解：(1)f (x )＝(1＋cot x )sin 2x －2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4 sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝sin 2x ＋sin x cos x ＋cos 2x＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋cos 2x ＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12. 由tan α＝2，得sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α＝45，cos 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－35. 所以f (α)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫45－35＋12＝35.(2)由(1)得f (x )＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12.由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，得2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，5π4， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，从而f (x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋22. 即f (x )的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋22.题型六 易错辨析【例题6】已知sin α2＝45，cos α2＝－35，则角α所在的 象限为________．错解：由sin α2＝45＞0，cos α2＝－35＜0，可知α2为第二象限的角，即2k π＋π2＜α2＜2k π＋π(k ∈Z )，∴4k π＋π＜α＜4k π＋2π(k ∈Z )，∴α为第三或第四象限的角．错因分析：仅根据α2的正弦、余弦的正负来判断α2的范围是比较粗浅的，尤其由α2的范围通过不等式的性质得α的范围往往使范围扩大，具体的操作还要求出α的正弦值、余弦值来确定．正解：∵sin α＝2sin α2cos α2＝2×45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－2425＜0，cos α＝cos 2α2－sin 2α2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－352－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝－725＜0，∴α是第三象限的角．1．已知x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，cos x ＝45，则tan 2x ＝( )A ．724B ．－724C ．247D ．－247解析：∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，cos x ＝45，∴sin x ＝－35，∴tan x ＝－34，∴tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝－247. 答案：D2．(2012·山东曲阜期末)函数y ＝cos 2x cos π5－2sin x ·cos x sin 6π5的递增区间是( )A ．⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π10，k π＋3π5(k ∈Z )B ．⎝⎛⎭⎪⎫k π－3π20，k π＋7π20(k ∈Z ) C ．⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋π10，2k π＋3π5(k ∈Z ) D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－2π5，k π＋π10(k ∈Z ) 答案：D3．已知一个等腰三角形的一个底角的正弦值为23，那么这个等腰三角形顶角的正弦值为( )A ．259B ．－259C ．459D ．－459答案：C4．cos π12sin π12＝________，cos 2π12－sin 2π12＝________，tan 15°1－tan 215°＝________. 解析：cos π12sin π12＝12·2sin π12cos π12＝12sin π6＝14；cos 2π12－sin 2π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＝cos π6＝32；tan 15°1－tan 215°＝12·2tan 15°1－tan 215°＝12tan(2×15°)＝12tan 30°＝36. 答案：14 32 365．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝513，则cos 2α的值为__________．解析：∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，∴0＜π4－α＜π4，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1213，∴cos 2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2×513×1213＝120169. 答案：1201696．已知函数f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上的最大值和最小值． 解：(1)因为f (x )＝4cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1＝4cos x ⎝⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x －1＝3sin 2x ＋2cos 2x －1＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)因为－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3.于是，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，f (x )取得最小值－1.。

《3.2.1 倍角公式》教学设计一、教学目标：1、知识与技能：会利用两角和公式推导出倍角公式，培养将一般转化为特殊的化归思想，熟练公式结构。

2、过程与方法：通过学案的例题使学生熟练运用公式的正用、逆用和变形。

3、情感态度与价值观：培养学生运算、分析和逻辑推理能力。

二、重点与难点：1、重点：倍角公式的推导，公式的结构特点 。

2、难点：倍角公式的逆用及变形。

三、教学方法：启发引导、小组合作、讲练结合。

四、教学媒体：PPT 、黑板。

五、教学过程:1、温故知新，引入课题。

回顾前面学过的两角和的三个公式：sin()αβ+=cos()αβ+=tan()αβ+=师：如何把和角公式化归为二倍角公式呢 请根据学案的提示请各小组进行讨论。

3分钟后让各小组展示讨论的结果：()sin _______________αβ+= sin()α+α= ________________________sin 2_____________________α=所以，,βα=令得:()cos _______________αβ+=cos()α+α= ________________________ cos 2_____________________α=所以，思考:对于上式，能否变成只含in α或co α形式的式子呢？22sin cos 1,αα+=利用：可得：，cos 2____________________________________________________________________α==()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=- tan()______________α+α=.所以，tan 2α=__________________________师：通过同学们的齐心协力，我们现在得到了这3组公式，因为这3组公式等号左边的角是2α，它是等号右边角α的2倍。

为此我们把这三组公式称为倍角公式。

课题：§二倍角公式授课人：李士臣 单位：新宾高中教学目标：以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用；培养学生逻辑推理能力、分析问题、解决问题的能力；培养学生的辩证唯物主义观点及良好的思维品质。

教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式； 教学难点：二倍角的理解及其灵活运用教学设计：一．复习式导入：大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式，βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅-+=+ 以旧引新，明确学习内容思考：我们由此能否得到sin 2,cos 2,tan 2ααα的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中β看成α即可），二．公式推导：()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=；()22cos2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-；思考：把上述关于cos2α的式子能否变成只含有sin α或cos α形式的式子呢？22222cos 2cos sin 1sin sin 12sin αααααα=-=--=-；22222cos 2cos sin cos (1cos )2cos 1αααααα=-=--=-．()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα+=+==--． 注意：2,22k k ππαπαπ≠+≠+ ()k z ∈公式的变形：co2α=1－2in 2α;co2α=2co 2α－1;co 2α=22cos 1α+;in 2α=22cos 1α- 三．例题讲解试一试：求值：（1）in22°30′co22°30′; 2 2co 28π－1 3in 28π－co 28π4 8in48πco 48πco 24πco 12π例1．已知in α=135,4π＜α＜2π求in2α,co2α,tan2α的值． 解：由,42ππα<<得22παπ<<．又因为in α=135 ,．所以 co α=－1312于是in2α=2in αco α=2×135×－1312=－169120；co2α=1－2in 2α=169119； tan2α=－119120例2．证明恒等式θθθθθθtan cos sin 22cos 2sin 2sin 2=+++例3．化简：in50°13tan10° 四．课堂练习： 1．若in αco α=－2,则tan ααtan 1=______________; 2．co5πco 52π=_____________;3．4cos 2sin 22+-的值为___________________; 4．若25π≤α≤27π,则ααsin 1sin 1-++=_________________五．小结：本节我们学习了二倍角的正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用六．作业：教材P135面A 组：2、3、4、5题；B 组：2、3课后思考探究：1．在△ABC 中，54cos =A ，。

§3.2 倍角公式和半角公式3．2.1 倍角公式一、基础过关1． 函数y ＝2cos 2(x －π4)－1是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π2的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π2的偶函数2．3－sin 70°2－cos 210°的值是( )A.12B.22C ．2 D.32 3． 若sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)的值为( ) A ．－13B ．－79C.13D.79 4． 若1－tan θ2＋tan θ＝1，则cos 2θ1＋sin 2θ的值为( ) A ．3B ．－3C ．－2D ．－125． 已知等腰三角形底角的正弦值为53，则顶角的正弦值是 ( )A.459B.259 C ．－459D ．－2596． 2sin 222.5°－1＝________.7． 函数f (x )＝cos x －sin 2x －cos 2x ＋74的最大值是______．8． 已知角α在第一象限且cos α＝35，求1＋2cos (2α－π4)sin (α＋π2)的值．二、能力提升9． 如果|cos θ|＝15，5π2<θ<3π，则sin θ2的值是( ) A ．－105B.105C ．－155D.15510．已知tan θ2＝3，则1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝______.11．已知sin 22α＋sin 2αcos α－cos 2α＝1，α∈(0，π2)，求α.12．求值：(1)sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°；(2)sin 50°(1＋3tan 10°)－cos 20°cos 80°1－cos 20°.三、探究与拓展 13．化简：(1)cosπ11cos 2π11cos 3π11cos 4π11cos 5π11； (2)cos x 2cos x 4cos x 8…cos x 2n .答案1．A 2.C 3.B 4.A 5.A 6.－227.2 8.1459.C10.311.π612．(1)116(2) 213．解(1)原式＝125sin π11·25sinπ11·cosπ11cos2π11·cos⎝⎛⎭⎫π－8π11cos4π11·cos⎝⎛⎭⎫－π＋16π11＝1 25sin π11·24sin2π11cos2π11cos4π11·⎝⎛⎭⎫－cos8π11⎝⎛⎭⎫－cos16π11＝1 25sin π11·23sin4π11cos4π11cos8π11·cos16π11＝1 25sin π11sin32π11＝1 25sin π11sin⎝⎛⎭⎫3π－π11＝sinπ1125sin π11＝132.(2)原式＝12n sin x2n·2n sinx2n·cosx2·cosx4…cosx2n＝1 2n sin x2n·2n－1⎝⎛⎭⎫2sinx2n·cosx2n·cosx2cosx4…cosx2n－1＝1 2n sin x2n·2n－1sinx2n－1·cosx2·cosx4…cosx2n－1＝sin x 2n sin x2n .。

教学设计倍角公式教材：人民教育出版社必修四第三章一、教学目标：1知识与技能目标（1）应用三角函数的和角公式推导出倍角公式在推导过程中，进一步掌握变量替换的思想方法，渗透用已知解决未知问题的化归数学思想（2）初步掌握倍角公式公式，并能应用于求值、化简以及三角恒等式的证明（3）通过学习倍角公式的推导和初步应用，体会知识之间的有机联系，激发学习数学的兴趣2过程与方法目标通过倍角公式的探究过程，体验从已知到未知的研究方法，培养观察、归纳、反思和逻辑推理的能力。

通过公式的正用、逆用、变形用，以及“学生自主探究、合作探究，师生共究”的教学方式，使学生自觉地利用发展、变化的观点来分析问题，提高学生分析问题解决问题的能力3情感、态度与价值观目标通过倍角公式的推导过程，使学生获得发现问题、分析问题、解决问题的成就感，同时展现数学中的和谐美和奇异美。

激发学生探究的兴趣，产生热爱数学的情感。

并逐步养成科学严谨的学习态度，提高数学推理的能力。

二、教学重点与难点：重点：二倍角的正弦、余弦、正切公式以及公式2C 的两种变形；难点：倍角公式与以前学过的同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和角公式的综合应用三、教学方法与教学手段：教学方法：波利亚说，教师讲了什么并非不重要，更重要千百倍的是学生想了些什么。

为了达成教学目标，突出重点，突破难点，彰显关键点，本节课采用复习回顾、问题导引、观察、赋值、启发探究式相结合的教学方法，使学生在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探索和交流的过程中或得倍角公式，对于倍角公式采取讲、练结合的方式进行处理，使学生被学变练，及时巩固，同时设计问题，探究问题，深化对公式的记忆教学手段：使用导学案辅助教学，目标明确，学有所依，借助多媒体辅助教学，直观高效 四、教学设计4sin ,,52sin(),si ,()n αβαπααπββ⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭+变式1、已知是第三求象限角的值。

22222(1)2sin 67.5cos67.5 2cos sin 882tan 22.53 1tan 22.55412sin 1252cos 1 12 o o ooππππ=-==--=-=（）（）（）（）探究四：公式的变形用解决问题的注意事项，整理、规范自己的做题过程。

3.2 倍角公式和半角公式3.2.1 倍角公式1.理解二倍角公式的推导过程，知道倍角公式与和角公式之间的内在联系.2.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并能运用这些公式进行简单的恒等变换.(重点、难点)[基础·初探]教材整理 倍角公式阅读教材P 143内容，完成下列问题. 1.二倍角的正弦、余弦、正切公式：记法 公式S 2α sin 2α＝2sin_αcos_α C 2α cos 2α＝cos 2α－sin 2α T 2αtan 2α＝2tan α1－tan 2α2.余弦的二倍角公式的变形：3.正弦的二倍角公式的变形：(1)sin αcos α＝12sin 2α，cos α＝sin 2α2sin α.(2)1±sin 2α＝(sin_α±cos _α)2.1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角.( )(2)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立.( ) (3)对于任意的角α，cos 2α＝2cos α都不成立.( )【解析】 (1)×.二倍角的正弦、余弦公式对任意角都是适用的，而二倍角的正切公式，要求α≠π2＋k π(k ∈Z )且α≠±π4＋k π(k ∈Z )，故此说法错误.(2)√.当α＝k π(k ∈Z )时，sin 2α＝2sin α. (3)×.当cos α＝1－32时，cos 2α＝2cos α.【答案】 (1)× (2)√ (3)×2.已知cos α＝13，则cos 2α等于________.【解析】 由cos α＝13，得cos 2α＝2cos 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132－1＝－79.【答案】 －79[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________[小组合作型]利用二倍角公式化简三角函数式化简求值.(1)cos 4α2－sin 4α2；(2)sin π24·c os π24·cos π12；(3)1－2sin 2750°；(4)tan 150°＋1－3tan 2150°2tan 150°.【精彩点拨】 灵活运用倍角公式转化为特殊角或产生相消项，然后求得. 【自主解答】 (1)cos 4 α2－sin 4α2＝⎝⎛⎭⎪⎫cos 2α2－sin 2α2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2α2＋sin 2α2＝cos α.(2)原式＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin π24cos π24cos π12＝12sin π12cos π12＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin π12cos π12＝14sin π6＝18， ∴原式＝18.(3)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500° ＝cos(4×360°＋60°)＝cos 60°＝12，∴原式＝12.(4)原式＝2tan 2150°＋1－3tan 2150°2tan 150°＝1－tan 2150°2tan 150°＝1tan 2×150°＝1tan 300°＝1tan360°－60°＝－1tan 60°＝－33，∴原式＝－33.二倍角公式的灵活运用：(1)公式的逆用：逆用公式，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现.主要形式有：2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝12sin 2α，cos α＝sin 2α2sin α，cos 2 α－sin 2α＝cos 2α，2tan α1－tan 2α＝tan 2α. (2)公式的变形：公式间有着密切的联系，这就要求思考时要融会贯通，有目的地活用公式.主要形式有：1±sin 2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2，1＋cos 2α＝2cos 2α，cos 2 α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.[再练一题] 1.求下列各式的值： (1)sin π12cos π12；(2)2tan 150°1－tan 2150°； (3)cos 20°cos 40°cos 80°.【解】 (1)原式＝2sin π12cos π122＝sinπ62＝14.(2)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°) ＝－tan 60°＝－ 3.(3)原式＝2sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°2sin 20°＝2sin 40°·cos 40°·cos 80°4sin 20°＝2sin 80°·cos 80°8sin 20°＝sin 160°8sin 20°＝18.利用二倍角公式解决求值问题A.2B.－2C.34D.－34(2)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2α的值等于( ) A.79B.13C.－79D.－13(3)(2016·天津高一检测)已知cos α＝－34，sin β＝23，α是第三象限角，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π. ①求sin 2α的值；②求cos(2α＋β)的值. 【精彩点拨】 (1)可先求tan α，再求tan 2α； (2)可利用23π－2α＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α求值；(3)可先求sin 2α，cos 2α，cos β，再利用两角和的余弦公式求cos(2α＋β). 【自主解答】 (1)因为sin α＝3cos α， 所以tan α＝3，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2 α＝2×31－32＝－34.(2)因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝13，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132－1＝－79.【答案】 (1)D (2)C(3)①因为α是第三象限角，cos α＝－34，所以sin α＝－1－cos 2α＝－74， 所以sin 2α＝2sin αcos α ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－74×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝378. ②因为β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin β＝23， 所以cos β＝－1－sin 2β＝－53，cos 2α＝2cos 2α－1＝2×916－1＝18， 所以cos(2α＋β)＝cos 2αcos β－sin 2αsin β＝18×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53－378×23＝－5＋6724.直接应用二倍角公式求值的三种类型：(1)sin α(或cos α)―――――――→同角三角函数的关系cos α(或sin α)―――――→二倍角公式sin 2α(或cos 2α).(2)sin α(或cos α) ―――――→二倍角公式cos 2α＝1－2sin 2 α(或2cos 2α－1). (3)sin α(或cos α) ―――――――→同角三角函数的关系⎩⎪⎨⎪⎧cos α或sin α，tan α――――→二倍角公式tan 2α.[再练一题] 2.(1)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，则sin 2α＝______，cos 2α＝________，tan2α＝________.(2)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝16，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求tan 4α的值.【导学号：72010084】【解析】 (1)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，所以cos α＝－255，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＝－45，cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552＝35，tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－43.【答案】 －45 35 －43(2)因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α，则已知条件可化为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝16，即12sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝16， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝13，所以cos 2α＝13.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以2α∈(π，2π)，从而sin 2α＝－1－cos 22α＝－223，所以tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－22，故tan 4α＝2tan 2α1－tan 22α＝－421－－222＝427.利用二倍角公式证明求证：(1)cos 2(A ＋B )－sin 2(A －B )＝cos 2A cos 2B ；(2)cos 2θ(1－tan 2θ)＝cos 2θ.【精彩点拨】 (1)可考虑从左向右证的思路：先把左边降幂扩角，再用余弦的和、差角公式转化为右边形式.(2)从右向左：利用余弦二倍角公式升幂后向左边形式转化. 【自主解答】(1)左边＝1＋cos 2A ＋2B 2－1－cos 2A －2B2＝cos2A ＋2B ＋cos 2A －2B2＝12(cos 2A cos 2B －sin 2A sin 2B ＋cos 2A cos 2B ＋sin 2A sin 2B ) ＝cos 2A cos 2B ＝右边， ∴等式成立.(2)右边＝cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－sin 2θcos 2θ＝cos 2θ(1－tan 2θ)＝左边.证明问题的原则及一般步骤：(1)观察式子两端的结构形式，一般是从复杂到简单，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想.(2)证明的一般步骤是：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异，然后本着“复角化单角”、“异名化同名”、“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的.[再练一题]3.证明：1＋sin 2α2cos 2α＋sin 2α＝12tan α＋12. 【证明】 左边＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α2cos 2α＋2sin αcos α ＝sin α＋cos α22cos αsin α＋cos α ＝sin α＋cos α2cos α＝12tan α＋12＝右边. 所以1＋sin 2α2cos 2α＋sin 2α＝ 12tan α＋12成立. [探究共研型]倍角公式的灵活运用探究1 在化简1＋sin α＋cos α＋1－cos α＋sin α时，如何灵活使用倍角公式？【提示】 在化简时，如果只是从α的关系去整理，化简可能感觉无从下手，但如果将α看成α2的倍角，可能会有另一种思路，原式＝2sin α2⎝⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α22cos α2⎝⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α2＋2cos α2⎝⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α22sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α2＝sin α2cosα2＋cosα2sin α2＝1sin α2cosα2＝2sin α.探究2 如何求函数f (x )＝2cos 2x －1－23·sin x cos x (x ∈R )的最小正周期？ 【提示】 求函数f (x )的最小正周期，可由f (x )＝(2cos 2x －1)－3(2sin x cos x )＝cos 2x －3sin 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ，知其最小正周期为π. 求函数f (x )＝53cos 2x ＋3sin 2x －4sin x cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，7π24的最小值，并求其单调减区间.【精彩点拨】 化简f (x )的解析式→f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B →ωx ＋φ的范围 →求最小值，单调减区间 【自主解答】 f (x )＝53·1＋cos 2x 2＋3·1－cos 2x2－2sin 2x ＝33＋23cos 2x －2sin 2x ＝33＋4⎝⎛⎭⎪⎫32cos 2x －12sin 2x＝33＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3cos 2x －cos π3sin 2x＝33＋4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝33－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，∵π4≤x ≤7π24，∴π6≤2x －π3≤π4， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，22，所以当2x －π3＝π4，即x ＝7π24时，f (x )取最小值为33－2 2.因为y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，7π24上单调递增，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，7π24上单调递减.本题考查二倍角公式，辅助角公式及三角函数的性质.解决这类问题经常是先利用公式将函数表达式化成形如y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，再利用函数图象解决问题.[再练一题]4.求函数y ＝sin 4x ＋23sin x cos x －cos 4x 的最小正周期和最小值，并写出该函数在[0，π]上的单调递减区间.【解】 y ＝sin 4x ＋23sin x cos x －cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )(sin 2x －cos 2x )＋23sin x cos x＝－cos 2x ＋3sin 2x ＝2⎝⎛⎭⎪⎫32sin 2x －12cos 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6， 所以T ＝2π2＝π，y min ＝－2.由2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π3≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z ，又x ∈[0，π]， 所以令k ＝0，得函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6.[构建·体系]1.sin 22°30′·cos 22°30′的值为( ) A.22 B.24C.－22D.12【解析】 原式＝12sin 45°＝24.【答案】 B2.已知sin x ＝14，则cos 2x 的值为( )A.78B.18C.12D.22【解析】 因为sin x ＝14，所以cos 2x ＝1－2sin 2 x ＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝78.【答案】 A3.⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12－sin π12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12＋sin π12的值为( )A.－32B.－12 C.12 D.32【解析】 原式＝cos 2π12－sin 2π12＝cos π6＝32.【答案】 D4.已知tan α＝－13，则sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝________.【导学号：72010085】【解析】 sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝2sin αcosα－cos 2α1＋2cos 2α－1＝2sin αcos α－cos 2α2cos 2α＝tan α－12＝－56.【答案】 －565.求下列各式的值： (1)cos π5cos 2π5； (2)12－cos 2π8.【解】 (1)原式＝2sin π5cos π5cos 2π52sin π5＝sin 2π5cos 2π52sin π5＝sin 4π54sin π5＝sin π54sin π5＝14.(2)原式＝1－2cos 2π82＝－2cos 2π8－12＝－12cos π4＝－24.我还有这些不足：(1)_________________________________________________________(2)_________________________________________________________我的课下提升方案：(1)_________________________________________________________(2)_________________________________________________________学业分层测评(二十七)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.若sin α＝3cos α，则sin 2αcos 2α＝( ) A.2B.3C.4D.6 【解析】 sin 2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2sin αcos α＝6cos αcos α＝6. 【答案】 D2.(2016·铁岭高一检测)已知sin α＝23，则cos(π－2α)＝( ) A.－53 B.－19C.19D.53 【解析】 因为sin α＝23，所以cos(π－2α)＝－cos 2α＝－(1－2sin 2 α)＝－1＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝－19. 【答案】 B3.若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α＝( )A.－34 B.34C.－43 D.43 【解析】 因为sin α＋cos αsin α－cos α＝12，整理得tan α＝－3，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2 α＝2×－31－－32＝34.【答案】 B4.(2016·沈阳高一检测)若sin x ·tan x <0，则1＋cos 2x 等于() A.2cos x B.－2cos xC.2sin xD.－2sin x 【解析】 因为sin x ·tan x <0，所以x 为第二、三象限角，所以cos x <0，所以1＋cos 2x ＝2cos 2 x ＝2|cos x |＝－2cos x .【答案】 B5.已知cos 2x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝15，则sin 2x ＝( )A.－2425 B.－45C.2425D.255【解析】 ∵cos 2x2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝15，∴cos 2x －sin 2xcos x －sin x ＝15，∴cos x ＋sin x ＝15，∴1＋sin 2x ＝125， ∴sin 2x ＝－2425. 【答案】 A 二、填空题 6.(2016·广州高一检测)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，则sin 2x 的值等于________. 【解析】 法一：∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝725， ∴sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝725. 法二：由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，得22(sin x －cos x )＝－35，∴sin x －cos x ＝－325，两边平方得1－sin 2x ＝1825，∴sin 2x ＝725. 【答案】 7257.已知sin 2α＝14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，则cos α－sin α＝________. 【导学号：72010086】【解析】 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，所以sin α>cos α即cos α－sin α<0，又sin 2α＝14，则有 cos α－sin α＝－cos α－sin α2 ＝－1－sin 2α＝－1－14＝－32. 【答案】 －32三、解答题8.化简：tan 70°cos 10°(3tan 20°－1).【解】 原式＝sin 70°cos 70°·cos 10°·⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin 20°cos 20°－1 ＝sin 70°cos 70°·cos 10°·3sin 20°－cos 20°cos 20°＝sin 70°cos 70°·cos 10°·2sin －10°cos 20° ＝－sin 70°cos 70°·sin 20°cos 20°＝－1.9.求证：(1)1sin 10°－3cos 10°＝4； (2)3tan 12°－3sin 12°4cos 212°－2＝－4 3. 【证明】 (1)左边＝cos 10°－3sin 10°sin 10°cos 10°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°12sin 20° ＝4sin 30°－10°sin 20°＝4＝右边. 所以原等式成立.(2)左边＝3sin 12°－3cos 12°cos 12°2sin 12°2cos 212°－1＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 12°－32cos 12°2sin 12°cos 12°cos 24°＝23sin 12°－60°sin 24°cos 24°＝－23sin 48°12sin 48°＝－43＝右边. 所以原等式成立.[能力提升]1.(2016·牡丹江一中期末)已知α，β均为锐角，且3sin α＝2sin β，3cos α＋2cos β＝3，则α＋2β的值为( )A.π3 B.π2 C.2π3 D.π【解析】 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＝23sin β， ①cos α＝1－23cos β， ②①2＋②2得cos β＝13，cos α＝79， 由α，β均为锐角知，sin β＝223，sin α＝429， ∴tan β＝22，tan α＝427， ∴tan 2β＝－427， ∴tan(α＋2β)＝0，又α＋2β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32π， ∴α＋2β＝π.故选D.【答案】 D2.(2014·江苏高考)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55. (1)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值； (2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α的值. 【解】 (1)由题意知cos α ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫552＝－255， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α ＝sin π4cos α＋cos π4sin α ＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＋22×55 ＝－1010. (2)sin 2α＝2sin αcos α＝－45， cos 2α＝2cos 2 α－1＝35，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α ＝cos 5π6cos 2α＋sin 5π6sin 2α ＝－32×35＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45 ＝－33＋410.。

《倍角公式》教学设计——人教B版必修四《倍角公式》辽宁省抚顺市清原满族自治县高级中学王鹏“二倍角公式”是人教B版必修四第三章第2节第1课时的内容。

本节课的主要内容包括二倍角公式的推导以及利用公式进行简单的求值、化简、证明二倍角是继三角函数的诱导公式和两角和与差的正弦、余弦、正切公式之后的又一重要公式,它为今后研究三角恒等式及三角函数等问题提供了又一必备的工具。

因此它起着承上启下的作用。

同时,也是培养学生逻辑思维能力和化归的重要数学思想方法。

本文主要研究二倍角公式的推导、变形及应用,并利用二倍角公式进行三角的求值、化简,同时能理解由特殊到一般的化归数学思想方法。

一、学情分析本节课是在高一下半学期学习,学生在前面已经学习了三角函数和两角和与差的公式,为本节课的学习作了很好的知识铺垫,学生也有了一定的数学推理能力和运算能力。

因此本节课采取教师启发引导与学生自主探究相结合的方式。

运用我校课堂教学改革思、疑、释、练教学模式授课。

二、教学内容的分析：（一）．教材的地位和作用：“二倍角的公式”是在研究了两角和与差的三角函数的基础上研究具有“二倍角”关系的正弦、余弦、正切公式，它既是两角和的公式的特殊化，又为以后三角函数求值、化简和证明提供了非常有用的理论工具，通过对二倍角公式的推导知道：二倍角公式的内涵是“揭示具有倍数关系的两个角的三角函数的运算规律”，通过推导还让学生了解高中数学中由“一般”到“特殊”的化归数学思想，因此这节课也是培养学生运算和逻辑推理能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力都有重要意义。

（二）课程标准1、能从两角和与差的正弦、余弦、正切公式变形推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并了解它们的内在联系。

2、能运用上述公式进行简单的恒等变换。

（三）．教学的重点难点：重点:二倍角公式的推导及能正确应用这些公式进行三角求值、化简、证明难点：灵活应用二倍角公式变式。

三、教学目标：根据本节教材的特点、新课标的教学要求以及学生的认知水平，我确定了如下教学目标：（一）、知识目标：1掌握二倍角公式的推导，明确a的取值范围；2能运用二倍角公式求值、化简、证明（二）、能力目标：1通过两角和差公式的复习，推导出倍角公式，了解二者的内在联系；培养逻辑推理能力；2通过倍角公式的推导，以及对公式的综合运用，体会由一般到特殊的数学思想及类比，转化的数学思想，提高运算，分析能力（三）、情感目标：通过学习, 养成认真参与、积极交流的习惯；增强了善于发现问题的规律和及时解决问题的意识四、评价设计目标1：先与学生一起复习两角和的正弦、余弦、正切公式、同角三角函数基本关系式，以达到温故而知新的目的。

3.2倍角公式和半角公式知识梳理 1.倍角公式(1)公式：sin2α=2sinαcosα；(S 2α)cos2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α；(C 2α) tan2α=αα2tan 1tan 2- .(T 2α)(2)公式的理解①成立的条件：在公式S 2α、C 2α中，角α可以为任意角，T 2α则只有当α≠kπ+2π及α≠2πk +4π(k ∈Z )时才成立. ②倍角公式不仅限于2α是α的二倍形式，其他如4α是2α的二倍、2α是4α的二倍、3α是23α的二倍等都是适用的.要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，才能熟练地应用好二倍角公式，这是灵活运用公式的关键. ③cos2α的变形：cos2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α； cos 2α=22cos 1α+,sin 2α=22cos 1α-；(这两个公式称为降幂公式) 1+cos2α=2cos 2α，1-cos2α=2sin 2α.(这两个公式称为升幂公式)2.半角公式 (1)公式：sin2α=±2cos 1α-；cos2α=±2cos 1α+；tan2α=±ααcos 1cos 1+-=ααsin cos 1-=ααcos 1sin +.(2)公式的理解①关于半角正切公式：tan2α=ααsin cos 1-不带有根号，而且分母为单项式，运用起来特别方便，但要注意它与以下两个公式：tan2α=±ααcos 1cos 1+-和tan 2α=ααcos 1sin +的使用范围不完全相同，后两个公式只要α≠(2k+1)π(k ∈Z )，而第一个公式除α≠(2k+1)π(k ∈Z )之外，还必须有α≠2kπ(k ∈Z ).当然，这三个公式可以互化，在使用时要根据题目中式子的特征灵活选用. ②对于半角公式，也必须明确“半角”是相对而言，不能认为2α才是半角.如2α是4α的半角，23α是3α的半角；反之，2α、2α分别是4α、α的倍角，正是根据这个思想，才由二倍角公式得出了半角公式.知识导学(1)要学好本节，有必要复习两角和的正弦、余弦、正切公式；(2)学好本节的小窍门：在公式的选择运用上，审题是关键，找准题目的突破口，选择适当的方法，定能事半功倍；(3)选择二倍角余弦公式形式的策略：①加余弦想余弦；②减余弦想正弦；幂升一次角减半；幂降一次角翻番.解释如下：疑难突破1.求半角的正切值常用什么方法？剖析:难点是半角的正切值公式有三种形式，到底选择哪个来处理问题.突破的路径是靠平时经验的积累.根据经验，处理半角的正切问题有三条途径：第一种方法是用tan2α=±ααcos 1cos 1+-来处理；第二种方法是用tan2α=ααsin cos 1-来处理；第三种方法是用tan 2α=ααcos 1sin +来处理.例如：已知cosα=33，α为第四象限的角，求tan 2α的值. 解法一：(用tan2α=±ααcos 1cos 1+-来处理)∵α为第四象限的角，∴2α是第二或四象限的角. ∴tan2α＜0. ∴tan2α=-ααcos 1cos 1+-=-331331+-=-32-=-21348-=-212)26(-=262-. 解法二：(用tan2α=ααsin cos 1-来处理)∵α为第四象限的角，∴sinα＜0. ∴sinα=-α2cos 1-=-311-=-36.∴tan 2α=ααsin cos 1-=36331--=262-. 解法三：(用tan2α=ααcos 1sin +来处理) ∵α为第四象限的角，∴sinα＜0. ∴sinα=-α2cos 1-=-311-=-36.∴tan 2α=ααcos 1sin +=33361--=3336--=262-.比较上述三种解法可知：在求半角的正切tan2α时，用tan 2α=±ααcos 1cos 1+-来处理，要由α所在的象限确定2α所在的象限，再用三角函数值的符号取舍根号前的双重符号；而用tan 2α=ααsin cos 1-或tan 2α=ααcos 1sin +来处理，可以避免这些问题.尤其是tan 2α=ααsin cos 1-，分母是单项式，容易计算.因此常用tan 2α=ααsin cos 1-求半角的正切值.2.为什么说1+sinα和1-sinα是完全平方的形式？剖析:疑点是对此结论总是产生质疑.其突破的方法是学会推导.要明确这个问题，先从完全平方公式来分析.(a+b)2=a 2+2ab+b 2；(a-b)2=a 2-2ab+b 2，由此看一个式子是完全平方的形式，必须有a 2+2ab+b 2或a 2-2ab+b 2的形式特点.1±sinα要具备这种形式特点，需要进行恒等变形.观察到完全平方的式子中有a 2和b 2，联想1±sinα中的1能变形为平方和的形式，即变形的方向是1=a 2+b 2，sinα=2ab.由同角三角函数基本关系式和二倍角的正弦公式得1±sinα=sin 22α+cos 22α±2sin 2αcos 2α=(sin 2α±cos 2α)2,这个结论应用很广泛.。

二倍角的正弦、余弦、正切公式一、教学目标1、知识与技能：（1）理解：二倍角公式的意义；（2）掌握：二倍角公式推导的方法；（3）应用：应用二倍角公式进行三角的化简求值．2、过程与方法：（1）实例探究：理解二倍角公式引入的意义；研究三角化简求值的方法．（2）问题解决：让学生经历问题发现、问题提出、问题解决的过程，让学生在不断地解决问题的过程中得到提升与发展．3、情感态度价值观：（1）鼓励学生学会合作学习、懂得彼此欣赏、学会相互尊重；（2）鼓励学生大胆猜想，勇于实践的探索精神．二、重点与难点：1、重点：二倍角的正弦、余弦、正切公式及二倍角余弦公式的两种变形；2、难点：倍角公式与同角三角函数基本关系式、诱导公式和角公式的综合应用三、教学方法和手段（1）采用问题解决教学模式，培养学生不断地发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力；（2）注重类比、联想、构造、转化等数学方法在问题解决中的应用，（3）注重整体意识、换元思想、方程思想在解题中的灵活应用，特别注重对知识与方法的总结和提炼；四、教学过程sin15sin(4530)sin15cos151sin15cos15sin302吗？1cos sin22吗？45cos30cos45sin3023212222624②cos15cos(4530)cos45cos30sin45sin3023212222624sin15cos1562624414sin15cos151(sin15cos15cos15sin15)21sin(1515)2114214sin cos1(sin cos cos sin)21sin2222sin coscos 2? tan 2?2sin()sin cos cos sin2sin cos类比研究： 2cos()2222cos cos sin sin cos sin 2cos112sin222cos 12212sin2tan()22tan tan 1tan 2tan 1tan22tan 21tan)cos cos sin sin 中只即可得到余弦二倍角公式tan()tan tan 1tan tan中只需令即可得到正切的二倍角公式22sin cos222cos sin222cos 12212sin22tan 21tan是对一切R 都成立吗？sin 22sin cos 中{}R22cos 2cos sin 中{}R22tan 21tan 中{,}4kk Z513，(,)2， 、cos 2、tan 2的值． 513，42，、cos 4、tan 4的值． 、解三角形 ．在ABC 中，45，tan 2B ,2)A B 的值．2sin 2sin tan 22sin cos、新挑战20cos 40cos60cos80的值。