解绝对值不等式的方法总结

一、 基本解法与思想解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。

（一）、公式法：即利用x a >与x a <的解集求解。

主要知识：1、绝对值的几何意义：x 是指数轴上点x 到原点的距离；12x x -是指数轴上1x ，2x 两点间的距离.。

2、x a >与x a <型的不等式的解法。

当0a >时，不等式x >的解集是{},x x a x a ><-或不等式x a <的解集是{}x a x a -<<;当0a <时，不等式x a >的解集是{}x x R ∈不等式x a <的解集是∅;3．ax b c +>与ax b c +<型的不等式的解法。

把 ax b + 看作一个整体时，可化为x a <与x a >型的不等式来求解。

当0c >时，不等式ax b c +>的解集是{},x ax b c ax b c +>+<-或不等式ax b c +<的解集是{}x c ax b c -<+<;当0c <时，不等式ax b c +>的解集是{}x x R ∈不等式a bx c +<的解集是∅;例1 解不等式23x -<分析:这类题可直接利用上面的公式求解，这种解法还运用了整体思想，如把“2x -” 看着一个整体。

答案为{}15x x -<<。

(解略)（二）、定义法:即利用(0),0(0),(0).a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩去掉绝对值再解。

例2。

解不等式22x xx x >++。

分析:由绝对值的意义知，a a =⇔a ≥0，a a =-⇔a ≤0。

解:原不等式等价于2xx +＜0⇔x(x+2)＜0⇔-2＜x ＜0。

解绝对值不等式的方法总结
1. 分类讨论法：
根据绝对值符号，将条件分为两种情况，分别对式子做处理，最后将解集联合起
来就可以求出绝对值不等式的解集。

例如：解不等式|2x+3|<5，可以写成如下形式：
2x+3<5 且 -2x-3<5，解出两个不等式的解集，解集：x<1 且 x>-2，因此解集为 x<1 U
x>-2，其中U表示并。

2. 代入法：
根据条件可以得到相应绝对值不等式，首先将相关数字代入不等式中，质疑是否
满足不等式，如果满足，表示相应数属于此绝对值不等式解集；如果不满足，表示该数不
属于此绝对值不等式解集。

例如：解不等式|x-5|≤2，x=7时，将x=7代入不等式，可得
|7-5|≤2，满足不等式，因此x=7属于此不等式的解集。

4. 化简法：
根据不等式的特殊性可以将不等式转化为熟悉的不等式，再求其解，最后再转化
回原来的绝对值不等式，以求出解集。

例如：解不等式|5x-6|>10，先将左边绝对值分离，变为 5x-6>10 且 -(5x-6)>10 ，即 5x>16 且 5x<-4，可以写为 x>16/5 且 x<-4/5，再
转化为原来的绝对值表示形式，可得解集：|5x-6|>10，x>3 且 x<-2/5。

巧解绝对值不等式
绝对值不等式即含有绝对值的不等式，例如|x-2|≥3，|1-2x|<3等，绝对值不等式怎么解呢？含绝对值的一元一次不等式的基本解题思路是去掉绝对值符号，把绝对值不等式化为一般的一元一次不等式来解。

下面介绍四种转化方法仅供参考。

1.零点分段法
解不等式|x-2|≥3
分析：分为x-2≥0时和x-2<0两种情况讨论，转化为不等式组求解.
解题过程（1）当x-2≥0时，原不等式等价于x-2≥3解得，x≥5
（2）当x-2<0时.,原不等式等价于－（x-2）≥3解得x≤-1.
∴原不等式的解集为x≥5或者x≤-1.
2.绝对值定义法
解不等式|x-2|≥3
分析：根据绝对值定义x-2≥3或x-2≤－3
解题过程（1）当x-2≥3时解得，x≥5
（2）当x-2≤－3时解得x≤-1
∴原不等式的解集为x≥5或者x≤-1.
3.平方法
解不等式|x+1|＞|x-2|
解题过程：将两边同时平方得x2+2x+1＞x2－4x+4
化为一元一次不等式6x＞3
1
解得，x＞
2
4.分段讨论法
解不等式|x+1|＞|x-2|
分析：可以分成三段来完成即x＜－1, －1≤x≤2,x≥2
解题过程:
（1）当x＜－1时原不等式等价于—(x+1)＞2—x即—1＞2，不成立
（2）当－1≤x ≤2时原不等式等价于x+1＞2—x 即x ＞21得2
1＜x ≤2 （3）当x ＞2时原不等式等价于x+1＞x －2即1＞—2显然成立得x ＞2
综上所述原不等式的解集为x ＞2
1。

解绝对值不等式的几种常用 【2 】办法以及变形一. 前提:0a >;情势: ()f x a >; ()f x a <; (),()f x a f x a ≥≤等价转化为()()()f x a f x a f x a >⇔><-或; ()()f x a a f x a <⇔-<<()()()f x a f x a f x a ≥⇔≥≤-或; ()()f x a a f x a ≤⇔-≤≤例1.(1) |2x －3|＜5解：－5＜2x －3＜5,得－1＜x ＜4 -------------------------转化为一元一次不等式(2) |x 2－3x －1|＞3解：x 2－3x －1＜－3 或 x 2－3x －1＞3 ---------------------转化为一元二次不等式 即：x 2－3x ＋2＜0 或 x 2－3x －4＞0∴不等式的解为1＜x ＜2或x ＜－1或x ＞4 (3) 2x 3x 2－＋＞1 解：2x 3x 2－＋＜－1 或2x 3x 2－＋＞1 --------------------绝对值不等式转化为分式不等式 解之得：－2＜x ＜13或 x ＜－2或x ＞5∴不等式的解为x ＜－2或－2＜x ＜13或x ＞5反思：(1)转化的目标在于去失落绝对值.(2)规范解答,可以避免少犯错误.二. 形如|()f x |<()g x ,|()f x |>()g x , ()()f x g x >型不等式（1）︱f(x)︱<g(x)⇔- g(x)<f(x)<g(x)（2）︱f(x)︱>g(x)⇔ f(x)<-g(x)或f(x)>g(x)（3）︱f(x)︱>︱g(x)︱⇔f 2(x)>g 2(x); （4）︱f(x)︱<︱g(x)︱⇔f 2(x)＜g 2(x)例2. (1) |x +1|>2－x ; 解：(1)原不等式等价于x +1>2－x 或x +1<－(2－x )---------------应用绝对值概念转化为整式不等式解得x >12或无解,所以原不等式的解集是{x |x >12} (2)|2x －2x －6|<3x解: 原不等式等价于－3x <2x －2x －6<3x即222226360(3)(2)032(1)(6)016263560x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎧⎧-->-+->+-><->⎧⎧⎪⎪⇒⇒⇒⎨⎨⎨⎨+-<-<<--<--<⎪⎪⎩⎩⎩⎩或 即: 2<x <6所以原不等式的解集是{x |2<x <6}(3) 解不等式123x x ->-.解:原不等式⇔22(1)(23)x x ->-⇔22(23)(1)0x x ---<⇔(2x-3+x-1)(2x-3-x+1)<0⇔(3x-4)(x-2)<0 ⇔423x <<. 解释:求解中以平方后移项再用平方差公式分化因式为宜.三. 前提:,0a b >形如:()a f x b <<x a x b⎧>⎪⇔⎨<⎪⎩ ----------------转化为不等式组来解决例3.解不等式 1≤ | 2x-1 | < 5解：原不等式等价于⎩⎨⎧≥-<-1|12|5|12|x x 5215211211x x x -<-<⎧⇔⎨-≥-≤-⎩或 2310x x x -<<⎧⇔⎨≥≤⎩或 ∴原不等式的解集为 {x | -2< x ≤0或1≤x<3}四.含有两个绝对值的不等式---------------(常常采用零点分段法来评论辩论) 例4 : 解不等式：|x-3|-|x+1|<1解:原不等式等价于①11(3)(1)141x x x x ≤-≤-⎧⎧⇒⎨⎨--++<<⎩⎩⇒无解 ②13131(3)(1)12x x x x x -<<⎧-<<⎧⎪⇒⎨⎨---+<>⎩⎪⎩132x ⇒<< ③33(3)(1)141x x x x ≥≥⎧⎧⇒⎨⎨--+<-<⎩⎩3x ⇒≥ 综上原不等式的解集为}21|{>x x 演习．不等式|x+3|-|2x-1|<2x +1的解集为五. 含有参数的不等式例5(1)解关于x 的不等式①)(R a a x ∈<,②)(R a a x ∈> 解：∵R a ∈,分类评论辩论如下 ,0∅≤时，解集为aⅡ},|{0a x a x a <<->时，解集为当,0R a 时，解集为<Ⅱ},0|{0≠=x x a 时，解集为当Ⅲ},|{0a x a x x a >-<>或时，解集为当 解关于x 的不等式(132R a a x ∈<-+解:原不等式化为：132+<+a x ,在求解时因为a+1的正负不肯定,需分情形评论辩①当a+1≤0即a ≤-1时,因为任何实数的绝对值非负,∴解集为②当a+1>0即a> -1时,- (a+1)<2x+3< a+1 => 24+-a 2综上得：①；时，解集为∅-≤1a②}2224|{1-<<+-->a x a x a 时，解集为六:含有绝对值不等式有解. 解集为空, 与与恒成立问题 例6:若不等式|x －4|+|3－x |<a 的解集为空集,求a 的取值规模. ［解题］解法一(1)当a ≤0时,不等式的解集是空集.(2)当a >0时,先求不等式|x －4|+|3－x |<a 有解时a 的取值规模. 令x －4=0得x =4,令3－x =0得x =3①当x ≥4时,原不等式化为x －4+x －3<a ,即2x －7<a解不等式组474272x a x x a≥⎧+⇒≤<⎨-<⎩,∴a >1 ②当3<x <4时,原不等式化为4－x +x －3<a 得a >1③当x ≤3时,原不等式化为4－x +3－x <a 即7－2x <a 解不等式377337222x a a x x a≤⎧--⇒<≤⇒<⎨-<⎩,∴a >1 分解①②③可知,当a >1时,原不等式有解,从而当0<a ≤1时,原不等式解集为空集.由(1)(2)知所求a 取值规模是a ≤1办法二∵a >|x －4|+|3－x |≥|x －4+3－x |=1∴当a >1时,|x －4|+|3－x |<a 有解从而当a ≤1时,原不等式解集为空集.总结(1) : ()f x a <有解()min a f x ⇒>;()f x a <解集为空集()min a f x ⇒≤;这两者互补.()f x a <恒成立()max a f x ⇒>.(2) ()f x a >有解()max a f x ⇒<;()f x a >解集为空集()max a f x ⇒≤;这两者互补.()f x a >恒成立()min a f x ⇒≤。

绝对值不等式公式有哪些该如何解
绝对值不等式是数学中一个重要的知识点，同时也是考试中时常出现的考点。

下面是由编辑为大家整理的“绝对值不等式公式有哪些该如何解”，仅供参考，欢迎大家阅读本文。

绝对值不等式公式
||a|−|b||≤|a±b|≤|a|+|b|;
|ab|=|a||b|，|a/b|=|a|/|b|(b≠0);
|a|<|b| 可推出|b|>|a|;
3、∥a|−Ib∥≤la+b|≤la|+lb|当且仅当ab≤0时左边等号成立，ab≥0时右边等号成立;
4、|a−b|≤|a|+|−b|=|a|+|−1|∗|b|=|a|+|b|
怎样解绝对值不等式
解绝对值不等式的基本方法是去掉绝对值符号
1、平方，比如，|x|=3，可化为x^2=9，绝对值符号没有了;
2、讨论，即x≥0时，|x|=x;x<0时，|x|=-x，绝对值符号也没有了，令绝对值中的式子等于0，分出x的段，然后根据每段讨论得出的x值，取交集，综上所述即可。

解绝对值不等式的方法总结绝对值不等式是数学中常见的一类不等式，它涉及到绝对值的大小关系。

解绝对值不等式的关键是确定不等式中的变量可能取的范围，并结合绝对值的性质进行推导。

下面将从基本方法、分析方法和图像法等角度给出解绝对值不等式的方法总结。

一、基本方法1.消去绝对值：当绝对值不等式中只有一个绝对值符号时，我们可以通过将绝对值号内的条件进行分类讨论来消去绝对值。

例如，对于不等式，x-2，<3，我们可以将其分类讨论为两种情况：x-2>0时，不等式可转化为x-2<3，即x<5；x-2<0时，不等式可转化为-(x-2)<3，即-x+2<3，即x>-1、因此，原不等式的解集为-1<x<52.分离绝对值：当绝对值不等式中有两个绝对值符号时，我们可以通过分离绝对值的方法将其转化为一个带有正负号的二次不等式。

例如，对于不等式，x-2，>，x+3，由于绝对值的性质，我们有两种情况：x-2>x+3，即-5>0，这个情况显然不成立；x-2<-(x+3)，即-2x-1>0，即x<-1/2、综上所述，原不等式的解集为x<-1/23.基本不等式法：针对绝对值不等式中的特殊形式，f(x)，>c或，f(x)，<c，其中c是正实数，通过化简找到f(x)的取值范围。

例如，对于不等式，2x-3，>5，我们可以将其转化为两个不等式：2x-3>5和2x-3<-5、从第一个不等式中解得x>4，从第二个不等式中解得x<-1、因此，原不等式的解集为x<-1或x>4二、分析方法1. 区间法：对于绝对值不等式，ax+b， < c （或 > c），我们可以通过给定 a、b 和 c 的符号情况来确定 x 的取值范围。

例如，对于不等式，4x+5， < 3，我们可以根据 4x+5 和 -4x-5 的正负号进行分类讨论。