2019-2020学年广西南宁三中高二(上)第一次月考数学试卷 (含答案解析)

南宁三中 2019-2020 学年度上学期高二期考数学试卷（文科）
一、选择题 1.设 x R ，则“ x2 2x 0 ”是“ x 1 2 ”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 既不充分又不必要条件
【答案】 A 【解析】 【分析】
分别解两个不等式得到集合 A ， B ，再利用集合间的关系，即可得到答案 . 【详解】解不等式 x2 2x 0 得； A { x | 0 x 2} ， 解不等式 x 1 2 得： B { x | 1 x 3} ， 因为 A 是 B 的真子集， 所以“ x2 2x 0 ”是“ x 1 2 ”的充分不必要条件 .
A. 2 2
B. 2
C. 2
D. 1
【答案】 B
【解析】 【分析】
先求出圆心到直线 距离 ,再根据勾股定理可求得弦长 .
【详解】由 C : x2 y2 3 可知圆心为 (0,0) ,半径为 3 ,
|0 0 2|
所以圆心到直线 l : x y 2 0 的距离为 d
2,
11
2
【答案】 D 【解析】 【分析】
不妨设 x ， y 都是正数，利用基本不等式求解 . 【详解】不妨设 x ， y 都是正数，则 2x y 4 2 2xy xy 2 ，
等号成立当且仅当 x 1, y 2 .
故选： D
【点睛】本题考查基本不等式的运用，考查运算求解能力属于基础题
.
4.直线 l : x y 2 0 被圆 C : x2 y2 3 截得的弦长为（ ）
D. { a|a> ﹣ 1}
【答案】 C 【解析】 【分析】
根据 p 是假命题，判断出 p 是真命题 .对 a 分成 a 0 ，和 a 0 两种情况，结合方程有实数根，求得 a 的

2019-2020学年广西南宁三中高二（上）月考数学试卷（理科）（二）（10月份）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给的四个选项中，只有一项符合．）1. 直线√3x−y+a＝0（a为常数）的倾斜角为（）A.30∘B.60∘C.150∘D.120∘【答案】B【考点】直线的倾斜角【解析】由直线的倾斜角α与斜率k的关系，可以求出α的值．【解答】设直线√3x−y+a＝0的倾斜角是α，则直线的方程可化为y=√3x+a，直线的斜率k＝tanα=√3，∵0∘≤α<180∘，∴α＝60∘．2. 已知a，b，c是两两不同的三条直线，下列说法正确的是（）A.若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面B.若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交C.若a // b，则a，b与c所成的角相等D.若a⊥b，b⊥c，则a // c【答案】C【考点】命题的真假判断与应用【解析】由空间两直线的位置关系：平行、相交和异面，以及两直线所成角的概念，即可判断正确结论．【解答】若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面，故A错误；若a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行或异面，故B错误；若a // b，则a，b与c所成的角相等，故C正确；若a⊥b，b⊥c，则a，c相交、平行或异面，故D错误．3. 若直线l1:x+3y+m=0(m>0)与直线l2:2x+6y−3=0的距离为√10，则m= ()C.14D.17A.7B.172【答案】B【考点】【解析】直线l 1即2x +6y +2m =0，根据它与直线l 2:2x +6y −3=0的距离为√10，可得4+36=√10，由此求得m 的值．【解答】解：直线l 1:x +3y +m =0(m >0)，即2x +6y +2m =0， ∵ 它与直线l 2:2x +6y −3=0的距离为√10， ∴4+36=√10，求得m =172.故选B .4. 点P(4, −2)与圆x 2+y 2=4上任一点连线的中点轨迹方程是( ) A.(x −2)2+(y +1)2=1 B.(x −2)2+(y +1)2=4 C.(x +4)2+(y −2)2=1 D.(x +2)2+(y −1)2=1 【答案】 A【考点】 轨迹方程 【解析】设圆上任意一点为(x 1, y 1)，中点为(x, y)，则{x =x 1+42y =y 1−22 ，由此能够轨迹方程．【解答】解：设圆上任意一点为(x 1, y 1)，中点为(x, y)， 则{x =x 1+42,y =y 1−22,即{x 1=2x −4,y 1=2y +2,代入x 2+y 2=4， 得(2x −4)2+(2y +2)2=4， 化简得(x −2)2+(y +1)2=1． 故选A .5. 某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n 为( ) A.100 B.150 C.200 D.250 【答案】 A【考点】 分层抽样方法 【解析】计算分层抽样的抽取比例和总体个数，利用样本容量=总体个数×抽取比例计算n 值． 【解答】总体个数为3500+1500=5000，∴样本容量n=5000×150=100．故选A.6. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的S值为（）A.3B.4C.5D.6【答案】B【考点】程序框图【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】模拟程序的运行，可得S＝4，n＝1，不满足条件S≥6，S＝8，n＝2不满足条件n>3，执行循环体，满足条件S≥6，S＝2，n＝3不满足条件n>3，执行循环体，不满足条件S≥6，S＝4，n＝4此时，满足条件n>3，退出循环，输出S的值为4．7. 等腰梯形ABCD，上底CD=1，腰AD=CB=√2，下底AB=3，以下底所在直线为x轴，则由斜二侧画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为()A.√22B.√2 C.√24D.2【答案】A【考点】斜二测画法画直观图【解析】根据题意，求出原图形的面积，再求出它的直观图的面积即可．【解答】，梯形ABCD的高为1，面积为12(1+3)×1=2，∴它的直观图的面积为2×√24=√22．故选A．8.将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：则7个剩余分数的方差为( )A.1169B.367C.36D.6√77【答案】B【考点】极差、方差与标准差众数、中位数、平均数茎叶图【解析】根据题意，去掉两个数据后，得到要用的7个数据，先根据这组数据的平均数，求出x，再用方差的个数代入数据和平均数，做出这组数据的方差．【解答】解：∵由题意知去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的数据是87，90，90，91，91，94，90+x．∴这组数据的平均数是87+90+90+91+91+94+90+x7=91，∴x=4．∴这这组数据的方差是17(16+1+1+0+0+9+9)=367．故选B.9. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，沿AE、AF、EF把正方形折成一个四面体，使B、C、D三点重合，重合后的点记为P，P点在△AEF内的射影为O．则下列说法正确的是（）A.O 是△AEF 的垂心B.O 是△AEF 的内心C.O 是△AEF 的外心D.O 是△AEF 的重心 【答案】 A【考点】棱锥的结构特征 直线与平面垂直 【解析】先证明PA ⊥EF ，PO ⊥EF ，可证EF ⊥平面PAO ，从而可得EF ⊥AO ，同理可知：AE ⊥FO ，AF ⊥EO ，从而判定O 为△AEF 的垂心． 【解答】由题意可知PA 、PE 、PF 两两垂直， 由PA ⊥平面PEF ，从而PA ⊥EF ， 而PO ⊥平面AEF ，则PO ⊥EF ， 所以EF ⊥平面PAO ，∴ EF ⊥AO ，同理可知：AE ⊥FO ，AF ⊥EO ， ∴ O 为△AEF 的垂心．10. 一条光线从点(−2,−3)射出，经y 轴反射后与圆(x +3)2+(y −2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A.−53或−35B.−32或−23C.−54或−45D.−43或−34【答案】 D【考点】 圆的切线方程 中点坐标公式 直线的点斜式方程 直线的斜率 【解析】本题考查直线与圆的方程及位置关系． 【解答】解：由于反射光线经过点(−2,−3)关于y 轴的对称点(2,−3)， 故设反射光线所在直线方程为y +3=k(x −2)， 由直线与圆相切的条件可得2=1，解得k =−43或−34．故选D ．11. 已知边长为1的等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C −AB −D √3A.2πB.8√23π C.√2πD.√23π【答案】 D【考点】球的体积和表面积 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：连结CD 和CE ，取AB 的中点H ，设点C 在平面ABDE 内的射影为O ，连结CO,OH 和CH ． 因为AB =BC =AC ，所以CH ⊥AB ．因为CO ⊥平面ABDE ，OH 是CH 在平面ABDE 内的射影， 所以OH ⊥AB ，所以∠OHC 是二面角C −AB −D 的平面角， 即cos∠OHC =√33．在Rt △CHA 中，sin∠CAH =CH CA，所以CH =CAsin60∘=√32．在Rt △COH 中，cos∠CHO =OHCH ， 所以OH =CHcos∠CHO =√32×√33=12，所以O 是正方形ABDE 的中心，所以四棱锥C −ABDE 为正四棱锥， 其外接球的球心在CO 上，记为O 1． 设球的半径为R ，连结AO 和AO 1， 则O 1C =O 1A =R ，OO 1=√(√32)2−(12)2−R =√22−R ．在Rt △OHA 中，OA =√(12)2+(12)2=√22．在Rt △O 1OA 中，(√22−R)2+(√22)2=R 2，解得R =√22，所以此球的体积是V =43πR 3=43π×(√22)3=√23π．故选D ．12. 两圆x2+y2+2ax+a2−4＝0和x2+y2−4by−1+4b2＝0恰有三条公切线，若a∈R，B∈R，且ab≠0，则1a2+1b2的最小值为（）A.49B.109C.1D.3【答案】C【考点】圆与圆的位置关系及其判定基本不等式及其应用【解析】由题意可得两圆相外切，根据两圆的标准方程求出圆心和半径，圆心距与半径关系列出方程，化简所求的表达式，使用基本不等式求得表达式的最小值．【解答】由题意可得，两圆相外切，两圆的标准方程分别为(x+a)2+y2＝4，x2+(y−2b)2＝1，圆心分别为(−a, 0)，(0, 2b)，半径分别为2和1，故有√a2+4b2=3，∴a2+4b2＝9，∴a2+4b29=1，∴1a2+1b2=a2+4b29a2+a2+4b29b2=19+49+4b29a2+a29b2≥59+2√481=1，当且仅当4b29a2=a29b2，并且a2+4b2＝9时，等号成立，二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间[80, 130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有________株树木的底部周长小于100cm．【答案】24【考点】频率分布直方图【解析】根据频率＝小矩形的面积＝小矩形的高×组距底部求出周长小于100cm的频率，再根据频数＝样本容量×频率求出底部周长小于100cm的频数．【解答】由频率分布直方图知：底部周长小于100cm的频率为(0.015+0.025)×10＝0.4，如图，正方形ACDE 与等腰直角三角形ACB 所在的平面互相垂直，且AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90∘，F ，G 分别是线段AE ，BC 的中点，则AD 与GF 所成的角的余弦值为________．【答案】 √36【考点】异面直线及其所成的角 【解析】以C 为原点，CB 为x 轴，CA 为y 轴，CD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AD 与GF 所成的角的余弦值． 【解答】如图，以C 为原点，CB 为x 轴，CA 为y 轴，CD 为z 轴，建立空间直角坐标系， 由已知得A(0, 2, 0)，D(0, 0, 2)，G(1, 0, 0)，F(0, 2, 1)， AD →=(0, −2, 2)，GF →=(−1, 2, 1)， 设AD 与GF 所成的角为θ， 则cosθ＝|cos <AD →,GF →>|＝|AD →⋅GF→|AD →|⋅|GF →||＝√8⋅√6=√36．已知平面区域{x ≥0y ≥0x +2y −4≤0 恰好被面积最小的圆C ：(x −a)2+(y −b)2＝r 2及其内部所覆盖，则圆C 的方程为________． 【答案】(x −2)2+(y −1)2＝5 【考点】二元一次不等式（组）与平面区域 圆的标准方程 【解析】根据题意可知平面区域表示的是三角形及其内部，且△OPQ 是直角三角形，进而可推断出覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，进而求得圆心和半径，则圆的方程可得． 【解答】由题意知此平面区域表示的是以O(0, 0)，P(4, 0)，Q(0, 2)构成的三角形及其内部， 且△OPQ 是直角三角形，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，故圆心是(2, 1)，半径是 √5， 所以圆C 的方程是(x −2)2+(y −1)2＝5．已知圆O:x 2+y 2＝9及点C(2, 1)，过点C 的直线l 与圆O 交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，直线l 的方程为________．x+y−3＝0或7x+y−15＝0【考点】直线与圆的位置关系【解析】分直线l的斜率存在和不存在两种情况求解，用点到直线的距离求高，用垂径定理求弦长，最后表示面积，用均值不等式求最值；【解答】当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝2，则P，Q的坐标为(2, √5 )，(2, −√5 )；所以S△OPQ=12×2×2 √5=2 √5；当直线l的斜率存在时，设l的方程为y−1＝k(x−2)(k≠12 )；则圆心到直线PQ的距离d=2；由平面几何知识得|PQ|=2√9−d2；S△OPQ=12×|PQ|×d=12×2×√9−d2×d≤√(9−d2+d22)2=92；当且仅当9−d2＝d2，即d2=92时，S△OPQ取得最大值；因为2√5<92，所以S△OPQ的最大值为92；由d2=(1−2k)21+k2=92；解得：k＝−7，或k＝−1；则直线l方程为x+y−3＝0或7x+y−15＝0；三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）（1）求经过点P(4, 1)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．（2）设直线y＝x+2a与圆C:x2+y2−2ay−2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2√3，求圆C的面积．【答案】设直线l在x，y轴上的截距均为a，若a＝0，即l过点(0, 0)和(4, 1)，∴l的方程为y=14x，即x−4y＝0．若a≠0，则设l的方程为xa +ya=1，∵l过点(4, 1)，∴4a+1a=1，∴a＝5，∴l的方程为x+y−5＝0．故直线l的方程为x−4y＝0或x+y−5＝0．圆C:x2+y2−2ay−2＝0，即C:x2+(y−a)2＝a2+2，圆心为C(0, a)，半径r=√a2+2，C到直线y＝x+2a的距离为d=√2=√2．由|AB|=2√3，则(√3)2+(√2)2=a2+2，解得a2＝2，则圆的面积为π(a2+2)＝4π；故圆的面积为：4π【考点】直线与圆的位置关系（1）分直线过原点和不过原点；（2）计算出圆心到弦的距离，利用垂径定理可以得到a的值，再计算圆的面积；【解答】设直线l在x，y轴上的截距均为a，若a＝0，即l过点(0, 0)和(4, 1)，∴l的方程为y=14x，即x−4y＝0．若a≠0，则设l的方程为xa +ya=1，∵l过点(4, 1)，∴4a+1a=1，∴a＝5，∴l的方程为x+y−5＝0．故直线l的方程为x−4y＝0或x+y−5＝0．圆C:x2+y2−2ay−2＝0，即C:x2+(y−a)2＝a2+2，圆心为C(0, a)，半径r=√a2+2，C到直线y＝x+2a的距离为d=2=2．由|AB|=2√3，则(√3)2+(√2)2=a2+2，解得a2＝2，则圆的面积为π(a2+2)＝4π；故圆的面积为：4π四面体ABCD及其三视图如图所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱AB、BD、DC、CA于点E、F、G、H．(Ⅰ)求四面体ABCD的体积；(Ⅱ)证明：四边形EFGH是矩形．【答案】（1）由题意，BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC，BD＝DC＝2，AD＝1，∴AD⊥平面BDC，∴四面体ABCD的体积V=13×12×2×2×1=23；（2）证明：∵BC // 平面EFGH，平面EFGH∩平面BDC＝FG，平面EFGH∩平面ABC ＝EH，∴BC // FG，BC // EH，∴FG // EH．同理EF // AD，HG // AD，∴EF // HG，∴四边形EFGH是平行四边形，∵AD⊥平面BDC，∴AD⊥BC，∴EF⊥FG，∴四边形EFGH是矩形．【考点】直线与平面垂直(Ⅰ)证明AD⊥平面BDC，即可求四面体ABCD的体积；(Ⅱ)证明四边形EFGH是平行四边形，EF⊥HG，即可证明四边形EFGH是矩形．【解答】（1）由题意，BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC，BD＝DC＝2，AD＝1，∴AD⊥平面BDC，∴四面体ABCD的体积V=13×12×2×2×1=23；（2）证明：∵BC // 平面EFGH，平面EFGH∩平面BDC＝FG，平面EFGH∩平面ABC ＝EH，∴BC // FG，BC // EH，∴FG // EH．同理EF // AD，HG // AD，∴EF // HG，∴四边形EFGH是平行四边形，∵AD⊥平面BDC，∴AD⊥BC，∴EF⊥FG，∴四边形EFGH是矩形．已知△ABC的三内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量m→=(cosB, cosC)，n→= (2a+c, b)，且m→⊥n→．（1）求角B的大小；（2）若b=√3，求a+c的范围．【答案】根据题意，m→=(cos B, cos C)，n→=(2a+c, b)，且m→⊥n→，则有(2a+c)cos B+bcosC＝0，即cos B(2sin A+sin C)+sin Bcos C＝0，2cos Bsin A+cos Bsin C+sin Bcos C＝0．即2cos Bsin A＝−sin(B+C)＝−sin A．∵A∈(0, π)，∴sin A≠0，∴cosB=−12．∵0<B<π，∴B=2π3．由余弦定理得b2＝a2+c2−2accos23π＝a2+c2+ac＝(a+c)2−ac≥(a+c)2−(a+c2)2=34(a+c)2，当且仅当a＝c时取等号．∴(a+c)2≤4，故a+c≤2．又a+c>b=√3，∴a+c∈(√3, 2]．即a+c的取值范围是(√3, 2]．【考点】解三角形三角形的面积公式平面向量数量积的性质及其运算【解析】（1）根据题意，由数量积的计算公式可得(2a+c)cos B+bcosC＝0，结合正弦定理可得2cos Bsin A＝−sin(B+C)＝−sin A，变形可得cosB的值，即可得答案；（2）由余弦定理可得b2=34(a+c)2，分析可得(a+c)2≤4，解可得a+c≤2，由三角形的角边关系分析可得a+c的最小值，综合即可得答案．【解答】根据题意，m→=(cos B, cos C)，n→=(2a+c, b)，且m→⊥n→，则有(2a+c)cos B+bcosC＝0，即cos B(2sin A+sin C)+sin Bcos C＝0，2cos Bsin A+cos Bsin C+sin Bcos C＝0．即2cos Bsin A＝−sin(B+C)＝−sin A．∵A∈(0, π)，∴sin A≠0，∴cosB=−12．∵0<B<π，∴B=2π3．由余弦定理得b2＝a2+c2−2accos23π＝a2+c2+ac＝(a+c)2−ac≥(a+c)2−(a+c2)2=34(a+c)2，当且仅当a＝c时取等号．∴(a+c)2≤4，故a+c≤2．又a+c>b=√3，∴a+c∈(√3, 2]．即a+c的取值范围是(√3, 2]．如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB // DC，AB⊥AD，DC＝6，AD＝8，BC＝10，∠PAD＝45∘，E为PA的中点．（1）求证：DE // 平面BPC；（2）线段AB上是否存在一点F，满足CF⊥DB？若存在，试求出二面角F−PC−D的余弦值；若不存在，请说明理由．【答案】证明：取PB的中点M，连接EM和CM，过点C作CN⊥AB，垂足为点N．∵CN⊥AB，DA⊥AB，∴CN // DA，又AB // CD，∴四边形CDAN为平行四边形，∴CN＝AD＝8，DC＝AN＝6，在Rt△BNC中，BN=√BC2−CN2=√102−82=6，∴AB＝12，而E，M分别为PA，PB的中点，∴EM // AB且EM＝6，又DC // AB，∴EM // CD且EM＝CD，四边形CDEM为平行四边形，∴DE // CM．∵CM⊂平面PBC，DE平面PBC，∴DE // 平面BPC．由题意可得DA，DC，DP两两互相垂直，如图，以D为原点，DA ，DC ，DP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D −xyz ，则A(8, 0, 0)，B(8, 12, 0)，C(0, 6, 0)，P(0, 0, 8)．假设AB 上存在一点F 使CF ⊥BD ，设点F 坐标为(8, t, 0)，则CF →=(8, t −6, 0)，DB →=(8, 12, 0)，由CF →⋅DB →=0得t =23．又平面DPC 的一个法向量为m →=(1, 0, 0)，设平面FPC 的法向量n →=(x, y, z)，则PC →=(0, 6, −8)，FC →=(−8, 163, 0)， 由{n →⋅PC →=6y −8z =0n →⋅FC →=−8x +163y =0 ，取y ＝12，得n →=(8, 12, 9)， 设二面角F −PC −D 的平面角为θ，则cosθ=|n →⋅m →||n →|⋅|m →|=1×√289=817．∴ 二面角F −PC −D 的余弦值为817．【考点】直线与平面平行二面角的平面角及求法【解析】（1）取PB 的中点M ，连接EM 和CM ，过点C 作CN ⊥AB ，垂足为点N ．推导出四边形CDAN 为平行四边形，从而CN ＝AD ＝8，DC ＝AN ＝6，AB ＝12，推导出四边形CDEM 为平行四边形，从而DE // CM ．由此能证明DE // 平面BPC ．（2）由题意可得DA ，DC ，DP 两两互相垂直，以D 为原点，DA ，DC ，DP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D −xyz ，利用向量法能求出二面角F −PC −D 的余弦值．【解答】证明：取PB 的中点M ，连接EM 和CM ，过点C 作CN ⊥AB ，垂足为点N ．∵ CN ⊥AB ，DA ⊥AB ，∴ CN // DA ，又AB // CD ，∴ 四边形CDAN 为平行四边形，∴ CN ＝AD ＝8，DC ＝AN ＝6， 在Rt △BNC 中，BN =√BC2−CN2=√102−82=6，∴ AB ＝12，而E ，M 分别为PA ，PB 的中点，∴ EM // AB 且EM ＝6，又DC // AB ，∴ EM // CD 且EM ＝CD ，四边形CDEM 为平行四边形，∴ DE // CM ．∵ CM ⊂平面PBC ，DE 平面PBC ，∴ DE // 平面BPC ．由题意可得DA ，DC ，DP 两两互相垂直，如图，以D 为原点，DA ，DC ，DP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D −xyz ，则A(8, 0, 0)，B(8, 12, 0)，C(0, 6, 0)，P(0, 0, 8)．假设AB 上存在一点F 使CF ⊥BD ，设点F 坐标为(8, t, 0)，则CF →=(8, t −6, 0)，DB →=(8, 12, 0)，由CF →⋅DB →=0得t =23．又平面DPC 的一个法向量为m →=(1, 0, 0)，设平面FPC 的法向量n →=(x, y, z)，则PC →=(0, 6, −8)，FC →=(−8, 163, 0)， 由{n →⋅PC →=6y −8z =0n →⋅FC →=−8x +163y =0 ，取y ＝12，得n →=(8, 12, 9)， 设二面角F −PC −D 的平面角为θ，则cosθ=|n →⋅m →||n →|⋅|m →|=1×√289=817．∴ 二面角F −PC −D 的余弦值为817．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差d ≠0，且S 3+S 5＝50，a 1，a 4，a 13成等比数列．(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)设{bn a n }是首项为1公比为2的等比数列，求数列{b n }前n 项和T n ． 【答案】（1）∵ 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差d ≠0，且S 3+S 5＝50，a 1，a 4，a 13成等比数列．∴ {3a 1+3×22d +5a 1+5×42d =50(a 1+3d)2=a 1(a 1+12d)，解得{a 1=3d =2⋯ ∴ a n ＝a 1+(n −1)d ＝3+2(n −1)＝2n +1，∴ a n ＝2n +1（2）∵ {b n a n}是首项为1公比为2 的等比数列， ∴ bn a n =2n−1,b n =a n ⋅2n−1=(2n +1)⋅2n−1⋯ ∴ T n =3×20+5×21+7×22+⋯+(2n +1)⋅2n−1①2T n =3×21+5×22+7×23+⋯+(2n −1)⋅2n−1+(2n +1)⋅2n ②两式相减得：T n =−3−2×2(1−2n−1)1−2+(2n +1)⋅2n ＝1+(2n −1)⋅2n【考点】数列的求和【解析】(Ⅰ)由已知条件利用等差数列的前n 项和公式和通项公式以及等比数列的性质，求出首项和公差，由此能求出a n ＝2n +1．(Ⅱ)bn a n =2n−1,b n =a n ⋅2n−1=(2n +1)⋅2n−1，由此利用错位相减法能求出数列{b n }前n 项和T n ．【解答】（1）∵ 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差d ≠0，且S 3+S 5＝50，a 1，a 4，a 13成等比数列．∴ {3a 1+3×22d +5a 1+5×42d =50(a 1+3d)2=a 1(a 1+12d)， 解得{a 1=3d =2⋯ ∴ a n ＝a 1+(n −1)d ＝3+2(n −1)＝2n +1，∴ a n ＝2n +1（2）∵ {b n a n}是首项为1公比为2 的等比数列， ∴ bn a n =2n−1,b n =a n ⋅2n−1=(2n +1)⋅2n−1⋯ ∴ T n =3×20+5×21+7×22+⋯+(2n +1)⋅2n−1①2T n =3×21+5×22+7×23+⋯+(2n −1)⋅2n−1+(2n +1)⋅2n ②两式相减得：T n =−3−2×2(1−2n−1)1−2+(2n +1)⋅2n ＝1+(2n −1)⋅2n已知直线l:4x +3y +10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方．（1）求圆C 的方程；（2）过点M(1, 0)的直线与圆C 交于A ，B 两点（A 在x 轴上方），问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】直线l:4x +3y +10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方．设圆心C(a, 0)，则#/DEL/#|4A+10|5=2#/DEL/#， 解得a ＝0或a ＝−5（舍）．所以圆C:x 2+y 2＝4．如图，当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB ．①当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k(x −1)，N(t, 0)，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，由{x 2+y 2=4y =k(x −1)， 得到：(k 2+1)x 2−2k 2x +k 2−4＝0， 所以x 1+x 2=2k 2k 2+1，x 1x 2=k 2−4k 2+1．②若x 轴平分∠ANB ，k AN ＝−k BN ，所以：y 1x 1−t +y 2x 2−t =0，整理得：2x 1x 2−(t +1)(x 1+x 2)+2t ＝0，解得：t ＝4．所以当点N 为(4, 0)时，能使得∠ANM ＝∠BNM 总成立．【考点】直线与圆的位置关系【解析】（1）利用已知条件直接利用点到直线的距离求出圆心的坐标．最后求出圆的方程． （2）利用分类讨论思想，经过定点的直线①斜率存在②斜率不存在，分类求出点N 的坐标．【解答】直线l:4x +3y +10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方．设圆心C(a, 0)，则#/DEL/#|4A+10|5=2#/DEL/#， 解得a ＝0或a ＝−5（舍）．所以圆C:x 2+y 2＝4．如图，当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB ．①当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k(x −1)，N(t, 0)，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，由{x 2+y 2=4y =k(x −1)， 得到：(k 2+1)x 2−2k 2x +k 2−4＝0，所以x 1+x 2=2k 2k 2+1，x 1x 2=k 2−4k 2+1． ②若x 轴平分∠ANB ，k AN ＝−k BN ，所以：y 1x 1−t +y 2x 2−t =0，整理得：2x1x2−(t+1)(x1+x2)+2t＝0，解得：t＝4．所以当点N为(4, 0)时，能使得∠ANM＝∠BNM总成立．。

2019-2020学年广西壮族自治区南宁市第三中学高二12月月考数学（理）试题一、单选题 1．已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】依题意得：，所以，故，故选C.2．若双曲线()222213x y a o a -=>的离心率为2，则a 等于( )A ．2B 3C ．32D ．1【答案】D【解析】由222231323x y c a b e a a 可知虚轴，而离心率+-=====，解得a=1或a=3，参照选项知而应选D.3．若实数x ，y 满足2211y x y x y x ≥-⎧⎪≥-+⎨⎪≤+⎩，则3z x y =-的最大值是A ．2-B ．1-C ．5D ．3【答案】C【解析】画出可行域如下图所示,由图可知,目标函数在点()3,4处取得最大值为5.4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．1 B．13C．12D．32【答案】B【解析】由三视图确定几何体的直观图，根据棱锥的体积公式求解即可.【详解】根据三视图得到的几何体如上图所示，该几何体是四棱锥，底面积111S=⨯=，高1h=，四棱锥的体积11111333V Sh==⨯⨯=，故选：B．【点睛】本题主要考查了已知三视图求几何体的体积，属于基础题. 5．“x a >”是“x a >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】将两个条件相互推导，根据能否推导的情况选出正确选项. 【详解】当“x a >”时，如1,1x a ==-，x a =，故不能推出“x a >” .当“x a >”时，必然有“x a >”.故“x a >”是“x a >”的必要不充分条件. 【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查含有绝对值的不等式，属于基础题.6．已知22log 3a =，4logb π=，0.6c =a ，b ，c 的大小关系为（） A ．b c a >> B ．c b a >>C ．b a c >>D ．c a b >>【答案】B【解析】采用“0,1”分段法，找到小于0、在0~1之间和大于1的数，由此判断出三者的大小关系. 【详解】因为010.6c >=，401log 4b <<=，0a <，所以c b a >>.故选B. 【点睛】本题考查指数与对数值的大小比较，考查运算求解能力，属于基础题.7．某校高一年级从815名学生中选取30名学生参加庆祝建党98周年的大合唱节目，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从 815 人中剔除5人，剩下的810人再按系统抽样的方法抽取，则每人入选的概率（ ） A ．不全相等 B ．均不相等 C ．都相等，且为6163D ．都相等，且为127【答案】C【解析】抽样要保证机会均等，由此得出正确选项. 【详解】抽样要保证机会均等，故从815名学生中抽取30名，概率为306815163=，故选C. 【点睛】本小题主要考查简单随机抽样、系统抽样等抽样方法的概念，属于基础题.8．设()f x 与()g x 是定义在同一区间[],a b 上的两个函数，若函数()()y f x g x =-在[],x a b ∈上有两个不同的零点，则称()f x 和()g x 在[],a b 上是关联函数，[],a b 称为关联区间，若()234f x x x =-+与()2g x x m =+在[]0,3上是关联函数，则m 的取值范围是（ ） A ．9,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦C ．(],2-∞-D ．[]1,0-【答案】B【解析】根据题意，得到()254h x x x m =-+-在[]0,3上有两个不同的零点，故有()()0030502h h h ⎧⎪≥⎪⎪≥⎨⎪⎛⎫⎪< ⎪⎪⎝⎭⎩，由此求得m 的取值范围. 【详解】∵()234f x x x =-+与()2g x x m =+在[]0,3上是“关联函数”，故函数()()()254y h x f x g x x x m ==-=-+-在[]0,3上有两个不同的零点， 故有()()0030502h h h ⎧⎪≥⎪⎪≥⎨⎪⎛⎫⎪< ⎪⎪⎝⎭⎩∴402025254042m m m ⎧⎪-≥⎪--≥⎨⎪⎪-+-<⎩∴924m -<≤- 故选：B 【点睛】本题主要考查了函数与方程的应用，属于中档题.9．已知数列{}n a 满足11a =，*12()n n n a a n N +⋅=∈，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则（ ）A ．201820182a =B ．10092018323S =⋅- C ．数列21{}n a -是等差数列D ．数列{}n a 是等比数列【解析】分析：由11a =，()*12n n n a a n N +⋅=∈可知数列{}n a 隔项成等比，再结合等比的有关性质即可作出判断.详解：数列{}n a 满足11a =，()*12n n n a a n N +⋅=∈， 当n 2≥时，112n n n a a --⋅=两式作商可得：112n n a a +-=， ∴数列{}n a 的奇数项135a a a L ，，，，成等比， 偶数项246a a a L ，，，，成等比， 对于A 来说，20181100810092201822222aa -=⨯=⨯=，错误；对于B 来说，()()2018132017242018S a a a a a a L L =+++++++()()1009100910091122123231212⨯-⨯-=+=⋅---，正确；对于C 来说，数列{}21n a -是等比数列 ，错误； 对于D 来说，数列{}n a 不是等比数列，错误， 故选：B点睛：本题考查了由递推关系求通项，常用方法有：累加法，累乘法，构造等比数列法，取倒数法，取对数法等等，本题考查的是隔项成等比数列的方法，注意偶数项的首项与原数列首项的关系.10．已知1F ，2F 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且21PF PF >，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，若112PF F F =，则2133e e +的最小值为（ ） A．6+B．6+C ．8D ．6【答案】C【解析】由椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式化简2133e e +，结合基本不等式即可求解.设椭圆的长半轴长为a ，双曲线的半实轴长为a '，半焦距为c ， 则1ce a=，2c e a ='，设2PF m =由椭圆的定义以及双曲线的定义可得：1222m PF PF a a c +=⇒=+，2122mPF PF a a c ''-=⇒=- 则2133e e +33322633322m m c c a c c c m m c a c c c c ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=+=++'⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭68≥+=当且仅当73a c =时，取等号. 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式，属于中等题.11．设棱锥M ABCD -的底面是正方形，且,MA MD MA AB =⊥,AMD △的面积为1，则能够放入这个棱锥的最大球的半径为 A．2 B1C．12-D．13-【答案】B【解析】设球O 是与平面MAD 、平面AC 、平面MBC 都相切的球，然后找出球心所在的三角形，设AD EF a ==，求出内切圆半径然后利用基本不等式即可求出最大值． 【详解】解：AB AD ⊥Q ，AB MA ⊥，AB ∴⊥平面MAD ，由此，面MAD ⊥面ABCD ． 记E 是AD 的中点，从而ME AD ⊥．ME ∴⊥平面ABCD ，ME EF ⊥．设球O 是与平面MAD 、平面ABCD 、平面MBC 都相切的球． 不妨设O ∈平面MEF ，于是O 是MEF V 的内心．设球O 的半径为r ，则2MEFS r EF EM MF=++V设AD EF a ==，1AMD S =V Q所以2ME a ∴=，222MF a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以222122222r a a a a =≤=-+⎛⎫+++ ⎪⎝⎭.当且仅当2a a=，即2a =时，等号成立. ∴当2AD ME ==时，满足条件的最大半径为21-.【点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切接问题时一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题化归为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，注意多边形内切圆半径与面积和周长间的关系；多面体内切球半径与体积和表面积间的关系，属于中档题．12．定义在上的函数对任意都有，且函数的图象关于成中心对称，若满足不等式，则当时，的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】试题分析：由已知条件知函数为奇函数且在上为减函数,由有,所以，,若以为横坐标,为纵坐标,建立平面直角坐标系,如图所示,阴影部分为不等式表示的平面区域,即及其内部,,令,则,求出,所以,解得,∴的取值范围是,选D.【考点】1.函数的基本性质；2.线性规划.【方法点睛】本题主要考查了函数的性质:单调性和奇偶性,以及线性规划的相关知识,属于中档题. 利用已知条件得出函数是上的减函数,由函数的图象关于成中心对称，根据图象的平移,得出的图象关于原点成中心对称,所以为奇函数,解不等式,得出,画出不等式组表示的平面区域,,则,通过图形求关于的一次函数的斜率得出的范围,从而求出的范围.二、填空题13．已知x，y满足方程（x﹣2）2+y2＝1，则yx的最大值为__________3【解析】求出圆的圆心坐标，圆的半径，利用圆心到直线的距离等于半径求出k的值即可．【详解】x，y满足方程（x﹣2）2+y2＝1，圆的圆心（2，0），半径为1，设ykx=，即kx﹣y＝0，要求x，y满足方程（x﹣2）2+y2＝1，yx的最大值，2211kk=+，解得k3=yx3故答案为3． 【点睛】本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，考查了表达式yx的几何意义，考查计算能力． 14．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为__★__ 【答案】【解析】根据椭圆的标准方程及焦点在轴上，可得k 的不等式组，解不等式组即可得k 的取值范围。

邕宁区第三中学校2019-2020学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1．已知函数，函数，其中b∈R，若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（）A．B．C．D．2．设l，m，n表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列四个命题：①若m∥l，m⊥α，则l⊥α；②若m∥l，m∥α，则l∥α；③若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，则l∥m∥n；④若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，n∥β，则l∥m．其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．43．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求取出的这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为（）A．232 B．252 C．472 D．4844．设偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），则{x|f（x﹣2）＜0}=（）A．{x|x＜﹣2或x＞4} B．{x|x＜0或x＞4} C．{x|x＜0或x＞6} D．{x|0＜x＜4}5．设集合,,则( )ABCD6．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为（）A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.157．下列函数中，定义域是且为增函数的是（）A. B. C.D.8． 在等比数列中，，，且数列的前项和，则此数列的项数等于（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【命题意图】本题考查等比数列的性质及其通项公式，对逻辑推理能力、运算能力及分类讨论思想的理解有一定要求，难度中等.9． 对某班学生一次英语测验的成绩分析，各分数段的分布如图（分数取整数），由此，估计这次测验的优秀率（不小于80分）为（ ）A ．92%B ．24%C ．56%D ．5.6%10．在平面直角坐标系中，若不等式组（为常数）表示的区域面积等于，则的值为（ ） A ．B ．C ．D ．11．函数的定义域是（ ）A ．[0，+∞）B ．[1，+∞）C ．（0，+∞）D ．（1，+∞）12．函数f （x ）=ax 2+bx 与f （x ）=log x （ab ≠0，|a|≠|b|）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）A．B．C．D．二、填空题13．已知函数f（x）=有3个零点，则实数a的取值范围是．14．已知是定义在上函数，是的导数，给出结论如下：①若，且，则不等式的解集为；②若，则；③若，则；④若，且，则函数有极小值；⑤若，且，则函数在上递增．其中所有正确结论的序号是．15．若P（1，4）为抛物线C：y2=mx上一点，则P点到该抛物线的焦点F的距离为|PF|=．16．一质点从正四面体A﹣BCD的顶点A出发沿正四面体的棱运动，每经过一条棱称为一次运动．第1次运动经过棱AB由A到B，第2次运动经过棱BC由B到C，第3次运动经过棱CA由C到A，第4次经过棱AD由A到D，…对于N∈n*，第3n次运动回到点A，第3n+1次运动经过的棱与3n﹣1次运动经过的棱异面，第3n+2次运动经过的棱与第3n次运动经过的棱异面．按此运动规律，质点经过2015次运动到达的点为．17．分别在区间、上任意选取一个实数，则随机事件“”的概率为_________.18．过抛物线C ：y 2=4x 的焦点F 作直线l 交抛物线C 于A ，B ，若|AF|=3|BF|，则l 的斜率是 ．三、解答题19．（本小题满分12分）某超市销售一种蔬菜，根据以往情况，得到每天销售量的频率分布直方图如下：（Ⅰ）求频率分布直方图中的的值，并估计每天销售量的中位数；（Ⅱ）这种蔬菜每天进货当天必须销售，否则只能作为垃圾处理．每售出1千克蔬菜获利4元，未售出的蔬菜，每千克亏损2元．假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，估计当超市每天的进货量为75千克时获利的平均值．20．某滨海旅游公司今年年初用49万元购进一艘游艇，并立即投入使用，预计每年的收入为25万元，此外每年都要花费一定的维护费用，计划第一年维护费用4万元，从第二年起，每年的维修费用比上一年多2万元，设使用x 年后游艇的盈利为y 万元． （1）写出y 与x 之间的函数关系式；（2）此游艇使用多少年，可使年平均盈利额最大？千克21．已知A（﹣3，0），B（3，0），C（x0，y0）是圆M上的三个不同的点．（1）若x0=﹣4，y0=1，求圆M的方程；（2）若点C是以AB为直径的圆M上的任意一点，直线x=3交直线AC于点R，线段BR 的中点为D．判断直线CD与圆M的位置关系，并证明你的结论．22．已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD是∠A=60°、边长为a的菱形，又PD⊥底ABCD，且PD=CD，点M、N分别是棱AD、PC的中点．（1）证明：DN∥平面PMB；（2）证明：平面PMB⊥平面PAD；（3）求点A到平面PMB的距离．23．已知函数f（x）=|x﹣10|+|x﹣20|，且满足f（x）＜10a+10（a∈R）的解集不是空集．（Ⅰ）求实数a的取值集合A（Ⅱ）若b∈A，a≠b，求证a a b b＞a b b a．24．若已知，求sinx的值．邕宁区第三中学校2019-2020学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题1．【答案】D【解析】解：∵g（x）=﹣f（2﹣x），∴y=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣+f（2﹣x），由f（x）﹣+f（2﹣x）=0，得f（x）+f（2﹣x）=，设h（x）=f（x）+f（2﹣x），若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x2，若0≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤0，0≤2﹣x≤2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2，若x＞2，﹣x＜﹣2，2﹣x＜0，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）2+2﹣|2﹣x|=x2﹣5x+8．作出函数h（x）的图象如图：当x≤0时，h（x）=2+x+x2=（x+）2+≥，当x＞2时，h（x）=x2﹣5x+8=（x﹣）2+≥，故当=时，h（x）=，有两个交点，当=2时，h（x）=，有无数个交点，由图象知要使函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，即h（x）=恰有4个根，则满足＜＜2，解得：b∈（，4），故选：D．【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键．2．【答案】B【解析】解：∵①若m∥l，m⊥α，则由直线与平面垂直的判定定理，得l⊥α，故①正确；②若m∥l，m∥α，则l∥α或l⊂α，故②错误；③如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，平面ABB1A1∩平面ABCD=AB，平面ABB1A1∩平面BCC1B1=BB1，平面ABCD∩平面BCC1B1=BC，由AB、BC、BB1两两相交，得：若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，则l∥m∥n不成立，故③是假命题；④若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，n∥β，则由α∩γ=n知，n⊂α且n⊂γ，由n⊂α及n∥β，α∩β=m，得n∥m，同理n∥l，故m∥l，故命题④正确．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．3．【答案】C【解析】【专题】排列组合．【分析】不考虑特殊情况，共有种取法，其中每一种卡片各取三张，有种取法，两种红色卡片，共有种取法，由此可得结论．【解答】解：由题意，不考虑特殊情况，共有种取法，其中每一种卡片各取三张，有种取法，两种红色卡片，共有种取法，故所求的取法共有﹣﹣=560﹣16﹣72=472故选C．【点评】本题考查组合知识，考查排除法求解计数问题，属于中档题．4．【答案】D【解析】解：∵偶函数f（x）=2x﹣4（x≥0），故它的图象关于y轴对称，且图象经过点（﹣2，0）、（0，﹣3），（2，0），故f（x﹣2）的图象是把f（x）的图象向右平移2个单位得到的，故f（x﹣2）的图象经过点（0，0）、（2，﹣3），（4，0），则由f（x﹣2）＜0，可得0＜x＜4，故选：D．【点评】本题主要考查指数不等式的解法，函数的图象的平移规律，属于中档题．5．【答案】C【解析】送分题,直接考察补集的概念,,故选C。