5555三角形的外角习题

三角形的外角（习题）➢ 例题示范例1：已知：如图，点E 是直线AB ，CD 外一点，连接DE 交AB 于点F ，∠D =∠B +∠E ． 求证：AB ∥CD ．D CEA B F①读题标注 ②梳理思路要证AB ∥CD ，需要考虑同位角、内错角、同旁内角． 因为已知∠D =∠B +∠E ，而由外角定理得∠AFE =∠B +∠E ，故∠D =∠AFE ，所以AB ∥CD ． ③过程书写 证明：如图，∵∠AFE 是△BEF 的一个外角（外角的定义）∴∠AFE =∠B+∠E （三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）∵∠D =∠B +∠E （已知） ∴∠AFE =∠D （等量代换）∴AB ∥CD （同位角相等，两直线平行）➢ 巩固练习1. 如图，在△ABC 中，∠1是它的一个外角，∠1=115°，∠A =40°，∠D =35°，则∠2=________．21E F DCBADC EA BF2. 已知：如图，在△ABC 中，∠BAC =50°，∠C =60°，AD ⊥BC ，BE 是∠ABC 的平分线，AD ，BE 交于点F ，则∠AFB 的度数为____________．F BAEC Dα第2题图 第3题图3. 将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，则图中∠α的度数为（ ） A ．45°B ．60°C ．75°D ．904. 如图，已知∠A =25°，∠EFB =95°，∠B =40°，则∠D 的度数为_____________．FEDCB AD CEAB第4题图 第5题图5. 如图，已知AD 是△ABC 的外角∠CAE 的平分线，∠B =30°，∠DAE =50°，则∠D =_______，∠ACB =_______．6. 如图，在△ABC 中，∠A =40°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，∠BDC =70°，求∠C 的度数． 解：如图，∵∠BDC 是△ABD 的一个外角 （_____________________） ∴∠BDC =∠A +∠ABD（_____________________） ∵∠A =40°，∠BDC =70° （_____________________）∴∠ABD =_______-________=________-________ =________（_____________________）第4题图DCAB∵BD 平分∠ABC （_____________________）∴∠ABC =2∠ABD=_____×______ =__________ （_____________________）∴∠C =180°-∠A -∠ABC=180°-________-_______ =________（_____________________）7. 已知：如图，CE 是△ABC 的一个外角平分线，且EF ∥BC 交AB 于点F ，∠A =60°，∠E =55°，求∠B 的度数．8. 已知：如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，交AC 于点D ，DE ∥BC 交AB 于点E ，∠A =45°，∠BDC =60°，求∠AED 的度数．EDCBAFEDC B A➢思考小结1.在证明过程中：（1）要证平行，找_______角、_______角、_______角．（2）要求一个角的度数：①由平行，想_______相等、________相等、__________互补；②由直角考虑互余，由平角考虑_______，由对顶角考虑____________；③若把一个角看作三角形的内角，考虑_______________________________；④若把一个角看作三角形的外角，考虑__________________________________________．2.阅读材料欧几里得公理体系几何学创建的初期，内容是繁杂和混乱的．人们进行几何推理时，总是拿自己掌握的一些“基本事实”作为大前提去进行推理，而每个人心中的“基本事实”不尽相同．这就导致很多内容无法沟通，也没有统一的标准．这时，有必要将几何的内容，用逻辑的“锁链”整理、穿连起来．第一个完成这件工作的是古希腊数学家欧几里得（Euclid）．欧几里得知识渊博，数学造诣精湛，尤其擅长几何证明．当他意识到几何学有必要做出系统整理的时候，就开始着手编写自己的著作《原本》了．他的思路是这样的：首先给出一些最基本的定义，如“点是没有部分的”，“线是没有宽度的”等；接着他列出了5条公设和5条公理作为推理的基本事实，而之后所有的推理都必须建立在这5条公设和5条公理基础上来进行．5条公设是：（1）从任意点到任意点作直线是可能的．（2）把有限直线不断沿直线延长是可能的．（3）以任意点为中心和任意距离为半径作一圆是可能的．（4）所有直角彼此相等．（5）若一直线与两条直线相交，且若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的另一点．5条公理是：（1）跟同一件东西相等的一些东西，它们彼此也是相等的．（2）等量加等量，总量仍相等．（3）等量减等量，余量仍相等．（4）彼此重合的东西是相等的．（5）整体大于部分．其中5条公设主要对作图进行了相应的规范，而5条公理则主要从代数推理上进行规定．欧几里得基于上述这些公设和公理，推导出了平面几何中几乎所有的结论，从而构成了一个完整的几何体系，我们称之为欧氏几何．而他的著作《原本》中关于平面几何的部分，被翻译成中文叫做《几何原本》，正是我们平面几何的原型．而欧几里得这种对几何知识进行系统化、理论化的总结方法就被称之为公理法，而《原本》正是公理化体系的最好阐释．【参考答案】➢巩固练习1.40°2.125°3.C4.20°5.20°，70°6.∵∠BDC是△ABD的一个外角（外角的定义）∴∠BDC=∠A+∠ABD（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）∵∠A=40°，∠BDC=70°（已知）∴∠ABD=∠BDC-∠A=70°-40°=30°（等式的性质）∵BD平分∠ABC（已知）-40°-60°=80°（三角形的内角和等于180°）7.解：如图，∵EF∥BC（已知）∴∠ECD=∠E（两直线平行，内错角相等）∵∠E=55°（已知）∴∠ECD=55°（等量代换）∵CE是△ABC的一个外角平分线（已知）∴∠ACD=2∠ECD=2×55°=110°（角平分线的定义）∵∠ACD是△ABC的一个外角（外角的定义）∴∠ACD=∠A+∠B（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）∵∠A=60°（已知）∴∠B=∠ACD-∠A=110°-60°=50°（等式的性质）8.解：如图，∵∠BDC是△ABD的一个外角（外角的定义）∴∠BDC=∠ABD+∠A（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）∵∠A=45°，∠BDC=60°（已知）∴∠ABD=∠BDC-∠A=60°-45°=15°（等式的性质）∵BD平分∠ABC（已知）∴∠ABC=2∠ABD=2×15°=30°（角平分线的定义）∵DE∥BC（已知）∴∠AED=∠ABC（两直线平行，同位角相等）∴∠AED=30°（等量代换）➢思考小结1.（1）同位、内错、同旁内．（2）①同位角、内错角、同旁内角；②互补，对顶角相等；③三角形的内角和等于180°．④三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．。

三角形外角解答题专项练习60题（有答案）1．已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC平分线，∠B=50°，∠DAE=10°，（1）求∠BAE的度数；（2）求∠C的度数．2．如图，在△ABC中，BD是角平分线，CE是高，且∠ACB=60°，∠ADB=97°，求∠A和∠ACE的度数．3．如图，已知AD是△ABC的高，AE平分∠BAC，∠B=25°，∠ACD=45°，求∠AED的度数．4．如图，DO平分∠EDC，探究∠E，∠C，∠DOC的关系．5．如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高线和角平分线．（1）若∠B=30°，∠C=50°，求∠DAE的度数；（2）若∠B=α，∠C=β，用含α，β的式子表示∠DAE．6．求出图中∠1、∠2的度数．7．如图，在△ABC中，已知∠ABC=30°，点D在BC上，点E在AC上，∠BAD=∠EBC，AD交BE于F．（1）求∠BFD的度数；（2）若EG∥AD交BC于G，EH⊥BE交BC于H，求∠HEG的度数．8．已知：如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=120°，求∠DAC的度数．9．已知：E是AB、CD外一点，∠D=∠B+∠E，求证：AB∥CD．10．如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，试求∠DAC，∠ADC的度数．11．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数和．12．证明：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和．13．如图，已知∠CBE+∠BCD=256°，求∠A的度数．14．如图，直线DE交△ABC的边AB、AC于D、E，交BC延长线于F，若∠B=67°，∠ACB=74°，∠AED=48°，求∠BDF的度数．15．如图，已知D为△ABC边BC延长线上一点，DF⊥AB于F交AC于E，∠A=35°，∠D=42°，求∠ACD的度数．16．如图，已知∠DAB+∠D=180°，AC平分∠A，且∠CAD=25°，∠B=95°（1）求∠DCA的度数；（2）求∠ACE的度数．17．如图在△ABC中，∠B=40°，∠BCD=100°，EC平分∠ACB，求∠A与∠ACE的度数．18．已知：如图所示，∠ABC=66°，∠ACB=54°，BE是AC边上的高，CF是AB边上的高，H是BE和CF的交点，求：∠ABE，∠ACF和∠BHC的度数．19．如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E，∠A=45°，∠BDC=60°，求∠BED的度数．20．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，点E在CB的延长线上，已知∠ACD=55°，求∠ABE的度数．21．如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠A=50°，∠C=60°，求∠DAC及∠BOA．22．如图，BC⊥ED，垂足为O，∠A=27°，∠D=20°，求∠ACB与∠B的度数．23．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，根据下列条件，求∠BIC的度数．（1）若∠ABC=60°，∠ACB=70°，则∠BIC=_________；（2）若∠ABC+∠ACB=130°，则∠BIC=_________；（3）若∠A=50°，则∠BIC=_________；（4）若∠A=110°则∠BIC=_________；（5）从上述计算中，我们能发现已知∠A，求∠BIC的公式是：∠BIC=_________；（6）如图，若BP，CP分别是∠ABC与∠ACB的外角平分线，交于点P，若已知∠A，则求∠BPC的公式是：∠BPC= _________．24．如图，∠MON=90°，AP平分∠MAB，BP平分∠ABN．（1）求∠P的度数；（2）若∠MON=80°，其余条件不变，求∠P的度数；（3）经过（1）、（2）的计算，猜想并证明∠MON与∠P的关系．25．如图，D是△ABC的BC边上一点，∠B=∠BAD，∠ADC=80°，∠BAC=70°求：（1）∠B的度数；（2）∠C的度数．26．如图，已知点F是△ABC的边BC的延长线上的一点，DF⊥AB于D，交AC于E，且∠A=56°，∠F=31°，求∠ACB的度数．27．如图，AF是△ABC的高，AD是△ABC的角平分线，∠B=36°，∠C=76°，求∠DAF的度数．28．如图，△ABC中，∠B=50°，AD平分∠BAC，∠ADC=80°．求∠C的度数．29．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E分别在AC、AB边上，且BC=BD，AD=DE=EB，求∠A的度数．30．如图，△ABC中，∠BAC=80°，∠B=60°，AD⊥BC，垂足为D，AE平分∠DAC，求∠AEC度数．31．如图，∠ACD是△ABC的外角，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于E点．求证：∠E=∠A．32．如图，已知∠B=∠ADB，∠1=15°，∠2=20°，求∠3的度数．33．如图，DC是△ABC的∠ACB外角平分线与BA延长线的交点，求证：∠BAC＞∠B．34．如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠B=45°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数．35．如图，AE∥BD，∠EAF=126°，∠BDC=46°，求x的值．（写出解题过程）36．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=_________．37．将一副直角三角尺如图放置，已知∠EAD=∠E=45°，∠C=30°，AE∥BC，求∠AFD的度数．38．如图：已知△ABC与△DEF是一副三角板的拼图，A，E，C，D在同一条线上．（1）求证EF∥BC；（2）求∠1与∠2的度数．39．如图，已知AC∥ED，∠C=26°，∠CBE=37°，求∠BED的度数．40．如图，在△ABC中，∠C=2∠A，BD是AC边上的高，BE是∠ABC的平分线，且∠DBE=18°．求△ABC的各内角的大小．141．已知：如图，求证：∠1﹣∠2=∠A﹣∠B．42．已知：如图，CD平分∠ACB，BF是△ABC的高，若∠A=80°，∠ABC=50°，求∠BMC的度数．43．如图，△ABC中，∠ABC=45°，点D是边AC上一点，∠DBC=∠BAC，（1）求∠BDC的度数；（2）若在△ABC外取一点E，使∠EBA=∠DBC，∠BEA=135°，试说明：AE∥BD．44．如图①，在△ABC中，CD、CE分别是△ABC的高和角平分线，∠BAC=α，∠B=β（α＞β）．（1）若α=70°，β=40°，求∠DCE的度数；（2）试用α、β的代数式表示∠DCE的度数（直接写出结果）；（3）如图②，若CE是△ABC外角∠ACF的平分线，交BA延长线于点E，且α﹣β=30°，求∠DCE的度数．45．如图，在锐角三角形ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，且CD、BE交于一点P，若∠A=50°，求∠BPC的度数．46．如图，在△ABC中，AB=AC，E在CA的延长线上，∠AEF=∠AFE，那么EF垂直BC吗？为什么？47．如图，BP平分∠ABC，CP平分∠ABC的外角∠ACD，已知∠A=46°，求∠P的度数．48．如图，△ABC中，E、G分别为AB、AC中点，DE⊥AB，FG⊥AC．请解答：（1）如∠BAC=110°，求∠DAF．（2）如BC=7，求△ADF的周长．49．如图，已知在△ABC中，D点在AC上，E点在BC的延长线上．求证：∠ADB＞∠CDE．50．如图，BF平分∠CBG，AF平分∠BAC，BD平分∠ABC，若∠C=40°，求∠F的度数．51．如图所示，在三角形ABC中，D，E分别是BC，AC上的点，AD，BE相交于F，求证：∠C+∠1+∠2+∠3=180°．52．如图，试说明∠A+∠B+∠C=∠ADC．53．已知，如图，D是AB上一点，E是AC上的一点，BE，CD相交于点F，∠A=62°，∠ACD=35°，∠ABE=20°，求：（1）∠BDC的度数；（2）∠EFC的度数．54．如图，AD⊥BD，AE平分∠BAD，∠B=30°，∠ACD=70°，求∠EAB和∠CAE的度数．55．如图，在△ABC中，AE是∠BAC的角平分线，AD是BC边上的高，且∠B=40°，∠C=60°，求∠EAD的度数．56．如图，在△ABC中，AD是角平分线，AE是BC边上的高，∠B=66°，∠C=54°，求∠ADB和∠ADC的度数．57．如图，△ABC中，AD是高，CE是角平分线，AD交CE于点P，已知，∠APE=55°，∠AEP=100°，求△ABC的各个内角的度数．58．附加题：已知：如图，AM，CM分别平分∠BAD和∠BCD，①若∠B=32°，∠D=38°，求∠M的大小；②若∠B=m°，∠D=n°，试说明∠M=（∠B+∠D）．59．如图，在△ABC中，∠B=35°，∠ACB=103°，AD平分∠BAC交BC于D，AE⊥BC交BC延长线于E．求∠DAE 的度数．60．已知△ABC中，∠A=x°（1）如图1，若∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点O，则用x表示∠BOC=_________°（2）如图2，若∠ABC和∠ACB的三等分线相交于点O1、O2，则用x表示∠BO1C=_________°（3）如图3，若∠ABC和∠ACB的n等分线相交于点O1、O2、…、O n﹣1，则用x表示∠BO1C=_________°参考答案：1．（1）∵AD是BC边上的高，∴∠ADE=90°．∵∠ADE+∠AED+∠DAE=180°，∴∠AED=180°﹣∠ADE﹣∠DAE=180°﹣90°﹣10°=80°．∵∠B+∠BAE=∠AED，∴∠BAE=∠AED﹣∠B=80°﹣50°=30°．（2）∵AE是∠BAC平分线，∴∠BAC=2∠BAE=2×30°=60°．∵∠B+∠BAC+∠C=180°，∴∠C=180°﹣∠B﹣∠BAC=180°﹣50°﹣60°=70°2．∵∠ADB=∠DBC+∠ACB，∴∠DBC=∠ADB﹣∠ACB=97°﹣60°=37°．∵BD是角平分线，∴∠ABC=74°，∴∠A=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=46°．∵CE是高，∴∠AEC=90°，∴∠ACE=90°﹣∠A=44°3．∵∠ACD=45°，∠ABD=25°，∴∠BAC=45°﹣25°=20°，又∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠BAC=10°，∴∠AED=∠B+∠BAE=25°+10°=35°．4．∵∠DOC=∠E+∠EDO=∠E+∠ODC=∠E+（180°﹣∠DOC﹣∠C），∴∠DOC=（180°+∠E﹣∠C）．5．（1）∵AD是△ABC的高，∴∠ADC=90°，∵∠C=50°，∴∠DAC=40°，∵∠B=30°，∠C=50°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=100°，∵AE是△ABC的角平分线，∴∠EAC=∠BAC=50°，∴∠DAE=∠EAC﹣∠DAC=50°﹣40°=10°；（2）∵AD是△ABC的高，∴∠ADC=90°，∵∠C=β，∴∠DAC=90°﹣β，∵∠B=α，∠C=β，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣α﹣β，∵AE是△ABC的角平分线，∴∠EAC=∠BAC=（180°﹣α﹣β）=90°﹣α﹣β，∴当α＜β时，∠DAE=∠EAC﹣∠DAC=（90°﹣α﹣β）﹣（90°﹣β）=β﹣α，当α＞β时，∠DAE=∠DAC﹣∠EAC=90°﹣β﹣（90°﹣α﹣β）=α﹣β6．∠1=180°﹣80°﹣50°=50°；∠2=50°+80°=130°．答：∠1、∠2的度数分别是50°，130°．7．（1）∵∠ABC=30°，∠BAD=∠EBC，∴∠BAD+∠ABF=∠EBC+∠ABF=∠ABC=30°，∵∠BFD是△ABF的外角，∴∠BFD=∠BAD+∠ABD=30°；（2）∵EG∥AD，∠BFD=30°，∴∠BEG=∠BFD=30°，∵EH⊥BE，∴∠BEH=90°，∴∠HEG=∠BEH﹣∠BDG=90°﹣30°=60°8．∵∠BAC=120°，∴∠2+∠3=60°①∵∠1=∠2，∴∠4=∠3=∠1+∠2=2∠2②把②代入①得：3∠2=60°，∠2=20°．∴∠DAC=120°﹣20°=100°9．∵∠D=∠B+∠E（已知），∠BFD=∠B+∠E（三角形的一个外角等于与它不相留邻的两个内角的和），∴∠D=∠BFD（等式的性质）．∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）10．∵∠1=∠2，∴∠3=∠1+∠2=2∠1=∠4，∴2∠3+∠CAD=2∠1+2∠2+∠BAC﹣∠1=4∠1+63°﹣∠1=3∠1+63°=180°，∴∠1=39°=∠2，∠3=∠4=78°，∴∠DAC=63°﹣∠1=63°﹣39°=24°，∠ADC=∠3=7811．如图可知：∵∠4是三角形的外角，∴∠4=∠A+∠2，同理∠2也是三角形的外角，∴∠2=∠D+∠C，在△BEG中，∠B+∠E+∠4=180°，即∠B+∠E+∠A+∠D+∠C=180°12．如图，∠1是△ABC的一个外角，求证：∠1=∠A+∠B，证明：在△ABC中，∠A+∠B+∠2=180°，∵∠1+∠2=180°，∴∠1=∠A+∠B．13．∵∠CBE是△ABC的外角，∴∠CBE=∠1+∠A，∵∠BCD是△ABC的外角，∴∠BCD=∠2+∠A，∵∠CBE+∠BCD=256°，∴∠1+2∠A+∠2=256°，∵∠1+∠2+∠A=180°，∴∠A+180°=256°，∴∠A=256°﹣180°=76°．14．因为∠A+∠B+∠ACB=180°，所以∠A=180°﹣67°﹣74°=39°，所以∠BDF=∠A+∠AED=39°+48°=87°．15．因为∠AFE=90°，∴∠AEF=90°﹣∠A=90°﹣35°=55°，∴∠CED=∠AEF=55°，∴∠ACD=180°﹣∠CED﹣∠D=180°﹣55°﹣42°=83°16．（1）∵∠DAB+∠D=180°，∴AB∥CD，∵∠CAD=∠CAB=25°，∴∠DCA=∠CAB=25°；（2）∵∠CAD=∠CAB=25°，∠B=95°，∠ACE是△ABC的外角，∴∠ACE=∠B+∠CAB=95°+25°=120°17．∵∠B=40°，∠BCD=100°，∴∠A=∠BCD﹣∠B=60°，∵∠BCD=100°，∴∠ACB=180°﹣100°=80°，又∵EC平分∠ACB，∴∠ACE=∠ACB=40°．18．∵∠ABC=66°，∠ACB=54°，∴∠A=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣66°﹣54°=60°．又∵BE是AC边上的高，所以∠AEB=90°，∴∠ABE=180°﹣∠BAC﹣∠AEB=180°﹣90°﹣60°=30°．同理，∠ACF=30°，∴∠BHC=∠BEC+∠ACF=90°+30°=120°19．∵∠BDC是△ABD的外角，∴∠ABD=∠BDC﹣∠A=60°﹣45°=15°．∵BD是△ABC的角平分线，∴∠DBC=15°∵DE∥BC，∴∠BDE=15°．∴∠BED=180°﹣∠BDE﹣∠DBE=180°﹣15°﹣15°=150°20．∵CD⊥AB，∴∠ADC=90°．∵∠ACD=55°，∴∠A=90﹣55=35°．∵∠ABE=∠A+∠ACB，∴∠ABE=35+90=125°．21．∵∠A=50°，∠C=60°∴∠ABC=180°﹣50°﹣60°=70°，又∵AD是高，∴∠ADC=90°，∴∠DAC=180°﹣90°﹣∠C=30°，∵AE、BF是角平分线，∴∠CBF=∠ABF=35°，∠EAF=25°∴∠AFB=∠C+∠CBF=60°+35°=95°，∴∠BOA=∠EAF+∠AFB=25°+95°=120°，∴∠DAC=30°，∠BOA=120°22．∵BC⊥ED，∴∠COD=90°，又∵∠D=20°，∴∠ACB=∠COD+∠D=90°+20°=110°，∴∠B=180°﹣∠A﹣∠ACB=43°23．（1）∵BI是∠ABC的平分线，∠ABC=60°∴∠CBI=∠ABC=30°∵CI是∠ACB的平分线，∠ACB=70°∴∠BCI=∠ACB=35°在△BCI中∠BIC+∠BCI+∠CBI=180°∴∠BIC=180°﹣30°﹣35°=115°；（2）∵BI是∠ABC的平分线，CI是∠ACB的平分线∴∠CBI=∠ABC，∠BCI=∠ACB∴∠CBI+∠BCI=（∠ABC+∠ACB）=×130°=65°在△BCI中∠BIC+∠BCI+∠CBI=180°∴∠BIC=180°﹣65°=115°；（3）在△ABC中∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠A=50°∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=130°∵BI是∠ABC的平分线，CI是∠ACB的平分线∴∠CBI=∠ABC，∠BCI=∠ACB∴∠CBI+∠BCI=（∠ABC+∠ACB）=×130°=65°在△BCI中∠BIC+∠BCI+∠CBI=180°∴∠BIC=180°﹣65°=115°；（4）在△ABC中∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠A=110°∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=70°∵BI是∠ABC的平分线，CI是∠ACB的平分线∴∠CBI=∠ABC，∠BCI=∠ACB∴∠CBI+∠BCI=（∠ABC+∠ACB）=×70°=35°在△BCI中∠BIC+∠BCI+∠CBI=180°∴∠BIC=180°﹣35°=145°；（5）在△ABC中∠A+∠ABC+∠ACB=180°∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A∵BI是∠ABC的平分线，CI是∠ACB的平分线∴∠CBI=∠ABC，∠BCI=∠ACB∴∠CBI+∠BCI=（∠ABC+∠ACB）=×（180°﹣∠A）=90°﹣∠A在△BCI中∠BIC+∠BCI+∠CBI=180°∴∠BIC=180°﹣（90°﹣∠A）=90°+∠A；（6）∵∠CBD，∠BCE是△ABC的外角∴∠CBD=∠A+∠ACB，∠BCE=∠A+∠ABC∴∠CBD+∠BCE=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=180°+∠A∵BP，CP分别是∠ABC与∠ACB的外角平分线∴∠CBP=∠CBD，∠BCP=∠BCE∴∠CBP+∠BCP=（∠CBD+∠BCE）=（180°+∠A）=90°+∠A在△BCP中°∠BCP+∠CBP+∠BPC=180∴∠BPC=180°﹣（90°+∠A）=90°﹣∠A24．（1）∵∠BAM是△AOB的外角∴∠BAM=∠AOB+∠ABO∵∠ABN是△AOB的外角∴∠ABN=∠AOB+∠BAO∴∠BAM+∠ABN=∠AOB+∠ABO+∠AOB+∠BAO=（∠AOB+∠ABO+∠BAO）+∠AOB=180°+90°=270°∵AP平分∠MAB，BP平分∠ABN∴∠BAP=∠BAM，∠ABP=∠ABN∴∠BAP+∠ABP=（∠BAM+∠ABN）=135°在△ABP中∠BAP+∠ABP+∠P=180°∴∠P=180°﹣135°=45°；（2）∵∠BAM是△AOB的外角∴∠BAM=∠AOB+∠ABO∵∠ABN是△AOB的外角∴∠ABN=∠AOB+∠BAO∴∠BAM+∠ABN=∠AOB+∠ABO+∠AOB+∠BAO=（∠AOB+∠ABO+∠BAO）+∠AOB=180°+80°=260°∵AP平分∠MAB，BP平分∠ABN∴∠BAP=∠BAM，∠ABP=∠ABN∴∠BAP+∠ABP=（∠BAM+∠ABN）=130°在△ABP中∠BAP+∠ABP+∠P=180°∴∠P=180°﹣130°=50°；（3）∠MON+2∠P=180°∵∠BAM是△AOB的外角∴∠BAM=∠MON+∠ABO∵∠ABN是△AOB的外角∴∠ABN=∠MON+∠BAO∴∠BAM+∠ABN=∠MON+∠ABO+∠MON+∠BAO=（∠MON+∠ABO+∠BAO）+∠MON=180°+∠MON ∵AP平分∠MAB，BP平分∠ABN∴∠BAP=∠BAM，∠ABP=∠ABN∴∠BAP+∠ABP=（∠BAM+∠ABN）=（180°+∠MON）在△ABP中∠BAP+∠ABP+∠P=180°（180°+∠MON）+∠P=180°∴∠MON+2∠P=180°25．（1）∵∠ADC=∠B+∠BAD=80°（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）且∠B=∠BAD，∴∠B=40°；（2）∵∠BAC+∠B+∠C=180°（三角形内角和定理），∠BAC=70°，∠B=40°，∴∠C=70°26．在直角△ADE中，∠AED=90﹣∠A=34°，∴∠FEC=∠AED=34°，∴∠ACB=∠FEC+∠F=65°27．由三角形的外角性质知：∠ADF=∠B+∠BAC，故∠B+∠BAC+∠DAF=90°；①△ABC中，由三角形内角和定理得：∠C+∠B+∠BAC=180°，即：∠C+∠B+∠BAC=90°，②②﹣①，得：∠DAF=（∠C﹣∠B）=20°28．∵∠B=50°，∠ADC=80°，∴∠BAD=∠ADC﹣∠B=80°﹣50°=30°．∵AD平分∠BAC，∴∠BAC=2∠BAD=60°，∴∠C=180°﹣∠B﹣∠BAC=180°﹣50°﹣60°=70°29．∵DE=EB∴设∠BDE=∠ABD=x，∴∠AED=∠BDE+∠ABD=2x，∵AD=DE，∴∠AED=∠A=2x，∴∠BDC=∠A+∠ABD=3x，∵BD=BC，∴∠C=∠BDC=3x，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=3x，在△ABC中，3x+3x+2x=180°，解得x=22.5°，∴∠A=2x=22.5°×2=45°．30．∵∠B=60°，AD⊥BC，∴∠BAD=30°，∵∠BAC=80°，∴∠DAC=50°，∵AE平分∠DAC，∴∠DAE=25°，∴∠BAE=55°，∴∠AEC=∠BAE+∠B=55°+60°=115°31．∵∠ACD=∠A+∠ABC，∴∠ECD=（∠A+∠ABC）．又∵∠ECD=∠E+∠EBC，∴∠E+∠EBC=（∠A+∠ABC）．∵BE平分∠ABC，∴∠EBC=∠ABC，∴∠ABC+∠E=（∠A+∠ABC），∴∠E=∠A32．∵∠1=15°，∠2=20°（已知），又∵∠ADB=∠1+∠2=15°+20°=35°（三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角和），又∵∠B=∠ADB（已知），∴∠B=35°（等量代换），∴∠3=∠B+∠2=35°+20°=55°（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）33．∵△ABC的边BA延长线与外角∠ACE的平分线交于D，∵∠DCE是△BCD的外角，∠BAC是△ACD的外角，∴∠DCE＞∠B，∠BAC＞∠DCA，∵DC是△ABC的∠ACB外角平分线，∴∠ACD=∠DCE，∴∠BAC＞∠B34．∵在△ABC中，∠BAC=60°，∠B=45°，AD是△ABC 的角平分线，∴∠C=75°，∠CAD=30°，∴∠ADB=∠CAD+∠C=105°35．∵AE∥BD，∠EAF=126°，∴∠BAE=126°，∴∠x=126°﹣46°=80°，故答案为80°36．∵∠1=∠A+∠B，∠2=∠E+∠F，∠3=∠C+∠D，∵∠1+∠2+∠3=360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．故答案为：360°．37．∵∠C=30°，AE∥BC，∴∠EAC=∠C=30°，又∵∠E=45°．∴∠AFD=∠E+∠EAC=45°+30°=75°．∴∠AFD为75°．38．（1）∵EF⊥AD，BC⊥AD，∴BC∥EF（垂直于同一条直线的两直线平行）．（2）∵∠APE=180°﹣∠AEP﹣∠A=180°﹣90°﹣45°=45°，又∵∠APE=∠OPF，∴∠1=∠F+∠OPF=30°+45°=75°，∠2=∠DCQ+∠D=90°+60°=150°39．∵∠C=26°，∠CBE=37°，∴∠CAE=∠C+∠CBE=26°+37°=63°，∵AC∥ED，∴∠BED=∠CAE=63°．40．∵在△ABC中，∠C=2∠A，∴∠ABC=180°﹣∠A﹣∠C=180°﹣3∠A，∵BE是∠ABC的平分线，∴∠ABE=∠ABC=90°﹣1.5∠A，又∵BD是AC边上的高，∴∠BED=90°﹣∠EBD=90°﹣18°=72°，又∠BED=∠A+∠ABE=90°﹣0.5∠A=72°，解得∠A=36°，∠C=72°，∠ABC=72°41．∵∠1=∠3+∠A，∠2=∠4+∠B，∠3=∠4，∴∠1﹣∠2=∠3+∠A﹣（∠4+∠B）=∠A﹣∠B．42．∵∠A=80°，∠ABC=50°，∴∠ACB=50°．∵CD平分∠ACB，BF⊥AC，∴∠MCF=25°，∠MFC=90°，∴∠BMC=∠MCF+∠MFC=25°+90°=115°43．（1）∵∠ABC=∠ABD+∠DBC=45°，∠BDC=∠ABD+∠BAC，∠DBC=∠BAC，∴∠BDC=∠ABD+∠BAC=∠ABD+∠DBC=45°；（2）∵∠BEA=135°，∴∠EBA+∠EAB=180°﹣135°=45°．又∵上题已证∠ABD+∠DBC=45°，∠EBA=∠DBC，∴∠EAB=∠ABD，∴AE∥BD44．（1）因为∠ACB=180°﹣（∠BAC+∠B）=180°﹣（70°+40°）=70°，又因为CE是∠ACB的平分线，所以．因为CD是高线，所以∠ADC=90°，所以∠ACD=90°﹣∠BAC=20°，所以∠DCE=∠ACE﹣∠ACD=35°﹣20°=15°．（2）．（3）如图，作∠ACB的内角平分线CE′，则．因为CE是∠ACB的外角平分线，所以∠ECE′=∠ACE+∠ACE′===90°，所以∠DCE=90°﹣∠DCE′=90°﹣15°=75°．即∠DCE的度数为75°45．∵∠A=50°，BE⊥AC，∴∠ABE=90°﹣50°=40°，又∵CD⊥AB，∴∠BPC=90°+∠ABE=130°46．EF⊥BC．理由如下：延长EF交BC于点D．∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵∠E=∠AFE，又∵∠BAC=∠E+∠AFE，∴∠BAC=2∠AFE．又∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∴2∠B+2∠AFE=180°．又∵∠AFE=∠BFD，∴2∠B+2∠BFD=180°，∴∠B+∠BFD=90°，∴∠BDF=90°，∴EF⊥BC47．根据题意，∠PCD=∠P+∠PBC，∠ACD=∠A+∠ABC，∵BP平分∠ABC，CP平分∠ABC的外角∠ACD，∴∠ABC=2∠PBC，∠ACD=2∠PCD，∴∠A=2∠P，∵∠A=46°，∴∠P=23°48．（1）∠B+∠C=180°﹣∠BAC=70°，∵E、G分别为AB、AC中点，DE⊥AB，FG⊥AC，∴DE、FG分别是线段AB、AC的垂直平分线，∴∠BAD=∠B，∠CAF=∠C，∵∠DAF=∠BAC﹣（∠BAD+∠CAF），∴∠DAF=∠BAC﹣（∠B+∠C）=40°；（2）∵△ADF的周长=AD+DF+AF，AD=DB，AF=FC，∴△ADF的周长=DB+DF+FC=BC=749．∵∠DCB是△DCE的一个外角（外角定义）∴∠DCB＞∠CDE（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）∵∠ADB是△BCD的一个外角（外角定义）∴∠ADB＞∠DCB（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）∴∠ADB＞∠CDE（不等式的性质）50．∵∠3+∠5+∠F=180°，∠4+∠6+∠C=180°（三角形内角和定理），又∠5=∠6，∴∠3+∠F=∠4+∠C．∵BF平分∠CBG，AF平分∠BAC，∴，．∵∠CBG=∠BAC+∠C，∴，∴．∵∠C=40°，∴∠F=20°51．∵∠2=∠FAB+∠FBA，∴∠C+∠1+∠2+∠3=∠C+∠1+∠FAB+∠FBA+∠3，∴∠C+∠1+∠2+∠3=∠C+∠CAB+∠ABC=180°．52．如图，延长AD交BC于点E，根据三角形的外角性质，∠1=∠A+∠B，∠ADC=∠1+∠C，所以，∠A+∠B+∠C=∠ADC．53．（1）在△ACD中，∵∠A=62°，∠ACD=35°，∴∠BDC=∠A+∠ACD=62°+35°=97°；（2）在△BDF中，∵∠BDC+∠ABE+∠BFD=180°，∠ABE=20°，∴∠BFD=180°﹣97°﹣20°=63°，∴∠EFC=∠BFD=63°（对顶角相等）54．∵AD⊥BD，∠B=30°，∴∠BAD=60°．又AE平分∠BAD，∴∠EAB=30°．∵∠ACD=70°，∴∠BAC=∠ACD﹣∠B=40°．∴∠CAE=∠BAC﹣∠EAB=10°55．∵∠B=40°，∠C=60°，∴∠BAC=80°．又AE是∠BAC的角平分线，∴∠BAE=∠BAC=40°，∴∠AED=80°，又AD是BC边上的高，∴∠EAD=10°56．根据三角形内角和定理可得∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=60°，易得∠CAD=30°；外角定理可得∠ADB=∠C+∠CAD=84°；易得∠ADC=180°﹣84°=96°57．在△AEP中，∠BAD=180°﹣∠APE﹣∠AEP=180°﹣55°﹣100°=25°，∵AD是高，∴∠ADB=∠ADC=90°，∴∠B=180°﹣∠BAD﹣∠ADB=65°，∴∠BCE=∠AEP﹣∠B=35°．∵CE是角平分线，∴∠ACB=2∠BCE=70°，∴在△ABC中，∠BAC=180°﹣∠B﹣∠ACB=45°58．①∵∠MCD=∠MCB，∠BAM=∠MAD，∴∠MCD+38°=∠MAD+∠M，∠BAM+32°=∠BCM+∠M，∴∠MCD﹣∠MAD+38°=∠M，∠BAM﹣∠BCM+32°=∠M，32°+∠BAM+∠MAD=∠BCM+∠MCD+38°，2∠BAM+32°=2∠MCD+38°，2∠BAM﹣2∠MCD=6°，∠BAM﹣∠MCD=3°，∠MAD﹣∠BCM=3°，∴∠M=3°+32°=35°；②如图：∵AM，CM分别平分∠BAD和∠BCD，∴∠BAM=∠MAD，∠MCB=∠MCD，∵∠ANC=∠B+∠BAM=∠M+∠MCB，∠AEC=∠MCD+∠D=∠MAD+∠M，∴∠M=∠B+∠BAM﹣∠MCB①，∠M=∠MCD+∠D﹣∠MAD②，∴①+②得：2∠M=∠B+∠D，∴∠M=（∠B+∠D）．59．∵在三角形ABC中知∠B=35°，∠ACB=103°，又有三角形内角和为180度，∴∠BAC=42°，又AD平分∠BAC，∴∠DAC=21°．又∵∠BCA是三角形ACE的一个外角，∠ACB=103°，∠AEB=90°，∴∠CAE+∠BEA=∠ACB，即∠CAE=13°．由题意知∠DAE=∠DAC+∠CAE，代入以上值得∠DAE=13°+21°=34°．60．（1）∵∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点O，∴2∠OBC=∠ABC，2∠OCB=∠ACB，∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠A+2∠OBC+2∠OCB=180°，∴∠OBC+∠OCB=90°﹣∠A，∵∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=90°+∠A，∵∠A=x°，∴∠BOC=（90+x）°；（2）∵∠ABC和∠ACB的三等分线相交于点O1、O2，∴∠O1BC=∠ABC，∠O1CB=∠ACB，∴∠O1BC=∠ABC，∠O1CB=∠ACB，∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠A+∠O1BC+∠O1CB=180°，∴∠O1BC+∠O1CB=（180°﹣∠A），∵∠BOC=180°﹣（∠O1BC+∠O1CB）=60°+∠A，∵∠A=x°，∴∠BOC=（60+x）°；（3）由（1）（2）可得规律为：若∠ABC和∠ACB的n等分线相交于点O1、O2、…、O n﹣1，则用x表示∠BO1C=（+x）°．故答案为：（1）90+x，（2）60+x，（3）+x。

初中数学三角形的外角练习题1. 如图，OP//QR//ST下列各式中正确的是（）A.∠1+∠2+∠3=180∘B.∠1+∠2−∠3=180∘C.∠1−∠2+∠3=90∘D.∠2+∠3−∠1=180∘2. 如图a//b，∠3=108∘，则∠1的度数是()A.72∘B.82∘C.108∘D.80∘3. 如图，一束光线AB先后经平面镜OM，ON反射后，反射光线CD与AB平行，当∠ABM=40∘时，∠DCN的度数为（）A.40∘B.50∘C.60∘D.80∘4. 一副三角板如图摆放，则∠α的度数为( )A.65∘B.70∘C.75∘D.80∘5. 若△ABC的三个内角∠A，∠B，∠C满足关系式∠B+∠C=2∠A，则此三角形()A.一定有一个内角为45∘B.一定有一个内角为60∘C.一定是直角三角形D.一定是钝角三角形6. 如图，将含30∘角的直角三角板ABC放在平行线a和b上，∠C=90∘，∠A=30∘，若∠1=20∘，则∠2的度数等于( )A.60∘B.50∘C.40∘D.30∘7. 下列各图中，判断∠1=∠2的依据是“两直线平行，内错角相等”的是（）A.B.C.D.8. 小明把一副含，角的直角三角板按如图所示的方式摆放，其中，，，则等于()A. B. C. D.9. 如图，一个顶角为40∘的等腰三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，则∠1+∠2=________度．10. 如图，已知∠BOF=120∘，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=________．11. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，∠A=50∘，点D是AB延长线上的一点，则∠CBD的度数是________∘.12. 将一副常规直角三角板按如图方式叠放在一起，则∠AOD=________度．13. 如图，________是△ABD的外角，________是△BCE的外角．14. 如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=40∘，CD⊥AB于D，则∠DCB等于________．15. 将一副直角三角板如图摆放，点C在EF上，AC经过点D．已知∠A=∠EDF=90∘，AB=AC，∠E=30∘，∠BCE=40∘，则∠CDF=________．∠DAC，BE平分∠ABC，则16. 如图，在△ABC中，∠ADB=100∘,∠C=80∘,∠BAD=12∠BED的度数为_________．17. 如图，已知AB // DE，∠1=30∘，∠2=35∘，则∠BCE的度数为________.18. （3分）如图，AB=AC=AD,AD//BC,∠BAC=20∘，求∠D.19. （9分）我们知道，三角形的内角和为180∘，四边形的内角和为360∘．五边形的内角和为540∘…它们的内角和随着边数的增加而增加．图中的∠1．∠2，∠3叫做三角形ABC的外角．猜想：当多边形的边数增加时，它们的外角的和有无变化？20.(9分) 已知直线l1 // l2，且l4和l1、l2分别交于A、B两点，点P为线段AB上的一个定点（如图1）.(1)写出∠1、∠2、∠3、之间的关系并说出理由．(2)如果点P为线段AB上的动点时，问∠1、∠2、∠3之间的关系是否发生变化？（不必说理由）(3)如果点P在A、B两点外侧运动时，（点P和点A、点B不重合）①如图2，当点P在射线AB上运动时，∠1、∠2、∠3之间关系并说出理由．②如图3，当点P在射线BA上运动时，∠1、∠2、∠3之间关系（不说理由）.21. （9分）如图，∠1＝70∘，∠2＝70∘．说明：AB // CD．22.(9分) 【概念认识】如图①，在∠ABC中，若∠ABD=∠DBE=∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”．【问题解决】(1)如图②，在△ABC中，∠A=80∘，∠B=45∘，若∠B的三分线BD交AC于点D，求∠BDC的度数；(2)如图③，在△ABC中，BP，CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线，且∠BPC=140∘，求∠A的度数；【延伸推广】(3)在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P．若∠A=m∘(m>54)，∠B=54∘，直接写出∠BPC的度数．（用含m 的代数式表示）23. （9分）如图，在△ABC中，BD，CD分别是∠ABC和∠ACB的平分线，已知∠A= 70∘，求∠BDC的度数．参考答案与试题解析初中数学三角形的外角练习题一、选择题（本题共计 8 小题，每题 3 分，共计24分）1.【答案】D【考点】平行线的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：∵ST // QR，∴∠QRS=∠3，即∠QRP+∠1=∠3；∵OP // QR，∴∠QRP=180∘−∠2，∴180∘−∠2+∠1=∠3，即∠2+∠3−∠1=180∘．故选D.2.【答案】A【考点】平行线的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：∵a//b，∴∠1=∠2.又∵∠2+∠3=180∘，∠3=108∘，∴∠2=72∘，∴∠1=72∘.故选A.3.【答案】B【考点】平行线的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：∵∠ABM=40∘,∠ABM=∠OBC,∴∠OBC=40∘∴∠ABC=180∘−∠ABM−∠OBC=180∘−40∘−40∘=100∘，∴CD//AB∴∠ABC+∠BCD=180∘，∴∠BCD=180∘−∠ABC=80∘，∵∠BCO=∠DCN,∠BCO+∠BCD+∠DCN=180∘∴∠DCN=1(180∘−∠BCD)=50∘，2故选B．4.【答案】C【考点】三角形内角和定理对顶角【解析】首先根据三角形内角和定理求出∠BEC的度数，然后根据对顶角相等即可求出∠α的度数.【解答】解：如图：根据题意可知，∠ABC=45∘，∠DCB=60∘.∵∠ABC+∠DCB+∠BEC=180∘，∴∠BEC=180∘−∠ABC−∠DCB=180∘−45∘−60∘=75∘.∵∠α与∠BEC是对顶角，∴∠α=∠BEC=75∘.故选C.5.【答案】B【考点】三角形内角和定理【解析】此题暂无解析【解答】解：∵∠A+∠B+∠C=180∘，∠B+∠C=2∠A，∴3∠A=180∘，∴∠A=60∘，即△ABC一定有一个内角为60∘.故选B．6.【答案】B【考点】平行线的性质三角形的外角性质【解析】利用平行线的性质结合三角形外角性质求解即可.【解答】解：如图所示，∵a//b，∠A=30∘，∠1=20∘，∴∠2=∠DFC，又∠DFC=∠A+∠ADE=∠A+∠1=50∘，∴∠2=50∘.故选B.7.【答案】C【考点】平行线的性质【解析】利用平行线的判定进行求解即可.【解答】解：A，∠1与∠2不是内错角，故错误；B，∠1与∠2不是内错角，故错误；C，∠1与∠2是内错角，由两直线平行，内错角相等，可以得到∠1=∠2，正确；D，∠1与∠2是内错角，但是在三角形两边不可能平行，故错误.故选C.8.【答案】B【考点】三角形的外角性质【解析】根据三角形内角和定理得到∠B=45∘∠E=60∘，根据三角形的外角的性质计算即可．【解答】解：ΔC=2F=90∘∠A=45∘∠D=30∘∠B=45∘∠E=60∘2+2=120∘∠1=∠2∠4=∠3Δα+∠β=∠A+∠1+∠4+∠B=∠A+∠B+∠2+∠=90∘+120∘=220∘故选：B．二、填空题（本题共计 9 小题，每题 3 分，共计27分）9.【答案】220【考点】三角形的外角性质【解析】此题暂无解析【解答】解：如图，∵∠1=∠A+∠3=∠A+180∘−∠2，∴∠1+∠2=∠A+180∘=220∘.故答案为：220.10.【答案】240∘【考点】三角形内角和定理【解析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠A+∠C，∠B+∠D，再根据邻补角求出∠EOF，然后求解即可．【解答】解：如图，如图，根据三角形的外角性质，∠1=∠A+∠C，∠2=∠B+∠D，∵∠BOF=120∘，∴∠3=180∘−120∘=60∘.根据三角形内角和定理，∠E+∠1=180∘−60∘=120∘，∠F+∠2=180∘−60∘=120∘，所以，∠1+∠2+∠E+∠F=120∘+120∘=240∘，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=240∘．故答案为：240∘．11.【答案】140【考点】三角形的外角性质【解析】三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.【解答】解：∵ ∠CBD是△ABC的一个外角，∴ ∠CBD=∠C+∠A=90∘+50∘=140∘.故答案为：140.12.【答案】15【考点】三角形的外角性质【解析】先根据直角三角形的特殊角可知：∠A=45∘，∠ODC=60∘，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【解答】解：如图，∠OAC=45∘，∠ODC=60∘，∵ ∠ODC=∠OAC+∠AOD，∴∠AOD=∠ODC−∠OAC=60∘−45∘=15∘.故答案为：15.13.【答案】∠BDC,∠DEC【考点】三角形的外角性质【解答】解：三角形的外角是三角形的一边与另边的反向延长线组成的角.∴ BD与AD的延长线所成的∠BDC是△ABD的外角，CE与BE的延长线所成的∠DEC是△BCE的外角.故答案为：∠BDC；∠DEC.14.【答案】20∘【考点】等腰三角形的性质【解析】由等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=40∘，根据等边对等角的性质，即可求得∠ACB 的度数，又由CD⊥AB，可求得∠ACD的度数，继而求得答案．【解答】解：∵等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=40∘，∴∠ACB=∠B=180∘−∠A=70∘，2∵CD⊥AB，∴∠ACD=90∘−∠A=50∘，∴∠DCB=∠ACB−∠ACD=70∘−50∘=20∘．故答案为：20∘．15.【答案】25∘【考点】三角形的外角性质三角形内角和定理【解析】由∠A=∠EDF=90∘，AB=AC．∠E=30∘，∠BCE=40∘，可求得∠ACE的度数，又由三角形外角的性质，可得∠CDF=∠ACE−∠F=∠BCE+∠ACB−∠F，继而求得答案．【解答】解：∵AB=AC，∠A=90∘，∴∠ACB=∠B=45∘.∵∠EDF=90∘，∠E=30∘，∴∠F=90∘−∠E=60∘.∵∠ACE=∠CDF+∠F，∠BCE=40∘，∴∠CDF=∠ACE−∠F=∠BCE+∠ACB−∠F=45∘+40∘−60∘=25∘．故答案为：25∘．16.【答案】45∘等腰三角形的判定与性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答17.【答案】65∘【考点】平行线的判定与性质【解析】根据平行线的性质和∠1＝30∘，∠2＝35∘，可以得到∠BCE的度数，本题得以解决．【解答】解：过点C作CF // AB，∵AB // DE，∴CF // DE，∴AB // DE // CF，∴∠1=∠BCF，∠FCE=∠2.∵∠1=30∘，∠2=35∘，∴∠BCF=30∘，∠FCE=35∘，∴∠BCE=65∘.故答案为：65∘.三、解答题（本题共计 6 小题，共计48分）18.【答案】解：如图，∵AB=AC=AD，∴∠1=∠D，∠ABC=∠C，∵∠BAC=20∘，∴∠C=80∘，∵AD//BC，∴∠2=∠C=80∘，∵∠BAD=∠BAC+∠2=100∘，∴∠D=40∘.【考点】等腰三角形的判定与性质平行线的性质【解析】【解答】解：如图，∵AB=AC=AD，∵∠1=∠D，∠ABC=∠C，∵∠BAC=20∘，∴∠C=80∘，∵AD//BC，∴∠2=∠C=80∘，∵∠BAD=∠BAC+∠2=100∘，∴∠D=40∘.19.【答案】当多边形的边数增加时，它们的外角的和无变化，外角和等于360度．【考点】多边形内角与外角三角形的外角性质三角形内角和定理【解析】多边形的外角和等于360度，依此即可求解．【解答】当多边形的边数增加时，它们的外角的和无变化，外角和等于360度．20.【答案】解：(1)∠1+∠2=∠3，理由：过点P作l1的平行线PQ，∵l1 // l2，∴l1 // l2 // PQ，∴∠1=∠4，∠2=∠5（两直线平行，内错角相等）. ∵∠4+∠5=∠3，∴∠1+∠2=∠3.(2)不变化，∠3=∠1+∠2，同(1)：过点P作l1的平行线PQ，∵l1 // l2，∴l1 // l2 // PQ，∴∠1=∠4，∠2=∠5（两直线平行，内错角相等）. ∵∠4+∠5=∠3，∴∠1+∠2=∠3.(3)①当点P在射线AB上运动时，如图所示，∵直线l1 // l2，∴∠PFB=∠1，∴∠PFB=∠2+∠3，∴∠1=∠2+∠3；②当点P在射线BA上运动时，如图所示，∵直线l1 // l2，∴∠PGA=∠2，∴∠PGA=∠1+∠3，∴∠2=∠1+∠3．【考点】三角形的外角性质平行线的性质【解析】（1）延长DP交直线l2于E，根据平行线得出∠1=∠DEC，根据三角形外角性质求出即可；（2）延长DP交直线l2于E，根据平行线得出∠1=∠DEC，根据三角形外角性质求出即可；（3）画出图形，延长DP交直线l2于E，根据平行线得出∠1=∠DEC，根据三角形外角性质求出即可；（4）画出图形，延长DP交直线l2于E，根据平行线得出∠1=∠DEC，根据三角形外角性质求出即可．【解答】解：(1)∠1+∠2=∠3，理由：过点P作l1的平行线PQ，∵l1 // l2，∴l1 // l2 // PQ，∴∠1=∠4，∠2=∠5（两直线平行，内错角相等）.∵∠4+∠5=∠3，∴∠1+∠2=∠3.(2)不变化，∠3=∠1+∠2，同(1)：过点P作l1的平行线PQ，∵l1 // l2，∴l1 // l2 // PQ，∴∠1=∠4，∠2=∠5（两直线平行，内错角相等）. ∵∠4+∠5=∠3，∴∠1+∠2=∠3.(3)①当点P在射线AB上运动时，如图所示，∵直线l1 // l2，∴∠PFB=∠1，∴∠PFB=∠2+∠3，∴∠1=∠2+∠3；②当点P在射线BA上运动时，如图所示，∵直线l1 // l2，∴∠PGA=∠2，∴∠PGA=∠1+∠3，∴∠2=∠1+∠3．21.【答案】证明：如图，∵∠2与∠3是对顶角，∴∠2＝∠3，∵∠2＝70∘，∴∠3＝70∘，又∵∠1＝70∘，∴∠1＝∠3，∴AB // CD．【考点】平行线的判定【解析】根据对顶角相等得到∠2＝∠3，推出∠1＝∠3，根据平行线的判定即可推出答案．【解答】证明：如图，∵∠2与∠3是对顶角，∴∠2＝∠3，∵∠2＝70∘，∴∠3＝70∘，又∵∠1＝70∘，∴∠1＝∠3，∴AB // CD．22.【答案】解：(1)如图．当BD′是“邻AB三分线”时，∠BD′C=80∘+15∘=95∘；当BD″是“邻BC三分线”时，∠BD′′C=80∘+30∘=110∘.(2)在△BPC中，∵∠BPC=140∘，∴∠PBC+∠PCB=40∘，又∵BP，CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线，∴∠PBC=13∠ABC，∠PCB=13∠ACB，∴13∠ABC+13∠ACB=40∘，∴∠ABC+∠ACB=120∘，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180∘，∴∠A=180∘−(∠ABC+∠ACB)=60∘．(3)分4种情况进行画图计算：情况一：如图①，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻AC三分线”时，∴∠BPC=23∠A=23m∘；情况二：如图②，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻CD三分线”时，∴∠BPC=13∠A=13m∘；情况三：如图③，当B和CP分别是“邻BC三分线”、“邻AC三分线”时，∴∠BPC=23∠A+13∠ABC=23m∘+18∘；情况四：如图④，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻CD三分线”时，∠BPC=13∠A−13∠ABC=13m∘−18∘；综上所述：∠BPC的度数为：23m∘或13m∘或23m∘+18∘或13m∘−18∘．【考点】三角形的外角性质三角形内角和定理【解析】无无无【解答】解：(1)如图．当BD′是“邻AB三分线”时，∠BD′C=80∘+15∘=95∘；当BD″是“邻BC三分线”时，∠BD′′C=80∘+30∘=110∘. (2)在△BPC中，∵∠BPC=140∘，∴∠PBC+∠PCB=40∘，又∵BP，CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线，∴∠PBC=13∠ABC，∠PCB=13∠ACB，∴13∠ABC+13∠ACB=40∘，∴∠ABC+∠ACB=120∘，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180∘，∴∠A=180∘−(∠ABC+∠ACB)=60∘．(3)分4种情况进行画图计算：情况一：如图①，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻AC三分线”时，∴∠BPC=23∠A=23m∘；情况二：如图②，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻CD三分线”时，∴∠BPC=13∠A=13m∘；情况三：如图③，当B和CP分别是“邻BC三分线”、“邻AC三分线”时，∴∠BPC=23∠A+13∠ABC=23m∘+18∘；情况四：如图④，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻CD三分线”时，∠BPC=13∠A−13∠ABC=13m∘−18∘；综上所述：∠BPC的度数为：23m∘或13m∘或23m∘+18∘或13m∘−18∘．23.【答案】解：如图所示，延长BD交AC于点F，因为∠A=70∘，所以∠ABC+∠ACB=110∘.因为BD、CD分别为角平分线，所以∠DBC+∠DCB=55∘=∠FDC，因为∠FDC=∠DBC+∠DCB=55∘，所以∠BDC=180∘−∠FDC=125∘. 故答案为：125∘.【考点】三角形的外角性质三角形内角和定理【解析】【解答】解：如图所示，延长BD交AC于点F，因为∠A=70∘，所以∠ABC+∠ACB=110∘.因为BD、CD分别为角平分线，所以∠DBC+∠DCB=55∘=∠FDC，因为∠FDC=∠DBC+∠DCB=55∘，所以∠BDC=180∘−∠FDC=125∘. 故答案为：125∘.。

《三角形的外角》习题11、如图，轮船要从A港驶往B港，因受风浪影响，一开始就偏离航线（AB）18°（即∠A=18°）到了C地，已知∠ABC=10°，问轮船现在应以怎样角度航行才能到达B港？（即求∠BCD的度数）BA C D2、三角形的三个外角之比为2︰3︰4，则与它们相邻的内角分别是多少？3、在绿茵场上，小罗在E处受到阻挡需要传球，请帮助作出选择，应传给在B处的球员还是C处的球员，其射门不易射偏.（不考虑其他因素）. EBCA《三角形的外角》习题21、已知，如图1，△ABC中，∠B=∠DAC，则∠BAC和∠ADC的关系是( )图1A、∠BAC＜∠ADCB、∠BAC=∠ADCC、∠BAC＞∠ADCD、不能确定2、如图2，∠A、∠DOE和∠BEC的大小关系是( )图2A 、∠A ＞∠DOE ＞∠BECB 、∠DOE ＞∠A ＞∠BECC 、∠BEC ＞∠DOE ＞∠AD 、∠DOE ＞∠BEC ＞∠A3、如图3，∠B =∠C ，则∠ADC 与∠AEB 的关系是( )图3A 、∠ADC ＞∠AEB B 、∠ADC=∠AEBC 、∠ADC ＜∠AEBD 、不能确定《 三角形的外角》习题31、若三角形的外角中有一个是锐角，则这个三角形是________三角形.2、△ABC 中，若∠C -∠B=∠A ，则△ABC 的外角中最小的角是______（填“锐角”、“直角”或“钝角”）.3、如图，∠A=50°，∠B=40°，∠C=30°，则∠BDC=_______.4、如图，D 是△ABC 的BC 边上一点，且∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC 的度数.D CB A5、如图所示，AE ∥BD ，∠1=95°，∠2=28°，求∠C 的度数.6、如图，已知在△ABC 中，AB=AC ，∠A=40°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于D . 求：∠ADB 和∠CDB 的度数.《 三角形的外角》习题41、若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是( ).A 、直角三角形B 、锐角三角形C 、钝角三角形D 、无法确定2、如图所示，若∠A=32°，∠B=45°，∠C=38°，则∠DFE=( ).A 、120°B 、115°C 、110°D 、105°3、如果三角形的一个外角和与它不相邻的两个内角的和为180°，那么与这个外角相邻的内角的度数为( ) .A 、30°B 、60°C 、90°D 、120°4、已知三角形的三个外角的度数比为2:3:4，则它的最大内角的度数为( ) .A 、90°B 、110°C 、100°D 、1205、如图，x=______.F B C AED6、已知等腰三角形的一个外角是120°，则它是( ) .A、等腰直角三角形B、一般的等腰三角形C、等边三角形D、等腰钝角三角形7、如图，△ABC中，点D在BC的延长线上，点F是AB边上一点，延长CA到E，连EF，则∠1，∠2，∠3的大小关系是______.。