天津市五区县2018届高三上学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案

f (x) = ������ − ������������ + a (������ > ������). …………………………………………………3 分 x
依题意，知
1 ������������ − ������������������ + ������������������������ + ������ + 1 < ������ (������ − ������������ + a )对任意实数������ ∈ (������, +∞)恒成立，
又 AB1 平面 BDC1 ， OD 平面 BDC1 ，
所以 AB1 ∥平面 BDC1 . ……………………………………………………………4 分
（Ⅱ）因为 AA1 ⊥ 平面 ABC ， AA1 ∥ CC1 ，
所以 CC1 ⊥ 平面 ABC ，又 BC ⊥ AC
故以 C 为原点，分别以 CA,CB,CC1 的方向为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正方向
n 则有{
∙
C1D
=
������, 即{
−2z
+
1 2
������ =
������, ………………7
分
n ∙ C1B = ������ −2z + ������ = ������
令������ = ������，则得 n = (4,2,1) .
D
A x
C
B y
又平面 BDC 的法向量为 CC1=(0,0,2) ，且二面角 C1 − BD − C 为锐角，
所以 t(x) = ������������ − 2a = 2(x2 − a) .（������ > ������） ………………………………6 分

天津市部分区第一学期期末考试高三数学（理科）试卷第Ⅰ卷（选择题 共40分）参考公式：如果事件,A B 互斥，那么()()()P AB P A P B =+.如果事件,A B 相互独立，那么()()()P A B P A P B =锥体的体积公式13V Sh =，其中S 表示锥体的底面面积，h 表示锥体的高. 柱体的体积公式V Sh =，其中S 表示柱体的底面面积，h 表示柱体的高一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}21,4,|log ,A B y y x x A ===∈，则AB =（ ）A ． {}14,B ． {}0,14,C ． {}0,2D ．{}0,1,24,2.设变量,x y 满足约束条件24033010x y x y x y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则目标函数2z x y =-的最小值为（ ）A ．165-B ． 3-C ．0D ．1 3.阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出v 的值为（ ）A ．4B ． 5C ． 6D ． 74.已知ABC ∆是钝角三角形，若1,2AC BC ==，且ABC ∆，则AB =（ ）A C. D ．35.设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1q >”是“{}n a 为单调递增数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件6.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的焦点的渐近线的距离为2，且双曲线的一条渐近线与直线230x y -+=平行，则双曲线的方程为（ ）A ．221164x y -= B ．22194x y -= C. 22149x y -= D ．22184x y -= 7.在ABC ∆中，D 在AB 上，:1:2AD DB =，E 为AC 中点，CD BE 、相交于点P ，连结AP .设(),AP xAB yAC x y R =+∈，则,x y 的值分别为（ ） A ．1123， B ．1233， C. 1255， D ．1136，8.已知()()23xf x x e =-（其中,x R e ∈是自然对数的底数），当10t >时，关于x 的方程()()120f x t f x t --=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦恰好有5个实数根，则实数2t 的取值范围是（ ）A ．()2,0e -B ． (]2,0e - C. 32,6e e -⎡⎤-⎣⎦ D ．(32,6e e -⎤-⎦第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共有6小题，每小题5分，满分30分.9.已知,,a b R i ∈是虚数单位，若()()1222i ai b i -+=-，则a b +的值为__________．10.在6214x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，3x -的系数为__________.（用数字作答）11.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是____________．12.在平面直角坐标系xOy 中，由曲线()10y x x=>与直线y x =和3y =所围成的封闭图形的面积为__________.13.在直角坐标系xOy 中，已知曲线11:1x t tC y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），曲线2cos :sin x a C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，1a >），若1C 恰好经过2C 的焦点，则a 的值为 ．14.已知()24,1,1xx x x f x e x ⎧-<=⎨≥⎩，若方程()f x kx =有且仅有一个实数解，则实数k 的取值范围为 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. （本小题满分13分）已知函数()()()2cos cos f x x x x a a R =+∈. （1）求()f x 的最小正周期； （2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最小值为2，求a 的值.16. （本小题满分13分）某区选派7名队员代表本区参加全市青少年围棋锦标赛，其中3名自A 学校且1名为女棋手，另外4名自B 学校且2名为女棋手.从这7名队员中随机选派4名队员参加第一阶段的比赛. （1）求在参加第一阶段比赛的队员中，恰有1名女棋手的概率；（2）设X 为选出的4名队员中A B 、两校人数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望.17. （本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，1,//,2,2AB AD AD BC AD BC E ⊥==在BC 上，且112BE AB ==，侧棱PA ⊥平面ABCD .（1）求证：平面PDE ⊥平面PAC ； （2）若PAB ∆为等腰直角三角形.（i ）求直线PE 与平面PAC 所成角的正弦值； （ii ）求二面角A PC D --的余弦值. 18. （本小题满分13分） 已知数列{}n a 的前n 项和()()2**11,n n n nn na a A nn N bn N a a ++=∈=+∈，数列{}n b 的前n 项和为n B .（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()*2nn n a c n N =∈，求数列{}n c 的前n 项和n C ； （3）证明：()*222n n B n n N <<+∈.19. （本小题满分14分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，上顶点为B ，若12BF F ∆的周长为6，且点1F 到直线2BF 的距离为b . （1）求椭圆C 的方程；（2）设12,A A 是椭圆C 长轴的两个端点，点P 是椭圆C 上不同于12,A A 的任意一点，直线1A P 交直线x m =于点M ，若以MP 为直径的圆过点2A ，求实数m 的值. 20. （本小题满分14分） 已知函数()()321,,3f x x x cx d c d R =-++∈，函数()f x 的图像记为曲线C . （1）若函数()f x 在[)0+∞，上单调递增，求c 的取值范围；（2）若函数()y f x m =-有两个零点(),αβαβ≠，且x α=为()f x 的极值点，求2αβ+的值；（3）设曲线C 在动点()()00,A x f x 处的切线1l 与C 交于另一点B ，在点B 处的切线为2l ，两切线的斜率分别为12,k k ，是否存在实数c ，使得12k k 为定值？若存在，求出c 的值；若不存在，说明理由.试卷答案一、选择题1-4 DACB 5-8 DACD二、填空题9.8 10.24-11. 32+ 12. 4ln 3-14. (,e)-∞三、解答题15.（本小题满分13分）解：（I）函数2()2cos cos cos 212f x x x x a x x a =++=+++2sin(2)16x a π=+++， ……………………4分16.（本小题满分13分）解：（I ）由题意知，7名队员中分为两部分，3人为女棋手，4人为男棋手，设事件A =“恰有1位女棋手”，则()1334471235C C P A C ==，………………………4分 所以参加第一阶段的比赛的队员中，恰有1位女棋手的概率为1235.…………5分 （II ）随机变量X 的所有可能取值为0,2,4.其中()22344718035C C P X C ===， ()133134344716235C C C C P X C +===， ()0434471435C C P X C ===. ………………………………9分 所以，随机变量X 分布列为随机变量()1816136024********E X =⨯+⨯+⨯=. ………………………………13分17.（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）法一：∵△AGD△CGE ，知23DG AD AG GE EC GC ===，且AC =故35GC AC ==.同理可得35GE DE ==，且3EC =，222GC GE EC +=,ED AC ⊥. ………2分又∵PA ⊥平面ABCD ∴PA ED ⊥ ……3分 而PAAC A =∴ED ⊥平面PAC .ED ⊂平面PDE ,故平面PDE ⊥平面PAC ； ……4分法二：∵PA ⊥平面ABCD ∴AB PA ⊥ 又∵AB AD ⊥，故可建立建立如图所示坐标系.由已知(0,2,0)D ，(2,1,0)E ，(2,4,0)C ，(0,0,)P λ（0λ>）∴(2,4,0)AC =，(0,0,)AP λ=，(2,1,0)DE =-∴4400DE AC ⋅=-+=，0DE AP ⋅=.……3分，∴DE AC ⊥，DE AP ⊥，∴ED ⊥平面PAC ，ED ⊂平面PDE ,平面PDE ⊥平面PAC ；……4分（Ⅱ）（i ）由（Ⅰ），平面PAC 的一个法向量是(2,1,0)DE =-，因为PAB ∆为等腰直角三角形，故2PA =，(2,1,2)PE =-.设直线PE 与平面PAC 所成的角为θ，则sin cos ,5PE DE θ=<>=………8分 （ii ）设平面PCD 的一个法向量为n 000(,,)x y z =，(2,2,0)DC =，(0,2,2)DP =- 由n DC ⊥，n DP ⊥∴0000220220x y y z +=⎧⎨-+=⎩，令01x =，则n (1,1,1)=--， ………10分∴cos <n，DE >==.………11分显然二面角A PC D --的平面角是锐角， ∴二面角A PC D --的余弦值为515.………13分（其他方法可酌情给分） 18．（本小题满分13分）解：（I ）当2n ≥时，2=n A n ，21(1)-=-n A n ， 两式相减：121-=-=-n n n a A A n ；当1n =时，111==a A ，也适合21=-n a n ，故数列{}n a 的通项公式为21=-n a n ；. ………3分 （II ）由题意知：2122-==n n n n a n c ，12n n C c c c =+++，123135212222-=++++n nn C ， 23411352122222+-=++++n n C n ，两式相减可得：1231122221222222+-=++++-n n n C n ， ……… 4分 即123-111111121()2222222+-=+++++-n n n C n ， -111121(1)2222+-=+--n n n C n ，2332+=-n n n C . ………7分（III ）21212121-+=++-n n n b n n ，显然212122121-++>=+-n n n n ， 即2n b >，122n n B b b b n =+++>； ………9分另一方面，21212222112212*********-++=-++=+-+-+--+n n n n n n n n ， 即122213=+-b ，222235=+-b ，…，11222121⎛⎫=+- ⎪-+⎝⎭n b n n ，2222222(2)(2)(2)22221335212121=+-++-+++-=+-<+-++n B n n n n n ， 即：222<<+n n B n . ………13分 19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知得2222262c a cb ab a b c ⎧+=⎪=⎨⎪=+⎩，解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩.所以椭圆C 的方程为22143x y +=. ……………5分 （Ⅱ）由题意知12(2,0),(2,0)A A -， ……………6分 设00(,)P x y ，则100:(2)2A P y l y x x =++，得00(,(2))2yM m m x ++. 且由点P 在椭圆上，得22003(1)4x y =-. ……………8分 若以MP 为直径的圆过点2A ，则220A M A P ⋅=， ……………9分所以20000000(2,(2))(2,)(2)(2)(2)022y y m m x y m x m x x -+⋅-=--++=++2000000033(4)(2)(2)44(2)(2)(2)(2)(2)(2)022x x x m x m m x m x x --+--++=---+=++……………12分 因为点P 是椭圆C 上不同于12,A A 的点，所以02x ≠±. 所以上式可化为3(2)(2)04m m --+=，解得14m =. ……………14分 20．（本小题满分14分）解法一（I ）2()2f x x x c '=-+，当[0,)x ∈+∞时2()20f x x x c '=-+≥所以2min (2)0x x c -+≥，而22x x c -+在1x =处取得最小值，所以120c -+≥，1c ≥；……………4分 （II ）因为x α=为()f x 的极值点，所以21()20k f c ααα'==-+=，所以22c αα=-+， 又因为()y f x m =-有不同的零点,αβ，所以()()f f αβ=，即32321133c d c d ααααββ-++=-++，整理得：21(23)()03αβαβ+--=， 所以23αβ+=．……………9分 （III ）满足条件的实数c 存在， 由2()2f x x x c '=-+，知过00(,())A x f x 点与曲线相切的直线1l 为：000()()+()y f x x -x f x '=，且21002k x x c =-+ 将000()()+()y f x x -x f x '=与()y f x =联立即得B 点得横坐标，所以000()()+(())f x x -x f x f x '=即：3223200000011(2)()+33x x cx d x x c x -x x x cx d -++=-+-++ 整理得：2001(23)()03x x x x +--= 由已知0x x ≠,所以0230x x +-= 所以032x x =-，即B 点的横坐标为032x - 所以过点B 的曲线的切线斜率为22()2k f x x x c '==-+200(32)2(32)x x c =---+2004(2)33x x c c =-++-1433k c =+-因此当且仅当 330c -=时，1k 、1k 成比例， 这时1c = 即存在实数1c =，使12k k 为定值．……………14分解法二：（I ）2()2f x x x c '=-+，当[0,)x ∈+∞时2()20f x x x c '=-+≥， 所以2(2)c x x ≥--对任意的[0,)x ∈+∞恒成立，故2max [(2)]c x x ≥--，即2max [(2)]1x x --=，故c 的取值范围是[1,)+∞；…………… 4分（II ）因为x α=为()f x 的极值点，且()y f x m =-有两个零点,()αβαβ≠， 所以()0f x m -=的三个实数根分别为,,ααβ， 由根与系数的关系得12313ααβαβ-++=+=-=；……………9分（III ）满足条件的实数c 存在，因为2()2f x x x c '=-+，所以过00(,())A x f x 点且与曲线C 相切的直线1l 为：000()()+()y f x x -x f x '=，其中21002k x x c =-+. 设1l 与C 交于另一点11(,)B x y ，则001,,x x x 必为方程'000()()()+()f x f x x -x f x =的三个实数根由'000()()()+()f x f x x -x f x =得32200001(2)()+()3x x cx d x x c x -x f x -++=-+因为上述方程的右边不含三次项和二次项， 所以0011313x x x -++=-= ，所以1032x x =-所以'22111()2k f x x x c ==-+200(32)2(32)x x c =---+2004(2)33x x c c =-++-1433k c =+-.因此当且仅当 330c -=时，1k 、1k 成比例，这时1c =，即存在实数1c =，使12kk 为定值.…14分。

天津市部分区2018-2019学年度第一学期期末考试高三数学（理）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．祝各位考生考试顺利！第I 卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2．本卷共8小题，每小题5分，共40分． 参考公式：·如果事件A ，B 互斥，那么 ·如果事件A ，B 相互独立，那么 ()()()P AB P A P B =+． ()()()P A B P A P B =．·柱体的体积公式V Sh =，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高． ·球的表面积公式24S R π=，其中R 表示球的半径．一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1．设全集{}123456U =,,,,,，{}12345P =,,,,，{}3456Q =,,,，则()U PQ =ðA ．{}12,B ．{}125,,C ．{}12345,,,,D ．{}1,2,3,4,62．设变量x y ,满足约束条件1020220.x y x y x y -+≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，，则目标函数z x y =+的最大值为A ．32B ．1C ．1-D ．3-3．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为A ．8B ．4C ．4-D ．20-4．已知1251215512log log a b c -===,,,则a b c ,,的大小关系为A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>5．设R θ∈,则tan 1θ=“”是π=4θ“”的 A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6．将函数()sin 2f x x =的图象向左平移π4个单位长度后得到函数()g x 的图象，则()g x 具有的性质是 A ．图象关于直线π2x =对称且最大值为1 B ．图象关于点3π(0)8-,对称且周期为π C ．在区间3ππ88⎛⎫-⎪⎝⎭,上单调递增且为偶函数 D ．在区间π04⎛⎫ ⎪⎝⎭,上单调递增且为奇函数7．已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>,的一条渐近线恰好是圆()222(12x y -+-=的切线，且双曲线的一个焦点到其一条渐近线的距离为2，则双曲线的方程为A ．221128x y -= B ．221124x y -= C ．221168x y -= D ．22184x y -= 8．如图，圆O 是边长为4的正方形ABCD 的内切圆，PQR ∆是圆O 的内接正三角形，若PQR ∆绕着圆心O 旋转，则AQ OR ⋅的最大值是A．2+ B．1+C．1-+ D．2-+B第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共12小题，共110分．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．） 9．i 是虚数单位，复数12i=1i-+___________． 10．在()62x -的展开式中，2x 的系数为___________（用数字作答）．11．已知长方体的长、宽、高分别为2，1，2，则该长方体外接球的表面积为__________.12．已知直线32,5:4.5x t l y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）与x 轴交于点M ，点N 是圆2240x y y +-=上的任一点，则MN 的最大值为___________．13．已知,a c ∈R ,二次函数2()4()f x ax x c x =++∈R 的值域为[)0+∞,，则11a c+的最小值为___________．14．已知函数241()ln 1 1.x x a x f x x x ⎧-+<=⎨+≥⎩,,,若关于x 的方程()3f x =恰有两个互异的实数解，则实数a 的取值范围是___________．三、解答题（本大题共6小题，共80分；解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．（本小题满分13分）在ABC ∆中，222sin sin sin sin sinC.A B C B =+- （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）求sin sinC B +的取值范围．16．（本小题满分13分）4月23日是“世界读书日”，天津市某中学开展了一系列的读书教育活动．学校为了解高三学生课外阅读情况，采用分层抽样的方法从高三某班甲、乙、丙、丁四个读书小组（每名学生只能参加一个读书小组）学生中抽取10名学生参加问卷调查．各组人数统计如下：（Ⅰ）从参加问卷调查的10名学生中随机抽取2人，求这2人来自同一个小组的概率； （Ⅱ）从已抽取的甲、丙两个小组的学生中随机抽取2人，用X 表示抽得甲组学生的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．A 117．（本小题满分13分）如图，三棱柱111ABC A B C -，1A A ⊥平面ABC ，BC AC ⊥，为AC 的中点．（Ⅰ）求证：1AB ∥平面1BDC ；（Ⅱ）若12AA =，求二面角1C BD C --的余弦值； （Ⅲ）若点P 在线段1AB 上，且CP ⊥平面1BDC ，确定点P 的位置并求线段1AA 的长．18．（本小题满分13分）已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 是等差数列，且12a =，11b =，227a b +=，3313a b +=.（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）设nn nb c a =(N )n *∈，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 19．（本小题满分14分）已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的焦距为8，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）设F 为C 的左焦点，T 为直线6x =-上任意一点，过点F 作TF 的垂线交C于两点P Q ,． （ⅰ）证明：OT 平分线段PQ （其中O 为坐标原点）； （ⅱ）当TF PQ取最小值时，求点T 的坐标．20．（本小题满分14分）已知函数211()4ln 22f x x ax a x a =-+++，其中a ∈R ． （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1(1))f ,处的切线方程；（Ⅱ）记()f x 的导函数为()f x '，若不等式()()f x xf x '<在区间(1)+∞,上恒成立，求a 的取值范围；（Ⅲ）设函数()()2g x f x a =+，()g x '是()g x 的导函数，若()g x 存在两个极值点12x x ,，且满足1212()()()g x g x g x x '+≥，求a 的取值范围．天津市部分区2018～2019学年度第一学期期末考试高三数学(理)试题参考答案与评分标准一、选择题：(本大题共8个小题，每小题5分，共40分)二、填空题：(本大题共6个小题，每小题5分，共30分)9．1322i-- 10．240 11．9π 12． 13． 14． 三、解答题：（本大题共6个小题，共80分）15．解：（Ⅰ）因为 222sin sin sin sin sin A B C B C =+-, 由正弦定理sin sinB sin a b cA C==，得222a b c bc =+-，………………2分 由余弦定理2221cos 22b c a A bc +-==， ………………4分 又因为()0,A π∈，所以3A π=. …………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，B C A π+=-， 所以23C B π=-，……………6分 所以2sin sin sin sin()3B C B B π+=+-13sinB sin sin 22B B B B =+=………8分)6B π=+……………………………………………10分因为203B π<<，所以5666B πππ<+< ………………………………11分)6B π<+≤ ……………………………………………12分所以sin sinC B +的取值范围为⎝……………………………13分16．解：（Ⅰ）由题设易得，问卷调查从四个小组中抽取的人数分别为3421，，，（人），1分从参加问卷调查的 名学生中随机抽取两名的取法共有21045C =（种），……2分 抽取的两名学生来自同一小组的取法共有22234210C C C ++=（种），……………4分所以，抽取的两名学生来自同一个小组的概率为102459P ==. …………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，在参加问卷调查的10名学生中，来自甲、丙两小组的学生人数分别为3人、2人，所以，抽取的两人中是甲组的学生的人数X 的可能取值为0,1,2………………7分所以22251(0)10C P X C ===，1132253(1)5C C P X C ===，23253(2)10C P X C ===…10分 所以 的分布列为…………………………………………………12分所求 的期望()1336012105105E X =⨯+⨯+⨯=. ……………………………13分 17．解：（Ⅰ）连接1B C ，交1BC 于点O ，则点O 为1B C 的中点，因为D 为AC 的中点，所以OD ∥1AB . ……………………………………………2分 又1AB ⊄平面1B D C ，OD ⊂平面1B D C ，所以1AB ∥平面1B D C . ……………………………………………………………4分（Ⅱ）因为1AA ⊥平面ABC ，1AA ∥1CC ， 所以1CC ⊥平面ABC ，又BC AC ⊥故以C 为原点，分别以1CA CB CC ,,的方向为x 轴、y 轴、z 建立空间直角坐标系（如右图所示），………………5分 则11(002)(010)(00)2C B D ,,,,,,,,，所以1C D122 1C B 2- . 设平面 的法向量为()n x y z =,,，则有 n 1C D n 1C B 即 2z - 122z -………………7分 令 ，则得(421)n =,,. 又平面BDC 的法向量为1=(002)CC ,,，且二面角1C BD C --为锐角，故二面角1C BD C --的余弦值为111|||cos |||||421CC n CC n CC n ⋅〈〉===⋅⨯,…9分 （Ⅲ）设11=AA a AP AB λ=,,因为1(100),(01,)A B a ，，，，所以， (1)CP CA AP a λλλ=+=-,,. …………………………………………10分又1C D 12 a , 12, CP ⊥平面1BDC ， 所以()()2111021102CP C D a CP BD λλλλ⎧⋅=-+-=⎪⎪⎨⎪⋅=--=⎪⎩ 解得113a λ==,.…………………12分所以11AA =，且点 在线段 的三等分点处，即13. …………13分 18．解：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为()0q q ≠，等差数列{}n b 的公差为d ，依题意有()()2223321721213a b q d a b q d ⎧+=++=⎪⎨+=++=⎪⎩，即2266q d q d +=⎧⎨+=⎩，…………………2分解得22q d =⎧⎨=⎩或06q d =⎧⎨=⎩（舍）…………………………………4分∴()2,12121nn n a b n n ==+-=-，∴数列{}n a 的通项公式为2nn a =，数列{}n b 的通项公式为21n b n =-………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得212n n n n b n c a -==， ∴22122132n nn T -=+++ ①…………………………………7分∴12n T =132********13nn n n +--++++，②…………………………………8分 ①-②得32111111212()222222n n n n T +-=++++-……………………………9分 1111(1)12122122241n n n -+--=+⨯--…………………………………………10分132322n n ++=-……………………………………………………………12分 ∴2332n nn T +=-……………………………………………………13分 19．解：（Ⅰ）由已知，得 . ……………………………………………1分因为 ，易解得. ……………………………………………………………3分()AP a λλλ=-,,所以，所求椭圆 的标准方程为 221248x y +=…………………………………4分(i)（Ⅱ）设点T 的坐标为(6)m -， 当0m =时，PQ 与x 轴垂直F ，为PQ 的中点OT ，平分PQ 显然成立……5分 当0m ≠，由已知可得：2,2TF PQ m K K m =-=,则直线PQ 的方程为：24y (x )m =+…………………7分 设1122)()P x y Q x y （,,, 222(4)3240y x m x y ⎧=+⎪⎨⎪+-=⎩消去y 得： ()222+1296192240m x x m ++-=1229612x x m ∴+=-+12122216(8)12my y x x m m ∴+=++=+ PQ ∴中点M 的坐标为224881212mm m -++（，）…………………………9分 又:6OT mL y x M =-∴,在直线OT 上.综上OT 平分线段PQ …………………………………………10分 ()ii 当0m =时，23TF PQ ==,则,4TF PQ = …………11分 当0m ≠时，由(i)可知PQ ==分TF m =3TF PQ ∴==≥ (当且仅当，即时等号成立)……………………13分3634< ∴点T 的坐标为(62)±-， …………………………………………………14分20．解：（Ⅰ）当 时， 12 32(其中 )， 所以12 32，1x， . ………………………………………1分 所以，曲线()y f x =在点(1(1))f ,处的切线方程为 ， 即 . ………………………………………………………2分（Ⅱ）由()f x12 12，得 ()f x ' ax( ). …………………………………………………3分依题意，知12 12 a x对任意实数 恒成立， 即 对任意实数 恒成立. ……………………5分 令()t x （ ），所以()t x ' 2a x22()x a x -.（ ） ………………………………6分① 当 时，()t x ' ，此时函数()t x 在 上单调递增，所以()(1)0t x t >=， 所以， 时，符合题意. …………………………7分 ② 当 时，令()=0t x '，得 ( 舍去).所以，当 时，()0t x '<，此时函数()t x 在 单调递减， 所以()(1)0t x t <=，此与题意相矛盾， 所以， 不符合题意. ……8分 综上所述，所求实数 的取值范围是(1]-∞,. ……………………………9分（Ⅲ）据题意，有12 12（ ）， 所以 a x24x ax ax -+（ ）. ………………………10分因为函数 存在两个极值点 ，所以 是方程 的两个不等的正根，则有，解得 14. ……………………………………11分 所以12 12 1212121212ax x ， 又据 ，可得 ， …12分 即 . （※）因为 14，所以不等式（※）可化简为 （）， 令 （ 14），则 1a 4 ，所以 在 14上单调递增.又 ，……………………………………………………………………13分所以不等式 的解为14，故所求实数 的取值范围是1(1]4,. ……………………………………………14分。

2018-2019 学年天津市南开区高三（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． （3 分）设全集为 R，集合 A＝{x|x﹣1＞0}，B＝{x||x|＞2}，则集合（∁RA）∪B＝（ A．{x|x≤1} B．{x|x＜﹣2 或 x＞1} C．{x|1≤x＜2} ）
A．﹣2
0.1
B．16
C．﹣2 或 8
D．﹣2 或 16 ）
5． （3 分）设 a＝2 ﹣1，b＝lg A．a＜c＜b B．b＜c＜a
0.3，则 a，b，c 的大小关系是（ C．c＜a＜b D．c＜b＜a
6． （3 分）将函敬 y＝sin2x 的图象向右平移 （ ）
个单位长度，所得图象对应的函数解析式是
8． （3 分）已知函数 f（x）满足：①定义域为 R；②对任意 x∈R，有 f（x+2）＝2f（x） ； ③当 x∈[﹣1，1]时，f（x）＝ ．若函数 g（x）＝ ） C．9 D．10 ，则函数 y＝f（x）
﹣g（x）在区间[﹣5，5]上零点的个数是（ A．7 B．8
二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分． 9． （5 分）若复数 ，则 z 的共轭复数 等于 ．
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﹣x
的值，
故选：D． 5． 【解答】解：a＝2 ﹣1＞0，b＝lg ＝﹣lg4∈（﹣1，0） ，c＝log30.3＝1﹣log310＜﹣1， 则 a，b，c 的大小关系是 c＜b＜a． 故选：D． 6． 【解答】解：函数 y＝sin2x 的图象向右平移 （2x﹣ ）＝﹣cos2x． 个单位长度得到 y＝sin2（x﹣ ）＝sin
2018-2019 学年天津市南开区高三 （上） 期末数学试卷 （理 科）