2018-2019学年江苏省南通市 启东中学高一(创新班)上学期期中数学试题一、单选题1．在数列{a n }中，a n ＋1＝a n ＋2＋a n ，a 1＝2，a 2＝5，则a 6的值是( ) A ．－3 B ．－11 C ．－5 D ．19【答案】A【解析】本题考查数列的通项公式的求法. 由12n n n a a a ++=+，则21n n n a a a ++=-， 又122,5a a ==，则3213;a a a =-=4322;a a a =-=-5435;a a a =-=-6543;a a a =-=-故正确答案为A2．直线10x -=的倾斜角α=( ) A ．30° B ．60︒C ．120︒D ．150︒【答案】A【解析】先求得直线的斜率，然后根据斜率和倾斜角的关系，求得α. 【详解】可得直线10x -=的斜率为3A kB =-=，由斜率和倾斜角的关系可得tan α=， 又∵0180a 鞍?∴30α=o 故选：A. 【点睛】本小题主要考查直线倾斜角与斜率，属于基础题.3．已知直线l 过定点()1,2P -，且与以(2,3)A --，(4,5)B -为端点的线段（包含端点）有交点，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ） A ．[]1,5- B ．()1,5-C ．(][),15,-∞-⋃+∞D ．()(),15,-∞-+∞U【答案】A【解析】【详解】试题分析：将点(1,2)P -(2,3)A --(4,5)B -标在直角坐标系中,令直线绕(1,2)P -旋转,由图可知,,解得[]1,5k ∈-，故选A.【考点】图象法,直线与线段的位置关系. 4．如果数列{}n a 满足122,1a a ==，且1111(2)n n n n n n a a a a n a a -+-+--=≥，则这个数列的第10项等于( ) A ．1012 B ．912 C ．15D ．110【答案】C【解析】由题设条件知11112n n n n n a a a a a -++-=+，所以1111112n n n a a a +-=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由此能够得到1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，从而得到第10项的值. 【详解】 ∵1111n n n n n n a a a a a a -+-+--=，∴11112n n n n n a a a a a -++-=+，∴111111111111111222n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a +--+-+-++-⎛⎫+===+ ⎪⎝⎭+，∴11112n n na a a -++= 即1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，（2n ≥）. 然后可得12d =，101119522a =+⨯=，∴1015a =. 故选：C. 【点睛】本小题主要考查根据递推关系式求数列某一项的值，属于基础题. 5．已知{}n a 的通项公式是()2N 156n na n n +=∈+，则数列的最大项是第( )项 A ．12 B ．13C ．12或13D ．不确定【答案】C【解析】构造函数2()(1)156xf x x x =≥+，利用导数研究()f x 的单调区间、极值和最值，由此求得n 为何值时，数列{}n a 取得最大值. 【详解】{}n a 的通项公式是()2156n na n N n +=∈+， 令2()(1)156xf x x x =≥+，则()222221562()156156x x f x x x +-'==++.∴()f x 在(上递增，在)+∞上递减，∴x =()f x 取得极小值即最小值.∵1213<<. 又2131(12)(13)13121325f f ===+⨯. 则数列的最大项是第12或13项. 故选：C. 【点睛】本小题主要考查利用函数的观点研究数列的最大项，属于中档题.6．已知点(, )P x y 到(0,4)A 和(2,0)B -的距离相等，则24x y +的最小值为( )A ．2B ．4C ．D ．【答案】D【解析】首先求得线段AB 的垂直平分线的方程，由此求得,x y 的关系式，利用基本不等式求得24x y +的最小值. 【详解】因为点(,)P x y 到(0,4)A 和(2,0)B -的距离相等，所以点(,)P x y 在线段AB 的垂直平分线上，且过AB 的中点(1,2)-，()40202AB k -==--，垂直平分线的斜率为12-，由点斜式得()1212y x -=-+，所以垂直平分线的方程为：230x y +-=即23x y +=， 因为22422x y x y +=+，且220,20x y >>，所以22422x y x y +=+≥==.所以24x y +的最小值为， 故选：D. 【点睛】本小题主要考查线段垂直平分线方程的求法，考查基本不等式求最值，属于中档题.7．设直线l 的斜率为k ，且1k -<≤l 的倾斜角α的取值范围( )A ．30,,34πππ⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭B ．30,,64πππ⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭ C ．3,64ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．30,,34πππ⎡⎤⎛⎫⋃ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭【答案】D【解析】根据直线斜率的取值范围，以及斜率和倾斜角的对应关系，求得倾斜角α的取值范围. 【详解】直线l 的斜率为k ，且1k -<≤，∴1tan α-<≤[0,)απ∈.∴3,0,43ππαπ⎛⎫⎡⎤∈⋃⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 故选：D. 【点睛】本小题主要考查直线斜率和倾斜角的对应关系，属于基础题.8．已知数列{}n a 的通项公式为()*21log N 2n n a n n +=∈+，设其前n 项和为n S ，则使5n S <-成立的自然数n ( )A ．有最小值63B ．有最大值63C ．有最小值31D ．有最大值31【答案】A【解析】利用对数运算，求得n S ，由此解不等式5n S <-，求得n 的最小值. 【详解】 ∵()*21log N 2n n a n n +=∈+， ∴12322223log log log 3142n n S a a a a n n =++++⋯+=++⋯++222312log log 3422n n n +⎛⎫=⨯⨯⋯⨯= ⎪++⎝⎭， 又因为21215log 6232232n S n n <-=⇒<⇒>+， 故使5n S <-成立的正整数n 有最小值：63. 故选：A. 【点睛】本小题主要考查对数运算和数列求和，属于基础题.9．设入射光线沿直线21y x =+射向直线y x =，则被y x =反射后，反射光线所在的直线方程是( ) A ．230x y -+= B ．210x y -+= C ．3210x y -+= D ．210x y --=【答案】D【解析】先求得直线21y x =+与直线y x =的交点坐标，然后求得直线21y x =+上一点()0,1关于直线y x =的对称点，利用两点式求得反射光线所在的直线方程. 【详解】 联立21y x y x =+⎧⎨=⎩解得：1x y ==-，所以入射线21y x =+与直线y x =的交点为()1,1--，在入射线21y x =+上取一点()0,1，则它关于直线y x =的对称点()1,0必在反射光线上，由两点式得反射线所在的直线方程为：110111y x ++=++，即210x y --=， 故选：D. 【点睛】本小题主要考查反射光线所在直线方程的求法，属于中档题. 10．给出下列五个命题：①过点(1,2)-的直线方程一定可以表示为2(1)()y k x k R -=+∈的形式；②过点(1,2)-且在x ，y 轴截距相等的直线方程是10x y +-=；③过点2()1,M -且与直线():00l Ax By C AB ++=≠垂直的直线方程是(1)(2)0B x A y ++-=；④设点2()1,M -不在直线():00l Ax By C AB ++=≠上，则过点M 且与直线l 平行的直线方程是(1)(2)0A x B y ++-=；⑤点(1,2)P -到直线20ax y a a +++=的距离不小于2.以上命题中，正确的序号是( ) A ．②③⑤ B ．④⑤C ．①④⑤D ．①③【答案】B【解析】①根据斜率是否存在进行判断；②根据直线可能过原点进行判断；③求得过M 且与l 垂直的直线方程，由此来进行判断；④求得过M 且平行于l 的直线方程，由此来进行判断；⑤利用点到直线的距离公式，结合基本不等式来进行判断. 【详解】对于①，过点()1,2-的直线方程不一定可以表示为2(1)()y k x k R -=+∈的形式， 如斜率不存在时为10x +=，∴①错误；对于②，过点()1,2-且在x ，y 轴截距相等的直线方程是10x y +-=或2y x =-（过原点），∴②错误；对于③，过点()1,2M -且与直线:0(0)l Ax By C AB ++=≠垂直的直线方程可设为0Bx Ay m -+=，代入点M 的坐标求得2m A B =--，故所求的直线方程为(2)(1)0B x A y --+=，∴③错误；对于④，设点()1,2M -不在直线:0(0)l Ax By C AB ++=≠上，可设过点M 且与直线l 平行的直线方程为0Ax By n ++=，代入点M 可得2n A B =-， 故所求的直线方程是 (1)(2)0A x B y ++-=，④正确；对于⑤，点()1,2P -到直线20ax y a a +++=的距离为2d ===≥>，当且仅当1a =±时取“=”，∴⑤正确； 综上所述，正确的命题序号是④⑤. 故选：B. 【点睛】本小题主要考查直线方程，考查直线平行、垂直，考查点到直线的距离公式，属于中档题.11．对于实数x ，[]x 表示不超过x 的最大整数. 已知正数数列{}n a 满足112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，*n N ∈，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和，则[][][]1280111...S S S +++=（ ） A ．2323140B ．5241280C ．2603140D ．5171280【答案】B【解析】由已知数列递推式可得数列{S n 2}是首项为1，公差为1的等差数列，求得n S [][][]1280111...S S S +++ 【详解】由112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令1n =， 得111112a a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∵0n a ＞ ，得11a =． 当2n ≥ 时，1111()2n n n n n S S S S S ---+-＝， 即2211n n S S --＝． 因此，数列{}2Sn 是首项为1，公差为1的等差数列， ∴2n S n ＝，即n S ．则[][][]1280111......1280S S S +++=+++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦111111113579111315172345678=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯5241280=. 故选B. 【点睛】本题考查等差关系的确定，考查数列求和，属难题． 12．已知数列中，，，，若对于任意的，，不等式恒成立，则实数的取值范围（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】由，得，即，又，所以，即，即， 要使对于任意的恒成立，则对于任意的恒成立， 即对于任意的恒成立，令，则，解得或；故选C.二、填空题13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，12n n S a +=，则n a =______.【答案】21,113,222n n n -=⎧⎪⎨⎛⎫⋅≥ ⎪⎪⎝⎭⎩【解析】利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得数列{}n a 的通项公式.【详解】∵12n n S a +=，∴2n ≥时，12n n S a -=， 两式相减可得122n n n a a a +=-，即：132n n a a += ∴数列{}n a 从第2项起，是等比数列， ∵11a =，122S a =，∴212a =∴2n ≥时，21322n n a -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭∵11a =，∴21,113,222n n n a n -=⎧⎪=⎨⎛⎫⋅≥ ⎪⎪⎝⎭⎩故答案为：21,113,222n n n -=⎧⎪⎨⎛⎫⋅≥ ⎪⎪⎝⎭⎩ 【点睛】本小题主要考查已知n S 求n a ，属于基础题.14．将一张坐标纸折叠一次，使点(10,0)与点(6,8)-重合，则与点(4,2)-重合的点是______.【答案】()4,2-【解析】先求得点()()10,0,6,8-的垂直平分线的方程，然后根据点关于直线对称点的求法，求得()4,2-的对称点，由此得出结论. 【详解】已知点(10,0)A ，点(6,8)B -，可得中点(2,4)M .则816102AB k ==---.∴线段AB 的垂直平分线为：42(2)y x -=-， 化为20x y -=.设点()4,2-关于直线20x y -=的对称点为(,)P a b ，则2214422022baa b -⎧⨯=-⎪⎪--⎨-++⎪⨯-=⎪⎩，解得42a b =⎧⎨=-⎩. ∴与点()4,2-重合的点是()4,2-. 故答案为：()4,2-. 【点睛】本小题主要考查线段垂直平分线方程的求法，考查点关于直线对称点的坐标的求法，属于中档题.15．已知a ，b ，c 均为正数，且(2)(2)1a b b c ++=，则1a b c++的最大值是______.【答案】1【解析】利用(2)(2)1a b b c ++=化简1a b c ++，结合基本不等式求得1a b c++的最大值. 【详解】根据题意，(2)(2)1a b b c ++=，则1(2)2a b b c+=+，122122(2)2a b c a b b c a b a b==++++++++，又由1(2)22a b a b ++≥=+，则1212a b c ≤=++，即1a b c++的最大值1；故答案为：1. 【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.16．对于任一实数序列{}123,,,A a a a =L ，定义A ∆为序列{}213243,,,aa a a a a ---L ，它的第n 项是1n n a a +-，假定序列()A ∆∆的所有项都是1，且1820170a a ==，则2018a =_________．【答案】1000 【解析】【详解】依题意知A ∆是公差为1的等差数列,设其首项为a ,通项为n b ,则()111n b a n n a =+-⨯=+-,于是()()()()()()11111111121211122n n n k k k k k a a n n n a a a a a b a n a n a --+==⎡⎤++-⨯--⎣⎦=+-=+=+-=+-+∑∑.由于1820170a a ==,即111713602016201510080a a a a ++=⎧⎨++⨯=⎩,解得11016,17136a a =-=.故()201820162017171362017101610002a ⨯=+⨯-+=.【点睛】本小题主要考查新定义数列的性质,考查等差数列的前n 项和公式以及通项公式.题目定义的数列为二阶等差数列.高阶等差数列的定义是这样的:对于对于一个给定的数列，把它的连续两项1n a +与n a 的差1n n a a +-记为n b ，得到一个新数列，把数列n b 称为原数列的一阶差数列，如果1n n n c b b +=-=常数，则n a 的二阶等差数列.用累加法求得数列的通项公式.三、解答题17．已知直线1:10l ax by ++=（,a b 不同时为0）, 2:(2)0l a x y a -++=. ⑴若0b =且12l l ⊥，求实数a 的值；(2)当3b =且12l l //时，求直线1l 与2l 之间的距离. 【答案】（1）2；（2【解析】（1）当b=0时，l 1垂直于x 轴，所以由l 1⊥l 2知l 2垂直于y 轴，由此能求出实数a 的值；（2）由b=3且l 1∥l 2，先求出a 的值，再由两条平行间的距离公式，能求出直线l 1与l 2之间的距离．【详解】（1）当b=0，时，l 1：ax+1=0， 由l 1⊥l 2知a ﹣2=0， 解得a=2．（2）当b=3时，l 1：ax+3y+1=0， 当l 1∥l 2时，有()320310a a a ⎧--=⎨-≠⎩解得a=3，此时，l 1的方程为：3x+3y+1=0， l 2的方程为：x+y+3=0， 即3x+3y+9=0， 则它们之间的距离为d=229133-+=423． 【点睛】本题考查两条直线平行和两条直线垂直的条件的应用，解题时要认真审题，注意两条平行线间的距离公式的灵活运用．18．已知直线l1：2x －y ＋2＝0与l2：x ＋2y －4＝0，点P(1, m)． （Ⅰ）若点P 到直线l1, l2的距离相等，求实数m 的值；（Ⅱ）当m ＝1时，已知直线l 经过点P 且分别与l1, l2相交于A, B 两点，若P 恰好 平分线段AB ，求A, B 两点的坐标及直线l 的方程． 【答案】（Ⅰ）m ＝－1或m ＝；（Ⅱ）；x ＋7y －8＝0【解析】【详解】(I)根据点到直线的距离公式建立关于m 的方程，求出m 的值.（II ）设A(a, 2a ＋2), B(4－2b, b)，因为P （1，1）为AB 的中点，根据中点坐标公式可得关于a,b 的方程，解出a,b 的值.所以可得A 、B 的坐标，进而得到直线l 的方程. （Ⅰ）由题意得， 解得m ＝－1或m ＝；（Ⅱ）设A(a, 2a ＋2), B(4－2b, b)，则解得，∴，∴，∴l ：，即x ＋7y －8＝019．已知数列{}n a 中，11a =，其前n 项和为n S ，且满足()21n n S n a =+，()*n N ∈． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记23n n n b a λ=-，若数列{}n b 为递增数列，求λ的取值范围． 【答案】(1) ()*n a n n N =∈;（2）(),2-∞．【解析】试题分析： (1)由和项求通项,一般利用()12n n n S S a n --=≥进行转化，得到项之间递推关系式，再利用叠乘法求通项，（2）研究数列单调性，只需研究相邻两项之间关系即可，本题数列{}n b 为递增数列，等价于1n n b b +>恒成立，再利用变量分离转化为对应数列最值问题：2321n n λ⋅<+的最小值，最后根据数列{2321nn ⋅+}单调性求最小值，即得λ的取值范围．试题解析:(1)∵()21n n S n a =+，∴()1122n n S n a ++=+，∴()()11221n n n a n a n a ++=+++， 即()11n n na n a +=+，∴11n na a n n+=+， ∴11111n n a a a n n -==⋅⋅⋅==- ∴()*n a n n N =∈. （2）23n n b n λ=-.()21131n n n b b n λ++-=-+ ()()232321n nn n λλ--=⋅-+.∵数列{}n b 为递增数列，∴()23210nn λ⋅-+>，即2321nn λ⋅<+.令2321nn c n ⋅=+，则112321631232321n n n n c n n c n n ++⋅++=⋅=>+⋅+. ∴{}n c 为递增数列，∴12c λ<=，即λ的取值范围为(),2-∞． 点睛：解决数列的单调性问题可用以下三种方法①用作差比较法，根据+1n n a a -的符号判断数列{}n a 是递增数列、递减数列或是常数列.②用作商比较法，根据+1n na a 与1的大小关系及n a 符号进行判断. ③结合相应函数的图像直观判断，注意自变量取值为正整数这一特殊条件20．如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 点在AM 上，D 点在AN 上，且对角线MN 过C 点.已知AB=3米，AD=2米.（1）要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，请问AN 的长应在什么范围； （2）当AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小，并求出最小面积. 【答案】（1）()82,8,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭U ；（2）AN 的长为4米时，矩形AMPN 的最小面积为24平方米.【解析】（1）设AN x =(0)x >，则32xAM x =-，表示出矩形的面积，利用矩形AMPN 的面积大于32平方米，即可求得AN 的取值范围；（2）化简矩形的面积，利用基本不等式，即可得到结论． 【详解】（1）AN x =（2x >），则由DN DC ANAM=，得32xAM x =-， ∴232AMPNx S AN AM x =⋅=-， 由32AMPNS >，得23322x x >-，又2x >，所以2332640x x -+>，解得823x <<，或8x >， 所以AN 的长度的取值范围为()82,8,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭U ；（2）因为2233(2)12(2)1222AMPNx x x S x x -+-+==--123(2)122x x =-++≥-1223(2)12242x x -⋅+=-， 当且仅当123(2)2x x -=-，即4x =时，等号成立． 所以当AN 的长度是4m 时，矩形AMPN 的面积最小，最小值为224m ． 【点晴】本题主要考查了函数的实际应用问题，其中解答中涉及到一元二次不等式的求解、函数关系式的求解，基本不等式求最值的应用的知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化思想的应用，本题的解答中根据题设条件列出关系式是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题．21．已知ABC V 的两条高所在直线方程为0,2310x y x y +=-+=，若()1,2A ，求直线BC 的方程. 【答案】2370x y ++=【解析】试题分析：设:0,:2310CD x y BE x y +=-+=，则可求出垂心11,55H ⎛⎫- ⎪⎝⎭，进而求出32AH k =由AH BC ⊥可得23BC k =-，设:320AC x y m ++=，代入()1,2A 可得:3270AC x y +-=与CD 联立可得()7,7C -，则由点斜式可得直线BC 的方程.试题解析：设:0,:2310CD x y BE x y +=-+=∴105:231015x x y H x y y ⎧=-⎪+=⎧⎪⇒⎨⎨-+=⎩⎪=⎪⎩，所以11,55H ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴12351215AHk -==⎛⎫-- ⎪⎝⎭由“三条高线交于一点”可得：AH BC ⊥∴23BC k =-∵AC BE ⊥ 设:320AC x y m ++=，代入()1,2A 解得：7m =- ∴:3270AC x y +-=∴32707:07x y x C x y y +-==⎧⎧⇒⎨⎨+==-⎩⎩ ∴()7,7C - ∴()2:773BC y x +=--整理后可得：2370x y ++= 答案：2370x y ++=22．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意的正整数n ，都有51n n a S =+成立，记()4N 1nn na b n a ++=∈-. (1)求数列{}n a 与数列{}n b 的通项公式；(2)求证：①2128k k b b -+<对N k +∈恒成立.②4n R n <对N n +∈恒成立，其中n R 为数列{}n b 的前n 项和. (3)记()221Nn n n c b b n +-=-∈，nT 为{}nc 的前n 项和，求证：对任意正整数n ，都有32n T <. 【答案】(1)14n n a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，144114nn n b ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⎛⎫-- ⎪⎝⎭；(2)①证明见解析；②证明见解析；(3)证明见解析.【解析】（1）利用递推关系式51n n a S =+证得数列{}n a 是等比数列，由此求得数列{}n a 的通项公式，进而求得数列{}n b 的通项公式.（2）①利用（1）中求得的数列{}n b 的通项公式，化简212k k b b -+，由此证得2128k k b b -+<.②将n 分成偶数和奇数两种情况，利用分组求和法，证得4n R n <对N n +∈恒成立. （3）化简221n n n c b b -=-，得到2211516n n n n c b b -=-<，利用放缩法证得32nT <. 【详解】(1)解：当1n =时，1151a a =+，∴114a =-.又∵51n n a S =+，1151n n a S ++=+， ∴115n n n a a a ++-=，即114n n a a +=-， ∴数列{}n a 成等比数列，其首项为114a =-，公比14q =-，∴14n n a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴14441114nn n n na b a ⎛⎫+- ⎪+⎝⎭==-⎛⎫-- ⎪⎝⎭；(2)证明：①由(1)知14544(4)1114nn n nb ⎛⎫+- ⎪⎝⎭==+--⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 注意到1k ³，所以1516400k ⋅->∵212212558(4)1(4)1k k k k b b --+=++----()()15164088161164k k k⋅-=-<-+； ②当n 为偶数时，设()*2Nn m m =∈， 则()()()123421284n m m R b b b b b b m n -=++++++<=L ； 当n 为奇数时，设()*21N n m m =-∈，则()()()12342322218(1)4844n m m m R b b b b b b b m m n ---=+++++++<-+=-=L ，∴对一切的正整数n ，都有4n R n <；(3)证明：由(1)知14544(4)1114nn n n b ⎛⎫+- ⎪⎝⎭==+--⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 得221221554141n n n n n c b b --=-=+-+ ()21516151516163164164316nn n n n n⋅==<+-+⋅-.又13b =，2133b =，∴143c =， ∴当1n =时，1132T c =<； 当2n ≥时，234111153161616n n T ⎛⎫<++++ ⎪⎝⎭L 21111416161513116n -⎛⎫- ⎪⎝⎭=+⨯-1411131616n -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭41673316482<+=<. 【点睛】本小题主要考查根据递推关系式求数列的通项公式，考查分组求和法，考查放缩法证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.。
