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《数值计算方法》复习试题四、计算题：1、用高斯-塞德尔方法解方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++225218241124321321321x x x x x x x x x ，取T)0,0,0()0(=x ，迭代四次(要求按五位有效数字计算)。
答案：迭代格式⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--=--=--=++++++)222(51)218(41)211(41)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x2、求A 、B 使求积公式⎰-+-++-≈11)]21()21([)]1()1([)(f f B f f A dx x f 的代数精度尽量高,并求其代数精度；利用此公式求⎰=211dxx I (保留四位小数)。
答案：2,,1)(x x x f =是精确成立，即⎪⎩⎪⎨⎧=+=+32212222B A B A 得98,91==B A求积公式为)]21()21([98)]1()1([91)(11f f f f dx x f +-++-=⎰-当3)(x x f =时，公式显然精确成立；当4)(x x f =时，左=52，右=31。
所以代数精度为3。
69286.014097]321132/11[98]311311[91311113221≈=+++-++++-≈+=⎰⎰--=dt t dx x x t3、已知分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求)(x f 的三次插值多项式)(3x P ，并求)2(f 的近似值（保留四位小数）。
答案：)53)(43)(13()5)(4)(1(6)51)(41)(31()5)(4)(3(2)(3------+------=x x x x x x x L)45)(35)(15()4)(3)(1(4)54)(34)(14()5)(3)(1(5------+------+x x x x x x差商表为)4)(3)(1(41)3)(1()1(22)()(33---+----+==x x x x x x x N x P5.5)2()2(3=≈P f4、取步长2.0=h ，用预估-校正法解常微分方程初值问题⎩⎨⎧=+='1)0(32y yx y )10(≤≤x答案：解：⎪⎩⎪⎨⎧+++⨯+=+⨯+=++++)]32()32[(1.0)32(2.0)0(111)0(1n n n n n n n n n n y x y x y y y x y y即 04.078.152.01++=+n n n y x y5、已知求)(x f 的二次拟合曲线)(2x p ，并求)0(f '的近似值。
精心整理《数值计算方法》复习试题一、填空题：1、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=410141014A ，则A 的LU 分解为A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。
答案：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=15561415014115401411A 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，式为。
答案：-1，)3)(1(2)3)(2(21)(2-----=x x x x x L 4、近似值5、设)(x f ()；答案1n x =+6、对)(x f =]4,3,2,1(0)；78n 次后的误差限为(12+-n ab )； 10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为(0.15)； 11、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均不为零)。
12、 为了使计算32)1(6)1(41310---+-+=x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为11,))64(3(10-=-++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式19992001-改写为199920012+。
13、 用二分法求方程01)(3=-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为0.5，1,进行两步后根的所在区间为0.5，0.75。
14、 求解方程组⎩⎨⎧=+=+042.01532121x x x x 代矩阵的谱半径)(M ρ=121。
15、 设46)2(,16)1(,0)0(===f f f ,则=)(1x l (1l )1(716)(2-+=x x x x N 。
16、(高斯型)求积公式为最高，具有(12+n )次代21]内的根精确到三位小数，需对分（10）次。
22、已知≤≤≤≤3110(x x S 是三次样条函数，则a =(3 )，b 23、(),(10l x l Lagrange 插值基函数，则∑==nk kx l)((1)，=k 0(j)，当时=++=)()3(204x l x xk k k k (324++x x )。
数值计算方法试题一一、 填空题（每空1分，共17分）1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。
2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。
3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则a =( )，b =（ ），c =（ ）。
4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则∑==nk kx l0)(( )，∑==nk k jk x lx 0)(()，当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x xk k n k k( )。
5、设1326)(247+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 和=∆07f 。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。
7、{}∞=0)(k k x ϕ是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ϕ，则⎰=14)(dx x x ϕ 。
8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。
9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是阶方法。
10、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ，当∈a （ ）时，必有分解式T LL A =，其中L为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（ ）条件时，这种分解是唯一的。
数值计算期末试题及答案1. 题目：求方程 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1 = 0 在区间 [0, 2] 上的根。
解答：为了求解方程 f(x) = 0 在给定区间上的根，可以使用二分法或者牛顿法等数值方法。
这里我将采用二分法进行求解。
首先，观察方程在区间 [0, 2] 上的图像，可以发现 f(0) = -1，f(2) = 1，即方程在区间 [0, 2] 上存在根。
接下来，我们可以通过二分法逼近此根的位置。
二分法的基本思路是不断将给定区间一分为二，并判断根的位置在前半部分还是后半部分，然后继续在包含根的那一半区间内进行二分，直到达到所需的精确度为止。
具体的二分法迭代过程如下：1. 初始化区间左边界 a = 0，右边界 b = 2，以及精确度 eps。
2. 当 (b - a) > eps 时，执行以下步骤：a. 计算区间中点 c = (a + b) / 2。
b. 如果 f(c) 等于 0 或者在所需的精确度 eps 内，返回 c。
c. 否则，根据 f(c) 和 f(a) 的符号判断根的位置：- 如果 f(c) 和 f(a) 的符号相同，说明根在区间 [c, b] 中，更新 a = c。
- 否则，根在区间 [a, c] 中，更新 b = c。
3. 返回最终得到的近似根 c。
根据上述算法，我们可以得到方程 f(x) = 0 在区间 [0, 2] 上的近似根为c ≈ 1.521。
2. 题目：使用梯形法则计算定积分∫[0, π] sin(x) dx。
解答：定积分的数值计算可以通过数值积分方法来实现。
其中，梯形法则是一种常用的数值积分方法。
梯形法则的基本思路是将定积分区间划分成多个小梯形，然后计算各个小梯形的面积之和作为近似解。
具体的步骤如下：1. 初始化定积分区间的左边界 a = 0，右边界b = π，以及划分的小梯形数量 n。
2. 计算每个小梯形的宽度 h = (b - a) / n。
数值计算方法试题一一、 填空题（每空1分，共17分）1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。
2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。
3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则a =( )，b =（ ），c =（ ）。
4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则∑==nk kx l0)(( )，∑==nk k jk x lx 0)(( )，当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x xk k n k k( )。
5、设1326)(247+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 和=∆07f。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。
7、{}∞=0)(k kx ϕ是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ϕ，则⎰=14)(dx x x ϕ 。
8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。
9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是阶方法。
10、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ，当∈a （ ）时，必有分解式T LL A =，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（ ）条件时，这种分解是唯一的。
标准文档1y21. 已知函数1 x 的一组数据：求分段线性插值函数，并计算的近似值 .计算题 1.答案% x 1 x 0 1.解x0,1 L x0 11，1% x 2 x 1x 1,2 Lx2，1 2 1因此分段线性插值函数为%x0,1L xx1,2%L111dx4. 写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别计算积分x .计算题 4.答案bb af a f bf x dx4 解梯形公式 a211 1[1 11dx2 0应用梯形公式得x1 1 1b f x dxb a[ f a4 f (a b) f b ]辛卜生公式为a6211 1 01 01dx 6 [ f 0 4 f () f 1 ]应用辛卜生公式得x21 [ 1 4 11 ] 25 6 1 011 11362四、证明题（此题10 分）确立以下求积公式中的待定系数，并证明确立后的求积公式拥有 3 次代数精准度h f x dx A 1 f h A 0 f 0 A 1 f hh证明题答案证明：求积公式中含有三个待定系数，即A 1, A 0, A1，将f x1,x, x 2 分别代入求积公式，并令其左右相等，得A 1 A 0 A 1 2hh( A 1 A 1 ) 0h 2 ( A1A ) 2 h 313A 1 A 1 1 h A 0 4h得3 ， 3 。
所求公式起码有两次代数精准度。
又因为h h h3h h 3x 3dxh 33x 4dxhh 4h4 hh 33hhh fh4f 0hf hf x dx故 h333拥有三次代数精准度。
31, x9f ( x) x 2, x1, x1．设4124f x1 , 9x使知足（1）试求在4 4上的三次 Hermite 插值多项式H ( x j ) f ( x j ), j 0,1,2,... H ' ( x 1 ) f ' (x 1 )x以升幂形式给出。
（2）写出余项 R(x)f ( x) H (x) 的表达式计算题 1.答案x14 x 3 263 x 2 233 x 1 1、（ 1）225450450251 9 51)( x 1)2(x9), ( x) ( 1 , 9)R x2( x（ 2）4!1644 4 43． 试确立常数 A ， B ，C 和 a ，使得数值积分公式有尽可能高的代数精度。
数值计算方法期末考试题Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】一、单项选择题（每小题3分，共15分）1. 和分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和42. 已知求积公式()()211211()(2)636f x dx f Af f ≈++⎰，则A ＝（ ）A ． 16B ．13C ．12D ．233. 通过点()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ）A ．()00l x ＝0，()110l x =B ．()00l x ＝0，()111l x =C ．()00l x ＝1，()111l x = D ．()00l x ＝1，()111l x =4. 设求方程()0f x =的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。
A ．超线性B ．平方C ．线性D ．三次5. 用列主元消元法解线性方程组1231231220223332x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪--=⎩作第一次消元后得到的第3个方程（ ）.A ．232x x -+= B ．232 1.5 3.5x x -+=C ．2323x x -+= D ．230.5 1.5x x -=-单项选择题答案二、填空题（每小题3分，共15分）1. 设TX )4,3,2(-=, 则=1||||X ，2||||X = .2. 一阶均差()01,f x x =3. 已知3n =时，科茨系数()()()33301213,88C C C ===，那么()33C = 4. 因为方程()420x f x x =-+=在区间[]1,2上满足 ，所以()0f x =在区间内有根。
5. 取步长0.1h =，用欧拉法解初值问题()211y y yx y ⎧'=+⎪⎨⎪=⎩的计算公式 .填空题答案1. 9和292.()()0101f x f x x x --3. 184.()()120f f <5. ()1200.11.1,0,1,210.11k k y y k k y +⎧⎛⎫⎪ ⎪=+⎪ ⎪=+⎨⎝⎭⎪=⎪⎩三、计算题（每题15分，共60分）1. 已知函数211y x =+的一组数据：求分段线性插值函数，并计算()1.5f 的近似值.计算题1.答案1. 解[]0,1x ∈，()1010.510.50110x x L x x --=⨯+⨯=--- []1,2x ∈，()210.50.20.30.81221x x L x x --=⨯+⨯=-+--所以分段线性插值函数为2. 已知线性方程组1231231231027.21028.35 4.2x x x x x x x x x --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩（1） 写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式； （2） 对于初始值()()0,0,0X =，应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算()1X （保留小数点后五位数字）.计算题2.答案1.解 原方程组同解变形为 1232133120.10.20.720.10.20.830.20.20.84x x x x x x x x x =++⎧⎪=-+⎨⎪=++⎩ 雅可比迭代公式为()()()()()()()()()1123121313120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x +++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩(0,1...)m = 高斯－塞德尔迭代法公式()()()()()()()()()1123112131113120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x ++++++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩(0,1...)m = 用雅可比迭代公式得()()10.72000,0.83000,0.84000X = 用高斯－塞德尔迭代公式得()()10.72000,0.90200,1.16440X =3. 用牛顿法求方程3310x x --=在[]1,2之间的近似根 （1）请指出为什么初值应取2 （2）请用牛顿法求出近似根，精确到.计算题3.答案4. 写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别计算积分101dx x +⎰.计算题4.答案确定下列求积公式中的待定系数，并证明确定后的求积公式具有3次代数精确度证明题答案1. 设2.3149541...x *=，取5位有效数字，则所得的近似值x= .2.设一阶差商 ()()()21122114,321f x f x f x x x x --===---，()()()322332615,422f x f x f x x x x --===--则二阶差商()123,,______f x x x =3. 设(2,3,1)TX =--, 则2||||X = ，=∞||||X 。
计算机数值计算方法试题 计算机数值计算方法试题一一、 填空题（每空1分，共17分）1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。
2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。
3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则a =( )，b =（ ），c =（ ）。
4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则∑==nk kx l0)(()，∑==nk k j kx l x)(( )，当2≥n 时=++∑=)()3(24x l x xk k nk k( )。
5、设1326)(247+++=x x xx f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f和=∆07f 。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。
7、{}∞=0)(k k x ϕ是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ϕ，则⎰=104)(dx x x ϕ 。
8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。
9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是阶方法。
10、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001aaa a A ，当∈a （）时，必有分解式T LL A =，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（ ）条件时，这种分解是唯一的。
数值计算方法试题一一、填空题（每空1分，共17分)1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数,需对分（ ）次.2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。
3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则a =（ )，b =（ ),c =( ）.4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则∑==nk k x l)(( ），∑==nk k j kx lx 0)(（ ）,当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x xk k nk k ( )。
5、设1326)(247+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f和=∆07f 。
6、5个节点的牛顿—柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。
7、{}∞=0)(k kx ϕ是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ϕ，则⎰=104)(dx x x ϕ 。
8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ，a 为实数,当a 满足 ，且20<<ω时，SOR迭代法收敛。
9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是阶方法。
10、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ,当∈a （ ）时，必有分解式T LL A =,其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（ ）条件时,这种分解是唯一的。
数值计算方法期末考试题集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#一、单项选择题（每小题3分，共15分）1. 和分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和42. 已知求积公式()()211211()(2)636f x dx f Af f ≈++⎰，则A ＝（ ）A ． 16B ．13C ．12D ．233. 通过点()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ）A ．()00l x ＝0，()110l x =B ．()00l x ＝0，()111l x =C ．()00l x ＝1，()111l x = D ．()00l x ＝1，()111l x =4. 设求方程()0f x =的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。
A ．超线性B ．平方C ．线性D ．三次5. 用列主元消元法解线性方程组1231231220223332x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪--=⎩作第一次消元后得到的第3个方程（ ）.A ．232x x -+= B ．232 1.5 3.5x x -+=C ．2323x x -+= D ．230.5 1.5x x -=-单项选择题答案二、填空题（每小题3分，共15分）1. 设TX )4,3,2(-=, 则=1||||X ，2||||X = .2. 一阶均差()01,f x x =????? ???????????????3. 已知3n =时，科茨系数()()()33301213,88C C C ===，那么()33C =???????????? 4. 因为方程()420x f x x =-+=在区间[]1,2上满足??????????????? ?，所以()0f x =在区间内有根。
5. 取步长0.1h =，用欧拉法解初值问题()211y y yx y ⎧'=+⎪⎨⎪=⎩的计算公式????????????????????? .填空题答案1.?????? 9和292.??????()()0101f x f x x x --?3.?????? 18 4.??????()()120f f <5.?????? ()1200.11.1,0,1,210.11k k y y k k y +⎧⎛⎫⎪ ⎪=+⎪ ⎪=+⎨⎝⎭⎪=⎪⎩三、计算题（每题15分，共1. 已知函数211y x =+的一组数据：求分段线性插值函数，并计算()1.5f 的近似值.计算题1.答案1.?????? 解[]0,1x ∈，()1010.510.50110x x L x x --=⨯+⨯=---??????????[]1,2x ∈，()210.50.20.30.81221x x L x x --=⨯+⨯=-+--所以分段线性插值函数为2. 已知线性方程组1231231231027.21028.35 4.2x x x x x x x x x --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩（1）?????? 写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式； （2）?????? 对于初始值()()0,0,0X =，应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算()1X（保留小数点后五位数字）.计算题2.答案1.解 原方程组同解变形为 1232133120.10.20.720.10.20.830.20.20.84x x x x x x x x x =++⎧⎪=-+⎨⎪=++⎩雅可比迭代公式为()()()()()()()()()1123121313120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x +++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩(0,1...)m =高斯－塞德尔迭代法公式()()()()()()()()()1123112131113120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x ++++++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩?(0,1...)m =用雅可比迭代公式得()()10.72000,0.83000,0.84000X =用高斯－塞德尔迭代公式得()()10.72000,0.90200,1.16440X =3. 用牛顿法求方程3310x x --=在[]1,2之间的近似根（1）请指出为什么初值应取2 （2）请用牛顿法求出近似根，精确到.计算题3.答案4. 写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别计算积分101dx x +⎰.计算题4.答案确定下列求积公式中的待定系数，并证明确定后的求积公式具有3次代数精确度证明题答案证明：求积公式中含有三个待定系数，即101,,A A A -，将()21,,f x x x =分别代入求积公式，并令其左右相等，得得1113A A h -==，043hA =。
一、单项选择题（每小题3分，共15分）1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和42. 已知求积公式()()211211()(2)636f x dx f Af f ≈++⎰，则A ＝（ ）A ． 16B ．13C ．12D ．233. 通过点()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ）A ．()00l x ＝0，()110l x = B ．()00l x ＝0，()111l x =C ．()00l x ＝1，()111l x = D ． ()00l x ＝1，()111l x =4. 设求方程()0f x =的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。
A ．超线性B ．平方C ．线性D ．三次5. 用列主元消元法解线性方程组1231231220223332x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪--=⎩ 作第一次消元后得到的第3个方程（ ）.A ．232x x -+= B ．232 1.5 3.5x x -+=C ．2323x x -+= D ．230.5 1.5x x -=-单项选择题答案1.A2.D3.D4.C5.B二、填空题（每小题3分，共15分）1. 设TX )4,3,2(-=, 则=1||||X ，2||||X = .2. 一阶均差()01,f x x =3. 已知3n =时，科茨系数()()()33301213,88C C C ===，那么()33C = 4. 因为方程()420x f x x =-+=在区间[]1,2上满足 ，所以()0f x =在区间内有根。
5. 取步长0.1h =，用欧拉法解初值问题()211yy yx y ⎧'=+⎪⎨⎪=⎩的计算公式 .填空题答案1. 已知函数211y x =+的一组数据：求分段线性插值函数，并计算()1.5f 的近似值.计算题1.答案2. 已知线性方程组1231231231027.21028.35 4.2x x x x x x x x x --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩（1） 写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式；（2） 对于初始值()()0,0,0X =，应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算()1X （保留小数点后五位数字）.计算题2.答案1.解 原方程组同解变形为 1232133120.10.20.720.10.20.830.20.20.84x x x x x x x x x =++⎧⎪=-+⎨⎪=++⎩雅可比迭代公式为()()()()()()()()()1123121313120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x +++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩(0,1...)m =高斯－塞德尔迭代法公式()()()()()()()()()1123112131113120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x ++++++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩ (0,1...)m =用雅可比迭代公式得()()10.72000,0.83000,0.84000X =用高斯－塞德尔迭代公式得()()10.72000,0.90200,1.16440X =3. 用牛顿法求方程3310x x --=在[]1,2之间的近似根 （1）请指出为什么初值应取2？（2）请用牛顿法求出近似根，精确到0.0001.计算题3.答案4. 写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别计算积分1011dx x +⎰.计算题4.答案四、证明题（本题10分）确定下列求积公式中的待定系数，并证明确定后的求积公式具有3次代数精确度证明题答案一、填空（共20分，每题2分）1. 设2.3149541...x *=，取5位有效数字，则所得的近似值x= .2.设一阶差商()()()21122114,321f x f x f x x x x --===---，()()()322332615,422f x f x f x x x x --===-- 则二阶差商()123,,______f x x x =3. 设(2,3,1)TX =--, 则2||||X = ，=∞||||X 。
4．求方程 21.250x x --= 的近似根，用迭代公式x =01x =， 那么1______x =。
5．解初始值问题 00'(,)()y f x y y x y =⎧⎨=⎩近似解的梯形公式是 1______k y +≈。
6、1151A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则A 的谱半径＝ 。
7、设2()35, , 0,1,2,... ,k f x x x kh k =+== ，则[]12,,n n n f x x x ++=和[]123,,,n n n n f x x x x +++=。
8、若线性代数方程组AX=b 的系数矩阵A 为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都 。
9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler ）方法的局部截断误差为 。
10、为了使计算23123101(1)(1)y x x x =++----的乘除法运算次数尽量的少,应将表达式改写成 。
填空题答案1、2.3150二、计算题 （共75 分，每题15分）1．设3201219(), , 1, 44f x x x x x ====（1）试求 ()f x 在 19,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的三次Hermite 插值多项式()x H 使满足 ''11()(), 0,1,2,... ()()j j H x f x j H x f x ===()x H 以升幂形式给出。
（2）写出余项 ()()()R x f x H x =-的表达式计算题1.答案2．已知的满足，试问如何利用构造一个收敛的简单迭代函数，使0，1…收敛？计算题2.答案3．试确定常数A，B，C和a，使得数值积分公式有尽可能高的代数精度。
试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss型的？计算题3.答案4．推导常微分方程的初值问题00'(,)()y f x yy x y=⎧⎨=⎩的数值解公式：'''1111(4)3n n n n nhy y y y y+-+-=+++（提示：利用Simpson求积公式。
）计算题4.答案4、数值积分方法构造该数值解公式：对方程()y f x=’在区间[]11,n nx x-+上积分，得1111()()(,())nnxn nxy x y x f x y x dx+-+-=+⎰，记步长为h,5． 利用矩阵的LU 分解法解方程 组1231231232314252183520x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩计算题5.答案5、解：1123211435124A LU ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦三、证明题 （5分）1．设，证明解的Newton 迭代公式是线性收敛的。
证明题答案一、填空题（20分）(1).设*2.40315x =是真值 2.40194x =的近似值，则*x 有 位有效数字。
(2). 对1)(3++=x x x f , 差商=]3,2,1,0[f ( )。
(3). 设(2,3,7)TX =-, 则||||X ∞= 。
(4).牛顿—柯特斯求积公式的系数和()nn k k C ==∑ 。
填空题答案（1）3 （2）1 （3）7 （4）1二、计算题1).（15分）用二次拉格朗日插值多项式2()sin 0.34L x 计算的值。
插值节点和相应的函数值是（0，0），（0.30，0.2955），（0.40，0.3894）。
计算题1.答案2).（15分）用二分法求方程3()10[1.0,1.5]f x x x =--=在 区间内的一个根，误差限210ε-=。
计算题2.答案2) 12345661.25 1.375 1.31251.34375 1.328125 1.3203125N x x x x x x =======3).（15分）用高斯-塞德尔方法解方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++225218241124321321321x x x x x x x x x ，取T)0,0,0()0(=x ，迭代三次(要求按五位有效数字计算).。
计算题3.答案3）迭代公式4).（15分）求系数123,,A A A 和使求积公式1123111()(1)()()233f x dx A f A f A f -≈-+-+≤⎰对于次数的一切多项式都精确成立。
计算题4.答案5). (10分)对方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=++841025410151023321321321x x x x x x x x x试建立一种收敛的Seidel 迭代公式，说明理由计算题5.答案三、简答题1)（5分）在你学过的线性方程组的解法中, 你最喜欢那一种方法,为什么? 2)（5分）先叙述Gauss 求积公式, 再阐述为什么要引入它。
简答题答案1）凭你的理解去叙述。
2）参看书本99页。
一、填空题（20分）1. 若a =2.42315是2.42247的近似值，则a 有( )位有效数字.2. )(,),(),(10x l x l x l n 是以n ,,1,0 为插值节点的Lagrange 插值基函数，则=∑=ni i x il 0)(( ).3. 设f (x )可微，则求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( ).4. 迭代公式f BX X k k +=+)()1(收敛的充要条件是 。
5. 解线性方程组A x =b (其中A 非奇异，b 不为0) 的迭代格式f x x+=+)()1(k k B 中的B 称为( ).给定方程组⎩⎨⎧-=-=-45892121x x x x ，解此方程组的雅可比迭代格式为()。
填空题答案二、判断题（共10分）1. 若0)()(<b f a f ，则0)(=x f 在),(b a 内一定有根。
( )2. 区间[a,b ]上的三次样条函数是一个次数不超过三次的多项式。
( )3. 若方阵A 的谱半径1)(<A ρ，则解方程组A x =b 的Jacobi 迭代法收敛。
( )4. 若f (x )与g (x ) 都是n 次多项式，且在n +1个互异点n i i x 0}{=上)()(i i x g x f =，则)()(x g x f ≡。
( )5. 用2211xx ++近似表示x e 产生舍入误差。
