六年级奥数-第五讲.几何-立体部分.教师版[1]

对于小学几何而言，立体图形的表面积和体积计算，既可以很好地考查学生的空间想象能力，又可以具体考查学生在公式应用中处理相关数据的能力，所以，很多重要考试都很重视对立体图形的考查．如右图，长方体共有六个面(每个面都是长方形)，八个顶点，十二条棱．cba H GF ED CB A①在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等．(叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．)②长方体的表面积和体积的计算公式是：长方体的表面积：2()S ab bc ca =++长方体；长方体的体积：V abc =长方体．③正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形．如果它的棱长为a ，那么：26S a =正方体，3V a =正方体．板块一 长方体与正方体的表面积【例 1】 右图中共有多少个面？多少条棱？左面【考点】长方体与正方体 【难度】1星 【题型】解答【解析】 如右图所示，可以分前、后、左、右、上、下六个方向看这个立体图形．前、后看各有1个面，左面看有1个面，右面看有2个面，上面看有2个面，下面看有1例题精讲长方体与正方体（一）个面．所以共有1112218+++++=(个)面．前后方向的棱有6条，左右方向的棱有6条，上下方向的棱也有6条，所以共有棱66618++=(条)．【答案】8个面，18条棱【巩固】右图中共有多少个面？多少条棱？【考点】长方体与正方体【难度】1星【题型】解答【解析】9个面，21条棱．【答案】9个面，21条棱【例2】如右图，在一个棱长为10的立方体上截取一个长为8，宽为3，高为2的小长方体，那么新的几何体的表面积是多少？【考点】长方体与正方体【难度】2星【题型】解答【解析】我们从三个方向(前后、左右、上下)考虑，新几何体的表面积仍为原立方体的表面积：10⨯10⨯6=600．【答案】600【巩固】在一个棱长为50厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖去一个棱长为5厘米的小正方体，问剩下的立体图形的表面积是多少？【考点】长方体与正方体【难度】2星【题型】解答【解析】对于和长方体相关的立体图形表面积，一般从上下、左右、前后3个方向考虑．变化前后的表面积不变：50⨯50⨯6=15000(平方厘米)．【答案】15000【例3】如右图，有一个边长是5的立方体，如果它的左上方截去一个边分别是5，3，2的长方体，那么它的表面积减少了多少?【考点】长方体与正方体【难度】2星【题型】解答【解析】原来正方体的表面积为5⨯5⨯6=150．现在立体图形的表面积减少了前后两个面中的部分面，它们的面积为(3⨯2)⨯2=12，所以减少的面积就是12．【答案】12【例4】如图，有一个边长是5的立方体，如果它的左上方截去一个边分别是5，3，2的长方体，那么它的表面积减少了百分之几?【考点】长方体与正方体【难度】2星【题型】解答【关键词】奥林匹克，初赛，10题【解析】原来正方体的表面积为5 ×5×6=150，现在立体图形的表面积截了两个面向我们的侧面，它们的面积为(3×2)×2=12，12÷150=0.08=8％．即表面积减少了百分之八．【答案】百分之八【例5】右图是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长l厘米的正方体，做成一种玩具．它的表面积是多少平方厘米?（图中只画出了前面、右面、上面挖去的正方体）【考点】长方体与正方体【难度】2星【题型】解答【解析】原正方体的表面积是4⨯4⨯6=96(平方厘米)．每一个面被挖去一个边长是1厘米的正方形，同时又增加了5个边长是1厘米的正方体作为玩具的表面积的组成部分．总的来看，每一个面都增加了4个边长是1厘米的正方形．从而，它的表面积是：96+4⨯6=120平方厘米．【答案】120【例6】如图，有一个边长为20厘米的大正方体，分别在它的角上、棱上、面上各挖掉一个大小相同的小立方体后，表面积变为2454平方厘米，那么挖掉的小立方体的边长是多少厘米？【考点】长方体与正方体【难度】2星【题型】解答【解析】大立方体的表面积是20⨯20⨯6=2400平方厘米．在角上挖掉一个小正方体后，外面少了3个面，但里面又多出3个面；在棱上挖掉一个小正方体后，外面少了2个面，但里面多出4个面；在面上挖掉一个小正方体后，外面少了1个面，但里面多出5个面．所以，最后的情况是挖掉了三个小正方体，反而多出了6个面，可以计算出每个面的面积：(2454-2400)÷6=9平方厘米，说明小正方体的棱长是3厘米．【答案】3【例7】下图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为12厘米的正方形小洞，第三个正方形小洞的挖法和前两个相同为14厘米，那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】解答【解析】我们仍然从3个方向考虑．平行于上下表面的各面面积之和：2⨯2⨯2=8(平方厘米)；左右方向、前后方向：2⨯2⨯4=16(平方厘米)，1⨯1⨯4=4(平方厘米)，1 2⨯12⨯4=1(平方厘米)，14⨯14⨯4=14(平方厘米)，这个立体图形的表面积为：816++4+1+14=1294(平方厘米).【答案】1 294【例8】从一个棱长为10厘米的正方形木块中挖去一个长10厘米、宽2厘米、高2厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？(写出符合要求的全部答案)【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】解答【关键词】小学生数学报【解析】按图1所示沿一条棱挖，为592平方厘米；按图2所示在某一面上挖，为632平方厘米；按图3所示在某面上斜着挖，为648平方厘米；按图4所示挖通两个对面，为672平方厘米．图1 图2 图3 图4【答案】按图1所示沿一条棱挖，为592平方厘米；按图2所示在某一面上挖，为632平方厘米；按图3所示在某面上斜着挖，为648平方厘米；按图4所示挖通两个对面，为672平方厘米．图1 图2 图3 图4【例9】一个正方体木块，棱长是15．从它的八个顶点处各截去棱长分别是1、2、3、4、5、6、7、8的小正方体．这个木块剩下部分的表面积最少是多少？【考点】长方体与正方体【难度】4星【题型】解答【关键词】迎春杯【解析】截去一个小正方体，表面积不变，只有在截去的小正方体的面相重合时，表面积才会减少，所以要使木块剩下部分的表面积尽可能小，应该在同一条棱的两端各截去棱长7与8的小正方体(如图所示)，这时剩下部分的表面积比原正方体的表面积减少最多．剩下部分的表面积最小是： 15⨯15⨯6-7⨯7⨯2=1252．想想为什么不是15⨯15⨯6-7⨯7-8⨯8 ？【答案】1252【例 10】 从一个长8厘米、宽7厘米、高6厘米的长方体中截下一个最大的正方体(如下图)，剩下部分的表面积之和是 平方厘米．68766【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空【解析】 可以将这个图形看作一个八棱柱，表面积和为：87662616661787292⨯-⨯⨯+⨯+++++++=（）（）(平方厘米)．也可以这样想：由于截去后原来的长方体的表面少了3个66⨯的正方形，而新图形凹进去的部分恰好是3个66⨯的正方形，所以新图形的表面积与原图形的表面积相等，为()8786762292⨯+⨯+⨯⨯=(平方厘米)．【答案】292【巩固】一个长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的长方形，现从它的上面尽可能大的切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大的切下一个正方体，剩下的体积是多少平方厘米？【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】解答【解析】 本题的关键是确定三次切下的正方体的棱长.由于21:15:127:5:4=，为了方便起见.我们先考虑长、宽、高分别为7厘米、5厘米、4厘米的长方体.因为754>>,容易知道第一次切下的正方体棱长应该是4厘米（如图），第二次切时，切下棱长为3厘米的正方体符合要求.第三次切时，切下棱长为2厘米的正方体符合要求. 剩下的体积应是()33321151212961107⨯⨯-++=（平方厘米）.【答案】1107【例 11】 一个正方体木块，棱长是1米，沿着水平方向将它锯成2片，每片又锯成3长条，每条又锯成4小块，共得到大大小小的长方体24块，那么这24块长方体的表面积之和是多少？【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】解答【解析】 锯一次增加两个面，锯的总次数转化为增加的面数的公式为：锯的总次数⨯2=增加的面数．原正方体表面积：1⨯1⨯6=6(平方米)，一共锯了(2-1)+(3-1)+(4-1)=6次，6+1⨯1⨯2⨯6=18(平方米)．【答案】18【巩固】如右图，一个正方体形状的木块，棱长l米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条又锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块．那么，这60块长方体表面积的和是多少平方米?【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】解答【解析】我们知道每切一刀，多出的表面积恰好是原正方体的2个面的面积．现在一共切了(3-1)+(4-1)+(5-1)=9刀，而原正方体一个面的面积1⨯l=1(平方米)，所以表面积增加了9⨯2⨯1=18(平方米)．原来正方体的表面积为6⨯1=6(平方米)，所以现在的这些小长方体的表积之和为6+18=24(平方米)．【答案】24【巩固】一个表面积为256cm的长方体如图切成27个小长方体，这27个小长方体表面积的和是2cm．【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】填空【关键词】走美杯，六年级，初赛【解析】每一刀增加两个切面，增加的表面积等于与切面平行的两个表面积，所以每个方向切两刀后，表面积增加到原来的3倍，即表面积的和为2⨯=．563168(cm)【答案】168【例12】右图是一个表面被涂上红色的棱长为10厘米的正方体木块，如果把它沿虚线切成8个正方体，这些小正方体中没有被涂上红色的所有表面的面积和是多少平方厘米？【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】解答【解析】 10⨯10⨯6=600(平方厘米)．【答案】600【例 13】 有n 个同样大小的正方体，将它们堆成一个长方体，这个长方体的底面就是原正方体的底面．如果这个长方体的表面积是3096平方厘米，当从这个长方体的顶部拿去一个正方体后，新的长方体的表面积比原长方体的表面积减少144平方厘米，那么n 为多少？【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】解答【解析】 由于堆成的长方体的底面就是原来正方体的底面，说明这个长方体是由这些正方体一字排开组成的，从这个长方体的顶部拿去一个正方体，减少的面积相当于侧面的四个正方形的面积，所以正方体每个面的面积是144436÷=(平方厘米)．所堆成的长方体的表面积，包含底面的2个正方形和侧面的4n 个正方形，所以 (3096362)14421n =-⨯÷=．【答案】21【例 14】 边长分别是3、5、8的三个正方体拼在一起，在各种拼法中，表面积最小多少？【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】解答【解析】 三个正方体两两拼接时，最多重合3个正方形面，其中边长为3的正方体与其它两个正方体重合的面积不超过边长为3的正方形，边长为5和边长为8的正方体的重合面面积不超过边长为5的正方形，三个正方形表面积和为6⨯3⨯3+6⨯5⨯5+6⨯8⨯8-2⨯2⨯3⨯3-2⨯5⨯5=502.【答案】502【例 15】 如图，25块边长为1的正方体积木拼成一个几何体，表面积最小是多少？25块积木【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】解答【解析】 当小积木互相重合的面最多时表面积最小.设想27块边长为1的正方形积木，当拼成一个333⨯⨯的正方体时，表面积最小，现在要去掉2块小积木，只有在两个角上各去掉一块小积木，或在同一个角去掉两块相邻的积木时，表面积不会增加，该几何体表面积为54.【答案】54【例 16】 由六个棱长为1的小正方体拼成如图所示立体，它的表面积是 ．【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空【关键词】走美杯，4年级，决赛，第3题，8分【解析】 三视图法：表面积为：()454226++⨯=【答案】26【例 17】 将15个棱长为1的正方体堆放在桌子上，喷上红色后再将它们分开。

几何一一立体部分教学目标:对于小学几何而言， 立体图形的表面积和体积计算，既可以很好地考查学生的空间想象能力，又可以具体考查学生在公式应用中处理相关数据的能力， 所以，很多重要考试都很重视对立体图形的考查.知识点拨：一、长方体和正方体① 在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等. （叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形. ）② 长方体的表面积和体积的计算公式是： 长方体的表面积：S 长方体 2（ab be ca ）;长方体的体积：V 长方体abc .③ 正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形. 如果它的棱长为a ，那么：S 正方体6a 2, V 正方体a 3.、圆柱与圆锥立体图形表面积 体积圆柱匕二匚S 圆柱 侧面积2个底面积2 n h 2 n 2V柱n h圆锥S 圆锥侧面积底面积 —n 2 n 2360注：|是母线，即从顶点到底面圆上的线段 长1 2V 圆锥体-n h3如右图，长方体共有六个面（每个面都是长方形），八个顶点，十二条棱.例题精讲：【例1】如右图，在一个棱长为10的立方体上截取一个长为8 , 宽为3，高为2的小长方体，那么新的几何体的表面积是多少？【例2】右图是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长I厘米的正方体，做成一种玩具.它的表面积是多少平方厘米？（图中只画出了前面、右面、上面挖去的正方体）【巩固】在一个棱长为50厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖去一个棱长为5厘米的小正方体，问剩下的立体图形的表面积是多少？【例3】下图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中向下挖一1个棱长为丄厘米的正方形小洞，第三个正方形小洞的挖法和前两个相同为211厘米，那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？4【例4】一个正方体木块，棱长是1米，沿着水平方向将它锯成 2片，每片又锯成3长条,每条又锯成4小块，共得到大大小小的长方体 24块，那么这24块长方体的表面积之和是多少？【巩固】（2008年走美六年级初赛）一个表面积为56cm 2的长方体如图切成 27个小长方体, 这27个小长方体表面积的和是 ____________________________________ cm 2.如图，25块边长为1的正方体积木拼成一个几何体，表面积最小是多少?后表面积最小，该如何打包？ ⑴当b 2h 时，如何打包? ⑵当b 2h 时，如何打包? ⑶当b 2h 时，如何打包?【例5】 【例6】要把12件同样的长a 、宽b 、高h 的长方体物品拼装成一件大的长方体，使打包【巩固】要把6件同样的长17、宽7、高3的长方体物品拼装成一件大的长方体，表面积最小是多少？【例7】如图，在一个棱长为5分米的正方体上放一个棱长为4分米的小正方体，求这个立体图形的表面积.【例8】（2008年“希望杯”五年级第 2试）如图，棱长分别为1厘米、2厘米、3厘米、5 厘米的四个正方体紧贴在一起，则所得到的多面体的表面积是【例9】 把19个棱长为1厘米的正方体重叠在一起， 按右图中的方式拼成一个立体图形 求这个立体图形的表面积.【例10】有30个边长为1米的正方体，在地面上摆成右上图的形式，然后把露出的表面 涂成红色•求被涂成红色的表面积.【巩固】用棱长是 平方厘米？1厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少【例11】棱长是m厘米（m为整数）的正方体的若干面涂上红色，然后将其切割成棱长是1 厘米的小正方体．至少有一面红色的小正方体个数和表面没有红色的小正方体个数的比为13:12，此时m的最小值是多少？【例12】有64 个边长为 1 厘米的同样大小的小正方体，其中34 个为白色的，30 个为黑色的．现将它们拼成一个4 4 4的大正方体，在大正方体的表面上白色部分最多可以是多少平方厘米？【例13】三个完全一样的长方体，棱长总和是288 厘米，每个长方体相交于一个顶点的三条棱长恰是三个连续的自然数，给这三个长方体涂色，一个涂一面，一个涂两面，一个涂三面．涂色后把三个长方体都切成棱长为 1 厘米的小正方体，只有一个面涂色的小正方体最少有多少个？【例14】把一个大长方体木块表面上涂满红色后，分割成若干个同样大小的小正方体，其中恰好有两个面涂上红色的小正方体恰好是100 块，那么至少要把这个大长方体分割成多少个小正方体？【例15】把正方体的六个表面都划分成9个相等的正方形.用红、黄、蓝三种颜色去染这些小正方形，要求有公共边的正方形染不同的颜色，那么，用红色染的正方形最多有多少个?【例16】一个长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的长方形•现从它的上面尽可能大的切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大的切下一个正方体，剩下的体积是多少立方厘米？【例17】有黑白两种颜色的正方体积木，把它摆成右图所示的形状，已知相邻（有公共面）的积木颜色不同，标 A 的为黑色，图中共有黑色积木多少块?【巩固】这个图形，是否能够由 1 1 2的长方体搭构而成?【巩固】有许多相同的立方体，每个立方体的六个面上都写着同一个数字 （不同的立方体可以写相同的数字）先将写着2的立方体与写着1的立方体的三个面相邻，再将写着 3的立方体写着2的立方体相邻（见左下图）.依这样构成右下图所示的立方体， 它的六个面上的所有数字之和是多少？【例18】（05年武汉明心杯数学挑战赛）如图所示，一个5 5 5的立方体，在一个方向上 开有1 1 5的孔，在另一个方向上开有 2 1 5的孔，在第三个方向上开有 3 1 5的孔，剩 余部分的体积是多少？表面积为多少？32 1323【巩固】（2008年香港保良局第12届小学数学世界邀请赛）如图，原来的大正方体是由125 个小正方体所构成的•其中有些小正方体已经被挖除，图中涂黑色的部分就是贯穿整个大正方体的挖除部分•请问剩下的部分共有多少个小正方体？第8题【巩固】一个由125个同样的小正方体组成的大正方体，从这个大正方体中抽出若干个小正方体，把大正方体中相对的两面打通，右图就是抽空的状态.右图中剩下的小正方体有多少个？【例19】（2009年迎春杯高年级组复赛）右图中的⑴⑵⑶⑷是同样的小等边三角形，也是等边三角形且⑸⑹边长为⑴的2倍，⑺⑻⑼⑽是同样的等腰直角三角形，（11）是正方形. 么，以⑸⑹⑺⑻⑼⑽（11）为平面展开图的立体图形的体积是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形体积的倍.【例20】图⑴和图⑵是以正方形和等边三角形为面的立体图形的展开图，图中所有的边长都相同.请问：图⑴能围起来的立体图形的体积是图⑵能围起来的立体图形的体积的几倍?【例21】如图，用高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的3个圆柱组成一个物体.问这个物体的表面积是多少平方米？（n取3.14）【例22】有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米（见右图）.如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？【例23】（第四届希望杯2试试题）圆柱体的侧面展开，放平，是边长分别为10厘米和12厘米的长方形，那么这个圆柱体的体积是__________________ 方厘米.（结果用n表示）【例24】如右图，是一个长方形铁皮，禾U用图中的阴影部分，刚好能做成一个油桶（接头处忽略不计），求这个油桶的容积.（n 3.14）【巩固】如图，有一张长方形铁皮，剪下图中两个圆及一块长方形，正好可以做成1个圆柱体，这个圆柱体的底面半径为10厘米，那么原来长方形铁皮的面积是多少平方厘米？(n 3.14)【例25】把一个高是8厘米的圆柱体，沿水平方向锯去2厘米后，剩下的圆柱体的表面积比原来的圆柱体表面积减少12.56平方厘米.原来的圆柱体的体积是多少立方厘米？【例26】一个圆柱体的体积是50.24立方厘米，底面半径是2厘米.将它的底面平均分成若干个扇形后，再截开拼成一个和它等底等高的长方体，表面积增加了多少平方厘米？(n 3.14)【例27】（2008年”希望杯”五年级第2试）一个拧紧瓶盖的瓶子里面装着一些水（如图）, 由图中的数据可推知瓶子的容积是________________ 立方厘米.（n取3.14）（单位：厘米）【巩固】一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），如图•已知它的容积为26.4 n立方厘米•当瓶子正放时，瓶内的酒精的液面高为6厘米；瓶子倒放时，空余部分的高为2厘米•问：瓶内酒精的体积是多少立方厘米？合多少升？【例28】一个盛有水的圆柱形容器， 底面内半径为5厘米，深20厘米，水深15厘米.今将一个底面半径为 2厘米，高为17厘米的铁圆柱垂直放入容器中. 求这时容器的水深是多少厘米？【例29】 有甲、乙两只圆柱形玻璃杯，其内直径依次是 10厘米、20厘米，杯中盛有适量 的水•甲杯中沉没着一铁块，当取出此铁块后，甲杯中的水位下降了2厘米；然后将铁块沉没于乙杯，且乙杯中的水未外溢.问：这时乙杯中的水位上升了多少厘米？【例30】如图，甲、乙两容器相同，甲容器中水的高度是锥高的1，乙容器中水的高度是3锥高的-，比较甲、乙两容器，哪一只容器中盛的水多？多的是少的的几倍？3【巩固】一个盖着瓶盖的瓶子里面装着一些水，瓶底面积为 10平方厘米,请你根据图中标明的数据，计算瓶子的容积是 __________________ .（如下图所示）,【例31】（2008年仁华考题）如图，有一卷紧紧缠绕在一起的塑料薄膜, 米，中间有一直径为 8厘米的卷轴，已知薄膜的厚度为 0.04厘米，则薄膜展开后的面积是_____ 平方米.【巩固】图为一卷紧绕成的牛皮纸， 纸卷直径为20厘米，中间有一直径为6厘米的卷轴.已知纸的厚度为0.4毫米，问：这卷纸展开后大约有多长？薄膜的直径为20厘【例32】如图，ABC 是直角三角形， AB 、AC 的长分别是3和4 .将 ABC 绕AC 旋转一周，求 ABC 扫出的立体图形的体积.（n 3.14）周，所形成的立体图形中，体积最小的是多少立方厘米？ （ n 取3.14）【巩固】如图，直角三角形如果以BC 边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为16 n ,以AC 边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为 12n ,那么如果以 AB 为轴旋转一周，那么所形成的几何体的体积是多少？【例33】已知直角三角形的三条边长分别为3cm , 4cm , 5cm ，分别以这三边轴，旋转【例34】如图，ABCD是矩形，BC 6cm , AB 10cm，对角线AC、BD相交O • E、F分别是AD与BC的中点，图中的阴影部分以EF为轴旋转一周，则白色部分扫出的立体图形的体积是多少立方厘米？（n取3）【巩固】（2006年第^一届华杯赛决赛试题）如图，ABCD是矩形，BC 6cm，AB 10cm，对角线AC、BD相交O •图中的阴影部分以CD为轴旋转一周，则阴影部分扫出的立体的体积是多少立方厘米？【例35】（人大附中分班考试题目）如图，在一个正方体的两对侧面的中心各打通一个长方 体的洞，在上下底面的中心打通一个圆柱形的洞.已知正方体边长为10厘米，侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上下底面的洞口是直径为 4厘米的圆，求此立体图形的表面积和体积.练习1.10厘米的正方形木块中挖去一个长 10厘米、宽2厘米、高2厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？ （写出符合要求的全部答案）练习2. 一个酒瓶里面深30cm ，底面内直径是10cm ，瓶里酒深15cm .把酒瓶塞紧后使其 瓶口向下倒立这时酒深 25cm .酒瓶的容积是多少？（ n 取3）/ Q //练习3.如右图所示，由三个正方体木块粘合而成的模型，它们的棱长分别为1米、2米、4米，要在表面涂刷油漆，如果大正方体的下面不涂油漆，则模型涂刷油漆的面积是多少平 方米？练习4. （2008年第二届两岸四地”华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛）一个圆柱体形状的木棒，沿着底面直径竖直切成两部分.已知这两部分的表面积之和比圆柱体的表面积大练习5.如图，厚度为0.25毫米的铜版纸被卷成一个空心圆柱（纸卷得很紧，没有空隙），它的外直径是180厘米，内直径是 50厘米•这卷铜版纸的总长是多少米?2008cm 2，则这个圆柱体木棒的侧面积是25【备选1】如右图，一个正方体形状的木块，棱长I米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条又锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块•那么，这60块长方体表面积的和是多少平方米？【备选2】一个透明的封闭盛水容器，由一个圆柱体和一个圆锥体组成，圆柱体的底面直径11厘米，倒放时水面离顶部5厘米,和高都是12厘米•其内有一些水，正放时水面离容器顶【备选3】如图，有一个边长为20厘米的大正方体，分别在它的角上、棱上、面上各挖掉一个大小相同的小立方体后，表面积变为2454平方厘米，那么挖掉的小立方体的边长是多少厘米？【备选4】一个圆柱体底面周长和高相等•如果高缩短米•求这个圆柱体的表面积是多少？【备选5】（2009年”希望杯”一试六年级）如图，圆锥形容器中装有水圆锥高度的一半，这个容器最多能装水 __________________ 升.4厘米，表面积就减少50.24平方厘50升，水面咼度是。

小学奥数几何专题--立体图形（六年级）竞赛测试姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题（每空xx 分，共xx分）【题文】如图，在一个棱长为10的立方体上截取一个长为8，宽为3，高为2的小长方体，那么新的几何体的表面积是多少？【答案】600【解析】我们从三个方向(前后、左右、上下)考虑，新几何体的表面积仍为原立方体的表面积：10106600．【题文】右图是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长l厘米的正方体，做成一种玩具．它的表面积是多少平方厘米?（图中只画出了前面、右面、上面挖去的正方体）【答案】120【解析】原正方体的表面积是44696(平方厘米)．每一个面被挖去一个边长是1厘米的正方形，同时又增加了5个边长是1厘米的正方体作为玩具的表面积的组成部分．总的来看，每一个面都增加了4个边评卷人得分长是1厘米的正方形．从而，它的表面积是：9646120平方厘米．【题文】在一个棱长为50厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖去一个棱长为5厘米的小正方体，问剩下的立体图形的表面积是多少？【答案】15000【解析】对于和长方体相关的立体图形表面积，一般从上下、左右、前后3个方向考虑．变化前后的表面积不变：5050615000(平方厘米)．【题文】下图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为厘米的正方形小洞，第三个正方形小洞的挖法和前两个相同为厘米，那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？【答案】【解析】我们仍然从3个方向考虑．平行于上下表面的各面面积之和：2228(平方厘米)；左右方向、前后方向：22416(平方厘米)，1144(平方厘米)，41(平方厘米)，4(平方厘米)，这个立体图形的表面积为：41(平方厘米).【题文】一个正方体木块，棱长是1米，沿着水平方向将它锯成2片，每片又锯成3长条，每条又锯成4小块，共得到大大小小的长方体24块，那么这24块长方体的表面积之和是多少？【答案】18【解析】锯一次增加两个面，锯的总次数转化为增加的面数的公式为：锯的总次数2增加的面数．原正方体表面积：1166(平方米)，一共锯了(21)(31)(41)6次，6112618(平方米)．【题文】一个表面积为的长方体如图切成27个小长方体，这27个小长方体表面积的和是多少平方厘米？【答案】168平方厘米【解析】每一刀增加两个切面，增加的表面积等于与切面平行的两个表面积，所以每个方向切两刀后，表面积增加到原来的3倍，即表面积的和为．【题文】如图，25块边长为1的正方体积木拼成一个几何体，表面积最小是多少？【答案】54【解析】当小积木互相重合的面最多时表面积最小.设想27块边长为1的正方形积木，当拼成一个的正方体时，表面积最小，现在要去掉2块小积木，只有在两个角上各去掉一块小积木，或在同一个角去掉两块相邻的积木时，表面积不会增加，该几何体表面积为54.【题文】要把12件同样的长a、宽b、高h的长方体物品拼装成一件大的长方体，使打包后表面积最小，该如何打包？⑴当 b2h时，如何打包？⑵当 b2h时，如何打包？⑶当 b2h时，如何打包？【答案】如解析图【解析】图2和图3正面的面积相同，侧面面积正面周长长方体长，所以正面的周长愈大表面积越大，图2的正面周长是8h6b，图3的周长是12h4b.两者的周长之差为2（b2h）.当b2h时，图2和图3周长相等，可随意打包；当b2h时，按图2打包；当b2h时，按图3打包.【题文】要把6件同样的长17、宽7、高3的长方体物品拼装成一件大的长方体，表面积最小是多少？【答案】1034【解析】考虑所有的包装方法，因为6123，所以一共有两种拼接方式：第一种按长宽高116拼接，重叠面有三种选择，共3种包装方法.第二种按长宽高123拼接，有3个长方体并列方向的重叠面有三种选择，有2个长方体并列方向的重叠面剩下2种选择，一共有6种包装方法.其中表面积最小的包装方法如图所示，表面积为1034.【题文】如图，在一个棱长为5分米的正方体上放一个棱长为4分米的小正方体，求这个立体图形的表面积．【答案】214【解析】我们把上面的小正方体想象成是可以向下“压缩”的，“压缩”后我们发现：小正方体的上面与大正方体上面中的阴影部分合在一起，正好是大正方体的上面.这样这个立体图形的表面积就可以分成这样两部分：上下方向：大正方体的两个底面；四周方向(左右、前后方向)：小正方体的四个侧面，大正方体的四个侧面．上下方向：(平方分米)；侧面：(平方分米)，(平方分米)．这个立体图形的表面积为：(平方分米)．【题文】如图，棱长分别为厘米、厘米、厘米、厘米的四个正方体紧贴在一起，则所得到的多面体的表面积是多少平方厘米？【答案】194平方厘米【解析】 (法1)四个正方体的表面积之和为：(平方厘米)，重叠部分的面积为：(平方厘米)，所以，所得到的多面体的表面积为：(平方厘米)．(法2)三视图法．从前后面观察到的面积为平方厘米,从左右两个面观察到的面积为平方厘米，从上下能观察到的面积为平方厘米．表面积为(平方厘米)．【题文】把19个棱长为1厘米的正方体重叠在一起，按右图中的方式拼成一个立体图形.，求这个立体图形的表面积．【答案】54【解析】从上下、左右、前后观察到的的平面图形如下面三图表示．因此，这个立体图形的表面积为：2个上面个左面个前面．上表面的面积为：9平方厘米，左表面的面积为：8平方厘米，前表面的面积为：10平方厘米．因此，这个立体图形的总表面积为：(平方厘米)．上下面左右面前后面【题文】用棱长是1厘米的立方块拼成如图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米?【答案】46平方厘米【解析】该图形的上、左、前三个方向的表面分别由9、7、7块正方形组成．该图形的表面积等于个小正方形的面积，所以该图形表面积为46平方厘米．【题文】有30个边长为1米的正方体，在地面上摆成右上图的形式，然后把露出的表面涂成红色．求被涂成红色的表面积．【答案】56【解析】(平方米)．【题文】棱长是厘米（为整数）的正方体的若干面涂上红色，然后将其切割成棱长是1厘米的小正方体．至少有一面红色的小正方体个数和表面没有红色的小正方体个数的比为，此时的最小值是多少?【答案】5【解析】切割成棱长是1厘米的小正方体共有个，由于其中至少有一面是红色的小正方体与没有红色面的个数之比为，而，所以小正方体的总数是25的倍数，即是25的倍数，那么是5的倍数．当时，要使得至少有一面的小正方体有65个，可以将原正方体的正面、上面和下面涂色，此时至少一面涂红色的小正方体有个，表面没有红色的小正方体有个，个数比恰好是，符合题意.因此，的最小值是5．【题文】有64个边长为1厘米的同样大小的小正方体，其中34个为白色的，30个为黑色的．现将它们拼成一个的大正方体，在大正方体的表面上白色部分最多可以是多少平方厘米？【答案】74【解析】要使大正方体的表面上白色部分最多，相当于要使大正方体表面上黑色部分最少，那么就要使得黑色小正方体尽量不露出来．在整个大正方体中，没有露在表面的小正方体有(个)，用黑色的；在面上但不在边上的小正方体有(个)，其中个用黑色．这样，在表面的个的正方形中，有22个是黑色，(个)是白色，所以在大正方体的表面上白色部分最多可以是74平方厘米．【题文】三个完全一样的长方体，棱长总和是288厘米，每个长方体相交于一个顶点的三条棱长恰是三个连续的自然数，给这三个长方体涂色，一个涂一面，一个涂两面，一个涂三面．涂色后把三个长方体都切成棱长为1厘米的小正方体，只有一个面涂色的小正方体最少有多少个？【答案】307【解析】每个长方体的棱长和是厘米，所以，每个长方体长、宽、高的和是厘米．因为，每个长方体相交于一个顶点的三条棱长恰是三个连续的自然数，所以，每个长方体的长、宽、高分别是9厘米、8厘米、7厘米．要求切割后只有一个面涂色的小正方体最少有多少个，则需每一个长方体按题意涂色时，应让切割后只有一个面涂色的小正方体最少．所以，涂一面的长方体应涂一个面，有个；涂两面的长方体，若两面不相邻，应涂两个面，有个；若两面相邻，应涂一个面和一个面，此时有个，所以涂两面的最少有105个；涂三面的长方体，若三面不两两相邻，应涂两个面、一个面，有个；若三面两两相邻，有个，所以涂三面的最少有146个．那么切割后只有一个面涂色的小正方体最少有个．【题文】把一个大长方体木块表面上涂满红色后，分割成若干个同样大小的小正方体，其中恰好有两个面涂上红色的小正方体恰好是100块，那么至少要把这个大长方体分割成多少个小正方体？【答案】108【解析】设小正方体的棱长为1，考虑两种不同的情况，一种是长方体的长、宽、高中有一个是1的情况，另一种是长方体的长、宽、高都大于1的情况．当长方体的长、宽、高中有一个是1时，分割后只有一层小正方体，其中有两个面涂上红色的小正方体是去掉最外层一圈的小正方体后剩下的那些．因为有两个面涂上红色的小正方体恰好是100块，设，那么分成的小正方体个数为，为了使小正方体的个数尽量少，应使最小，而两数之积一定，差越小积越小，所以当时它们的和最小，此时共有个小正方体．当长方体的长、宽、高都大于1时，有两个面涂上红色的小正方体是去掉8个顶点所在的小正方体后12条棱上剩余的小正方体，因为有两个面涂上红色的小正方体恰好是100块，所以长方体的长、宽、高之和是．由于三个数的和一定，差越大积越小，为了使小正方体的个数尽量少，应该令，此时共有个小正方体．因为，所以至少要把这个大长方体分割成108个小正方体．【题文】把正方体的六个表面都划分成9个相等的正方形．用红、黄、蓝三种颜色去染这些小正方形，要求有公共边的正方形染不同的颜色，那么，用红色染的正方形最多有多少个？【答案】22【解析】一个面最多有5个方格可染成红色（见左下图）．因为染有5个红色方格的面不能相邻，可以相对，所以至多有两个面可以染成5个红色方格．其余四个面中，每个面的四个角上的方格不能再染成红色，至多能染4个红色方格（见上中图）．因为染有4个红色方格的面也不能相邻，可以相对，所以至多有两个面可以染成4个红色方格．最后剩下两个相对的面，每个面最多可以染2个红色方格（见右上图）．所以，红色方格最多有（个）．（另解）事实上上述的解法并不严密，“如果最初的假设并没有两个相对的有5个红色方格的面，是否其他的四个面上可以出现更多的红色方格呢？”这种解法回避了这个问题，如果我们从约束染色方格数的本质原因入手，可严格说明是红色方格数的最大值．对于同一个平面上的格网，如果按照国际象棋棋盘的方式染色，那么至少有一半的格子可以染成红色．但是现在需要染色的是一个正方体的表面，因此在分析问题时应该兼顾棱、角等面与面相交的地方：⑴⑵⑶⑴如图，每个角上三个方向的3个方格必须染成不同的三种颜色，所以8个角上最多只能有8个方格染成红色．⑵如图，阴影部分是首尾相接由个方格组成的环，这9个方格中只能有个方格能染成同一种颜色(如果有5个方格染同一种颜色，必然出现相邻，可以用抽屉原理反证之：先去掉一个白格，剩下的然后两两相邻的分成四个抽屉，必然有一个抽屉中有两个红色方格)，像这样的环，在正方体表面最多能找到不重叠的两道（关于正方体中心对称的两道），涉及的个方格中最多能有个可染成红色．⑶剩下个方格，分布在条棱上，这个格子中只能有个能染成红色．综上所述，能被染成红色的方格最多能有个格子能染成红色，第一种解法中已经给出个红方格的染色方法，所以个格子染成红色是最多的情况．【题文】一个长、宽、高分别为厘米、厘米、厘米的长方形.现从它的上面尽可能大的切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大的切下一个正方体，剩下的体积是多少立方厘米？【答案】1107【解析】本题的关键是确定三次切下的正方体的棱长.由于，为了方便起见.我们先考虑长、宽、高分别为厘米、厘米、厘米的长方体.因为，容易知道第一次切下的正方体棱长应该是厘米，第二次切时，切下棱长为厘米的正方体符合要求.第三次切时，切下棱长为厘米的正方体符合要求．那么对于原长方体来说，三次切下的正方体的棱长分别是12厘米、9厘米和6厘米，所以剩下的体积应是：（立方厘米）.【题文】有黑白两种颜色的正方体积木，把它摆成右图所示的形状，已知相邻(有公共面)的积木颜色不同，标的为黑色，图中共有黑色积木多少块？【答案】17【解析】分层来看，如下图(切面平行于纸面)共有黑色积木17块.【题文】有许多相同的立方体，每个立方体的六个面上都写着同一个数字(不同的立方体可以写相同的数字)先将写着2的立方体与写着1的立方体的三个面相邻，再将写着3的立方体写着2的立方体相邻(见左下图)．依这样构成右下图所示的立方体，它的六个面上的所有数字之和是多少?【答案】216【解析】第一层如下图，第二层、第三层依次比上面一层每格都多1(见下图)．上面的9个数之和是27，由对称性知，上面、前面、右面的所有数之和都是27．同理，下面的9个数之和是45，下面、左面、后面的所有数之和都是45．所以六个面上所有数之和是．【题文】如图所示，一个的立方体，在一个方向上开有的孔，在另一个方向上开有的孔，在第三个方向上开有的孔，剩余部分的体积是多少？表面积为多少？【答案】100；204【解析】求体积：开了的孔，挖去，开了的孔，挖去；开了的孔，挖去，剩余部分的体积是：．(另解)将整个图形切片，如果切面平行于纸面，那么五个切片分别如图：得到总体积为：．求表面积：表面积可以看成外部和内部两部分．外部的表面积为，内部的面积可以分为前后、左右、上下三个方向，面积分别为、、，所以总的表面积为．(另解)运用类似于三视图的方法，记录每一方向上的不同位置上的裸露正方形个数：前后方向：上下方向：左右方向：总表面积为．总结：“切片法”：全面打洞(例如本题，五层一样)，挖块成线(例如本题，在前一层的基础上，一条线一条线地挖)，这里体现的思想方法是：化整为零，有序思考！【题文】如图，原来的大正方体是由个小正方体所构成的．其中有些小正方体已经被挖除，图中涂黑色的部分就是贯穿整个大正方体的挖除部分．请问剩下的部分共有多少个小正方体？【答案】72【解析】对于这一类从立体图形中间挖掉一部分后再求体积（或小正方体数l【题文】一个由125个同样的小正方体组成的大正方体，从这个大正方体中抽出若干个小正方体，把大正方体中相对的两面打通，右图就是抽空的状态．右图中剩下的小正方体有多少个？【答案】73【解析】解法一：(用“容斥原理”来解)由正面图形抽出的小正方体有个，由侧面图形抽出的小正方体有个，由底面图形抽出的小正方体有个，正面图形和侧面图形重合抽出的小正方体有个，正面图形和底面图形重合抽出的小正方体有个，底面图形和侧面图形重合抽出的小正方体有个，三个面的图形共同重合抽出的小正方体有4个．根据容斥原理，，所以共抽出了52个小正方体．，所以右图中剩下的小正方体有73个．注意这里的三者共同抽出的小正方体是4个，必须知道是哪4块，这是最让人头疼的事．但你可以先构造空的两个方向上共同部分的模型，再由第三个方向来穿过“花墙”．这里，化虚为实的思想方法很重要．解法二：(用“切片法”来解)可以从上到下切五层，得：⑴从上到下五层，如图：⑵或者，从右到左五片，如图：请注意这里的挖空的技巧是：先认一种方向．比如：从上到下的每一层，首先都应该有第一层的空四块的情况，即——如果挖第二层：第(1)步，把中间这些位置的四块挖走如图：第(2)步，把从右向左的两块成线地挖走．(请注意挖通的效果就是成线挖去)，如图：第(3)步，把从前向后的一块(请注意跟第二层有关的只是一块！)挖成线！如图：【题文】右图中的⑴⑵⑶⑷是同样的小等边三角形，⑸⑹也是等边三角形且边长为⑴的2倍，⑺⑻⑼⑽是同样的等腰直角三角形，⑾是正方形．那么，以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体积是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形体积的多少倍．【答案】16【解析】本题中的两个图都是立体图形的平面展开图，将它们还原成立体图形，可得到如下两图：其中左图是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形，是一个四个面都是正三角形的正四面体，右图以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形，是一个不规则图形，底面是⑾，四个侧面是⑺⑻⑼⑽，两个斜面是⑸⑹．对于这两个立体图形的体积，可以采用套模法来求，也就是对于这种我们不熟悉的立体图形，用一些我们熟悉的基本立体图形来套，看看它们与基本立体图形相比，缺少了哪些部分．由于左图四个面都是正三角形，右图底面是正方形，侧面是等腰直角三角形，想到都用正方体来套．对于左图来说，相当于由一个正方体切去4个角后得到(如下左图，切去、、、)；而对于右图来说，相当于由一个正方体切去2个角后得到(如下右图，切去、)．假设左图中的立方体的棱长为，右图中的立方体的棱长为，则以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形的体积为：，以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体积为．由于右图中的立方体的棱长即是题中正方形⑾的边长，而左图中的立方体的每一个面的对角线恰好是正三角形⑴的边长，通过将等腰直角三角形⑺分成4个相同的小等腰直角三角形可以得到右图中的立方体的棱长是左图中的立方体的棱长的2倍，即．那么以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形的体积与以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体积的比为：，也就是说以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体积是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形体积的16倍．【题文】图⑴和图⑵是以正方形和等边三角形为面的立体图形的展开图，图中所有的边长都相同．请问：图⑴能围起来的立体图形的体积是图⑵能围起来的立体图形的体积的几倍？图⑴图⑵【答案】20【解析】首先，我们把展开图折成立体图形，见下列示意图：图⑴图⑵对于这类题目，一般采用“套模法”，即用一个我们熟悉的基本立体图形来套，这样做基于两点考虑，一是如果有类似的模型，可以直接应用其计算公式；二是如果可以补上一块或者放到某个模型里面，那么可以从这个模型入手．我们把图⑴中的立体图形切成两半，再转一转，正好放进去！我们看到图⑴与图⑶的图形位置的微妙关系：图⑶图⑷由图⑷可见，图⑴这个立体的体积与图⑶这个被切去了8个角后的立体图形的体积相等．假设立方体的1条边的长度是1，那么一个角的体积是，所以切掉8个角后的体积是．再看图⑵中的正四面体，这个正四面体的棱长与图⑶中的每一条实线线段相等，所以应该用边长为的立方体来套．如果把图⑵的立体图形放入边长为的立方体里的话是可以放进去的．这是切去了四个角后的图形，从上面的分析可知一个角的体积为，所以图⑵的体积是：，那么前者的体积是后者的倍．【题文】如图，用高都是米，底面半径分别为米、米和米的个圆柱组成一个物体．问这个物体的表面积是多少平方米？(取)【答案】32.97【解析】从上面看到图形是右上图，所以上下底面积和为(立方米)，侧面积为(立方米)，所以该物体的表面积是(立方米)．【题文】有一个圆柱体的零件，高厘米，底面直径是厘米，零件的一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直径是厘米，孔深厘米(见右图)．如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？【答案】307.72【解析】涂漆的面积等于大圆柱表面积与小圆柱侧面积之和，为(平方厘米)．【题文】圆柱体的侧面展开，放平，是边长分别为10厘米和12厘米的长方形，那么这个圆柱体的体积是多少立方厘米．(结果用表示)【答案】立方厘米或立方厘米【解析】当圆柱的高是12厘米时体积为(立方厘米)当圆柱的高是12厘米时体积为(立方厘米)．所以圆柱体的体积为立方厘米或立方厘米．【题文】如右图，是一个长方形铁皮，利用图中的阴影部分，刚好能做成一个油桶(接头处忽略不计)，求这个油桶的容积．()【答案】100.48【解析】圆的直径为：(米)，而油桶的高为2个直径长，即为：，故体积为立方米．【题文】如图，有一张长方形铁皮，剪下图中两个圆及一块长方形，正好可以做成1个圆柱体，这个圆柱体的底面半径为10厘米，那么原来长方形铁皮的面积是多少平方厘米？()【答案】2056【解析】做成的圆柱体的侧面是由中间的长方形卷成的，可见这个长方形的长与旁边的圆的周长相等，则剪下的长方形的长，即圆柱体底面圆的周长为：(厘米)，原来的长方形的面积为：(平方厘米)．【题文】把一个高是8厘米的圆柱体，沿水平方向锯去2厘米后，剩下的圆柱体的表面积比原来的圆柱体表面积减少平方厘米．原来的圆柱体的体积是多少立方厘米？【答案】25.12【解析】沿水平方向锯去2厘米后，剩下的圆柱体的表面积比原来的圆柱体表面积减少的部分为减掉的2厘米圆柱体的侧面积，所以原来圆柱体的底面周长为厘米，底面半径为厘米，所以原来的圆柱体的体积是(立方厘米)．【题文】一个圆柱体的体积是立方厘米，底面半径是2厘米．将它的底面平均分成若干个扇形后，再截开拼成一个和它等底等高的长方体，表面积增加了多少平方厘米？ ()【答案】16【解析】从图中可以看出，拼成的长方体的底面积与原来圆柱体的底面积相同，长方体的前后两个侧面面积与原来圆柱体的侧面面积相等，所以增加的表面积就是长方体左右两个侧面的面积．(法1)这两个侧面都是长方形，且长等于原来圆柱体的高，宽等于圆柱体底面半径．可知，圆柱体的高为(厘米)，所以增加的表面积为(平方厘米)；(法2)根据长方体的体积公式推导．增加的两个面是长方体的侧面，侧面面积与长方体的长的乘积就是长方体的体积．由于长方体的体积与圆柱体的体积相等，为立方厘米，而拼成的长方体的长等于圆柱体底面周长的一半，为厘米，所以侧面长方形的面积为平方厘米，所以增加的表面积为平方厘米．【题文】一个拧紧瓶盖的瓶子里面装着一些水(如图)，由图中的数据可推知瓶子的容积是多少立方厘米．(取)【答案】100.48【解析】由于瓶子倒立过来后其中水的体积不变，所以空气部分的体积也不变，从图中可以看出，瓶中的水构成高为厘米的圆柱，空气部分构成高为厘米的圆柱，瓶子的容积为这两部分之和，所以瓶。

奥数长方体和正方体长方体和正方体习题六年级奥数上册:第五讲长方体和正方体习题解答28.正方体的展开图把一个正方体的各面展开放在桌面上，下图就是正方体的一个展开图形，试问，一个正方体有几种展开图。

28.正方体的展开图共有11种: 把四个面排成一排的有6种29。

长方体的体积阿强做一道求长方体体积的数学题.当他算完长乘以宽以后，发现宽厚30.长方体和正方体一个棱长 5 厘米的立方体是由棱长 1 厘米的小立方体若干个堆砌而成的。

①如果小立方体增加3个，可以堆砌出多少种长、宽、高都不相同的长方体?②如果小立方体减少5个，可以堆砌出多少种长、宽、高都不相同的长方体？30.长方体和正方体解：5×5×5=125125＋3＝128＝27×1125-5＝120＝23×31×51×1根据约数个数公式，128有（7＋1）＝8个约数它们是1,2,4，8，16，2，64，128。

120有（3＋1）×(1＋1）×（1＋1）=16个约数，它们是：1，，3，4，5,6，8,10，12，15，20,24,30，40,60，120。

有大、中、小三个正方形水池，它们的内边长分别为4米、3米、2米,把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水中，两个水池的水面分别升高了4厘米和11厘米．如果将这两堆碎石都沉没在大水池中，大水池水面将升高多少厘米?解：水池中水面升高部分水的体积就是投入水中的碎石体积．沉入中、小水池中的碎石的体积分别是：3×3×0。

04＝0。

36立方米，2×2×0。

11＝0。

44立方米．它们的和是：0。

36＋0。

44＝0.8立方米．把它们都沉入大池里，大池水面升高部分水的体积也应当是0.8立方米,而大池的底面面积是4×4＝16平方米，所以，大水池的水面升高:六年级奥数上册:第五讲长方体和正方体习题六年级奥数上册：第五讲长方体和正方体习题解答第五讲长方体和正方体长方体和正方体在立体图形中是较为简单的，也是我们较为熟悉的立体图形．如下图，长方体共有六个面（每个面都是长方形）,八个顶点,十二条棱。