七年级数学三角形的边2

第四章三角形三角形三边关系三角形三角形内角和定理角平分线三条重要线段中线高线全等图形的概念全等三角形的性质SSS三角形SAS全等三角形全等三角形的判定ASAAASHL（适用于RtΔ）全等三角形的应用利用全等三角形测距离作三角形一、三角形概念1、不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形,称为三角形,可以用符号“Δ”表示.2、顶点是A、B、C的三角形，记作“ΔABC”，读作“三角形ABC”.3、组成三角形的三条线段叫做三角形的边,即边AB、BC、AC，有时也用a，b，c来表示，顶点A所对的边BC用a表示，边AC、AB分别用b，c来表示；4、∠A、∠B、∠C为ΔABC的三个内角。

二、三角形中三边的关系1、三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.用字母可表示为a+b〉c，a+c〉b，b+c〉a;a—b<c,a-c<b,b-c 〈a.2、判断三条线段a,b,c能否组成三角形：（1）当a+b>c,a+c>b,b+c〉a同时成立时，能组成三角形；（2）当两条较短线段之和大于最长线段时，则可以组成三角形。

3、确定第三边（未知边）的取值范围时，它的取值范围为大于两边的差而小于两边的和，即a b c a b-<<+.三、三角形中三角的关系1、三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于1800。

2、三角形按内角的大小可分为三类:(1)锐角三角形，即三角形的三个内角都是锐角的三角形；(2）直角三角形,即有一个内角是直角的三角形,我们通常用“RtΔ”表示“直角三角形”，其中直角∠C所对的边AB称为直角三角表的斜边，夹直角的两边称为直角三角形的直角边.注：直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余。

（3）钝角三角形，即有一个内角是钝角的三角形。

3、判定一个三角形的形状主要看三角形中最大角的度数.4、直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半.5、任意一个三角形都具备六个元素，即三条边和三个内角.都具有三边关系和三内角之和为1800的性质。

冀教版数学七年级下册9.1《三角形的边》教学设计一. 教材分析冀教版数学七年级下册9.1《三角形的边》是初中的基础课程，主要让学生了解三角形的三条边之间的关系，掌握三角形的性质。

本节内容主要包括三角形的定义、三角形的边长关系、三角形的分类等。

通过本节课的学习，学生能够理解三角形的基本概念，掌握三角形边长之间的关系，并能运用这些知识解决实际问题。

二. 学情分析七年级的学生已经学习了平面几何的基本知识，对图形的认识有一定的基础。

但是，对于三角形这一概念，他们可能还存在着模糊的认识，需要通过实例来进一步明确。

此外，学生对于数学概念的理解往往停留在表面，需要通过大量的练习来加深对概念的理解。

三. 教学目标1.知识与技能：让学生理解三角形的基本概念，掌握三角形边长之间的关系，能运用这些知识解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生抽象概括的能力，发展空间观念。

3.情感态度与价值观：让学生在解决实际问题的过程中，体验数学的价值，增强学习的信心，培养合作精神。

四. 教学重难点重点：三角形的基本概念，三角形边长之间的关系。

难点：对三角形概念的理解，三角形边长关系的运用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活情境，让学生在实际问题中感受三角形的存在，理解三角形的基本概念。

2.活动教学法：让学生通过实际操作，自主探索三角形的性质，培养学生的动手能力。

3.引导发现法：教师引导学生发现问题，分析问题，从而解决问题，培养学生的思维能力。

六. 教学准备1.教具准备：三角板、直尺、圆规等。

2.教学课件：制作课件，展示三角形的图片，动画等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示生活中常见的三角形图片，如自行车的三角形车架、三角形的屋顶等，引导学生发现三角形的存在，激发学生的学习兴趣。

同时，让学生举例说明生活中见到的三角形，进一步理解三角形的概念。

2.呈现（10分钟）利用课件，展示三角形的基本概念，三角形的边长关系。

三角形的三边关系（提高）知识讲解【学习目标】1. 理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法．2. 理解并会应用三角形三边间的关系．3. 理解三角形的高、中线、角平分线的概念，学会它们的画法．4. 对三角形的稳定性有所认识，知道这个性质有广泛的应用．【要点梳理】要点一、三角形的定义由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．要点诠释：（1）三角形的基本元素：①三角形的边：即组成三角形的线段；②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点. （2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”. （3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A 、B 、C 的三角形记作“△ABC ”，读作“三角形ABC ”，注意单独的△没有意义；△ABC 的三边可以用大写字母AB 、BC 、AC 来表示，也可以用小写字母a 、b 、c 来表示，边BC 用a 表示，边AC 、AB 分别用b 、c 表示．要点二、三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边. 推论：三角形任意两边的之差小于第三边. 要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围． （3）证明线段之间的不等关系． 要点三、三角形的分类【高清课堂：与三角形有关的线段 2、三角形的分类 】 1.按角分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形　锐角三角形斜三角形　钝角三角形 要点诠释：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形. 2.按边分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形　底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形　等边三角形 要点诠释：①不等边三角形：三边都不相等的三角形；②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角; ③等边三角形：三边都相等的三角形. 要点四、三角形的三条重要线段三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下：要点五、三角形的稳定性三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性.要点诠释：（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．（2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．（3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形．【典型例题】类型一、三角形的概念及表示1．若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则下图中以BC为公共边的“共边三角形”有（）A．2对； B．3对； C．4对； D．6对；EDCBA【思路点拨】对比三角形的相关概念分析和思考．【答案】B【解析】以BC为公共边的“共边三角形”有：△BDC与△BEC、△BDC与△BAC、△BEC与△BAC三对．【总结升华】根据新定义和已学过的知识，全面准确的识图．举一反三：【变式】根据下图所示的形⑴、⑵、⑶三个图所表示的规律，依次下去第n个图中的三角形的个数是( )(1)(2)(3)A．6(n-1) ； B．6n； C．6(n+1) ； D．12n；【答案】C类型二、三角形的三边关系2. （2015春•太康县期末）在△ABC中，AB=9，AC=2，并且BC的长为偶数，求△ABC的周长．【答案与解析】解：根据三角形的三边关系得：9﹣2＜BC＜9+2，即7＜BC＜11，∵BC为偶数，∴AC=8或10，∴△ABC的周长为：9+2+8=19或9+2+10=21．【总结升华】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系，还要注意第三边是偶数这一条件．举一反三：【变式】三角形的三边长为2，x-3，4，且都为整数，则共能组成个不同的三角形.当x为时，所组成的三角形周长最大.【答案】三；8 (由三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，有4-2<x-3<4+2，解得5<x<9，因为x为整数，故x可取6，7，8；当x=8时，组成的三角形周长最大为11).3.如图，O是△ABC内一点，连接OB和OC．(1)你能说明OB+OC＜AB+AC的理由吗?(2)若AB＝5，AC＝6，BC＝7，你能写出OB+OC的取值范围吗?【答案与解析】解：(1)如图，延长BO交AC于点E，根据三角形的三边关系可以得到，在△ABE中，AB+AE＞BE；在△EOC中，OE+EC＞OC，两不等式相加，得AB+AE+OE+EC＞BE+OC．由图可知，AE+EC＝AC，BE＝OB+OE．所以AB+AC+OE＞OB+OC+OE，即OB+OC＜AB+AC．(2)因为OB+OC＞BC，所以OB+OC＞7．又因为OB+OC＜AB+AC，所以OB+OC＜11，所以7＜OB+OC＜11．【总结升华】充分利用三角形三边关系的性质进行解题．举一反三：【变式】若五条线段的长分别是1cm、2cm、3cm、4cm、5cm,则以其中三条线段为边可构成______个三角形.【答案】3.类型三、三角形中的重要线段4.在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为12cm和15cm两部分，求三角形的各边长．【思路点拨】因为中线BD的端点D是AC边的中点，所以AD＝CD，造成两部分不等的原因是BC边与AB、AC边不等，故应分类讨论．【答案与解析】解：如图(1)，设AB＝x，AD＝CD＝12 x．(1)若AB+AD＝12，即1122x x+=，所以x＝8，即AB＝AC＝8，则CD＝4．故BC＝15-4＝11．此时AB+AC＞BC，所以三边长为8，8，11．(2)如图(2)，若AB+AD＝15，即1152x x+=，所以x＝10．即AB＝AC＝10，则CD＝5．故BC＝12-5＝7．显然此时三角形存在，所以三边长为10，10，7．综上所述此三角形的三边长分别为8，8，11或10，10，7．【总结升华】BD把△ABC的周长分为12cm和15cm两部分，哪部分是12cm，哪部分是15cm，问题中没有交代，因此，必须进行分类讨论．【高清课堂：与三角形有关的线段例5、】举一反三：【变式】有一块三角形优良品种试验田，现引进四个品种进行对比试验，需将这块土地分成面积相等的四块，请你制定出两种以上的方案供选择.【答案】解：方案1：如图（1），在BC上取D、E、F，使BD=ED=EF=FC，连接AE、AD、AF．方案2：如图(2)，分别取AB、BC、CA的中点D、E、F，连接DE、EF、DF．方案3：如图(3)，取AB中点D，连接AD，再取AD的中点E，连接BE、CE．方案4：如图(4)，在 AB取点 D，使DC＝2BD，连接AD，再取AD的三等分点E、F，连接CE、CF．类型四、三角形的稳定性5. 如图是一种流行的衣帽架，它是用木条（四长四短）构成的几个连续的菱形（四条边都相等），每一个顶点处都有一个挂钩（连在轴上），不仅美观，而且使用，你知道它能收缩的原因和固定方法吗？【答案与解析】解：这种衣帽架能收缩是利用四边形的不稳定性，可以根据需要改变挂钩间的距离。

教学设计教学过程(一)创设情境引入新课1.人不遵守交通规则,冒着生命危险斜穿马路.你能用所学的数学知识解释这种不文明的行为吗?2.展示学习目标:1、认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形。

2、掌握三角形三边的关系定理，能利用定理及其推论进行简单的证明。

3、了解三角形按边分类的原则和结论。

(二) 探究新知（看书第2页，完成下列填空：）1.三角形有关的概念(1)定义:不在一条直线上的条线段相接所组成的图形叫做三角形。

(2)三角形ABC，表示为；读作: ；(3)三角形的元素: 条边、个顶点、个内角.2.三角形的分类⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩三角形按角分三角形三角形⎧⎪⎪⎧⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩三角形三角形按边分三角形三角形即时训练：⑴、图中有几个三角形？用符号表示这些三角形。

⑵、图中以AB为边的三角形有哪些？⑶、图中以E为顶点的三角形有哪些？(4)、图中以D为顶点的三角形有哪些？EDCBA二.合作探究三角形三边的关系活动一:(画一画，量一量，算一算)在练习本上任画一个三角形，用a、bc 表示各边，用刻度尺量出各边的长度，并空:a= a= a= a=b= b= b= b=c= c= c= c= 计算每个三角形的任意两边之和，并与第三边比较，你能得到的结论是通过观察和实验得到的结论并不一定都正确，它的正确性必须经过严格的推理论证活动二:证明三角形三边关系，即：大于第三边已知如图，三角形ABC,求证：AB+AC>BC；AB+BC＞AC;AC+BC＞AB证明：由“两点之间，线段最短”，得AB+AC BC; 同理，AC+BC AB; AB+BC AC[例1] 下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么（1）3，4，8 （）（2）2，5，6 （）（3）2：3：4 （）（4）3，5，8 （）思考：判断三条线段能否组成三角形，是否一定要检验三条线段中任何两条的和都大于第三条？根据你刚才解题经验，有没有更简便的判断方法？方法小结：比较较短的两边之和与最长边的大小即可。

初中数学《三角形的边》教案7.1.1 三角形的边教学目标1.认识三角形,了解三角形的意义,认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形.2.经历度量三角形边长的实践活动中,理解三角形三边不等的关系.3.懂得判断三条线段可否构成一个三角形的方法,并能运用它解决有关的问题.4.帮助学生树立几何知识源于客观实际,用客观实际的观念,激发学生学习的兴趣.重点、难点重点:1.对三角形有关概念的了解,能用符号语言表示三条形.2.能从图中识别三角形.3.通过度量三角形的边长的实践活动,从中理解三角形三边间的不等关系.难点:1.在具体的图形中不重复,且不遗漏地识别所有三角形.2.用三角形三边不等关系判定三条线段可否组成三角形.教学过程一、看一看1.投影:图形见章前P68-69图.教师叙述: 三角形是一种最常见的几何图形之一.(看条件许可, 可以把古埃及的金字塔、飞机、飞船、分子结构……的投影,给同学放映)从古埃及的金字塔到现代的飞机、上天的飞船,从宏大的建筑如P68-69的图,到微小的分子结构, 处处都有三角形的身影.结合以上的实际使学生了解到:我们所研究的“三角形”这个课题来源于实际生活之中.学生活动:(1)交流在日常生活中所看到的三角形.(2)选派代表说明三角形的存在于我们的生活之中.2.板书:在黑板上老师画出以下几个图形.(1)教师引导学生观察上图:区别三条线段是否存在首尾顺序相接所组成的.图(1)三条线段AC、CB、AB是否首尾顺序相接.(是)(2)观察发现,以上的图,哪些是三角形?(3)描述三角形的特点:板书:“不在一直线上三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形”.教师提问:上述对三角形的描述中你认为有几个部分要引起重视.学生回答:a.不在一直线上的三条线段.b.首尾顺次相接.二、读一读指导学生阅读课本P71,第一部分至思考,一段课文,并回答以下问题:(1)什么叫三角形?(2)三角形有几条边?有几个内角?有几个顶点?(3)三角形ABC用符号表示________.(4)三角形ABC的边AB、AC和BC可用小写字母分别表示为________.三角形有三条边,三个内角,三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点, 三角形ABC用符号表示为△ABC,三角形ABC的三边,AB可用边AB的所对的角C的小写字母c 表示,AC可用b表示,BC可用a表示.三、做一做画出一个△ABC,假设有一只小虫要从B点出发,沿三角形的边爬到C,它有几种路线可以选择?各条路线的长一样吗?同学们在画图计算的过程中,展示议论,并指定回答以上问题:(1)小虫从B出发沿三角形的边爬到C有如下几条路线.a.从BCb.从BAC(2)从B沿边BC到C的路线长为BC的长.从B沿边BA到A,从A沿边C到C的路线长为BA+AC.经过测量可以说BA+ACBC,可以说这两条路线的长是不一样的.四、议一议1.在用一个三角形中,任意两边之和与第三边有什么关系?2.在同一个三角形中,任意两边之差与第三边有什么关系?3.三角形三边有怎样的不等关系?通过动手实验同学们可以得到哪些结论?三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边.五、想一想三角形按边分可以,分成几类?按角分呢?(1)三角形按边分类如下:三角形不等三角形等腰三角形底和腰不等的等腰三角形等边三角形(2)三角形按角分类如下:三角形直角三角形斜三角形锐角三角形钝角三角形六、练一练有三根木棒长分别为3cm、6cm和2cm,用这木棒能否围成一个三角形?分析:(1)三条线段能否构成一个三角形, 关键在捡判定它们是否符合三角形三边的不等关系,符合即可的构成一个三角形,看不符合就不可能构成一个三角形.(2)要让学生明确两条木棒长为3cm和6cm,要想用三根木棒合起来构成一个三角形,这第三根木棒的长度应介于3cm和8cm之间,由于它的第三根木棒长只有2cm,所以不可能用这三条木棒构成一个三角形.错导:∵3cm+6cm2cm用3cm、6cm、2cm的木棒可以构成一个三角形.错因:三角形的三边之间的关系为任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边,这里3+62,没错,可6-3不小于2,所以回答这类问题应先确定最大边,然后看小于最大量的两量之和是否大于最大值,大时就可构成,小时就无法构成.七、忆一忆今天我们学了哪些内容:1.三角形的有关概念(边、角、顶点)2.会用符号表示一个三角形.3.通过实践了解三角形的三边不等关系.八、作业1.课本P71练习1.2,P75练习7.1 1.2.家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，孩子一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。

图4－1－29处理方式：可让学生快乐地回答．【师】同学们都非常喜欢读书，那你们家里一定有漂亮的典案二导学设计4.3探索三角形全等的条件（2）一、学习目标1、探索出三角形全等的条件“ASA ”和“AAS ”并能应用它们来判定两个三角形 是否全等。

2、体会利用转化的数学思想和方法解决问题的过程。

3、能够有条理的思考和理解简单的推理过程，并运用数学语言说明问题。

4、敢于面对数学活动中的困难，并能通过合作交流解决遇到的问题。

二、学习重点掌握三角形全等条件“ASA ”和“AAS ”，并能应用它们来判定两个三 角形是否全等。

三、学习难点 探索 “AAS ”的条件 四、学习设计： 1.温故而知新如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是BC 边上的中线，△ABD 和△ACD 全等吗？ 你能说明理由吗？ 2、创设情景，引入新课提问：一张三角形的纸片，被斯成三部分，究竟用那部分可 画出原图一样的三角形？ 探究练习1. 两角和它们的夹边将学生分组小组分工合作完成下列问题： 画一个△ABC 使它满足以下条件： 第一组：∠A=90°, ∠B=30°,AB=10cm 第二组： ∠A=60°, ∠B=45°,AB=9cm学生动手操作，完成问题后，小组交流比较，看看能得到什么结论？学生表述，老师板书： ________________________对应相等的两个三角形全等；（简写为_____________或者 ______________） 探究练习2.如果“两角及一边”条件中的边是其中一角的对边，比如三角形的两个内角分别是60° 和45°，一条边长为10cm ，情况会怎样呢？ABCD（1） 如果角60°所对的边为10cm ，你能画出这个三角形吗？（2） 如果角45°所对的边为10cm ，那么按这个条件画出的三角形都全等吗？结论___________________________对应相等的两个三角形全等简写为________________________________思考：若两个三角形具备两角和其中一个角的对边分别相等，哪么这两个三角形全等，你认为对吗？能举例说明吗？3.举例应用：例1.如图，已知AO=DO ，∠AOB 与∠DOC 是对顶角，还需补充条件______________=_______________，就可根据“ASA ”说明△AOB ≌△DOC ；或者补充条件_______________=_______________，就可根据“AAS ”，说明△AOB ≌△DOC 。

北师大版七年级数学下册《4.3 第2课时利用“角边角”“角角边”判定三角形全等》教案一. 教材分析《北师大版七年级数学下册》第4.3节主要讲述了利用“角边角”(AAA)和“角角边”(AAS)判定三角形全等的方法。

学生在学习本节课之前已经掌握了三角形的基本概念、性质以及全等三角形的判定方法“边角边”(SAS)。

本节课的内容是全等三角形判定方法的重要组成部分，是进一步研究三角形相似、解三角形等知识的基础。

二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和空间想象力，能够理解和掌握三角形的全等概念。

但是，对于“角边角”(AAA)和“角角边”(AAS)判定三角形全等的方法，他们可能还比较难以理解，需要通过大量的练习来巩固。

此外，学生可能对全等三角形的判定方法之间的联系和区别还不够清晰，需要教师进行引导和讲解。

三. 教学目标1.让学生掌握“角边角”(AAA)和“角角边”(AAS)两种判定三角形全等的方法。

2.使学生能够运用这两种方法解决实际问题。

3.培养学生空间想象能力和逻辑思维能力。

四. 教学重难点1.教学重点：掌握“角边角”(AAA)和“角角边”(AAS)两种判定三角形全等的方法。

2.教学难点：理解“角边角”(AAA)和“角角边”(AAS)判定三角形全等的原理，能够灵活运用这两种方法解决实际问题。

五. 教学方法采用讲授法、演示法、练习法、讨论法等教学方法。

通过教师的讲解和演示，学生的练习和讨论，使学生理解和掌握全等三角形的判定方法。

六. 教学准备1.教师准备PPT，内容包括全等三角形的判定方法、实例讲解等。

2.准备一些三角形模型或图片，用于展示和练习。

七. 教学过程1.导入(5分钟)通过一个实例引出全等三角形的判定方法，激发学生的兴趣。

例如，展示一个三角形模型，让学生观察并判断它是否与另一个三角形全等。

2.呈现(10分钟)教师通过PPT呈现“角边角”(AAA)和“角角边”(AAS)两种判定三角形全等的方法，并进行讲解。

BC三角形知识点归纳、典型练习题及考点分析一、三角形相关概念 1．三角形的概念由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形 要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接．2．三角形的表示通常用三个大写字母表示三角形的顶点，如用A 、B 、C 表示三角形的三个顶点时，此三角形可记作△ABC ，其中线段AB 、BC 、AC 是三角形的三条边，∠A 、∠B 、∠C 分别表示三角形的三个内角．3．三角形中的三种重要线段三角形的角平分线、中线、高线是三角形中的三种重要线段．（1）三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．注意：①三角形的角平分线是一条线段，可以度量，而角的平分线是经过角的顶点且平分此角的一条射线．②三角形有三条角平分线且相交于一点，这一点一定在三角形的内部．③三角形的角平分线画法与角平分线的画法相同，可以用量角器画，也可通过尺规作图来画．（2）三角形的中线：在一个三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线． 注意：①三角形有三条中线，且它们相交三角形内部一点．②画三角形中线时只需连结顶点及对边的中点即可．（3）三角形的高线：从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的限度叫做三角形的高线，简称三角形的高．注意：①三角形的三条高是线段②画三角形的高时，只需要向对边或对边的延长线作垂线，连结顶点与垂足的线段就是该边上的高．练习题：1、图中共有（ A ：5 B ：6 C ：7 D ：82、如图，AE ⊥BC ，BF ⊥AC ，CD ⊥AB ，则△ABC 中AC 边上的高是（ ） A ：AE B ：CD C ：BF D ：AF 3、三角形一边上的高（ ）。

A ：必在三角形内部B ：必在三角形的边上C ：必在三角形外部D ：以上三种情况都有可能 4、能将三角形的面积分成相等的两部分的是（ ）。

第十一章三角形——三角形的有关概念、分类及三边关系一、新课导入1.导入课题：三角形是我们早已熟悉的图形，你能列举出日常生活中形如三角形的物体吗？对于三角形，你了解了哪些方面的知识？你能画一个三角形吗？2.学习目标：〔1〕记住三角形的有关概念.〔2〕会用符号表示三角形，会对三角形进行分类.〔3〕能说出三角形的三边关系，并能运用三角形三边关系解决相关问题.3.学习重、难点：重点：三角形及其有关的概念；三角形的分类.难点：三角形三边关系及应用.二、分层学习1.自学指导：〔1〕自学内容：教材第2页到“思考〞前的内容.〔2〕自学时间：5分钟.〔3〕自学要求：认真阅读课本的内容，划出你认为是重点的语句.〔4〕自学参考提纲：①什么样的图形叫三角形？由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.②对照右边的图形，指出三角形的边、角、顶点.线段AB、BC、CA是三角形的边，点A、B、C是三角形的顶点，∠A,∠B,∠C是三角形的角.③三角形的边有几种表示方法？对照右边的图形写出来.除了②中的表示方法，还可以用a，b，c表示.④用符号语言表述右图的三角形记作：△ABC，读作：三角形ABC.⑤什么是等腰三角形、等边三角形？等腰三角形与等边三角形之间有什么关系？有两条边相等的三角形叫做等腰三角形;三边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形.⑥等边三角形是特殊的等腰三角形，用图示的方法表示它们之间的包容关系.2.自学：同学们可结合自学指导进行自学.3.助学：〔1〕师助生：①明了学情：三角形的知识在小学已经学习过，本节知识是对三角形知识的系统学习，而本层次主要是学习三角形的相关概念及两种特殊三角形的概念，学生能很快接受.②差异指导：a.引导学生理解三角形的概念中“首尾顺次相接〞的意思;b.让学生认识到三角形的表示方法不是单一的.〔2〕生助生：学生围绕各自的学习疑点进行互助交流.4.强化：〔1〕三角形的有关概念及等腰三角形的意义.〔2〕练习：如图，共有6个三角形，其中以AC为边的三角形是△ABC,△AEC,△ADC；以∠B为内角的三角形有ABC,△DBC,△EBC.1.自学指导：〔1〕自学内容：教材第2页“思考〞到第3页“探究〞之前的内容.〔2〕自学时间：5分钟.〔3〕自学方法：思考三角形的分类方法.〔4〕自学参考提纲：①想一想：研究三角形，我们应该从哪些方面着手？可以从角和边这两个方面着手.②试一试：按角分，可以将三角形分为哪几类？按边分，可以将三角形分为哪几类？按角分，可以分为三类：锐角三角形，直角三角形，钝角三角形；按边分可以分为两类：三边都相等的三角形，等腰三角形，而等腰三角形又包括底边和腰不相等的等腰三角形和等边三角形.③议一议：你能用图示的方法表示三角形按边分的情况吗？2.自学：同学们可结合自学指导进行自学.3.助学：〔1〕师助生：①明了学情：按角分类学生比较容易理解，按边分类局部学生理解等边三角形为什么放在等腰三角形中时可能会存在一定困难.②差异指导：教师对个别学困生进行点拨指导.〔2〕生助生：学生之间相互讨论交流三角形的分类标准是什么.4.强化：三角形的分类标准，按边的分类.1.自学指导：〔1〕自学内容：探究三角形三边之间的关系.〔2〕自学时间：5分钟.〔3〕自学方法：任意画出一个三角形ABC，思考：从B点到C 点有哪几条路径？并比较各路径的长度.〔4〕探究提纲：①如图，假设一只小虫从点B出发，沿三角形的边爬到点C，有两条路线，路线B→C最近.根据是：两点之间线段最短.于是得出结论三角形两边的和大于第三边.②在三角形ABC中，可以得出：AB+BC>AC，AC+BC>AB，AB+AC>BC.③由②还可以得出：AC－AB＜BC；AB－AC＜BC；BC－AB＜AC.由此又可得出三角形的三边关系的另一个结论是：三角形两边的差小于第三边.④以下长度的三条线段能否构成三角形，为什么？a.3、4、8b.5、6、11c.5、6、10a.不能，因为3+4<8；b.不能，因为5+6=11；c.能，因为5+6>10.⑤动手完成例题，看看你的方法和书上的方法一样吗？谁的更好？⑥思考例题〔2〕中为什么要分情况讨论？2.自学：同学们可结合自学指导进行自学.3.助学：〔1〕师助生：①明了学情：这节课中探讨三边之间的不等关系.三边关系中“两边之和大于第三边〞，学生通过观察能直接得出结论；“两边之差小于第三边〞的结论局部学生很难推导.其次，例题的解法比较多，但是学生还不习惯用方程的知识解决几何问题，因此，教师要了解学生的认知困难在哪里.②差异指导：a.引导学生先用观察或测量的方法，归纳三边之间的不等关系，形成系统的知识体系，教师讲解推导过程.b.引导学生自己动手完成例题，然后说说书上这样做的好处，让学生形成用代数方程解决几何问题的意识.〔2〕生助生：学生之间相互交流帮助.4.强化：〔1〕三角形三边不等关系.〔2〕归纳例题的解题要领.〔3〕练习：①一个等腰三角形的周长为24cm，只知其中一边的长为7cm，那么这个等腰三角形的腰长为7 或8.5cm.②以下长度的线段不能组成三角形的是〔A〕A.3，8，4B.4，9，6C.15，20，8D.9，15，8三、评价1.学生自我评价〔围绕三维目标〕：学生总结交流自己的学习收获及存在的困惑.2.教师对学生的评价：〔1〕表现性评价：对学生在学习过程的态度、方法、成果和缺乏进行点评.〔2〕纸笔评价：课堂评价检测.3.教师自我评价〔教学反思〕:教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历观察、猜想、实验、数据处理、归纳、类比等思维过程，从中获得数学知识与技能，体验教学活动的方法，同时升华学生的情感、态度和价值观.一、根底稳固〔每题10分，共50分〕1.以下说法：①等边三角形是等腰三角形；②三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形、不等边三角形；③三角形的两边之差大于第三边；④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形. 其中正确的有〔B〕2.如图，以下不等关系成立的是(C)A.PA+PD>AMB.PN+PD>ADC.PN+PM>MND.PA+PM>MN3.以下长度的线段能组成三角形的是〔D〕A.3cm，12cm，8cmB.6cm，8cm，15cmC.2cm，3cm，5cmD.6.3cm，6.3cm，12cm4.如图，为估计池塘岸边A，B的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得OA＝15米，OB＝10米，A，B间的距离不可能是〔D〕2cm<x<8cm.二、综合应用〔第6题20分，第7题10分，共30分〕6.等腰三角形的一边长等于4，另一边长等于9，求这个三角形的周长.解：如果该等腰三角形的腰长为4，三角形的三边长分别为4，4，9.因为4+4<9,此时不能构成三角形.如果该等腰三角形的腰长为9，三角形的三边长分别为4，9，9，所以这个等腰三角形的周长为4+9+9=22.△ABC中，AB=AC，AD=BD=BC,那么图中有3个等腰三角形.三、拓展延伸〔每题10分，共20分〕8.等腰三角形的周长为20厘米.(1)假设腰长是底长的2倍，求各边的长；(2)假设一边长为6厘米，求其它两边的长.解：〔1〕设底边长为x厘米，那么腰长为2x厘米.x+2x+2x=20解得x=4.所以三边长分别为4cm,8cm,8cm.〔2〕如果6厘米长的边为底边，设腰长为x厘米，那么6+2x=20，解得x=7；如果6厘米长的边为腰，设底边长为x厘米，那么2×6+x=20，解得x=8.由以上讨论可知，其他两边的长分别为7厘米，7厘米或6厘米，8厘米.9.观察以下列图形，完成后面的问题.〔1〕第十个图形中共有55个阴影三角形.〔2〕用正整数n表示第n个图形中阴影三角形的个数.(n2+n)解：12第4课时教学内容两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P〔x，y〕，关于原点的对称点为P′〔-x，-y〕及其运用．教学目标理解P与点P′点关于原点对称时，它们的横纵坐标的关系，掌握P〔x，y〕关于原点的对称点为P′〔-x，-y〕的运用．复习轴对称、旋转，尤其是中心对称，知识迁移到关于原点对称的点的坐标的关系及其运用．重难点、关键1．重点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P〔x，y〕•关于原点的对称点P′〔-x，-y〕及其运用．2．难点与关键：运用中心对称的知识导出关于原点对称的点的坐标的性质及其运用它解决实际问题．教具、学具准备小黑板、三角尺教学过程一、复习引入〔学生活动〕请同学们完成下面三题．1．点A 和直线L ，如图，请画出点A 关于L 对称的点A ′．2．如图，△ABC 是正三角形，以点A 为中心，把△ADC 顺时针旋转60°，画出旋转后的图形．3．如图△ABO ，绕点O 旋转180°，画出旋转后的图形．老师点评：老师通过巡查，根据学生解答情况进行点评．〔略〕二、探索新知〔学生活动〕如图，在直角坐标系中，A 〔-3，1〕、B 〔-4，0〕、C 〔0，3〕、•D 〔2，2〕、E 〔3，-3〕、F 〔-2，-2〕，作出A 、B 、C 、D 、E 、F点关于原点O 的中心对称点，并写出它们的坐标，并答复：这些坐标与点的坐标有什么关系？老师点评：画法：〔1〕连结AO 并延长AO〔2〕在射线AO 上截取OA ′=OA〔3〕过A 作AD ′⊥x 轴于D ′点，过A ′作A ′D ″⊥x 轴于点D ″．∵△AD ′O 与△A ′D ″O 全等∴AD ′=A ′D ″，OA=OA ′∴A ′〔3，-1〕同理可得B 、C 、D 、E 、F 这些点关于原点的中心对称点的坐标．〔学生活动〕分组讨论〔每四人一组〕：讨论的内容：关于原点作中心对称时，•①它们的横坐标与横坐标绝对值什么关系？纵坐标与纵坐标的绝对值又有什么关系？②坐标与坐标之间符号又有什么特点？提问几个同学口述上面的问题．老师点评：〔1〕从上可知，横坐标与横坐标的绝对值相等，纵坐标与纵坐标的绝对值相等．〔2〕坐标符号相反，即设P 〔x ，y 〕关于原点O 的对称点P ′〔-x ，-y 〕．例1．如图，利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出与线段AB•关于原点对称的图形．分析：要作出线段AB 关于原点的对称线段，只要作出点A 、点B 关于原点的对称点A ′、B ′即可．解：点P 〔x ，y 〕关于原点的对称点为P ′〔-x ，-y 〕，因此，线段AB 的两个端点A 〔0，-1〕，B 〔3，0〕关于原点的对称点分别为A ′〔1，0〕，B 〔-3，0〕．连结A ′B ′．那么就可得到与线段AB 关于原点对称的线段A ′B ′．〔学生活动〕例2．△ABC ，A 〔1，2〕，B 〔-1，3〕，C 〔-2，4〕利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出△ABC 关于原点对称的图形．老师点评分析：先在直角坐标系中画出A 、B 、C 三点并连结组成△ABC ，要作出△ABC 关于原点O 的对称三角形，只需作出△ABC 中的A 、B 、C 三点关于原点的对称点，•依次连结，便可得到所求作的△A ′B ′C ′．三、稳固练习教材 练习．四、应用拓展例3．如图，直线AB 与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，将直线AB 绕点O 顺时针旋转90°得到直线A 1B 1．〔1〕在图中画出直线A 1B 1．〔2〕求出线段A 1B 1中点的反比例函数解析式．〔3〕是否存在另一条与直线AB 平行的直线y=kx+b 〔我们发现互相平行的两条直线斜率k 值相等〕它与双曲线只有一个交点，假设存在，求此直线的函数解析式，假设不存在，请说明理由． 两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反， 即点P 〔x ，y 〕关于原点O 的对称点P ′〔-x ，-y 〕．分析：〔1〕只需画出A 、B 两点绕点O 顺时针旋转90°得到的点A 1、B 1，连结A 1B 1． 〔2〕先求出A 1B 1中点的坐标，设反比例函数解析式为y=k x代入求k ． 〔3〕要答复是否存在，如果你判断存在，只需找出即可；如果不存在，才加予说明．这一条直线是存在的，因此A 1B 1与双曲线是相切的，只要我们通过A 1B 1的线段作A 1、B 1关于原点的对称点A 2、B 2，连结A 2B 2的直线就是我们所求的直线．解：〔1〕分别作出A 、B 两点绕点O 顺时针旋转90°得到的点A 1〔1，0〕，B 1〔2，0〕，连结A 1B 1，那么直线A 1B 1就是所求的．〔2〕∵A 1B 1的中点坐标是〔1，12〕 设所求的反比例函数为y=k x 那么12=1k ，k=12∴所求的反比例函数解析式为y=12x〔3〕存在．∵设A 1B 1：y=k′x+b′过点A 1〔0，1〕，B 1〔2，0〕∴1`02b k b =⎧⎨=+⎩ ∴`11`2b k =⎧⎪⎨=-⎪⎩ ∴y=-12x+1 把线段A 1B 1作出与它关于原点对称的图形就是我们所求的直线．根据点P 〔x ，y 〕关于原点的对称点P ′〔-x ，-y 〕得：A 1〔0，1〕，B 1〔2，0〕关于原点的对称点分别为A 2〔0，-1〕，B 2〔-2，0〕 ∵A 2B 2：y=kx+b∴102`b k b -=⎧⎨=-+⎩ ∴121k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩ ∴A 2B 2：y=-12x-1 下面证明y=-12x-1与双曲线y=12x相切 11212y x y x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ -12x-1=12x ⇒x+2=-1x ⇒ x 2+2x+1=0，b 2-4ac=4-4×1×1=0∴直线y=-12x-1与y=12x相切 ∵A 1B 1与A 2B 2的斜率k 相等∴A 2B 2与A 1B 1平行∴A 2B 2：y=-12x-1为所求． 五、归纳小结〔学生总结，老师点评〕本节课应掌握：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P 〔x ，y 〕，•关于原点的对称点P ′〔-x ，-y 〕，及其利用这些特点解决一些实际问题．六、布置作业1．教材 复习稳固3、4．2．选用作业设计．作业设计一、选择题1．以下函数中，图象一定关于原点对称的图象是〔〕A ．y=1xB ．y=2x+1C ．y=-2x+1D ．以上三种都不可能 2．如图，矩形ABCD 周长为56cm ，O 是对称线交点，点O 到矩形两条邻边的距离之差等于8cm ，那么矩形边长中较长的一边等于〔〕A ．8cmB ．22cmC ．24cmD ．11cm二、填空题1．如果点P 〔-3，1〕，那么点P 〔-3，1〕关于原点的对称点P ′的坐标是P ′_______．2．写出函数y=-3x 与y=3x具有的一个共同性质________〔用对称的观点写〕． 三、综合提高题1．如图，在平面直角坐标系中，A 〔-3，1〕，B 〔-2，3〕，C 〔0，2〕，画出△ABC•关于x 轴对称的△A ′B ′C ′，再画出△A ′B ′C ′关于y 轴对称的△A ″B ″C ″，那么△A ″B ″C ″与△ABC 有什么关系，请说明理由．2．如图，直线AB 与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，且A 〔0，3〕，B 〔3，0〕，现将直线AB 绕点O 顺时针旋转90°得到直线A 1B 1．〔1〕在图中画出直线A 1B 1；〔2〕求出过线段A 1B 1中点的反比例函数解析式；〔3〕是否存在另一条与直线A 1B 1平行的直线y=kx+b 〔我们发现互相平行的两条直线斜率k 相等〕它与双曲线只有一个交点，假设存在，求此直线的解析式；假设不存在，请说明不存在的理由．答案:一、1．A 2．B二、1．〔3，-1〕 2．答案不唯一 参考答案：关于原点的中心对称图形．三、1．画图略，△A ″B ″C ″与△ABC 的关系是关于原点对称．2．〔1〕如右图所示，连结A 1B 1；〔2〕A 1B 1中点P 〔1.5，-1.5〕，设反比例函数解析式为y=k x ，那么y=-2.25x ． 〔3〕A 1B 1：设y =k 1x+b 1113033b k =-⎧⎨=-⎩1113k b =⎧⎨=-⎩ ∴y=x+3∵与A 1B 1直线平行且与y=2.25x 相切的直线是A 1B 1•旋转而得到的． ∴所求的直线是y=x+3， 下面证明y=x+3与y=-2.25x 相切，x2+3x+2.25=0，b2-4ac=9-4×1×2.25=0，∴y=x+3与y=-2.25x相切．。

三角形的三边关系知识技能目标1.掌握和理解三角形的三边关系；2.认识三角形的稳定性，并能利用三角形的稳定性解决一些实际问题.过程性目标1.联系三角形的三个内角、外角以及外角与内角之间的数量关系，探索三角形的三边之间的不等量关系；2.结合实践与应用，充分感受三角形的三边关系，体会三角形的稳定性.教学过程一、创设情境让学生拿出预先准备好的四根牙签（2cm,3cm,5cm,6cm各一根）请你用其中的三根，首尾相接，摆成三角形，是不是任意三根都能摆出三角形？若不是，哪些可以？哪些不可以？你从中发现了什么？二、探索归纳从4根中取出3根有一下几种情况：(1) 2cm,5cm,6cm (2) 3cm,5cm,6cm(3) 2cm,3cm,5cm (4) 2cm,3cm,6cm通过实践可知(1)，(2)可以摆出三角形，(3)，(4)不能摆成三角形我们可以发现这三根牙签中，如果较小的两根的和不大于最长的第三根，就不能组成三角.这就是说：三角形的任意两边的和大于第三边.三、实践应用例1 画一个三角形，使它的三条边分别为7cm,5cm,4cm.画法步骤如下：(1)先画线段AB=7cm；(2)以点A为圆心，5cm长为半径画圆弧；(3)再以B为圆心，4cm长为半径画圆弧，两弧相交于点C；(4)连结AC，BC.△ABC就是所要画的三角形.练习：以下列长度的各组线段为边，能否画一个三角形？(1)7cm,4cm,2cm; (2)9cm,5cm,4m.例2 有两根长度分别为5cm和8cm的木棒，现在再取一根木棒与它们摆成一三角形，你说第三根要多长呢？用长度为3cm的木棒行吗？为什么？长度为14cm的木棒呢？解取长度3cm的木棒时，由于3+5=8，与三角形两边之和大于第三边相矛盾，所以不能摆成三角形；取长度为14cm的木棒时，由于5+8<14，同样与三角形两边之和大于第三边相矛盾，所以也不能摆成三角形. 从上可知第三木棒的长度应该是大于3cm且小于13cm.结论 1. 三角形两边之差小于第三边；2．已知三角形的两边长度，第三边长度范围是大于这两边的差小于这两边的和.练习下列长度的各组线段能否组成一个三角形？(1)15cm、10cm、7cm； (2)4cm、5cm、10cm；(3)3cm、8cm、5cm； (4)4cm、5cm、6cm.例3 (1)如果等腰三角形的一边长是4cm，另一边长是9cm，则这个等腰三角形的周长为多少？(2)如果等腰三角形的一边长是5cm，另一边长是8cm，则这个等腰三角形的周长是多少？解 (1)若4cm为底边9cm为腰时，有4+9>9和9+9>4能构成三角形周长为22cm；若4cm为腰9cm为底时，有4+4<9不能构成三角形假设不成立；(2)若5cm为底8cm为腰时，有5+8>8和8+8>5能构成三角形，周长为21 cm；若5cm为腰8cm为底时，有5+5>8和8+5>8也能构成三角形，周长为18cm.故已知等腰三角形的二条边求第三边的长时，首先要判断这三边能否构成三角形，再求第三边的长.用三根木条钉一个三角形，你会发现再也无法改变这个三角形的形状和大小，也就是说，如果三角形的三条边固定，那么三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个性质叫做三角形稳定性.有四根木条钉一个四边形，你会发现可以任意改变这个四边形的形状和大小，这说明四边形具有不稳定性.三角形的稳定性在生产实践中有着广泛的应用.例如桥梁拉杆、电视塔底座都是三角形结构.交流反思三角形的三边关系：三角形任何两边的和大于第三边.注意“任何”两字.如三角形的三边分别为a、b、c则a+b>c,a+c>b,b+c>a都成立才可以，三角形任何两边之差小于第三边也同样如此.五、检测反馈1.画一个三角形，使它的三条边长分别为3cm、4cm、6cm；2.已知△ABC是等腰三角形,如果它的两条边的长分别为8cm和3cm，那么它的周长是多少?七年级下学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．如图，已知AB∥CD，BC平分∠ABE，∠C＝35°，则∠BED的度数是（）A．70°B．68°C．60°D．72°【答案】A【解析】先根据平行线的性质求出∠ABC的度数，再由BC平分∠ABE可得出∠ABE的度数，进而可得出结论．【详解】解：∵AB∥CD，∠C=35°，∴∠ABC=∠C=35°．∵BC平分∠ABE，∴∠ABE=2∠ABC=70°．∵AB∥CD，∴∠BED=∠ABE=70°．故选：A．【点睛】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．2．将一副直角三角尺按如图所示摆放，则图中∠α的度数是（）A．45°B．60°C．70°D．75°【答案】D【解析】分析：如下图，根据“三角形外角的性质结合直角三角尺中各个角的度数”进行分析解答即可.详解：如下图，由题意可知：∠DCE=45°，∠B=30°，∵∠ =∠DCE+∠B，∴∠α=45°+30°=75°. 故选D.点睛：熟悉“直角三角尺中各个内角的度数，且知道三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”是解答本题的关键.3．如图是北京城镇居民家庭年每百户移动电话拥有量折线统计图，根据图中信息，相邻两年每百户移动电话拥有量变化最大的是A ．2010年至2011年B ．2011年至2012年C ．2014年至2015年D ．2016年至2017年 【答案】B【解析】观察折线统计图可知：2011年至2012年每百户移动电话拥有量变化最大． 【详解】解：观察折线统计图可知：2011年至2012年每百户移动电话拥有量变化最大． 故选：B ． 【点睛】本题考查折线统计图，关键是能够根据统计图提供的信息，解决有关的实际问题．4．如图，ABC ∆中，AB =AC ,D 、E 分别在边AB 、AC 上，且满足AD =AE ，下列结论中:①ABE ACD ∆≅∆；②AO 平分∠BAC ；③OB =OC ；④AO ⊥BC ；⑤若12AD BD =，则13OD OC =；其中正确的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】D【解析】利用SAS 可证明△ABE ≌△ACD ，判断①正确；根据全等三角形的性质以及邻补角定义可得∠BDO=∠BEC ，继而利用AAS 证明△BOD ≌△COE ，可得OD=OE ，BO=OC ，判断③正确；利用SSS 证明△AOD ≌△AOE ，可得AO 平分∠BAC ，判断②正确，继而根据等腰三角形三线合一的性质可判断④正确，根据三角形的高相等时，两三角形的面积比就是底边之比，通过推导可判断⑤正确. 【详解】在△ABE 与△ACD 中，AB AC BAE CAD AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△ACD ，故①正确； ∴∠AEB=∠ADC ， ∴∠BDO=∠BEC ，∵AB=AC ，AD=AE ，∴BD=CE ， 在△BOD 与△COE 中，BDO CEO BOD COE BD CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BOD ≌△COE ，∴OD=OE ，BO=OC ，故③正确； 在△AOD 与△AOE 中，AD AE AO AO OD OE =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴△AOD ≌△AOE ， ∴∠DAO=∠EAO ，即AO 平分∠BAC ，故②正确， 又∵AB=AC ，∴AO⊥BC，故④正确，∵12AD BD=，∴S△BOD=2S△AOD，又∵△BOD≌△COE，∴S△COE=2S△AOD，又∵△AOD≌△AOE，∴S△AOC=3S△AOD，∴OC=3OD，即13OD OC=，故⑤正确，故选D.【点睛】本题考查了等腰三角形的的性质，全等三角形的判定与性质，角平分的定义，三角形的面积等，综合性较强，准确识图，正确分析，熟练运用相关知识是解题的关键.5．已知甲、乙两数的和是7，甲数是乙数的2倍．设甲数为x，乙数为y，根据题意，列方程组正确的是（）A．7{2x yx y+==B．7{2x yy x+==C．27{2x yx y+==D．27{2x yy x+==【答案】A【解析】设甲数为x，乙数为y，根据题意得：7 {2x yx y+==，故选A.6．一个不等式组的两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集为( )A．1 ＜x ≤ 0B．0 ＜x ≤1C．0 ≤ x＜1 D．0＜x＜1【答案】B【解析】分析：由数轴可知，两个不等式的解集分别为x>0,x≤1,由此可求出不等式组的解集. 详解：由数轴得，不等式组的解集为0 ＜x ≤1.故选B.点睛：此题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，关键是用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．写出图中表示的两个不等式的解集，这两个式子公共部分就是对应不等式组的解集．=++，则称n为“好数”．例如：7．对于一个自然数n，如果能找到正整数x、y，使得n x y xy=++⨯，则3是一个“好数”，在8，9，10，11这四个数中，“好数”的个数共有（）个31111A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】根据题意，由n＝x＋y＋xy，可得n＋1＝x＋y＋xy＋1，所以n＋1＝（x＋1）（y＋1），因此如果n＋1是合数，则n是“好数”，据此判断即可．【详解】根据分析，∵8＝2＋2＋2×2，∴8是好数；∵9＝1＋4＋1×4，∴9是好数；∵10＋1＝1，1是一个质数，∴10不是好数；∵1＝2＋3＋2×3，∴1是好数．综上，可得在8，9，10，1这四个数中，“好数”有3个：8、9、1．故选C．【点睛】此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化；此题还考查了对“好数”的定义的理解，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：如果n＋1是合数，则n是“好数”．8．不等式－3x≤6 的解集在数轴上正确表示为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】先求出不等式的解集，然后根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则将不等式的解集在数轴上表示出来，比较得到结果．【详解】−3x⩽6，x⩾−2.不等式的解集在数轴上表示为：故选D.【点睛】此题考查在数轴上表示不等式的解集，解题关键在于掌握表示方法9．画△ABC中AC上的高，下列四个画法中正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段．根据概念可知．【详解】过点B作直线AC的垂线段，即画AC边上的高BD，所以画法正确的是C.故选C.【点睛】此题考查三角形的角平分线、中线和高，解题关键在于掌握作图法则.10．在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，3），B（2，1），将线段AB平移后，A点的坐标变为（﹣3，2），则点B的坐标变为（）A．（﹣1，2）B．（1，0）C．（﹣1，0）D．（1，2）【答案】B【解析】由A（﹣2，3）平移后坐标变为（﹣3，2）可得平移变化规律，可求B点变化后的坐标．【详解】解：∵A（﹣2，3）平移后坐标变为（﹣3，2），∴可知点A向左平移1个单位，向下平移1个单位，∴B 点坐标可变为（1，0）． 故选：B ． 【点睛】本题运用了坐标的平移变化规律，由分析A 点的坐标变化规律可求B 点变化后坐标． 二、填空题题11．定义：f （a ，b ）=（﹣a ，b ），g （m ，n ）=（m ，﹣n ），例 f （1，2）=（﹣1，2），g （﹣4，﹣5）=（﹣4，5），则 g （ f （2，﹣3））=_____． 【答案】（﹣2，3）．【解析】根据新定义法则，分步完成.即： g （ f （2，﹣3））= g （-2，﹣3））=（﹣2，3）. 【详解】g （ f （2，﹣3））= g （-2，﹣3））=（﹣2，3）. 故答案为：（﹣2，3） 【点睛】本题考核知识点：点的坐标.解题关键点：根据新定义写坐标.12．一个凸多边形的内角和为720°，则这个多边形的边数是__________________ 【答案】1【解析】设这个多边形的边数是n ，根据多边形的内角和公式：()n 2180-⨯，列方程计算即可． 【详解】解：设这个多边形的边数是n根据多边形内角和公式可得()n 2180720，-⨯= 解得n 6=． 故答案为：1． 【点睛】此题考查的是根据多边形的内角和，求边数，掌握多边形内角和公式是解决此题的关键．13．小亮帮母亲预算家庭4月份电费开支情况，下表是小亮家4月初连续8天每天早上电表显示的读数，（1）表格中反映的变量是_____，自变量是_______，因变量是___________．（2）估计小亮家4月份的用电量是_____°，若每度电是0.49元，估计他家4月份应交的电费是_________． 【答案】 日期和电表读数 日期 电表读数 120 58.8【解析】分析：(1)、根据表格即可得出自变量和因变量；(2)、首先根据表格得出每天的平均用电量，然后得出4月份的用电量，根据电价得出答案．详解：(1)、变量有两个：日期和电表读数，自变量为日期，因变量为电表读数； (2)、每天的用电量：（49-21）÷7=4°，4月份的用电量=30×4=120°， ∵每度电是0.49元，∴4月份应交的电费=120×0.49=58.8元． 点睛：本题主要考查的是函数的变量，属于基础题型．在看这个表格的时候一定要注意两天数值的差才是前一天的用电量．14．已知，x=3、y=2是方程组6324x by ax by +=⎧⎨-=⎩的解，则a=_____，b=_____【答案】6； 7【解析】把x 与y 的值代入方程组计算即可求出a 与b 的值．【详解】把x=3、y=2代入6324x by ax by +=⎧⎨-=⎩中得：18232324b a b +⎧⎨-⎩＝＝ 解得：67a b ⎧⎨⎩＝＝故答案是：6,7. 【点睛】考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．15．已知方程组123a b b c a c -=-⎧⎪-=⎨⎪+=⎩，则a =______________.【答案】2【解析】利用“加减消元法”解三元一次方程组，即可求出a 的值.【详解】123a b b c a c -=-⎧⎪-=⎨⎪+=⎩①②③解：①+②得：12a b b c -+-=-+ 合并同类项，得：1a c -=④ ③+④得：314a c a c ++-=+= 合并同类项，得：24a =解得：a=2故答案为：2【点睛】本题考查解三元一次方程组，熟练掌握“加减消元法”是解题关键.16．如图，△ABC的周长为15cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D、交AC边于点E，连接AD，若AE＝2cm，则△ABD的周长是_____cm．【答案】11【解析】根据垂直平分线的性质即可求解.【详解】由题意可知EC=AE＝2cm，AD=CDAB+AC+BC=15cm；∴AB +BC=15-2×2=11cm∴△ABD的周长为AB+BD+AD=AB+BC-CD+AD= AB+BC=11cm【点睛】此题主要考查周长的计算，解题的关键是熟知垂直平分线的的性质.17．按如图所示的程序进行运算时，发现输入的x恰好经过3次运算输出，则输入的整数x的值是________ ．【答案】11或12或13或14或1．【解析】试题分析：第一次的结果为：2x-5，没有输出，则2x-545，解得：x25；第二次的结果为：2（2x-5）-4=4x-1，没有输出，则4x-145，解得：x1；第三次的结果为：2（4x-1）-5=8x-35，输出，则8x-3545，解得：x10，综上可得：，则x的最小整数值为11.考点：一元一次不等式组的应用三、解答题18．为保护环境，增强居民环保意识，某校积极参加即将到来的6月5日的“世界环境日”宣传活动，七年级（1）班所有同学在同一天调查了各自家庭丢弃塑料袋的情况，统计结果的条形统计图如下：根据统计图，请回答下列问题：（1）这组数据共调查了居民有多少户?（2）这组数据的居民丢弃塑料袋个数的中位数是_______个，众数是 _______个.（3）该校所在的居民区约有3000户居民，估计该居民区每天丢弃的塑料袋总数大约是多少？【答案】 (1)50(2)中位数 4 众数 4(3)12600【解析】(1)计算居民总数（2）中位数：将一组数据按大小顺序排列，处在最中间位置的一个数叫做这组数据的中位数。

初一下册数学《三角形》知识点复习总结初一下册数学《三角形》知识点复习总结章一一、三角函数1.定义：在rt△abc中，∠c=rt∠，则sina= ;cosa= ;tga= ;ctga= .2. 特殊角的三角函数值：0° 30° 45° 60° 90°sinαcosαtgα /ctgα /3. 互余两角的三角函数关系：sin(90°-α)=cosα;…4. 三角函数值随角度变化的关系5.查三角函数表二、解直角三角形1. 定义：已知边和角(两个，其中必有一边)→所有未知的边和角。

2. 依据：①边的关系：②角的关系：a+b=90°③边角关系：三角函数的定义。

注意：尽量避免使用中间数据和除法。

三、对实际问题的处理1. 俯、仰角：2.方位角、象限角：3.坡度：4.在两个直角三角形中，都缺解直角三角形的条件时，可用列方程的办法解决。

初一下册数学《三角形》知识点复习总结章二一、目标与要求1.认识三角形，了解三角形的意义，认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形。

2.经历度量三角形边长的实践活动中，理解三角形三边不等的关系。

3.懂得判断三条线段可否构成一个三角形的方法，并能运用它解决有关的问题。

4.三角形的内角和定理，能用平行线的性质推出这一定理。

5.能应用三角形内角和定理解决一些简单的实际问题。

二、重点三角形内角和定理;对三角形有关概念的了解，能用符号语言表示三条形。

三、难点三角形内角和定理的推理的过程;在具体的图形中不重复，且不遗漏地识别所有三角形;用三角形三边不等关系判定三条线段可否组成三角形。

四、知识框架五、知识点、概念总结1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

2.三角形的分类3.三角形的三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。

4.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。

第1讲 三角形的边和角一、三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次联结所组成的图形叫做三角形二、三角形的分类（1）按边分类：（2）按角分类：三、三角形的性质⑴ 边与边的关系：三角形任意两边之和大于第三边（三角形任意两边之差小于第三边）⑵ 角与角的关系：三角形的内角和等于180；180A B C ︒∠+∠+∠=三角形的外角和等于360，360DAE EBF FCA ︒∠+∠+∠=三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和, =ACD A B ∠∠+∠（推论：三角形的一个外角大于任何与它不相邻的内角）, ACD A ∠>∠,ACD B ∠>∠⑶ 边与角的关系：同一个三角形中，大边对大角（小边对小角），大角对大边（小角对小边） ,;b a c B A C >>∠>∠>∠若则反之亦然【例题1】（1）已知三角形的三边长分别为4、5、x，则x不可能是（）A．3B．5C．7 D．9（2）如果线段a，b，c能组成一个三角形，那么它们的长度的比可以是（）A．1: 1: 2B．－2: 5: 2C．2008: 2009: 2010D．4: 8: 4（3）一个三角形三边长分别为8，10，x，则x的取值范围是．（4）一个三角形三边长分别为6，7，x，则三角形的周长l的范围是．（5）若三角形的三边长为3，4，x，则偶数x的值有．（6）有三条线段，其中两条线段的长为3和5，第三条线段的长为x，若这三条线段不能构成三角形，则x的取值范围是．【例题2】（1）现有长度分别为2cm，3cm，4cm，5cm的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数为．（2）已知有长为1，2，3的线段若干条，任取其中三条构造三角形，则最多能构成形状或大小不同的三角形个数是．【例题3】（1）三角形的三边分别为3、1－2a、8，求a的取值范围。

（2）若一个三角形中两条边的长分别为a、b，且a>b，求这个三角形周长l的取值范围。