【选讲】绝对值不等式的解法

• 解不等式 3 3 - 2x 5
解：原不等式 -5 3 - 2 x 3或3 3 - 2 x 5 3 x 4或 1 x 0 原不等式的解集为 {x | 3 x 4或 1 x 0}
【探究3】
• 解关于x的不等式
| 3 - 2x | m 1
(2)形如| ax + b | >f(x) 不等式
ax b f ( x)或ax b f ( x)
【探究5】
【探究5】
【探究5】
| 3 - 2x | - | x - 1 | 0
【探究6】
解关于x的不等式： | x - 1 | | x 2 | 5
解关于x的不等式： | x - 1 | | x 2 | 5
【选修4-5不等式选讲】
绝对值不等式的解法
授课版本：新人教A版 授课年级：高二 授课学科：数学 授课人： 于志宇 单位： 围场一中
一、知识链接
1、绝对值的定义:
|x|= x ,x>0 0 ,x=0 -x ,x<0 |x－x1| 0 x
2、绝对值的几何意义:
|x | x
x1
方程│x│＝2的解集？ 为{x│x=2或x=-2}
3
y5
Hale Waihona Puke -21【探究6】解关于x的不等式： | x - 1 | | x 2 | 5
归纳:
| x - a | | x b | c和 | x - a | | x b | c（c 0）型不等式解法
法一：几何法
法二：零点分段法
法三：函数图像法
【思考】
| x 1 | | x 2 | m 已知关于x的不等式： (1) 若不等式有解，求m的取值范围； (2) 若不等式解集为R，求m的取值范围；

绝对值不等式的解法
绝对值不等式|x|<a 与|x|>a 的解集
不等式
a>0
a＝0
a<0
|x|<a
{x|－a<x<a}
∅
∅
|x|>a
{x|x>a或x<－a}{x∈R|x≠0}
R
|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法 1．|ax＋b|≤c⇔ －c≤ax＋b≤c . 2．|ax＋b|≥c⇔ ax＋b≥c或ax＋b≤－c .
(1)解不等式|x＋2|＞|x－1|； (2)解不等式|x＋1|＋|x－1|≥3.
【精彩点拨】 (1)可以两边平方求解，也可以讨论去绝对值符号求解，还 可以用数轴上绝对值的几何意义来求解；(2)可以分类讨论求解，也可以借助数 轴利用绝对值的几何意义求解，还可以左、右两边构建相应函数，画图象求解．
【自主解答】 (1)|x＋2|＞|x－1|，可化为(x＋2)2－(x－1)2＞0，即 6x＋3＞0，
由 5x－x2≤－6，即 x2－5x－6≥0，∴x≥6 或 x≤－1， 所以原不等式的解集为{x|x≤－1 或 2≤x≤3 或 x≥6}．
含参数的绝对值不等式的综合问题
已知函数 f(x)＝|x－a|. (1)若不等式 f(x)≤3 的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数 a 的值； (2)在(1)的条件下，若 f(x)＋f(x＋5)≥m 对一切实数 x 恒成立，求实数 m 的 取值范围．
1．第(2)问求解的关键是转化为求 f(x)＋f(x＋5)的最小值，法一是运用分类 讨论思想，利用函数的单调性；法二是利用绝对值不等式的性质(应注意等号成 立的条件)．
2．将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，这是命题的新动 向．解题时应强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活运用．

y
-3
O -2
2 x
由图象可知原不等式的解集为(− ∞,−3] ∪ [2,+∞ )
（2） − a + x − b ≥ c 和 x − a + x − b ≤ c x 型不等式的解法
①利用绝对值不等式的几何意义 ②零点分区间法 ③构造函数法
补充练习：解不等式： （1）1<|2x+1|≤3. （2）||x-1|-4|<2. （3）|3x-1|>x+3. 答案：（1）{x|0<x≤1或-2≤x<-1} （2）{x|-5<x<-1或3<x<7}
例1 解不等式|3x-1|≤2 解: 3x − 1 ≤ 2 ⇒ −2 ≤ 3x − 1 ≤ 2
1 ∴− ≤ x ≤ 1 3
例2 解不等式|2-3x|≥7 解:
2 − 3 x ≥ 7 ⇒ 2 − 3 x ≥ 7或2 − 3 x ≤ −7 5 ⇒ x ≤ − 或x ≥ 3 3
|ax+b|<c和|ax+b|>c(c>0)型不等式比较：
x ≥ 2 所以不等式组 的解集是 x −1 + x − 2 < 2 1 5 综上所述 , 原不等式的解集是 , . 2 2
小结: （1）|ax+b|≤c和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的 解法： ①换元法：令t=ax+b, 转化为|t|≤c和|t|≥c 型不等式，然后再求x，得原不等式的解集。 ②分段讨论法： ax + b ≥ 0 ax + b < 0 | ax + b |≤ c(c > 0) ⇔ 或 ax + b ≤ c −(ax + b) ≤ c ax + b ≥ 0 ax + b < 0 或 | ax + b |≥ c(c > 0) ⇔ ax + b ≥ c −(ax + b) ≥ c

不等式的解集易得. 注：如果 a ≤ 0 ，不等式的解集易得.
利用这个规律可以解一些含有绝对值的不等式. 利用这个规律可以解一些含有绝对值的不等式
基础练习
解下列不等式： 解下列不等式： （1）2|x|<5 ） （2）|2x|>5 ） （3）|x-1|<5 ） （4）|2x-1|<5 ）
5 5 {x | − < x < } 2 2 5 5 {x | x > 或x < − } 2 2
|ax+b|<c
-c<ax+b<c
并
探索2.不等式| -1|+|x+2|≥5 +2|≥5的解法 探索2.不等式|x-1|+| +2|≥5的解法 2.不等式
方法1：利用绝对值的几何意义， 方法 ：利用绝对值的几何意义，体现了数形结 合的思想． 合的思想．
+2|=5的解为 解:|x-1|+| +2|=5的解为 =-3或x=2 :| -1|+|x+2|=5的解为x= =2
{x | −4 < x < 6} {x | −2 < x < 3}
方法小结
|ax+b|<c和|ax+b|>c(c>0)型不等式比较： 和 型不等式比较： 型不等式比较
类型 化去绝对值后 集合上解的意义区别 {x|ax+b>-c} ∩ {x|ax+b<c}, 交 {x|ax+b<-c}∪ |ax+b|>c ax+b<-c或ax+b>c {x|ax+b>c},
对原不等式两边平方得x2<1 即 x2－1<0 对原不等式两边平方得 即 (x+1)(x－1)<0 即－1<x<1 － 所以，不等式|x|<1的解集为 -1<x<1} 的解集为{x|所以，不等式 的解集为