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计算方法考试题

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计算方法考试题（一） 满分70分一、选择题：（共3道小题，第1小题4分，第2、3小题3分，共10分） 1、将A 分解为U L D A --=，其中),,(2211nn a a a diag D =，若对角阵D非奇异（即),1,0n i a ii =≠，则b Ax =化为b D x U L D x 11)(--++=（1）若记b D f U L D B 1111),(--=+= （2）则方程组（1）的迭代形式可写作)2,1,0(1)(1)1( =+=+k f x B x k k （3）则（2）、（3）称 【 】(A)、雅可比迭代。

(B)、高斯—塞德尔迭代 (C)、LU 分解 (D)、Cholesky 分解。

2、记*x x e k k -=，若0lim 1≠=+∞→c e e p k k k （其中p 为一正数）称序列}{k x 是 【 】 (A)、p 阶收敛； (B)、1阶收敛； (C)、矩阵的算子范数； (D)、p 阶条件数。

3、牛顿切线法的迭代公式为 【 】(A)、 )()(1k x f x f x x k k k '-=+ (B)、)()())((111--+---=k k k k k k k x f x f x x x f x x1)()()1()()()(x x fxf xf k i k i k i ∂∂+=+ (D)、)()()()1(k k k x f x x -=+ 二、填空题：（共2道小题，每个空格2分，共10分）1、设0)0(f =，16)1(f =，46)2(f =，则一阶差商，二阶差商=]1,2,0[f ，)x (f 的二次牛顿插值多项式为2、 用二分法求方程01x x )x (f 3=-+=在区间]1,0[内的根，进行第一步后根所在的区间为 ，进行第二步后根所在的区间为 。

三、计算题：（共7道小题，第1小题8分，其余每小题7分，共50分）1、表中各*x 都是对准确值x 进行四舍五入得到的近似值。

试分别指出试用抛物插值计算115的近似值，并估计截断误差。

3、确定系数101,,A A A -，使求积公式)()0()()(101h f A f A h f A dx x f hh++-≈⎰-- （1）具有尽可能高的代数精度，并指出所得求积公式的代数精度。

4、试使用Simpson 公式计算积分dxe x⎰211的近似值，并估计截断误差。

5、用牛顿迭代法求方程0104)(23=-+=x x x f 在5.10=x 附近的近似根，精度到01.01<-+k k x x 。

6、用列主元高斯消去法解线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=++122,123,6321321321x x x x x x x x x7、给定线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=+-+=-+-=-+17722,23823,1138,751043214321321431x x x x x x x x x x x x x x（1）写出雅可比迭代公式与高斯-赛德尔迭代公式；（2）考查雅可比迭代公式与高斯-赛德尔迭代公式的收敛性。

计算方法考试题（一）答案 满分70分一、选择题：（共3道小题，第1小题4分，第2、3小题3分，共10分）1、A2、A3、B 二、填空题：（共2道小题，每个空格2分，共10分）1、16， 7，16x+7x(x-1)2、[0.5,1] ，[0.5,0.75] 三、计算题：（共7道小题，第1小题8分，其余每小题7分，共50分）1、解（1）m s x x x x 10021⨯±= .作为数*x 的近似值时，s x x x 21不一定为x 的有效数字。

但是用四舍五入取准确值*x 的前n 位作为近似值mn x x x x 10021⨯= .，则x 必有n 个有效数字n x x x 21。

因为0.3012510⨯是对准确值x 进行四舍五入得到的近似值，所以0.3012510⨯有4位有效数字3012；而30.120=0.30120210⨯有5位有效数字30120。

…………………2分（2）根据有效数字的定义：设数*x 的近似值m s x x x x 10.021⨯±= ，其中ix （s i ,,, 21=）是0到9之间的任一个正整数，且01≠x ，n 是正整数，m 是整数，如果绝对误差*e 的=*e n m x x -⨯≤-1021*则称x 为*x 的具有n 位有效数字的近似值，x 准确到第n 位，n x x x 21为x 的有效数字。

所以，具有四位有效数字的数0.3012510⨯的绝对误差限为51021103012.0455*=⨯≤⨯--x 。

具有五位有效数字的数30.120=0.30120210⨯的绝对误差限为352*105.01021120.30--⨯=⨯≤-x 。

…………………5分（3）根据定理：设数*x 的近似值mn x x x x 10021⨯±= .具有n 位有效数字，则x 的相对误差满足下列不等式n r x e -⨯≤111021*所以，具有四位有效数字的数0.3012510⨯的相对误差限为34111*1061103211021---⨯=⨯⨯=⨯≤n r x e 。

而具有五位有效数字的数30.120=0.30120210⨯的相对误差限都为45111*1061103211021---⨯=⨯⨯=⨯≤n r x e 。

…………………8分2120210121012002010212))(())(())(())(())(())(()(y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x x L ----+----+----=将12,11,10,144,121,100210210======y y y x x x 代入上式，得x 的抛物插值函数为12)121144)(121144()121)(100(11)144121)(100121()144)(100(10)144100)(121100()144)(121()(2⋅----+⋅----+⋅----=x x x x x x x L 12)121144)(121144()121115)(100115(11)144121)(100121()144115)(100115(10)144100)(121100()144115)(121115()115(2⋅----+⋅----+⋅----=L 故 115)115(2L ≈=10.7228 ………… 5分因为xx f =)(，则==33'")(dxxd x f 2583-x ，625144100'"2031075.383max )(max --≤≤≤≤⨯===x x f M x x x x ，代入0.0016)115144)(115121()100115(61075.3))()((!3)(621032=--⋅-⨯=---≤-x x x x x x M x R …………2分 3、解 要使求积公式（1）至少具有2次代数精度，其充分必要条件为当1)(=x f 时， hA A A dx hh21101=++=⎰--当x x f =)(时，0)(101=⋅+⋅+-=⎰--h A A h A xdx hh，当2)(x x f =时，320)(32120212h h f A A h A dx x hh =⋅+⋅+-=⎰--， 即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+-=++---32)(0)(2321111101h h A A h A A h A A A ，解得 34,3011h A h A A ===-。

代入求积公式（1），得 )]()0(4)([3)(h f f h f h dx x f h h++-≈⎰- （2）当3)(x x f =时，求积公式（2）的左边=)(3==⎰⎰--dx x dx x f hhhh，（2）式的右边0]04)[(3333=+⋅+-=h h h，左边=右边； ………… 5分当4)(x x f =时，求积公式（2）的左边=525)(554h x dx x dx x f hhhhhh ===---⎰⎰，（2）式的右边32]04)[(35444h h h h =+⋅+-=，左边≠右边； ………… 6分 所以，当求积公式（1）中求积系数取为34,3011hA h A A ===-时，得到求积公式（2），其代数精度取到最高，此时代数精度为3。

7分4、解 用Simpson 公式计算⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-≈⎰)()2(4)(6)(b f b a f a f a b dx x f ba计算，取xe xf b a 1)(,1,1===，得⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-≈⎰21322114612e e e dx e x 2.0263≈ ………… 5分由Simpson 公式的余项)(2901)())((2)()4(52)4(ξξf a b dx b x c x a x f R baS ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=---=⎰, ],[b a ∈ξ得)(2901)4(5ξf a b R S ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=ξ=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=x x e )4(15)(212901{})(max 212901)4(215x f R x S ≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤4346.198219015⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=0.0689≈ …………2分5、解 因为104)(23-+=x x x f ，则x x x f 83)(2'+=，故牛顿迭代公式为kk k k k k x x x x x x 831042231+-+-=+)2,1,0( =k取5.10=x ，则220300183104x x x x x x +-+-==⨯+⨯-⨯+-=5.185.13105.145.15.1223 1.37312121311283104x x x x x x +-+-==⨯+⨯-⨯+-= 1.37381.3733101.373341.3731.373223 1.365………… 6分因为01.034<-x x ，所以，取5.10=x ，用牛顿迭代法求满足精度要求01.01<-+k k x x 的近似根为1.37。

…………7分6、解⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--112212316111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−−→−↔61111231112213r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−−−→−-+-+2/112/1202/12/5401122)21()21(312rr r r⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−−−→−-+4/214/7002/12/540112223)21(r r 。

等价的三角方程组为 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=+-42147,21254,122332321x x x x x x ………… 5分回代得 .1,2,3123===x x x ………… 2分 7、解 雅可比迭代公式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+-=----=+-=+--=++++7/)2217(),8/()2323(,8/)311(,10/)57()(3)(2)(1)1(4)(4)(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(4)(3)1(1k k k k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x x x ………… 3分高斯-赛德尔迭代公式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+-=----=+-=+--=++++++++++7/)2217(),8/()2323(,8/)311(,10/)57()1(3)1(2)1(1)1(4)(4)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(4)(3)1(1k k k k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x x x ………… 3分（2）由于所给线性方程组的系数矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=72211823038151010A是严格对角占优的，所以雅可比迭代公式与高斯-赛德尔迭代公式都是的收敛的。

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计算方法各习题及参考答案

计算方法各习题及参考答案

计算⽅法各习题及参考答案第⼆章数值分析2.1 已知多项式432()1p x x x x x =-+-+通过下列点：试构造⼀多项式()q x 通过下列点：答案：54313()()()3122q x p x r x x x x x =-=-++-+． 2.2 观测得到⼆次多项式2()p x 的值：表中2()p x 的某⼀个函数值有错误，试找出并校正它．答案：函数值表中2(1)p -错误，应有2(1)0p -=．2.3 利⽤差分的性质证明22212(1)(21)/6n n n n +++=++ ．2.4 当⽤等距节点的分段⼆次插值多项式在区间[1,1]-近似函数xe 时，使⽤多少个节点能够保证误差不超过61102-?．答案：需要143个插值节点．2.5 设被插值函数4()[,]f x C a b ∈，()3()h H x 是()f x 关于等距节点01n a x x x b =<<<= 的分段三次艾尔⽶特插值多项式，步长b a h n-=．试估计()3||()()||h f x H x ∞-．答案：()443||()()||384h M f x H x h ∞-≤．第三章函数逼近3.1 求()sin ,[0,0.1]f x x x =∈在空间2{1,,}span x x Φ=上最佳平⽅逼近多项式，并给出平⽅误差．答案：()sin f x x =的⼆次最佳平⽅逼近多项式为-522sin ()0.832 440 710 1.000 999 10.024 985 1x p x x x ≈=-?+-，⼆次最佳平⽅逼近的平⽅误差为0.122-1220(sin )())0.989 310 710x p x dx δ=-=??．3.2 确定参数,a b c 和，使得积分2121(,,)[I a b c ax bx c -=++-?取最⼩值．答案：810, 0, 33a b c ππ=-== 3.3 求多项式432()251f x x x x =+++在[1,1]-上的３次最佳⼀致逼近多项式()p x ．答案：()f x 的最佳⼀致逼近多项式为323()74p x x x =++． 3.4 ⽤幂级数缩合⽅法，求() (11)x f x e x =-≤≤上的３次近似多项式6,3()p x ，并估计6,3||()()||f x p x ∞-．答案：236,3()0.994 574 650.997 395 830.542 968 750.177 083 33p x x x x =+++， 6,3||()()||0.006 572 327 7f x p x ∞-≤3.5 求() (11)xf x e x =-≤≤上的关于权函数()x ρ=的三次最佳平⽅逼近多项式3()S x ，并估计误差32||()()||f x S x -和3||()()||f x S x ∞-．答案：233()0.994 5710.997 3080.542 9910.177 347S x x x x =+++，32||()()||0.006 894 83f x S x -=，3||()()||0.006 442 575f x S x ∞-≤．第四章数值积分与数值微分4.1 ⽤梯形公式、⾟浦⽣公式和柯特斯公式分别计算积分1(1,2,3,4)n x dx n =?，并与精确值⽐较．答案：计算结果如下表所⽰4.2 确定下列求积公式中的待定参数，使得求积公式的代数精度尽量⾼，并指明所确定的求积公式具有的代数精度．（１）101()()(0)()hh f x dx A f h A f A f h --≈-++?（２）11211()[(1)2()3()]3f x dx f f x f x -≈-++? （３）20()[(0)()][(0)()]2h h f x dx f f h h f f h α''≈++-?答案：（１）具有三次代数精确度（２）具有⼆次代数精确度（３）具有三次代数精确度．4.3 设10h x x =-，确定求积公式12300101()()[()()][()()][]x x x x f x dx h Af x Bf x h Cf x Df x R f ''-=++++?中的待定参数,,,A B C D ，使得该求积公式的代数精确度尽量⾼，并给出余项表达式．答案：3711,,,20203020A B C D ====-，(4)6()[]1440f R f h η=，其中01(,)x x η∈．4.4 设2()P x 是以0,,2h h 为插值点的()f x 的⼆次插值多项式，⽤2()P x 导出计算积分30()hI f x dx =?的数值积分公式h I ，并⽤台劳展开法证明：453(0)()8h I I h f O h '''-=+．答案：3203()[(0)3(2)]4h h I p x dx h f f h ==+?．4.5 给定积分10sin xI dx x =（１）运⽤复化梯形公式计算上述积分值，使其截断误差不超过31102-?．（２）取同样的求积节点，改⽤复化⾟浦⽣公式计算时，截断误差是多少？（３）要求的截断误差不超过610-，若⽤复化⾟浦⽣公式，应取多少个节点处的函数值？答案：（１）只需7.5n ≥，取９个节点，0.946I ≈（２）4(4)46111|[]||()|()0.271102880288045n b a R f h f η--=-≤=? （３）取７个节点处的函数值．4.6 ⽤变步长的复化梯形公式和变步长的复化⾟浦⽣公式计算积分10sin xI dx x =?．要求⽤事后误差估计法时，截断误不超过31102-?和61102-?．答案：使⽤复化梯形公式时，80.946I T ≈=满⾜精度要求；使⽤复化⾟浦⽣公式时，40.946 083I s ≈=满⾜精度要求．4.7（１）利⽤埃尔⽶特插值公式推导带有导数值的求积公式2()()[()()][()()][]212ba b a b a f x dx f a f b f b f a R f --''=+--+?，其中余项为 5(4)()[](), (,)4!30b a R f f a b ηη-=∈．（２）利⽤上述公式推导带修正项的复化梯形求积公式020()[()()]12Nx N N x h f x dx T f x f x ''≈--?，其中 0121[()2()2()2()()]2N N N hT f x f x f x f x f x -=+++++ ，⽽ 00, (0,1,2,,), i N x x ih i N Nh x x =+==- ．4.8 ⽤龙贝格⽅法计算椭圆2214x y +=的周长，使结果具有五位有效数字．答案：49.6884l I =≈．4.9确定⾼斯型求积公式0011()()()x dx A f x A f x ≈+?的节点0x ，1x 及系数0A ，1A ．答案：00.289 949x =，10.821 162x =，00.277 556A =，10.389 111A =．4.10 验证⾼斯型求积公式00110()()()x e f x dx A f x A f x +∞-≈+?的系数及节点分别为0001 2 2A A x x ===-=+第五章解线性⽅程组的直接法5.1 ⽤按列选主元的⾼斯-若当消去法求矩阵A 的逆矩阵，其中11121 0110A -?? ?= ? ?-??．答案： 1110331203321133A -?? ? ?=---5.2 ⽤矩阵的直接三⾓分解法解⽅程组1234102050101312431701037x x x x= ? ? ? ? ? ? ? ? ??答案： 42x =，32x =，21x =，11x =．5.3 ⽤平⽅根法(Cholesky 分解法)求解⽅程组12341161 4.25 2.750.51 2.75 3.5 1.25x x x -?????? ??? ?-=- ??? ? ??? ???????答案： 12x =，21x =，31x =-．5.4 ⽤追赶法求解三对⾓⽅程组123421113121112210x x x x ?????? ? ? ? ? ? ?= ? ? ? ? ? ? ? ? ?????答案：42x =，31x =-，21x =，10x =．第六章解线性代数⽅程组的迭代法６.１对⽅程1212123879897x x x x x x x -+=??-+=??--=?作简单调整，使得⽤⾼斯－赛得尔迭代法求解时对任意初始向量都收敛，并取初始向量(0)[0 0 0]T x =，⽤该⽅法求近似解(1)k x+，使(1)()3||||10k k x x +-∞-≤．答案：近似解为(4)[1.0000 1.0000 1.0000]Tx =．６.２讨论松弛因⼦ 1.25ω=时，⽤SOR ⽅法求解⽅程组121232343163420412x x x x x x x +=??+-=??-+=-? 的收敛性．若收敛，则取(0)[0 0 0]T x=迭代求解，使(1)()41||||102k k x x +-∞-<．答案：⽅程组的近似解为*1 1.50001x =，*2 3.33333x =，*3 2.16667x =-．６.３给定线性⽅程组Ax b =，其中111221112211122A ?? ? ?=，证明⽤雅可⽐迭代法解此⽅程组发散，⽽⾼斯－赛得尔迭代法收敛．６.４设有⽅程组112233302021212x b x b x b -?????? ??? ?= ??? ? ??? ?-??????，讨论⽤雅可⽐⽅法和⾼斯－赛得尔⽅法解此⽅程组的收敛性．如果收敛，⽐较哪种⽅法收敛较快．答案：雅可⽐⽅法收敛，⾼斯－赛得尔⽅法收敛,且较快．６.５设矩阵A ⾮奇异．求证：⽅程组Ax b =的解总能通过⾼斯－赛得尔⽅法得到．６.６设()ij n nA a ?=为对称正定矩阵，对⾓阵1122(,,,)nn D diag a a a = ．求证：⾼斯－赛得尔⽅法求解⽅程组1122D AD x b --=时对任意初始向量都收敛．第七章⾮线性⽅程求根例７.４对⽅程230xx e -=确定迭代函数()x ?及区间[,]a b ，使对0[,]x a b ?∈，迭代过程1(), 0,1,2,k x x k ?+== 均收敛，并求解．要求51||10k k x x -+-<．答案：若取2()x x ?=，则在[1,0]-中满⾜收敛性条件，因此迭代法121, 0,1,2,k x k x k +== 在(1,0)-中有惟⼀解．取00.5x =-，*70.458960903x x ≈=-．取2()x x ?=，在[0,1上满⾜收敛性条件，迭代序列121, 0,1,2,k x k x k +== 在[0,1]中有惟⼀解．取00.5x =，*140.910001967x x ≈=- 在[3,4]上，将原⽅程改写为23xe x =，取对数得2ln(3)()x x x ?==．满⾜收敛性条件，则迭代序列21ln(3), 0,1,2,k k x x k +== 在[3,4]中有惟⼀解．取0 3.5x =， *16 3.733067511x x ≈=．例７.６对于迭代函数2()(3)x x c x ?=+-，试讨论：（１）当c 为何值时，1()k k x x ?+=产⽣的序列{}k x（２）c 取何值时收敛最快？（３）取1,2c =-()x ?51||10k k x x -+-<．答案：（１）(c ∈时迭代收敛．（２）c =时收敛最快．（３）分别取1, 2c =--，并取0 1.5x =，计算结果如下表７.７所⽰表７.７例７.13 设不动点迭代1()k x x ?+=的迭代函数()x ?具有⼆阶连续导数，*x 是()x ?的不动点，且*()1x ?'≠，证明Steffensen 迭代式21(), (), 0,1,2,()2k k k k k k k k k k k y x z x k y x x x z y x+===-?=-?-+?⼆阶收敛于*x ．例7.15 设2()()()()()x x p x f x q x f x ?=--，试确定函数()p x 和()q x ，使求解()0f x =且以()x ?为迭代函数的迭代法⾄少三阶收敛．答案：1()()p x f x ='，31()()2[()]f x q x f x ''=' 例７.19 设()f x 在[,]a b 上有⾼阶导数，*(,)x a b ∈是()0f x =的(2)m m ≥重根，且⽜顿法收敛，证明⽜顿迭代序列{}k x 有下列极限关系：111lim2k kk k k k x x m x x x -→∞-+-=-+．第⼋章矩阵特征值8.1 ⽤乘幂法求矩阵A 的按模最⼤的特征值与对应的特征向量，已知5500 5.51031A -?? ?=- ? ?-??，要求(1)()611||10k k λλ+--<，这⾥()1k λ表⽰1λ的第k 次近似值．答案：15λ≈，对应的特征向量为[5,0,0]T-；25λ≈-，对应的特征向量为[5,10,5]T --． 8.2 ⽤反幂法求矩阵110242012A -??=-- -的按模最⼩的特征值．知A 的按模较⼤的特征值的近似值为15λ=，⽤5p =的原点平移法计算1λ及其对应的特征向量．答案：(1) A 的按模最⼩的特征值为30.2384428λ≈(2) 1 5.1248854λ≈，对应的特征向量为(8)[0.242 4310, 1 ,0.320 011 7]T U =--．8.3 设⽅阵A 的特征值都是实数，且满⾜121, ||||n n λλλλλ>≥≥> ，为求1λ⽽作原点平移，试证：当平移量21()2n p λλ=+时，幂法收敛最快． 8.4 ⽤⼆分法求三对⾓对称⽅阵1221221221A ?? ? ?= ? ? ???的最⼩特征值，使它⾄少具有２位有效数字．答案：取5 2.234375λ≈-即有２位有效数字．8.5 ⽤平⾯旋转变换和反射变换将向量[2 3 0 5]T x =变为与1[1 0 0 0]Te =平⾏的向量．答案：203/2/00001010/0T ??- ?=--?0.324 442 8400.486 664 26200.811 107 1040.486 664 2620.812 176 04800.298 039 92200100.811 107 1040.298 039 92200.530 266 798H --??--= ? ?--8.6 若532644445A -??=- -，试把A 化为相似的上Hessenberg 阵，然后⽤QR ⽅法求A 的全部特征值．第九章微分⽅程初值问题的数值解法9.1 ⽤反复迭代（反复校正）的欧拉预估－校正法求解初值问题0, 0<0.2(0)1y y x y '+=≤??=?，要求取步长0.1h =，每步迭代误差不超过510-．答案： [4]11(0.1)0.904 762y y y ≈==，[4]22(0.2)0.818 594y y y ≈==9.2 ⽤⼆阶中点格式和⼆阶休恩格式求初值问题2, 0<0.4(0)1dy x y x dx y ?=+≤=?的数值解(取步长0.2h =，运算过程中保留五位⼩数)．答案：⽤⼆阶中点格式，取初值01y =计算得0n =时，1211.000 00, 1.200 00, (0.2)=1.240 00K K y y ==≈ 1n =时，1221.737 60, 2.298 72, (0.4)=1.699 74K K y y ==≈⽤⼆阶休恩格式，取初值01y =计算得0n =时，1211.000 00, 1.266 67, (0.2)=1.240 00K K y y ==≈ 1n =时，1221.737 60, 2.499 18, (0.4)=1.701 76K K y y ==≈9.3 ⽤如下四步四阶阿达姆斯显格式1123(5559379)/24n n n n n n y y h f f f f +---=+-+-求初值问题, (0)1y x y y '=+=在[0,0.5]上的数值解．取步长0.1h =，⼩数点后保留８位．答案：4(0.4)0.583 640 216y y ≈=，5(0.5) 1.797 421 984y y ≈=． 9.4 为使⼆阶中点公式1(,(,))22n n n n n n h hy y hf x y f x y +=+++，求解初值问题 , (0)y y y aλλ'=-??=?为实常数绝对稳定，试求步长h 的⼤⼩应受到的限制条件．答案：2h λ≤．9.5 ⽤如下反复迭代的欧拉预估－校正格式(0)1(1)()111(,)[(,)(,)]2 0,1,2,; 0,1,2,nn n n k k n n n n n n y y hf x y h y y f x y f x y k n +++++?=+??=++??==，求解初值问题sin(), 01(0)1x y e xy x y '?=<≤?=?时，如何选择步长h ，使上述格式关于k 的迭代收敛．答案：2h e<时上述格式关于k 的迭代是收敛的．9.6 求系数,,,a b c d ，使求解初值问题0(,), ()y f x y y x a '==的如下隐式⼆步法221()n n n n n y ay h bf cf df +++=+++的误差阶尽可能⾼，并指出其阶数．答案：系数为142,,33a b d c ====，此时⽅法的局部截断误差阶最⾼，为五阶5()O h ．9.7 试⽤欧拉预估－校正法求解初值问题, (0)=1, 0<0.2()/, (0)2dyxy z y dxx dz x y z z dx=-≤=+=，取步长0.1h =，⼩数点后⾄少保留六位．答案：由初值00(0)1, (0)2y y z z ====可计算得110.800 000z 2.050 000y =??=? ， 11(0.1)0.801 500(0.1) 2.046 951y y z z ≈=??≈=? 220.604 820z 2.090 992y =??=? ， 22 (0.2)0.604 659(0.2) 2.088 216y y z z ≈=??≈=?。

计算方法练习题与答案

计算方法练习题与答案

练习题与答案练习题一练习题二练习题三练习题四练习题五练习题六练习题七练习题八练习题答案练习题一一、是非题1.–作为x的近似值一定具有6位有效数字，且其误差限。

()2.对两个不同数的近似数，误差越小，有效数位越多。

()3.一个近似数的有效数位愈多，其相对误差限愈小。

()4.用近似表示cos x产生舍入误差。

( )5.和作为的近似值有效数字位数相同。

( )二、填空题1.为了使计算的乘除法次数尽量少，应将该表达式改写为；2.–是x舍入得到的近似值，它有位有效数字，误差限为，相对误差限为；3.误差的来源是；4.截断误差为；5.设计算法应遵循的原则是。

三、选择题1．–作为x的近似值，它的有效数字位数为( ) 。

(A) 7； (B) 3；(C) 不能确定 (D) 5.2．舍入误差是( )产生的误差。

(A) 只取有限位数 (B) 模型准确值与用数值方法求得的准确值(C) 观察与测量 (D) 数学模型准确值与实际值3．用 1+x近似表示e x所产生的误差是( )误差。

(A). 模型 (B). 观测 (C). 截断 (D). 舍入4．用s*=g t2表示自由落体运动距离与时间的关系式 (g为重力加速度)，s t是在时间t内的实际距离，则s t s*是（）误差。

(A). 舍入 (B). 观测 (C). 模型 (D). 截断5．作为的近似值，有( )位有效数字。

(A) 3； (B) 4； (C) 5； (D) 6。

四、计算题1．，，分别作为的近似值，各有几位有效数字？2．设计算球体积允许的相对误差限为1%，问测量球直径的相对误差限最大为多少？3．利用等价变换使下列表达式的计算结果比较精确：(1)， (2)(3) ， (4)4．真空中自由落体运动距离s与时间t的关系式是s=g t2，g为重力加速度。

现设g是精确的，而对t有秒的测量误差，证明：当t增加时，距离的绝对误差增加，而相对误差却减少。

5*. 采用迭代法计算，取k=0,1,…,若是的具有n位有效数字的近似值，求证是的具有2n位有效数字的近似值。

计算方法试题集及答案

计算方法试题集及答案

计算方法试题集及答案复习试题四、计算题：4某12某2某311某14某22某3182某某5某22(0)T某(0,0,0)1231、用高斯-塞德尔方法解方程组，取，迭代四次(要求按五位有效数字计算)。

(k1)1(k)(k)某(112某某)1234(k1)1(k)(18某1(k1)2某3)某24(k1)1(k1)(k1)某(222某某)3125答案：迭代格式k01234某1(k)(k)某2(k)某302.75000.209380.240430.5042003.81253.17892.59972.482002.53753. 68053.18393.70191/272、11f(某)d某A[f(1)f(1)]B[f()f()]122的代数精求A、B使求积公式1度尽量高,并求其代数精度；利用此公式求2f(某)1,某,某答案：是精确成立，即I211d某某(保留四位小数)。

2A2B212182ABA,B23得991811f(某)d某[f(1)f(1)][f()f()]19922求积公式为1当f(某)某时，公式显然精确成立；当所以代数精度为3。

32f(某)某时，左=541，右=3。

3、已知某i1364554f(某i)2分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求f(某)的三次插值多项式P3(某)，并求f(2)的近似值（保留四位小数）。

答案：L3(某)2(某3)(某4)(某5)(某1)(某4)(某5)6(13)(14)(15)(31)(34)(35)5(某1)(某3)(某5)(某1)(某3)(某4)4(41)(43)(45)(51)(53)(54)差商表为某iyi一阶均差二阶均差三阶均差2-1-1-101413452654P3(某)N3(某)22(某1)(某1)(某3)1(某1)(某3)(某4)4f(2)P3(2)5.53/274、取步长h0.2，用预估-校正法解常微分方程初值问题y2某3yy(0)1(0某1)(0)yn1yn0.2(2某n3yn)(0)yy0.1[(2某3y)(2某3yn1nnnn1n1)]答案：解：即yn10.52某n1.78yn0.04n某nyn0010.21.8220.430.640.851.015.879610.713719.422435.02795、已知某i-2-12022325f(某i)4求f(某)的二次拟合曲线p2(某)，并求f(0)的近似值。

计算方法试题及答案

计算方法试题及答案

计算方法试题及答案在计算方法的学习过程中，练习解答试题是非常重要的一部分。

下面，将提供一些计算方法试题及答案，以供学习和练习之用。

请按照正确的格式阅读和完成题目。

一、选择题1. 下列哪个选项是计算方法的基本思想？A. 运算过程B. 程序设计C. 算法和分析D. 数据采集答案：C. 算法和分析2. 当使用二分法求解函数 f(x) = x^2 - 4 = 0 的根时，若初始区间 [a,b] 为 [0, 5]，则最终结果为：A. x = 2.0B. x = 2.2C. x = 2.4D. x = 2.5答案：C. x = 2.4二、填空题1. 约化消元法是一种求解方程组的方法，其基本思想是__________。

答案：逐行约化，得到简化方程组。

2. 在数值计算中，利用级数展开的方法求函数近似值的过程称之为__________。

答案：泰勒展开。

三、计算题1. 求解下列方程组的解：2x + y - z = 1x - y + 3z = 93x + 4y - 5z = -5答案：x = -2, y = 3, z = 42. 使用拉格朗日插值法，已知函数 f(x) 在点 x = 0, x = 1, x = 4 处的值分别为 1, 5, 7，求 f(2) 的近似值。

答案：f(2) 的近似值为 3.通过以上试题，希望能够帮助学习者巩固和加深对计算方法的理解，并提供一定的练习机会。

在学习过程中，建议理解每道题目的解题思路和方法，灵活运用所学知识，加强实际问题的应用。

希望大家能够通过不断的练习和学习提升计算方法的能力。