高考数学压轴专题2020-2021备战高考《坐标系与参数方程》全集汇编及答案解析

【最新】数学复习题《坐标系与参数方程》专题解析一、131．直线122x ty t=+⎧⎨=+⎩（t 是参数）被圆229x y +=截得的弦长等于（ ）A ．125BC．5D【答案】D 【解析】 【分析】先消参数得直线普通方程，再根据垂径定理得弦长. 【详解】直线122x t y t=+⎧⎨=+⎩（t 是参数），消去参数化为普通方程：230x y -+=．圆心()0,0O到直线的距离d =，∴直线被圆229x y +=截得的弦长5===.故选D ． 【点睛】本题考查参数方程化普通方程以及垂径定理，考查基本分析求解能力，属基础题.2．在满足极坐标和直角坐标互的化条件下，极坐标方程222123cos 4sin ρθθ=+经过直角坐标系下的伸缩变换123x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩后，得到的曲线是（ ）．A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．圆【答案】D 【解析】 【分析】先把极坐标方程化为直角坐标方程，再经过直角坐标系下的伸缩变换，把直角坐标方程中的x ，y 分别换成得2x ''，由此能求出结果． 【详解】 ∵极坐标方程222123+4cos sin ρθθ=∴22223cos 4sin 12ρθρθ+=∴直角坐标方程为223412x y +=，即22143x y +=∴经过直角坐标系下的伸缩变换123x x y y⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩后得到的曲线方程为2(2)14x '=，即22()()1x y ''+=. ∴得到的曲线是圆 故选D. 【点睛】本题考查曲线形状的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意极坐标方程、直角坐标方程和直角坐标系下的伸缩变换公式的合理运用．3．化极坐标方程2cos 20ρθρ-=为直角坐标方程为（ ） A ．2202x y y +==或 B ．2x =C ．2202x y x +==或D ．2y =【答案】C 【解析】由题意得，式子可变形为(cos 2)0ρρθ-=，即0ρ=或cos 20ρθ-=，所以x 2+y 2=0或x=2，选C.【点睛】由直角坐标与极坐标互换公式222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩，利用这个公式可以实现直角坐标与极坐标的相互转化．4．已知圆的参数方程2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为3490cos sin ραρα--=，则直线与圆的位置关系是( ) A ．相切 B ．相离C ．直线过圆心D ．相交但直线不过圆心 【答案】D 【解析】 【分析】分别计算圆和直线的普通方程，根据圆心到直线的距离判断位置关系. 【详解】圆的参数方程2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)224x y ⇒+= 直线的极坐标方程为34903490cos sin x y ραρα--=⇐--=圆心到直线的距离为：925d r =<=相交 圆心坐标代入直线不满足，所以直线不过圆心. 故答案选D 【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，直线和圆心的位置关系，综合性较强，意在考查学生的综合应用能力.5．已知点是曲线：（为参数，）上一点，点，则的取值范围是 A ． B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】将曲线的参数方程化为普通方程，可知曲线是圆的上半圆，再利用数形结合思想求出的最大值和最小值。

【详解】 曲线表示半圆：，所以.取，结合图象可得.故选：D 。

【点睛】本题考查参数方程与普通方程之间的转化，同时也考查了点与圆的位置关系，在处理点与圆的位置关系的问题时，充分利用数形结合的思想，能简化计算，考查计算能力与分析问题的能力，属于中等题。

6．在符合互化条件的直角坐标系和极坐标系中，直线l ：20y kx ++=与曲线C ：2cos ρθ=相交，则k 的取值范围是( )A ．34k <-B ．34k ≥-C ．k R ∈D ．k R ∈但0k ≠【答案】A 【解析】分析：一般先将原极坐标方程2cos ρθ=两边同乘以ρ后，把极坐标系中的方程化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程进行求解即可．详解：将原极坐标方程2cos ρθ=，化为：22cos ρρθ=，化成直角坐标方程为：2220x y x +-=， 即22(1)1x y -+=．则圆心到直线的距离d =由题意得：1d <，即1d =<，解之得：34k <-． 故选A ．点睛：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ=+，进行代换即得．7．若实数x ，y 满足()()22512196x y ++-=，则22x y +的最大值为( )A ．1B ．14C ．729D ．27【答案】C 【解析】 【分析】设14cos 5x t =-，14sin 12y t =+，利用辅助角公式可得22x y +()364sin 365t α=-+，由三角函数的有界性可得结果.【详解】由222(5)(12)19614x y ++-==，2251211414x y +-⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令5cos 14x t +=， 12sin 14y t -=， 则14cos 5x t =-，14sin 12y t =+，因此22xy +22(14cos 5)(14sin 12)t t =-++140cos 336sin 365t t =-++1252813sin cos 3651313t t ⎛⎫=⨯⨯⨯-⨯+ ⎪⎝⎭()364sin 365t α=-+（其中5sin 13α=,12cos 13α=） 又1sin()1t α-≤-≤Q221729x y ∴≤+≤因此最大值为729，故选C. 【点睛】本题主要考查圆的参数方程的应用，考查了辅助角公式以及三角函数的有界性，属于综合题.8．已知曲线C 的极坐标方程为：22cos 2sin 0ρρθρθ--=，直线l 的极坐标方程为：4πθ=（ρ∈R ），曲线C 与直线l 相交于A B 、两点，则AB 为（ ）A B ．C D ．【答案】B 【解析】 【分析】把圆和直线的极坐标方程都转化成直角坐标方程，可得弦AB 过圆心，则2AB r =。

【详解】因为曲线C 的极坐标方程为：22cos 2sin 0ρρθρθ--=所以曲线C 的直角坐标方程为22220x y x y +--=，即22(1)+（y-1）2x -=，以（1，1）为圆心，半径r =l 的极坐标方程为：4πθ=（ρ∈R ），所以直线l 的直角坐标方程为y x =。

因为直线y x =经过圆心（1，1），所以弦AB 为直径，且有2AB r ==B 。

【点睛】本题主要考查极坐标方程转化为直角坐标方程，解决题目的关键是判断出弦AB 经过圆点，从而 AB 为直径。

9．设曲线:sin x C y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩ （ϕ为参数）与x 轴的交点分别为M N ，，点P 是曲线C 上的动点，且点P 不在坐标轴上，则直线PM 与PN 的斜率之积为（ ） A ．13B ．13-C ．34D ．43-【答案】B 【解析】 【分析】由曲线C 的参数方程，求得曲线C 的普通方程为2213x y +=，可设(M N ，,sin )P ϕϕ，再根据斜率公式，得到22sin 3cos 3PM PNk k ϕϕ⋅=-，即可求解． 【详解】由题意，曲线:sin x C y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩ （ϕ为参数），所以曲线C 的普通方程为2213x y +=，又由曲线C 与x 轴的交点分别为M N ，，点P 是曲线C 上的动点，且点P 不在坐标轴上，可设(,sin )M N P ϕϕ， 则直线PM 与PN 的斜率之积：22sin 13cos 33PM PNk k ϕϕ⋅===--，故选B ． 【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，以及直线的斜率公式的应用，其中解答中熟记参数方程与普通方程的互化公式，利用直线的斜率公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．10．直线34100x y ++=和圆25cos 15sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩的位置关系是（ ）A ．相切B ．相离C ．相交但不过圆心D ．相交且过圆心【答案】C 【解析】 【分析】将圆的参数方程25cos ()15sin x y θθθ=+⎧⎨=+⎩为参数化成圆的普通方程，则可得其圆心，和半径r ，再用点到直线的距离公式求出圆心到直线34100x y ++=的距离d ,再将距离d 与圆的半径r 比大小即可解. 【详解】解：由25cos 15sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩，得圆的普通方程为()()222125x y -+-=，∴圆的圆心为()2,1，半径=5r ．圆心到直线的距离4d ==.∵0d r <<，∴直线与圆相交但不过圆心． 故选：C ． 【点睛】考查圆的参数方程化普通方程，考查直线和圆的位置关系，运用了点到直线的距离公式. 点到直线距离公式：点()00,P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离为：d =.11．椭圆22:1169x y C +=上的点P 到直线:34180l x y ++=的距离的最小值为( )A．185+ B．165- C．185- D．165+ 【答案】C 【解析】 【分析】设点P 的坐标为()4cos ,3sin θθ，其中[)0,2θ∈π，再利用点到直线的距离公式和三角函数的有界性，即可得答案. 【详解】设点P 的坐标为()4cos ,3sin θθ，其中[)0,2θ∈π，则点P 到直线l的距离12cos 12sin 185d θθ++==1818455πθ⎛⎫++ ⎪-⎝⎭=≥，当sin 14πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，等号成立. 因为[)0,2θ∈π，所以54πθ=. 所以当54πθ=时，d取得最小值185-. 故选：C.本题考查椭圆参数方程的应用、点到直线距离的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意点的参数设法及三角函数的有界性运用.12．已知圆的极坐标方程为4sin 4P πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则其圆心坐标为（ ）A ．2,4π⎛⎫⎪⎝⎭B ．32,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2,4π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．()2,0【答案】B 【解析】 【分析】把圆的极坐标方程化为直角坐标方程，求得圆心坐标(，再根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解. 【详解】由题意知，圆的极坐标方程为4sin 4πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭，即ρθθ=-，即2sin cos ρθθ=-，所以220x y ++-=，所以圆心坐标为(，又由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，可得圆心的极坐标为3(2,)4π，故选B. 【点睛】本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化，及圆的方程应用，其中解答中熟记极坐标与直角坐标的互化公式，把极坐标化为直角坐标方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.13．若,a b ∈R ，且2210a b += ，则-a b 的取值范围是( )A ．-⎡⎣B ．⎡-⎣C ．⎡⎣D ．(【答案】A 【解析】 【分析】利用参数方程，令,a b αα==，转化为sin )4a b πααα⎛⎫-=+ ⎪⎝-⎭=求解.令,a b αα==则sin )4a b πααα⎛⎫-=+⎪⎝-⎭=所以a b -∈-⎡⎣故选：A 【点睛】本题主要考查参数方程的应用，还考查了换元的思想和运算求解的能力，属于基础题.14．方程sin cos k ρθθ=++ 的曲线不经过极点，则k 的取值范围是（ ）A ．0k ≠B ．k R ∈C ．k >D ．k …【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知，极点不在方程表示的sin cos k ρθθ=++曲线上，可知sin cos k θθ+=-无解，利用辅助角公式得出4sin cos πθθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，结合正弦函数的性质，即可得出k 的取值范围. 【详解】当0ρ=时，sin cos k θθ+=-，则此方程无解由4sin cos πθθθ⎛⎫+=+≤ ⎪⎝⎭k >时，方程无解.故选：C 【点睛】本题主要考查了点与直线的位置关系，涉及了正弦函数的性质，属于中档题.15．把曲线12cos 2sin x C y θθ=⎧⎨=⎩：（θ为参数）上各点的横坐标压缩为原来的14，纵坐标压缩为原来的4，得到的曲线2C 为 A ．221241x y +=B ．224413y x +=C ．2213y x +=D ．22344x y +=【答案】B 【解析】根据题意，曲线C 2：12θ x cos y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（为参数）， 消去参数，化为直角坐标方程是224413y x +=故选B ．点睛：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，经常用到公式：22221cos sin 1,1tan cos θθθθ+=+=.不要忘了参数的范围.16．将点的直角坐标(－2，化成极坐标得( )． A ．(4，23π) B ．(－4，23π) C ．(－4，3π) D ．(4，3π) 【答案】A 【解析】 【分析】由条件求得ρ=cos xθρ=、sin yθρ=的值，可得θ的值，从而可得极坐标.【详解】∵点的直角坐标(2-∴4ρ===，21cos 42xθρ-===-，sin 42y θρ=== ∴可取23πθ=∴直角坐标(2-化成极坐标为24,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭故选A. 【点睛】本题主要考查把点的直角坐标化为极坐标的方法，属于基础题．注意运用ρ=cos xθρ=、sin yθρ=(θ由(),x y 所在象限确定).17．已知曲线C 的极坐标方程为222123cos 4sin ρθθ=+，以极点为原点，极轴为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系，则曲线C经过伸缩变换12x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩后，得到的曲线是（ ） A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线 【答案】C【解析】【分析】将曲线C 的极坐标方程222123cos 4sin ρθθ=+化为普通方程，再将曲线C 的普通方程进行12x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩的伸缩变换后即可解.【详解】 解：由极坐标方程22222123(cos )4(sin )123cos 4sin ρρθρθθθ=⇒+=+， 可得：223412x y +=，即22143x y +=， 曲线C经过伸缩变换12x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩，可得2x x y =⎧=''⎪，代入曲线C 可得：221x y ''+=， ∴伸缩变换得到的曲线是圆．故选：C ．【点睛】考查曲线的极坐标方程化普通方程以及曲线方程的变换.其中将123x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩转化为2x x y=⎧=''⎪为解题关键.18．在极坐标系中，点2,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭到直线sin 16πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭的距离是( ) AB ．3C ．1D ．2【答案】C【解析】【分析】先将点的极坐标化成直角坐标，直线的极坐标方程化为直角坐标方程，然后用点到直线的距离求解．【详解】 在极坐标系中，点2,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭，1）， 直线ρsin （θ﹣6π）＝1化为直角坐标方程为x+2＝0，1）到x+2＝0的距离1=，即点（2，6π）到直线ρsin （θ﹣6π）＝1的距离为1， 故选C ．【点睛】 本题考查直角坐标和极坐标的互化，考查点到直线的距离公式的应用，属于基础题.19．在平面直角坐标系xOy 中，曲线3cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）上的点到直线84:1x t l y t=+⎧⎨=-⎩的距离的最大值为（ ） ABCD【答案】B【解析】【分析】 将直线84:1x t l y t =+⎧⎨=-⎩，化为直角方程，根据点到直线距离公式列等量关系，再根据三角函数有界性求最值.【详解】Q 84:1x t l y t =+⎧⎨=-⎩可得：4120x y +-=根据点到直线距离公式，可得C 上的点到直线l 的距离为=≤=【点睛】本题考查点到直线距离公式以及三角函数有界性，考查基本分析求解能力，属中档题.20．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换53x x y y''=⎧⎨=⎩后，曲线C 变为曲线2241x y ''+=，则曲线C 的方程为（ ） A ．2225361x y += B ．2291001x y += C ．10241x y +=D ．22281259x y += 【答案】A【解析】【分析】 将伸缩变换53x x y y''=⎧⎨=⎩代入曲线2241x y ''+=中即可解. 【详解】解：把53x x y y''=⎧⎨=⎩代入曲线2241x y ''+=，可得：()()225431x y +=，即2225361x y +=，即为曲线C 的方程．故选：A ．【点睛】考查平面直角坐标系的伸缩变换，题目较为简单. 伸缩变换：设点(,)P x y 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换,(0):,(0)x x y y λλϕμμ'=⋅>⎧⎨'=⋅>⎩的作用下，点(,)P x y 对应到点(,)P x y '''，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.。