2018年高考数学30道压轴题训练(教师版)
1．椭圆的中心是原点O
，它的短轴长为(,)0F c （0>c ）的准线l 与x
轴相交于点A ，2OF FA =，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点。 （1）求椭圆的方程及离心率；
（2）若0OP OQ ⋅=，求直线PQ 的方程；
1．（1
）解：由题意，可设椭圆的方程为(22
212x y a a +=。
由已知得,
().
222
22a c a c c c ⎧-=⎪
⎨=-⎪⎩
解得2a c == 所以椭圆的方程为22162
x y +=
，离心率3e =
。 （2）解：由（1）可得A （3，0）。 设直线PQ 的方程为()3y k x =-。由方程组,()22
162
3x y y k x ⎧+
=⎪⎨⎪=-⎩
得()222231182760k x k x k +-+-=，依题意()212230k ∆=->
，得k <。 设(,),(,)1122P x y Q x y ，则21221831k x x k +=+， ① 2122276
31
k x x k -=+。 ②
由直线PQ 的方程得(),()112233y k x y k x =-=-。于是 由①②③④得251k =
，从而()533
k =。 所以直线PQ
的方程为30x -=
或30x +-=
2．已知函数)(x f 对任意实数x 都有1)()1(=++x f x f ，且当]2,0[∈x 时，
|1|)(-=x x f 。
（1） )](22,2[Z k k k x ∈+∈时，求)(x f 的表达式。
（2） 证明)(x f 是偶函数。 （3） 试问方程01
log )(4
=+x
x f 是否有实数根？若有实数根，指出实数根的个数；若没有实数根，请说明理由。
2．①f(x)=12--k x (2k≦x≦2k+2, k∈Z) ②略 ⑶方程在[1，4]上有4个实根 3．如图，已知点F （0，1），直线L ：y=-2，及圆C ：1)3(2
2=-+y x 。
（1） 若动点M 到点F 的距离比它到直线L 的距离小1，求动点M 的轨迹E 的方程； （2） 过点F 的直线g
（3） 过轨迹E 上一点P 小，求点P 3．①x 2
=4y ②x 1x 2=-4 4．以椭圆2
22y a
x +＝1（a 4．解：因a ＞11
设BC ∶y ＝kx ＋1（k ＞则AB ∶y ＝－
k
1
x ＋1 把BC 是（1＋a 2k 2）x 2＋2a 2
∴|BC |＝2222
121k a k a k ++，同理|AB |＝2
222
21a
k a k ++ 由|AB |＝|BC |k 3－a 2k 2＋ka 2－1＝0
（k －1）［k 2＋（1－a 2）k ＋1］＝0 ∴k ＝1或k 2＋（1－a 2）k ＋1＝0
当k 2＋（1－a 2）k ＋1＝0时，Δ＝（a 2－1）2－4
由Δ＜0，得1＜a ＜3
由Δ＝0，得a ＝3，此时，k ＝1 故，由Δ≤0，即1＜a ≤3
由Δ＞0即a ＞3时有三解
5．已知，二次函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c 及一次函数g （x ）＝－bx ，其中a 、b 、c ∈R ，a ＞b ＞c ，a ＋b ＋c ＝0. （Ⅰ）求证：f （x ）及g （x （Ⅱ）设f （x ）、g （x ）两图象交于A 、B 两点，当AB 线段在x 轴上射影为A 1B 1时，试求|A 1B 1|的取值范围.
5． 解：依题意，知a 、b ≠0
∵a ＞b ＞c 且a ＋b ＋c ＝0 ∴a ＞0且c ＜0
（Ⅰ）令f （x ）＝g （x 得ax 2＋2bx ＋c ＝0.（* Δ＝4（b 2－ac ）
∵a ＞0，c ＜0，∴ac ＜0，∴Δ＞0
∴f （x ）、g （x ）相交于相异两点 （Ⅱ）设x
1、x 2为交点A 、B 则|A 1B 1|2＝|x 1－x 2|2，由方程（*
|A 1B 1|2
＝2
2224)(444a ac
c a a ac b -+=-
∵0
20a b c a c a b
++=⎧⇒+>⎨
>⎩，而a ＞0，∴
2c
a
>- ∴4［（
a c ）2＋a
c
＋1］∈（3，12
∴|A 1B 1|∈（3，23）
6． 已知过函数f （x ）=12
3++ax x 的图象上一点B （1，b ）的切线的斜率为－3。 （1） 求a 、b 的值；
（2） 求A 的取值范围，使不等式f （x ）≤A －1987对于x ∈[－1，4]恒成立； （3） 令()()132
++--=tx x x f x g 。是否存在一个实数t ，使得当]1,0(∈x 时，g （x ）
有最大值1？
6、解：（1）()x f
'
=ax x 232+
依题意得k=()1'f =3+2a=－3， ∴a=－3
()1323+-=∴x x x f ，把B （1，b ）代入得b=()11-=f
∴a=－3，b=－1 （2）令()x f
'
=3x 2－6x=0得x=0或x=2
∵f （0）=1，f （2）=23－3×22＋1=－3 f （－1）=－3，f （4）=17
∴x ∈[－1，4]，－3≤f （x ）≤17
要使f （x ）≤A －1987对于x ∈[－1，4]恒成立，则f （x ）的最大值17≤A －1987 ∴A ≥2019。
（1） 已知g （x ）=－(
)
tx x tx x x x +-=++-+-3
22
31313 ∵0＜x ≤1，∴－3≤－3x 2＜0， ① 当t ＞3时，t －3x 2＞0，()0'
>x g 即
∴g （x ）在]1.0(上为增函数，
g （x ）的最大值g （1）=t －1=1,得t=2（不合题意,舍去） ② 当0≤t ≤3时, ()t x x g +-=2
'
3
令()x g '
=0,得x=
3
t 列表如下:
g （x ）在x=3t 处取最大值－3
3⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛t ＋t 3t
=1 ∴t=3427=2
233
＜3t 3
∴x=
3
t ＜1
